Một số chuyên đề về tổ hợp dành cho học sinh có năng khiếu toán bậc trung học phổ thồng

..

ĐạI HọC THáI NGUYÊN
Tr-ờng Đại học KHOA học

nguyễn THị NGọC áNH

Một số chuyên đề về tổ hợp dành
cho học sinh có năng khiếu toán
bậc trung học phổ thông

luận văn thạc sü TO¸N häc

TH¸I NGUY£N - 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐạI HọC THáI NGUYÊN
Tr-ờng Đại học KHOA học
-----------***-----------

nguyễn THị NGọC áNH

Một số chuyên đề về tổ hợp dành
cho học sinh có năng khiếu toán
bậc trung học phổ thông

Chuyên ngành:

Ph-ơng pháp toán sơ cấp

MÃ số :

60 . 46. 40

luận văn thạc sỹ TOáN học

Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Đức Hoàng

THáI NGUYÊN - 2009

S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên




▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥

▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ✈➭ ♥❣❤✐➟♠ ❦❤➽❝
❝đ❛ ❚❙ ✳ ◆❣✉②Ơ♥ ➜ø❝ ❍♦➭♥❣✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❦Ý♥❤ trä♥❣ ✈➭ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉
s➽❝ tí✐ ❚❤➬② ✈➭ ❣✐❛ ➤×♥❤✳

❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ❣✐➳♠ ❤✐Ö✉ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝✱ P❤ß♥❣
➤➭♦ t➵♦ ✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ➤➲ q✉❛♥ t➞♠ ❣✐ó♣ ➤ì✱ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥
❧ỵ✐ ❝❤♦ t➠✐ ➤➢ỵ❝ ❤ä❝ t❐♣ tèt✳

❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❙ë ●✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➜➭♦ t➵♦ ❚Ø♥❤ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱
❚r➢ê♥❣ ❚r✉♥❣ ❤ä❝ ♣❤ỉ t❤➠♥❣ ❈❤✉②➟♥ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❧➭ tỉ ❚♦➳♥ ➤➲

❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ ✈Ị t✐♥❤ t❤➬♥ ✈➭ ✈❐t ❝❤✃t tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣✳

✶


▼ô❝ ❧ô❝

▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥

✶

▼ë ➤➬✉

✸

❈❤➢➡♥❣ ✶✳

❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥

✻

✶✳✶✳

◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

ị tổ ợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✸✳

◆❣✉②➟♥ ❧ý ❝❤✉å♥❣ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉ ✭◆❣✉②➟♥ ❧ý ❉✐r✐❝❤❧❡t✮

✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✹✳

❍♦➳♥ ị tổ ợ tổ qt

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✶✳✺✳

❈➠♥❣ t❤ø❝ ❜❛♦ ❤➭♠ ✈➭ ❧♦➵✐ trõ

❈❤➢➡♥❣ ✷✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹

▼ét sè ❝❤✉②➟♥ ➤Ò ✈Ị tỉ ❤ỵ♣ ❞➭♥❤ ❝❤♦ ❤ä❝ s✐♥❤ ❝ã ♥➝♥❣

❦❤✐Õ✉ t♦➳♥ ❜❐❝ tr✉♥❣ ❤ä❝ ♣❤ỉ t❤➠♥❣

✶✼

✷✳✶✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ị ✶✿ ◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽

✷✳✷✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ị ✷✿ ❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tỉ ❤ỵ♣

✷✳✸✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ị ✸✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❝❤✉å♥❣ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾

✷✳✹✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✹✿ ❈➳❝ sè ❘❛♠s❡② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷

✷✳✺✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✺✿ ❈➳❝ sè ❈❛t❛❧❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽

✷✳✻✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✻✿ ❈➳❝ sè ❙t✐r❧✐♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

ề ị tổ ợ tổ q✉➳t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼

✷✳✽✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✽✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❜❛♦ ❤➭♠ ✈➭ ❧♦➵✐ trõ

✷✳✾✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ị ✾✿ ◆❤÷♥❣ sù ①➳♦ tré♥ ✈➭ ♥❤÷♥❣ sù s➽♣ ➤➷t tr➢í❝ ✳ ✳ ✺✹

✷✳✶✵✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ị ✶✵✿ ợ t ế



ột số t ề ị

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✵

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼

✻✵

✷


❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✻✼

✸


▼ë ➤➬✉

❈ã t❤Ĩ ♥ã✐ t➢ ❞✉② ✈Ị tỉ ❤ỵ♣ r❛ ➤ê✐ tõ r✃t sí♠✳ ❱➭♦ t❤ê✐ ♥❤➭ ❈❤✉✱ ♥❣➢ê✐ t❛
➤➲ ết ế ì ẽ ó q ế ữ ❤×♥❤ ✈✉➠♥❣ t❤➬♥ ❜Ý✳ ❚❤ê✐ ❝ỉ
❍② ❧➵♣✱ ♥❤➭ tr✐Õt ❤ä❝ ❑①❡♥♦❦r❛t✱ sè♥❣ ë t❤Õ ❦û t❤ø ✹ tr➢í❝ ❝➠♥❣ ♥❣✉②➟♥✱ ➤➲
❜✐Õt tÝ♥❤ sè ❝➳❝ tõ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ❧❐♣ tõ ♠ét ❜➯♥❣ ❝❤÷ ❝➳✐ ❝❤♦ tr➢í❝✳ ◆❤➭ t♦➳♥
❤ä❝ P✐t❛❣♦ ✈➭ ❝➳❝ ọ trò ủ tì r ề số ó tí t
ệt ệ tì r ợ số ♥❤➢ ✈❐② ➤ß✐ ❤á✐ ♣❤➯✐ ❝ã ♠ét ♥❣❤Ư t❤✉❐t tỉ ợ
t ị ó tể ó r ý tết tổ ợ ợ ì t
ột t ọ ớ ✈➭ q✉➲♥❣ t❤Õ ❦û ✶✼ ❜➺♥❣ ♠ét ❧♦➵t ❝➳❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤
♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥❣❤✐➟♠ tó❝ ❝đ❛ ❝➳❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ①✉✃t s➽❝ ♥❤➢ P❛s❝❛❧✱ ❋❡r♠❛t✱
▲❡✐❜♥✐t③✱ ❊✉❧❡r✳✳✳▼➷❝ ❞ï ✈❐②✱ tr♦♥❣ s✉èt ❤❛✐ tế ỷ rỡ tổ ợ ó
trò ề tr ệ ứ tự ế ớ sự ỗ trỵ ➤➽❝ ❧ù❝ ❝đ❛
♠➳② tÝ♥❤ ✱ tỉ ❤ỵ♣ ➤➲ ❝❤✉②Ĩ♥ s❛♥❣ ❧Ü♥❤ ✈ù❝ t♦➳♥ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ✈í✐ sù ♣❤➳t tr✐Ĩ♥
♠➵♥❤ ♠Ï✱ ❝ã ♥❤✐Ò✉ ❦Õt q✉➯ ❝ã Ý❝❤ ❝❤♦ ❝♦♥ ♥❣➢ê✐✳

◆❤❐♥ tứ ợ trò ủ ý tết tổ ợ ố ✈í✐ ➤ê✐ sè♥❣ ❤✐Ư♥ ➤➵✐✳ ▲ý
t❤✉②Õt tỉ ❤ỵ♣ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ➤➢❛ ✈➭♦ ❝❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤ä❝ ♣❤ỉ t❤➠♥❣ ✈➭ ❝❤✐Õ♠ ♠ét
♣❤➬♥ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❦ú t❤✐ t♦➳♥ q✉è❝ ❣✐❛ ✈➭ q✉è❝ tÕ✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ë ♥➢í❝ t❛✱ t➭✐ ❧✐Ư✉
✈✐Õt ✈Ị tỉ ❤ỵ♣ ❝❤➢❛ ♥❤✐Ò✉✳ ❉♦ ➤ã✱ ❜➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② sÏ ❝✉♥❣ ❝✃♣ t❤➟♠ ♠ét t➭✐
❧✐Ư✉ ✈Ị tỉ ❤ỵ♣ ❝❤♦ ❤ä❝ s✐♥❤ ♣❤ỉ t❤➠♥❣❀ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❧➭ ❞➭♥❤ ❝❤♦ ♥❤÷♥❣ ❡♠ ❤ä❝
s✐♥❤ ❝ã ♥➝♥❣ ❦❤✐Õ✉ ♠➠♥ t♦➳♥✳ ❈❤ó♥❣ t➠✐ ❤✐ ✈ä♥❣ ❧✉❐♥ sẽ ứ
ợ ò tí ❦❤➳♠ ♣❤➳ t♦➳♥ ❤ä❝ ❝đ❛ ❝➳❝ ❡♠✳ ➜å♥❣ t❤ê✐ ➤➞②
❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét t➭✐ ❧✐Ư✉ ➤Ĩ ❝➳❝ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ư♣ t❤❛♠ ❦❤➯♦✳

▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ❜❛ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ♠ét ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥

✹


t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ tỉ ❤ỵ♣ t❤❡♦ ♠ét ❧➠❣✐❝ ❦❤➳❝ s♦ ✈í✐ s➳❝❤ ♣❤ỉ t❤➠♥❣ ♥❤➺♠ ❣➞②
sù ♠í✐ ❧➵ ❝❤♦ ❤ä❝ s✐♥❤✳ ❈❤➢➡♥❣ ❤❛✐ ❧➭ trä♥❣ t➞♠ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ r
ọ s ợ tì ể ờ ề
➤Ò

1✿ ◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò

2✿ ❍♦➳♥ ị tổ ợ

ề

3 ý ồ ồ ❝➞✉✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò

4✿ ❈➳❝ sè ❘❛♠s❡②✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò

5✿ ❈➳❝ sè ❈❛t❛❧❛♥✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò

6✿ số tr

ề

7 ị tổ ợ tổ q✉➳t✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò

8✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❜❛♦ ❤➭♠ ✈➭ ❧♦➵✐ trõ✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò

9✿ ◆❤÷♥❣ sù ①➳♦ tré♥ ✈➭ ♥❤÷♥❣ sù s➽♣ ➤➷t tr➢í❝✳

❈❤✉②➟♥ ề

10 ợ t ế

r ỗ ề t tờ ợ t t ữ ủ ề
t ị ó ọ s tự tì t ì ữ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❧✐➟♥ q✉❛♥
➤Õ♥ ❝❤đ ➤Ị ➤➢ỵ❝ ♥➟✉✳ ➜å♥❣ t❤ê✐✱ ỗ ề ó ờ tết ọ
s➳♥❣ t➵♦ ✈➭ ❜✃t ♥❣ê✳ ❈➳❝ ❧ê✐ ❣✐➯✐ ♥➭② Ýt tr t ệ ề tổ ợ ó
tr tị tr➢ê♥❣✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ❤✐ ✈ä♥❣ ❝❤Ý♥❤ ➤✐Ò✉ ♥➭② ❦Ý❝❤ t❤Ý❝❤ sù ❤❛♠ ❤✐Ĩ✉ ❜✐Õt✱
❧ß♥❣ s❛② ♠➟ ❝đ❛ ❝➳❝ ❤ä❝ s✐♥❤ ❝ã ♥➝♥❣ ❦❤✐Õ✉ t♦➳♥✳ ❈❤➢➡♥❣ ❜❛ ❝ã ♥é✐ ❞✉♥❣ ❧➭
♥❤÷♥❣ t ề ị ợ ọ ự ĩ ỡ ú ụ
ữ ế tứ t ợ từ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣ tr➢í❝ ➤Ĩ ♥➞♥❣ ❝❛♦ ❦ü ♥➝♥❣ ❣✐➯✐ t♦➳♥
tỉ ợ ủ ì

ột tờ ứ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥ sÏ
❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤✐Ị✉ s❛✐ sãt✳ ❑Ý♥❤ ♠♦♥❣ sù ❣ã♣ ý ❝ñ❛ q✉ý t❤➬② ❝➠✱ ❝➳❝

❜➵♥ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ư♣ ✈➭ ❝➳❝ ❡♠ ❤ä❝ s✐♥❤✳ ❈❤ó♥❣ t➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥✦

✺


❈❤➢➡♥❣ ✶
❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥
✶✳✶✳

◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥

◗✉② t➽❝ ❝é♥❣✿

◆Õ✉

Ei (i = 1, ..., k) ❧➭ k

sù ❦✐Ö♥ t❤♦➯ ♠➲♥✿

(i) ❑❤➠♥❣ ❝ã ❤❛✐ sù ❦✐Ö♥ ♥➭♦ tr♦♥❣ sè ❝❤ó♥❣ ①➯② r❛ ➤å♥❣ t❤ê✐
(ii) Ei

❝ã t❤Ĩ ①➯② r❛ t❤❡♦

t❤× ♠ét tr♦♥❣

k

ni

sù ❦✐Ư♥ ❝ã t❤Ĩ ①➯② r❛ t❤❡♦

▼ét ❧í♣ ❤ä❝ ❝ã

❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✶

18 + 12 = 30

❝➳❝❤

18

(n1 + n2 + ... + nk ) ❝➳❝❤✳

❤ä❝ s✐♥❤ ♥❛♠ ✈➭

12

❤ä❝ s✐♥❤ ữ tì ó

ọ ột ọ s ể ♥÷✮ ❧➭♠ ♥❣➢ê✐ ➤➵✐

❞✐Ư♥ ❝❤♦ ❧í♣✳
❱Ý ❞ơ ✶✳✶✳✷

●✐➯ t❤✐Õt

E

❧➭ sù ❦✐Ö♥ ❝❤ä♥ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè ♥❤á ❤➡♥

❧➭ sù ❦✐Ö♥ ❝❤ä♥ ❝➳❝ sè tù ♥❤✐➟♥ ❝❤➼♥ ♥❤á ❤➡♥
❚❤×✿

E

❝ã

4

❝➳❝❤ ①➯② r❛✱

F

❝ã

4

tè ❝❤➼♥ ♥➟♥ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ sù ❦✐Ö♥

10✳

❝➳❝❤ ①➯② r❛✳ ◆❤➢♥❣ ✈×

E

❤♦➷❝

F

10 ✈➭ F

2

❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥

❝ã t❤Ĩ ①➯② r❛ t❤❡♦

4+4−1 = 7

❝➳❝❤✳
◗✉② t➽❝ ♥❤➞♥✿

n1

❝➳❝❤❀

E2

◆Õ✉

❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦

r❛ ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦✮❀

E1

✈➭

E2

Ei (i = 1, ..., k)

E3

n2

❧➭

k

sù ❦✐Ư♥ ✈➭

E1

❝➳❝❤ ✭❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ➤Õ♥ ✈✐Ư❝

❝ã t❤Ĩ ①➯② r❛ t❤❡♦

n3

❱Ý ❞ơ ✶✳✶✳✸

nk

− 1✮ sù ❦✐Ư♥ tr➢í❝ ①➯② r❛ ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦✮✱ t❤× k

r❛ ➤å♥❣ t❤ê✐ t❤❡♦

n1 .n2 .n3 ...nk

▼ét ❣✐➳ s➳❝❤ ❝ã

E1

①➯②

❝➳❝❤ ✭❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ➤Õ♥ ✈✐Ư❝

①➯② r❛ ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦✮✱✳✳✳✱Ek ❝ã t❤Ĩ ①➯② r❛ t❤❡♦

t❤✉é❝ ➤Õ♥ ✭k

❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦

❝➳❝❤ ✭❦❤➠♥❣ ♣❤ơ

sù ❦✐Ư♥ ❝ã t❤Ĩ ①➯②

❝➳❝❤✳

6 q✉②Ĩ♥ s➳❝❤ t✐Õ♥❣ ❆♥❤ ➤➠✐ ♠ét ❦❤➳❝ ♥❤❛✉❀ 8

q✉②Ó♥ s➳❝❤ t✐Õ♥❣ P❤➳♣ ➤➠✐ ♠ét ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ✈➭

10

q✉②Ó♥ s➳❝❤ t✐Õ♥❣ ➜ø❝ ➤➠✐

♠ét ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳

(i) ❈ã 6.8.10 = 480 ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ❧✃② 3 q✉②Ó♥ s➳❝❤ tr♦♥❣ ➤ã ỗ qể ột



t❤ø t✐Õ♥❣✳

(ii) ❈ã 6 + 8 + 10 = 24 ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ❧✃② 1 q✉②Ó♥ s➳❝❤ ❜✃t ❦ú tr♦♥❣ sè ❝➳❝
q✉②Ĩ♥ s➳❝❤ ♥ã✐ tr➟♥✳
◆Õ✉ ♠ét ❜➭✐ t❤✐ tr➽❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❝ã

❱Ý ụ

8

ỏ ỗ ỏ ó

3

tr ờ ✭♠ét ♣❤➢➡♥❣ ➳♥ ➤ó♥❣ ✈➭ ❤❛✐ ♣❤➢➡♥❣ ➳♥ s❛✐✮✳ ❱❐② sè ❝➳❝❤
❝❤ä♥ ❝➞✉ tr➯ ❧ê✐ ❝đ❛ t✃t ❝➯

✶✳✷✳

❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tổ ợ



X

ị ĩ

tử

r

ột số

n
r ✈Þ ❝đ❛ X

▼ét

❧➭ ♠ét ❜é s➽♣ t❤ø tù ❣å♠

r

♣❤➬♥ tư

n ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ X ✳

▼ét
❙è

n

❧➭ ♠ét t❐♣ ❤ỵ♣ ❜❛♦ ❣å♠

➞♠ ♥❤á ❤➡♥ ❤♦➷❝ ❜➺♥❣

tõ

8 ❝➞✉ ❤á✐ tr➟♥ ❧➭ 38 = 6561

n ị ủ X

ợ ọ ột ị ủ

X

r ị ủ ột t ợ n tử ợ ❦ý ❤✐Ư✉ ❧➭ P (n, r)✳

❱Ý ❞ơ ✶✳✷✳✷

{2, 3, 4}

✈➭

{2, 4, 3}

❧➭ ❤❛✐

3✲❤♦➳♥

✈Þ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ❝đ❛

X =

{1, 2, 3, 4, 5}
ị ĩ

ột

rtổ ợ ủ X

ột t ồ

r ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ X ✳

r✲tỉ ❤ỵ♣ ❝đ❛ ♠ét t❐♣ ❤ỵ♣ n tử ợ ý ệ C(n, r)
n!
ị ý ✶✳✷✳✹ (i) P (n, r) =
(n − r)!
P (n, r)
n!
(ii) C(n, r) =
=
= C(n, n − r)
r!
r!(n − r)!

❙è

ë ➤➞② ❝❤ó♥❣ t❛ ➤➢❛ r❛ ❤➭♠ ❣✐❛✐ t❤õ❛✿

m! ≡ (1).(2)...(m)
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿

t✐➟♥ tr♦♥❣

r

(i)

❈ã

✈Þ trÝ❀ ❝ã

n

✈➭

0! ≡ 1

❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ♠ét ♣❤➬♥ tư ❜✃t ❦ú ❝đ❛

(n − 1) ❝➳❝❤

X

❝❤ä♥ ♠ét ♣❤➬♥ tư tõ ♥❤ã♠

tư ò ể ế ị trí tứ tr số

r

✈Þ trÝ ➤➬✉

(n − 1) ♣❤➬♥

✈Þ trÝ✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ sè ❝➳❝❤ ❝❤ä♥

♣❤➬♥ tư ❝❤✐Õ♠ ✈Þ trÝ t❤ø ❤❛✐ ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ♣❤➬♥ tư ❝❤✐Õ♠ ë
✈Þ trÝ t❤ø ♥❤✃t ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦✳

✼


❉♦ ➤ã t❤❡♦ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥✱ ❤❛✐ ✈Þ trÝ ➤➬✉ t✐➟♥ ❝ã t❤Ĩ ❧✃♣ ➤➬② ❜ë✐

r

❝➳❝❤✳✳✳✈➭ t✃t ❝➯

n(n − 1)

✈Þ trÝ ❝ã t❤Ó ❧✃♣ ➤➬② ❜ë✐✿

n!
(n − r)!

P (n, r) = n(n − 1)...(n − r + 1) =
❝➳❝❤✳

(ii) ➜Ó ➤➳♥❤ ❣✐➳ C(n, r)✱ ❝❤ó ý r➺♥❣ ♠ét r✲❤♦➳♥ ✈Þ ❝đ❛ t❐♣ ❤ỵ♣ n ♣❤➬♥ tư X
r✲t❐♣ ❝♦♥ ♥➭♦ ➤ã ủ X

ị ủ ột
ữ ữ

rt ♣❤➞♥ ❜✐Ưt s✐♥❤ r❛ r✲tỉ ❤ỵ♣ ♣❤➞♥ ❜✐Ưt✳ ❉♦ ➤ã✱ ❜➺♥❣

q✉② t➽❝ ❝é♥❣ t❛ ❝ã✿

P (n, r) = P (r, r) + P (r, r) + ... + P (r, r)
❙è ❝➳❝ sè ❤➵♥❣ ë ✈Õ ♣❤➯✐ ❧➭ sè ❝➳❝

r✲t❐♣ ❝♦♥ ❝ñ❛ X

tø❝ ❧➭

C(n, r)✳ ❉♦ ➤ã t❛

❝ã✿

P (n, r) = C(n, r)P (r, r) = C(n, r)r!
ỗ

rt ủ X

(n − r)✲t❐♣ ❝♦♥✳

❝ã ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❜ï ❞✉② ♥❤✃t ❧➭

❚õ ➤ã

t❛ ❝ã ♠ét q✉❛♥ ❤Ö q✉❛♥ trä♥❣ ❧➭✿

C(n, r) = C(n, n − r)
➜➷❝ ❜✐Ưt✱ sè ❤♦➳♥ ✈Þ ❝đ❛

n ♣❤➬♥ tư ❧➭✿
P (n, n) = n!

◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✷✳✺

❤ỵ♣ ❝ã

r✲

❤♦➳♥ ✈Þ ❝đ❛ ♠ét t❐♣

❝đ❛

n ♣❤➬♥ tư✱ ♠ét r✲ tỉ

❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ trì ổ t ột

n tử ợ ọ ột ❝❤Ø♥❤ ❤ỵ♣ ❝❤❐♣ r

❤ỵ♣ ❝đ❛ ♠ét t❐♣ ❤ỵ♣ ❝ã

n ♣❤➬♥ tư ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét tỉ ❤ỵ♣ ❝❤❐♣ r

❝đ❛

n ♣❤➬♥

tư ➤ã✳
❱Ý ❞ô ✶✳✷✳✻

▼ét ❝➞✉ ❧➵❝ ❜é ❣å♠

9

❤ä❝ s✐♥❤ ❦❤è✐

10✳

4

❤ä❝ s✐♥❤ ❦❤è✐

11❀ 3

12 ❤ä❝ s✐♥❤ ❦❤è✐ 12❀ 10 ❤ä❝ s✐♥❤ ❦❤è✐ 11❀

❈➬♥ ❧❐♣ r❛ ♠ét ❜❛♥ ➤➵✐ ❞✐Ö♥ ❣å♠✿
❤ä❝ s✐♥❤ ❦❤è✐

10✳
✽

❱❐② t❛ ❝ã✿

4

❤ä❝ s✐♥❤ ❦❤è✐

C(12, 4) =

12❀

12!
= 495
4!8!


❝➳❝❤ ❝❤ä♥

4 ❤ä❝ s✐♥❤ ❦❤è✐ 12❀ C(10, 4) = 210 ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ 4 ❤ä❝ s✐♥❤ ❦❤è✐ 11❀

C(9, 3) = 84

❝➳❝❤ ❝❤ä♥

3

❤ä❝ s✐♥❤ ❦❤è✐

❝❤ä♥ r❛ ❜❛♥ ➤➵✐ ❞✐Ö♥ tr➟♥ ❧➭✿

✶✳✸✳

10✳

❇➺♥❣ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥✱ sè ❝➳❝❤ ➤Ó

495.210.84 = 8731800 ❝➳❝❤✳

◆❣✉②➟♥ ❧ý ❝❤✉å♥❣ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉ ✭◆❣✉②➟♥ ❧ý ❉✐r✐❝❤❧❡t✮

▼ét sè ❦Õt q✉➯ s➞✉ s➽❝ ❝đ❛ ❧ý t❤✉②Õt tỉ ❤ỵ♣ ①✉✃t ♣❤➳t tõ ♠ét ♠Ư♥❤ ➤Ị
➤➡♥ ❣✐➯♥✿
◆Õ✉

n ❝❤✉å♥❣ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉ ❧➭ ♥➡✐ tró ➮♥ ❝ñ❛ Ýt ♥❤✃t (n + 1) ❝♦♥ ❝❤✐♠ ❜å

❝➞✉ t❤× ❝ã Ýt ♥❤✃t ♠ét ❝❤✉å♥❣ ❝❤✐♠ ❝❤ø❛ tõ ❤❛✐ ❝♦♥ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉ trë ❧➟♥✳
❱Ý ❞ô ✶✳✸✳✶

●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ ❝ã ♥❤✐Ò✉ ❝❤✐Õ❝ t✃t ➤á✱ ♥❤✐Ò✉ ❝❤✐Õ❝ t✃t tr➽♥❣ ✈➭

♥❤✐Ò✉ ❝❤✐Õ❝ t✃t ①❛♥❤ ë tr♦♥❣ ❤é♣✳ ❍á✐ ♣❤➯✐ ❧✃② tõ ❤é♣ ➤ã r❛ Ýt ♥❤✃t ❜❛♦ ♥❤✐➟✉
❝❤✐Õ❝ t✃t ✭❦❤✐ ❧✃② ì tr ể ợ

2 ế ù



ỗ ột ợ ột ồ ồ ❝➞✉ ✈❐②
❧✃②

n = 3✳ ❉♦ ➤ã✱ ♥Õ✉

n + 1 = 4 ❝❤✐Õ❝ t✃t t❤× Ýt ♥❤✃t ❝ã ❤❛✐ ❝❤✐Õ❝ t✃t ❝ï♥❣ ♠➭✉✳

▼ét tỉ♥❣ q✉➳t

➤➡♥ ❣✐➯♥ ❝đ❛ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❝❤✉å♥❣ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉ ♥❤➢ s❛✉✿

◆Õ✉

k

n ❝❤✉å♥❣ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉ ❧➭ ♥➡✐ tró ➮♥ ❝đ❛ kn + 1 ❝♦♥ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉ ✈í✐

❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ t❤× Ýt ♥❤✃t ❝ã ♠ét ❝❤✉å♥❣ ❝❤ø❛ tõ

k + 1 ❝♦♥ ❝❤✐♠

❜å ❝➞✉ trë ❧➟♥✳
❱Ý ❞ô ✶✳✸✳✷

✈➱♥ ❝ã

❚➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ✈Ý ❞ô

1.3.1 ♥Õ✉ ❝➬♥ ❧✃② 6 ❝❤✐Õ❝ t✃t ❝ï♥❣ ♠➭✉ t❤× t❛

n = 3 ✈➭ ➤Ĩ ➤➯♠ ❜➯♦ r➺♥❣ ♠ét ✭❤❛② ♥❤✐Ị✉ ❤➡♥✮ tr♦♥❣ sè ❝➳❝ ❝❤✉å♥❣

➤ã ❝❤ø❛

k+1 = 6

✭❤♦➷❝ ♥❤✐Ò✉ ❤➡♥✮ ❝♦♥ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉ t❤× ❝❤ó♥❣ t❛ ♣❤➯✐ ❧✃②

kn + 1 = 16 ❝♦♥ ❝❤✐♠✳ ❉♦ ➤ã ➤➳♣ sè ❧➭ 16 ❝❤✐Õ❝ t✃t✳
❱Ý ❞ơ ✶✳✸✳✸

▼ét tđ ❝❤ø❛

❝❤✐Õ❝ ♠➭✉ tr➽♥❣ ✈➭

20

❝❤✐Õ❝ ➳♦ s➡ ♠✐ tr♦♥❣ ➤ã ❝ã

4

❝❤✐Õ❝ ♠➭✉ ➤á❀

7

9 ❝❤✐Õ❝ ♠➭✉ ①❛♥❤✳ ❍á✐ ♣❤➯✐ ❧✃② r❛ Ýt ♥❤✃t ❜❛♦ ♥❤✐➟✉ ❝❤✐Õ❝

➳♦ ✭❦❤✐ ❧✃② ❦❤➠♥❣ ợ ì tủ ể ợ



r = 4, 5, 6, 7, 8, 9

❝❤✐Õ❝ ➳♦


❝ï♥❣ ♠➭✉❄
●✐➯✐

∗) ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ 1✿ r = 4 = k + 1✳ ❙✉② r❛ k = 3✳ ❈ã 3 ♠➭✉ ♥➟♥ n = 3✳ ❉♦ ➤ã✱
❝➬♥ ♣❤➯✐ ❧✃② r❛ Ýt ♥❤✃t

kn + 1 = 3.3 + 1 = 10 ❝❤✐Õ❝ ➳♦ s➡ ♠✐✳

∗) ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ 2✿ r = 5 = k + 1✳

❙✉② r❛

k = 4✳

P❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ♥❤✃t✱

❝❤ó♥❣ t tở tợ r ữ ế ợ r tõ tđ ♠ét ❝➳❝❤ t✉➬♥ tù✳
❚×♥❤ ❤✉è♥❣ ✧❧➲♥❣ ♣❤Ý✧ sù ❞✐ ❝❤✉②Ó♥ ♥❤✃t ❧➭

4

❝❤✐Õ❝ ➳♦ ❧✃② t❛ ➤➬✉ t✐➟♥ ❝ï♥❣

♠➭✉ ➤á✳ ❉♦ ➤ã ❝➳❝ ❝❤✐Õ❝ ❝ß♥ ❧➵✐ ♣❤➯✐ ❧✃② r❛ ❝ã ♠➭✉ ①❛♥❤ ❤♦➷❝ ♠➭✉ tr➽♥❣✳
➜Ó ❝❤➽❝ ❝❤➽♥

r=5

❝❤✐Õ❝ ➳♦ ❧✃② r❛ ❝ã ❝ï♥❣ ♠➭✉ t❤×

♥❤✃t ❝ã ♠➭✉ ①❛♥❤ ❤♦➷❝ ♠➭✉ tr➽♥❣ ❝➬♥ ❧✃② r❛ ❧➭✿

n = 2✳

❙è ❧➢ỵ♥❣ ➳♦ Ýt

kn + 1 = 4.2 + 1 = 9 ✭t❤❡♦

♥❣✉②➟♥ ❧ý ❝❤✉å♥❣ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉✮✳ ❱❐② ❝➬♥ ❧✃② r❛ Ýt ♥❤✃t

4 + 9 = 13 ❝❤✐Õ❝ ➳♦✳

∗) ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ 3✿ r = 6 = k + 1✳ ❙✉② r❛ k = 5✳ ❚➢➡♥❣ tù ♥❤➢ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣
2✱ ❦Õt q✉➯ ❧➭ 4 + kn + 1 = 4 + 5.2 + 1 = 15 ❝❤✐Õ❝ ➳♦ ❝➬♥ ♣❤➯✐ ❧✃② r❛✳
∗)

❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣

4✿ r = 7 = k + 1✳

❙✉② r❛

k = 6✳

❚➢➡♥❣ tù ❦Õt q✉➯ ❧➭

4 + kn + 1 = 4 + 6.2 + 1 = 17 ❝❤✐Õ❝ ➳♦ ❝➬♥ ♣❤➯✐ ❧✃② r❛✳
∗) ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ 5✿ r = 8 = k + 1✳ ❙✉② r❛ k = 7✳ ❇➞② ❣✐ê ♥Õ✉ ❧✃② r ữ
ế ỏ tr tì ề ✈➠ ❣✐➳ trÞ✳ ❉♦ ➤ã sè ❝❤✐Õ❝ ➳♦ ❝➬♥
❧✃② r❛ ❧➭✿

∗)

4 + 7 + kn + 1 = 4 + 7 + 7.1 + 1 = 19 ❝❤✐Õ❝✳

❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣

6✿ r = 9 = k + 1✳

❚➢➡♥❣ tù ♥❤➢ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣

5

t❛ ❝ã ❦Õt

q✉➯✿

4 + 7 + kn + 1 = 4 + 7 + 8.1. + 1 = 20 ❝❤✐Õ❝ ➳♦ ❝➬♥ ♣❤➯✐ ❧✃② r❛✳

❈❤♦

S

❧➭ ♠ét t❐♣ ❤ỵ♣✱ t➵♦ t❤➭♥❤ ❜ë✐

➤è✐ t➢ỵ♥❣ ❝ã ❞✃✉ ❤✐Ư✉
t➢ỵ♥❣ ❝ã ❞✃✉ ❤✐Ư✉
t❐♣ ❝♦♥ ❣å♠

vr

n✳

2❀ x3 ≥ x2
❑Ý ❤✐Ư✉

vr

x1

➤è✐ t➢ỵ♥❣ ❝ã ❞✃✉ ❤✐Ư✉

➤è✐ t➢ỵ♥❣ ❝ã ❞✃✉ ❤✐Ö✉

1❀ x2 ≥ x1

3✱✳✳✳✱ xn ≥ xn−1

➤è✐

❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ♥❤á ♥❤✃t t❤♦➯ ♠➲♥ t✃t ❝➯ ❝➳❝

♣❤➬♥ tư ❝đ❛ ❙ ♠➭ ỗ t ứ ít t



r

ố tợ ó


❝ï♥❣ ♠ét ❞✃✉ ❤✐Ö✉✳ ❑❤✐ ➤ã✿





n(r − 1) + 1,






(n − 1)(r − 1) + 1 + x1 ,



vr = (n − 2)(r − 1) + 1 + x1 + x2 ,





..........................................





(1)(r − 1) + 1 + x + x + ... + x ,
1
2
n−1
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸✳✹

◆Õ✉

x

r ≤ x1
x1 < r ≤ x2
x2 < r ≤ x 3

xn−1 < r ≤ xn

❧➭ ♠ét sè t❤ù❝ t❤× ♣❤➬♥ ♥❣✉②➟♥ ❝đ❛

❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❧í♥ ♥❤✃t ♥❤á ❤➡♥ ❤♦➷❝ ❜➺♥❣

m

❦Ý ❤✐Ư✉

[x]

x✳

n ❝❤✉å♥❣
(m − 1)
❝❤✉å♥❣ ❝❤ø❛ tõ p + 1 ❝♦♥ trë ❧➟♥ ✈í✐ p =
.
n
ế ốt

ị ý

x

ồ

tì ít ♥❤✃t ♠ét

p ❝♦♥
m−1
= m−1 < m
❝❤✐♠✳ ❱❐② sè ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉ ♥❤á ❤➡♥ ❤♦➷❝ ❜➺♥❣ np ≤ n
n
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿

●✐➯ sö ♥❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ t✃t ❝➳❝ ❝❤✉å♥❣ ➤Ị✉ ❝❤ø❛ ♥❤✐Ị✉ ♥❤✃t

✭♠➞✉ t❤✉➱♥✮✳
●✐➯ sö ❝ã 26 s✐♥❤ ✈✐➟♥ ✭m = 26✮ ✈➭ 7 ❝❤✐Õ❝ ➠ t➠ ➤Ó ❝❤ë ❤ä✳ ❱❐②
25
❝ã p =
= 3✳ ❉♦ ➤ã ❝ã Ýt ♥❤✃t ♠ét ❝❤✐Õ❝ ➠ t➠ ❝❤ë tõ 4 s✐♥❤ ✈✐➟♥ trë ❧➟♥✳
7

❱Ý ❞ơ ✶✳✸✳✻

✶✳✹✳

❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tổ ợ tổ qt

ị ĩ

ế

X

ột t ồ

❜✐Ưt✮✱ ❜✃t ❦ú ♠ét sù s➽♣ ①Õ♣ ♥➭♦ ❝đ❛
♠ét

r✲❤♦➳♥ ✈Þ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ X

tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛

X ✮✳

❱Ý ❞ơ ✶✳✹✳✷

➜❛ t❐♣

✭♥Õ✉

n

✈❐t ✭❦❤➠♥❣ ❝➬♥ t❤✐Õt ♣❤➯✐

r ≤ n ✈❐t tõ ➤❛ t❐♣ X

➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭

r = n ❝❤ó♥❣ t❛ ❣ä✐ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ❧➭ ❤♦➳♥ ✈Þ

X = {A, A, B, B, B, C, C}

❝ã

AABCBBC

❧➭ ♠ét

❤♦➳♥ ✈Þ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ❳✳

ni (i = 1, 2, ..., k)✱ r ✈➭ n ❧➭ k + 2 sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ t❤♦➯ ♠➲♥ n1 + n2 +
P (n, r)
... + nk = r ≤ n t❛ ➤➷t P (n; n1 , n2 , ..., nk ) ≡
n1 !n2 !...nk !
◆Õ✉

✶✶


❚õ

◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✹✳✸

P (n, r) =

P (n, n)
(n − r)!

t❛ ❝ã✿

P (n; n1 , n2 , ..., nk ) = P (n; n1 , n2 , ..., nk , n − r)
❱Ý ❞ô ✶✳✹✳✹

P (18, 3 + 4 + 6) P (18, 13)
18!
=
=
3!4!6!
3!4!6!
3!4!6!5!
P (18; 3 + 4 + 6 + 5)
=
3!4!6!5!
= P (18; 3, 4, 6, 5) ❚❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❝❤♦ sè ❤♦➳♥

P (18; 3, 4, 6) =

✈Þ ❝đ❛ ♠ét ➤❛ t❐♣ ❜ë✐ ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉✿
❙è ❝➳❝ ❤♦➳♥ ✈Þ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ♠ét ➤❛ t❐♣

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✹✳✺

❣✐è♥❣ ♥❤❛✉ ❝ã ❝ï♥❣ ❞✃✉ ❤✐Ö✉

i (i = 1, 2, ..., k)

❧➭

X

❜❛♦ ❣å♠

P (n; n1 , n2 , ..., nk )❀

ni

✈❐t

ë ➤➞②

n = n1 + n2 + ... + nk ✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿

❝ñ❛

X

●ä✐

p

❧➭ ệt tì

ị t ở

n1

tổ số ị tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛

n1

❤♦➳♥ ✈Þ t➝♥❣ ❧➟♥

◆Õ✉

n

✈❐t

P (n, n) ❧➭ sè ❤♦➳♥ ✈Þ ❝đ❛ X ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ s♦ s➳♥❤ sè ❤♦➳♥

✈❐t ♣❤➞♥ ❜✐Ưt ❝ã ❞✃✉ ❤✐Ư✉

❤♦➳♥ ✈Þ t➵♦ ❜ë✐

X✳

1

✈➭

n − n1

✈❐t ❣✐è♥❣ ♥❤❛✉ ❝ã ❞✃✉ ❤✐Ư✉

♣❤➬♥ tư ❝ß♥ ❧➵✐ ✈í✐ số

1 n n1

t ò tì số

n1 ! ❧➬♥✳ ➜✐Ị✉ ♥➭② ❝ị♥❣ ➤ó♥❣ ➤è✐ ✈í✐ ♥❤÷♥❣ ✈❐t ❝ã ❞✃✉ ❤✐Ö✉

i (i = 2, 3, ..., k)✳ ❉♦ ➤ã t❤❡♦ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥✱ ➤➷t q = n1 !n2 !...nk ! t❤× t❛ ❝ã✿
p=
❱Ý ❞ơ ✶✳✹✳✻

X

P (n, n)
= P (n; n1 , n2 , ..., nk )
q

X = {C, E, E, I, M, M, O, T, T } t❤× sè ❤♦➳♥ ✈Þ

tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛

❧➭✿

P (9, 1, 2, 1, 2, 1, 2) =
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✹✳✼

9!
= 45360
1!2!1!2!1!2!

❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♣❤ỉ t❤➠♥❣✱ ❤♦➳♥ ✈Þ tỉ♥❣ q✉➳t ❣ä✐ ❧➭ ❤♦➳♥

✈Þ ❧➷♣✳
❱Ý ❞ơ ✶✳✹✳✽

❍á✐ ❝ã ❜❛♦ ♥❤✐➟✉ ❝➳❝❤ ①Õ♣ ❤Õt

4 q✉➯ ❜ã♥❣ ♠➭✉ ➤á ❣✐è♥❣ ♥❤❛✉❀

3 q✉➯ ❜ã♥❣ ♠➭✉ tr➽♥❣ ❣✐è♥❣ ♥❤❛✉❀ 5 q✉➯ ❜ã♥❣ ♠➭✉ ①❛♥❤ ❣✐è♥❣ ♥❤❛✉✱ ✈➭♦ 18
✈Þ trÝ t❤➻♥❣ ❤➭♥❣ ❝❤♦ trớ ỗ ị trí ó ề t




1 ó


❙è ❝➳❝❤ ①Õ♣ ❧➭✿

P (18; 4, 3, 5) =
●✐➯ sö r➺♥❣

r

X

n

❧➭ t❐♣ ❤ỵ♣

18!

= 514594080
4!3!5!6!
S

♣❤➬♥ tư ✈➭

❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❜✃t ❦ú ❝đ❛

♣❤➬♥ tư✳ ▼ét sù ♣❤➞♥ ❝❤✐❛ ❝ã q✉❛♥ t➞♠ ➤Õ♥ t❤ø tù ❝đ❛

r✲tỉ

❤ỵ♣ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛

X✳

◆Õ✉

r = n✱

S

X

❝ã

➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét

❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ tỉ ❤ỵ♣ tỉ♥❣

q✉➳t ❝đ❛ ❳✳
❙è

r✲tỉ

➠ ❝❤ø❛ t❤ø
➤ã

❤ỵ♣ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛

2✳❀✳✳✳❀ nk

X

❝ã

n1

♣❤➬♥ tư ë ➠ ❝❤ø❛ t❤ø

♣❤➬♥ tö ë ➠ ❝❤ø❛ t❤ø

n1 + n2 + ... + nk = r

k

❦Ý ❤✐Ư✉

1❀ n2

♣❤➬♥ tư ë

C(n; n1 , n2 , ..., nk ) tr♦♥❣

❧➭✿

C(n; n1 , n2 , ..., nk ) = C(n, n1 )C(n − n1 , n2 )....C(n − n1 − n2 − ... − nk−1 )
=

P (n, r)
n!
=
n1 !n2 !...nk !(n − r)! n1 !n2 !...nk !
✭✶✳✶✮

C(n; n1 , n2 , ..., nk ) = P (n; n1 , n2 , ..., nk ) tr♦♥❣ ➤ã n1 + n2 +

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✹✳✾

... + nk = r ≤ n
❱Ý ❞ô ✶✳✹✳✶✵

❈ã

17 s✐♥❤ ✈✐➟♥ ♠✉è♥ ➤✐ ❞ù t✐Ö❝ ✈➭ ❝ã 5 ➠ t➠ ➤Õ♥ ➤ã♥ ❤ä✳

số ỗ ồ ò trố tr


5 4, 4, 2, 5 1 ó ỉ ủ ỗ ♥❣å✐

16 s✐♥❤ ✈✐➟♥✳ ❱❐② sè ❝➳❝❤ ❝❤ë 16 s✐♥❤ ✈✐➟♥ tr♦♥❣ 17 s✐♥❤ ✈✐➟♥ tr➟♥ ❧➭✿
C(17; 4, 4, 2, 5, 1) =

❍Ö q✉➯ ✶✳✹✳✶✶

❙è ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛ ✭❦❤➠♥❣ q✉❛♥ t➞♠ ➤Õ♥ t❤ø tù✮ ❝đ❛ ♠ét t❐♣

❤ỵ♣ ❝ã ❧ù❝ ❧➢ỵ♥❣

n2 ✱✳✳✳✱pk

17!
4!4!2!5!1!1!

n t❤➭♥❤ p1 t❐♣ ❝♦♥ ❝ã ❧ù❝ ❧➢ỵ♥❣ n1 ✱ p2 t❐♣ ❝♦♥ ❝ã ❧ù❝ ❧➢ỵ♥❣

t❐♣ ❝♦♥ ❝ã ❧ù❝ ❧➢ỵ♥❣

nk

✭tr♦♥❣ ➤ã ❝➳❝

ni (i = 1, 2, ..., k) ❧➭ ♣❤➞♥ ❜✐Öt

k

pi ni = n✮ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝✿

✈➭

i=1
p1 sè ❤➵♥❣

p2 sè ❤➵♥❣

pk sè ❤➵♥❣

C(n; n1 , ...n1 , n2 , ...n2 , ..., nk , ...nk )
n!
=
p1 !p2 !...pk !
[p1 !(n1 !)p1 ][p2 !(n2 !)p2 ]...[pk !(nk !)pk ]
✶✸


●✐➯ sư ❝ã ✶✷ s✐♥❤ ✈✐➟♥ t❤❛♠ ❣✐❛ ❝❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✧❚✐Õ♣ sø❝ ♠ï❛

❱Ý ❞ô ✶✳✹✳✶✷

t❤✐ ✬✬ ✳ ❍ä ❝➬♥ ❝ã ♠➷t t➵✐ ♠ét ❜Õ♥ ①❡ ❆✳

(i)

❙è ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ ❝➠♥❣ ✶✷ s✐♥❤ ✈✐➟♥ ♥➭② ❧➭♠ ✈✐Ư❝ ✈➭♦ ❜❛ ❜✉ỉ✐ s➳♥❣✱ ❝❤✐Ị✉✱

tè✐❀ ỗ ổ ờ

C(12; 4, 4, 4)

(ii) ❙è ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛ ✶✷ s✐♥❤ ✈✐➟♥ ♥➭② t❤➭♥❤ ❜❛ ó ỗ ó ó ờ


(ii)

C(12; 4, 4, 4)/3!

❙è ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛ ✶✷ s✐♥❤ ✈✐➟♥ ♥➭② ➤ø♥❣ ✈➭♦ ử ỗ ử ột s

C(12; 4, 4, 4)
.4!
3!



①Ðt ✶✳✹✳✶✸

◆❣♦➭✐ r❛✱ tr♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♣❤ỉ t❤➠♥❣ ❝❤ó♥❣ t❛ ò sử

ụ ế ệ ỉ ợ tỉ ❤ỵ♣ ❧➷♣✿
❈❤Ø♥❤ ❤ỵ♣ ❧➷♣✿

❈❤♦ t❐♣ ❤ỵ♣ ❳ ❣å♠

n

♣❤➬♥ tư✳ ỗ ó ộ

r

ồ

tử ủ t ỗ tử ó tể ề ợ s
ế t ột tứ tự t ị ợ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❝❤Ø♥❤ ❤ỵ♣ ❧➷♣ ❝❤❐♣
♣❤➬♥ tư t❤✉é❝ t❐♣ ❳✳ ❙è ❝❤Ø♥❤ ❤ỵ♣ ❧➷♣ ❝❤❐♣
tõ t❐♣

r

♣❤➬♥ tư ➤Õ♥ t❐♣

❚ỉ ❤ỵ♣ ❧➷♣✿

r

❝đ❛

r

❝đ❛

n ♣❤➬♥ tư ❜➺♥❣ sè ➳♥❤ ①➵

n ♣❤➬♥ tư ✈➭ ❜➺♥❣ nr ✳

❈❤♦ t❐♣ ❤ỵ♣ ❳ ❣å♠

♥❤✃t t❤✐Õt ♣❤➯✐ ♥❤á ❤➡♥ ♥✮ ❝đ❛

n

n ♣❤➬♥ tư✳ ▼ét tỉ ❤ỵ♣ ❧➷♣ ❝❤❐♣ r ✭r ❦❤➠♥❣
♣❤➬♥ tö t❤✉é❝ ❳ ❧➭ ♠ét ❜é ồ

r

tử

ỗ tử ột tr ữ ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ ❳✳ ❙è tỉ ❤ỵ♣ ❧➷♣ ❝❤❐♣
❝đ❛

n

r

n ♣❤➬♥ tö ❜➺♥❣ C(n + r − 1, r)✳

✶✳✺✳

❈➠♥❣ t❤ø❝ ❜❛♦ ❤➭♠ ✈➭ ❧♦➵✐ trõ

❙è ❧➢ỵ♥❣ ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ ♠ét t❐♣ ợ ữ

A

ợ í ệ

n(A)

| A | ễ ❞➭♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢ỵ❝ r➺♥❣✿
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
tr♦♥❣ ➤ã

A ✈➭ B ❧➭ ❝➳❝ t ợ ữ ó ể tí số tư ❝đ❛ A ∪ B ✱

❝❤ó♥❣ t❛ ❝é♥❣

n(A)

✈➭

n(B)

s❛✉ ➤ã trõ ➤✐

✶✹

n(A ∩ B)

tõ tỉ♥❣ ➤ã ✭❝❤ó♥❣ t❛


trừ ữ ì ủ t ❤ỵ♣✮✳ ➜➞② ❧➭ ý t➢ë♥❣ ❝đ❛ ♥❣✉②➟♥ ❧ý
❜❛♦ ❤➭♠ ✈➭ ❧♦➵✐ trõ✳
◆Õ✉
➤ã ♥Õ✉

A ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❝ñ❛ X

A ✈➭ B

n (A ∪ B)
◆❤➢♥❣

A tr♦♥❣ X

t❛ ❦ý ❤✐Ö✉ ♣❤➬♥ ❜ï ❝đ❛

❧➭ ❤❛✐ t❐♣ ❝♦♥ ❝đ❛

X

❧➭

A ✳ ❑❤✐

t❤× t❛ ❝ã ➤➻♥❣ t❤ø❝ s❛✉✿

= n(X) − n(A ∪ B) = n(X) − [n(A) + n(B) + n(A ∩ B)]

(A ∪ B) = A ∩ B

❞♦ ➤ã✿

n(A ∩ B ) = n(X) − [n(A) + n(B)] + n(A ∩ B)
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✺✳✶

♥➭♦ ➤ã ❝đ❛

◆Õ✉

x

❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ tư ❜✃t ❦ú ❝đ❛

X

✈➭

A

❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥

X ✱ t❤× ♣❤Ð♣ ➤Õ♠ ❝đ❛ x tr♦♥❣ A ❜➺♥❣ 1 ♥Õ✉ x ë tr♦♥❣ A ✈➭ ❜➺♥❣

0 ♥Õ✉ x ❦❤➠♥❣ ë tr♦♥❣ A✳
❙✐❡✈❡ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét ➤Þ♥❤ ❧ý tỉ♥❣ qt s
ị ý

tứ ế

ột t ữ

X

A1 , A2 , ..., Am

ữ t ủ

tì

n(A1 A2 ∩ ... ∩ Am ) = n(X) − S1 + S2 − ... + (−1)m Sm
tr♦♥❣ ➤ã

Sk

❧➭ ❦ý ❤✐Ö✉ ủ tổ ự ợ ủ tt ữ

ợ t➵♦ r❛ tõ

k ✲❜é

❣✐❛♦

m t❐♣ ❤ỵ♣ ë tr➟♥✳
n(Ai ∩ Aj ), ....)

(S1 = n(A1 ) + n(A2 ) + ... + n(Am ); S2 =
i,j=1,m
i=j
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿

➤Õ♠ ❝ñ❛

x

▲✃②

x ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ tư t✉ú ý ❝đ❛ t❐♣ ❤ỵ♣ X ✳❚❛ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ♣❤Ð♣

❝ã ❦Õt q✉➯ ❣✐è♥❣ ♥❤❛✉ ë ❝➯ ❤❛✐ ✈Õ ủ trì tr ú

t q t tớ

2 trờ ợ

(i) x ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ ❜✃t ❦ú t❐♣ ❤ỵ♣ ♥➭♦ tr♦♥❣ sè m t❐♣ ❤ỵ♣ tr➟♥✳
(ii) x ❧➭ ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ ➤ó♥❣ r t❐♣ ❤ỵ♣ tr♦♥❣ sè m t❐♣ ❤ỵ♣ tr➟♥✱ r ≥ 1❀ ❝❤ó♥❣
t❛ ❧✉➠♥ ❝ã t❤Ĩ ❣✐➯ t❤✐Õt ❧➭

A1 , A2 , ..., Ar ✳

❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ➤➬✉✱ ♣❤Ð♣ ➤Õ♠ ❝ñ❛

x ❜➺♥❣ 1 ë ❝➯ ❤❛✐ ✈Õ ủ trì

r trờ ợ s é ế ủ

x

ở ế tr➳✐ ❜➺♥❣

0✳

➜è✐ ✈í✐ ✈Õ ♣❤➯✐

❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã✿

Sk =

n(Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik )
✶✺

(k = 1, 2, ..., m)


P❤Ð♣ ➤Õ♠ ❝ñ❛

x ë ✈Õ ♣❤➯✐ ❧➭✿

1 − C(r, 1) + C(r, 2) − C(r, 3) + ... + (−1)r C(r, r) = (1 − 1)r = 0
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✺✳✸

❱í✐ ❦ý ❤✐Ư✉ ❣✐è♥❣ ♥❤➢ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✼

n(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Am ) = S1 − S2 + ... + (−1)m−1 Sm
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿

❚❛ ❝ã

n(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Am ) = n(X) − n(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Am )

s✉② r❛ ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

✶✻


❈❤➢➡♥❣ ✷
▼ét sè ❝❤✉②➟♥ ➤Ị ✈Ị tỉ ❤ỵ♣ ❞➭♥❤ ❝❤♦ ❤ä❝

s✐♥❤ ❝ã ♥➝♥❣ ❦❤✐Õ✉ t♦➳♥ ❜❐❝ tr✉♥❣ ❤ä❝ ♣❤æ
t❤➠♥❣
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② t➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ tr×♥❤ ❜➭② ✶✵ ✈✃♥ ➤Ị✿
❈❤✉②➟♥ ➤Ị

1✿ ◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ị

2✿ ❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tỉ ❤ỵ♣✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ị

3✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❝❤✉å♥❣ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò

4✿ ❈➳❝ sè ❘❛♠s❡②✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò

5✿ ❈➳❝ sè ❈❛t❛❧❛♥✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò

6✿ ❈➳❝ số tr

ề

7 ị tổ ợ tổ qt

➤Ị

8✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❜❛♦ ❤➭♠ ✈➭ ❧♦➵✐ trõ✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ị

9✿ ◆❤÷♥❣ sù ①➳♦ tré♥ ✈➭ ♥❤÷♥❣ sù s➽♣ ➤➷t tr➢í❝✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ị

10✿ ợ t ế

r ỗ ề t tờ ợ t t ữ ủ ề
t ị ó ọ s tự tì t ì ữ ế tứ q
ế ủ ề ợ ồ tờ ỗ ❜➭✐ ➤Ò✉ ❝ã ❧ê✐ ❣✐➯✐ ❝❤✐ t✐Õt✱ ♥❣➽♥ ❣ä♥✱
➤➬② s➳♥❣ t➵♦ ✈➭ ❜✃t ♥❣ê✳ ❈➳❝ ❧ê✐ ❣✐➯✐ ♥➭② Ýt ❣➷♣ tr t ệ ề tổ ợ
ó tr tị trờ ❚➳❝ ❣✐➯ ❤✐ ✈ä♥❣ ❝❤Ý♥❤ ➤✐Ò✉ ♥➭② ❦Ý❝❤ t❤Ý❝❤ sù ❤❛♠ ❤✐Ĩ✉
❜✐Õt✱ ❧ß♥❣ s❛② ♠➟ ❝đ❛ ❝➳❝ ❤ä❝ s✐♥❤ ❝ã ♥➝♥❣ ❦❤✐Õ✉ t♦➳♥✳

✶✼


✷✳✶✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ị ✶✿ ◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥

▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❝❤✉②➟♥ ➤Ị ❧➭ ❞ï♥❣ ❤❛✐ q✉② t➽❝ ➤Õ♠ ❝➡ ❜➯♥ t×♠ ❤✐Ĩ✉ ♠ét
sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ✈Ị sè ♣❛❧✐♥❞r♦♠❡✱ ỗ ị tự ố từ ó
ù ❧➭♠ ❝➡ së ➤Ĩ ❣✐➯✐ ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ tỉ ợ tr ề tế

t r ò ❝ã ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❦❤➳❝ ✈❐♥ ❞ô♥❣ ❤❛✐ q✉② t➽❝ ♥➭② ➤❡♠
➤Õ♥ ♠ét ❧ê✐ ❣✐➯✐ ❤❛②✱ ➤é❝ ➤➳♦✳ ❍ä❝ s ó tể tì t sự tú ị q
ết ❝➳❝ sè ë ❜➭✐

2.1.5✱

2.1.7

❤❛② tr♦♥❣ ❝➳❝ ❜➭✐

2.1.9 ✈➭ 2.1.10 t❤❛② ✈× t×♠ sè ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ sè ♥❣✉②➟♥ ◆

❝➳❝❤ t×♠ r❛ ♠è✐ ❧✐➟♥ ❤Ư ❣✐÷❛ ❜➭✐

✈➭ ❜➭✐

2.1.8

t❤➭♥❤ tÝ❝❤ ❝đ❛ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➟♥ tè ❝ï♥❣ ♥❤❛✉ t❛ ❧➵✐ ➤✐ t×♠ sè ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛
♠ét t❐♣ ❤ỵ♣ t➢➡♥❣ ø♥❣ t❤➭♥❤ ❤❛✐ t❐♣ ợ rỗ
ị ĩ

ột r ♠ét ❞➲② ❤÷✉ ❤➵♥ ❝➳❝ ❦ý tù ♠➭ ➤ä❝

①✉➠✐ ✈➭ ➤ä❝ ♥❣➢ỵ❝ ♥❤➢ ♥❤❛✉ ✭❱Ý ❞ơ✿
❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✳✷

ABEU EBA✮✳

❍á✐ ❝ã ❜❛♦ ♥❤✐➟✉ ♣❛❧✐♥❞r♦♠❡ ❝ã

7 ❝❤÷ sè ❤♦➷❝ 8 ❝❤÷ sè✱ ❜✐Õt

r➺♥❣ tr♦♥❣ sè ➤ã ❦❤➠♥❣ ❝ã ❝❤÷ sè ♥➭♦ ①✉✃t ❤✐Ư♥ ♥❤✐Ị✉ ❤➡♥

●✐➯✐✿

●✐➯ sư ♠ét sè ♣❛❧✐♥❞r♦♠❡ ❝ã ➤é ❞➭✐

q✉❛♥ t➞♣ ➤Õ♥
t➞♠ ➤Õ♥

4

n+1
2

4✳

❉♦ tÝ♥❤ ➤è✐ ①ø♥❣✱ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥

✈Þ trÝ ➤➬✉ t✐➟♥✳ ❈ơ t❤Ĩ✱ tr♦♥❣ ❜➭✐ ♥➭② t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ q✉❛♥

✈Þ trÝ ➤➬✉✳ ❱Þ trÝ ➤➬✉ t✐➟♥ ♣❤➯✐ ❦❤➳❝

❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ❝❤♦ ✈Þ trÝ t❤ø
trÝ t❤ø

n✳

❉♦ ➤ã ❝ã

2 ❧➬♥✳

2✱ 8

0

♥➟♥ ❝ã

❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ❝❤♦ ✈Þ trÝ t❤ø

(9).(9).(8).(7) = 4536

9

3✱ 7

❝➳❝❤ ❝❤ä♥✳ ❈ã

9

❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ❝❤♦ ✈Þ

sè ♣❛❧✐♥❞r♦♠❡ t❤♦➯ ♠➲♥ ②➟✉ ❝➬✉

❜➭✐ t♦➳♥✳
➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✶✳✸

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ✿ ✧▼ét sè ♣❛❧✐♥❞r♦♠❡ ❝ã ➤é ❞➭✐ ❝❤➼♥ t❤×

❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ 11✧✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿

(1)

❚❛ t❤✃② ♥Õ✉ ❜á ➤✐ ❝❤÷ sè ➤➬✉ t✐➟♥ ✈➭ ❝❤÷ sè ❝✉è✐ ❝ï♥❣ ❝đ❛

♠ét số r tì t ợ ột số r ớ ❉♦ ➤ã t❛ ❝❤ø♥❣
♠✐♥❤

(1) t❤❡♦ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ q✉② ♥➵♣✳

●✐➯ sö ❝❤♦

N

❧➭ ♠ét sè ♣❛❧✐♥❞r♦♠❡ ❝ã ➤é ❞➭✐

✰✮ ◆Õ✉

k = 1 t❤× (1) ❤✐Ĩ♥ ♥❤✐➟♥ ➤ó♥❣✳

✰✮ ◆Õ✉

k ≥ 2 t❛ ❝ã✿
✶✽

2k ✳

N = a2k−1 .102k−1 + a2k−2 .102k−2 + ... + ak .10k + ak .10k−1 + ... + a2k−2 .101
+ a2k−1 .100 = a2k−1 (102k−1 + 100 ) + (a2k−2 .102k−2 + ... + a2k−2 .101 ) =
a2k−1 .P + Q
❚r♦♥❣ ➤ã✿
✈➭

P = 100...001 = 11. 9090...9091
2k ❝❤÷ sè
2k−2

Q = a2k−2 .10

+ ... +

❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣
❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✳✹

2k−2❝❤÷ sè
a2k−2 .101

Q ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ 11✳ ❱❐② n ❝❤✐❛ ❤Õt 11

r ột số r ị ữ số ứ

ữ ữ số tế t ó tể
ị ♣❤➞♥ ❝ã ➤é ❞➭✐

●✐➯✐✿

❚❤❡♦ ❜➭✐

0 ❤♦➷❝ 1✳ ❍➲② ➤Õ♠ t✃t ❝➯ ❝➳❝ sè ♣❛❧✐♥❞r♦♠❡

n✳

2[

n−1
2 ]

n−1
n+1
−1 =
2
2
1 ❤♦➷❝ ❝❤÷ sè 0✳❱❐② ❝ã t✃t

2.1.2✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ q✉❛♥ t➞♠ ➤Õ♥

✈Þ trÝ✱ ỗ ị trí ó tể ữ sè
❝➯

sè t❤♦➯ ♠➲♥ ②➟✉ ❝➬✉ ❜➭✐ t♦➳♥✳

❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✳✺

❚r♦♥❣

100000 sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ➤➬✉ t✐➟♥ ❝ã ❜❛♦ ♥❤✐➟✉ sè ♠➭

tr♦♥❣ ❜✐Ó✉ ❞✐Ơ♥ t❤❐♣ ♣❤➞♥ ❝đ❛ ♥ã ❝❤ø❛ ➤ó♥❣ ♠ét ❝❤÷ sè
♠ét ❝❤÷ sè

●✐➯✐✿

1 ✈➭

3✱

♠ét ❝❤÷ sè

4

✈➭

5✳

❚❛ ✈✐Õt

100000 sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ➤➬✉ t✐➟♥ t❤❡♦ ❝➳❝❤ s❛✉✿

✰✮ ❙è

0 ✈✐Õt ❧➭ 00000✳

✰✮ ❙è

1 ✈✐Õt ❧➭ 00001✳

✰✮ ❙è

2 ✈✐Õt ❧➭ 00002✳

✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳
✰✮ ❙è

99999 ✈✐Õt ❧➭ 99999✳

❚❤❡♦ ết tr ỗ số tì ó
ột tr

5 ị trí ữ số 3 ó tể ọ t ỳ

5 ị trÝ ➤➲ ❝❤♦✱ s❛✉ ➤ã ❝❤÷ sè 4 ❝ã t❤Ĩ ọ t ỳ ột tr 4 ị

trí ò ữ sè

5 ❝ã t❤Ĩ ❝❤ä♥ ❜✃t ❦ú ♠ét tr♦♥❣ 3 ✈Þ trí ò

trí t ó tể ọ t ỳ ữ số tộ t ợ

ò ị

{0, 1, 2, 6, 7, 8, 9}✳ ❱❐② ❝ã

(5).(4).(3).(7).(7) = 2940 sè ♥❣✉②➟♥ t❤♦➯ ♠➲♥ ②➟✉ ❝➬✉ ❜➭✐ t♦➳♥✳
❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✳✻

❚×♠ sè ➢í❝ t❤ù❝ sù ❝đ❛ sè

sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣

●✐➯✐✿

441000 ✭♠ét ➢í❝ t❤ù❝ sù ❝đ❛ ♠ét

n ❧➭ ❜✃t ❦ú ➢í❝ ♥➭♦ ❝đ❛ n ❦❤➳❝ 1 ✈➭ n✮✳

▼ét sè ♥❣✉②➟♥ ❜✃t ❦ú ❝ã t❤Ĩ ❜✐Ĩ✉ t❤Þ ❞✉② ♥❤✃t ❜➺♥❣ tÝ❝❤ ❝ñ❛ ❧✉ü t❤õ❛

✶✾


❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè✳ ❈ơ t❤Ĩ✿

441000 = (23 ).(32 ).(53 ).(72 ).

❇✃t ❦ú ♠ét ➢í❝

♥➭♦ t❤ù❝ sù ❤❛② ❦❤➠♥❣ t❤ù❝ sù ❧➭ sè ❝ã ❞➵♥❣

(2a ).(3b ).(5c ).(7d )✱

0 ≤ a ≤ 3; 0 ≤ b ≤ 2; 0 ≤ c ≤ 3; 0 ≤ d ≤ 2✳

❚r♦♥❣ ❝➳❝❤ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ♥➭②✱

❝ã

4 ❝➳❝❤

❝❤ä♥✱

b

❝ã

3 ❝➳❝❤

❝❤ä♥✱

c

❝ã

4 ❝➳❝❤

❝❤ä♥✱

d ❝ã 3 ❝➳❝❤

tr♦♥❣ ➤ã✿

a

❝❤ä♥✳ ❱❐②

❜➺♥❣ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥✱ tỉ♥❣ sè ➢í❝ t❤ù❝ sù t❤♦➯ ♠➲♥ sÏ ❧➭✿

(4).(3).(4).(3) − 2 = 142
❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✳✼

✭sè✮

➜Õ♠ sè ➢í❝ t❤ù❝ sù ❝ñ❛ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥

N

❜✐Õt

N

❝ã ❦Õt q✉➯

♣❤➞♥ tÝ❝❤ r❛ t❤õ❛ sè ♥❣✉②➟♥ tè ♥❤➢ s❛✉✿

N = pn1 1 pn2 2 ...pnk k
✭tr♦♥❣ ➤ã

●✐➯✐✿

p1 , p2 , ..., pk

❚❤❡♦ ❜➭✐

❧➭ ❝➳❝ ➢í❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè✮

2.1.6 sè ❝➳❝ ➢í❝ t❤ù❝ sù ❝ñ❛ N

❧➭✿

(n1 + 1)(n2 + 1)...(nk + 1) − 2
❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✳✽

▼ét t❐♣ ❤ỵ♣ ❣å♠

ni

✈❐t ➤å♥❣ ♥❤✃t ❝ã ❞✃✉ ❤✐Ư✉ i✱ tr♦♥❣ ➤ã

i = 1, 2, ..., k ✳ ❈ã ❜❛♦ ♥❤✐➟✉ ❝➳❝❤ ❧✃② r❛ Ýt ♥❤✃t ♠ét ✈❐t tõ t ợ tr


sử ữ t ó ệ

tố ủ sè ♥❣✉②➟♥
➢í❝ ❝đ❛

N

tr♦♥❣ ❜➭✐

i ❧➭ ♥❤÷♥❣ ✈❐t pi ✭❝♦✐ pi ❧➭ ♥❤➞♥ tö ♥❣✉②➟♥

2.1.7✮✳ ❨➟✉ ❝➬✉ ❜➭✐ t♦➳♥ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ➤Õ♠ sè

N ✱ ❦❤➠♥❣ ❜❛♦ ❣å♠ sè 1✳ ❚❤❡♦ ❜➭✐ 2.1.7 ❦Õt q✉➯ ❝➬♥ t×♠ ❧➭✿
(n1 + 1)(n2 + 1)...(nk + 1) − 1

❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✳✾

❝❤♦

❚×♠ sè ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ tÝ❝❤

441000 t❤➭♥❤ ❤❛✐ ♥❤➞♥ tö m ✈➭ n s❛♦

m > 1, n > 1 ✈➭ m, n ❝❤Ø ❝ã ➢í❝ ❝❤✉♥❣ ❧➭ 1✳

✭◆ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝

m ✈➭ n ❧➭

❤❛✐ sè ♥❣✉②➟♥ tè ❝ï♥❣ ♥❤❛✉✮✳

●✐➯✐✿

❚❛ ①Ðt t❐♣ ❤ỵ♣

sè♥❣✉②➟♥ tè ❝đ❛

X = {23 ; 32 ; 53 ; 72 }

441000✳

❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ sù tí r từ

õ r r ỗ tử ủ

tr sù ♣❤➞♥ tÝ❝❤ r❛ t❤õ❛ sè ♥❣✉②➟♥ tè ❝đ❛
①✉✃t ❤✐Ư♥ ➤å♥❣ t❤ê✐ ë ❝➯
t❤➭♥❤

X✳

X

♣❤➯✐ ①✉✃t ❤✐Ư♥

m ❤♦➷❝ ❝đ❛ n ♥❤➢♥❣ ợ

2 số ữ sự tí ủ m ✈➭ n ♣❤➯✐ ❤ỵ♣

❚ø❝ ❧➭ sè ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ tÝ❝❤

441000 t❤➭♥❤ ❝➷♣ m, n
✷✵

❜➺♥❣ ✈í✐ sè ❝➳❝❤


❝❤✐❛

X

n.m

❧➭ sù ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❣✐è♥❣ ♥❤❛✉✮✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ♣❤➞♥ t

t

2

t rỗ q t ế tứ tù ✈×

X

m.n

✈➭

✭❦❤➠♥❣ tÝ♥❤

t❤ø tù✮ t❤♦➯ ♠➲♥ ②➟✉ ❝➬✉ ❧➭✿

X = {23 } + {32 , 53 , 72 } = {32 } + {23 , 53 , 72 }
= {72 } + {23 , 32 , 53 }
= {23 , 32 } + {53 , 72 } = {23 , 53 } + {32 , 72 }
= {23 , 72 } + {32 , 53 }
❉♦ ➤ã ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❧➭✿
❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✳✶✵

❚æ♥❣ q✉➳t ❜➭✐

❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè

(k ≥ 2)✳

4 + 3 = 7 = 24−1 − 1

2.1.9 t❛ ❝ã✿ ♥Õ✉ N = pn1 1 pn2 2 ...pnk k ✱ p1 , p2 , ..., pk

❚❤× sè ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ tÝ❝❤

N = m.n

s❛♦ ❝❤♦

m, n

❧➭ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➟♥ tè ❝ï♥❣ ♥❤❛✉ ❧➭✿

2k−1 − 1
●✐➯✐✿

(m > 1, n > 1)

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦

✰✮ ❈❤♦
✰✮ ❈❤♦

k✳

k = 2✱ ❦Õt q✉➯ ❧➭ ❞Ơ t❤✃②✳
k ≥ 3✱

❝❤ó♥❣ t❛ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ♠ét t❐♣ ❤ỵ♣

k

♣❤➬♥ tư ♣❤➞♥ ❜✐Ưt

Z = {a1 , a2 , ..., ak−1 , ak } ❝ã 2k1 1 t
rỗ ✭❦❤➠♥❣ tÝ♥❤ t❤ø tù✮✳ ●✐➯ t❤✐Õt ❦Õt q✉➯ ➤ó♥❣ ✈í✐ ữ t ợ ó
tử ệt ột sự ❝❤✐❛ ❝ñ❛

(k − 1)

Z ❧➭✿

Z = {ak } ∪ {a1 , a2 , ..., ak−1 }
≡ {ak } ∪ W
❇➞② ❣✐ê ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣

W

❝ã

2k−2 − 1 ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛ t

ứ ớ ỗ ó t❛ t❤➟♠
❤❛✐ ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛ ❝ñ❛
♣❤➞♥ ❝❤✐❛

Z✳

ak

✈➭♦ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ tì ợ

í t ở tr t ❝ã ❦Õt q✉➯ sè

Z t❤➭♥❤ ❤❛✐ ♣❤➬♥ t❤♦➯ ♠➲♥ ②➟✉ ❝➬✉ ❧➭✿
1 + (2k−2 − 1).2 = 2k−1 − 1(➤♣❝♠).

➜Þ♥❤ ĩ

1



X

r ột ỗ ị tử

ột t ợ tt ỗ ị ó ➤é ❞➭✐

✷✶

0 ❤♦➷❝ ❜➺♥❣
n✳

▼ét ❤➭♠


❧➠❣Ý❝ ❝ñ❛

n ❜✐Õ♥ ❧➭ ♠ét ❤➭♠ tõ X

❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✳✶✷

●✐➯✐✿

▲ù❝ ợ ủ

f

Y = {0, 1}

ì số í ệt ❝ñ❛

X

❧➭✿

n ❜✐Õ♥✳

r = 2n ✳ ❉♦ ➤ã sè ❤➭♠ ❧➠❣Ý❝ t❤♦➯ ♠➲♥ ❧➭ 2r ✳

▼ét ❤➭♠ ❧➠❣Ý❝ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ tù ➤è✐ ♥❣➱✉ ♥Õ✉ ❣✐➳ trÞ ❝đ❛

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✶✳✶✸

❤➭♠

tí✐ t❐♣ ợ

t ổ ế ỗ tử tộ ề ị ủ

ổ ữ số
í ụ



f

t

0 ổ t❤➭♥❤ sè 1 ✈➭ ♥❣➢ỵ❝ ❧➵✐✳

n = 6, f (101101) = f (010010)

♥➟♥

f

❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❧➠❣Ý❝

tù ➤è✐ ♥❣➱✉✳
❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✳✶✺

●✐➯✐✿

❈ã

4

❍➲② ❧✐Öt ❦➟ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧➠❣Ý❝ tù ➤è✐ ♥❣➱✉ ❤❛✐ ❜✐Õ♥✳

❤➭♠ ❧➠❣Ý❝ ➤è✐ ♥❣➱✉ tõ t❐♣ ❤ỵ♣

X = {00; 01; 10; 11}

tí✐ t❐♣ ❤ỵ♣

Y = {0; 1}
a)f1 (00) = f1 (11) = f1 (01) = f1 (10) = 0
b)f2 (00) = f2 (11) = f2 (01) = f2 (10) = 1
c)f3 (00) = f3 (11) = f3 (01) = f3 (10) = 1
d)f4 (00) = f4 (11) = f4 (01) = f4 (10) = 0
n ❜✐Õ♥✳
r
●✐➯✐✿ ❚❤❡♦ ❜➭✐ 2.1.12 X ❝ã t❤Ó ♣❤➞♥ t❤➭♥❤
= 2n−1 ❝➷♣ (ς, ς ) tr ó
2
ỗ ó ợ từ t 0 t 1 ợ ố ớ ỗ
r
tì ❣✐➳ trÞ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧➠❣Ý❝ tù ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝ã t❤Ĩ ♥❤❐♥ ❧➭ 0 ❤♦➷❝ 1✳ ❉♦ ➤ã ❝ã 2 2
❇➭✐ t

ì số ợ í tự ố ❝ñ❛

❤➭♠ ♥❤➢ ✈❐②✳ ➜➞② ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❝➝♥ ❜❐❝ ❤❛✐ ❝ñ❛ tỉ♥❣ sè ❝➳❝ ❤➭♠ ❧➠❣Ý❝✳
❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✳✶✼

➤Õ♥

❈❤♦ ♠ét ❧➢í✐ ❣å♠ ❝➳❝ ➠ ✈✉➠♥❣✳ ❈➳❝ ♥ót ➤➢ỵ❝ ➤➳♥❤ sè tõ

0

n t❤❡♦ ❝❤✐Ò✉ tõ tr➳✐ s❛♥❣ ♣❤➯✐ ✈➭ tõ 0 ➤Õ♥ m t❤❡♦ ❝❤✐Ị✉ tõ ❞➢í✐ ❧➟♥ tr➟♥✳

❍á✐ ❝ã ❜❛♦ ♥❤✐➟✉ ➤➢ê♥❣ ➤✐ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ tõ ♥ót ✭✵✱ ✵✮ ➤Õ♥ ♥ót ✭♥✱ ♠✮ ♥Õ✉ ❝❤Ø
❝❤♦ ♣❤Ð♣ ➤✐ tr➟♥ ❝➵♥❤ ❝➳❝ ➠ ✈✉➠♥❣ t❤❡♦ ❝❤✐Ò✉ s❛♥❣ ♣❤➯✐ ❤♦➷❝ ❧➟♥ tr➟♥✳

●✐➯✐
▼ét ➤➢ê♥❣ ➤✐ ♥❤➢ tế ợ ồ

n + m ỗ ột

ỗ ỉ ợ ❝❤ä♥ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ❣✐➳ trÞ ✿ ➤✐ ❧➟♥ ✭ ♠➭ t❛ ♠➲
❧➭ ✶✮ ❤❛② s❛♥❣ ♣❤➯✐ ✭ ♠➭ t❛ ♠➲ ❧➭ ✵ ✮✳ ❙è ➤♦➵♥ ➤✐ ❧➟♥ ➤ó♥❣ ❜➺♥❣
s❛♥❣ ♣❤➯✐ ➤ó♥❣ ❜➺♥❣

m ✈➭ sè ➤♦➵♥

n✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❞➱♥ ➤Õ♥ ệ tì ó ị



♣❤➞♥ ➤é ❞➭✐

n + m tr♦♥❣ ➤ã ❝ã ➤ó♥❣ m t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❜➺♥❣ ✶✳ ➜➞② ❝ò♥❣ ❝❤Ý♥❤

❧➭ sè t❐♣ ❝♦♥
➤Õ♠ ❜➺♥❣

m

♣❤➬♥ tư ❝đ❛ ♠ét t❐♣

n

♣❤➬♥ tư✱ ✈× t❤Õ sè ➤➢ê♥❣ ➤✐ ❝➬♥

C(n + m, m)✳

❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✳✶✽

❝ã

n+m

♣❤➬♥ tö✱

❈❤♦

m✱ n ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❧í♥ ❤➡♥ ✶✳ ❈❤♦ ❙ ❧➭ ♠ét t ợ

A1 , A2 , ..., Am

ữ t ❝đ❛ ❙✳ ●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ ❜✃t ❦ú

Ai

❤❛✐ ♣❤➬♥ tư ① ✈➭ ② tr♦♥❣ ❙ ❜❛♦ ❣✐ê ❝ò♥❣ ❝ã ♠ét t❐♣ ❤ỵ♣

Ai

✈➭ ② ❦❤➠♥❣ ë tr♦♥❣

♠✐♥❤ r➺♥❣

●✐➯✐✿

❤♦➷❝ ① ❦❤➠♥❣ ë tr♦♥❣

Ai

✈➭ ② ë tr♦♥❣

Ai ✳

❈❤ø♥❣

n ≤ 2m ✳

❈❤ó♥❣ t❛ ❤➲② ❧✐➟♥ ết ỗ tử

ữ số
ế

Ai

s ở tr

a(x) = (x1 , x2 , ..., xm )

x tr♦♥❣ ❙ ✈í✐ ♠ét ❞➲② ♥❤Þ ♣❤➞♥ ❝ã m

t❤á❛ ♠➲♥

xi = 1

♥Õ✉

x

ë tr♦♥❣

Ai

✈➭

xi = 0

x ❦❤➠♥❣ ë tr♦♥❣ Ai ✳ ❚❛ ①➞② ❞ù♥❣ ♠ét ❤➭♠ sè ✿
f : S −→ T = {(x1 , x2 , ..., xm ) | xi ∈ {0, 1}}

✳
❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt✱ ♥Õ✉

x

❦❤➳❝

y

t❤×

f (x)

❦❤➳❝

f (y)✱

❤❛② ❢ ❧➭ ♠ét ❤➭♠

ì số tử ủ t ợ ♣❤➯✐ ♥❤✐Ị✉ ❤➡♥ ❤♦➷❝ ❜➺♥❣ sè ♣❤➬♥ tư ❝đ❛
t❐♣ ❙✳ ❉Ơ t❤✃② sè ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ ❚ ❜➺♥❣

(x1 , x2 , ..., xm )
ó

2m

ở ì ỗ t

ỉ ó t❤Ĩ ♥❤❐♥ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ❣✐➳ trÞ ❧➭

0

❤♦➷❝

1✮✳

xi

❝đ❛

❉♦ ➤ã t❛

n 2m



ề ị tổ ợ

❢ ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ tõ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ ❆ ✈➭♦ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ ❇✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ➤Ị✉ ❜✐Õt
r➺♥❣✱ ♥Õ✉ ❢ ❧➭ ➤➡♥ ➳♥❤ t❤×

n(A) ≤ n(B)✳ ◆Õ✉ ❢ ❧➭ t tì n(A) n(B)

ò ế s ➳♥❤ t❤×

n(A) = n(B)✳ ➜➞② ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❝➡ së ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣

t❤✐Õt ❧❐♣ s♦♥❣ ➳♥❤ ➤Ó ❣✐➯✐ ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ tỉ ❤ỵ♣ ♠➭ ♠ét sè s➳❝❤ ➤➲ ♥➟✉ ✈➭
❝ị♥❣ ❧➭ ❝❤đ ➤Ị ➤➬✉ t✐➟♥ t➳❝ ❣✐➯ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢❛ r❛ tr♦♥❣ ✈✃♥ ➤Ò ♥➭②✳ ❚✐Õ♣ ➤Õ♥ ❧➭
♠ét sè ❜➭✐ t ề ị ò q ọ s ó tể t tí tú ớ
sự t ệ ợ ý ủ ữ ❝❤✐Õ❝ ❣❤Õ tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❜➭✐ ♥➭②✳ ❈❤đ ➤Ị t❤ø ❜❛

✷✸