Lý thuyết lập lịch và ứng dụng giải pháp quyết bài toán lập lịch cho cpu
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.49 MB, 91 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
..
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
Nguyễn Văn Kiên
LÝ THUYẾT LẬP LỊCH VÀ ỨNG DỤNG GIẢI QUYẾT BÀI
TOÁN LẬP LỊCH CHO CPU
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
Thái Nguyên 2013
LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn Trƣờng Đại Học Công Nghệ Thông Tin và truyền
thông đã tạo điều kiện cho em thực hiện luận văn này.
Em cũng xin chân thành cảm ơn tới toàn thể thầy cô giáo ở Viện công nghệ
thông tin và trƣờng Đại học công nghệ thông tin và truyền thông đã tận tình giảng dạy
và hƣớng dẫn, trang bị cho em những kiến thức cần thiết trong quá trình thực hiện luận
văn đƣợc thành cơng.
Dựa trên sự chỉ bảo tận tình của T.S Vũ Vinh Quang dựa trên những kiến thức
đã học, và tìm hiểu đƣợc, em đã hồn thành luận văn theo đúng thời gian quy định. Tuy
nhiên trong quá trình thiết kế và thực hiện luận văn không tránh khỏi sai sót, do thời
gian có hạn và khả năng cịn hạn chế. Em mong quý thầy cô và các bạn thơng cảm và
có những ý kiến q báu nhằm hồn thiện hơn cho sản phẩm.
Em xin chân thành cảm ơn.
Thái nguyên, ngày 18 tháng 7 năm 2013
Học viên
Nguyễn Văn Kiên
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan luận văn tốt nghiệp: “Lý thuyết lập lịch và ứng dụng giải
quyết bài toán lập lịch cho CPU” do em tự thực hiện dƣới sự hƣớng dẫn của thầy giáo
Vũ Vinh Quang. Các kết quả và số liệu hoàn toàn trung thực.
Ngoài các tài liệu tham khảo đã dẫn ra ở cuối luận văn em đảm bảo rằng khơng
sao chép các cơng trình hay luận văn tốt nghiệp của ngƣời khác. Nếu phát hiện có sự
sai phạm với điều cam đoan trên, em xin hồn tồn chịu trách nhiệm.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN.................................................................................................................. 1
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................................ 3
MỤC LỤC ....................................................................................................................... 4
LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................................. 6
CHƢƠNG 1 ..................................................................................................................... 8
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ THUẬT TOÁN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP THUẬT
TOÁN .............................................................................................................................. 8
1.1. Khái niệm cơ bản ...................................................................................................... 8
1.1.1. Thut toỏn ...................................................................................................... 8
1.1.2. Khái niệm về độ phức tạp tht to¸n. ............................................................ 8
1.1.3. Cách tính độ phức tạp .................................................................................. 12
1.2. Vấn đề phân lớp các bài toán.................................................................................. 13
1.2.1. Tổng quan về sự phân lớp các bài toán ....................................................... 13
1.2.2. Khái niệm dẫn về đƣợc ................................................................................ 16
1.3. Lớp các bài toán P và NP ....................................................................................... 16
1.3.1. Một số khái niệm ......................................................................................... 16
1.3.2. Một số bài toán đã đƣợc chứng minh là NP – khó, NP - đầy đủ ................. 21
1.4. Thuật toán xấp xỉ .................................................................................................... 23
1.4.1. Các khái niệm .............................................................................................. 23
1.4.2. Thuật toán - xấp xỉ tuyệt đối .................................................................... 24
1.4.3. Thuật toán - xấp xỉ.................................................................................... 26
CHƢƠNG 2 ................................................................................................................... 28
LÝ THUYẾT LẬP LỊCH .............................................................................................. 28
2.1. Mơ hình bài tốn lập lịch ........................................................................................ 28
2.2. Các thuật toán lập lịch kinh điển ............................................................................ 32
2.3. Một số thuật toán lập lịch cho CPU ....................................................................... 34
2.3.1. Mơ hình bài tốn lập lịch cho CPU ............................................................. 34
2.3.2. Một số thuật toán lập lịch cho CPU ............................................................ 35
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
2.3.2.1. Lập lịch FCFS........................................................................................... 35
2.3.2.2. Lập lịch SJF .............................................................................................. 37
2.3.2.3. Lập lịch theo độ ƣu tiên ............................................................................ 40
2.3.2.4. Lập lịch RR............................................................................................... 43
2.3.2.5. Lập lịch với hàng đợi nhiều cấp ............................................................... 46
2.3.2.6. Lập lịch hàng đợi phản hồi đa cấp............................................................ 48
CHƢƠNG 3 ................................................................................................................... 51
KẾT QUẢ CÀI ĐẶT MỘT SỐ THUẬT TOÁN LẬP LỊCH CPU .............................. 51
3.1. Giới thiệu sơ lƣợc về ngơn ngữ lập trình C# và cơng cụ lập trình Visual Studio. ................ 51
3.1.1.Giới thiệu về ngơn ngữ lập trình C# ............................................................. 51
3.1.2. Giới thiệu về cơng cụ lập trình Visual Studio ............................................. 54
3.2. Phân tích thuật tốn cài đặt CPU ............................................................................ 56
3.2.1. Thuật toán FCFS.......................................................................................... 56
3.2.2 Thuật toán SJF .............................................................................................. 57
3.2.3. Thuật toán RR.............................................................................................. 59
3.2.4. Sơ đồ thuật toán CPU .................................................................................. 60
3.3. Kết quả cài đặt thuật toán CPU .............................................................................. 60
3.3.1. Các thành phần của chƣơng trình ................................................................ 60
3.3.2. Cấu trúc chi tiết ........................................................................................... 61
3.3.3. Sử dụng chƣơng trình. ................................................................................. 63
KẾT LUẬN ................................................................................................................... 66
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 67
PHỤ LỤC ...................................................................................................................... 68
I. Thuật toán cài đặt ....................................................................................................... 68
II. Các hàm và phƣơng thức cơ bản của chƣơng trình. ................................................. 77
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
LỜI NĨI ĐẦU
Máy tính điện tử ra đời vào những năm 40 của thế kỷ XX. Ban đầu, phạm vi sử
dụng máy tính cịn rất hẹp, đa phần chỉ nhằm phục vụ mục đích nghiên cứu khoa học.
Hơn nữa, để vận hành hệ thống cần phải sử dụng các công cụ phần cứng đặc biệt và
thao tác vận hành rất phức tạp.
Cùng phát triển song song với sự phát triển của kỹ thuật điện tử, các thế hệ máy
tính về sau đƣợc cải tiến ngày một tinh vi hơn, có tốc độ xử lý nhanh hơn, kích thƣớc
nhỏ gọn hơn, tiêu tốn ít năng lƣợng hơn và đã làm nên một cuộc cách mạng trong lĩnh
vực xử lý, tính tốn, điều khiển động…Với các hệ máy tính này địi hỏi phải có sự điều
khiển, vận hành một cách tự động để phát huy hiệu quả của nó một cách tối ƣu nhất.
Nhƣ vậy, cần phải có một chƣơng trình phần mềm đảm bảo việc giải quyết các vấn đề
trên. Đó chính là các hệ điều hành máy tính.
Mỗi hệ điều hành đều cần có thuật tốn lập lịch cho riêng chúng. Thuật toán thƣờng
đƣợc thực hiện để cân bằng cho hệ thống máy tính đƣợc hiệu quả. Sự cần thiết của thuật
toán lập lịch xuất phát từ yêu cầu cho hầu hết các hệ thống hiện đại để thực thi nhiều hơn
một công việc tại cùng một thời điểm và có thể truyền tải nhiều luồng dữ liệu một lúc. Trong
môi trƣờng thời gian thực, chẳng hạn nhƣ các hệ thống nhúng điều khiển tự động trong
ngành công nghiệp (Robot) thì lập lịch cũng phải đảm bảo rằng quá trình có thể đáp ứng
đúng thời hạn, điều này là rất quan trọng để giữ hệ thống ổn định.
Việc nghiên cứu các thuật toán lập lịch dành CPU này mở ra nhiều hƣớng mới
cho khoa học và ứng dụng của nó trong thực tiễn cuộc sống. Đƣợc sự đồng ý của Thầy
hƣớng dẫn, Em chọn đề tài “Lý thuyết lập lịch và ứng dụng giải quyết bài toán lập lịch
cho CPU” làm đề tài luận văn cao học. Nội dung chính của đề tài bao gồm:
Chƣơng 1: Trình bày một số khái niệm về thuật toán và các nguyên tắc đánh giá
độ phức tạp của thuật toán, vấn đề phân lớp các bài toán theo độ phức tạp của thuật
toán. Đầy là phần lý thuyết quan trọng làm cơ sở để nghiên cứu trong các chƣơng tiếp
sau của luận văn.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
Chƣơng 2: Trình bày lý thuyết cơ bản về bài toán lập lịch, các thuật toán giải bài
toán lập lịch cơ bản và trọng tâm là trình bày một số thuật tốn lập lịch cho CPU. Đây
chính là nội dung trọng tâm của luận văn
Chƣơng 3: Đƣa ra kết quả cài đặt các thuật toán lập lịch cho CPU trên nền ngôn
ngữ Visual Studio 10.
Nội dung đề tài là một lĩnh vực rộng và khó, với khoảng thời gian khơng nhiều
cùng với kiến thức của bản thân còn hạn chế, trong đề tài này mới chỉ đề cập đến việc
nghiên cứu thuật toán lập lịch chủ yếu là trên một máy và ứng dụng cho lập lịch CPU.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
CHƢƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ THUẬT TOÁN
VÀ ĐỘ PHỨC TẠP THUẬT TOÁN
Trong chƣơng 1, luận văn sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về thuật toán và
độ phức tạp thuật toán, vấn đề phân lớp các bài toán dựa trên độ phức tạp thuật toán.
Các kiến thức này đã đƣợc tham khảo trong các tài liệu [3], [4]. Đây là các kiến thức
quan trọng để trình bày tiếp các nội dung trong chƣơng 2 và chƣơng 3 của luận văn.
1.1. Khái niệm cơ bản
1.1.1. Thuật toán
Thuật toán để giải một bài toán là một dãy hữu hạn các thao tác đƣợc sắp xếp
theo một trình tự xác định sao cho sau khi thực hiện dãy thao tác đó, từ dữ liệu đầu vào
(Input) của bài tốn, ta nhận đƣợc kết quả (Output) cần tìm.
Ta đã biết 2 mơ hình tính tốn là máy Turing và máy xử lý thuật tốn viết bằng
ngơn ngữ tựa ALGOL. Ứng với hai mơ hình tính tốn này có 2 cách biểu diễn thuật
toán:
+ Thuật toán đƣợc biểu diễn bằng ngơn ngữ máy Turing.
+ Thuật tốn đƣợc biểu diễn bằng ngụn ng ta ALGOL.
1.1.2. Khái niệm về độ phức tạp tht to¸n.
a. Chi phí phải trả cho một q trình tính tốn
Trong q trình xử lý thuật tốn, ngƣời ta thƣờng quan tâm tới chi phí cho thời
gian tính tốn và chi phí cho khơng gian chứa dữ liệu tính tốn (bộ nhớ).
- Chi phí thời gian chính là tổng thời gian cần thiết để thực hiện xong một quá
trình tính tốn.
+ Với máy Turing: Chi phí thời gian là số bƣớc chuyển hình trạng từ hình trạng
đầu q0 đến hình trạng kết thúc qn .
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
+ Với thuật tốn tựa Algol: Chi phí thời gian là số các phép tính cơ bản cần thực
hiện trong q trình tính tốn.
- Chi phí khơng gian chính là số ơ nhớ cần để thực hiện hồn chỉnh trong q
trình tính tốn.
Gọi A là một thuật tốn tƣơng ứng với một mơ hình tính tốn, gọi e là bộ dữ liệu
vào đã đƣợc mã hóa theo cách nào đó. Khi đó thuật tốn A tính trên bộ dữ liệu e cần
phải trả về giá thời gian và giá không gian trong đó ta kí hiệu
+ t A (e ) là giá phải trả về thời gian tính tốn
+ lA (e ) là giá về không gian của bộ nhớ cần thiết sử dụng
Khi đó tổng giá phải trả của thuật tốn A tính trên bộ dữ liệu e chính bằng :
T(A)= t A (e ) + lA (e )
b. Các khái niệm về độ phức tạp của thuật toán
Độ phức tạp trong trƣờng hợp xấu nhất
Cho một thuật toán A với đầu vào n, khi đó:
- Độ phức tạp về bộ nhớ trong trƣờng hợp xấu nhất đƣợc định nghĩa là:
LA (n ) = max{lA (e) || | e | £ n } tức là chi phí lớn nhất về bộ nhớ.
- Độ phức tạp thời gian trong trƣờng hợp xấu nhất đƣợc định nghĩa là :
T A (n ) = max{t A (e) || | e | £ n } tức là chi phí lớn nhất về thời gian.
Độ phức tạp trung bình
Là tổng số các độ phức tạp khác nhau ứng với các bộ dữ liệu chia cho tổng số.
Độ phức tạp tiệm cận
Thuật toán A với đầu vào n gọi là có độ phức tạp O(f(n)) nếu $ hằng số C,
N 0 :T A (n ) £ C .f (n ), " n ³ N 0 tức là T A (n ) có tốc độ tăng là O(f(n))
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
Độ phức tạp đa thức (Polynomial)
Thuật toán đƣợc gọi là có độ phức tạp đa thức nếu tồn tại đa thức P(n) mà
T A (n ) £ C .P (n ), " n ³ N 0 .
Thuật toán đa thức
Thuật toán đƣợc gọi là đa thức nếu độ phức tạp về thời gian trong trƣờng hợp
xấu nhất của nó là đa thức.
Việc đánh giá đúng độ phức tạp của bài tốn là một vấn đề hết sức phức tạp. Vì
vậy ngƣời ta thƣờng quan tâm đến việc đánh giá độ phức tạp thời gian trong trƣờng
hợp xấu nhất của bài tốn.
Một số quy ước kí hiệu về độ phức tạp thuật tốn
Kí hiệu
Độ phức tạp
O(1)
Độ phức tạp hằng số
O(log n )
Độ phức tạp logarit
O(n )
Độ phức tạp n
O(n log n )
Độ phức tạp nlogn
O (n k )
Độ phức tạp đa thức
O (2n )
Độ phức tạp hàm mũ
O(n !)
Độ phức tạp giai thừa
Ghi chú
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
1.1.3. Cách tính độ phức tạp
a. Các quy tắc cơ bản
Quy tắc cộng: Nếu T1(n) và T2(n) là thời gian thực hiện 2 chương trình P1, P2
và T1(n)=O(f(n)), T2(n)=O(g(n)) thì thời gian thực hiện của đoạn 2 chương trình đó
nối tiếp nhau là T(n)=O(max(f(n),g(n))
Quy tắc nhân: Nếu T1(n) và T2(n) là thời gian thực hiện 2 đoạn chương trình
P1, P2 và T1(n)=O(f(n)), T2(n)=O(g(n)) thì thời gian thực hiện của 2 đoạn chương trình
đó lồng nhau là T(n)=O(f(n).g(n)).
Quy tắc tổng qt để phân tích một chƣơng trình
- Thời gian thực hiện của mỗi lệnh gán, READ, WRITE là O(1)
- Thời gian thực hiện của một chuỗi tuần tự các lệnh đƣợc xác định bằng quy tắc
cộng,thời gian này là thời gian thi hành một lệnh nào đó lâu nhất trong chuỗi lệnh.
- Thời gian thực hiên cấu trúc IF là thời gian lớn nhất thực hiện câu lệnh sau
THEN hoặc ELSE và thời gian kiểm tra điều kiện, thƣờng là thời gian kiểm tra điều
kiện là O(1).
- Thời gian thực hiện vòng lặp là tổng (trên tất cả các lần lặp) thời gian thực
hiện thân vòng lặp. Nếu thời gian thực hiện thân vịng lặp khơng đổi thì thời gian thực
hiện vịng lặp là tích số lần lặp với thời gian thực hiện thân vòng lặp.
Chú ý: Độ phức tạp thuật tốn khơng chỉ phụ thuộc vào kích thƣớc, thời gian
mà cịn phụ thuộc vào tính chất của dữ liệu vào.
c. Độ phức tạp của các chƣơng trình đệ quy
Với các chƣơng trình chƣơng trình đệ quy, trƣớc hết ta cần thành lập các
phƣơng trình đệ quy, sau đó giải các phƣơng trình đệ quy. Nghiệm của phƣơng trình đệ
quy là thời gian thực hiện chƣơng trình đệ quy đó.
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
Thành lập phƣơng trình đệ quy:
Phƣơng trình đệ quy là một phƣơng trình biểu diễn mối liên hệ giữa T(n) và
T(k) trong đó:
T(n) là thời gian thực hiện với kích thƣớc dữ liệu nhập là n,
T(k) là thời gian thực hiện với kích thƣớc dữ liệu nhập là k, k
Phƣơng pháp truy hồi:
Dùng đệ quy để thay thế bất kì T(m) với m
hằng nên ta có cơng thức của T(n) chứa các số hạng chỉ liên quan tới n và các hằng số.
Định lý: (Về nghiệm của phƣơng trình truy hồi)
Cho a, b, c nguyên, dƣơng. Khi đó nghiệm của phƣơng trình truy hồi:
ìï b nÕu n = 1
ï
T (n ) = ïí
ïï aT( n ) + bn nÕu n > 1, n = c k
ïïỵ
c
Có dạng:
ìï O (n ) nÕu a < c
ïï
T(n) = T (n ) = ïí O (n logc n ) nÕu a = c
ïï
ïï O(n logca ) nÕu a > c
ïỵ
1.2. Vấn đề phân lớp các bài toán
1.2.1. Tổng quan về sự phân lớp các bài tốn
Độ phức tạp của thuật tốn chính là yếu tố cơ sở để phân loại vấn đề bài toán.
Một cách tổng qt, mọi bài tốn đều có thể chia làm 2 lớp lớn là: giải đƣợc và không
giải đƣợc. Lớp giải đƣợc chia làm 2 lớp con. Lớp con đầu tiên là các bài tốn có độ
phức tạp đa thức: nghĩa là bài tốn có thể giải đƣợc bằng thuật tốn có độ phức tạp đa
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
thức (hay nói ngắn gọn: lớp đa thức) đƣợc xem là có lời giải thực tế. Lớp con thứ hai là
những bài tốn có độ phức tạp khơng phải là đa thức mà lời giải của nó đƣợc xem là
thực tế chỉ cho những số liệu đầu vào có chọn lựa cẩn thận và tƣơng đối nhỏ. Cuối
cùng là những bài toán thuộc loại NP chƣa phân loại một cách chính xác là thuộc lớp
bài tốn có độ phức tạp đa thức hay có độ phức tạp khơng đa thức.
Do đó, ta có sự phân lớp các bài tốn do 2 tác giả Cook và Karp đề xuất năm
1970-1971 nhƣ sau:
a. Lớp bài tốn có độ phức tạp đa thức (lớp P) : Là lớp các bài tốn có thể giải đƣợc
bằng thuật toán đơn định trong thời gian đa thức (Deterministic polynomial).
Lớp bài tốn có độ phức tạp đa thức là lớp bài tốn có độ phức tạp là O(nk) hoặc
nhỏ hơn O(nk). Chẳng hạn nhƣ các bài toán có độ phức tạp là O(nlog2n) đƣợc xem là
các bài tốn thuộc lớp đa thức vì nlog2n bị chặn bởi n2. Nhƣ vậy các bài tốn có độ
phức tạp hằng O(1), phức tạp tuyến tính O(n) và logarit O(nlog an) đều là các bài tốn
thuộc lớp đa thức. Cịn các bài tốn có độ phức tạp lũy thừa O(an) hoặc giai thừa O(n!)
là không thuộc lớp đa thức.
Tuy độ phức tạp chỉ là số đo về độ tăng chi phí ứng với độ tăng của dữ liệu đầu
vào nhƣng nó cũng cho chúng ta một đánh giá tƣơng đối về thời gian thực hiện thuật
toán. Các thuật toán thuộc lớp đa thức đƣợc xem là các bài tốn có lời giải thực tế. Lời
giải thực tế đƣợc hiểu rằng là chi phí về mặt thời gian và khơng gian cho việc giải bài
toán là chấp nhận đƣợc trong điều kiện hiện tại. Bất kỳ một bài tốn nào khơng thuộc
lớp này thì đều có chi phí rất lớn.
Chính vì lý do này, một bài tốn đƣợc xem là có thể giải đƣợc trên thực tế hay
không phụ thuộc vào độ phức tạp của bài tốn có phải là đa thức hay khơng.
b. Lớp bài tốn có độ phức tạp trên đa thức
Trong thực tế, nhiều bài tốn thực sự có lời giải lại khơng thuộc lớp của bài tốn
đa thức. Ví dụ: Cho một tập hợp có n phần tử, hãy liệt kê tất cả các tập con khác trống
của tập hợp này. Bằng toán học, ngƣời ta đã chứng minh đƣợc rằng số tập con của một
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
tập hợp có n phần tử là 2n-1. Lời giải tuy đã có nhƣng khi thể hiện lời giải này bằng bất
kỳ thuật tốn nào thì phải tốn ít nhất 2n-1 bƣớc. Dễ thấy rằng độ phức tạp của bài tốn
này cỡ O(2n). Nhƣ vậy bài tốn này khơng thuộc lớp của bài toán đa thức. Với n vào
khoảng 16, số bƣớc cần thiết chỉ khoảng vài chục ngàn là hồn tồn giải đƣợc trên các
máy tính hiện nay. Nhƣng khi phần tử lên tới 32 thì ta đã tốn một số bƣớc lên tới 4 tỷ,
chỉ thêm một phần tử nữa thôi chúng ta lại tốn thêm 8 tỷ bƣớc. Với số lƣợng bƣớc nhƣ
vậy, du chạy trên một siêu máy tính cũng phải tốn một thời gian đáng kể. Các bài tốn
khơng thuộc lớp đa thức chỉ giải đƣợc với một độ lớn dữ liệu đầu vào nhất định.
Định nghĩa
Một bài tốn đƣợc giải bằng thuật tốn khơng đơn định đa thức đƣợc gọi là bài
toán thuộc lớp NP.
Theo định nghĩa trên thì bài tốn ngƣời bán hàng là bài toán thuộc lớp NP. Cho
đến nay ngƣời ta chƣa chứng minh đƣợc rằng tồn tại hay không một thuật tốn tự
quyết có độ phức tạp đa thức cho bài tốn ngƣời bán hàng rong. Vì vậy, bài tốn này
(là một bài toán NP) chƣa thể xếp đƣợc vào lớp đa thức. Do đó, lớp bài tốn NP chƣa
thể phân loại thuộc lớp đa thức hay không.
Dĩ nhiên, lớp bài toán NP cũng chứa những bài toán thuộc lớp đa thức thực sự,
bởi vì nếu một bài tốn đƣợc giải bằng thuật tốn tự quyết có độ phức tạp đa thức thì
chắc chắn khi dùng thuật tốn khơng tự quyết thì cũng sẽ có độ phức tạp đa thức.
Nhƣ vậy P NP.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
Nhƣng hiện nay chƣa chứng minh đƣợc P là tập con thực sự của NP, vấn đề P =
NP hay không hiện là một trong số các vấn đề mở nổi tiếng nhất và cũng đắt giá nhất
trong Toán học và trong Tin học lý thuyết.
1.2.2. Khái niệm dẫn về đƣợc
Cho hai bài toán A, B
Định nghĩa 1: Bài toán A được gọi là dẫn về được bài toán B sau thời gian đa
thức nếu có một thuật tốn đa thức để giải bài tốn B thì cũng có một thuật toán đa
thức để giải bài toán A.
Nghĩa là: Bài tốn B “khó hơn” bài tốn A hay A “dễ hơn” B hay A là trƣờng
hợp riêng của B. Kí hiệu A B.
Phép quy dẫn có tính chất bắc cầu: A B và B C A C.
Tƣ tƣởng quy dẫn đã giải thích vai trị quan trọng của lớp bài tốn P. Nếu ta có
bài toán A thuộc lớp P và một bài toán B có thể quy dẫn về A, thế thì B cũng thuộc vào
P. Nghĩa là P là đóng đối với phép quy dẫn.
Định nghĩa 2 : Bài toán A được gọi là “khó tương đương” bài tốn B nếu A B
và B A. Kí hiệu A ~ B.
1.3. Lớp các bài toán P và NP
1.3.1. Một số khái niệm
a. Bài toán quyết định: Bài toán quyết định là bài tốn mà đầu ra chỉ có thể là “Yes”
hoặc “No” (Đúng/sai, 0/1, chấp nhận/từ chối).
Ví dụ: Bài tốn về tính nguyên tố: ” Hỏi số nguyên n có là số ngun tố hay
khơng?”. Khi đó ta có n = 23 là bộ dữ liệu vào “Yes”, còn n = 24 là bộ dữ liệu vào “
No” của bài toán.
b. Bài tốn NP – Khó (NP – Hard)
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
Bài tốn A được gọi là NP- khó nếu như tồn tại thuật toán đa thức để giải bài
toán A thì kéo theo sự tồn tại thuật tốn đa thức để giải mọi bài toán trong NP.
Hay: A là NP – Khó nếu nhƣ B A, với mọi bài tốn B NP
Một cách khơng hình thức, có thể nói rằng nếu ta có thể giải đƣợc một cách hiệu
quả một bài tốn NP – Khó cụ thể thì ta cũng có thể giải hiệu quả bất kỳ bài toán nào
trong NP bằng cách sử dụng thuật toán giải bài tốn NP-Khó nhƣ là một chƣơng trình
con.
c. Bài tốn NP - đầy đủ (NP – complete, NPC)
Một bài toán quyết định A đƣợc gọi là NP - đầy đủ nếu nhƣ
i) A là bài toán trong NP,
ii) Mọi bài tốn trong NP đều có thể quy dẫn về A.
Lƣu ý: Khái niệm NP - đầy đủ đòi hỏi bài tốn nhất thiết phải có dạng quyết
định.
Ta có bức tranh tạm thời đầy đủ về phân lớp các bài toán trờn hỡnh sau:
NP
NPC
NP-khú
P
Hình 1: Sự phân lớp các bài toán
d. Phƣơng pháp chứng minh một bài toán là NP - đầy đủ
- Cách 1: Theo định nghĩa (rất khó).
- Cách 2: áp dụng bổ đề sau:
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
Bổ đề: Giả sử bài toán A là NP - đầy đủ, bài toán B thuộc NP và bài toán A quy
dẫn về B. Khi đó bài tốn B cũng là NP - đầy đủ.
Ví dụ: Bài tốn xếp balơ(KNASPACK) NPC Chứng minh bài toán lập lịch
NPC.
Bài tốn lập lịch (Bài tốn phạt):
Input: Có n cơng việc xử lý trên một máy.
ri : Thời điểm bắt đầu cơng việc xử lý i
d i : Hạn định hồn thành công việc i.
t i : Thời gian xử lý công việc i, t i £ di - ri
bi : Thời gian bắt đầu xử lý.
ci : Thời gian kết thúc công việc i, t i = ci - bi
nếu ci £ di , công việc i là xử lý đúng hạn.
nếu ci > di , công việc i là xử lý quá hạn(bị phạt).
wi : Tiền phạt.
Output: Hãy sắp xếp các công việc theo một thứ tự nhất định để theo đó chờ đến
lƣợt xử lý, sao cho lƣợng tiền phạt là ít nhất.
Kí hiệu
ìï 0
U i = ïí
ïï 1
ỵ
Khi đó u cầu :
nếu
nếu
ci £ d i
(đúng hạn)
(q hạn)
ci > d i
n
å
U i Wi ® min
i= 1
n
Ta có thể viết bài toán trên ngắn gọn nhƣ sau : n | 1 | å U i Wi , kí hiệu là phạt.
i= 1
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
Bài toán này rõ ràng là giải đƣợc bằng phƣơng pháp “vét tồn bộ”. Nhƣng thực
tế khó giải vì nó thuộc lớp NP_đầy đủ.
Để chứng minh bài toán “phạt” là NP - đầy đủ, chỉ cần chứng minh rằng bài
toán KNAPSACK là bài tốn phạt vì ta đã biết KNAPSACK là NP_đầy đủ. Nói một
cách khác KNAPSACK là trƣờng hợp riêng của bài toán phạt.
Nhắc lại bài toán KNAPSACK:
Input: n đồ vật với thể tích a1,a2,…an cần nhét vào balơ có thể tích B.
Output: Tìm nhóm đồ vật có thể nhét vừa balơ trên.
($ T Í {1, 2,..., n } mà
å
iỴ T
ai = B )
Để chứng minh KNAPSACK bài tốn phạt trƣớc hết ta diễn đạt nó bằng ngơn
ngữ của bài tốn phạt. Cụ thể mỗi vật i ở KNAPSACK đƣợc xem là một cơng việc
trong bài tốn phạt, chúng đồng thời đƣợc nhập vào hệ thống. Mọi cơng việc có hạn
định nhƣ nhau và bằng B. Thời gian t i thực hiện công việc i bằng tiền phạt w i và bằng
thể tích a i của vật.
Tóm lại ta có thể biểu diễn bài tốn nhƣ sau:
Input:
- n công việc đồng thời đƣợc xử lý ri = 0, " i = 1, 2,..., n
- mỗi công việc i ( 1 £ i £ n ) đƣợc biết di = B , t i = wi = ai , " i = 1, 2,..., n
- máy làm việc liên tục cho đến khi mọi công việc đƣợc xử lý xong.
- tại mỗi thời điểm máy chỉ xử lý đƣợc một công việc.
- khi đang xử lý công việc i, khơng đƣợc phép ngắt nó để thực hiện một cơng
việc khác.
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
Output: Hãy lập lịch để máy xử lý các công việc sao cho lƣợng tiền phạt là ít
nhất:
n
å
U i Wi là nhỏ nhất.
i= 1
Chứng minh:
Giải đƣợc bài toán phạt bằng thuật tốn đơn định đa thức thì cũng giải đƣợc
KNAPSACK bằng thuật toán đơn định đa thức và ngƣợc lại.
Giả sử giải đƣợc bài toán phạt tức là lịch biểu mà
n
å
WiU i là nhỏ nhất, vậy thì:
i= 1
n
å
i= 1
n
WiU i =
å
ai - b
i= 1
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
å
bi =
ri = 0 b
å
ai =
å
i= 1
n
Hay b =
å
i= 1
ai -
å
iỴ S
ai =
å
iỴ T
å
di = b
n
Suy ra $ S Í {1, 2,..., n } mà
WiU i =
å
å
iỴ S
wi
ai - b
ai =
å
ai - b
ai với T={1,2,…,n}- S. Nhƣ vậy KNAPSACK đã
giải đƣợc.
Ngƣợc lại, giả sử KNAPSACK đã giải đƣợc, tức là $ T Í {1, 2,..., n } mà
å
a i = b hay
å
ai =
iỴ T
iỴ T
n
å
i= 1
ai -
å
iỴ S
ai = b , nhƣ vậy
n
å
i= 1
n
ai -
å
n
WiU i = b Þ
i= 1
å
i= 1
n
WiU i =
å
ai - b , đây là
i= 1
lƣợng tiền nhỏ nhất và bài toán phạt đã giải đƣợc.
Chú ý: Nếu tất cả n cơng việc đều q hạn thì lƣợng tiền phạt lớn nhất là
n
å
ai
i= 1
1.3.2. Một số bài tốn đã đƣợc chứng minh là NP – khó, NP - đầy đủ
Để chứng minh một bài tốn nào đó là NP - đầy đủ (NP-khó) cơng việc khó
khăn nhất là tìm đƣợc một bài tốn NP - đầy đủ có thể quy dẫn về nó. Do đó ta cần biết
thêm về những bài toán đã đƣợc chứng minh là NP - đầy đủ, cho đến nay danh mục các
bài toán NPC trong các lĩnh vực rất đa dạng: Logic Bool, đồ thị, số học, lập lịch, trò
chơi, otomat…đã lên đến hàng nghìn. Sau đây là một số bài tốn đã đƣợc chứng minh
là NPC:
a. Bài tốn 3-SAT.
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
Xét các biểu thức Bool là hội của các mệnh đề mà mỗi mệnh đề là tuyển của
đúng 3 toán hạng, mỗi toán hạng là một biến Bool(x) hoặc phủ định của nó (x ) . Biểu
thức Bool có dạng nhƣ vậy đƣợc gọi là công thức 3-CNF (dạng chuẩn tắc hội 3 –
conjunctive normal form).
Ví dụ: Biểu thức
( x y z) ( x y z ) ( x y z) ( x z u)
Là một 3 - CNF chứa 4 biến Bun x, y, z, u.
Bài toán 3-SAT: Cho một cơng thức 3-CNF, hỏi rằng có tồn tại một bộ
giá trị của các biến sao cho biểu thức nhận giá trị TRUE hay khơng?
b. Bài tốn về bè lớn nhất của đồ thị (MaxClique):
Cho đồ thị vô hƣớng G = (V, E). Một đồ thị con đầy đủ của đồ thị G đƣợc gọi là
bè (clique). Ta gọi kích thƣớc của bè là số đỉnh của nó. Bè của đồ thị G với kích thƣớc
lớn nhất đƣợc gọi là bè lớn nhất(MaxClique)
Ví dụ :
3
1
5
2
4
Hình 2 :
a. MaxClique kích thước 3
b. MaxClique kích thước 4
c. Bài tốn Hành trình của ngƣời du lịch(Traveling Salesman Problem – TSP)
Input: Cho n thành phố T1, T2, …, Tn. Biết chi phí từ thành phố Ti đến thành phố
Tj là Cij
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
Output: Hãy tìm một hành trình ngắn nhất cho ngƣời du lịch, xuất phát từ một
thành phố đi thăm tất cả các thành phố còn lại, mỗi thành phố đúng một lần rồi quay
trở về thành phố ban đầu.
1.4. Thuật toán xấp xỉ
1.4.1. Các khái niệm
Ngƣời ta cho rằng ngày nay máy tính với tốc độ rất lớn, khơng cần quan tâm
nhiều tới thuật toán nhanh nhƣng với sự kiểm chứng sau đây: Bài toán xử lý với n đối
tƣợng, có 3 thuật tốn với 3 mức phức tạp khác nhau, sau 1 giờ xử lý sẽ có 3 kết quả
khác nhau.
Thuật toán
A
B
C
Độ phức tạp
O(n)
O(nlog2n)
O(2n)
Xử lý/ 1 giờ
3,6 triệu đối tƣợng
0,2 triệu đối tƣợng
21 đối tƣợng
Trong khi đó nhiều bài tốn có ý nghĩa thực tế lại thuộc lớp các bài toán NPC và
rất quan trọng. Nếu một bài toán là NPC ta sẽ khơng tìm một thuật tốn thời gian đa
thức . Vì vậy, có hai cách tiếp cận để có thể khắc phục tính NPC:
- Nếu dữ liệu đầu vào thực tế là nhỏ thì một thuật tốn có thời gian thực hiện
hàm mũ có thể hồn tồn thoả mãn.
- Tìm các giải pháp gần tối ƣu trong thời gian đa thức.
Một thuật toán trả về các kết qủa gần tối ƣu đƣợc gọi là một thuật toán xấp xỉ.
Ta có các khái niệm sau đây:
Thuật tốn tối ưu nhanh: Là thuật tốn tìm nghiệm tối ƣu, nhƣng nhanh (độ
phức tạp thời gian là đa thức).
23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
Thuật tốn tối ưu chậm: Là thuật tốn tìm nghiệm tối ƣu nhƣng chậm (độ
phức tạp thời gian là hàm mũ).
Thuật toán xấp xỉ nhanh (Fasf Approximation Algorithms). Là các thuật tốn
tìm ra nghiệm gần đúng của bài tốn với độ chính xác nào đó nhƣng đủ nhanh. Thuật
tốn nhƣ vậy cịn đƣợc gọi là “Thuật tốn xấp xỉ đa thức”.
1.4.2. Thuật toán - xấp xỉ tuyệt đối
Cho P là bài tốn cực đại hóa:
Gọi H là thủ tục Heuristic, thuật tốn tìm một nghiệm nào đó cho P
Kí hiệu OPT(I) là nghiệm tối ƣu của bài tốn P đối với thể hiện I.
Kí hiệu H(I) là nghiệm gần đúng của P do thuật tốn H tìm ra.
Cho >0, thủ tục Heuristic H đƣợc gọi là thuật toán - xấp xỉ tuyệt đối khi và
chỉ khi OPT ( I ) H ( I ) cho mọi thể hiện I của bài toán P (I: instance) với bộ dữ
liệu.
Ví dụ: Bài tốn lưu trữ tối đa số lượng chương trình (maximum program stored)
Input :
- n chƣơng trình với dung lƣợng nhớ (độ dài) d1,d2,…, dn
- Hai băng nhớ với dung lƣơng (độ dài) mỗi băng là L.
Output: Hãy ghi các chƣơng trình lên 2 băng nhớ với số lƣợng tối đa, mỗi
chƣơng trình chỉ đƣợc ghi trên một băng nhớ.
Bài tốn này đã đƣợc chứng minh là NP - đầy đủ. Vì vậy viêc tìm thuật tốn đa
thức cho nó là ít hi vọng.
Ngƣời ta đã dùng giải pháp tìm thuật tốn xấp xỉ nhanh cho phép tìm đƣợc
nghiệm gần đúng của nó nhƣng chỉ mất thời gian đa thức.
Chú ý: Mục đích muốn chỉ trên 2 băng nhớ có độ dài L mà lƣu trữ đƣợc tối đa
các chƣơng trình. Theo suy nghĩ thơng thƣờng thì hãy ƣu tiên các chƣơng trình có độ
24
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
dài ngắn hơn, vì vậy đầu tiên là sắp xếp các chƣơng trình theo thứ tự tăng dần các độ
dài của chúng. Tiếp theo lần lƣợt xếp theo thứ tự này lên từng băng nhớ một. Do 2
băng nhớ có độ dài nhƣ nhau nên dùng băng nào trƣớc cũng đƣợc. Theo thuật tốn trên
thì dùng băng 1 trƣớc. Biến “dodai” ghi lại tổng độ dài băng nhớ dùng để lƣu các
chƣơng trình.
Bài tốn này cịn đƣợc gọi là bài tốn cắt n đoạn sắt từ 2 thanh sắt có cùng độ
dài L sao cho số lƣợng đoạn sắt cắt ra là nhiều nhất (Chặt sắt - Cutting problem).
Chứng minh |OPT(I) - H(I)| 1
- Đặt k = H(I) là nghiệm của thuật toán Heurtstic k là số lƣợng chƣơng trình
đƣợc lƣu trữ trên 2 băng nhớ theo cách sắp đặt của thuật toán xấp xỉ trên.
- Gọi p là số lƣợng chƣơng trình đƣợc ghi trên 1 băng nhớ có độ dài bằng 2 băng
nói trên. Nhƣ vậy k OPT(I) p và
p
d
i 1
i
2L
(1)
Ta chứng minh OPT ( I ) H ( I ) 1 OPT(I) – k 1 OPT (I ) k+1 (2)
Theo (1) thì chỉ cần chứng minh p k+1 là đủ vì khi đó OPT ( I ) p k+1.
Chứng minh bằng phản chứng:
k 2
p
i 1
i 1
Giả sử p>k+1 p k+2 d i d i 2L (3).
Gọi m là số lƣợng chƣơng trình đƣợc ghi trên một băng theo thuật tốn xấp xỉ
trên. Khi đó :
m
m
i 1
i 1
di dm 1 L di dk 1 L
Tƣơng tự trên băng nhớ 2 :
k
d i d k 1 L
i m 1
k 2
Từ (4), (5) ta có :
d
i 1
i
(4)
k
d
i m 1
i
d k 2 L (5)
2 L mâu thuẫn với (3) p k 1 (đpcm).
Độ phức tạp thời gian của thuật tốn:
25
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
