Phân hoạch và hàm sinh

..


èấ ặ

è ặ ổặ
ầ

ặ ộặ èỹ ở ặ

ẩ ặ ầ ẻ ậặ

ặ ẻ ặ è

è

ậ èầ ặ

ặ íũề ạ ắẳẵ



èấ ặ

è ặ ổặ
ầ

ặ ộặ èỹ ở ặ

ẩ ặ ầ ẻ ậặ
íũề ề ề ẩ ặ ẩ ẩ èầ ặ ậ

ì ẳ ẳẵẵ
ặ ẻ ặ è

ậ èầ ặ

ặ
ề ề ể
ẩ ậèậ ẻ ặ ặù

è

ặ íũề ạ ắẳẵ

ẩ


½

Å
Ð
Ä Ị Ù
½ Ã ơỊ Ø

ề
ẵẵ
ẵắ
ẵ
ẵ
ẵ
ẵ

ắ

ẫ ề ữ ỉ ề
ề
è Ơ ×ÙÝ Ư Ị º º º º º º º º
à ØƯ ưỊ Ø
º º º º º º
Ị Ø

ÙÝưỊ Ị
º
Ỉ ÙÝịỊ Ð ¹ÌƯ º º º º º º º
Ù ÐÝ ỉ
ứề ỉ

ẵ ẵ ẻ ề


éí ỉ
ẵ ắ ề é
ỉ ề ểéị ú

ắ ẩ ề ể
ỉễ ễ ề

ứề
ỉ

ắẵ È Ị Ơ Ơ Ơ Ị Ĩ
Ø Ơ ễ
ắắ í ì ậỉ ệé ề
ắắẵ
ì ậỉ ệé ề éể

ắắắ
ì ậỉ ệé ề éể Đ Ø º º
¾º¿º Å Ø Ú ÕÙ Úó ì éé
ắẵ ề ữẹ × ÐÐ º º º º º º
¾º¿º¾º Ë ÐÐ
óÙ ÷Ị º º º º º

¿ È Ị ể
ì ề íũề

ề

ỉ

ẵ ẩ ề ể
ì Ò ÙÝòÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º
¿º¾º È Ị Ơ Ơ Đ × Ị
ÙÐ Ư º º º º º º º º º º º º º º
¿º¿º À Đ × Ị Ø Ị
× ËØ ƯÐ Ị Ú × Ơ Ị Ĩ
º º º º º

à ÐÙ Ị
Ì Ð ÷Ù Ø ẹ

ể

ẵẵ
ẵ
ẵ
ẵ
ẵ

ắẳ

ắẳ
ắ
ắ
ẵ




ẵ

ẵ

ắ



¾

Ä Ị

Ù

ØĨ Ị Ơ Ị Ĩ
Ø Ơ Ơ Ú Ơ Ị Ĩ
× Ị ÙÝịỊ Ị

ơỊ Ø Ư Ø Ð Ù Ú Ị Ý Ị Ý Ò

Ú ØÖ ÕÙ Ò ØÖ Ò
Ò
û ØƯĨỊ
ÐúỊ Ú
ØĨ Ị
Đ Ị
Ị
Ơ Ị ØƯĨỊ Ị óÙ Ị Ị Ĩ

ề ẻ ỉ á á ẻ í Ø ơ Ị Ĩ Ð Ơ Ị Ĩ
Ø Ơ Ơ Ú Ø ơ Ị Ĩ
Ð Ơ Ị Ĩ
ì ề íũề ề
ềịé ề
 ỉ ũề ÕÙ Ị Ø Đ ơỊ ØĨ Ị Ơ Ị Ĩ
ì ỉ ề ũề
ẻ ể ề ẹ ẵ á ØƯĨỊ Đ Ø
Ø
º ƯỊĨÙÐÐ ¸ Ị
Úó


ẹ ỉ ì ề íũề ề ẹ ặ ỉ ể ỉ ỉ ề ữề á ề ị
ỉ

 Ø ịỊ Úó × Ơ Ị Ĩ

Đ Ø × Ø Ị ịỊº Ị
Ư Đ ØÚ
Úù

Ø ử
í
ẵà ậ ắ
ễ ề ể
2 = 2 = 1 + 1á
ắà ậ
ễ ề ể
3 = 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1á
à ậ
ề ẹ ễ ề Ó
4 = 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1
ặ ú ỉể ề ì
í ỉ Ơ × ØƯ ỊịỊ õ
Ị × Ị
Ơ Ị Ơ Ơ Ơ Ị Ĩ
Ø Ơ Ơº È Ị Ĩ
Ø Ơ Ơ
Ị
Ơ Ị
Ư Ø Ị óÙ ỉệểề éỳề
ỉể ề ì
ễá
÷Ø Ð ØƯĨỊ

ØĨ Ị Ø
×Ị
º
ÄÙ Ị Ú Ị È Ị Ĩ
Ú Đ × Ị Ị Đ ÷ Ø Ị Ð

ơỊ Ø

Ị Úó Ơ Ị Ĩ
Ø Ơ Ơ Ú Ơ Ị Ĩ
× Ị ÙÝịỊ Ị º
ÄÙ Ị Ú Ị

Ư Ð Đ
Ị
Ị ½ ¹ Ã ơỊ Ø

Ù Ị º
Ị Ị Ý ØỊ Ý

Ú Ị ó
Úó ÉÙ ề ữ ỉ ề
ề á ỉ ễ ìí ệ ề ¸
ØƯ ưỊ Ø
¸
Ị Ø

ÙÝưỊ Ị
á ề íũề é ạỉệ á
éí ỉ
ứề ỉ
ề ắ ạ ẩ ề ể
ỉ ễ Ơ Ù Ịº ÌỊ Ý Úó Ơ Ị Ơ Ơ
Ơ ề ể
ỉ ễ ễá í ì ậỉ ệé Ị Ú Đ Ø Ú ÕÙ Úó × Ðк
Ị ạ èệứề í

ề ữẹ
ềá ẹ ỉ ì ề é á ữ ế á
ẹữề ú Úó Ơ Ị Ĩ
× Ị ÙÝịỊ Ị º È Ị Ơ Ơ Đ × Ị
Ð Ưº


¿

À Đ × Ị Ø Ị
× ËØ ƯÐ Ị Ú × Ơ Ị Ĩ
º
ư Ĩ Ị Ø Ị ÐÙ Ị Ú Ị Ị ݸ ØƯ
Ø
Ü Ị
Ð
Đ Ị
× ì
ỉ ẩ ậ èậ ẹ ẻ ề Ỉ û
Ị Ø
Ị Ị Ị¸
û Ĩ
Ø Ị ØøỊ Ơ ØƯĨỊ ×Ù Ø ÕÙ ØỊ Ü Ý Ị ó Ø
Ị Ị Ĩ Ị Ø ÷Ị
ÐÙ Ị Ú Ịº Ì ơƠ Ø Ĩ¸ Ø

Ị Ü Ị Ð
Đ Ị
Ị Ø Ị Ø

Ø Ý

¸ ưĐ ØƯ ¸ Ị
Ú
ĨỊ Ị
ơỊ ÕÙ Ù ư ÐÙ Ị
Ú Ị
Ý
Ị¸ Ơ ĨỊ Ơ
Ịº É٠ݸ Ø

Ị Ü Ị
Ð
Đ ỊØ
Ị ẹ ữá ễ ề ể ỉ ểá ể èể ề ạ è ề èệ ề
ể
ạ
è ặ ÙÝịỊ Ú

Ị Ị Ị ÷Ơ Ø Ĩ
óÙ ÷Ị Ø Ù Ị Ð ØƯĨỊ ×Ù Ø ÕÙ ØỊ
Ø Ơ Ø ØƯ Ị º
Ì
Ư Ø ĐĨỊ Ị Ị
× Ị Ơ ơỊ


Ø Ý
Ú

Ị Ị Ị ÷Ơ ư ÐÙ Ị Ú Ị
Ĩ Ị Ø ÷Ị ề
è
ĩề
ềỉ ề
ẹ ề
è

ặ íũềá ỉ

ề

è

ề ẹ ắẳẵ

ặ íừề è ữ ề


ề ẵ
ụề ỉ


ề

ẵẵ ẫ ề ữ ỉ Ị

Ị

Ø Ø Ơ X = ∅. Ìù
ó

X × X

Ị Ị ú Ị

Ý

X × X = {(x, y)|x, y ∈ X}.

Ị Ị ú ½º½º Ì Ơ
ĨỊ S

Ð Đ Ø ÕÙ Ị ÷ Ị
Ị ÷ S Ú
y Ú Ú xSy.
ØƯĨỊ X. Ỉ (x, y) S ỉ ứ ỉ ề
ề ề ỳ ẵắ Ø ôØ X = ∅ Ú S = ∅ Ð Đ Ø ÕÙ Ị ÷ Ị ØƯĨỊ
X. ÉÙ Ị ÷ S
Ð Đ Ø ÕÙ Ị ÷ Ø Ị
Ị ØƯĨỊ X ềụ ề ỉ
ẹề
ú ữề ì í
à ẩ ề ĩ à ẻ ẹ x X
xSx.
µ ´ Ü Ị µ Ỵ Đ x, y ∈ X, Ị
xSy Ø ø
Ị
ySx.

´ µ

à ẻ ẹ x, y, z X, ÒôÙ
xSy Ú ySz Ø ø
Ò
xSz.
à S Ð Đ Ø ÕÙ Ị ÷ Ø Ị
Ị ØƯĨỊ X Ø ø Ø Ø Ị
÷Ù ∼ Ø Ý
Ĩ S. Ø C(x) = {y ∈ X|y ∼ x} Ú
Ò Ð Đ ØÐ Ờ Ị
Ị Ú
x
ÐĐ
÷Ịº
õ Ị
û Ư

ỉựề
ỉ ì

èựề
ỉ ẵẵ
à ẻ ẹ
àẻ ẹ
àẻ ẹ
à è ễ ỉ

ì

xX



ề

X/ ∼

ÕÙ Ị

÷ Ø



Ị

Ị

ØƯĨỊ

X = ∅.

Ã

x ∈ C(x).

y, z ∈ C(x)
x, y ∈ X,

Ð

X ×X
x
ÕÙ


Ð



y∼z
Ĩ

Ú

y, z ∼ x.

C(x) ∩ C(y) = ∅

Ø Ơ

Ð Ơ Ø

Ị

Ị

Ĩ

C(x) = C(y).
Ị

Ĩ Ị

Ùº


ẵắ è

ễ ìí ệ ề

ề ề ỳ ẵ

× Ơ ÜơƠ
Ø Ø

Ơ Ị Ø Đ

Ơ Ị Ø
Ø ư Ð Ơ Ð
Ø Ơ T Đ n Ơ Ị Ø
Ị Ù
Ð Đ Ø
ûỊ
Ơ Ð Ơ
Ô k
Ø Ô n Ô Ò Ø º Ã k ữ ì

ỷề ễ é ễ
Ơ k
Ø Ơ Đ n Ơ Ị Ø
Ị Ù Ð An. Ã ÕÙ × Ù Ý Ð ửề ề ũề

ữề ú ẵẵ ậ
ề

é

k
An



ûỊ

Ơ Ð Ơ

Ơ

k

k



Đ Ø Ø Ơ

n

Đ

Ơ Ị Ø

k

=n .

Ị Ò ú ½º º Å

Ð Ý k Ơ Ị Ø Đ

Ơ Ị Ø
Ø ư Ð Ơ Ð

Đ Ø Ø Ơ n Ơ Ị Ø
Ð Đ Ø Ø Ơ Ð Ơ Ý Ø Ơ ×ÙÝ Ư Ị
Ơ k
Ø ễ n ễ ề ỉ

ữ ì k ỉ Ø


Ø Ô Ð Ô
Ô k
Đ Ø Ø Ơ Đ n Ơ Ị Ø
Ị Ù Ð Cn. Ì
ÕÙ × Ù í

ữề ú ẵắ ậ



n

ể ề é ễ

n2

ề

ề

ỉ
éể

ẵá

ề

ề

ỉ
éể

ìá ì

ễ ề ỉ

ề

ề

ề

ễ ề ỉ á ỉệểề

ề

ỉ
éể


ắáá

n!
Ã
n1 !n2 ! . . . ns !

n1
ns

Ơ Ị Ø
Ơ Ị Ø

Ị Đ Ị º Ã ÷Ù

Ơ Ị Ø Ð

a1 , a2 , . . . , as , ỉệểề
a1 ĩ ỉ ữề
n1 éềá a2 ĩ ỉ ữề n2 éềáá as ĩ ỉ ữề ns éề n1 ễ ề Ø
Ị Ị Ù a1

÷Ù ÕÙ a11, . . . , a1n1 ; n2 Ơ Ị Ø Ị Ị Ù a2
÷Ù ÕÙ
a21 , . . . , a2n2 ; . . . ; ns Ơ Ị Ø
Ị Ị Ù as
ữ ế as1, . . . , asns .
ẻ n = n1 + n2 + · · · + ns Ơ Ị Ø aij Ø
n! Ĩ Ị Ú º Ã
Ò

ai1 , . . . , aini , i = 1,
Ị n1 Ơ Ò Ø
Ò Ò Ù a11 , . . . , a1n1 Ĩ Ị Ú Ú Ị Ù

Ø
Ị
û
Đ Ø Ĩ Ị Ú º ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ơ Ị ݸ Ø
Øơ Đ Ơ Ị
Ø
ØùỊ n1! ÐỊº Ì Ị Ø Ü Ø

ØƯ Ị Ơ
º Ỵø

ØƯ Ị

Ơ Ð
Ð Ơ Ú Ị Ù ỊịỊ Ø Ĩ ÕÙÝ Ø
Ị Ị Ø Ø Ý Đ Ĩ Ị Ú Ø
Øơ
ØùỊ n1! . . . ns! ÐỊº Ỵ Ý × Ĩ Ị Ú
Ị ØùỊ Ị n !n n!
Ã
!...n !
1

ữề ú ẵ
k


ễ

ề

ữ

T

é

ì ể
ể

n!
T =
Ã

n1 !n2 ! . . . nk !

Ị ĐỊ º Ì

Cnn1

×

ni


Ú Ø

Ơ

Ị


n

ØÚ Ĩ



Ị n1 Ú Ø Ø

Ú Ø
Ơ Ø

nÚ

Ị

iÚ

2

s

Ù Ú Ĩ ØƯĨỊ

i = 1, 2, . . . , k.

Ø Ø Ú Ĩ Ơ Ø Ị ظ


Ø ơƠ Ø Ĩ
Cnn−n


Ị n2 Ú Ø Ø n − n1 Ú Ø Ø Ú Ĩ Ơ Ø
¸ººº¸
n

Ị Ð Cn−n −···−n


Ò nk Ú Ø Ø n − n1 − · · · − nk−1 Ú Ø Ø Ú Ĩ
Ơ Ø º Ỵø

ØƯ Ị Ơ
Ị ØƯịỊ Ð
Ð Ơ Ú Ị Ù ỊịỊ Ø Ĩ ÕÙÝ
Ø
Ị Ị Ø Ø Ý T = Cnn Cnn−n . . . Cnn−n −···−n . Ỉ Ú Ý
Ị Ø Ị Ị
ÕÙ T = Cnn Cnn−n . . . Cnn−n −···−n . ơỊ
2

1

k

1

k−1

1

2

k

1

1

2

1

k−1

k

1

1

k−1

n!
(n − n1 )!
(n − n1 − · · · − nk−1 )!
·
···
n1 !(n − n1 )! n2 !(n − n1 − n2 )!
nk !0!
n!
·
=
n1 !n2 ! . . . nk !

T =

Ì ĐÐ

Ỵù

T =

n!
·
n1 !n2 ! . . . nk !

ẵẵ

ữ

T

é

ì

ì ể
ể ẹ

m

ì


ễ

k



ề

n

ề

ễ

é

ề

è
ể

k
ễ
n!
n!
T =
Ã
=
m!m! . . . m!
(m!)k

m

é

ề

ì

ề íũề

ỉ

ề

ểk

n!
Ã
k!(m!)k

ẵắ

ỉ

áá

ề



ể ẹ

n

ì



s

éể

ễ

T =

Ú Øº Ã

k

m1



ơ
ÐĨ
Ị



Ð

T =

Ø

Ị

ơ

Ị

Ú Ø ÜơƠ

ÚØØ Ị
×

Ơ Ị
Ð
T =

n

n = mk.
Ơ

Ị

Ã

Ị

Ù

s

ظ

m2



ÐĨ

ơ
ÐĨ
Ị

T Ð ×

m1 + m2 + · · · + ms

غ Ã
Đ

n!
·
k!(m!)k

Ú Ĩ


÷Ù

(m1 n1 + m2 n2 + · · · + ms ns )!
·
m1 !m2 ! . . . ms !(n1!)m1 (n2 !)m2 · · · (ns!)ms

º ÌƯ
Ø ịỊ Ø

mi ni

Đ

ms
ơ
ÐĨ Ø s, ØƯĨỊ
Ị
n = m1 n1 + m2 n2 + · · · + ms ns
Ô Ø Ù
ÐĨ
Ø
i
Ị ni Ú
Ú Ø
Ị Ù ÜơƠ Ú Ĩ s ÐĨ
Ơ

º Ã

Ø

Ị Ùº Ã

×

Ơ Ị
Ð
Ơ Ị Ị Ù ỊịỊ Đ

Ơ Ị

ÜÙ Ø ữề k! éề ẻ í ỉ
ỉụ ì

Ơ Ị

Ỵù

Ú

Ù ÜơƠ Ú Ĩ

T =

Ú Øº Ã

Ị

Ơ Ị × Ĩ
Ĩ Ơ Ị Ø

n!
·

(m1 n1 )!(m1 n2 )! . . . (ms ns)!

ữỉ

ễ ì ể
ễ

ề



ụ

i




Đ Ơ Ị Ø i Ð mini Ú Ø ÜơƠ ể mi ễ ề ữỉ ề
ì

ẹ Ô Ò Ð
Ð Ô Ú Ò Ù
Ô Ò
Ð Ti = m(m!(nin!)i)!m · Ĩ


i
i
ỊịỊ Ø Ø

×



Ơ Ị

Ò Ù Ð T = S.T1.T2 . . . Ts Ý
i

T =

(ms ns )!
(m1 n1 )!
n!
·
·
·
,
·
(m1 n1 )!(m1 n2 )! . . . (ms ns )! m1 !(n1 !)m1
ms !(ns!)ms

Ĩ
Ú Ị Ð
T =

½º¿º Ã

(m1 n1 + m2 n2 + · · · + ms ns )!
·

m1 !m2 ! . . . ms !(n1!)m1 (n2 !)m2 · Ã Ã (ns!)ms

ỉệ ửề

ỉ



ề ề ỳ ữì ỉ ễ
ềỉ

ĨØ ƠÚ
ØƯ ưỊ Ỉ Ø
Ỉ ÛØĨỊº
Ị Ị ú ẵ ẻ ì ề íũề ề n
n
r1 , r2 , . . . , rk

=

ØƯĨỊ

n
r1 , r2 , . . . , rk

=

k,

×

n!
,
r1 !r2 ! . . . rk !


ri ∈ N Ú r1 + r2 + · · · + rk = n,
Ò Ø
º
Å Ø Ú ÕÙ × Ù Ý
×ÙÝ ØƯ
ỉ ụễ ỉ

ữề ú ẵ

í ề ẹ ỉ × Ø Ị ÕÙ Ø



Ð ĐØ

÷ ×

Ø

Ơ

Ị Ị úº

n − r1

n − r1 − r2 − · · · − rk1
ÃÃÃ
.
r2
rk

n
r1

ữề ú ẵ
n
r1 , r2 , . . . , rk
ØƯĨỊ

=

Ø Ø

n−1
n−1
n−1
,
+· · ·+
+
r1 , r2 , . . . , rk − 1
r1 , r2 − 1, . . . , rk
r1 − 1, r2 , . . . , rk


Ị Ð × Ù Ý

Ị

ri

Ị ÙÝịỊ



Ð

Ị

Ú
ØƯ

r1 + r2 + · · · + rk = n.
ưỊ
Ị Ø

nº


Ị Ðù ½º½º

Ị

Ø

ØƯ ưỊ
Ĩ

(x1 + x2 + · · · + xk )n =
ØƯĨỊ

Ø Ị

Ð Ý Ø

Ĩ Ø Ø

(x1 + x2 + · · · + xk )n

r1 +···+rk =n

× Ù

n
xr11 xr22 . . . xrkk ,
r1 , r2 , . . . , rk

r1 , . . . , rk ∈ N



Ị

Ị Đ Ị º Ì
Ị Đ Ị ÕÙ

Ú

r1 + · · · + rr = n.

Ị Ơ Ị Ơ Ơ ÕÙ Ị Ơ Ø Ĩ
×
Ị Ø
Ị Ú n. Ì

Ỵ n = 1
Ị Ø
ưỊ Ị ịỊ Ị º
û Ư Ị Ị Ú n + 1. Ì Ø Ú Ý¸ Ø
n.

(x1 + · · · + xk )n+1 =(x1 + · · · + xk )n (x1 + · · · + xk )
n!
=
xr11 xr22 . . . xrkk (x1 + · · · + xk )
r !r ! . . . rk !
r1 +r2 +···+rr =n 1 2
=

[
r1∗ +···+rk∗ =n+1

+ ··· +

Ì

×ÙÝ Ö

n!
n!
+
(r1∗ − 1)!r2∗ · · · rk∗ ! r1∗ !(r2∗ − 1)! · · · rk∗ !

n!
rk∗
r1∗
]
x
.
.
.
x
.
1
k
r1∗ ! . . . (rk∗ − 1)!

(x1 + · · · + xk )n+1 =

Ý
(x1 + · · · + xk )n+1 =

n!(n + 1) r1∗
rk∗
x

·
·
·
x
k
r∗ ! · · · rk∗ ! 1
r ∗ +···+r ∗ =n+1 1
1

k

(n + 1)! r1∗
rk∗
x
.
.
.
x
,
1
k
∗
∗
r
!
·
·
·
r
!

k
r ∗ +···+r ∗ =n+1 1
1

k

ØƯĨỊ Ø Ị Ð Ý Ø Ĩ r1∗, · · · , rk∗ ∈ N Ú
ri∗ = n + 1. ẻ í ỉ ìí ệ
ề
i=1
ỉ
Ị Ú n + 1. Ì Đ Ð ¸
ề ỉ
ề ẹ n.
k

ẻự

ẵ ẻ

ỉ

ì

ề íũề

kn =
r1 +···+rk =n

ØƯĨỊ

Ø Ị

Ð Ý Ø

º Ì

Ĩ Ø Ø



Ò

k

ÐÙ Ò

Ò

Ò

Ø Ø



n
,
r1 , r2 , . . . , rk

r1 , . . . , rk ∈ N

k n = (1 + 1 + · · · + 1)n =

Ú

r1 + · · · + rr = n.

r1 +···+rk =n

n
r1 , r2 , . . . , rk

Ø Ó


ề é ẵẵ

ẵẵ

k=2

ỉ

ề

ề



ề

(x1 + x2 )n =
r1 +r2 =n

è

ỉ

ìí ệ

m
0



ề

n
m
+
k
1

ú ẵẵ ậ

ề

ề

ỉ ỉ

ề

ỉ ỉ

ặ ỉểề

n
xr11 xr22 .
r1 , r2

ẻ ề

ệẹểề

n
m
+ ÃÃÃ +
k1
k

ữẹ ề íũề

ề

ẹ

ễ

n

0
ề

=
ỉệứề

n+k1
.
k1

ề

m+n
.
k
x1 +Ã Ã Ã+xk = n

ề ẹ ề ữ ì ề ữẹ Ị ÙÝịỊ

Ị Đ
Ơ Ị ØỊ
Ð Nk (n). Ì
N1(n) = 1. ÌùỊ N2(n), Ø
Ð ØùỊ × Ị ÷Đ Ị ÙÝịỊ
Ị Đ
Ơ Ị ØỊ x1 + x2 = n. È Ị ØỊ Ị Ý


Ị ÷Đ
(0, n), (1, n − 1), ..., (n, 0) ỊịỊ

N2 (n) = n + 1 =

ư ØùỊ
Ø

N3 (n) Ø

Ü ØƠ

Ị ØỊ

n+1
.
1

Ĩ x3 = 0, 1, 2, ..., n,

x1 + x2 + x3 = n.

N3 (n) = N2 (n) + N2(n − 1) + · · ·+ N2 (2) + N2(1) + N2(0) = (n + 1) + · · ·+ 1.

Ỵ Ý N3(n) = n +2 2 . Ì
Ị Đ Ị
Ị Ơº À ưỊ Ị ịỊ
Ĩ

Nk (n) =

n+k−1
k−1

Ị ÕÙ

Nk (n) = Nk−1 (n) + Nk−1 (n − 1) + Nk−1 (n − 2) + · · · + Nk−1 (0).

Nk (n) =

n+k−2
n+k−3
k−2
+
+ ··· +
k−2
k−2
k−2

=

n+k−1
.
k−1


ẵẳ

ữ ế ẵẵ ậ
ề ỉ

ì

n

ề

ề

ỉệểề

ỉệ ửề

n+k1
.
k1

ề

ề ẹề Ë

×

(x1 + x2 + · · · + xk )n

Ý ×

Ị ØƯĨỊ

ØƯ ưỊ (x1 + x2 + · · · + xk )n Ị
Ị × Ị Ø

Ò Ù xr1 xr2 . . . xrk ÜÙ ỉ ữề ỉệểề
ỉệ ửề ậ
ề ề ì ề ữẹ ề ÙÝịỊ Ị Đ
Ơ Ị ØỊ r1 + · Ã Ã + rk = n.
ẻíì
ề n +k k 1 1 Ø Ĩ
ó ½º½º
2

1

k

Ë

Ị ÕÙ Ị Ý Ú Ĩ ữ
ĩ ỉ
ỷề ễ ỉề ì Ð Ơº Å Ø Ơ Ị Ø
xi
Đ Ø Ý k Ơ Ị Ø
Ĩ ØƯ
x1 x2 . . . xk
Ð
ØỊ × Ð Ơ ri
Ị Ị ÜÙ Ø ÷Ị ØƯĨỊ Ý Ị ri ÐỊº Ã ÷Ù T (r1, r2, . . . , rk) Ð ×

Ý
Ð Ơ (r1, r2, . . . , rk ) Ú

Ý Ð r1 + r2 + · · · + rk = n

Ơ Ị Ø
Đ Ø Ø Ơ A = {x1, x2, . . . , xk} Ú k Ô Ị Ø
Ĩ ØƯ
× Ĩ
Ĩ
ØƯĨỊ Đ Ý Ơ
Ơ Ị Ø Ø i ÜÙ ỉ ữề ề ri éề

ữề ú ẵ è ễ A Ú

Ð Ô

(r1 , r2, . . . , rk )

k

Ú

Ơ Ị Ø


k Ơ
r1 + r2 + · · · + rk = n Ð

Ĩ ØƯ

Ý Ð

º Ë



Ý

Ị Ø

n
.
r1 , r2 , . . . , rk

T (r1 , r2 , . . . , rk ) =

Ò ĐỊ º Ë

Ý k Ơ Ị Ø
Ð Ơ (r1, r2, . . . , rk) Ú

r
r r
r1 + r2 + · · · + rk = n
ựề é ữ ì
ề ỉ
x1 x2 . . . xk ØƯĨỊ
ØƯ ưỊ (x1 + x2 + · · · + xk )n. Ỵ Ý T (r1, r2, . . . , rk) = r , r ,n. . . , r .

ẻự
ỉ

ẵ
ể

ẹ

ì

n




ẹ

ề



ỉệểề

ặụ ỉệểề




Ù Ø Ĩ
û Ú

¿







Đ Ø ×

1

2

1

2


Ị

Ý

k

k

a, b, c. ÌøĐ

a.

×




a Ø ø Ø
Ø ư Ø Ø Ĩ C2rn


Ị ØƯĨỊ n − 2r Ú Ø
Ị Ðn Ø
2n−2r

Ø
Ĩ b Ú c. Ì Đ Ð
n−2r
C2r

º Ì Ø
× Ð C2rn 2n−2r . Ì
n 2
2r

r=0

n
n

2r
C2r
n x

n

(1 + x) + (1 − x) = 2

r=0


½½

Ø ×ÙÝ Ư
n
n−2r
C2r
=
n 2
r=0

½º º
Ị

n

Ị Ø
Ý

ÙÝưỊ

Ø × Ị
ú ỉ ề ế ỉ

ề éự ẵắ

k=0

1
3n + 1
1
2n
Ã
(1 + )n + (1 − )n =
2
2
2
2

Ckn g(k)

Ú

Đ



÷Ù øỊ Ø
ư

Ị Đ Ị
Ị Ø

ÙÝưỊ
Ơ
Ý

f (k)

×

Ị

n ∈ N.

Ú

g(k)

Ã

Ð
Ø

Ị

Ị

Đ ×

Ø

Đ Ị

f (n) =



n

g(n) =
k=0

(−1)k Ckn f (n − k).

Ị Đ Ị º Ỵ Ñ Ø

øÒ Ø
f (k) Ú
fn =

n

k=0

Ckn g k

Ý f n = (g + 1)n

ÕÙ

Ò Ú n N. ẻ í
g(k)

fk

ụ ì ụỉ fk Ún gk Ø Ý
Ĩ Ị Ị
g n = (f − 1)n Ý g(n) = (−1)k Ckn f (n − k).

Ỵù

Ĩ

Ị

Đ Ị

ØƯ ưỊ

fk

Ú

Ã

gk .

k=0

Ý

ĨỊ


F0 = F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1 , n

Ư Ị
n

n
(F2j − 1).
j
j=1
√
√
1+ 5
1− 5
, x2 =
x1 =

2
2
Fn =

º Ỵ

gk .

(f + x)n = (g + 1 + x)n , ∀ x.

Ỉ ×Ù
Ĩ x = −1

½º º

Ú

(−1)j

1
Fn = √ (xn+1
− xn+1
2
1 ).
5

õÒ

1.


½¾

Ã
n

n

n
1

n
Fj = √
(xj+1
− xj+1
2
1 )
j
5 j=0 j
1
= √ [x2(1 + x2 )n − x1 (1 + x1 )n ]
5
1
2n
= √ [x2x2n
2 − x1 x1 ],
5

j=0

Úø 1 + x2 = x22, 1 + x1 = x21. Ỵ Ý
n

n
1
Fj = √ (x22n+1 x12n+1 ) = F2n .
j
5

j=0

è ể ề é ẵắá Ø Ò Ò



n

(−1)

Fn =

j

j=0

Ú

f (j) = Fj , g(n) = F2n .

n
g(j) =
j

ẻứ F0 = 1 =
n

(1)j

Fn =
j=1

ẻự
n

ẵ
1.

ỉ



ỉ

í ×


´ µ Ln =

n
j=0
n

j=1

(−1)j

j=0
n

(−1)j

j=1

n
(L2j − 2).
j

n
j

ỊịỊ

n
(F2j − 1).
j

L0 = 2, L1 = 1

n
Lj .
j

n
F2j
j

(−1)j

Ú

√

√
1+ 5
1− 5
, x2 =
·
x1 =
2
2

´ µ Ln = xn1 + xn2
à L2n =

ì

n

Ln+2 = Ln+1 + Ln

Ú


½¿

√

º

Ị Ơ

Ị Ơ Ơ ÕÙ Ị Ơ Ø Ĩ n, Ú

1+ 5
Ø
õỊ Ln = xn2 + xn1
2
´ µ Ỵø 1 + x2 = x22, 1 + x1 = x21 ỊịỊ
n

n

n
Lj =
j

j=0

+ x2n
1 = L2n .
n
Lj .
j

Ỵ Ý

Ị Ø
L2n =
j=0
´ µ Ì ể ề é ẵắá ề ề
n

n

Ln =

ỉ
µº
ơỊ

n
(xj2 + xj1 ) = (1 + x2 )n + (1 + x1 )n
j

j=0
x2n
2

=

(−1)

j

j=0

Ú

√
1− 5

, x2 =
x1 =
2

n
g(j) =
j

n

n
L2j
j

(−1)j
j=0

n
j

Ỵø L0 = 2 = −2 (−1)j
j=1

Ò Ø
n

f (j) = Lj , g(n) = L2n .

ề ìí ệ

n

(1)j

Ln =
j=1

ẻự

ẵ

ể

(1)k

Dn =
k=0

Đ Ị

n
(L2j − 2).
j

Ý
n

Ị

ỊịỊ

Ị Ø õ

n
(n − k)!
k

Ú

n

1.

Ư Ị
n

n! = 1 +
k=2

n
Dk
k

Ú

Đ

n

2.

º Ì
n
n

(−1) Dn =

(−1)
k=0

n−k

n
(n − k)! =
n−k

n

(−1)k
k=0

n
k!
k


½

Ú

n

1.

Ø fk = (−1)kDk Ú

gk = (−1)k k!.
n

f (n) =
k=0

Ì ể ề é ẵắá ỉ ề ề

n
gk .
k



n

gn =



(1)

nk

k=0

n
fk =
k

í

n

(1)n
k=0

n
n

(1)n

(1) n! =
k=0

Ỵø D0 = 1 Ø Ĩ ÕÙÝ
Ú

D1 = 0

ẵ ặ íũề é

ạèệ

n

Dk
k

n
Dk .
k

ềũề n! = 1 +

n
k=2

(−1)n

n
Dk .
k

Ã Ü Ø ØĨ Ị Ø Ơ¸ Ø Ø Ị Ơ ơĐ Ü Đ
Ĩ Ị ịÙ
Ù øỊ
Ø ư Ø Ĩ Ư Ú Ị Ị íũ
 ỉ ỉệ
ặ
ề á ử ơĐ


Ù øỊ
Ĩ Ị Ø ØøĐ

Ù øỊ Úó ÐĨ ÕÙ Ị Ø Ù
ÕÙ Ú ÷
Ơ Ị Ư Ø Ị

Ð Ơ ư Ơ Ị Ị ÙÝịỊ Ð
Ị
Ý
Ư (A ∪ B) = Ư (A) + Ư (B) − Ư (A ∩ B).
Ì Ị ÕÙ Ø Ị íũề é
ề ỉ
ặ íũề é ạèệ
ữ
ề
ề ề íũề é ạèệ é Ú ÷
Ơ Ị Ð Ơ Ị Ø ơ Ị ể ử ừ ề



ì ụẹ
ữ é
Ð Ị
Ø Ơ A Đ Đ Ø × Ù Ị

Ơ Ị Ø ÕÙ |A|.
× A1, . . . , An Ð Ò Ò Ø Ơ
ĨỊ
Ø Ơ A.

× sk
Ü
Ò


½

ÕÙ
s0 = |A|

s1 = |A1 | + |A2 | + · · · + |An |

s2 = |A1 ∩ A2 | + |A1 ∩ A3 | + · · · + |An−1 ∩ An |
···

sk =

···

1 i1
|Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aik |

sn = |A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An |

Ú

× ek
Ị Ị ú
ek Ð × Ø Ø

Ơ Ị Ø
A
ØƯĨỊ Ị k Ø Ơ
ĨỊ ØƯĨỊ ×

Ø Ơ
ĨỊ A1, . . . , An. Ì × ØøĐ ÕÙ Ị ÷

× si Ú ek . ÌƯ
Ø ịỊ Ø
Ị Đ Ị Đ Ø ÕÙ Ư Ø đƠ × Ù
Ý

Ị Ðù ½º¿º Ỉ ÙÝịỊ Ð
n

Ĩ

Ø Ơ

Ù

Ị

A1 , . . . , An .

Ã

n

Ai
i=1

¹ÌƯ ℄

=
i=1

|Ai | −

1 i
|Ai ∩ Aj | +

1 i
|Ai ∩ Aj ∩ Ak |

n

− · · · + (−1)n+1

Ai .
i=1

Ị ĐỊ º Ì
Ị ĐỊ

Ị Ơ

Ị Ơ Ơ ÕÙ Ị Ơº ÌƯ
Ø ịỊ
Ø Ø Ý n = 1 ÐÙ Ị Ị º Ỵ n = 2, Ü Ø Ø Ô Ô A, B Ú Ð
Ð Ò Ù Òº Ỉ A ∩ B = ∅ Ø ø ưỊ Ị ịỊ |A ∪ B| = |A| + |B|. Ỉ
C = A ∩ B = ∅ Ø ø Ø
A ∪ B = (A \ B) ∪ C ∪ (B \ A). Ỵø

Ø Ơ Ị Ý
Đ Ø Ĩ Ị Ù Ị Ư Ị ¸ ỊịỊ |A ∪ B| = |A \ B| + |C| + |B \ A|. Ỵø
|A \ B| = |A| − |C| Ú |B \ A| = |B| − |C|, ỊịỊ |A ∪ B| = |A| + |B| − |C|, (1).
n−1
à n > 2 Ø ÐÙ Ị Ị
Ĩ n − 1 Ø Ơº Ø A = Ai. Ì Ĩ
i=1
Ị Ø
(1) Ø
n

i=1

Ë

Ò

Ai = |A ∪ An | = |A| + |An | − |A ∩ An |.

Ø ÕÙ Ị Ơ
Ĩ |A| Ú

|A ∩ An |

Ø

Ò Ø
º


ẵ

ẻự

ẵ

ể ề

ẹ ỉ ì

ề ể ỉệểề


ì

ũ ì

ỉ

ề

ũề

ắááẵẵáẵ

n ∈ [1, 2005]

º Ã ÷Ù A = {1, 2, . . . , 2005} Ú

Ai

Đ

Ị

Ð Ø Ơ
ĨỊ




Ó

A

ÑØ Ø

2005
= 1002, |A3| =
2
2005

2005
2005
= 668, |A11| =
= 182 Ú |A13 | =
= 154; Ø Ð
3
11
13
2005
2005
2005
|A2 ∩A3 | =
= 334, |A2 ∩A11 | =
= 91, |A2 ∩A13 | =
=
6
22
26
2005
2005
= 60, |A3 ∩ A13 | =
= 51, |A11 ∩ A13 | =
77, |A3 ∩ A11 | =
33
39
2005
2005
= 14. ÌùỊ |A2 ∩ A3 ∩ A11 | =
= 30, |A2 ∩ A3 ∩ A13 | =
143

66
2005
2005
2005
= 25, |A2 ∩ A11 ∩ A13 | =
= 7, |A3 ∩ A11 ∩ A13 | =
= 4,
78
286
429
2005
|A2 ∩ A3 ∩ A11 ∩ A13 | =
Ò
ôØ
= 2. Ë T

× Ø Ù
A
858
Ĩ 2, 3, 11, 13 Ð



× Ị ÙÝịỊ


Ĩ i. Ì

Ị

|A2 | =

T = |A| − |A2 ∪ A3 ∪ A11 ∪ A13 | = 2005 − (1002 + 668 + 182 + 154) +
+ (334 + 91 + 77 + 60 + 51 + 14) − (30 + 25 + 7 + 4) + 2 = 562.

ẻ í T = 562.

ẻự

ẵ Ỉ ×

Øù

n = pα1 1 pα2 2 . . . pαs s

Ð

×

Ø Ø


×

Ị ÙÝịỊ
Ø ø

Ị
Đ

n>1

ÙÐ Ư



×

ϕ(n) = n

Ơ
s
i=1

Ị ÙÝịỊ

Ị ĐỊ º Ỵ Đ

k ∈ {1, 2, . . . , n}

Ø ịÙ
Ù Ị Ø

1
, ØƯĨỊ
1−
pi
Ĩ (k, n) = 1.

Ị

ϕ(n)

Ị Ị ú Ø Ơ Ai = {pi, 2pi, . . .n, npi} .
Ã

Ai Ð Ị Ị Ø Ơ
ĨỊ
Ø Ơ T = {1, 2, . . . , n} Ú |Ai| = p · Ỵ
i

Đ
Ơ i, j, i = j, Ø Ơn Ai ∩ Aj Ĩ Đ Ø Ø


× Ø Ù
T Ð
· Ì Ị Ø ØùÒ Ð
Ð Ò


Ø Ơ
pi pj Ú |Ai ∩ Aj | =
Ĩ
º
pp
i j

1

i

sØ

× Ó

Ò Øù


ẵ

è ể ề íũề é

ạèệ á ề é ẵá ỉ
n

ϕ(n) = n −
= n−

Ai
i=1
s

i=1

n
+
pi 1

+ · · · + (1)s

ẻíỉ ề ề

ẵ

n

p
p
i
j
s
1

i
i
n
ppp
s i j k

n
Ã
p1 p2 . . . ps


Ị Ø

Ĩ Đ ÙÐ Ư ϕ : ϕ(n) = n

Ù ÐÝ Ø

øỊ Ø

½º º½º Î Ò


Ù ÐÝ Ø

s
i=1

1−

1
·
pi



øÒ Ø

Å
Ị Ý Ø Ơ ØỨỊ Ü Ø
Ù ÐÝ Ø
ØƯ Ị º Ã ÷Ù

øỊ Ø
Đ Ø ơỊ ØƯịỊ Đ Ø

∞

2

K[[x]] = {a0 + a1 x + a2 x + · · · | ai ∈ K} =

Å Ơ Ị Ø

i=0

ai xi | ai ∈ K .

Ú x0 = 1,
Ð Đ Ø
Ù ÐÝ
i=0
Ø
øỊ Ø

ơỊ x Ú

÷ Ø Ø Ù
K. ư ơỊ K[[x]] ∞Ø Ị Đ Ø
Ú Ò Ó Ó Ò
Ò Ú Ø
Ò

Ơ Ơ ØĨ Ị × Ùº Ĩ f = aixi, g =
i=0
∞

bi xi ∈ K[[x]] Ø
Ò Ò ú f =g
Ú
û
ai = bi
Ĩ Đ
i=0
i = 0, 1, . . . Ú
f ∈ K[[x]], f =

∞

ai xi

∞

∞

i=0

i=0

Ĩ Ị

ú ẵ ẻ

aij bj xi .

(ai + bi )x , f g =

f +g =

Å÷Ị

i

i


Ơ

Ơ ØĨ Ị ØƯịỊ¸

K[[x]]

j=0

Ð Ơ Ø

Ị

Đ Ø Ú Ị

Ĩ

Ị Ú º

Ị Đ Ị ẻ ữ
ửẹ ỉệ

ỉ ũề ú
Ú Ò Ð õ Ò Ú Ø Ø


Ø ịỊ ó ưỊ Ị ịỊ Ø

Đ Ịº


½

Ù

f
Ð
Ù Ù Øû Ị
Ø
p(x), q(x) ∈ K[x] ö
p(x)
f (x) =
Ý f (x)q(x) = p(x) ØƯĨỊ K[[x]]. Ỉ q(0) = 1,

f (x)
q(x)
Ð deg f (x) := deg p(x) − deg q(x). Ỉ Ø Ị Ø Đ ´ × Ĩ
× ịÙ ữỉà
F (x) ì ể
ể f (x) = F (x) Ø ø F (x)
Ð
Ò Ø

Ị

Ù
f (x).
Ị Ø
Ị Ü Ø óÙ ÷Ị Ị Ó
Ù f

Ò Ø
Ò º

Ị Ị ú ½º º

Ð
Ù ÐÝ Ø
øỊ Ø
º Ì Ị
∞
n
ai αi
ai αi Ð
f (α) =
Ð Đ Ø Ø Ị Ú Ịº Ỉ Ø Ị Ø n→+∞
lim
i=0
i=0
ØƯ

Ù ÐÝ Ø
øỊ Ø

Đ Ø× ∞Ù ỊÀ øA
Ð
f (x) = ai xi Ø x = α.
A
Ị
Ð
ØƯ
ØỊ Ú Ị
∞

×

∞

f (x) =

ai xi

i=0

i=0

ai αi .

i=0

ÌƯĨỊ Ú Ị K[[x]] Ị Ø ÕÙ Ị Ø Đ Ø ØùÒ Ù Øû Ú
Ò Ø
Ò

Ù ư Ị ịỊ
Ù Ø Ị ´Ị Ị ỉ ề ỉ à í

ữ ì
õỊ
Ù º
à Ị Ĩ
Ị ØùỊ Đ Ø Ø Ị
Ø ư Ø × Ü Ø Ø ØùỊ∞
Ø Ú ØùỊ∞
ØƯ

Ù º Ĩ Đ øỊ Ø

Ơ Ị Ø f = aixi Ð f ′ = iaixi−1.
i=0
i=1
Ỵ Đ Ø Đ f (x) Ø Ü
Ị Ø x = a, Ø õỊ Ò ÕÙ
Ù ÐÝ
∞ f (n) (a)
(x − a)n ư
Ø ư
Ĩ Ị Ị Đ Ø Ơ Ị
Ø
øỊ Ø
f (x) =
n!
n=0
Ø

Ị
Ĩ Đ Ò Ý Ò Ñ Ø
Ù ÐÝ Ø
øÒ
Ø Ø Ù
K[[x]] Ú
Ø
Ị ÕÙ Ị Ø Đ ơỊ ØùỊ
Ø

Ù º
à ØƯ ưỊ Ø Ị
Ù ÐÙ Ø
øỊ Ø
Đ Ø × Đ Ị Ị × Ù
1
= 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + · · ·
1−x
1.1 2 1.1.3 3 1.1.3.5 4
1
x ±
x −
x ± ···
(1 ± x)1/2 = 1 ± x −
2
2.4
2.4.6
2.4.6.8
1
1.1 2 1.1.3 3 1.1.3.5 4

(1 ± x)−1/2 = 1 ∓ x +
x ∓
x +
x ∓ ···
2
2.4
2.4.6
2.4.6.8
xn
x x2 x3
x
+
+ ··· +
+ ···
e = 1+ +
1! 2!
3!
n!
x2 x3 x4
xn
ln(1 + x) = x −
+
−
+ · · · + (−1)n−1 + · · ·
2
3
4
n
1
1

1
π2
= 1 + 2 + 2 + ··· + 2 + ··· .
6
2
3
n


ẵ

ẵ ắ ề é
ỉ ề ểéị ú ỉ
ề ề ỳ ẵ ẻ í ì (a ) ỉ Ø Øù

a1 a2 . . . an . . . =

n

Ìù
Ị Ý
Ð Đ Ø Øù
Ú
Ø n→+∞
lim An = A Ø ø A
Ð
A=

∞

Ịº

Ã

ØƯ

Ỵ Ị ó ØƯ Ã Ị ĨØ ỊØ

÷Ù Ak
Øù
Ú

ØƯ
Øù
Ú

Đ Ø Ý ×
Ĩ ØƯ
(an).
à ÕÙ × Ù Ý
ºÅº
Ø Ị ĨÐÞ Úó ØùỊ
Ø
Đ ØØ Ị Ø Ị Ị

Ị Ðù ½º º
ỉ ề ểéị

ặụ ỉ ề

ề an ụỉ
k

=

an .

n=1

n=1

ể

í

ì

ỉ



ề



(1 + an )

n=1

ề

(an )

à èự







í

ì



(1 + an )

ề

ỉ ề

i=1


ề

ẵẵẳ èự



(1 + bn )

Ø

Ø º

Ú

û

Ø Ò

bn

Ø º

i=1
∞

Ú

Ò

(1 − xn )

Ø

n=1

Ø

Ø
n=0
|x| < 1 ỉ ể ề é ẵ

ẻự

ẵẵẵ èự


an
i=1

i=1

ẻứ ỉ ề







ỉ Pk =

Ú

û

xn

k
n=2

1
n2

n=2

1−

1−

1
·
n2

Ò

k→+∞

k→+∞

∞

n=2

1−

|x| < 1.
|x| < 1

1
= ·
2

Úø

lim Pk = lim

ỊịỊ Ø

û

1
n2

k+1 1
=
2k
2
1
= ·
2

Ú

Ø
Đ Ø Øù
ế



à èự

ẻự

an .

n=1

an .

n=1

(bn).



ềũề



(1 xn )

n=1

ẹ


ắẳ

ề ắ
ẩ ề ể
ỉ ễ
ắẵ ẩ

ễ



ề

ề ễ ễễ Ị Ĩ
Ø Ơ

Ơ

Ỉ óÙ ØĨ
Ơ Ị Ơ ƠƠ
Ị Ø ĨỊ Ị
Đ×Ị ư

Ị ×
Ý Ø Ơ × ØƯ ỊịỊ õ
Ị × Ị
Ị Ĩ

Ø Ơ Ơº Ì
Ị Đ Ø Ø Ơ Ị Ĩ Ú Ơ Ị Ĩ
óÙ ÷Ị
Ø Ư º Ë Ị ề íũề é
ỉệ í
ụỉ ế
ề ề ỳ ắẵ ể Đ Ø Ø Ơ Ù Ị S = ∅. Å Ø Ơ Ị Ĩ

S
Ø Ị k Ơ Ị¸ Ú 1 k n, Ð Đ Ø

Ø Ơ
ĨỊ S1, . . . , Sk Ø ẹ ề
ú ữề ì í





ẻự

ắẵ

ề íũề


A

ề

é ề

ể ỉ Ơ

k

Ị

k

S =∅Ú


 i

Đ i,
Si ∩ Sj = ∅ Ú Đ
Ơ

Ị
×

Si = S,

i=1

ễ

A

ỉ
ề

ẹ ẵ

ỉựề
ữỉ

ì


a, b

i, j, i = j.

ề íũề
ỉ ÌƯĨỊ

× Ĩ
Ĩ

Ị
Đ

2

a +b

2

Ù Ø ịỊº À Ý ØøĐ ×

k

Ø Ơ
ĨỊ

Đ

Ð

Ị ÙÝịỊ Ø º

Đ Ø ×

Ơ Ị Ø

º

× k Ð × Ị ÙÝịỊ Ị Ø Đ Ị Ù º Ø k = 8. Ì Ơ
ĨỊ T Đ Ø Đ ×
Ị 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 ề ỉ ẹ ề ú ữề
ẻ a, b ∈ T, a = b
a2 + b2 Ð × Ị ÙÝịỊ Ø º Ỉ k < 8 Ø ø
û
Ị Ü Ø
Ø Ơ
ĨỊ U ⊂ T óÙ Ị Ø Đ Ịº Ĩ Ú Ý k 9. È Ị Ĩ
Ø Ơ Ø Ị

Ø Ơ
ĨỊ × {a, b|a2 + b2 Ị ÙÝịỊ Ø } :
A = {1, 4} ∪ {2, 3} ∪ {5, 8} ∪ {6, 11} ∪ {7, 10} ∪ {9, 16} ∪ {12, 13} ∪ {14, 15}.

Ì Ĩ Ỉ ÙÝịỊ é ệ
é ỉá ỉệểề ì

ỉ Ơ
ĨỊ Ø Ý
Ø Ơ A Ơ
Ơ Ị Ø Ø Ù

Ị Đ Ø Ø Ơ
ĨỊ ØƯĨỊ Ơ Ị Ĩ
ØƯịỊº Ĩ Ú Ý¸ ØƯĨỊ


¾½

Đ Ø Ơ
ĨỊ Đ Ơ Ị Ø
Ø Ô A ÐÙ Ò Ø Ò Ø
a2 + b2 Ð Đ Ø × Ị ÙÝịỊ Ø º Ì
k = 9.

ẻự

ắắ ẻ

é ề ề

ỉ

k

ỉựề

ỉ ễ
ểề


ẹ

ì



ề

ề

ề íũề

ỉ èệểề
ỉ

ú

ề

ẹ

ẹ ề

ể

n

ì ễ ề ữỉ a, b ư

Ý Ü

Ø Ơ

Đ

n

Ị

×

Ơ Ị Ø

Ø Ơ
ĨỊ Ơ

Ị

Ị ÙÝịỊ

óÙ

ữỉ ỉệểề

ì

ỉ ử

ề

k

ề ệ


ỉ ễ
ểề

ệ Ị º

º

Ø Ø Ơ Đ n Ơ Ị Ø A = {a1, a2, . . . , an}. ÌƯ
Ø ịỊ Ø
û
Ư k 2n−1. Ì Ø Ú Ý¸ Ú Ơ Ị Ø a1 Ø Ü Ø Ø Ø


Ø Ơ
ĨỊ Ai

A
× Ĩ
Ĩ

Ø Ơ
ĨỊ Ai óÙ
a1. Ë

Ø Ơ
ĨỊ Ai Ị Ý Ị Ị ×

Ø Ơ
ĨỊ
Ø Ô {a2, a3, . . . , an} Ú Ò 2n−1. Ỵø 2n−1 Ø Ơ
ĨỊ Ai
A
Ø Đ Ò Ai ∩ Aj = {a1, . . .} = ∅ i = j ỊịỊ k 2n−1. Ì ơƠ Ø Ĩ Ø
û
Ư k 2n−1. Ì Ø Ú Ý¸ ×
Ị
k > 2n−1 Ø Ơ
ĨỊ Ai
A Ø
Ø Ø
Đ Ị Ĩ
Ø Ơ
ĨỊ Ø Ai, Aj
A óÙ
Ư Ị º
n

n−1
2 Ø Ơ
ĨỊ
A Ø Ị 2
Ơ Ai Ú Ơ Ị Bi = A \ Ai Ú Đ i. Ỵø ×
n−1
Ø Ơ
ĨỊ

Ị Ð k > 2 ỊịỊ Ơ
ùØ Ị Ø Ø Ơ
ĨỊ

Ị
Ð Ar , As ØƯ Ø Ị
Ơ Ị {Ar , As} = {Ai, Bi} Ø Ĩ Ị ÙÝịỊ Ð Ư
Рغ
Ĩ Ú Ý Ai ∩ Bi = Ar ∩ As = ∅ : Ñ Ù Ø Ù Ịº Ì Ý ×ÙÝ Ư k = 2n1.

ẻự

ắ



ề

ì

ề íũề

ề

k

ử ì ể
ể ỉ ễ

ễ

X = {2012, 2012 + 1, 2012 + 2, . . . , 2012 + k}


Ø ư Ơ

Ø Ị

Ị Ư


×

Ð Đ

Ø Ù
Ø Ơ

Ø Ơ

A

A

Ị

B

Ú
Ị

Ø

Ø Ị

Đ Ị




A ∩ B = ∅, A ∪ B = X
× Ø Ù
Ø Ơ B.

Ú

º ÌƯ
Ø ịỊ Ø ØøĐ óÙ ÷Ị
Ĩ k.

×

Ø ƠẲ B
Ø Đ Ị Ù º Ø s Ð Ø Ò
Ø Ø


× Ø Ù
Ø Ơ A. Ã
ØƠ
B
Ị
Ø Ị

×
Ị s Ú Ø Ô X
Ø Ò
Ø Ø


ì ề 2s.
ẻí
4s = 2[2012 + (2012 + 1) + (2012 + 2) + · · · + (2012 + k)]
= 4024(k + 1) + k(k + 1).

ặ

íá k(k + 1)

k ≡ 0( mod 4).

Ĩ Ú Ø

Ý ×ÙÝ Ư

k ≡ 3( mod 4)

Ĩ


ắắ

ỉ ỉệ ề ễ ẵà k 3( mod 4). õ Ị ×ÙÝ Ư Ë Ơ Ị Ø Ø Ù
ỉ ễ
Xễ
é
ửề ề ũềá ì ỉ Ị ịỊ Ð ịỊ Ø ơƠ n, n + 1, n + 2, n + 3
ÐÙ Ị Ø Đ Ị
n + n + 3 = n + 1 + n + 2 Ú {n, n + 3} ∩ {n + 1, n + 2} = ∅.
Ì Ơ X Ø Đ ề ỉựề
ỉ

èệ ề ễ ắà k 0( mod 4). èệểề ỉệ ề ễ ề íá ì ễ Ị Ø
Ø Ơ
X Ơ
Ð × Ððº
× X
Ơ ỊƯ Ð Đ Ø ƠƯ Ị ÙẲ BÚ
A ∩ B = ∅. Ì
Ø ư
Ø Ư (A) > Ư (B). Ø k = 4m Ú ×

Ø Ị ịỊ m. Ã
Ư (A) 2m + 1,
Ư (B) 2m.
Ì
s

Ú
Ỉ Ú Ý¸ Ø

2012 + (2012 + 1) + · · · + (2012 + 2m)

s < (2012 + 2m + 1) + · · · + (2012 + 4m).



2012+(2012+1)+· · ·+(2012+2m)

Ý 2012 < 2m.2m Ý m
à k = 92 : Ì Ü Ø
Ú Ø Ị

×
Ú Ø Ị

×
Ì ơ×
Ã

23

Ú

s < (2012+2m+1)+· · ·+(2012+4m)
k = 4m

23.4 = 92.

A1 = {2012, 2012 + 1, . . . , 2012 + 46}
a1 = 2012 + (2012 + 1) + · · · + (2012 + 46);

Ú

B1 = {(2012 + 47) + · · · + (2012 + 92)
b1 = (2012 + 47) + · · · + (2012 + 92).

Ì
Ò Ý

b1 − a1 = 46.46 − 2012 = 104.

2012+52 ỉệểề B1

ì ắẳẵắ ỉ ụ ì ắẳẵắ

A = A1 \ {2012} ∪ {2012 + 52}

Ú

A1

×

2012+52.

B = B1 \ {2012 + 52} ∪ {2012}


¾¿

Ø Đ Ị Ù º
à k ≡ 0( mod 4) Ú

k > 92 :

Ì Ú

X = {2012, 2012 + 1, . . . , 2012 + 92} ∪ {2012 + 93, . . . , 2012 + 4m}.

È ÒØ Ơ
Ø Ị

Ø ƠẲ

X1 = {2012, 2012 + 1, . . . , 2012 + 92}
B

Ị ØƯịỊ Ơ Ị Ø Ơ

X2 = {2012 + 93, . . . , 2012 + 4m}

Ú × Ơ Ị Ø
Ị õ Ị Ơ Ị Ư Ð Đ
ØƠCÚ DØ ĐỊ
C ∩ D = ∅ Ú C ∪ D = X2 Ú Ø Ò

× ØƯĨỊ Ø Ơ C Ú D Ị Ị Ùº
Ỵ Ý A0 = A ∪ C, B0 = B ∪ D Ø Đ Ị Ù º
Ì Đ Ð ¸ Ó
k ≡ 3( mod 4) Ó
k 0( mod 4) k 92.

ẻự

ắ
A, B X,

×
Ø

X

Ð

Ø Ơ

Đ

n

A

Ị

Ð

Đ Ị

Ơ Ị Ø º



Ø Ơ
ĨỊ Ø

Ị

×

×

Ị

2n . ẻ í ì
ẹ k ễ ề ỉ
ễ (A, B),

ễ (A, A) ề 2n. ẻ ẹ ì ỉ Ị ịỊ k Ú Ø Ơ
ĨỊ B

Ø Ơ

ĨỊ A
B Ị Ị 2k . Ì Ý ×ÙÝ Ư ×

A, B ⊆ X, Ø
Đ Ị A Ð Ø Ơ
ĨỊ Ø
×
B Ị Ị
n

k=0

(A, B),

B.



º Ì Ư Ị × Ø ễ
ểề
ỉ ễ X ề



ễ


áì

n k

2 − 2n = 3n − 2n .
k

Ĩ Ú Ý¸ ×


Ô (A, B),
A, B ⊆ X, Ø
Đ Ị A Ị Ð Ø Ơ
ĨỊ
Ø
×
B Ò Ò 2n.2n − [3n − 2n] = 4n 3n + 2n.

ẻự

ắ ẻ

ì
a1

i=1

ề íũề

bi
+
a

ề

b1

é

a, b, (a, b) = 1,

Ø

aj
= (a − 1)(b − 1).
b

j=1

º Ì Ơ ưĐ Ị ÙÝịỊ
A = {(i, j)|1

i

a − 1, 1

j

b − 1}

ÐÙ Ò