Bài toán biên giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ HUYỀN

BÀI TỐN BIÊN-GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CHO
PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH
CẤP HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ HUYỀN

BÀI TỐN BIÊN-GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CHO
PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH
CẤP HAI

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN

Thái Nguyên - 2015


i

Mục lục

Mở đầu

1

1

Một số kiến thức liên quan

4

1.1

Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Không gian L2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Không gian W2m (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Không gian W m, (QT ) . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Bất đẳng thức tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2
2

Bài toán biên-giá trị ban đầu của phương trình parabolic

7

2.1

Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.1

Khái niệm phương trình parabolic . . . . . . . . . .

7

2.1.2

Dạng của phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . .

9

2.1.3

∆,1
Nghiệm suy rộng thuộc W2,0
(QT ) của bài toán biên-

giá trị ban đầu thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.4

Nghiệm suy rộng thuộc L2 (QT ) của bài toán biêngiá trị ban đầu thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.5

Nghiệm suy rộng thuộc V21,0 (QT ) của bài toán biêngiá trị ban đầu thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2

Phương trình parabolic dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1

Phương trình parabolic tổng qt dạng bảo tồn . . . 20


ii

2.3

2.2.2

Sự tồn tại nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.3

Tính duy nhất của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . 25

Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai và thứ ba . . . . . . . . 26
2.3.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.2

Định nghĩa nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá
trị ban đầu thứ hai và thứ ba . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.3

2.4

Sự tồn tại nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 27

Bất đẳng thức cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Kết luận

34

Tài liệu tham khảo

35


1

Mở đầu
1

Lý do chọn đề tài
Trong chương trình của bậc đại học, bước đầu chúng ta đã được làm

quen với mơn phương trình đạo hàm riêng. Trong đó, ta đã biết được các vấn
đề cơ bản liên quan đến phương trình Laplace, phương trình truyền sóng,
phương trình truyền nhiệt. Đó là các phương trình đơn giản lần lượt đại diện
cho ba lớp phương trình đạo hàm riêng là phương trình elliptic, hypebolic
và parabolic. Khi học ta thấy rằng, điều kiện tồn tại nghiệm theo nghĩ thơng
thường địi hỏi khá nhiều yếu tố khắt khe như tính trơn của phương trình,
điều này gây khó khăn khi xét các bài tốn đối với phương trình trên những

miền bất kỳ hoặc đối với những bài tốn của các phương trình tổng qt hơn.
Để khắc phục điều này, thay vì đi tìm nghiệm cổ điển, người ta đi tìm nghiệm
suy rộng, tức là nghiệm có độ khả vi khơng cao. Sau đó nhờ các cơng cụ của
giải thích hàm, người ta nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và độ trơn của
nghiệm suy rộng. Chính vì vậy, phương trình đạo hàm riêng cịn là vấn đề
rất mới mẻ và bí ẩn kích thích sự u thích của những sinh viên u thích
nó. Nhằm góp phần giúp những bạn sinh viên và những độc giả u mơn
phương trình đạo hàm riêng nói chung và bản thân tác giả nói riêng hiểu sâu
hơn về mơn học này và tiếp tục tìm hiểu khám phá, tơi mạnh dạn nghiên cứu
đề tài: “Bài toán biên giá trị ban đầu của phương trình parabolic cấp hai”.


2

2
2.1

Đối tượng - Phương pháp - Phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với

phương trình parabolic cấp hai
2.2

Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệu

trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp, diễn giải, làm rõ và trình bày một hệ thống
để giải quyết các vấn đề đặt ra của luận văn.
2.3

Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu của luận văn là phương trình parabolic tuyến tính

cấp hai.

3
3.1

Mục đích - nhiệm vụ và những đóng góp của luận văn
Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu sâu hơn về mơn phương

trình đạo hàm riêng, cụ thể là phương trình parabolic cấp hai. Đóng góp
thêm một tài liệu tham khảo cho giảng viên, sinh viên và tất cả những ai
quan tâm đến môn phương trình đạo hàm riêng.
3.2

Nhiệm vụ của luận văn
Với mục đích đặt ra, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu về

bài toán biên-giá trị ban đầu đối với phương trình parabolic cấp hai. Luận
văn gồm hai chương:


3
• Chương 1. Một số kiến thức liên quan mơ tả một số khơng gian Sobolev
thích hợp đối với nghiệm của phương trình parabolic.
• Chương 2. Bài tốn biên-giá trị ban đầu của phương trình parabolic
trình bày khái niệm phương trình parabolic nói chung và phương trình

truyền nhiệt nói riêng, phát biểu bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất,
đưa vào xét nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất
đối với phương trình truyền nhiệt. Ngồi ra chương hai trình bày các
định lý về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng bài toán biên-giá
trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tổng qt dạng bảo
tồn, nghiệm suy rộng của bài tốn biên-giá trị ban đầu thứ hai và thứ
ba.
Tài liệu tham khảo chính của luận văn là tài liệu [1], trong đó trình bày các
loại nghiệm suy rộng của phương trình parabolic. Khi các nghiệm suy rộng
là các hàm trơn thì chúng là nghiệm cổ điển của các phương trình này mà
được nghiên cứu trong [2].
3.3

Những đóng góp của luận văn
Đóng góp nổi bật của luận văn là cung cấp được các khái niệm và kết quả

chuyên sâu về nghiệm suy rộng của phương trình parabolic cấp hai dạng bảo
tồn. Đó là các khái niệm mới như: định nghĩa đạo hàm riêng suy rộng, các
khơng gian Sobolev. Đặc biệt nó giúp ta có một phương pháp mới đi nghiên
cứu bài tốn biên-giá trị ban đầu đối với phương trình parabolic cấp hai.


4

Chương 1

Một số kiến thức liên quan
Các kiến thức cơ sở trong chương này đều được lấy từ tài liệu [1].

1.1

Không gian Sobolev

1.1.1

Không gian L2 (Ω)

Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Ω với tích vơ
hướng
( f (x), g(x))L2 (Ω) =

f (x)g(x)dx.
Ω

và chuẩn tương ứng
1/2

f

1.1.2

L2 (Ω)

2

| f (x)| dx

=

.

Ω

Không gian W2m (Ω)

Giả sử m là các số tự nhiên ta kí hiệu W2m (Ω) là không gian Sobolev gồm
tất cả các hàm u(x) ∈ L2 (Ω), sao cho tất cả các đạo hàm suy rộng theo x đến
cấp m thuộc L2 (Ω). Không gian W2m (Ω) là không gian Banach với chuẩn sau
u

2
W2m (Ω)

=

∑

|Dα u|2 dx

|α|≤m Ω

trong đó
α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Nn

là đa chỉ số;

(1.1)


5

Dα = Dα1 Dα2 . . . Dαn ,

D = (D1 , D2 , . . . , Dn ),

Dj =

∂
.
∂xj

Khơng khó khăn khi có thể kiểm tra W2m (Ω) là một khơng gian Hilbert với
tích vơ hướng
(u, v)W2m (Ω) =

1.1.3

∑

Dα uDα vdx.

|α|≤m Ω

Không gian W m, (QT )

Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn với biên ∂ Ω và T = const > 0.
Kí hiệu
QT = Ω × (0, T ) = {(x,t) : x ∈ Ω, t ∈ (0; T )}
và được gọi là miền trụ đáy Ω.
Giả sử m, là các số tự nhiên ta kí hiệu W m, (QT ) là khơng gian Sobolev
gồm tất cả các hàm u(x,t) ∈ L2 (QT ), sao cho tất cả các đạo hàm suy rộng

theo x đến cấp m và theo t đến cấp thuộc L2 (QT ). Không gian W m, (QT )
là không gian Banach với chuẩn
2

u

2
W m, (QT )

=

∑

|α|≤m QT

|Dα u|2 dxdt + ∑

k=1 QT

∂ ku
dxdt.
∂t k

(1.2)

Trường hợp = 0 số hạng thứ hai trong vế phải của (1.2) coi như khơng có.
Khơng khó khăn khi có thể kiểm tra W2m, (QT ) là một khơng gian Hilbert
với tích vơ hướng
(u, v)W m, (Q ) =
2

T

∑

|α|≤m QT

α

α

D uD vdxdt + ∑

k=1 QT

∂ ku ∂ kv
dxdt.
∂t k ∂t k


6

1.2

Bất đẳng thức tích phân

Giả sử y(t) là hàm khơng âm và hoàn toàn liên tục trên [0, T ] và với hầu
hết t trong [0, T ] thỏa mãn bất đẳng thức
dy(t)
≤ c1 (t)y(t) + c2 (t),

dt

(1.3)

ở đó ci (t) là khả tích khơng âm trên [0, T ]. Khi đó với mọi t, 0 ≤ t ≤ T ta có
đánh giá sau đây đối với y(t)
t

y(t) ≤ exp
0
t

≤ exp
0

t

c1 (t)dt

y(0) +

c1 (t)dt

y(0) +

0
t
0

Thật vậy, nếu ta nhân (1.3) với exp −

ξ

c1 (ξ ) exp −

0

c1 (t)dt dξ
(1.4)

c2 (t)dt .

t
0 c1 (t)dt

, ta có thể viết kết quả dưới

dạng
d
y(t) exp −
dt

t

t
0

c1 (t)dt

≤ c2 (t) exp −

0

c1 (t)dt .

(1.5)

và nếu ta tích phân hai vế của (1.5) từ 0 đến t thì sẽ suy ra (1.4).
Nếu c1 (t) = c1 = const > 0 và c2 (·) là một hàm số khơng giảm trên t thì
từ (1.2) và (1.4) ta có các bất đẳng thức sau
y (t) ≤ ec11t [c1 y(0) + c2 (t)]
c1 t
y(t) ≤ ec11t y(0) + c−1
1 c2 (t)[e − 1].

(1.6)


7

Chương 2

Bài tốn biên-giá trị ban đầu của
phương trình parabolic
2.1
2.1.1

Phương trình truyền nhiệt
Khái niệm phương trình parabolic

Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn+1 , x = (x1 , x2 , . . . , xn , xn + 1) ∈ Ω.
Như chúng ta đã biết, phương trình
n+1

Mu ≡

n+1

ai, j (x)uxi x j +

∑

i, j=1

∑ ai(x)ux + a(x)u = f
i

(2.1)

i=1

được gọi là parabolic tại điểm x0 nếu trong tọa độ mới
n+1

yi =

∑ βi j x j ,

i = 1, 2, . . . , n, n + 1

j=1

mà trong đó βi j aki β j = λk (x0 )δk , nó đưa về dạng
n+1

n+1

0

∑ λk (x )uy y

k k

+

k=1

∑ bk (x0)uy

k

+ b(x0 )u = f (x0 ),

(2.2)

k=1

tại điểm x0 mà ở đó một trong λk (x0 ) (chẳng hạn λn+1 (x0 )) bằng 0, trong
khi các hệ số λk (x0 ) cịn lại khác khơng có dấu giống nhau và bn+1 (x0 ) = 0.
Nếu ta chia (2.2) cho bn+1 (x0 ), ta có phương trình dạng:

n

n

uyn+1 + ∑ µk (x )uyk yk + ∑ bk (x0 )uyk + bu = f .
k=1

0

k=1

(2.3)


8
Nếu µk (x0 ) < 0, k = 1, . . . , n) thì (2.3) được gọi là parabolic dạng chuẩn;
nếu µk (x0 ) > 0, thì bằng cách đổi hướng của yn+1 và nhân (2.3) với (−1) ta
lại được một phương trình parabolic dạng chuẩn. Nếu (2.1) là parabolic ở tất
cả các điểm x ∈ Ω, thì ta nói rằng nó là parabolic trong miền này. Nếu các
hệ số của M là hàm số trơn và nếu (2.1) là parabolic thì trong một miền (nói
chung là một miền nhỏ) của một điểm bất kỳ của một điểm có thể đưa về
dạng

n

n

uyn+1 − ∑ bi j uyi yi + ∑ bi uyi + bu = f ,
j=1

(2.4)

i=1

ở đó dạng ∑ni, j=1 bi j ξi ξ j là xác định dương. Biến số yn+1 đóng vai trị ngoại
lệ trong miêu tả hiện tượng truyền nhiệt (và một số trường hợp khác) biến
số này khơng là cái gì khác ngồi thời gian: theo đó chúng ta sẽ kí hiệu nó
bởi t, những biến số còn lại y1 , . . . , yn miêu tả vị trí của điểm trong một miền
trong bài toán vật lý. Chúng ta sẽ xét phương trình parabolic mà được đưa về
thành (2.4).
Trong luận văn ta xét phương trình parabolic tổng qt dạng bảo tồn
sau
n

n
∂
Mu ≡ ut − ∑
[ai j (x,t)uxi + ai (x,t)u] + ∑ bi (x,t)uxi + a(x,t)u
i, j=1 ∂ xi
i=1
n

∂ fi
(x,t).
i=1 ∂ xi

= f (x,t) + ∑

(2.5)

Nếu các hàm ai j , ai và fi là khả vi thì (2.5) có thể được biến đổi thành phương
trình dạng (2.4) và ngược lại nếu các hàm bi j là khả vi thì (2.4) có thể được
viết dưới dạng (2.5).


9

2.1.2

Dạng của phương trình truyền nhiệt

Giả sử Ω là miền giới nội trong Rn với biên S = ∂ Ω. Với T > 0 ta đặt
QT = {(x,t) : x ∈ Ω, 0 ≤ t ≤ T },
ST = {(x,t) : x ∈ S, 0 ≤ t ≤ T }.
Một trường hợp đặc biệt của (2.5) là phương trình truyền nhiệt
n

∂ 2u
ut − ∑ 2 = f (x,t).
i=1 ∂ xi

(2.6)

Phương trình (2.6) khi xét dưới dạng bảo tồn (2.5) vì ta có thể viết lại nó
dưới dạng

n

∂
i=1 ∂ xi

ut − ∑

∂
∂ xi

= f (x,t).

(2.7)

trong đó ai j = δi j với δi j là kí hiệu Kronecker, ai = 0, bi = 0, a = 0, fi = 0,
nó miêu tả quá trình truyền nhiệt trong một miền Ω trong Rn . Các bài toán
sau đây là cơ bản đối với phương trình (2.5):
(1) Bài tốn Cauchy: Tìm hàm số u(x,t) thỏa mãn (2.5) với x ∈ Rn và
t > 0 và thỏa mãn khi t = 0 điều kiện ban đầu
u|t=0 = ϕ(x).

(2.8)

(2) Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất: Tìm hàm số u(x,t) thỏa mãn
(2.5) trong QT với điều kiện ban đầu
u|t=0 = ϕ(x),

x∈Ω

(2.9)

và đối với tất cả t ∈ [0, T ], điều kiện biên
u|ST = ψ(x,t).

(2.10)

Miền QT được gọi một cách tự nhiên là hình trụ, mặt xung quanh của
nó ST = S × [0, T ] và đáy dưới của nó là tập hợp {(x,t) : x ∈ Ω, t = 0}.


10
Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất bao gồm xác định nghiệm của
(2.5) trong hình trụ QT và sao cho trùng với các hàm số đã cho ϕ và
ψ trên đáy dưới của QT và trên mặt bên ST .

2.1.3

∆,1
Nghiệm suy rộng thuộc W2,0
(QT ) của bài toán biên-giá

trị ban đầu thứ nhất
Với kí hiệu ∆u ≡ ∑nj=1 ux j xi , ta xét phương trình truyền nhiệt
n

∂ fi
.
i=1 ∂ xi

(2.11)

M0 u ≡ ut − ∆u = f + ∑

Bài tốn biên-giá trị ban đầu bao gồm tìm nghiệm u(x,t) trong miền bị chặn

QT = Ω × (0, T ) thỏa mãn điều kiện ban đầu
u|t=0 = ϕ(x)

(2.12)

u|ST = 0.

(2.13)

và điều kiện biên:

Dựa vào tài liệu [1] luận văn sẽ trình bày ba loại nghiệm suy rộng cho
bài tốn (2.11)-(2.13). Ta bắt đầu với nghiệm suy rộng thuộc không gian
∆,1
W2,0
(QT ).

Ta đưa vào không gian Hilbert W2∆,1 (QT ) mà các phần tử u(x,t) của nó
thuộc L2 (QT ) cùng với ut và ux , và có trong QT các đạo hàm suy rộng uxx
và chuẩn hữu hạn
1/2
QT

[ut2 + u2x + (∆u)2 ]dxdt

.

(2.14)

Tích vơ hướng trong W2∆,1 (QT ) được xác định bởi

QT

(uv + ut vt + ux vx + ∆u∆v)dxdt.

(2.15)


11
Ta ký hiệu
∆,1
(QT ) = u ∈ W2∆,1 (QT ) : u|ST = 0 .
W2,0

∂ fi
≡ F ở trong L2 (QT ). Nghiệm suy rộng
∂ xi
∆,1
(QT )
của bài toán (2.11)-(2.13) trong W2∆,1 (QT ) là hàm số u(x,t) thuộc W2,0
Trước hết ta viết số hạng tự do f +

sao cho thỏa mãn (2.11) hầu khắp nơi trong QT và bằng ϕ(x) đối với t = 0,
trong đó điều kiện sau có th�ẩn hóa trong L2 (Ω). Chúng ta sẽ tìm nghiệm gần đúng uN (x,t)
N
trong chuẩn uN (x,t) = ∑N
k=1 ck (t)ϕk (x) từ hệ thống quan hệ:
N
N
N

(utN , ϕt ) + (ai j uN
x j + ai u , ϕlxi ) + (bi uxi + au , ϕl ) = ( f , ϕi ) − ( f i , ϕixi )

(2.49)
với l = 1, . . . , N và đẳng thức
cN
l = (ϕ, ϕl )

(2.50)

Quan hệ (2.49) đơn giản là một hệ thống của N các phương trình tuyến tính
các ẩn số cl (t) ≡ cN
l (t), t = 1, . . . , N mà số hạng nguyên tắc của nó là trong
các dạng dc1 (t)/dt, hệ số của ck (t) là hàm số giới hạn của t và số hạng tự do
hàm số tổng trên (0, T ). Từ một định lý nổi tiếng, chúng ta biết rằng (2.49)
và (2.50) xác định duy nhất hoàn toàn vào hàm số liên tục cN
l (t) trên [0, T ].
Chúng ta đặt giới hạn cho uN mà không phụ thuộc vào N. Để làm điều này,
chúng ta hãy nhân mỗi phương trình của (2.49) với cN
l thích hợp, cộng vào
chúng từ 1 đến N và sau đó hợp nhất với t từ 0 đến t ≤ T , kết quả là chúng ta


24
đạt được (2.49) đối với u = uN . vì chúng ta chỉ ra ở trên, (2.49) ám chỉ (2.50)
với
F(t) = 2 f
Nhưng uN (·, 0)

2,Ω

≤ ϕ

2,1,Ql
2,Ω ,

+2 F

2,Qt

+ uN (·, 0)

2,Ω .

do đó chúng ta có giới hạn
(2.51)

|uN |QT ≤ c1

với c1 không đổi không phụ thuộc vào N vì (2.64) chúng ta có thể lựa chọn
dãy phụ uNk , k = 1, 2, . . . từ dãy uN , N = 1, 2, . . . mà bởi hội tụ trong
1,0
kk
L2 (QT ) cũng như đạo hàm uN
x , tới một số phần tử u ∈ W2 (QT ). Phần

tử u(x,t) này là nghiệm suy rộng lý tưởng của bài toán (2.38)-(2.39). Rồi
chúng ta hãy nhân (2.49) với hàm số liên tiếp bất kỳ dl (t) với ddl /dt ∈
L2 (0, T ), dl (T ) = 0 cộng vào phương trình có được từ 1 đến N và sau đó hợp
nhất kết quả từ 0 đến T . Nếu chúng ta hợp nhất số hạng đầu tiên bởi các phần

với t, chúng ta sẽ đạt được đồng nhất thức:
M(uN , Φ) =

uN Φ|t=0 dx +
Ω

QT

(2.52)

( f Φ − fi Φxi )dxdt,

quan hệ khơng là gì khác ngoài đẳng thức:
M uN − f −

∂ fi
, ϕl
∂ xi

= 0,

l = 1, . . . , N

chuyển thành dạng tương ứng với sự lựa chọn khoảng của ta.
Kết quả lý luận là, chúng ta sẽ biết rằng dãy con trong uN hội tụ tới
N
u. Trong (2.50) ta xét η = ∑t=1
d (t)ϕ (x). Tập hợp của tất cả các hàm số

η như vậy với d (t) có đặc tính đã được chỉ ra ở trên. Tổng

∞
p=1 M p

là trù

1 (Q ) của W 1 (Q ) bao gồm tất cả các phần
mật trong không gian con W2,0
T
T
2,0
1 (Q ) mà triệt tiêu đối với t = T . Đối với η ∈ M trong (2.54)
tử này của W2,0
T
p

chúng ta có thể có giới hạn của dãy phụ uNk được chọn ở trên, bắt đầu với
Nk ≥ p. Kết quả là chúng ta có được (2.50) đối với u , với η ∈ M p . Nhưng


25
1 (Q ) khơng khó để kiểm tra (2.50) chứa tất cả
∪∞p=1 M p trù mật trong W2,0
T
1 (Q ); đó là u(x,t) thực sự là một nghiệm suy rộng trong W 1 (Q )
η ∈ W2,0
T
T
2,0

của (2.36)-(2.37).
Như vậy chúng ta đã chứng minh.
Định lí 2.4. Nếu các giả thiết (2.36)-(2.48) được thỏa mãn, thì bài tốn
1 (Q ).
(2.34)-(2.35) có ít nhất một nghiệm suy rộng trong W2,0
T

2.2.3

Tính duy nhất của nghiệm suy rộng

Bây giờ ta nghiên cứu tính duy nhất của nghiệm u(x,t). Để làm điều này
chúng ta xét nó như một nghiệm suy rộng trong L2 (QT ) của (2.1)-(2.3) với
f trong (2.36) thay thế bởi f − bi uui − au ≡ f và fi được thay thế bởi fi +
ai j ux j + ai u − uxi ≡ fi . Điều này có khả năng vì f ∈ L2,1 (QT ), fi ∈ L2 (QT ) và
δ ,1
(QT ) và η ∈ (x,t) = 0.
(2.50) có thể chuyển thành dạng (2.21) vì η ∈ W2,1

Nhưng sau đó, theo Định lý 2.3 u(x,t) là một nghiệm suy rộng của (2.1)(2.3) trong V21,0 (QT ), do đó nó thuộc V21,0 (QT ) và do đó (2.22) và (2.23)
chứa nó, ở đó f phải được thay thế bởi f và fi bởi fi .
Quan hệ (2.22) có thể được viết dưới dạng (2.41) và đồng nhất thức
(2.23) dưới dạng:
u(x,t)η(x,t)dx −
Ω

ϕη(x, 0)dx +
QT

Ω

+ ai uηxi + bi uxi η + auη =

QT

− uηt + ai j ux j uxi

( fη − fi ηxi )dxdt

(2.53)

1 (Q ) và t là số nào đó trong [0, T ].
mà η là một phần tử bất kỳ của W2,0
T
1 (Q ) của
Chúng ta đã chứng minh rằng tất cả những nghiệm suy rộng W2,0
T

(2.36)-(2.37) là nghiệm suy rộng của (2.36)-(2.37) trong V21,0 (QT ). Những
nghiệm như vậy của (2.36)-(2.37) được xác định là phần tử của V21,0 (QT ) mà
cho đồng nhất thức (2.54) và quan hệ năng lượng (2.41) tương ứng. Chúng


26
ta sẽ chỉ ra rằng (2.36)-(2.37) khơng thể có hai nghiệm khác nhau trong
1 (Q ). Nếu bài tốn có hai nghiệm u và u như vậy thì hiệu của chúng
W2,0
T

u = u − u sẽ là một nghiệm suy rộng của (2.36)-(2.37) trong không gian

1 (Q )tương ứng với điều kiện ban đầu là 0 và số hạng tự do 0. Với những
W2,0
T

gì đã chứng minh, u thực sự là một nghiệm suy rộng của bài tốn này trong
khơng gian V21,0 (QT ), do (2.41) với vế phải 0, chứa u. Nhưng từ điều này nó
làm theo (2.49)với vế phải 0. Bởi vậy u(x,t) phải bằng 0 mà đã được chứng
minh u và u trùng nhau.
Từ những lập luận này liên quan đến hai nghiệm suy rộng u và u của
(2.36)-(2.37) trong V21,0 (QT ) với f , fi và ϕ riêng biệt, nó theo sau tử tốn
B chia { f , fi , ϕ} thành một nghiệm suy rộng trong V21,0 (QT ) là không gian
véctơ và phương trình cân bằng năng lượng (2.41) là một dãy của (2.41) với
giải định trên hệ số của µ và hàm f , fi , ϕ đã được chỉ ra ở Định lý 2.5. Vì
vậy chúng ta đã chứng minh được định lý sau.
Định lí 2.5. Nếu các giả thuyết (2.36)-(2.38) được thỏa mãn thì bất cứ
nghiệm suy rộng nào của (2.34)-(2.35) mà thuộc W21,0 (QT ) cũng là nghiệm
suy rộng trong V21,0 (QT ) và nó là duy nhất trong W21,0 (QT ).

2.3

Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai và thứ ba

Ký hiệu Ω là miền bị chặn trong Rn với biên ∂ Ω = S.
Ta xét phương trình parabolic dạng bảo toàn:
Mu ≡ ut −

∂
(ai j (x,t + ai (x,t)u) + bi (x,t)uxi + a(x,t)u = f (x,t). (2.54)
∂ xi

27

2.3.1

Phát biểu bài toán

a) Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai: Tìm nghiệm u(x,t) của (2.54) sao
cho thỏa mãn các điều kiện sau:
u|t=0 = ϕ(x),

∂u
|S = 0,
∂N T

(2.55)

∂u
∂u
= ∑ni, j=1 = ai j
νi và νi là các thành phần của véc tơ pháp
∂N
∂xj
tuyến ngoài đơn vị ν = (ν1 , ν2 , ν3 , . . . , νn ) tại x ∈ S.

trong đó

b) Bài tốn biên-giá trị ban đầu thứ ba: Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình
(2.54) sao cho thỏa mãn các điều kiện sau
∂u

|ST + δ (x,t)|uST = 0.
∂N

u|t=0 = ϕ(x),

(2.56)

Khi δ (x,t) ≡ 0,, thì bài toán biên -giá trị ban đầu thứ ba sẽ là bài toán thứ
hai.

2.3.2

Định nghĩa nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban
đầu thứ hai và thứ ba

Nghiệm suy rộng của bài tốn (2.54)-(2.56) trong khơng gian W21,0 (QT )
được định nghĩa là hàm số u(x,t) ∈ W21,0 (QT ) thỏa mãn đồng nhất thức sau:
Mu(u, η) ≡
QT

=

(−uηt + ai j uxi ηxi + bi uxi η + auη)dxdt +

ϕη(x, 0)dx +
Ω

f ηdxdt
QT

δ uηdsdt
ST

(2.57)

với η ∈ W21 (QT ) với η(x,t) = 0, trong đó δ là hàm số được cho trong điều
kiện (2.56).

2.3.3

Sự tồn tại nghiệm suy rộng

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.54)-(2.56) trong W21,0 (QT )
chúng ta có thể chứng minh định lý duy nhất “đối nhau” trong nghiệm suy


28
rộng bằng cách thực hiện theo phương pháp thứ nhất là chứng minh định lý
duy nhất cho bài toán chuyển động. Chúng ta giả thiết các hàm ai j , bi là bị
chặn.
Để cho bài tốn (2.54)-(2.56)có nghiệm suy rộng u(x,t) ∈ W21,0 (QT ) thỏa
mãn
u|t=0 = 0
và
(2.58)

M(u, η) = 0
với η ∈ W21 (QT ) và η(x, T ) = 0. Chúng ta xét hàm số



0,
t ∈ [b, T ]
η(x,t)

 1 u(x,t)dt, t ∈ [0, b]
b

(2.59)

trong đó b là cố định trên [0, T ].
Khơng khó để chứng minh hàm số này thỏa mãn (2.58) chúng ta thay
(2.59) vào (2.58) và viết kết quả dưới dạng
b
0

(−ηt2 + ai j ηtx j ηxi + aηt n)dxdt +
Ω

Sb

δ ηt ηdsdt = 0

(2.60)

khi u = ηt cho t ∈ (0, b). Chúng ta viết ai j ηtx j ηxi dưới dạng
1
1
(∂ /∂t )(ai j ηx j ηxi − (∂ ai j /∂t )ηx j ηxi
2
2

và δ ηt η dưới dạng
1
1
(∂ /∂t )(δ η 2 ) − (∂ δ /∂t )η 2
2
2
và thực hiện tìm số hạng thứ hai và thứ ba của tích phân (2.60) với các dạng
sau
b
0

−ηt2 −
Ω

1 ∂ ai j
∂ bi
ηx j ηxi − bi ηxi ηt −
ηx η + aηt η dxdt
2 ∂t
∂t i


29
+
Ω

1
ai j ηx j ηxi dx|t=b
t=0 +
2

−
Sb

1 ∂δ 2
1
η dsdt +
2 ∂t
2

S

δ η 2 ds|t=b
t=0 = 0.
(2.61)

Bây giờ chúng ta sử dụng giả thiết về hệ số của M và δ , và cơ sở lập luận
là tích phân

Ω · · · dx

trong (2.63) triệt tiêu đối với t = b bởi hàm số η trong

(2.59), sau đó chúng ta rút gọn (2.61), sau nữa đổi dấu bất đẳng thức:
1
v
2

ηx2 (x, 0)dx +
Ω

Qb

ηt2 dxdt ≤ c

1
1
ηx2 + 1 +
η 2 dxdt
ε1
ε1
Qb
1
+ c (ε2 ηx2 (x, 0) + η 2 (x, 0))dx
ε2
Ω
ε1 ηt2 + 1 +

η 2 dsdt + c

+c
Sb

η 2 (S, 0)ds
S

(2.62)
trong đó εi là số dương bất kỳ với hằng số c được xác định bởi các hệ số của
M, δ và đạo hàm của chúng đối với t. Chúng ta có thể xét các tích phân trên
Sb và S như sau

S

η 2 (s, 0)ds ≤ c1

Sb

1
η 2 (x, 0) + ε3 ηx2 (x, 0) dx,
ε3
1
1+
+ ε3 ηx2 dxdt.
ε3

1+
Ω

η 2 (s,t)dsdt ≤ c1

Qb

(2.63)
(2.64)

Hơn nữa (2.59) tương tự là sự biểu diễn của
t

η(x,t) =
b

ηt (x,t)dt,

t ∈ [0, b]

chúng ta có bất đẳng thức:
t

2

η (x,t) ≤ b
b

ηt (x,t)dt;

η 2 (x, 0)dx ≤ b
Qb

Ω

η 2 dxdt ≤ b2
Qb

Qb

ηt2 dxdt;

ηt2 dxdt.

(2.65)

30
chúng ta thay thế (2.63) và (2.64) vào (2.62) và sau đó kết hợp các số hạng
tương tự đặt ηx2 (x, 0) và ηt2 lên vế trái; sau đó chúng ta sẽ chọn εi nhỏ đến độ
1
hệ số ηx2 (x, 0) và η 2 bằng với v/4 và một cách tách biệt. Sau đó chúng ta
2
sử dụng bất phương trình (2.65) để sử số dạng η 2 (x, 0) và η 2 từ vế phải của
bất đẳng thức thu được. Kết quả chúng ta có:
v
4

ηx2 (x, 0)dx +
Ω

1
2

Qb

ηt2 dxdt ≤ c2

Qb

(ηx2 + bηt2 )dxdt

(2.66)

chúng ta cho b nhỏ đến mức

1
c2 b ≤ ,
4

(2.67)
1
v

ηx2 (x, 0)dx +
Ω

Qb

ηt2 dxdt ≤ c3

Qb

ηx2 dxdt.

(2.68)

Bây giờ chúng ta sử dụng cơ sở lập luận rằng b được chọn bất kỳ và thể hiện
rằng hàm số η(x,t)mà chúng ta đã chọn phụ thuộc vào b. Đối với điều này
chúng ta giới thiệu khái niệm
t

u(x,t)dt = y(x,t)
0

tiếp theo η(x,t) là y(x,t) − y(x, b) cho t ∈ [0,t]. Chúng ta thay thế biểu thức

này cho η vào (2.68) và sau đó nhân vế phải của bất đẳng thức và được như
sau:
y2 (x, b)dx ≤ c3
Ω

Qb

≤ 2c3

[yx (x,t) − yx (x, b)]2 dxdt

Qb

[y2x (x,t) + y2x (x, b)]dxdt
y2x (x, b)dx + 2c3

= 2c3 b
Ω

Qb

y2x dxdt.

(2.69)

Vì
b≤

1
4c3

(2.70)


31
chúng ta thu được (2.69) bất đẳng thức:
y2x (x, b)dx ≤ 4c3
Ω

Qb

y2x (x,t)dxdt

(2.71)

mà chứa b ∈ [0, b1 ], trong đó b1 = min {1/(4c2 ); 1/(4c3 )} vì y(x, 0) = 0 và
vì vậy yx (x, 0) = 0 theo (2.71) mà yx (x, b) ≡ 0 vì b ∈ [0, b1 ]. Nhưng sau
đó, ηx (x,t) = yx (x,t) − yx (x, b) ≡ 0 vì t ∈ [0, b1 ] vì thế chúng ta có kết luận
(2.68) rằng ηt (x,t) = u(x,t) ≡ 0 vì t ∈ [0, b1 ]. Vì vậy chúng ta chứng minh
hai nghiệm u’ và u” trùng nhau. Trong hình trụ Qb1 = Ω × [0, b1 ]. Nếu chúng
ta chứng minh như vậy cho các hình trụ Ω × [b1 , 2b1 ], Ω × [2b1 , 3b1 ] và
. . . Chúng ta sẽ sử dụng tồn bộ hình trụ QT để chứng minh định lí duy nhất.
Định lí 2.6. Giả sử các hệ số của (2.54) thỏa mãn điều kiện
v|ξ |2 ≤ ai j (x,t)ξi ξ j ≤ µ|ξ |2 ,

v = const > 0,
|bi |, |a| ≤ µ1

(2.72)

và |δ | ≤ µ1 . Bài tốn (2.54)-(2.55) có duy nhất nghiệm suy rộng trong
W21,0 (QT ) nếu q ∈ L2 (Ω) và f ∈ L2,1 (QT ).

2.4

Bất đẳng thức cơ bản thứ hai

Xét toán tử parabolic M được viết dưới dạng bảo toàn:
Mu ≡ ut −

∂ fi
∂
(ai j (x,t)ux j + ai (x,t)u) + bi (x,t)uxi + a(x,t)u = f +
.
∂ xi
∂ xi

Chúng ta sẽ nghiên cứu bất đẳng thức cơ bản thứ hai. Nếu trị tuyệt đối S của
Ω và hệ số của M có độ trơn nào đó. Thêm vào
n

∑ a2i ,

1=1

ϕ ∈ L2 (Ω),

n

(2.73)

∑ b2i , |a| ≤ µ

i=1

f ∈ L2,1 (QT ),

fi ∈ L2 (QT )

(2.74)


32
và dưới điều kiện của parabol không thay đổi
v|ξ |2 ≤ ai j (x,t)ξi ξ j ≤ µ|ξ |2 ,

v, µ = const > 0,

(2.75)

hệ số của M thỏa mãn điều kiện:
∂ ai j
,
∂ xk

∂ ai j
≤ µ1
∂t

(2.76)

và |∂ ai /∂ xi | ≤ µ1 với bất đẳng thức cuối này, Mu có thể viết dưới dạng rút
gọn:
Mu = ut −

∂
(ai j (x,t)ux j + ai (x,t)uxi + a(x,t) ≡ ut − Lu,
∂ xi

ở đó |ai , a| ≤ µ1 .
Chúng ta xét tích phân

2
QT (Mu) dxdt

đối với hàm số bất kỳ u(x,t) và

triệt tiêu trên S và biến đổi như sau
(Mu)2 dxdt =
QT

QT

=
QT

=
Ω

[ut2 − 2ut Lu + (Lu)2 ]dxdt

[ut2 − 2ai j utxi ux j + 2ut (auxi + au) + (Lu)2 ]dxdt

ai j uxi ux j dx|t=t
t=0 +

−

QT

ut2 + (Lu)2

∂ ai j
ux ux + 2ut (auxi + au) dxdt
∂t i j

(2.77)

Do đó, với các giả thiết về hệ số của L ta nhận được
ai j uxi ux j dx|t=t +
Ω

≤

QT

[ut2 + (Lu)2 ]dxdt

ai j uxi ux j dx|t=0 + c2
Ω

1
[u2x + εut2 + (u2x + u2 )]dxdt +
ε
QT

(Mu)2 dxdt
QT

(2.78)
cho tất cả ε > 0. Chúng ta hãy thay thế

2
QT (Lu) dxdt

và

Ω ai j uxi ux j dx|t=t

bằng các con số nhỏ hơn và sau đó lựa chọn số hạng tương tự, lấy ε = 1/(2c2 )
u2x (x,t)dx +

v
Ω

1
( ut2 + c−1 u2xx )dxdt
QT 2


33

u2x (x, 0)dx + c3

≤µ

QT

Ω

u2x (x, 0)dx + c4

≤µ

QT

Ω

(u2x + u2 )dxdt +
u2x dxdt +

(Mu)2 dxdt
QT

(Mu)2 dxdt.

(2.79)

(Mu)2 dxdt

(2.80)

QT

Chúng ta có đánh giá:
u2x (x,t)dx ≤ c5 (t) µ
Ω

u2x (x, 0)dx +
Ω

QT

mà c5 (t) = v−1 .
Nếu chúng ta thay thế giới hạn này vào (2.61), chúng ta có bất đẳng thức:
u2x (x,t)dx +

v
Ω

1
( ut2 + c−1 u2xx )dxdt
QT 2

u2x (x, 0)dx +

≤ c6 (t) µ
Ω

ở đó c6 (t) = 1 + c4

1

0 c5 (t)dt.

u2x (x,t)dx +

v
Ω

QT

Ω

(Mu)2 dxdt

(2.82)

QT

Từ đó suy ra
1 2
ut + c−1 (u2xx + u2x + u2 ) dxdt
2

u2x (x, 0)dx +

≤ c7 (t) µ

(2.81)

(2.83)

(Mu)2 dxdt ,

(2.84)

QT

mà c7 (t) có độ tăng tương tự trong t như c6 (t). Chúng ta gọi là bất đẳng thức
(2.84) là bất đẳng thức cơ bản thứ hai.
2,1
Bất đẳng thức này là đúng đối với tất cả u ∈ W2,0
(QT ). Với sự trợ giúp

của bất đẳng thức cơ bản thứ hai có thể chứng minh rằng nghiệm của bài toán
2,1
biên-giá trị ban đầu thứ nhất sẽ thuộc không gian W2,0
(QT ) nếu S ∈ c2 , ϕ ∈

W21 (Ω), F ≡ f +∂ fi /∂ xi ∈ L2 (QT ), và ai j thỏa mãn điều kiện
µ1 .

∂ ai j
∂ xk

,

∂ ai j
∂t

≤