Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm ổn định

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRỊNH DUY BÌNH

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NGHIỆM
HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU
ĐA MỤC TIÊU VỚI CÁC HÀM ỔN
ĐỊNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thái Ngun - 2013

Số hóa bởi Trung tâm Học lieäu

/>

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRINH DUY BÌNH

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NGHIỆM
HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU
ĐA MỤC TIÊU VỚI CÁC HÀM ỔN
ĐỊNH

Chuyên ngành :

TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số : 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU

Thái Nguyên - 2013

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Mục lục
Mở đầu

1

1 Hàm ổn định và đạo hàm tiếp liên
1.1 Hàm ổn định và đạo hàm tiếp liên . . . . . . . . . . .
1.2 Các quy tắc tính đạo hàm tiếp liên . . . . . . . . . .

3
3
11

2 Điều kiện tối ưu

18

2.1
2.2
2.3
2.4

Jacobian suy rộng Clarke . . .
Các hàm vững . . . . . . . . .
Các điều kiện tối ưu . . . . .
Các quy tắc nhân tử Lagrange

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

Kết luận

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

18
21
30
37
41

Tài liệu tham khảo

42

ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Mở đầu
Lý thuyết các điều kiện tối ưu vectơ là một phần quan trọng
của lý thuyết tối ưu hóa. Người ta thiết lập các điều kiện tối ưu cho
các bài tốn tối ưu khơng trơn với các hàm Lipschitz địa phương
dưới ngôn ngữ các dưới vi phân khác nhau, chẳng hạn dưới vi phân
hàm lồi, các dưới vi phân Clarke, Michel Penot, Mordukhovich . . .
Lớp các hàm ổn định tại mỗi điểm của một tập rộng hơn lớp các
hàm Lipschitz địa phương trên tập đó. Bài tốn tối ưu vectơ với các
hàm ổn định được Jimenez - Novo [6] nghiên cứu và thiết lập các
điều kiện tối ưu dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên . Jimenez - Novo
[6] cũng chỉ ra đạo hàm tiếp liên có nhiều tính chất phong phú trong
lớp các hàm ổn định. Đây là vấn đề thời sự được nhiều tác giả quan
tâm nghiên cứu. Chính vì thế em chọn đề tài: " Điều kiện tối ưu cho
nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm ổn
định "
Luận văn trình bày lý thuyết đạo hàm tiếp liên cho hàm ổn định,
hàm vững và các điều kiện tối ưu của Jimenez - Novo [6] cho bài
toán tối ưu đa mục tiêu tổng qt trong khơng gian định chuẩn và
bài tốn tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón và ràng buộc đẳng
thức trong không gian hữu hạn chiều.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh
mục các tài liệu tham khảo.
Chương 1. Hàm ổn định và đạo hàm tiếp liên
Trình bày các kết quả nghiên cứu của Jimenez - Novo ([6], 2008)
về hàm ổn định và đạo hàm tiếp liên của các hàm ổn định, các quy

tắc tính đạo hàm tiếp liên trong lớp các hàm ổn định bao gồm: quy
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

tắc hàm hợp, đạo hàm tiếp liên của một tổng, một tích, một thương
hai hàm và max của một số hữu hạn hàm ổn định.
Chương 2. Điều kiện tối ưu
Trình bày các kết quả của Jimenez - Novo [6] về hàm vững, mối
quan hệ với hàm ổn định, hàm khả vi Hadamard, hàm Lipschitz địa
phương, đạo hàm tiếp liên của hàm vững, và các điều kiện tối ưu
cho bài toán tối ưu vectơ tổng quát với các hàm ổn định và hàm
vững dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên. Chương 2 cũng trình bày các
điều kiện cần và đủ tối ưu dưới dạng các quy tắc nhân tử Lagrange
cho bài tốn tối ưu vectơ với ràng buộc nón và ràng buộc đẳng thức
trong không gian hữu hạn chiều, dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên.
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại
học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TS. Đỗ Văn
Lưu. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận
tâm và nhiệt tình của Thầy trong suốt quá trình em thực hiện luận
văn.
Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa
học và Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học,
Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ em trong suốt thời
gian học tập tại trường.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng
nghiệp đã động viên, giúp đỡ em trong quá trình học tập của mình.
Do thời gian và kiến thức cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh
khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý của các

thầy cơ để luận văn được hồn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 15 tháng 7 năm 2013
Tác giả

Trịnh Duy Bình

2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Chương 1

Hàm ổn định và đạo hàm tiếp liên
Chương 1 trình bày các kết quả nghiên cứu của Jimenez - Novo
([6], 2008) về hàm ổn định và đạo hàm tiếp liên của các hàm ổn
định, các quy tắc tính đạo hàm tiếp liên trong lớp các hàm ổn định
bao gồm: quy tắc hàm hợp, đạo hàm tiếp liên của một tổng, một
tích, một thương hai hàm và max của một số hữu hạn hàm ổn định.
1.1

Hàm ổn định và đạo hàm tiếp liên

Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn, M là một tập con của
X. Ký hiệu B (x0 , δ) là hình cầu mở tâm x0 , bán kính δ.
Kí hiệu intM , clM , coM , coneM tương ứng là phần trong của M,
bao đóng của M, bao lồi của M, nón sinh bởi M, và
Cone+ M = {αx : α > 0, x ∈ M } .
Nón D ⊂ Y được gọi là nón nhọn nếu D ∩ (−D) = {0} .Trong
chương này ta giả thiết D là nón lồi đóng nhọn có phần trong khác

rỗng. Nón D sinh ra thứ tự trong khơng gian Y.
Định nghĩa 1.1.1.
Giả sử M ⊂ X và x0 ∈ X.
(a) Nón tiếp tuyến của M tại x0 là
T (M, x0 ) = v ∈ X : ∃tn → 0+ , ∃vn → v
sao cho x0 + tn vn ∈ M, ∀n ∈ N ;
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

(b) Nón các phương đạt được của M tại x0 là
A(M, x0 ) = v ∈ X : ∀tn → 0+ , ∃vn → v
sao cho x0 + tn vn ∈ M, ∀n ∈ N ;
(c) Nón tiếp tuyến phần trong của M tại điểm x0 là
IT (M, x0 ) = v ∈ X : ∃δ > 0 sao cho x0 + tu ∈ M
∀t ∈ (0, δ] , ∀u ∈ B (v, δ) ;
(d) Nón tiếp tuyến phần trong dãy của M tại x0 là
ITs (M, x0 ) = v ∈ X : ∃δ > 0, ∃tn → 0+ sao cho
x0 + tn u ∈ M ∀n ∈ N, ∀u ∈ B (v, δ) .
Chú ý rằng ta luôn có A (M, x0 ) ⊂ T (M, x0 ) .Tập hợp M được
gọi là khả dẫn xuất (derivable) tại điểm x0 (xem [10]) nếu
A(M, x0 ) = T (M, x0 ).
Ta nói rằng hàm f : X → Y là khả dẫn xuất đồ thị (graph derivable) tại x0 theo phương v ∈ X nếu với ∀y ∈ Y ,
(v, y) ∈ T (graphf , (x0 , f (x0 ))) ⇒ (v, y) ∈ A (graphf , (x0 , f (x0 ))),
trong đó graphf = {(x, y) ∈ X × Y : y = f (x)}.
Hàm f là khả dẫn xuất đồ thị tại x0 nếu f là khả dẫn xuất đồ
thị tại x0 theo mọi phương ∀v ∈ X khi và chỉ khi
T (graphf, (x0 , f (x0 ))) = A (graphf, (x0 , f (x0 )))
tức là tập hợp graphf là khả dẫn xuất tại điểm (x0 , f (x0 )).

Sau đây là một ví dụ về hàm khả dẫn xuất đồ thị.
Ví dụ 1.1.1
1
Giả sử f : R → R được cho bởi f (x) = x sin
nếu x = 0 và
x
f (0) = 0. Khi đó f là khả dẫn xuất đồ thị tại 0.
Đạo hàm Hadamard của f : X → Y tại x0 theo phương v ∈ X là
f (x0 + tu) − f (x0 )
df (x0 , v) =
lim+
.
(t,u)→(0 ,v)
t
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

f là hàm khả vi Hadamard tại x0 theo phương v nếu df (x0 , v) tồn
tại, và f là hàm khả vi Hadamard tại x0 nếu df (x0 , v) tồn tại với
mọi v ∈ X. Nếu f khả vi Frechet tại x0 , đạo hàm Frechet của nó
được kí hiệu bởi ∇f (x0 ).
Nếu hàm f : X → R thì đạo hàm Hadamard dưới và trên của f tại
x0 được định nghĩa bởi
df (x0 , v) =

lim+

(t,u)→(0

tương ứng df (x0 , v) =

inf (f (x0 + tu) − f (x0 ))
,v)
t
lim+

(t,u)→(0

sup (f (x0 + tu) − f (x0 ))
.
,v)
t

Định nghĩa 1.1.2. [1]
Ta nói rằng f : X → Y là một hàm ổn định tại x0 ∈ X nếu tồn
tại một miền lân cận U của x0 và k > 0 sao cho
f (x) − f (x0 ) ≤ k x − x0 , ∀x ∈ U.
Nếu f (x) − f (x ) ≤ k x − x , ∀x, x ∈ U , ta sẽ nói rằng f là
hàm Lipschitz địa phương tại x0 .
Nếu với mỗi x0 ∈ X, tồn tại một lân cận U của x0 sao cho f là
hàm Lipschitz địa phương tại x0 thì ta nói rằng f là hàm Lipschitz
địa phương trên X.
Rõ ràng rằng hàm f Lipschitz địa phương trên X kéo theo f là
hàm ổn định tại mỗi x0 ∈ X, nhưng điều ngược lại khơng đúng.
Ví dụ hàm f trong Ví dụ (1.1.1) là ổn định với mỗi x0 ∈ R nhưng f
không là hàm Lipschitz địa phương tại 0.
Chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm theo phương sau đây cho ánh xạ
đa trị (xem [8]).

Định nghĩa 1.1.3.
Giả sử f : X → Y và x0 , v ∈ X. Đạo hàm tiếp liên của f tại x0
theo phương v là tập hợp sau đây trong Y:
∂∗ f (x0 ) v = y ∈ Y : ∃ (tn , vn ) → (0+ , v) sao cho
lim (f (x0 + tn vn ) − f (x0 )) /tn = y .

n→∞

5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Chú ý rằng ∂∗ f (x0 )v được gọi là đạo hàm tiếp liên của ánh xạ đa
trị x → {f (x)} . Do đó ∂∗ f (x0 )v là một tập hợp đóng và ánh xạ đa
trị v → ∂∗ f (x0 ) v thuần nhất dương.
Nếu f khả vi Hadamard tại x0 thì
∂∗ f (x0 )v = {df (x, v)} ∀v ∈ X.
Cho f : X → Y và g : X → Z, trong đó Z là một không gian
định chuẩn khác.
Hàm (f, g) : X → Y × Z được xác định bởi (f, g)(x) = (f (x), g(x)).
Trong khơng gian Y × Z, ta lấy (y, z) = y + z .
Định lý sau (cách chứng minh rất đơn giản) cho ta một số tính
chất của hàm (f, g) liên quan đến tính ổn định và đạo hàm tiếp liên.
Mệnh đề 1.1.1. [6]
(i) f và g ổn định tại x0 ⇔ (f, g) ổn định tại x0 .
(ii) Với mỗi v ∈ X, ∂∗ (f, g) (x0 ) v ⊂ ∂∗ f (x0 ) v × ∂∗ g (x0 ) v. Nếu f
hoặc g khả vi Hadamard tại x0 theo phương v thì ta có dấu bằng.
Bao hàm thức trong (ii) có thể đúng như ví dụ 1.1.2 dưới đây.
Nhận xét 1.1.1.

(1) Rõ ràng là nếu f : X → Rp là ổn định taị x0 thì
∂∗ f (x0 ) v = φ, ∀v ∈ X.
Thật vậy với mỗi dãy tn → 0+ và vn → v, (với n đủ lớn) ta có
f (x0 + tn vn ) − f (x0 )
≤ k vn ≤ k( v + 1).
tn
bởi vì yn = (f (x0 + tn vn ) − f (x0 )) /tn là một dãy bị chặn, tồn
tại một dãy con (ta vẫn kí hiệu như cũ) sao cho
yn → y ∈ ∂∗ f (x0 )v.
(2) Nếu f : X → Y là ổn định taị x0 với hằng số k trên một lân
cận của x0 thì ∂∗ f (x0 )v ≤ k v . Hơn nữa, nếu Y = Rp , thì
∂∗ f (x0 )v là một tập hợp compact với mọi v ∈ X.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

(3) Nếu Y = R và df (x0 , v), df (x0 , v) hữu hạn thì
{df (x0 , v), df (x0 , v)} ⊂ ∂∗ f (x0 )v ⊂ [df (x0 , v), df (x0 , v)].
Chiều ngược lại của bao hàm thức cũng đúng khi f liên tục
trong một lân cận của x0 .
(4) Nếu Y = Rp thì
∂∗ f (x0 ) v ⊂

p
i=1

∂∗ fi (x0 ) v ⊂

p

i=1

dfi (x0 , v) , dfi (x0 , v) .

∂∗ f (x0 )v là một tập hợp lồi khi Y = R và f liên tục trong
một lân cận của x0 . Điều này không đúng cho không gian định
chuẩn tùy ý Y , thậm chí nếu f là hàm Lipschitz địa phương tại
x0 .
Ví dụ 1.1.2
(a) Giả sử A = {2−n : n ∈ N} ∪ {0} và f : R → R được xác định bởi
f (x) = dist(x, A). Khi đó f là một hàm Lipschitz tồn cục
trên R hằng số 1. Nhưng f không khả vi Hadamard tại x0 = 0
theo phương v = 1.
Thật vậy, ta có
0 ≤ f (x) ≤

x
1
, ∀x ∈ 0, ,
3
2

sn
, ∀n ∈ N, trong đó sn là điểm giữa
3
của đoạn [2−n−1 , 2−n ], tức là sn = 3 · 2−n−2 .
1
1
Do đó df (x0 , v) = 0 và df (x0 , v) = . Vì thế, ∂∗ f (x0 )v = [0, ].
3

3
(b) Giả sử
∞
7 −n 5 −n
B = {0}
·2 , ·2
8
4
n=1
f (2−n ) = 0 và f (sn ) =

và chúng ta xác định g : R → R bởi g(x) = 2dist(x, B). Khi đó,
g là Lipschitz toàn cục và thỏa mãn
0 ≤ g (x) ≤ f (x) ≤ x/3, ∀v ∈ [0, 1/2]
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

g = 0 trên B, và g (sn ) = sn /3 ∀n ∈ N.
Các đạo hàm Hadamard dưới và trên theo phương v = 1 là
1
dg (x0 , v) = 0 và dg (x0 , v) = .
3
1
Do đó, ∂∗ g(x0 )v = 0, .
3
(c) Giả sử h = (f, g). Khi đó, h là Lipschitz tồn cục và ta có
1
1

1 1
∂∗ h(x0 )v = co{(0, 0), ( , 0)} ∪ co{( , 0), ( , )} .
5
5
3 3
Tập này không lồi trong R2 .
Những kết quả sau đây cho ta những tính chất của hàm ổn định
và đạo hàm tiếp liên.
Mệnh đề 1.1.2.
f : X → Y là ổn định tại x0 khi và chỉ khi df (x0 , 0) = 0.
Chứng minh.
(=⇒) Ta suy ra trực tiếp từ những định nghĩa bởi vì với δ > 0 nào
đó,
f (x0 + tu) − f (x0 )
≤ k u , ∀t ∈ (0, δ) , ∀u ∈ B (0.1) .
t
(⇐= ) Giả sử > 0 cố định. Theo giả thiết ∃δ1 , δ2 > 0 sao cho
f (x0 + tu) − f (x0 )
<
t

∀t ∈ (0, δ1 ), u ∈ B(v, δ2 ).

(1.1)

Chọn a cố định, η ∈ (0, δ2 ) và δ = η · δ1 . Khi đó,
B(0, δ) \ {0} ⊂ (0, δ1 ) · Sη ⊂ (0, δ1 ) · B(0, δ2 ),
trong đó Sη = {x ∈ X : x = η}. Thật vậy, cho w ∈ B(0, δ) \ {0},
ta xác định t = w /η và u = t−1 w. Khi đó, t < δ1 và u = η.
Vì vậy, w = t · u ∈ (0, δ1 ) · δη . Bao hàm thức thứ hai là hiển nhiên.

Nếu 0 < x − x0 < δ, nó sẽ là w = x − x0 = t · u
với t ∈ (0, δ1 ), u = η
8
Số hóa bởi Trung tâm Học lieäu

/>

Do đó,
f (x) − f (x0 )
f (x0 + w) − f (x0 )
=
x − x0
w
f (x0 + tu) − f (x0 )
1
1
=
·
<ε
t
u
n
=k
(bất đẳng thức cuối đúng do phương trình (1.1)).
Mệnh đề 1.1.3.
Giả sử f : X → Y, x0 , v ∈ X và y ∈ Y
(i) Nếu df (x0 , v) = y thì ∂∗ f (x0 )v = {y}.
(ii) Nếu Y là hữu hạn chiều, f ổn định tại x0 và ∂∗ f (x0 )v = {y} thì
df (x0 , v) = y.
Chứng minh.

Phần (i) là hiển nhiên. Ta chứng minh phần (ii)
Ta chứng minh rằng nếu
yn := (f (x0 + tn vn ) − f (x0 ))/tn → y, ∀(tn , vn ) → (0+ , v)
thì df (x0 , v) = y. Bởi vì f ổn định tại x0 dãy (yn ) bị chặn,
tức là yn ∈ clB(0, r), ∀n ∈ N với r > 0, nào đó. Với mỗi k ∈ N ta
xác định
1
n(k) = max{n ∈ N : yn ∈ B(y, )}.
k
1
Max là đạt được, bởi vì nếu khơng thì có vơ hạn yn ∈ B(y, ). Do
k
1
đó, y ∈ B(y, ) (vì clB(0, r) \ B(y, 1/k) là một tập compact).
k
Nhưng y ∈ ∂∗ f (x0 ) v = {y}. Ta đi đến mâu thuẫn. Hiển nhiên,
yn → y.
Nếu f chỉ liên tục tại x0 thì Mệnh đề 1.1.3(ii) là sai. Ví dụ sau
minh họa điều đó.

9
Số hóa bởi Trung tâm Học lieäu

/>

Ví dụ 1.1.3
Cho f : R → R được cho bởi

1
1


 ,
nếu x = , n ∈ N \ {0}
n
n
f (x) =
1

 | x |, nếu x = , n ∈ N \ {0}
n
Ta có ∂∗ f (0)1 = {1}, nhưng f không khả vi Hadamard tại 0 theo
phương 1.
Kết quả tiếp theo là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 1.1.2 và 1.1.3(i).
Hệ quả 1.1.1.
Khi f : X → Y là ổn định tại x0 thì ∂∗ f (x0 )0 = {0}.
Điều ngược lại cũng đúng đối với hàm liên tục khi Y hữu hạn
chiều.
Mệnh đề 1.1.4.
Giả sử f : X → Rp liên tục tại x0 . Nếu ∂∗ f (x0 )0 = {0} thì f ổn
định tại x0 .
Chứng minh.
Giả sử f không ổn định tại x0 . Khi đó, tồn tại dãy xn → x0 sao
cho
f (xn − f (x0 ) > n xn − x0 , ∀n ∈ N.
(1.2)
Đặt tn = f (xn ) − f (x0 ) > 0 và vn = (xn − x0 )/tn . Vì f liên tục tại
x0 , ta có tn → 0+ , và từ (1.2), ta suy ra vn → 0.
Lấy dãy con nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng
yn := (f (x0 +tn vn )−f (x0 ))/tn hội tụ tới y nào đó y ∈ Rp với y = 1
bởi vì yn = 1. Do đó, y ∈ ∂∗ f (x0 )0. Điều này mâu thuẫn với giả

thiết.
Nếu ∂∗ f (x0 )0 = {0} thì f khơng ổn định tại x0 do hệ quả 1.1.1
nhưng f có thể liên tục tại x0 .
Chẳng hạn f : R → R, f (x) = | x |, x0 = 0. Lấy tn = 1/n và
vn = 1/n, ta có lim f (tn vn ) /tn = 1 ∈ ∂∗ f (x0 ) 0.
x→∞

10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Hệ quả 1.1.2.
f : X → Rp liên tục tại x0 và ∂∗ f (x0 ) 0 = {0} và tương đương với
df (x0 , 0) = 0.
Hệ quả 1.1.2 được suy ra từ các Mệnh đề 1.1.4 và 1.1.2.
1.2

Các quy tắc tính đạo hàm tiếp liên

Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày một số quy tắc tính tốn đạo hàm
tiếp liên. Giả sử rằng Z là một không gian định chuẩn.
Định lý 1.2.1. (Quy tắc hàm hợp)
Giả sử f : X → Y và g : Y → Z khả vi Hadamard tại f (x0 ).
Khi đó,
dg(f (x0 ), ·)(∂∗ f (x0 )v) ⊂ ∂∗ (g ◦ f )(x0 )v, ∀v ∈ X

(1.3)

Hơn nữa, nếu Y hữu hạn chiều và f ổn định tại x0 thì g ◦ f ổn

định tại x0 và có đẳng thức trong (1.3).
Chứng minh.
Giả sử y ∈ ∂∗ f (x0 )v. Khi đó, ∃(tn , vn ) → (0+ , v) sao cho
yn := (f (x0 + tn vn ) − f (x0 )) /tn → y.
Bởi vì g khả vi Hadamard tại f (x0 ), cho nên dg(f (x0 ), y) tồn tại và
ta có
g(f (x0 ) + tu) = g(f (x0 )) + tdg(f (x0 ), y) + tα(t, u),
trong đó
lim

(t,u)→(0+ ,y)

α (t, u) = 0.

Đặc biệt, với t = tn và u = yn thì f (x0 + tn vn ) = f (x0 ) + tn yn , và ta
có
g (f (x0 + tn vn )) = g (f (x0 ) + tn yn )
= g (f (x0 )) + tn dg (f (x0 ) , y) + tn α (tn , yn ) .
11
Số hóa bởi Trung tâm Học lieäu

/>

Do đó,
(g ◦ f ) (x0 + tn vn ) − (g ◦ f ) (x0 )
= dg (f (x0 ) , y) .
n→∞
tn
lim

Điều này kéo theo
dg(f (x0 ), y) ∈ ∂∗ (g ◦ f )(x0 )v.
Tiếp theo ta chứng minh tính ổn định của g ◦ f , dễ thấy vì g cũng
ổn định tại f (x0 ) do Mệnh đề 1.1.2.
Giả sử z ∈ ∂∗ (g ◦ f )(x0 )v. Khi đó tồn tại (tn , vn ) → (0+ , v)
sao cho
g(f (x0 + tn vn )) − g(f (x0 ))
→ z.
(1.4)
tn
Do f ổn định tại x0 và Y hữu hạn chiều, ta có thể giả sử rằng:
(lấy một dãy con nếu cần)
yn :=

f (x0 + tn vn ) − f (x0 )
→ y.
tn

(1.5)

Do đó y ∈ ∂∗ f (x0 )v. Do g khả vi Hadamard tại f (x0 ),
và f (x0 + tn vn ) = f (x0 ) + tn yn và sử dụng (1.4) và (1.5) ta suy ra
g (f (x0 ) + tn yn ) − g (f (x0 ))
n→∞
tn
g (f (x0 + tn vn )) − g (f (x0 ))
= lim
= z.
x→∞
tn

Vì vậy, z ∈ dg(f (x0 ), ·)(∂∗ f (x0 )v).
dg (f (x0 ) , y) = lim

Kết quả sau đây suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2.1, khi lấy g = ψ.
Chú ý rằng dψ(y, u) = ψ0 (u), ∀y, u ∈ Y .
Hệ quả 1.2.1.
Giả sử f : X → Y , và ψ : Y → Z là một hàm affine liên tục được
cho bởi ψ(y) = ψ0 (y) + b với ψ0 : Y → Z là hàm tuyến tính liên tục
và b ∈ Z. Khi đó,
ψ0 (∂∗ f (x0 )v) ⊂ ∂∗ (ψ ◦ f )(x0 )v, ∀v ∈ X.

(1.6)

Hơn nữa, nếu Y hữu hạn chiều và f ổn định tại x0 thì ψ ◦ f là ổn
định tại x0 và đẳng thức xảy ra trong (1.6).
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Chú ý rằng khi Y hữu hạn chiều và ψ : Y → Z là một hàm affine
thì ψ liên tục trên Y .
Mệnh đề 1.2.1. (Quy tắc tổng)
Giả sử f, g là hai hàm từ X vào Y . Khi đó,
{y + z : (y, z) ∈ ∂∗ (f, g) (x0 ) v} ⊂ ∂∗ (f + g) (x0 ) v.
Nếu Y hữu hạn chiều và f (hoặc g) ổn định tại x0 thì
∂∗ (f + g)(x0 )v ⊂ ∂∗ f (x0 )v + ∂∗ g(x0 )v.

(1.7)

Nếu f (hoặc g) khả vi Hadamard tại x0 theo phương v thì đẳng thức
xảy ra trong (1.7).
Chứng minh.
Phần thứ nhất suy ra từ Hệ quả 1.2.1 với (f, g) : X → Y × Y thay
cho f và ψ : Y × Y → Y được cho bởi công thức ψ(y, z) = y + z.
Phần thứ hai suy ra từ định nghĩa và chú ý đến Nhận xét 1.2.1(1)
và phần thứ ba suy ra từ Định nghĩa.
Các hàm f và g trong Ví dụ 1.2.1(c) cho thấy bao hàm thức (1.7)
có thể chặt.
Để minh họa quy tắc tổng này, ta xét h : X × Y → Rp
được cho bởi h(x, y) = f (x) + g(y),
trong đó f : X → Rp , g : Y → Rp và (x0 , y0 ), (v, u) ∈ X × Y .
Nếu f ổn định tại x0 thì
∂∗ h(x0 , y0 )(v, u) ⊂ ∂∗ f (x0 )v + ∂∗ g(y0 )u,
và đẳng thức xảy ra nếu f khả vi Hadamard tại x0 theo phương v.
Để chứng minh điều này, ta xét f và g từ X × Y vào Rp
f (x, y) = f (x) và g(x, y) = g(y) và khi đó áp dụng Mệnh đề 1.2.1
cho h = f + g, ta nhận được
∂∗ f (x0 , y0 ) (v, u) = ∂∗ f (x0 ) v,
và
∂∗ g (x0 , y0 ) (v, u) = ∂∗ g (y0 ) u
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Mệnh đề 1.2.2. (Quy tắc tích)
Giả sử f, g là hai hàm từ X vào R. Khi đó,
{g(x0 )y + f (x0 )z : (y, z) ∈ ∂∗ (f, g)(x0 )v} ⊂ ∂∗ (f g)(x0 )v.

(1.8)

Nếu f ổn định tại x0 , và hoặc f (x0 ) = 0 hoặc g liên tục tại x0 , thì
∂∗ (f g)(x0 )v ⊂ g(x0 )∂∗ f (x0 )v + f (x0 )∂∗ g(x0 )v.

(1.9)

Hơn nữa, nếu f khả vi Hadamard tại x0 theo phương v thì đẳng thức
xảy ra trong (1.8) và (1.9).
Nếu f, g ổn định tại x0 thì f g ổn định x0 , và đẳng thức này xảy
ra trong (1.8). Hơn nữa,
∂∗ (f g)(x0 )v = ∂∗ (g(x0 )f + f (x0 )g)(x0 )v.

(1.10)

Chứng minh.
Giả sử h : R2 → R là một hàm h(y, z) = yz. Hàm này khả vi phân
Frechet, với ∇h(y0 , z0 )(u, w) = z0 u + y0 w. Chú ý rằng f g = h ◦ (f, g)
và áp dụng Định lý 1.2.1 để nhận được phần 1, tức là bao hàm thức
(1.8).
Giả sử rằng f ổn định tại x0 .
Giả sử xn = x0 + tn vn , với (tn , vn ) → (o+ , v). Khi đó,
f (xn ) g (xn ) − f (x0 ) g (x0 )
tn
f (xn ) − f (x0 )
g (xn ) − g (x0 )
= g (x0 )
+ f (xn )
.
tn

tn

wn : =

(1.11)

Nếu (wn ) hội tu tới w ∈ ∂∗ (f g)(x0 )v, thì do Nhận xét 1.1.1(1)
(ta lấy thêm 1 dãy con nếu cần thiết), ta nhận được
yn := (f (xn ) − f (x0 ))/tn → y ∈ ∂∗ f (x0 )v.
Nếu f (x0 ) = 0, do f (xn ) → f (x0 ), ta có f (xn ) = 0, ∀n đủ lớn và
sủ dụng (1.11), ta có
g(xn ) − g(x0 ) wn − g(x0 )yn
w − g(x0 )y
=
→
∈ ∂∗ g(x0 )v.
tn
f (xn )
f (x0 )
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Nếu f (x0 ) = 0 và g liên tục tại x0 , vì yn = f (xn )/tn → y, ta suy
ra
wn =

f (xn )
g(xn ) → w = g(x0 )y ∈ g(x0 )∂∗ f (x0 )v + 0∂∗ g(x0 )v.

tn

Đối với phần thứ ba, khi f khả vi Hadamard tại x0 theo phương
v, từ Mệnh đề 1.1.1(ii) ta có
∂∗ (f, g)(x0 )v = ∂∗ f (x0 )v × ∂∗ g(x0 )v.
Do đó,
{g(x0 )y + f (x0 )z : (y, z) ∈ ∂∗ (f, g)(x0 )v}
= g(x0 )∂∗ f (x0 )v + f (x0 )∂∗ g(x0 )v.
Vì thế mà ta có đẳng thức trong (1.8) và (1.9).
Đối với phần cuối, đẳng thức trong (1.8) và tính ổn định của f g
được chứng minh như trong phần đầu tiên bằng cách áp dụng phần
thứ hai của Định lý 1.2.1 vì (f, g) ổn định bởi mệnh đề 1.1.1(i).
Để chứng minh đẳng thức (1.10) ta hãy xét phiếm hàm tuyến tính
ψ : R2 → R được định nghĩa bởi : ψ(y, z) = g(x0 )y + f (x0 )z.
Sử dụng Hệ quả 1.2.1, ta nhận được
ψ(∂∗ (f, g)(x0 )v) = ∂∗ (ψ ◦ (f, g))(x0 )v
= ∂∗ (g(x0 )f + f (x0 )g)(x0 )v.
Tuy nhiên
ψ (∂∗ (f, g) (x0 ) v) = {g (x0 ) y + f (x0 ) z : (y, z) ∈ ∂∗ (f, g) (x0 ) v}
= ∂∗ (f g) (x0 ) v
như chúng ta vừa chỉ ra và chứng minh được hồn thành.
Ví dụ sau đây cho thấy bao hàm thức trong Mệnh đề 1.2.2 có thể
là chặt.
Ví dụ 1.2.1
Giả sử f : R → R, g : R → R, x0 = 0 và v = 1. Để cho ngắn gọn,

15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

ta xét
A = {g(x0 )y + f (x0 )z : (y, z) ∈ ∂∗ (f, g)(x0 )v},
B = ∂∗ (f g) (x0 ) v,
C = g (x0 ) ∂∗ f (x0 ) v + f (x0 ) ∂∗ g (x0 ) v,
D = ∂∗ (g (x0 ) f + f (x0 ) g) (x0 ) v.
(a) f (x) = x, g(x) = sin(1/x), nếu x = 0 và g(0) = 1. Khi đó f khả
vi Hadamard tại x0 nhưng khơng liên tục tại x0 ,
A = C = D = {1} và B = [−1, 1].
Các bao hàm thức (1.9) và (1.10) không thỏa mãn và (1.8) chặt.
(b) f (x) = x sin(1/x), nếu x = 0, f (0) = 0; g(x) = sin(1/x),
nếu x = 0, g(0) = 1. Khi đó, f ổn định tại x0 , nhưng khơng
khả vi Hadamard tại x0 theo phương v, A = {1}, B = [0, 1] và
C = D = [−1, 1]. (1.9) thỏa mãn với bao hàm thức chặt, nhưng
(1.10) lại không thỏa mãn.
(c) f (x) = 1 + x sin(1/x), g(x) = 1 − x sin(1/x), và f (0) = g(0) = 0.
Khi đó, f và g ổn định tại x0 ,
∂∗ (f, g)(x0 )v = {(y, −y) : −1 ≤ y ≤ 1},
∂∗ f (x0 )v = ∂∗ g(x0 )v = [−1, 1], A = B = D = {0} và C = [- 2,2];
(1.8) và (1.10) thỏa mãn đẳng thức, và (1.9) thỏa mãn với bao
hàm thức chặt.
Tương tự vào Mệnh đề 1.2.2, ta có mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.2.3. (Quy tắc thương)
Giả sử f, g là hai hàm từ X vào R với g(x0 ) = 0.
Khi đó,
g(x0 )y − f (x0 )z
: (y, z) ∈ ∂∗ (f, g)(x0 )v ⊂ ∂∗ (f /g)(x0 )v. (1.12)
g(x0 )2
Nếu g ổn định tại x0 (hoặc f ổn định tại x0 , và hoặc f (x0 ) = 0 hoặc
g liên tục tại x0 ) thì

∂∗ (f /g)(x0 )v ⊂

g(x0 )∂∗ f (x0 )v − f (x0 )∂∗ g(x0 )v
.
g(x0 )2
16

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>
(1.13)


Hơn nữa, nếu g khả vi Hadamard tại x0 theo phương v thì ta có đẳng
thức trong (1.12) và (1.13).
Nếu f và g ổn định tại x0 thì f /g ổn định tại x0 , và ta có đẳng
thức trong (1.12).
Hơn nữa,
∂∗ (f /g)(x0 )v =

1
∂∗ (g(x0 )f − f (x0 )g)(x0 )v.
g(x0 )2

Mệnh đề 1.2.4. (Quy tắc hàm max)
Giả sử f = (f1 , f2 , . . . , fp ) : X → Rp và g : X → R được xác định
bởi
g(x) = max {fi (x) : i = 1, 2, . . . , p} .
Khi đó,
α ∈ R : ∃y = (y1 , y2 , . . . , yp ) ∈ ∂∗ f (x0 ) v.

sao cho α = max {yi : i = I (f (x0 ))} ⊂ ∂∗ g (x0 ) v,
trong đó I (f (x0 )) = {i ∈ {1, 2, . . . , p} : g (x0 ) = fi (x0 )}. Nếu f ổn
định tại x0 , thì g ổn định tại x0 và đẳng thức này xảy ra.
Chứng minh.
Ta xác định hàm h : Rp → R trong đó
h (y1 , y2 , . . . , yp ) = max {yi : i = 1, 2, . . . , p}.
Hiển nhiên rằng g = h ◦ f . Hàm h khả vi Hadamard tại y0 ∈ Rp với
dh (y0 , u) = max {ui : i ∈ I (y0 )}
ta áp dụng Định lý 1.2.1 và nhận được điều phải chứng minh.

17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Chương 2

Điều kiện tối ưu
Chương 2 trình bày các kết quả của Jimenez - Novo [6] về hàm
vững, mối quan hệ với hàm ổn định, hàm khả vi Hadamard, hàm
Lipschitz địa phương, đạo hàm tiếp liên của hàm vững, và các điều
kiện tối ưu cho bài toán tối ưu vectơ tổng quát với các hàm ổn định
và hàm vững dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên. Trong chương này,
chúng tôi cũng trình bày các điều kiện cần và đủ tối ưu dưới dạng
các quy tắc nhân tử Lagrange cho bài tốn tối ưu vectơ với ràng
buộc nón và ràng buộc đẳng thức trong không gian hữu hạn chiều,
dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên.
2.1

Jacobian suy rộng Clarke

Cho hàm vectơ f : Rn → Rm . Khi đó hàm f có dạng:
f (x) = (f1 (x) , . . . , fm (x))
Giả sử mỗi hàm fi là Lipschitz địa phương tại x. Khi đó, hàm f là
Lipschitz địa phương tại x.
Định lí Rademacher khẳng định rằng hàm f khả vi hầu khắp nơi
trong một lân cận của x (mà trên đó f Lipschitz), tức là mỗi fi khả
vi hầu khắp nơi trong lân cận đó của x.
Ký hiệu Ωf là tập các điểm mà hàm f không khả vi. Nếu tại x
hàm f có đạo hàm, thì ta ký hiệu Jf (x) là m × n- ma trận Jacobian
thơng thường của f .
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Định nghĩa 2.1.1.
Jacobian suy rộng của hàm vectơ f tại x, ký hiệu ∂f (x), được
định nghĩa như sau:
∂f (x) := co {lim Jf (xi ) : xi → x, xi ∈
/ Ωf }
Ta xét khơng gian các m × n- ma trận Rm×n với chuẩn:
1/2

m

M

m×n

=

ri

2

i=1

trong đó ri là hàng thứ i của M . Ký hiệu Bm×n là hình cầu đơn vị
mở trong Rm×n .
Định lý 2.1.1. [1]
Giả sử mỗi hàm fi Lipschitz địa phương tại x (i = 1, . . . , m)
khi đó,
(i) ∂f (x) = ∅, lồi, compắc trong Rm×n ;
(ii) Ánh xạ đa trị ∂f là đóng tại x, tức là nếu
xi → x, Zi ∈ ∂f (xi ) , Zi → Z, thì Z ∈ ∂f (x) ;
(iii) ∂f nửa liên tục trên tại x: ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ x + δB
∂f (x) ⊂ ∂f (x) + εBm×n ;
(iv) Nếu fi Lipschitz địa phương tại x với hằng số Ki , thì
f Lipschitz địa phương tại x với hằng số K = (K1 , . . . , Km )
và ∂f (x) ⊂ KB m×n ;
(v) ∂f (x) ⊂ ∂f1 (x) × ∂f2 (x) × . . . × ∂fm (x), trong đó
∂f1 (x) × . . . × ∂fm (x)
là tập tất cả m × n- ma trận có hàng thứ i thuộc ∂fi (x) , ∀i.
Nếu m = 1 thì ∂f (x) = ∂f1 (x) (tức là Jacobian suy rộng trùng với
gradient suy rộng).

19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Định lý 2.1.2. (Định lí về giá trị trung bình cho hàm vectơ) [1]
Giả sử f là hàm vectơ Lipschitz trên tập lồi mở U ⊂ Rn ; x, y ∈ U
Khi đó,
f (y) − f (x) ∈ co ∂f ([x, y]) (y − x)
(2.1)
Vế phải của (2.1) có nghĩa là bao lồi của tất cả các điểm dạng
Z (y − x),
trong đó Z ∈ ∂f (u), với u nào đó thuộc [x, y] và
[co ∂f ([x, y])] (y − x) = co [∂f ([x, y]) (y − x)]
Định lý 2.1.3. (Jacobian suy rộng của hàm hợp)[1]
Giả sử h : Rn → Rm Lipschitz địa phương tại x, g : Rm → R
Lipschitz địa phương tại h (x) , f = g ◦ h
Khi đó, f cũng Lipschitz địa phương tại x, và
∂f (x) ⊂ co {∂g (h (x)) ∂h (x)} .

(2.2)

Hơn nữa, nếu g khả vi chặt Hadamard tại h (x), thì (2.2) có dấu
bằng, và phép tốn co có thể bỏ được.
Bây giờ ta sẽ so sánh đạo hàm liên tục với Jacobian suy rộng. Giả
sử f : Rn → Rp là hàm Lipschitz địa phương tại x0 .
Quan hệ giữa Jacobian suy rộng Clarke và ∂∗ f (x0 ) v được đưa ra
trong Mệnh đề 2.1.1. Trước hết ta cần một kết quả sau.
Bổ đề 2.1.1.
Giả sử f : Rn → Rp là một Lipschitz địa phương tại x0 và v ∈ Rn .
Nếu lim (xn − x0 ) /tn = v với tn → 0+ , thì (ta chọn một dãy con
n→∞

nếu cần thiết)
lim (f (xn ) − f (x0 )) tn = Av với A nào đó ∈ ∂f (x0 ) .

n→∞

Chứng minh.
Giả sử vn được xác định bởi đẳng thức xn = x0 + tn vn thì vn → v.
Sử dụng định lý giá trị trung bình (Định lý 2.1.2) ta nhận được
f (xn ) − f (x0 ) = An tn vn
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

với An ∈ co {∂f (x) : x ∈ [x0 , xn ]}. Do ánh xạ đa trị x → ∂f (x) là
nửa liên tục trên, lồi và giá trị compact, ta có dãy An hội tụ tới
A ∈ ∂f (x0 ).
Mệnh đề 2.1.1.
Nếu f : Rn → Rp là một Lipschitz địa phương tại x0 thì
∂∗ f (x0 ) v ⊂ ∂f (x0 ) v ∀v ∈ Rn
Chứng minh của mệnh đề này suy trực tiếp từ định nghĩa của
∂∗ f (x0 ) v và Bổ đề 2.1.1. Dễ thấy rằng bao hàm thức trên nói chung
là chặt. Chẳng hạn, cho f : R → R được cho bởi f (x) = |x|, ta có
∂∗ f (0) 1 = {1} , ∂f (0) = [−1, 1]
và
∂f (0) 1 = [−1, 1] .
Lợi thế của ∂f (x0 ) v là tính lồi, trong khi đó ∂∗ f (x0 ) v nói chung
khơng lồi (xem Ví dụ 1.1.2).
2.2

Các hàm vững

Định nghĩa 2.2.1. [9]
Hàm f : X → Y được gọi là vững tại x0 ∈ X theo phương v ∈ X,
hay nói gọn là f vững tại (x0 , v) nếu
lim+

(t,u)→(0

f (x0 + tu) − f (x0 + tv)
= 0.
,v)
t

Đẳng thức trên tương đương với
lim +

(t,v ,v )→(0

f (x0 + tv ) − f (x0 + tv )
= 0.
,v,v)
t

f được gọi là vững tại x0 nếu f vững tại x0 theo mọi phương.
Đặc biệt, f vững tại (x0 , 0) khi và chỉ khi f ổn định tại x0 (Mệnh
đề 1.1.2).
Nhắc lại rằng f vững tại x0 khi f là Lipschitz địa phương tại x0 .
21
Số hóa bởi Trung tâm Học lieäu

/>

Tương tự, f vững tại x0 khi f khả vi Hadamard tại x0 . Ba khái
niệm này hoàn toàn khác nhau, lớp các hàm vững rộng hơn lớp của
Lipschitz hoặc khả vi Hadamard (xem Ví dụ 2.2.1).
Tính vững tại (x0 , v) với v = 0 không phụ thuộc vào giá trị của f
tại x0 , tức là nếu f vững tai (x0 , v) với v = 0, g (x) = f (x) , ∀x = x0
và g (x0 ) = y với y tùy ý y ∈ Y thì g vững tại (x0 , v).
Nếu f : X → Y và g : X → Z. Rõ ràng là f và g vững tại (x0 , v)
nếu và chỉ nếu (f, g) vững tại (x0 , v).
Đối với các hàm giá trị trong R, ta biết rằng tổng, cận trên đúng
và cận dưới đúng của một số hạng hữu hạn của các hàm vững là
hàm vững. Ta hãy xem các tính chất của một tích, một thương và
hợp của các hàm vững.
Mệnh đề 2.2.1.
Giả sử f, g là hai hàm từ X vào R. Nếu f và g là các hàm vững
tại (x0 , v) và bị chặn trên
Γ (x0 , v, δ) = {x0 + tu : t ∈ (0, δ) , u ∈ B (v, δ)}
với δ > 0 nào đó thì f g vững tại (x0 , v).
Chứng minh.
Ta có đồng nhất thức
f (x0 + tu) g (x0 + tu) − f (x0 + tv) g (x0 + tv)
t
f (x0 + tu) − f (x0 + tv)
g (x0 + tu)
t
g (x0 + tu) − g (x0 + tv)
+f (x0 + tv)
t

và sau đó chuyển qua giới hạn khi (t, u) → (0+ , 0), ta được điều phải
chứng minh.
=

Chứng minh tương tự ta nhận được mệnh đề sau đây.

22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>