Nghiên cứu một số phương pháp nội suy và sấp xỉ hàm số

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀM VĂN MẠNH

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ
PHƯƠNG PHÁP
NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thái Ngun - 2013

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ
PHƯƠNG PHÁP
NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số : 60 46 46

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS ĐẶNG THỊ OANH

THÁI NGUN - 2013

Số hóa bởi trung tâm học lieäu

1

/>

Mục lục
Bảng ký hiệu

5

Danh mục bảng và hình vẽ

6

1 Kiến thức cơ sở
1.1 Hệ phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính
1.2.1 Chuẩn của ma trận, chuẩn của vectơ . . . . . . . .
1.2.2 Phương pháp Gauss (Phương pháp khử) . . . . . . .
1.2.3 Phương pháp lặp đơn (phương pháp lặp Jacobi) . . .
1.3 Bài toán nội suy hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Bài toán nội suy hàm số . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Sự tồn tại duy nhất của đa thức nội suy . . . . . . .

1.4 Khái niệm sai phân và tỉ sai phân . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Tỉ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Cơ sở của bài toán nội suy với dữ liệu phân tán . . . . . . .
1.5.1 Nội suy hàm số với dữ liệu phân tán . . . . . . . . .
1.5.2 Ma trận xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Hàm xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Hàm cơ sở bán kính . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.5 Hàm bán kính xác định dương . . . . . . . . . . . .

9
9
10
10
11
14
16
16
16
16
16
17
19
19
20
20
21
21

2 Một số phương pháp nội suy và xấp xỉ hàm số

2.1 Phương pháp nội suy Lagrange . . . . . . . . . .
2.1.1 Thiết lập đa thức nội suy Lagrange . . .
2.1.2 Đánh giá sai số đa thức nội suy Lagrange
2.2 Chọn mốc nội suy tối ưu . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Chọn các mốc nội suy tối ưu . . . . . . .
2.3 Phương pháp nội suy Newton . . . . . . . . . . .
2.3.1 Nội suy trên lưới không đều . . . . . . . .

22
22
22
23
25
25
26
27
27

Số hóa bởi trung tâm học lieäu

2

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

/>

2.4

2.5

2.6

2.3.2 Nội suy trên lưới cách đều . . . . . . . . . . . . . .
Phương pháp bình phương bé nhất . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Trường hợp y phụ thuộc tuyến tính vào các tham số
2.4.2 Trường hợp y phụ thuộc phi tuyến vào các tham số .
Phương pháp nội suy RBF . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.1 Nội suy hàm cơ sở bán kính (RBF) . . . . . . . . . .
2.5.2 Vấn đề tham số hình dạng tối ưu đối với nội suy hàm
cơ sở bán kinh (RBF) . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Nội suy với độ chính xác đa thức . . . . . . . . . . .
2.5.4 Sai số, ổn định và hội tụ của hàm nội suy theo bán
kính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Ứng dụng của phương pháp nội suy
3.1 Tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Tính tích phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Cơng thức hình chữ nhật trung tâm . . . . . . . . .
3.2.2 Cơng thức hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Công thức Simson (công thức Parabol) . . . . . . .
3.2.4 Công thức cầu phương Gauss . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Công thức Newton - Cotet . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Giải phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Phương pháp Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Phương pháp Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Vấn đề xác định nghiệm gần đúng với sai số cho trước
3.4 Ứng dụng nội suy RBF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Bài toán Dirichlet với phương trình Poisson trong
miền giới nội Ω ⊂ Rd và vectơ trọng số . . . . . . .
3.4.2 Vectơ trọng số từ nội suy hàm cơ sở bán kính . . . .
3.4.3 Lược đồ RBF – FD giải phương trình poisson . . . .

29
30

31
33
34
34
36
36
37
39
40
40
42
42
44
46
48
50
51
51
52
54
55
57
58
58
59
61

Kết luận

62

Tài liệu tham khảo

63

Số hóa bởi trung tâm học liệu

3

/>

LỜI CẢM ƠN
Trong q trình hồn thành luận văn "Nghiên cứu một số phương
pháp nội suy và xấp xỉ hàm số" tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ,
động viên của những cá nhân và tập thể. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới tất cả các cá nhân và tập thể đã tạo điều kiện và giúp đỡ tơi trong
q trình học tập và nghiên cứu.
Trước hết tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, các thầy cô Trường
Đại học khoa học – ĐHTN, các thầy cơ giáo Viện tốn học Việt Nam đã
tạo mọi điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành chương trình học tập và nghiên
cứu.
Có được kết quả này tơi vơ cùng biết ơn và tỏ lịng kính trọng sâu sắc
đối với TS Đặng Thị Oanh – Giảng viên Trường Đại học công nghệ thông
tin và truyền thông – ĐHTN người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi
trong suốt q trình thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và những người thân trong
gia đình đã động viên, chia sẻ, giúp tơi vượt qua những khó khăn trong
quá trình học tập và nghiên cứu.
Thái Nguyên, ngày 20 tháng 08 năm 2013
Người thực hiện

Đàm Văn Mạnh

Số hóa bởi trung tâm học liệu

4

/>

Bảng ký hiệu
const
RBF
Gauss
MQ
IM Q
Mk
E
||A||
∀x
∃x
∈
∆
∇
Ln (x)
f (xi , xi+1 , ..., xi+n )
Pf
Rd
Rn (x)
max
min
ICN

Iht
Isim
Ξ
Ξint
∂Ξ
Σ
Ω
x, y
NΦ (Ω)
Cond(A)

Hằng số
Radianl Basis Funtion
Hàm Gaussian
Hàm Multiquadric
Hàm Inverse Multiquadric
Giá trị lớn nhất của đạo hàm cấp k
Sai số tích phân
Chuẩn của A
Với mọi x
Tồn tại x
thuộc
Sai phân tiến
Sai phân lùi
Đa thức nội suy bậc không quá n
Tỉ sai phân cấp n của hàm f (x) tại các
điểm xi , xi+1 , ..., xi+n
Hàm xấp xỉ hàm f
Không gian thực d chiều
Sai số đa thức nội suy bậc không quá n

Giá trị lớn nhất
Giá trị nhỏ nhất
Xấp xỉ tích phân xác định bằng cơng thức
hình chữ nhật trung tâm
Xấp xỉ tích phân xác định bằng cơng thức
hình thang
Xấp xỉ tích phân xác định bằng cơng thức
sim son
Bộ tâm phân tán
Tập các tâm nằm trong
Tập các tâm nằm trên biên
Tổng
Tích
Bao đóng tập Ω
Tích vơ hướng của x và y
Khơng gian được sinh bởi Φ
Số điều kiện của ma trận A

Số hóa bởi trung tâm học liệu

5

/>

Danh mục bảng và hình vẽ
Bảng 1.1 Bảng tỉ sai phân
Bảng 1.2 Bảng một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng
ε>0
Hình 2.1 Hình biểu diễn các điểm M (ti , log k) trong hệ trục Oxy
Hình 2.2 Đồ thị hàm cơ sở bán kính Gauss

Hình 2.3 Đồ thị hàm cơ sở bán kính MQ
Hình 2.4 Đồ thị hàm cơ sở bán kính IMQ
Hình 2.5 Đồ thị hàm cơ sở bán kính Cơsi (CauChy)
Hình 3.1 Hình biểu diễn xấp xỉ hình thang cong bởi các hình chữ
nhật trung tâm trên mỗi đoạn chia
Hình 3.2 Biểu diễn xấp xỉ hình thang cong bởi hình thang trên
mỗi đoạn chia

Số hóa bởi trung tâm học liệu

6

/>

Mở đầu
Bài toán nội suy và xấp xỉ hàm số có vị trí đặc biệt quan trọng trong
tốn học khơng chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng
vai trị như là một cơng cụ đắc lực của các mơ hình liên tục cũng như các
mơ hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp
xỉ, lý thuyết biểu diễn nghiệm [5].
Bài toán nội suy được mô tả như sau [4]:
Cho D ⊂ Rn , đối với hàm số f : D → Rm đã xác định được một
N
tập dữ liệu xk , y k k=1 trong đó xk ∈ Rn , y k ∈ Rm (k = 1, ..., N ) và
f (xk ) = y k (∀k = 1, ..., N ), hàm số f có thể chưa xác định được biểu
thức giải tích hoặc biểu thức giải tích quá phức tạp đối với yêu cầu đặt ra
cho bài toán. Cần tìm tìm hàm Pf “đủ tốt” có biểu thức giải tích cụ thể
thỏa mãn hệ điều kiện P f (xk ) = y k (∀k = 1, ..., N ), và tại những điểm
x ∈ D không trùng với xk thì P f (x) ≈ f (x).
Từ lâu các nhà toán học đã quan tâm đến việc xây dựng các phương

pháp, thuật tốn nội suy cũng như tìm kiếm các ứng dụng của nó trong
thực tiễn. Một số phương pháp nội suy đã tìm được nhiều ứng dụng phải
kể đến như: phương pháp nội suy Lagrange, phương pháp nội suy Newton,
phương pháp nội suy hàm cơ sở bán kính (Radial Basis Function – RBF),
phương pháp bình phương bé nhất.
Sử dụng hàm đa thức làm hàm nội suy cùng với thuật tốn đơn giản,
hai phương pháp nơi suy Lagrange và phương pháp Newton đã giải quyết
khá đầy đủ bài toán nội suy hàm một biến. Đối với bài toán nội suy hàm
nhiều biến cả hai phương pháp này đều cho thấy sự phức tạp trong thuật
tốn và kết quả khơng tốt.
Phương pháp nội suy RBF là một phương pháp nội suy dựa trên các
hàm cơ sở bán kính và được đề xuất bởi Powell vào năm 1987. Thuật toán
được sử dụng trong phương pháp là phức tạp, khối lượng tính tốn lớn
nhưng kết quả thu được là tốt, đặc biệt trong các bài toán nội suy hàn
nhiều biến. Việc giải quyết các yêu cầu của bài toán trên hàm một biến
thường đơn giản hơn rất nhiều khi thực hiện trên hàm nhiều biến, vì thế
ưu thế lớn nhất của phương pháp là chuyển bài toán hàm nhiều biến về
bài toán của hàm một biến. Các bài toán thực tiễn như: Bài tốn dự báo

Số hóa bởi trung tâm học liệu

7

/>

thời tiết, trí tuệ nhân tạo, trắc địa, giải số phương trình vi phân, khơi phục
hình ảnh, mạng nơron nhân tạo, nhận dạng chữ viết tay, . . . là những bài
tốn trong khơng gian nhiều chiều. Việc giải quyết những bài toán này cần
đến những phương pháp nội suy hàm nhiều biến. Một số cơng trình nghiên
cứu của Đặng Thị Thu Hiền, Trần Đức Thụ, Lê Tiến Mười,. . . cho thấy:

Sử dụng nội suy bằng hàm cơ sở bán kính (Radial Basis Function-RBF)
khi giải quyết các bài tốn trên cho kết quả tốt. Phương pháp cho thấy sự
độc lập của nó đối với sự phân bố của các nút nội suy. Vì vậy đây là một
phương pháp nội suy phù hợp với các nút nội suy phân tán. Mặc dù khối
lượng tính tốn lớn, nhưng với sự phát triển mạnh mẽ của máy tính điện
tử, hiện nay phương pháp nội suy RBF đã được ứng dụng cho nhiều bài
tốn trong nhiều lĩnh vực.
Trong luận văn này chúng tơi trình bày một số phương pháp nội suy
và xấp xỉ hàm số và một số ứng dụng của chúng.
Nội dung luận văn bao gồm:
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Nội dung của chương là hệ thống các kiến thức cơ sở cho các phương
pháp nội suy và xấp xỉ hàm số như: Hệ phương trình đại số tuyến tính và
một số phương pháp giải, khái niệm bài toán nội suy, khái niệm sai phân,
tỉ sai phân, cơ sở của bài toán nội suy với dữ liệu phân tán
Chương 2: Một số phương pháp nội suy và xấp xỉ hàm số
Nội dung của chương bao gồm: phương pháp nội suy Lagrange, phương
pháp nội suy Newton, phương pháp nội suy RBF và phương pháp bình
phương bé nhất.
Chương 3: Ứng dụng phương pháp nội suy
Trong chương này chúng tơi trình bày một số ứng dụng của phương
pháp nội suy như: tính đạo hàm, tính tích phân số, giải phương trình
vi phân thường và giải phương trình poisson trên miền giới nội với biên
Dirichlet.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

8

/>

Chương 1
Kiến thức cơ sở
Trong chương này chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ sở cho bài
toán nội suy và xấp xỉ hàm số, khái niệm hệ phương trình đại số tuyến
tính và một số phương pháp giải như: phương pháp Gauss, phương pháp
lặp đơn. Các khái niệm nội suy như: bài toán nội suy hàm số, sự tồn tại
duy nhất của đa thức nội suy hàm một biến, khái niệm nội suy với dữ liệu
phân tán, ma trận xác định dương, hàm xác định dương, hàm bán kính,
hàm cơ sở bán kính.

1.1

Hệ phương trình đại số tuyến tính

Hệ phương trình đại số tuyến tính n ẩn là hệ có dạng

Ax = b

(1.1)

trong đó


a11
 a21
A =  ...
an1

a12

a22
...
an2

...
...
...
...



a1n
a2n 

;
b
=


...
ann



b1

b2 
;
x
=



...
bn


x1
x2 
... 
xn

Với aij ; bi (i = 1, n, j = 1, n) là những số thực đã biết, xi (i = 1, n) là ẩn
số phải tìm, A là ma trận hệ số.
Nếu ma trận A không suy biến nghĩa là detA = 0 thì hệ (1.1) có nghiệm
duy nhất x = A−1 b.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

9

/>

1.2

Một số phương pháp giải hệ phương trình đại
số tuyến tính

1.2.1

Chuẩn của ma trận, chuẩn của vectơ

a) Chuẩn của ma trận [1]



a11 a12
 a21 a22
Cho ma trận A =  ... ...
an1 an2
Chuẩn của ma trận A là một số
sau:


... a1n
... a2n 
... ...  .
... ann
thực ký hiệu là ||A|| thỏa mãn điều kiện

i) ||A|| ≥ 0; ||A|| = 0 ⇔ A = 0;
ii) ||αA|| = |α|.||A|| với α là một số thực và || − A|| = ||A||;
iii)||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||;
4i) ||A.B|| ≤ ||A||.||B||.
trong đó B là ma trận cấp m × n.
Ta thường dùng các chuẩn sau:

||A||1 = Max
j

|aij | chuẩn cột.

(1.2)

i

 12


2

||A||2 = 

|aij |  chuẩn Ơclit.

(1.3)

i,j

||A||∞ = M ax
i

|aij | chuẩn hàng.

(1.4)

j

b) Chuẩn vectơ [1]

Trong Rn cho vectơ x = (x1 , x2 , ..., xn ) ta có thể biểu diễn x là ma trận

chỉ có một cột


x1
x 
x =  ...2 
xn
Ta có
n

||x||1 =

|xi |

(1.5)

i=1

Số hóa bởi trung tâm học liệu

10

/>

1
2

n

|xi |2

||x||2 =

(1.6)

i=1

||x||∞ = max |xi |

(1.7)

i

1.2.2

Phương pháp Gauss (Phương pháp khử)

a) Nội dung phương pháp

Xét hệ phương trình đại số tuyến tính


a (0) x + a12 (0) x2 + ... + a1n (0) xn = b1 (0)

 11 (0) 1
a21 x1 + a22 (0) x2 + ... + a2n (0) xn = b2 (0)
...........................................




an1 (0) x1 + an2 (0) x2 + ... + ann (0) xn = bn (0)

(1.8)

Thực hiện khử dần các ẩn số trong hệ phương trình (1.8) để đưa hệ về
dạng hệ "tam giác" tương đương

(1)
(1)
(1)
(1)

 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ... + a2n xn = b1
(2)
(2)
(2)
x2 + a23 x3 + ... + a2n xn = b2


(n)
xn = bn

• Q trình khử các ẩn số (quá trình thuận)
(0)
(0)
Khử x1 : Giả sử a11 = 0 (a11 gọi là trụ thứ nhất.
(0)
Chia cả hai vế của phương trình thứ nhất trong (1.8) cho a11 ta được
phương trình
(1)

(1)
(1)
x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
(1.9)
Với

(1)
a1j

a01j
=
; j = 2, 3, ..., n.
a11

Dùng phương trình (1.9) khử x1 trong n − 1 phương trình cịn lại của (1.8)
ta được hệ phương trình
 (1)
(1)
(1)
 a22 x2 + a(1)
23 x3 + ... + a2n xn = b2
.......
(1.10)
 (1)
(1)
an2 x2 + an3 x3 + ... + ann (1) xn = bn (1)
(1)

(0)

(0) (1)

(1)

(0)

(0) (1)

Với aij = aij −ai1 a1j , i = 2, 3, ..., n; j = 2, 3, ..., n và bi = bi −b1 a1j .
(1)

(1)

Khử x2 : Giả sử a22 = 0 (a22 gọi là trụ đứng thứ hai).
(1)
Chia cả hai vế của phương thứ nhất của (1.10) cho a12 ta được
(2)

(2)

(2)

x2 + a23 x3 + ... + a2n xn = b2
Số hóa bởi trung tâm học liệu

11

(1.11)

/>

(1)

trong đó

(2)
a2j

=

a2j

(1)
a22

(1)

;

(2)
b2

=

b2

(1)
a22

với j = 2, 4, 5, ..., n.

Sử dụng (1.11) khử x2 trong n − 2 phương trình cịn lại của (1.10) quá
(n)
trình tiến hành cho đến khi ta được một phương trình xn = bn với các
(0) (1) (2)
(n−1)
trụ a11 ; a22 ; a33 ; ...; ann khác khơng.
Thì hệ (1.8) tương đương với hệ phương trình "tam giác" sau

(1)
(1)
(1)
(1)

x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1


(2)
(2)
(2)
x2 + a23 x3 + ... + a2n xn = b2
(1.12)
...



(n)
xn = bn

• Q trình tìm ẩn (quá trình ngược)

Giải hệ (1.12) từ dưới lên trên ta tìm được

(n)

xn = bn


(n−1)
(n−1)
xn−1 = bn−2 − an−1n xn
...



(1)
(1)
(1)
(1)
x1 = b1 − a12 x2 − a13 x3 − ... − a1n xn
Chú ý rằng điều kiện áp dụng phương pháp Gauss là các phần tử trụ là
khác khơng.
Phân tích quá trình áp dụng phương pháp Gauss ta thấy để đưa hệ (1.1)
(k)
về hệ tam giác tương đương ta chỉ cần tính các hệ số aij .
b) Khối lượng tính

Căn cứ vào những cơng thức tính của phương pháp Gauss ta đếm được
Sn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trong đó có

n(n − 1)(2n + 5)

phép nhân.
6
n(n + 1)
•
phép chia.
2
n(n − 1)(2n + 5)
•
phép cộng hoặc trừ.
6
4n3 + 9n2 − 7n
Vậy Sn =
phép tính.
(1.13)
6
So với phương pháp Cramer thì phương pháp Gauss có khối lượng tính
tốn ít hơn nhiều nhất là khi n lớn.
Nếu ma trận hệ số của hệ phương trình đối xứng thì khối lượng tính giảm
đi một nửa.
•

Số hóa bởi trung tâm học liệu

12

/>

c) Sai số của phương pháp Gauss

Nếu các phép tính cộng, trừ, nhân, chia là đúng hồn tồn và khơng

phải làm trịn thì phương pháp Gauss cho nghiệm đúng của hệ phương
trình (1.1). Vì vậy phương pháp Gauss là một phương pháp đúng. tuy
nhiên trong tính tốn khơng tránh khỏi sai số làm tròn nên trong thực tế
khi dùng phương pháp Gauss cũng chỉ cho ta nghiệm gần đúng.
d) Phương pháp Gauss có trụ lớn nhất

Một trong những hạn chế của phương pháp Gauss là phần tử trụ phải
khác không. Khi có các phần tử trụ bằng khơng thì khơng thực hiện được
bằng phương pháp Gauss. Mặt khác nếu định thức của ma trận hệ số khác
không nhưng một vài phần tử trụ có giá trị tuyệt đối rất nhỏ so với các
phần tử trong cùng hàng thì khi chia cho phần tử trụ sai số làm tròn ở
các hệ số trong hàng là lớn. Vì thế nghiệm tìm được thiếu chính xác. Để
khắc phục những hạn chế trên người ta thường dùng phương pháp Gauss
có tìm trụ lớn nhất. Nội dung phương pháp như sau:

• Khử x1 trong sơ đồ Gauss ta tìm số lớn nhất về giá trị tuyệt đối trong
(0) (0)
(0)
các số a11 ; a21 ; ...; an1 làm trụ thứ nhất và hoán vị hàng chứa trụ lớn
nhất thứ nhất với hàng thứ nhất. Trụ thứ nhất là số lớn nhất trong
các hệ số của x1 q trình khử x1 tiến hành như phương pháp Gauss.
• Khử x2 trong hệ phương trình n − 1 ẩn thu được sau khi khử x1 , ta
(1) (1)
(1)
tìm hệ số lớn nhất về trị tuyệt đối trong các số a22 ; a32 ; ...; an2 làm
(1)
trụ thứ hai và hoán vị hàng chứa trụ thứ hai về đúng vị trí a22 và
tiến hành khử x2 như trong phương pháp Gauss.
• Q trình tiến hành như trên cho đến ẩn cuối cùng.
f) Phương pháp Gauss - Gioocdang

Phương pháp Gauss - Gioocdang có thể xem là một biến dạng của
phương pháp Gauss. Để đơn giản cho việc trình bày ta xét hệ 3 phương
trình 3 ẩn sau:

(0)
(0)
(0)
(0)

 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
(0)
(0)
(0)
(0)
(1.14)
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2

 (0)
(0)
(0)
(0)
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3

Số hóa bởi trung tâm học lieäu

13

/>

Nội dung phương pháp là khử dần các ẩn số đưa về hệ "chéo" tương đương

(3)

= b1
 x1
(3)
(1.15)
x2
= b2


(3)
x3 = b3
Phương pháp đưa (1.14) về (1.15)
Bước 1: Khử x1 ở phương trình thứ hai và thứ ba ở (1.14) ta được hệ sau.

(1)
(1)
(1)

 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
(1)
(1)
(1)
(1.16)
a22 x2 + a23 x3 = b2


(1)

(1)
(1)
a32 x2 + a33 x3 = b3
Bước 2: Khử x2 trong phương trình nhất và thứ ba của (1.16) ta được hệ
phương trình sau.

(2)
(2)

a13 x3 = b1
 x1 +
(2)
(2)
(1.17)
x2 + a23 x3 = b2


(2)
(2)
a33 x3 = b3
Bước 3: Khử x3 trong phương trình thứ nhất và thứ hai trong (1.17) ta
được hệ (1.15)
Nhận xét:
* Cách khử ẩn trong phương pháp Gauss - Gioocdang giống cách khử ẩn
trong phương pháp Gauss.
* Điều kiện áp dụng phương pháp Gauss - Gioocdang là các phần tử trụ
(0) (1) (2)
a11 , a22 , a33 phải khác không.

1.2.3

Phương pháp lặp đơn (phương pháp lặp Jacobi)

Là phương pháp tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình đại số tuyến
tính với độ chính xác cho trước
a) Nội dung phương pháp

Xét hệ phương trình:
Ta đưa hệ về dạng

Ax = b

(1.1)

x = β + αx.

(1.18)

trong đó



α11 α12 ... α1n
α
α ... α2n 
α =  ...21 22

αn1 αn2 ... αnn

Số hóa bởi trung tâm học liệu

14

/>




β1
β 
β =  ...2 
βn
sau đó chọn một vectơ xấp xỉ đầu x(0) (thường chọn x(0) = β ) và tính
x(k+1) theo cơng thức

x(k+1) = β + αx(k) ,

k = 0, 1, 2...

(1.19)

x(k) gọi là vectơ lặp thứ k.
Nếu dãy x(0) , x(1) , ..., x(k) , ... có giới hạn là
x∗ = lim x(k)
k→+∞

thì giới hạn ấy là nghiệm đúng của hệ (1.18) và cũng là nghiệm đúng của
(1.1).
Thật vậy lim x(k+1) = lim (β + αx(k) ) = β + α lim x(k)
k→+∞

k→+∞

hay x∗ = β + αx∗ .

k→+∞

b) Sự hội tụ của phương pháp

Người ta chứng minh được quá trình lặp đơn hội tụ đến nghiệm duy
nhất của hệ (1.1)không phụ thuộc vào việc chọn x(0) ban đầu nếu

||α||p < 1

(1.20)

(||α||p có thể dùng ||α||1 hoặc ||α||2 hoặc ||α||∞ )
c) Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng

Để đánh giá độ lệch giữa nghiệm gần đúng x(k) , nhận được bằng phương
pháp lặp đơn và nghiệm đúng x∗ của hệ (1.1), người ta đã chứng minh
được công thức sau:

||x(k) − x∗ ||p ≤
và

||x

(k)

||α||p
||x(k) − x(k−1) ||p
1 − ||α||p

(||α||p )k
− x ||p ≤
||x(1) − x(0) ||p
1 − ||α||p
∗

(1.21)

(1.22)

Sự hội tụ của phương pháp lặp đơn càng nhanh nếu ||α||p càng nhỏ. Công
thức (1.22) cho phép xác định được số lần lặp cần tiến hành K( ) để nhận
được nghiệm gần đúng x(k) với độ chính xác .
1
Trong trường hợp ||α||p ≤ đánh giá (1.21) có dạng đơn giản sau
2

||x(k) − x∗ ||p ≤ ||x(k) − x(k−1) ||p .
Số hóa bởi trung tâm học liệu

15

/>

1.3

Bài toán nội suy hàm số

Trong thực tế, ta thường gặp những hàm số y = f (x) mà không biết
biểu thức giải tích cụ thể của chúng. Thơng thường ta chỉ biết các giá
trị y0 , y1 , ..., yn của hàm số lần lượt tại các điểm khác nhau x0 , x1 , ..., xn
của một đoạn [a; b], các giá trị này có thể nhận được trong q trình thí
nghiệm, đo đạc, .... Khi sử dụng hàm số trên nhiều khi ta cần biết giá trị
hàm số tại một số điểm x = xi (i = 0, n) trên đoạn [a; b]. Vấn đề đưa ta
đến bài toán sau:

1.3.1

Bài toán nội suy hàm số

Bài toán 1.1 [5]
Trên [a; b] cho n giá trị khác nhau x0 , x1 , ..., xn và biết giá trị của hàm
số y = f (x) tương ứng tại các điểm xi là yi (i = 0, n) tức là ta có yi =
f (xi ) (i = 0, n). Tìm đa thức Ln (x) có bậc khơng q n. Thỏa mãn điều
kiện
Ln (x) = yi (i = 0, n)
(1.23)

Ln (x) gọi là đa thức nội suy của hàm f (x); các điểm xi (i = 0, n) gọi là
các nút nội suy.
1.3.2

Sự tồn tại duy nhất của đa thức nội suy

Định lý 1.3.1. Đa thức Ln (x) thỏa mãn điểu kiện của bài tốn (1.1) nếu
có thì duy nhất.

Chứng minh.
Giả sử từ những điều kiện (1.23) ta xây dựng được hai đa thức nội suy
Ln (x) và Pn (x) với Pn (xi ) = Ln (xi ) = yi , (i = 0, n).
Khi đó Q(x) = Ln (x) − Pn (x) là một đa thức có bậc khơng q n.
Vì Q(xi ) = Ln (xi ) − Pn (xi ) = 0, (i = 0, n) nên Q(x) có n + 1 nghiệm
phân biệt. Điều này chỉ xảy ra khi Q(x) ≡ 0 hay Pn (x) ≡ Ln (x).
Vậy Ln (x) là duy nhất.

1.4
1.4.1

Khái niệm sai phân và tỉ sai phân
Sai phân

a) Định nghĩa 1.4.1. [7] Cho hàm số y = f (x) xác định bởi bảng số
sau
x x0 x1 x2 ... xi xi+1 ...
y y0 y1 y2 ... yi yi+1 ...

Số hóa bởi trung tâm học liệu

16

/>

trong đó yi = f (xi ), (i = 0, 1, 2, ...)
Và các nút xi cách đều nhau 1 khoảng bằng h > 0 tức là xi = x0 + ih
với i = 0, 1, 2, ....
∆yi = yi+1 − yi gọi là sai phân tiến cấp một của hàm f (x) tại điểm xi .
∆2 yi = ∆yi+1 − ∆yi gọi là sai phân tiến cấp hai của hàm số f (x) tại

điểm xi .
Tổng quát, ta có sai phân tiến cấp n của hàm số y = f (x) tại điểm xi là
∆n yi = ∆n−1 yi+1 − ∆n−1 yi .
Ta định nghĩa sai phân lùi
∇yi = yi − yi−1 gọi là sai phân lùi cấp một của hàm f (x) tại điểm xi .
∇2 yi = ∇(∇yi ) = ∇yi+1 − ∇yi gọi là sai phân lùi cấp hai của hàm số
f (x) tại điểm xi .
Tổng quát, ta có sai phân lùi cấp n của hàm số y = f (x) tại điểm xi là
∇n yi = ∇(∇n−1 yi ) = ∇n−1 yi − ∇n−1 yi−1 .
b) Tính chất:
Tính chất 1: ∆(y1i + y2i ) = ∆yi + ∆y2i .
Tính chất 2: ∆(αyi ) = α∆yi .
Tính chất 3: Sai phân cấp m của đa thức bậc n có tính chất:
i) Nếu m = n thì sai phân cấp m là hằng số.
ii) Nếu m > n thì sai phân cấp m bằng 0.
n
Tính chất 4: Giả sử f ∈ C[a;b]
và (xi ; xi + nh) ⊂ [a; b]. Khi đó

∆n yi
= f (n) (xi + εnh) với ε ∈ (0; 1).
n
h
Tính chất 5: Nếu f ∈

1.4.2

n
C[a;b]

và khi h đủ nhỏ thì f

(n)

∆n f (xi )
(xi ) ≈
.
hn

Tỉ sai phân

a) Định nghĩa 1.4.2. [7]
Cho hàm số y = f (x) xác định bởi bảng số sau

x x0 x1 x2 ... xi xi+1 ...
y y0 y1 y2 ... yi yi+1 ...
trong đó yi = f (xi ), (i = 0, 1, 2, ...) và ∆xi = xi+1 − xi = 0, i = 0, 1, 2, ...
f (xi+1 ) − f (xi )
yi+1 − yi
Ta gọi f (xi , xi+1 ) =
=
; (i = 1, 2, ....) là tỉ
xi+1 − xi
xi+1 − xi
sai phân cấp 1 của hàm số y = f (x) tại điểm xi và xi+1 .

f (xi , xi+1 , xi+2 ) =
Soá hóa bởi trung tâm học liệu

f (xi+1 , xi+2 ) − f (xi , xi+1 )

; (i = 1, 2, ....)
xi+2 − xi
17

/>

là tỉ sai phân cấp hai của hàm số y = f (x) tại điểm xi , xi+1 , xi+2
Tổng quát ta có tỉ sai phân cấp n của hàm số y = f (x) tại điểm xi , xi+1 , ...,
xi+n được tính thơng qua tỉ sai phân cấp n − 1 bằng công thức truy hồi
sau

f (xi , xi+1 , ..., xi+n ) =

f (xi+1 , xi+2 , ..., xi+n ) − f (xi , xi+1 , ..., xi+n−1 )
xi+n − xi

(n = 1, 2, ... và i = 0, 1, 2, ...).
Thông thường trong thực hành ta thường dùng bảng sau để tính tỉ sai
phân

x

y

f (., .)

f (., ., .)

f (., ., ., .)

f (., ., ., ., .)

x0 y0 f (x0 , x1 )
x1 y1 f (x1 , x2 ) f (x0 , x1 , x2 )
x2 y2 f (x2 , x3 ) f (x1 , x2 , x3 ) f (x0 , x1 , x2 , x3 )
x3 y3 f (x3 , x4 ) f (x2 , x3 , x4 ) f (x1 , x2 , x3 , x4 ) f (x0 , x1 , x2 , x3 , x4 )
x4 y4 f (x3 , x4 )
Bảng 1.1: Bảng tỉ sai phân
b) Tính chất
Tính chất 1:
Tỉ sai phân cấp k của tổng hai hàm số bằng tổng hai tỉ sai phân cùng cấp
của hai hàm số đó.

(f + g)(xi , xi+1 , ..., xi+k ) = f (xi , xi+1 , ..., xi+k ) + g(xi , xi+1 , ..., xi+k ).
Tính chất 2: Tính chất đối xứng
i) f (xi−1 , xi ) = f (xi , xi−1 ), (i = 1, n).
ii) f (xi−2 , xi−1 , xi ) = f (xi , xi−1 , xi−2 ).
iii)f (x0 , x1 , ..., xn ) = f (xn , xn−1 , ..., x0 ).
Tính chất 3:
i) Tỉ sai phân của hằng số bằng 0.
ii) Tỉ sai phân cấp m của đa thức bậc n có tính chất
Nếu m = n thì tỉ sai phân cấp m là hằng số
Nếu m > n thì tỉ sai phân cấp m bằng không.
c) Quan hệ giữa sai phân và tỉ sai phân
Giả sử x1 , x2 , ..., xi , xi+1 , ... là các nút nội suy cách đều của hàm số

Số hóa bởi trung tâm học lieäu

18

/>

y = f (x) và yi = f (xi )(i = 0, 1, 2, ...) là giá trị hàm số tương ứng tại xi .
Khi đó ta có cơng thức liên hệ giữa sai phân và tỉ sai phân như sau:
∆y0
∇y1
=
.
h
h
∆2 y0
∇ 2 y2
f (x0 , x1 , x2 ) =
=
.
2!h2
2!h2
∆n y0
∇n y n
f (x0 , x1 , ..., xn ) =
=
.
n!hn
n!hn

i)

f (x0 , x1 ) =

ii)

iii)

1.5
1.5.1

Cơ sở của bài toán nội suy với dữ liệu phân tán
Nội suy hàm số với dữ liệu phân tán

Bài toán 1.2. [8]
Cho bộ dữ liệu (xi ; yi ), i = 1, 2, ..., n, xi ∈ Rd ; yi ∈ R. Trong đó xi là các
vị trí đo; yi là kết quả đo được tại vị trí xi . B1 , B2 , ..., Bn là các hàm cơ
sở của không gian tuyến tính của các hàm liên tục d biến. Ký hiệu là:
n

F = span{B1 , B2 , ..., Bn } =

ck Bk ; ck ∈ R

(1.24)

k=1

Tìm hàm Pf ∈ F sao cho

Pf (xi ) = yi ; i = 1, 2, ..., n

(1.25)

vì Pf ∈ F nên ta có
n

ck Bk (x), x ∈ Rd .

Pf (x) =

(1.26)

k=1

Từ (1.25) và (1.26) ta có

Ac = y,

(1.27)


B1 (x1 ) B2 (x1 ) ... Bn (x1 )
 B (x ) B2 (x2 ) ... Bn (x2 ) 
A =  2... 1

Bn (x1 ) Bn (x2 ) ... Bn (xn )

(1.28)

trong đó


c = [c1 , c2 , ..., cn ]T ; y = [y0 , y1 , ..., yn ]T .
Bài tốn 1.2 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ma trận A không suy biến,
tức là detA = 0.

Trường hợp d = 1 (trong khơng gian một chiều) ta có thể chọn cơ sở như

Số hóa bởi trung tâm học liệu

19

/>

sau:

{B1 , B2 , ..., Bn } = {1, x, x2 , ..., xn−1 }
Tuy nhiên khi d ≥ 2 ta có kết quả sau:
Định lý 1.5.1. [3](Mairhuber - Curtis) Nếu Ω ⊂ Rd , d ≥ 2 và chứa
một điểm trong thì khơng tồn tại khơng gian Haar các hàm liên tục trên
Ω.
Không gian Haar được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.5.2. Cho Ω ⊂ Rd , và F ⊂ C(Ω) là khơng gian tuyến tính
hữu hạn chiều có cơ sở là {B1 , B2 , ..., Bn }. Ta nói F là khơng gian Haar
trên Ω nếu detA = 0 với mọi bộ tâm phân biệt {x1 , x2 , ..., xn } trong Ω.
Trong đó ma trận

A = (Ajk )n×n ; Ajk = Bk (xj ); j, k = 1, 2, ..., n
Định lí Mairhuber-Curtis cho thấy rằng nếu muốn giải được bài toán
nội suy dữ liệu phân tán nhiều biến thì cơ sở cần phụ thuộc vào các vị trí
dữ liệu. Để thu được các khơng gian xấp xỉ phụ thuộc dữ liệu, chúng ta
cần xét các hàm xác định dương và ma trân xác định dương.

1.5.2

Ma trận xác định dương

Định nghĩa 1.5.3. [4] Ma trận giá trị thực đối xứng A được gọi là xác
định dương nếu dạng tồn phương tương ứng là khơng âm:
n

n

cj ck Ajk ≥ 0 với c = (c1 , c2 , ..., cn )T ∈ Rn
j=1 k=1

Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi c = (0, 0, ..., 0)T .
Tính chất quan trọng của ma trận xác định dương là nó có tất cả các
giá trị riêng đều dương và không suy biến.
Nếu hệ cơ sở {Bk }nk=1 , trong bài toán 1.2 làm cho ma trận nội suy A xác
định dương thì hệ (1.27) có nghiệm duy nhất.

1.5.3

Hàm xác định dương

Định nghĩa 1.5.4. [3] Hàm liên tục Φ : Rd −→ R là xác định dương trên
Rd khi và chỉ khi nó là hàm chẵn và với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi
một
X = {x1 , x2 , ..., xn }, n ∈ N

Số hóa bởi trung tâm học liệu

20

/>

và mọi vectơ c = (c1 , c2 , ...cn ) ⊂ Rn thì dạng tồn phương
n

n

cj ck Φ(xj − xk ) ≥ 0

(1.29)

j=1 k=1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c = (0, 0, ..., 0).
Từ định nghĩa trên và tính chất của ma trận xác định dương ta thấy
có thể sử dụng các hàm xác định dương Bn = Φ(x − xk ) là hệ hàm cơ sở
và khi đó ta có
n

ck Φ(x − xk )

Pf (x) =

(1.30)

k=1

Ma trận nội suy A = [Ajk ]n×n với Ajk = Bk (xj ) = Φ(xj − xk ); j, k =
1, ..., n. Tuy nhiên việc giải bài toán nội suy trong khơng gian nhiều chiều
là khó khăn, do đó thay vì sử dụng hàm nhiều biến Φ(x) bởi hàm một
biến φ cho tất cả số chiều d.

1.5.4

Hàm cơ sở bán kính

Định nghĩa 1.5.5. [3] Hàm Φ : Rd → R được gọi là hàm bán kính nếu
tồn tại hàm số một biến φ : [0; ∞) → R thỏa mãn:
Φ(x) = φ(r) với r = ||x||, ||.|| là một chuẩn nào đó trong Rd (ta thường
dùng chuẩn Euclidean).
φ được gọi là hàm cơ sở bán kính.

1.5.5

Hàm bán kính xác định dương

Cho hàm Φ : Rd → R với hàm cơ sở tương ứng là φ.
Ta nói φ xác định dương trên Rd khi và chỉ khi Φ xác định dương trên Rd .

Số hóa bởi trung tâm học lieäu

21

/>

Chương 2
Một số phương pháp nội suy và xấp
xỉ hàm số
Trong chương này chúng tơi trình bày một số phương pháp nội suy và
xấp xỉ hàm số cụ thể như: phương pháp nội suy Lagrange, phương pháp
nội suy Newton, phương pháp bình phương bé nhất và phương pháp nội

suy hàm cơ sở bán kính RBF.

2.1

Phương pháp nội suy Lagrange

2.1.1

Thiết lập đa thức nội suy Lagrange

Giả sử trên [a; b], cho n+1 giá trị khác nhau của đối số x0 , x1 , ..., xn và
đối với hàm số y = f (x) biết những giá trị tương ứng yi = f (xi ), i = 0, n.
Ta xây dựng đa thức nội suy Ln (x) có bậc khơng q n thỏa mãn điều
kiện Ln (xi ) = yi , i = 0, n .
Trước hết ta xây dựng đa thức Li (x) thỏa mãn điều kiện sau:

Li (xj ) =

1 nếu j = i
0 nếu j = i

(2.1)

Vì đa thức Li (xi ) triệt tiêu tại n điểm x0 , x1 , ..., xi−1 , xi+1 , ..., xn nên Li (x)
có thể viết dưới dạng

Li (x) = Ci (x − x0 )(x − x1 )...(x − xi−1 )(x − xi+1 )...(x − xn )

(2.2)

trong đó Ci là hằng số cần tìm.
Thay x = xi vào (2.2) và sử dụng điều kiện (2.1) ta được

Ci =

1
(xi − x0 )(xi − x1 )(xi − x2 )...(xi − xi−1 )(xi − xi+1 )...(xi − xn )

Thay vào (2.2) ta được

Li (x) =

(x − x0 )(x − x1 )...(x − xi−1 )(x − xi+1 )...(x − xn )
.
(xi − x0 )(xi − x1 )...(xi − xi−1 )(xi − xi+1 )...(xi − xn )

Soá hóa bởi trung tâm học liệu

22

(2.3)

/>

Đa thức bậc Li (x) có bậc n gọi là đa thức Lagrange cơ bản. Bây giờ ta
xét đa thức
n

Ln (x) =

Li (x)yi

(2.4)

i=0

Ta thấy:
i) Bậc của Ln (x) không quá n.
n

ii) Ln (xj ) =

Li (xj )yi = Lj (xj )yj = yj ; j = 0, n.
i=0

Vậy Ln (x) xác định bởi (2.3) là đa thức nội suy phải tìm.
Thay biểu thức Li (x) từ (2.3) vào (2.4) ta được
n

(x − x0 )(x − x1 )...(x − xi−1 )(x − xi+1 )...(x − xn )
.yi
(x
−
x
)(x
−
x
)...(x
−
x

)(x
−
x
)...(x
−
x
)
i
0
i
1
i
i−1
i
i+1
i
n
i=0
(2.5)
là đa thức nội suy Lagrange.
Ta xét hai trường hợp đặc biệt của đa thức nội suy Lagrange.
a) Nội suy bậc nhất hay nội suy tuyến tính
Khi n=1 ta có hai nút nội suy x0 và x1 với giá trị hàm số tương ứng là y0
và y1 . Khi đó
x − x1
x − x0
L1 (x) =
y0 +
y1 .
(2.6)

x0 − x1
x1 − x0
y = L1 (x) là phương trình đường thẳng đi qua M0 (x0 ; y0 ) và M1 (x1 ; y1 ).
b) Nội suy bậc hai
Khi n = 2 ta có ba nút nội suy x0 , x1 , x2 và
Ln (x) =

(x − x1 )(x − x2 )
(x − x0 )(x − x2 )
(x − x0 )(x − x1 )
y0 +
y1 +
y2
(x0 − x1 )(x0 − x2 )
(x1 − x0 )(x1 − x2 )
(x2 − x0 )(x2 − x1 )
(2.7)
phương trình y = L2 (x) là phương trình Parabol đi qua ba điểm M0 (x0 ; y0 );
M1 (x1 ; y1 ); M2 (x2 ; y2 ).
L2 (x) =

2.1.2

Đánh giá sai số đa thức nội suy Lagrange

Định lý 2.1.1. [7] Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục đến cấp n+1
trên [a; b] chứa tất cả các nút nội suy x0 , x1 , ..., xn thì sai số nội suy
Rn (x) = f (x) − Ln (x) có dạng sau

f n+1 (c)

Rn (x) =
πn+1 (x).
(n + 1)!

(2.8)

trong đó c phụ thuộc vào x và c ∈ [a; b];

πn+1 (x) = (x − x0 )(x − x1 )...(x − xn ).
Số hóa bởi trung tâm học liệu

23

/>

Chứng minh. Xét hàm số phụ sau:

U (x) = f (x) − Ln (x) − kπn+1 (x)

(2.9)

trong đó k là hằng số nào đó.
Dễ thấy U (xi ) = 0, i = 0, n, ta chọn k sao cho U (x) triệt tiêu tại điểm
thứ n + 2 bất kỳ nhưng cố định x của [a; b] và không trùng với các nút nội
suy. Muốn vậy ta chỉ cần cho f (x) − Ln (x) − kπn+1 (x) = 0 vì πn+1 (x) = 0
nên:
f (x) − Ln (x)
k=
(2.10)
πn+1 (x)

Với giá trị k xác định bởi (2.10) thì U (x) bằng 0 tại n+2 điểm x0 , x1 , ..., xn , x
trên [a; b]. Áp dụng định lý Rôn thì đạo hàm U (x) có khơng ít hơn n+1
nghiệm trên [a; b]. Lại áp dụng định lý Rôn vào hàm U (x) thì U (x) có
khơng ít hơn n nghiệm trên [a; b]. Tiếp tục lập luận như trên, ta thấy
rằng trên [a; b] đạo hàm U (n+1) (x) có ít nhất một nghiệm c, có nghĩa là
U n+1 (c) = 0.
(n+1)
(n+1)
Vì Ln
(x) = 0 và πn+1 (x) = (n + 1)! nên theo (2.9) ta có

U

(n+1)

(x) = f

(n+1)

f (n+1) (c)
(x) − k(n + 1)! hay k =
(n + 1)!

Từ (2.10) và (2.11) ta suy ra
và

(2.11)

f (x) − Ln (x)
f (n+1) (c)

(x) =
πn+1
(n + 1)!

f (n+1) (c)
f (x) − Ln (x) =
πn+1 (x).
(n + 1)!

(2.12)

Vì x là một điểm bất kỳ của [a; b] không trùng với các nút nội suy nên có
thể viết (2.12) dưới dạng

Rn (x) = f (x) − Ln (x) =

f (n+1) (c)
πn+1 (x)
(n + 1)!

(2.13)

trong đó: c phụ thuộc vào x nằm trên [a; b]. Đó là cơng thức xác định số
hạng dư của đa thức nội suy Ln (x).
Công thức (2.13) đúng với mọi điểm của [a; b] kể cả những điểm nút nội
suy.
Đặt Mn+1 = max f (n+1) (x) ta có đánh giá sai số tuyệt đối của đa thức
a≤x≤b

nội suy Lagrange:

|Rn (x)| = |f (x) − Ln (x)| ≤
Số hóa bởi trung tâm học liệu

24

Mn+1
|πn+1 (x)|
(n + 1)!

(2.14)

/>