Một số bài toán về điều kiện dãy nguyên tố trên vành noether địa phương

..

Môc lôc

1

Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Tính bÃo hòa nguyên tố

4

1.1

Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Tính b o hòa nguyên tố của môđun Artin . . . . . . . . .

5

1.3

Chiều Noether và tính b o hòa nguyên tố . . . . . . . . .

9

1.4
2

3

TÝnh b o hòa nguyên tố của Hmd (M)

. . . . . . . . . .

TÝnh catenary phỉ dơng vµ tÝnh không trộn lẫn

11
15

2.1

Đặc trng tính b o hoà nguyên tố cña Hmi (M ) . . . . . .

16

2.2

TÝnh catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn . . . . . .

23

Quü tÝch kh«ng Cohen-Macaulay

27

3.1

Mét sè tÝnh chÊt của giả giá . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.2

Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua giả giá . . .

30

3.3

Quỹ tích không Cohen-Macaulay và điều kiện Serre . . .

35

Tài liƯu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

1


2

Mở đầu
Các bài toán về điều kiện d y nguyên tố đ đợc quan tâm từ những

năm 1930. Bài toán đầu tiên là xét tính catenary của các vành giao hoán.
Nhắc lại rằng một vành gọi là catenary nếu giữa hai iđêan nguyên tố
lồng nhau bất kì luôn tồn tại một d y nguyên tố b o hòa và mọi d y
nguyên tố b o hòa nh thế đều có chung độ dài. Lớp vành catenary đầu
tiên đợc khám phá bởi W. Krull từ năm 1937, ông chỉ ra rằng mọi đại
số hữu hạn sinh trên một trờng là catenary. Những công trình tiếp theo
của W. Krull, M. Nagata, I. S. Cohen, D. Ferand vµ M. Raynaud, L. J.
Ratliff, R. Heitmann, M. Brodmann ... về tính catenary đ làm giàu đẹp
lí thuyết này, nó cho thấy sự liên quan chặt chẽ với nhiều lĩnh vực khác
của Đại số Giao hoán nh vành định chuẩn, môđun Cohen-Macaulay tối
đại, vành Rees, vành phân bậc liên kết, các phơng pháp đồng điều, các
mở rộng vành siêu việt... Phát triển lí thuyết vành catenary là lí thuyết
vành catenary phổ dụng, vành tựa không trộn lẫn và vành không trộn
lẫn. Các lí thuyết này đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong Đại số giao
hoán, nhất là trong lí thuyết vành giao hoán. Cho đến nay, viƯc nghiªn
cøu tÝnh catenary, tÝnh catenary phỉ dơng, tÝnh tựa không trộn lẫn, tính
không trộn lẫn và những bài toán liên quan cho các vành vẫn rất đợc
quan tâm bởi nhiều nhà toán học trên thế giới. Đặc biệt, gần đây Nguyễn
Tự Cờng, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn [CDN] đ thông qua
nghiên cứu môđun Artin đối đồng điều địa phơng cấp cao nhất với giá
cực đại để đặc trng tính catenary cho các vành Noether và giá không
trộn lẫn của các môđun hữu hạn sinh.
Mục đích của đề tài này là phát triển các kết quả trên của Nguyễn Tự
Cờng, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn [CDN] cho những bài toán


3

về điều kiện d y nguyên tố khác nh xét tÝnh catenary phỉ dơng, tÝnh tùa
kh«ng trén lÉn, tÝnh kh«ng trộn lẫn của các vành Noether địa phơng,

đồng thời xét một số bài toán liên quan nh công thức bội liên kết cho
môđun đối đồng điều địa phơng, tính đóng của các tập giả giá và tính
đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay. Công cụ nghiên cứu của đề
tài là dùng những tính chất đặc thù của tất cả các môđun đối đồng điều
địa phơng với giá cực đại.
Đề tài gồm 3 ch−¬ng. Ch−¬ng I nãi vỊ tÝnh chÊt b o hòa nguyên tố
của môđun Artin, đặc biệt là môđun đối đồng điều địa phơng với giá
cực đại nhằm phục vụ cho việc trình bày các kết quả cho 2 chơng sau.
Chơng 2 đặc trng tính b o hòa nguyên tố cho các môđun đối đồng
điều địa phơng, từ đó xét tính catenary, catenary phổ dụng, tính không
trộn lẫn của các vành Noether địa phơng. Nh một ứng dụng, trong
Chơng 2 còn trình bày công thức bội liên kết cho các môđun đối đồng
điều địa phơng. Chơng 3 nghiên cứu tính đóng của quỹ tích không
Cohen-Macaulay thông qua các tập giả giá, qua các điều kiện Serre và
tính không trộn lẫn cđa vµnh.


Chơng 1
Tính bÃo hòa nguyên tố
Trong suốt chơng này, cho (R, m) là một vành Noether địa phơng với
iđêan tối đại duy nhất m, cho A là R-môđun Artin và M là R-môđun
hữu hạn sinh. Với mỗi iđêan I của R ta kí hiệu V (I) là tập các iđêan
nguyên tố của R chứa I.

1.1

Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin

Trớc hết ta nhắc lại một số kết quả về lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho
các môđun Artin đợc giới thiệu bởi I. G. Macdonad [Mac]. Lí thuyết

này đợc xem nh là đối ngẫu với lí thuyết phân tích nguyên sơ cho
môđun Noether: Nhắc lại rằng, một R-môđun L đợc gọi là thứ cấp nếu
phép nhân bởi r trên L là toàn cấu hoặc lũy linh với mọi r R. Trong
trờng hợp này, tập các phần tử r R sao cho phép nhân bởi r trên L
là lũy linh lập thành một iđêan nguyên tố p của R và ta gọi L là p-thứ
cấp. Macdonald [Mac] đ chỉ ra rằng mỗi môđun Artin A đều có một
biểu diÔn thø cÊp A = A1 + . . . + An trong đó Ai là pithứ cấp với mọi
i = 1, . . . , n. Trong tr−êng hỵp các Ai là không thừa (tức là A =

j=i Aj

với mäi i = 1, . . . , n) vµ các iđêan nguyên tố pi là phân biệt thì biểu diễn
thứ cấp này đợc gọi là tối thiểu. Khi đó tËp {p1, . . . , pn } kh«ng phơ
4


5

thc vµo biĨu diƠn thø cÊp tèi thiĨu cđa A và đợc kí hiệu bởi AttR A.
Tập AttR A đợc gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của A.
1.1.1. Bổ đề. [Mac]. Tập các phần tử tối thiểu của AttR A chính là tập
các iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnR A. Đặc biệt,
Rad(AnnR A) =

p.
pAttR A

Ta cũng biết rằng mỗi Rmôđun Artin A có cấu trúc tự nhiên là
Rmôđun, và với cấu trúc này mỗi tập con của A là Rmôđun con
nếu và chỉ nếu nó là Rmôđun con. Điều này cho thấy các dàn môđun

con của A xét nh Rmôđun và Rmôđun là nh nhau. Do đó A là
Rmôđun Artin. Quan hệ giữa các tập AttR A và AttR A đợc cho bởi
công thức sau đây.
1.1.2. Bỉ ®Ị. (xem [Sh]). AttR A = {p ∩ R : p AttR A}.

1.2 Tính bÃo hòa nguyên tố của môđun Artin
Trớc hết ta xét một tính chất cơ sở của các môđun hữu hạn sinh M
nh sau: Giả sử p là iđêan nguyên tố của R chứa AnnR M . Khi đó
p Supp M và do đó Mp = 0. Theo Bỉ ®Ị Nakayama ta suy ra
(M/pM )p = Mp/pMp = 0.
V× thÕ p ∈ Supp(M/pM ), tức là p AnnR (M/pM ). Vì vậy ta luôn có
AnnR (M/pM) = p với mọi iđêan nguyên tố p AnnR M.
Rất tự nhiên, theo suy nghĩ đối ngẫu, N. T. Cuong và L. T. Nhan [CN]
đ xét tính chất sau đối với các môđun Artin A:
AnnR (0 :A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR A.

(∗)


6

Tuy nhiên tính chất (*) lại không đúng cho các môđun Artin A (xem Ví
dụ 1.2.3). Vì thế ta có định nghĩa sau đây.
1.2.1. Định nghĩa. Môđun A đợc gọi là có tính chất b o hòa nguyên
tố nếu nó tháa m n tÝnh chÊt (*).
1.2.2. Chó ý. Gi¶ sư R là đầy đủ theo tôpô madic. Khi đó đối ngẫu
Matlis D(A) của A là R-môđun hữu hạn sinh. Chú ý rằng AnnR A =
AnnR D(A). Vì thế áp dụng tính chất linh hoá tử cho môđun D(A) ta có
AnnR (0 :A p) = AnnR (D(0 :A p)) = AnnR (D(A)/pD(A)) = p
với mọi iđêan nguyên tố p AnnR A = AnnR D(A). Do vậy mọi môđun

Artin trên vành địa phơng đầy đủ đều b o hoà nguyên tố.
Với mỗi số nguyên i, môđun đối đồng điều địa phơng thứ i với giá
cực đại Hmi (M ) của M luôn là R-môđun Artin (xem [BS]).
1.2.3. Ví dụ. [CN, Ví dụ 4.4]. Tồn tại một môđun Artin trên vành
Noether địa phơng không b o hoà nguyên tố.
Chứng minh. Gọi (R, m) là miền Noether địa phơng chiều 2 đợc xây
dựng bới D. Ferrand và M. Raynaud [FR] thoả m n tính chất tồn tại một
iđêan nguyên tố nhúng q Ass R víi dim R/q = 1. Khi ®ã Hm1 (R) là
môđun Artin và ta có đẳng cấu các Rmôđun Hm1 (R) ∼
= Hm1 (R). Theo
[Sh1, HƯ qu¶ 4.9]) ta suy ra q ∈ AttR Hm1 (R) . Theo Bæ ®Ò 1.1.2 ta suy
ra q ∩ R ∈ AttR Hm1 (R) . Chó ý r»ng Ass R = {p ∩ R : p Ass R}
(xem [Mat, Định lí 12]). V× thÕ ta cã q ∩ R ∈ Ass R. Do R là miền
nguyên nên Ass R = {0}. Do ®ã 0 = q ∩ R ∈ AttR (Hm1 (R)). V× thÕ
AnnR Hm1 (R) =

p ⊆ q ∩ R = 0.
1 (R))
p∈AttR (Hm


7

Chọn A = Hm1 (R). Khi đó A là Rmôđun Artin. Lấy tuỳ ý một iđêan
nguyên tố p của R sao cho p = 0 vµ p = m. Ta ® chøng minh ë trªn
r»ng AnnR A = 0. Do ®ã p ⊃ AnnR A. LÊy 0 = x ∈ p. XÐt d y khíp
x

0 −→ R −→ R −→ R/xR 0.
D y này cảm sinh d y khớp dài các môđun đối đồng điều địa phơng

x

0 Hm0 (R/xR) −→ Hm1 (R) −→ Hm1 (R).
Suy ra Hm0 (R/xR) ∼
= 0 :Hm1 (R) x = 0 :A x. V× Hm0 (R/xR) là Rmôđun
có độ dài hữu hạn nên 0 :A x có độ dài hữu hạn. Do x p nên
0 :A p 0 :A x và do đó 0 :A p có độ dài hữu hạn. Vì thế AnnR 0 :A p
là iđêan mnguyên sơ, điều này chøng tá Ann(0 :A p) = p. VËy A
kh«ng b o hoà nguyên tố.
Ta luôn có Supp M = {p ∩ R : p ∈ Supp M }. V× M là hữu hạn sinh
nên Supp M = V (AnnR M ). Tơng tự, vì M là R-môđun hữu hạn sinh
nên Supp M = V (AnnR M). Do ®ã ta cã V (AnnR M ) = {p ∩ R : p
V (AnnR (M )}. Hơn nữa, nh đ nhắc ở tiết trên, mỗi Rmôđun Artin A
đều có cấu trúc tự nhiên là Rmôđun Artin. Vì thế, rất tự nhiên chúng
ta hỏi rằng liệu đẳng thức
V (AnnR A) = {p R : p V (AnnR A}
là xảy ra cho môđun Artin A. Dới đây chúng ta chỉ rằng đẳng thức này
xảy ra khi và chỉ khi A b o hoà nguyên tố.
1.2.4. Mệnh đề. Các điều kiện sau là tơng đơng:
(i) A b o hoà nguyên tố.
(ii) V (AnnR A) = {p ∩ R : p ∈ V (AnnR A)}.


8

Chøng minh. (i)⇒(ii). Cho p ∈ V (AnnR A). Khi đó tồn tại một iđêan
nguyên tố tối thiểu q chứa AnnR A sao cho p ⊇ q. Chó ý r»ng q ∈
AttR A. Ta cã
AttR A = {p ∩ R : p ∈ AttR A}.
V× thÕ q ∩ R ∈ AttR A. Suy ra q ∩ R ∈ V (AnnR A) và vì thế ta suy ra

p R V (AnnR A). Do ®ã
V (AnnR A) ⊇ {p ∩ R : p V (AnnR A)}.
Ngợc lại, cho p ∈ V (AnnR A). Theo gi¶ thiÕt (i), A b o hoà nguyên
tố. Vì thế AnnR (0 :A p) = p. Rõ ràng mọi iđêan nguyên tố chứa
AnnR (0 :A p) đều phải chứa p, do đó p là iđêan nguyªn tè bÐ nhÊt chøa
AnnR (0 :A p). Theo Bỉ ®Ò 1.1.1 ta suy ra p ∈ AttR (0 :A p). Lại vì
AttR (0 :A p) = {p R : p AttR (0 :A p)}
nên tồn tại iđêan nguyªn tè p ∈ AttR (0 :A p) sao cho p ∩ R = p. V×
p ∈ AttR (0 :A p) nên p AnnR (0 :A p). Vì thế p ∈ V (AnnR A) vµ
p ∩ R = p, tøc lµ
V (Ann A) ⊆ {p ∩ R : p ∈ V (AnnR A)}.
(ii)⇒(i). Cho p ∈ V (Ann A). Theo giả thiết (ii), tồn tại iđêan nguyên tố
p V (AnnR A) sao cho p ∩ R = p. Vì mọi môđun Artin A trên vành
đầy đủ R đều b o hoà nguyên tố nên ta có AnnR (0 :A p) = p. Lại do
pR p nên ta cã
p ⊆ AnnR (0 :A p) = AnnR (0 :A pR) ⊆ AnnR (0 :A p) ∩ R = p ∩ R = p.
Suy ra Ann(0 :A p) = p.


9

1.3 Chiều Noether và tính bÃo hòa nguyên tố
Trong tiết này chúng ta xét mối quan hệ giữa tính b o hòa nguyên tố của
môđun Artin với chiều Noether của nó, đồng thời trình bày một số tính
chất về hệ tham số cho môđun Artin sẽ đợc dùng trong chứng minh các
kết quả của Chơng 2.
Nhắc lại rằng khái niệm chiều Krull cho môđun Artin đợc giới thiệu
bởi R. N. Roberts [Ro] năm 1975, sau đó đợc D. Kirby [K2] năm 1990
đổi tên thành chiều Noether để tránh nhầm lẫn với khái niệm chiều Krull
đ quen biết cho các môđun hữu hạn sinh. Trong suốt luận văn này,

chúng tôi dùng thuật ngữ chiều Noether của Kirby [K2].
1.3.1. Định nghĩa. Chiều Noether của A, kí hiệu bởi N-dimR A, đợc
định nghĩa b»ng quy n¹p nh− sau: Khi A = 0, ta đặt N-dimR A = 1.
Cho d 0 là một số nguyên không âm. Ta đặt N-dimR A = d nếu
N-dimR A < d là sai và với mỗi d y tăng các môđun con A0 A1 . . .
của A, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho N-dimR (An /An+1 ) < d víi
mäi n > n0 .
Từ định nghĩa của chiều Noether ta thấy ngay r»ng N-dimR A = 0
nÕu vµ chØ nÕu A = 0 và (A) < . Hơn nữa, nếu
0 A′ −→ A −→ A′′ −→ 0
lµ mét d y khớp các Rmôđun Artin thì
N-dimR A = max{N-dimR A, N-dimR A }.
R. N. Roberts [Ro] và D. Kirby [K,K1] đ chỉ ra nhiều tính chất đẹp của
môđun Artin tơng tự nh các tính chất về chiều Krull cho các môđun
hữu hạn sinh trên vành địa phơng, đặc biệt là kết quả duới đây cho ta
03 điều kiện tơng đơng về chiều Noether cho các môđun Artin


10

1.3.2. Mệnh đề. Nếu q là iđêan sao cho (0 :A q) < thì có một đa
thức Q(n) với hƯ sè h÷u tû sao cho ℓR (0 :A qn+1 ) = Q(n) khi n ≫ 0 vµ
N-dimR A = deg(ℓR (0 :A qn+1 ))
= inf{t ≥ 0 : ∃x1, . . . , xt ∈ m : ℓR (0 :A (x1 , . . . , xt )R) < }.
Mệnh đề 1.3.2 cho phép ta định nghĩa khái niệm hệ tham số cho
môđun Artin.
1.3.3. Định nghĩa. Một hệ (x1, . . . , xd ) gåm d = N-dim A phần tử của
m đợc gọi là hệ tham số cña A nÕu ℓ(0 :A (x1 , . . . , xd )R) < ∞. Mét
hÖ (x1 , . . . , xi ) với i

d, các phần tử của m đợc gọi là phần hệ tham

số của A nếu ta có thể bổ sung thêm các phần tử xi+1 , . . . , xd cña m sao
cho (x1 , . . . , xd ) lµ hƯ tham số của A. Một phần tử x m đợc gọi là
phần tử tham số của A nếu có thể bổ sung thêm N-dimR A 1 phần tử
trong m ®Ĩ ®−ỵc mét hƯ tham sè cđa A.
Tõ MƯnh ®Ị 1.3.2 ta suy ra kết quả sau đây.
1.3.4. Hệ quả. NÕu d = N-dimR A > 0 th×
N-dimR (0 :A x) N-dimR A 1, x m
và đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu x là phần tư tham sè cđa A. T−¬ng
tù, víi i

d ta cã

N-dimR (0 :A (x1 , . . . , xi ) ≥ N-dimR A − i, ∀x1 , . . . , xi m
đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu x1 , . . . , xi là phần hƯ tham sè cđa A.
KÝ hiƯu dimR A = dim(R/ AnnR A). Khi đó N-dimR A = 0 nếu và
chỉ nÕu dimR A = 0, nÕu vµ chØ nÕu A có độ dài khác 0 và hữu hạn, nếu
và chỉ nếu R/ AnnR A là vành Artin. Trờng hợp tổng qu¸t ta chØ cã


11

N-dimR A

dimR A. Hơn nữa, với môđun Artin A = Hm1 (R) nh− trong

VÝ dô 1.2.3 ta cã dimR A = 2 > 1 = N-dimR A. MƯnh ®Ị sau đây chỉ ra
rằng tính chất b o hòa nguyên tố là đủ để đẳng thức về chiều ở trên xảy
ra.

1.3.5. MƯnh ®Ị. [CN].
(i) N-dimR A

dim(R/ Ann A).

(ii) NÕu A b o hòa nguyên tố thì N-dimR A = dimR A.
Nhắc lại rằng A có cấu trúc tự nhiên nh là Rmôđun Artin và các
dàn môđun con của A xét nh Rmôđun và xét nh Rmôđun là nh
nhau. Vì thế từ ®Þnh nghÜa chiỊu Noether ta cã N-dimR A = N-dimR A.
Vì mọi Rmôđun Artin A đều b o hoà nguyên tố nên theo Mệnh đề
1.3.5 ta có N-dimR A = dim(R/ AnnR A). Theo Bổ đề 1.1.1, tập các
iđêan nguyên tè tèi thiĨu cđa R chøa AnnR A vµ tËp các iđêan nguyên
tố gắn kết tối thiểu trong AttR A là nh nhau. Vì thế ta có
dim(R/ AnnR A) = max{dim(R/p) : p ∈ AttR A}.
T−¬ng tù ta cịng cã dim(R/ Ann A) = max{dim(R/p) : p ∈ AttR A}.
V× thế ta có các quan hệ sau đây:
1.3.6. Hệ quả.
N-dimR A = N-dimR A = dim(R/ AnnR A)
= max{dim(R/p) : p ∈ AttR A}
dim(R/ Ann A) = max{dim(R/p) : p AttR A}

1.4

Tính bÃo hòa nguyên tố của Hmd (M )

Kí hiệu UM (0) là môđun con lớn nhất của M cã chiỊu nhá h¬n d =
dim M . Chó ý rằng môđun con lớn nhất UM (0) nh thế luôn tồn tại và duy


12

nhất. Nhắc lại rằng Hmi (M) là Rmôđun Artin với mọi số nguyên i và
depth M = min{i : Hmi (M) = 0}; dim M = max{i : Hmi (M ) = 0}.
V× thÕ Hmi (M ) = 0 víi mäi i < 0 vµ mäi i > d. Ng−êi ta gọi Hmd (M ) là
môđun đối đồng điều cấp cao nhất của M. Trớc hết, chúng ta nhắc lại
các tính chất quan trọng sau đây về tập các iđêan nguyên tố gắn kết và
chiều Noether của môđun này.
1.4.1. Bổ ®Ò. [BS]. AttR Hmd (M ) = {p ∈ AssR M : dim R/p = d}.
Đặc biệt, dim Hmd (M) = d.
1.4.2. Bổ đề. [CN, Hệ quả 3.6]. N-dim Hmd (M) = dim Hmd (M) = d.
Bổ đề sau đây xác định tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun
M/UM (0).
1.4.3. Bổ đề. Ass(M/UM (0)) = {p Ass M : dim R/p = d}.
Chøng minh. Cho p ∈ Ass M víi dim R/p = d. V× dim UM (0) < d nên
/ Ass UM (0). Lại do
dim R/q < d víi mäi q ∈ Ass UM (0). V× thÕ p ∈
Ass M ⊆ Ass UM (0) ∪ Ass M/UM (0)
nên ta có p Ass M/UM (0). Vì thÕ
Ass M/UM (0) ⊇ {p ∈ Ass M : dim R/p = d}.
Ngợc lại cho p Ass M/UM (0). Khi ®ã p = AnnR (m), trong ®ã
m = m + UM (0) ∈ M/UM (0). V× p = R nên m
/ UM (0). Do đó
dim Rm = d (vì tất cả các môđun con của M có chiều nhỏ hơn d đều
chứa trong UM (0)). Suy ra dim(Rm + UM (0)) = d. V× thÕ
d = dim(Rm + UM (0)) = max{dim UM (0), dim(Rm)}.
Do dim UM (0) < d nên dim(Rm) = d. Vì p = AnnR (m) nªn
dim R/p = dim(Rm) = d.


13

Râ rµng p = AnnR m ⊇ AnnR m. Do ®ã d = dim R/p

dim(Rm) = d.

Suy ra dim R/p = dim(Rm), và vì thế p là iđêan nguyên tố tèi thiĨu cđa
AnnR (Rm). Do ®ã p ∈ Ass(Rm) ⊆ Ass M. Suy ra
Ass M/UM (0) ⊆ {p ∈ Ass M : dim R/p = d}.

Nhìn vào Bổ đề 1.4.3 ta thấy các iđêan nguyên tố liên kết của M/UM (0)
đều có chiều nh nhau. Điều này đa ta đến khái niệm sau đây.
1.4.4. Định nghĩa. Tập Supp(M/UM (0)) đợc gọi là giá không trộn lẫn
của môđun M và đợc kÝ hiƯu bëi Usupp M.
Tõ Bỉ ®Ị 1.4.3 ta cã ngay hệ quả sau đây.
1.4.5. Hệ quả. Supp(M/UM (0)) =

V (p).
p∈Ass M,dim R/p=d

1.4.6. Bỉ ®Ị. Cho p ∈ Supp M. Khi đó p Usupp M nếu và chỉ nếu
p AnnR Hmd (M). Đặc biệt, Usupp M = V (AnnR Hmd (M )).
Chøng minh. Ta cã
AttR Hmd (M ) = {q ∈ Ass M : dim R/q = d}.
H¬n nữa, tập các iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnR Hmd (M ) chính là
tập các phần tử tối thiểu cđa tËp AttR Hmd (M ). V× thÕ
V (AnnR Hmd (M)) =

V (p) = Usupp M.
p∈Ass M, dim R/p=d

1.4.7. Bæ ®Ò. Usupp M ⊇ {p ∩ R : p ∈ UsuppR M }.


14

Chøng minh. Cho p ∈ Usupp M . Khi ®ã p q với q AssR M nào đó
thoả m n điều kiện dim R/q = d. Vì AssR M = {p ∩ R : p ∈ Ass M }
nªn ta suy ra q ∩ R ∈ Ass M . Hơn nữa, do
d dim(R/(q R)) dim R/q = d
nªn ta cã dim R/(q ∩ R) = d. Vì p R q R nên từ định nghĩa của
giá không trộn lẫn ta suy ra p ∩ R ∈ Usupp M.
Ta nãi Usupp M lµ catenary nếu với hai iđêan nguyên tố lồng nhau
trong Usupp M, các d y nguyên tố b o hòa giữa chúng đều có độ dài
bằng nhau. Nói cách khác, Usupp M lµ catenary nÕu vµ chØ nÕu vµnh
R/ AnnR Hmd (M ) là catenary.
1.4.8. Định lý. [CDN] Các phát biểu sau là tơng đơng:
(i) Hmd (M) b o hoà nguyên tè.
(ii) Usupp M = {p ∩ R : p ∈ UsuppR M}.
(iii) Usupp M lµ catenary.


Chơng 2
Tính catenary phổ dụng và tính không
trộn lẫn
Trong suốt chơng này, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phơng,
A là R-môđun Artin và M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d.
Với mỗi iđêan I của R, kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của
R chứa I. Với mỗi tập con T của Spec(R), kí hiệu min(T ) là tập các
phần tử tối thiĨu cđa T theo quan hƯ bao hµm.
Trong [CDN], N.T. Cuong, N.T. Dung và L.T. Nhan đ định nghĩa

giá không trén lÉn cđa M lµ tËp SuppR (M/UM (0)), trong đó UM (0) là
môđun con lớn nhất của M với chiều nhỏ hơn d. Ta luôn có
UsuppR M = Var AnnR (Hmd (M )) =

Var(p).
p∈AssR (M )
dim(R/p)=d

Mét kÕt qu¶ quan trọng trong [CDN] nói rằng môđun đối đồng điều địa
phơng cấp cao nhất là b o hoà nguyên tố nếu và chỉ nếu giá không trộn
lẫn UsuppR M là catenary. Chú ý rằng ngay cả khi vành là catenary thì
các mô đun đối đồng điều địa phơng bậc nhỏ hơn d vẫn có thể không
b o hoà nguyên tố. Điều này là động cơ dẫn ta nghĩ đến việc nghiên cứu
tính b o hoà nguyên tố cho các mô đun đối đồng điều bậc thấp.
Mục đích của chơng này trớc hết là cung cấp một đặc trng để mô
15


16

đun đối đồng điều địa phơng Hmi (M ) là b o hoà nguyên tố. Từ đó ta
nhận đợc tính chất đóng cho các tập giả giá định nghĩa bởi Brodmann
và Sharp [BS1] và một công thức bội liên kết cho các môđun Hmi (M).
Kết quả này mở rộng kết quả chính của [BS1], ở đó Brodmann và Sharp
đ chứng minh công thức bội liên kết trong trờng hợp giả thiết mạnh
hơn - khi vành R là catenary phổ dụng và các thớ hình thức của R là
Cohen-Macaulay. Mục đích tiếp theo của Chơng là nghiên cứu tính
b o hoà nguyên tố cho đồng loạt các môđun đối đồng điều địa phơng
Hmi (M) với i = 0, 1, . . . , d 1. Kết quả thu đợc là tính catenary phổ
dụng của vành thơng R/ AnnR M và tính không trộn lẫn của một số

vành địa phơng R/p với p SuppR M .

2.1 Đặc trng tính bÃo hoà nguyên tố của Hmi (M)
Trong tiết này, cho M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Cho
i 0 là một số nguyên. Theo Brodmann và Sharp [BS1], tập
idim(R/p)

{p Spec(R) : HpRp

(Mp ) = 0}

đợc gọi là giả giá thứ i của M và kí hiệu là PsuppiR M. Giả chiều thứ
i của M , kí hiệu bởi psdi(M ) đợc định nghĩa bởi công thøc
psdi (M) = sup{dim R/p : p ∈ PsuppiR M }.
Brodmann và Sharp [BS1, Định lí 2.4] đ chứng minh r»ng nÕu R lµ catenary phỉ dơng vµ mäi thí hình thức là Cohen-Macaulay thì PsuppiR M
là một tập con đóng của Spec(R) (theo tôpô Zariski) và công thức bội
liên kết sau đây là đúng: Với kí hiệu e (q, Hmi (M )) lµ sè béi cđa Hmi (M )


17

ứng với iđêan m-nguyên sơ q, ta có
idim(R/p)

e (q, Hmi (M)) =

ℓRp HpRp

(Mp ) e(q, R/p).

p∈PsuppiR (M )
dim(R/p)=psdi (M )

Trong tiết này, với mỗi số tự nhiên i, chúng tôi đặc trng tính b o hoà
nguyên tố cho Hmi (M ), từ đó mở rộng công thức bội liên kết ở trên cho
trờng hợp: mọi môđun đối đồng điều địa phơng Hmi (M ) đều b o hoà
nguyên tố.
2.1.1. Định lý. Cho số nguyên i 0. Các điều kiện sau là tơng đơng:
(i) Hmi (M ) là b o hoà nguyên tố.
(ii) Var AnnR (Hmi (M )) = PsuppiR M.
Nếu các điều kiện (i), (ii) đều thoả m n th× psdi M = psdi M =
N-dimR (Hmi (M )) và tập hợp {p PsuppiR M : dim(R/p) = psdi M }
chÝnh lµ tËp {p ∩ R : p ∈ PsuppiR M , dim(R/p) = psdi M }.
Chøng minh. (i)(ii). Giả sử Hmi (M ) b o hoà nguyên tè. Cho p ∈
i−dim(R/p)

PsuppiR M. Khi ®ã HpRp

i−dim(R/p)

tè qRp ∈ AttRp HpRp

(Mp ) = 0. Vì thế tồn tại một iđêan nguyên

(Mp ) với một iđêan nguyên tố q p.

Theo [BS, 11.3.8] ta suy ra q ∈ AttR (Hmi (M)). V× thÕ ta cã p ⊇ q ⊇
AnnR (Hmi (M )). Suy ra PsuppiR M ⊆ Var AnnR (Hmi (M )) .
Cho p ∈ Var AnnR (Hmi (M )) . Khi ®ã AnnR 0 :Hmi (M ) p = p vì
Hmi (M) b o hoà nguyên tố. Suy ra min Var AnnR (0 :Hmi (M ) p) = {p}.

Cho q ⊇ AnnR (0 :Hmi (M ) p). Khi ®ã q p. Vì Hmi (M ) b o hoà nguyªn
tè nªn ta cã
AnnR (0 :0:H i (M ) p q) = AnnR (0 :Hmi (M ) q) = q.
m


18

Vì thế 0 :Hmi (M ) p b o hoà nguyên tố. Do đó
dim(R/p) = dim R/ AnnR (0 :Hmi (M ) p)
= N-dimR 0 :Hmi (M ) p
= dim R/ AnnR (0 :Hmi (M ) p)
= max{dim(R/p) : p ∈ AttR 0 :Hmi (M ) p }.
V× thÕ tån t¹i p ∈ AttR 0 :Hmi (M ) p sao cho dim(R/p) = dim(R/p).
Chó ý r»ng p ∈ Var AnnR (Hmi (M)) và p R p. Vì dim(R/p) =
dim(R/p), nên p là tối thiểu của pR. Vì Hmi (M)
= Hmi R (M) xét nh
các R-môđun nên ta có thể kiểm tra đợc
PsuppiR M = Var AnnR (Hmi (M )) .
i−dim(R/p)

Suy ra p ∈ PsuppiR M , tøc là HpR

p

(Mp) = 0. Vì p là tối thiểu

pR và dim(R/p) = dim(R/p) nên theo Định lí chuyển cơ sở (xem [BS,
4.3.2]) ta cã
i−dim(R/p)

HpRp

i−dim(R/p)
i−dim(R/p)
(Mp) ⊗ Rp ∼
(Mp ⊗ Rp ) ∼
(Mp) = 0.
= HpR
= HpR
p

i−dim(R/p)

Do ®ã HpRp

p

(Mp ) = 0, tức là p PsuppiR M. Vì thế

Var AnnR (Hmi (M )) ⊆ PsuppiR M.
(ii)⇒(i). Gi¶ sư Var AnnR (Hmi (M )) = PsuppiR M. Cho p là iđêan
nguyên tố chøa AnnR (Hmi (M )). Khi ®ã p ∈ PsuppiR M , tức là ta có
idim(R/p)

HpRp

(Mp ) = 0. Vì dim(R/p) = dim(R/pR), nên tồn tại một

iđêan p Ass(R/pR)âno cho dim(R/p) = dim(R/p). Suy ra p ∩ R = p

và p là một iđêan nguyên tố tối thiểu của pR. Chú ý rằng ánh xạ cảm
sinh Rp Rp là phẳng hoàn toàn. Vì thế theo Định lí chuyển c¬ së ta
cã
i−dim(R/p)

HpR

p

i−dim(R/p)
(Mp ) ∼
(Mp ) ⊗ Rp = 0.
= HpRp


19

Do ®ã p ∈ PsuppiR (M ) = Var AnnR (Hmi (M )) . Chó ý r»ng Hmi (M) xÐt
nh− R-môđun Artin là b o hoà nguyên tố. Vì thế AnnR (0 :Hmi (M ) p) = p.
Do ®ã ta cã
p ⊆ AnnR (0 :Hmi (M ) p) ⊆ AnnR (0 :Hmi (M ) p) ∩ R = p ∩ R = p.
Suy ra AnnR (0 :Hmi (M ) p) = p. Vậy Hmi (M ) b o hoà nguyên tố.
Cuối cùng, giả sử (i) và (ii) thoả m n. Theo (ii) ta cã psdi M =
dim(R/ AnnR Hmi (M )). V× thÕ ta cã
psdi (M ) = N-dimR (Hmi (M)) = dim R/ AnnR (Hmi (M )) = psdi (M ).
Đặt N-dimR (Hmi (M)) = s. Cho p PsuppiR M sao cho dim(R/p) = s.
Khi ®ã p ∈ Var AnnR (Hmi (M )) theo (ii). B»ng c¸c lËp luËn nh− trong
chøng minh (i)⇒(ii), tån t¹i p ∈ Var AnnR (Hmi (M )) = PsuppiR (M )
sao cho p R = p và dim(R/p) = dim(R/p) = s.
Ngợc l¹i, cho p ∈ PsuppiR (M) sao cho dim(R/p) = s. Khi đó

p Var AnnR (Hmi (M)) . Đặt p = p R. Khi đó theo giả thiết (ii) ta
cã p ∈ Var AnnR (Hmi (M )) = PsuppiR M . Hơn nữa,
s = dim(R/p)

dim(R/pR) = dim(R/p)

s.

Suy ra dim(R/p) = s.
2.1.2. Hệ quả. Nếu R/ AnnR M là catenary phổ dụng và mọi thớ hình
thức của nó là Cohen-Macaulay thì Hmi (M ) b o hoà nguyên tố với mọi
i

d.

Chứng minh. Vì R/ AnnR M là catenary phổ dụng và mọi thớ hình
thức của nó là Cohen-Macaulay nên theo [BS1, Proposition 2.5] ta cã
Var AnnR (Hmi (M)) = Psuppi M với mọi i
Hmi (M) b o hoà nguyên tố với mọi i

d.

d. Theo Định lí 2.1.1,


20

Trong [BS1], Brodmann và Sharp đ chứng minh rằng nếu R là catenary
phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là Cohen-Macaulay thì mọi tập
giả giá của M là đóng. Cũng với giả thiết này, họ thiết lập đợc công

thức bội liên kết của Hmi (M ). Dùng Định lí 2.1.1 kết hợp với lập luận
tơng tự nh trong chứng minh Định lí 2.4 của [BS1], ta có thể mở rộng
kết quả này nh sau.
2.1.3. Hệ quả. Cho i 0 là một số nguyên. Cho N-dimR (Hmi (M )) = s.
Với mỗi p PsuppiR M , đặt T (p) = {p ∈ PsuppiR (M ) : dim(R/p) =
dim(R/p), p ∩ R = p}. Gi¶ thiÕt r»ng Hmi (M ) b o hoà nguyên tố. Khi
đó các phát biểu sau là đúng
(i) PsuppiR M là đóng.
(ii) Nếu p ∈ PsuppiR M víi dim(R/p) = s th× tËp T (p) = , độ dài
idim(R/p)

Rp HpRp

(Mp ) khác 0 và hữu hạn, hơn nữa với mọi p T (p) ta

i−dim(R/p)

cã ℓRp HpR

p

i−dim(R/p)

(Mp ) = ℓRp HpRp

(Mp) ℓRp (Rp/pRp ).

(iii) Cho q là m-nguyên sơ. Giả sử Hmi (M ) = 0. Khi ®ã sè béi
e′ (q, Hmi (M )) của Hmi (M) ứng với q thoả m n công thøc liªn kÕt sau
i−dim(R/p)

e′ (q, Hmi (M)) =

ℓRp HpRp

(Mp ) e(q, R/p).

pPsuppiR (M )
i

dim(R/p)=psd (M )

Chứng minh. Khẳng định (i) suy ra từ Định lí 2.1.1. Khẳng định (ii) suy
ra từ Định lí 2.1.1 và bằng các lập luận tơng tù nh− chøng minh [BS1,
Theorem 2.4,(i)].
(iii)
p∈PsuppiR M
dim(R/p)=s

T (p) = {p PsuppiR (M ) : dim(R/p) = s} theo Định

lí 2.1.1. NÕu p ∈ PsuppiR M víi dim(R/p) = s th× T (p) = {p ∈
Ass(R/pR) : dim(R/p) = s}. Vì thế theo (ii) và [BS1, Theorem 2.4,(iii)]


21

, [Mat, Theorem 14.7] ta cã
e′ (q, Hmi (M)) = e′ (qR, Hmi (M ))
i−dim(R/p)

=

ℓRp HpR

p

(Mp ) e(qR, R/p)

p∈Psuppi (M )
dim(R/p)=s
i−dim R/p

=

ℓRp (HpRp

(Mp))

p∈PsuppiR (M )
dim(R/p)=s

p∈T (p)
i−dim R/p

ℓRp (HpRp

=

(Mp))

p∈PsuppiR (M )

ℓRp (Rp /pRp )e(qR, R/p)

p∈Ass(R/pR)

dim(R/p)=s

dim(R/p)=s

ℓRp

=

ℓRp (Rp /pRp)e(qR, R/p)

i−dim(R/p)
(Mp )
HpRp

e(qR, R/pR)

p∈Psuppi (M )
dim(R/p)=s
i−dim(R/p)

=

ℓRp HpRp

(Mp ) e(q, R/p).

p∈Psuppi (M )
dim(R/p)=s

NT C−êng, NT Dung và LT Nhàn [CDN] đ chứng minh rằng môđun
đối đồng điều địa phơng cấp cao nhất Hmd (M ) là b o hoà nguyên tố khi
và chỉ khi giá không trộn lẫn Usupp M của M là catenary. Kết hợp với
kết quả này, ta có hệ quả trực tiếp của Định lí 2.1.1 đợc phát biểu nh
sau.
2.1.4. Hệ quả. Cho q là iđêan m-nguyên sơ. Các phát biểu sau là tơng
đơng:
(i) PsuppdR M là đóng.
(ii) Usupp M là catenary, tức lµ vµnh R/ AnnR (Hmd (M )) lµ catenary.
(iii) Hmd (M ) b o hoà nguyên tố.
(iv) Var Ann(Hmd (M )) = PsuppdR M.


22

Nếu các điều kiện trên thoả m n thì Usupp M = Psuppd M vµ
e′ (q, Hmd (M )) =

0
ℓRp HpR
(Mp ) e(q, R/p).
p
p∈PsuppdR (M )
dim(R/p)=d

Chøng minh. Ta chØ cÇn chứng minh (i)(ii). Giả sử R/ AnnR (Hmd (M ))
không catenary. Vì R/ AnnR (Hmd (M )) đẳng chiều nên theo McAdam và
Ratliff [MR], tồn tại một iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR (Hmd (M )) sao cho
dim(R/p) + ht p/ AnnR (Hmd (M )) < d.
Ta khẳng định dim(R/p) + dim(Mp ) < d. Thật vậy, nếu điều này
không đúng thì tồn tại iđêan nguyên tố q sao cho AnnR M ⊆ q ⊆ p
vµ dim(R/p) + ht(p/q) = d. Do đó dim(R/q) = d, và vì thế q ∈ Ass M.
Suy ra q ∈ AttR (Hmd (M )). Vì thế q AnnR (Hmd (M )). Do đó
dim(R/p) + ht p/ AnnR (Hmd (M )) = d,
điều này là vô lí. Vậy khẳng định đợc chứng minh. Vì dim(Mp) <
ddim(R/p)

d dim(R/p) theo khẳng định trên nên ta cã HpRp

(Mp) = 0, tøc

lµ p ∈
/ PsuppdR M. Cho p1 ∈ min Var(AnnR (Hmd (M))) sao cho p1 ⊆ p.
Khi ®ã p1 ∈ AttR (Hmd (M)), suy ra p1 Ass M và dim(R/p1 ) = d. Vì
ddim(R/p1 )

thế Hp1 Rp

1

(Mp1 ) = 0, tøc lµ p1 ∈ PsuppdR M. Do đó PsuppdR M

không đóng, vô lí.
Chú ý. Theo Định lí 2.1.1, nếu Hmi (M ) b o hoà nguyên tố thì Psuppi M

là đóng. Điều ngợc lại chỉ đúng khi i = d theo hệ quả trên, nhng nó
không đúng với i bất kì. Chẳng hạn, cho R là miền nguyên chiều 2 xây
dựng bởi Ferrand và Raynaud [FR] sao cho dim(R/q) = 1 với một iđêan
nguyên tố liên kết q Ass R. Khi đó Psupp0 R = ∅, Psupp1 R = {m},
Psupp2 R = Spec R, tất cả đều đóng, nhng Hm1 (R) không b o hoà
nguyên tố.


23

2.2 Tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn
Nhắc lại rằng M đợc gọi là đẳng chiều nếu dim(R/p) = d víi mäi
p ∈ min(Ass M ). Theo M. Nagata [Na], ta nói rằng M là không trộn lẫn
nếu dim(R/p) = d với mọi iđêan nguyên tố p Ass M, và M là tựa
không trộn lẫn nếu M là đẳng chiều.
Trong tiết này, chúng ta xem xét tính b o hoà nguyên tố của tất cả các
môđun đối đồng điều địa phơng Hmi (M) với bậc i < d, từ đó chúng ta
nhạn đợc một số kết quả về tính catenary phổ dụng và tính không trộn
lẫn của các vành địa phơng.
2.2.1. Định lý. Giả sử Hmi (M ) b o hoà nguyên tố với mọi i < d. Khi đó
R/p là không trộn lẫn với mọi p Ass M và vành thơng R/ AnnR M
là catenary phỉ dơng.
Chøng minh. Cho p ∈ Ass M. Gi¶ sư R/p trén lÉn, tøc lµ dim(R/p) =
k < dim(R/p) víi một iđêan nguyên tố nào đó p Ass(R/pR). Rõ rµng
k < d. Theo [Mat, Theorem 23.2(ii)] ta cã
Ass(R/qR).

Ass M =
q∈Ass M

V× thÕ p ∈ Ass M . V× dim(R/p) = k, ta cã p ∈ AttR (Hmk (M )) theo [BS,
Corollary 11.3.3]. Do ®ã ta cã
N-dimR (Hmk (M)) = dim R/ AnnR (Hmk (M)) ≥ dim(R/p) = k.
Ta chó ý r»ng N-dimR (Hmk (M ))

k theo [CN, HƯ qu¶ 3.2]. Do ®ã ta

cã N-dimR (Hmk (M )) = k. Vì thế tồn tại một d y x1, . . . , xk các phần
tử trong m sao cho 0 :Hmk (M ) (x1 , . . . , xk )R có độ dài hữu hạn. Đặt
I = (x1 , . . . , xk )R. Do k < dim(R/p), nªn ta cã
ht (I + p)/p

k < dim(R/p).


24

Vì thế tốn tại một iđêan nguyên tố q chứa I + p sao cho q = m. Suy
ra AnnR (0 :Hmk (M ) q) là mnguyên sơ, do đó AnnR (0 :Hmk (M ) q) = q.
V× p ∈ Ass(R/pR), ta cã p ∩ R = p theo [Mat, Định lí 23.2(i)]. Vì
p AttR (Hmk (M )), nên ta cã p ∈ AttR (Hmk (M)). V× thÕ q ⊇ p ⊇
AnnR (Hmk (M )). Suy ra Hmk (M ) không b o hoà nguyên tố, vô lí. Vậy
R/p không trộn lẫn với mọi p Ass M.
Để chỉ ra R/ AnnR M là catenary phổ dụng, ta cần chỉ ra rằng R/p
là tựa không trộn lẫn với mọi iđêan nguyên tố p của R chứa AnnR M
(cf. [Mat, Định lí 31.7(1)(2)]). Cho p Var(AnnR M). Khi đó tån
t¹i q ∈ min(Ass M ) sao cho q ⊆ p. Theo (i) ta có R/q là tựa không
trộn lẫn. Vì R/p là đẳng chiều nên theo [Mat, Định lí 31.6,(ii)] ta có
R/p
= (R/q) (p/q) là tựa không trộn lÉn.

2.2.2. HƯ qu¶. Gi¶ sư Hmi (M ) b o hoà nguyên tố với mọi i < d. Khi
đó Hmd (M ) cũng b o hoà nguyên tố.
Chứng minh. Chú ý rằng R/ AnnR (Hmd (M )) là vành thơng của vành
R/ AnnR M. Vì Hmi (M ) b o hoà nguyên tố với mọi i < d, nên vành
R/ AnnR M là catenary phổ dụng theo Định lí 2.2.1. Vì thế vành thơng
R/ AnnR (Hmd (M )) là catenary, tức là giá không trộn lẫn Usupp M của
M là catenary. Do đó Hmd (M ) b o hoà nguyên tè theo [CDN].
Trong [Na1], M. Nagata ® hái r»ng nÕu (R, m) là miền Noether địa
phơng không trộn lẫn và p Spec R thì liệu R/p có là miền không
trộn lẫn? Brodmann và Rotthaus [BR] đ xây dựng một miền Noether
địa phơng (R, m) chiều 3 sao cho R là miền nguyên và R/pR có một
iđêan nguyên tố nhúng với một iđêan nguyên tố p Spec R. đây là phản
ví dụ cho câu hỏi trên của Nagata. Với miền nguyên này, ta có thể chỉ ra
rằng Hm2 (R) không b o hoà nguyên tố. Vì thế điều ngợc lại của Định
lí 2.2.1 không đúng.


25

Kết quả sau cho ta một tiêu chuẩn về tính không trộn lẫn của vành
R/p với một số iđêan nguyên tố p Supp M .
2.2.3. Định lý. Giả sử M không trộn lẫn chiều d và Hmi (M) b o hoà
nguyên tố với mọi i < d. Khi đó R/p là không trộn lẫn với mọi p
Supp M thoả m n dim(R/p) d 1.
Chứng minh. Vì M không trọn lẫn nên dim(R/p) = d với mọi p ∈
Ass M. Cho p ∈ Supp M sao cho dim(R/p) ≥ d−1. NÕu dim(R/p) = d
th× p ∈ Ass M và vì thế R/p là không trộn lânc theo Định lí 2.2.1. Cho
dim(R/p) = d 1. Giả sử R/p không trộn lẫn. Khi đó tòn tại iđêan
nguyên tố p ∈ Ass(R/pR) sao cho dim(R/p) = k < d 1. Vì M
là không trộn lẫn nên tồn tại x ∈ p sao cho x lµ M -chÝnh quy. Vì

dim(R/p) = dim(M/xM ) = d 1, nên ta cã p ∈ min(Ass(M/xM )).
Do
AssR (M/xM) =

Ass(R/qR)
q∈AssR (M/xM )

theo [Mat, Định lí 3.2,(ii)], nên ta có p Ass(M /xM). Vì dim(R/p) =
k, nên p AttR (Hmk (M/xM )) theo [BS, 11.3.3]. Tõ d y khíp 0 −→
x

M −→ M −→ M/xM −→ 0, ta cã d y khíp c¶m sinh
0 −→ Hmk (M)/xHmk (M ) −→ Hmk (M/xM ) −→ 0 :Hmk+1 (M ) x −→ 0.
NÕu p ∈ AttR Hmk (M)/xHmk (M ) th× p ∈ AttR (Hmk (M )). V× thÕ theo
[BS, 11.3.2] ta cã thĨ suy ra p ∈ Ass M . V× thÕ p = p R Ass M,
điều này là vô lí. Do đó từ d y khớp trên ta có p ∈ AttR (0 :Hmk+1 (M )
x). Suy ra p ∈ Var(AnnR (Hmk+1 (M))). V× thÕ N-dimR (Hmk+1(M )) ≥
dim(R/p) = k. Chó ý r»ng N-dimR (Hmk+1 (M ))

k + 1 theo [CN, HƯ

qu¶ 3.2]. NÕu N-dimR (Hmk+1 (M )) = k + 1 thì tồn tại một iđêan nguyên
tố q ∈ AttR Hmk+1 (M ) sao cho dim(R/q) = k + 1. V× thÕ theo [BS,