Thuật toán đơn hình cải biên và ứng dụng giải qui hoạch tuyến tính với ràng buộc suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN QUANG VUI

THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH CẢI BIÊN VÀ ỨNG
DỤNG GIẢI QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI
RÀNG BUỘC SUY RỘNG

Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số:

60.46.01.12

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thái Ngun -12/2015


Cơng trình được hồn thành tại
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Trần Vũ Thiệu

Phản biện 1: TS. Nguyễn Thị Thu Thủy
Phản biện 2: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp tại
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
vào hồi 11 giờ ngày 26 tháng 12 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên
và Thư viện Trường Đại học Khoa học


Cơng trình được hồn thành tại
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Trần Vũ Thiệu

Phản biện 1: TS. Nguyễn Thị Thu Thủy

Phản biện 2: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp tại
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
vào hồi 11 giờ 30 ngày 26 tháng 12 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên
và Thư viện Trường Đại học Khoa học


1

MỞ ĐẦU
Qui hoạch tuyến tính là bài tốn tối ưu được ứng dụng rộng rãi trong
lý thuyết và thực tiễn. Phương pháp đơn hình Dantzig (1947) rất hiệu quả để
giải lớp bài tốn này. Có nhiều biến thể khác nhau cho dạng bài tốn hay tình
huống cụ thể và có nhiều thuật tốn có hiệu quả cao: đơn hình gốc, đơn hình
cải biên, đơn hình đối ngẫu, đơn hình gốc - đối ngẫu, ...
Luận văn này đề cập tới thuật tốn đơn hình cải biên, một biến thể quan

trọng của phương pháp đơn hình Dantzig. Thuật tốn đặc biệt hữu ích cho các
bài tốn có số biến vượt trội so với số ràng buộc hoặc có ma trận ràng buộc
thưa (tỉ lệ phần tử 0 khá lớn ) - chẳng hạn ma trận bài toán vận tải và được
ứng dụng để giải bài tốn qui hoạch tuyến tính với ràng buộc suy rộng, trong
đó vectơ hệ số của mỗi biến trong bài tốn khơng cố định trước mà được chọn
tùy ý từ một tập lồi đa diện cho trước.
Sau khi được học các chuyên đề về giải tích lồi, tối ưu hóa và các kiến thức
có liên quan, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về kiến thức đã học, tơi chọn
đề tài luận văn: "Thuật tốn đơn hình cải biên và ứng dụng giải qui hoạch
tuyến tính với ràng buộc suy rộng".
Mục đích chính của đề tài là tìm hiểu nội dung các thuật tốn đơn hình và
đơn hình cải biên giải qui hoạch tuyến tính và trình bày cách áp dụng thuật
tốn đơn hình cải biên, kết hợp với kỹ thuật sinh cột của nguyên lý phân rã,
vào giải bài tốn qui hoạch tuyến tính với ràng buộc suy rộng.
Nội dung luận văn gồm ba chương
Thái Nguyên, ngày 21 tháng 11 năm 2015
Trần Quang Vui
Học viên Cao học Lớp 7Y Khóa 01/2014-01/2016
Chun ngành Tốn ứng dụng
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
Email:


2

Chương 1

KIẾN THỨC VỀ QUI HOẠCH
TUYẾN TÍNH
Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở về tập lồi, tập lồi đa diện,

bài tốn qui hoạch tuyến tính chính tắc, bài tốn đối ngẫu và phương pháp đơn
hình giải.

1.1

TẬP LỒI VÀ TẬP LỒI ĐA DIỆN

Định nghĩa 1.1. Tập C ⊆ R được gọi là một tập lồi nếu λa + (1 − λ)b ∈
C, ∀a, b ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1], tức là nếu C chứa toàn bộ đoạn thẳng nối hai điểm
bất kỳ thuộc nó.
• Ta để ý tới các tập lồi đặc biệt sau đây:
a) Tập afin là tập chứa trọn đường thẳng đi qua hai điểm bất kì thuộc
nó.
b) Siêu phẳng là tập có dạng H = {x ∈ Rn : aT x = α}, a ∈ Rn , a =
0 và α ∈ R.
c) Các nửa khơng gian đóng
H + = {x ∈ Rn : aT x α}, H − = {x ∈ Rn : aT x α}.
d) Các nửa không gian mở
K + = {x ∈ Rn : aT x > α}, K − = {x ∈ Rn : aT x < α}.


3
e) Hình cầu đóng B(a, r) = {x ∈ Rn : x − a
0).

r}(a ∈ Rn , r >

• Từ định nghĩa tập lồi trực tiếp suy ra một số tính chất đơn giản sau đây:
a) Giao của một họ bất kì các tập lồi là một tập lồi. C, D lồi ⇒ C
lồi.

D

b) Nếu C, D ⊂ Rn thì C ± D = {x ± y =: x ∈ C, y ∈ D} là các tập
lồi.
c) Nếu C ⊂ Rm và D ⊂ Rn thì tích C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈
D} là một tập lồi trong Rm+n (Có thể mở rộng cho nhiều tập
lồi).
Định nghĩa 1.2. Cho E là một tập hợp bất kì trong Rn .
a) Giao của tất cả các tập afin chứa E gọi là bao afin của E, kí hiệu là aff E.
Đó là tập afin nhỏ nhất chứa E.
b) Giao của tất cả các tập lồi chứa E gọi là bao lồi của E, kí hiệu là conv E.
Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa E.
Định nghĩa 1.3. a) Thứ nguyên (hay số chiều) của một tập afin M, kí hiệu
dim M, là thứ nguyên (số chiều) của khơng gian con song song với nó.
b) Thứ ngun (hay số chiều) của một tập lồi C, kí hiệu dim C, là thứ nguyên
(số chiều) của bao afin aff C của nó.
Định nghĩa 1.4. Tập lồi K ⊆ Rn được gọi là một nón lồi nếu nó có thêm
điều kiện λx ∈ K, ∀x ∈ K, ∀λ > 0.
Định nghĩa 1.5. a) Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + ... + λk ak
với ai ∈ Rn , λi 0, λ1 + λ2 + ... + λk = 1 gọi là một tổ hợp lồi của
a1 , a2 , ..., ak .
b) Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + ... + λk ak với ai ∈ Rn , λ1 +
λ2 + ... + λk = 1 gọi là một tổ hợp afin của a1 , a2 , ..., ak .
c) Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + ... + λk ak với ai ∈ Rn , λi 0
gọi là một tổ hợp tuyến tính khơng âm hay tổ hợp nón của a1 , a2 , ..., ak .


4
Định nghĩa 1.6. Một tập lồi mà là giao của một số hữu hạn các nửa khơng

gian đóng gọi là một tập lồi đa diện. Nói cách khác, đó là tập nghiệm của một
hệ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính:
ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn
nghĩa là tập các x nghiệm đúng Ax
(b1 , ..., bm )T .

bi , i = 1, 2, ..., m,
b với A = (aij ) ∈ Rm×n , b =

Ví dụ 1.1. a) Tập lồi đa diện vẽ ở Hình (1.1) là giao của 6 nửa khơng gian
đóng:
x1 0, x2 0, x3 0, x1 2, x2 2, x1 + x3 3.
Tập này khơng bị chặn và có thứ ngun (số chiều bằng 3): dimD1 =
3.
b) Đa diện lồi D2 vẽ ở Hình 1.2 là tập nghiệm của hệ 4 phương trình và bất
phương trình tuyến tính:

x1 + x2 + x3 = 1
x1 + x2 0, 8
x2 + x3 0, 8
x1 + x3 0, 8
Tập này bị chặn và có thứ nguyên (số chiều) bằng 2: dim D2 = 2.(D2
là tam giác với 3 đỉnh (6, 2, 2), (2, 6, 2), (2, 2, 6) nằm trong mặt phẳng
x1 + x2 + x3 = 1).

Định nghĩa 1.7. Điểm x0 ∈ D được gọi là một đỉnh của D nếu x1 , x2 ∈
D, x1 = x0 hoặc x2 = x0 và λ ∈ (0, 1) sao cho x0 = λx1 + (1 − λ)x2 , nói
một cách khác: x0 khơng thể là điểm nằm ở trong một đoạn thẳng nào đó nối
hai điểm thuộc D.

5
• Trong Hình 1.1, O, A, B, C, D là các đỉnh của tập lồi đa diện D1 . Trong
Hình 1.2, ba đỉnh của tam giác (tô gạch chéo) là các đỉnh của tập lồi
đa diện D2 .
Để hiểu rõ hơn về tập lồi đa diện không bị chặn ta cần các khái niệm sau:
Định nghĩa 1.8. Vectơ d ∈ Rn , d = 0 được gọi là một hướng lùi xa của D
nếu ∃x0 ∈ Dsao cho {x0 + λd : λ 0} ⊆ D. Tập hợp các hướng lùi xa của
D cộng với gốc O tạo thành một nón lồi đóng, gọi là nón lùi xa của D, kí hiệu
rec D.
Định nghĩa 1.9. Hướng lùi xa d của D được gọi là một hướng cực biên nếu
không tồn tại hai hướng lùi xa khác d1 , d2 sao cho d = λ1 d1 +λ2 d2 , λ1 , λ2 >
0.
Có thể chứng minh được rằng tập lồi đa diện D không bị chặn khi và chỉ
khi recD = {0}, nghĩa là khi và chỉ khi D có ít nhất 1 hướng lùi xa.
Ta có định lý biểu diễn sau đây, thường hay được dùng trong các chứng
minh:
Định lí 1.1. Mỗi điểm của tập lồi đa diện D = {x ∈ Rn : Ax = b, x 0}
có thể biểu diễn dưới dạng một tổ hợp lồi của những tập hữu hạn các đỉnh của
D cộng với một tổ hợp tuyến tính khơng âm của một tập hữu hạn các phương
cực biên của D.
Trong các bài toán quy hoạch tuyến tính, ta gặp tập lồi đa diện có dạng:
D = {x ∈ Rn : Ax = b, x

0}, A ∈ Rm×n , b ∈ Rm .

(1.1)

tức D là tập nghiệm khơng âm của một hệ phương trình tuyến tính. Giả thiết
m n (nếu m > n, tập D có thể rỗng) và rank A = m.

Ở dạng này, tập D không chứa đường thẳng nào (do x 0) nên D có đỉnh.
Kí hiệu Aj (j = 1, ..., n) là vectơ cột thứ j của ma trận A. Theo lý thuyết qui
hoạch tuyến tính, vectơ x
¯ ∈ D là một đỉnh của D khi và chỉ khi hệ vectơ
{Aj : x¯j > 0} là độc lập tuyến tính. Do Aj ∈ Rm nên từ tính chất này suy ra
số thành phần dương trong đỉnh của D xác định bởi (1.1) không vượt quá m.
Một ứng dụng cụ thể của các kết quả trên đây là tìm các đỉnh của tập lồi đa
diện D xác định theo (1.1) khi số biến n khơng q lớn. Sau đây là một ví dụ:
Ví dụ 1.2. Tìm các đỉnh khơng suy biến của tập lồi đa diện cho bởi hệ:
3x1 − 2x2 + 3x3 = 6
−x1 + 2x2 − x3 = 4
xj 0, j = 1, 2, 3


6
Ví dụ này có m = 2 phương trình và n = 3 biến. Một đỉnh có nhiều nhất m
= 2 thành phần dương, tức là có ít nhất n - m = 1 thành phần bằng 0. Vì thế,
lần lượt cho x1 , x2 , x3 bằng 0, ta được:
• Với x1 = 0, hệ phương trình trên cho ta x2 = 92 , x3 = 5.
• Với x2 = 0, hệ phương trình vơ nghiệm (x1 + x3 = −4, x1
0!).

0, x3

• Với x3 = 0, hệ phương trình trên cho ta x2 = 29 , x1 = 5.
Như vậy ta nhận được hai nghiệm của hệ: (0, 29 , 5) và (5, 92 , 0). Kiểm tra
trực tiếp cho thấy hệ hai vectơ A2 = (−2, 2)T , A3 = (3, −1)T và A1 =
(3, −1)T , A2 = (−2, 2)T là độc lập tuyến tính, nên cả hai nghiệm trên đều là
các đỉnh không suy biến của tập lồi đa diện đã cho (số thành phần dương m =
2).

1.2

BÀI TỐN QUI HOẠCH TUYẾN
TÍNH CHÍNH TẮC

Qui hoạch tuyến tính là bài tốn tìm cực tiểu (hay cực đại) của một hàm
tuyến tính với các ràng buộc tuyến tính. Khi đề cập tới phương pháp giải,
người ta thường xét bài tốn qui hoạch tuyến tính ở dạng chính tắc như sau:

n
f (x) = j=1 cj xj → min
n
(1.2)
a x = bi , i = 1, 2, ..., m
 j=1 ij j
xj 0, j = 1, 2, ..., n.
trong đó aij , bi , cj là các hằng số cho trước.
Trong bài toán (1.2), f(x) gọi là hàm mục tiêu, mỗi phương trình
ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn = bi , (i = 1, 2, ..., m)
gọi là một ràng buộc đẳng thức, mỗi bất đẳng thức xj
0 gọi là một ràng
buộc về dấu (hay ràng buộc không âm). Điểm (hay vectơ) x ∈ Rn thỏa mãn
mọi ràng buộc, gọi là một điểm chấp nhận được, hay một phương án của bài
toán. Tập hợp tất cả các phương án của bài toán gọi là tập ràng buộc hay miền
chấp nhận được của bài toán và được kí hiệu là D, tức là đặt:


7
D = {x ∈ Rn : Ax = b, x

0}.

Như đã nhắc lại ở Mục 1.2, D là một tập lồi đa diện có đỉnh (nếu tập
D = ∅). Phương án đạt giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu, hay gọi là một
phương án tối ưu hay một lời giải của bài toán. Một phương án mà đồng thời
là một đỉnh của D được gọi là một phương án cực biên của bài tốn.
Kí hiệu A = (aij ) ∈ Rm×n , b = (b1 , ..., bm )T , c = (c1 , ..., cn )T và
x = (x1 , ..., xn )T . Khi đó bài tốn (1.2) có thể viết gọn lại thành:
min{f (x) = cT x : Ax = b, x

0}.

Định lý sau nêu điều kiện cần và đủ để một qui hoạch tuyến tính có lời giải:
Định lí 1.2. Nếu một qui hoạch tuyến tính có ít nhất một phương án và nếu
hàm mục tiêu bị chặn dưới trong miền chấp nhận được (đối với bài tốn min)
thì bài tốn chắc chắn có phương án tối ưu (lời giải).
Định lý sau nêu lên một tính chất đặc trưng của phương án cực biên
(đỉnh) của bài tốn qui hoạch tuyến tính chính tắc:
Định lí 1.3. Để một phương án x0 = (x01 , x02 , ..., x0n ) của bài tốn qui hoạch
tuyến tính chính tắc là phương án cực biên thì điều kiện cần và đủ là các vectơ
cột Aj của ma trận A tương ứng với các thành phần x0j > 0 là độc lập tuyến
tính.
Định lí 1.4. Nếu bài tốn qui hoạch tuyến tính chính tắc có phương án tối ưu
thì cũng có phương án cực biên tối ưu (có đỉnh tối ưu).

1.3

BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

Ta định nghĩa đối ngẫu của bài tốn qui hoạch tuyến tính chính tắc, kí
hiệu bài tốn (P):
f (x) = c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn → min
ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn = bi , i = 1, 2, ..., m
xj 0, j = 1, 2, ..., n
là bài toán ký hiệu (Q):
g(y) = b1 y1 + b2 y2 + ... + bm ym → max
a1j y1 + a2j y2 + ... + amj ym cj , j = 1, 2, ..., n.


8
Dùng kí hiệu vectơ và ma trận ta có thể viết gọn lại như sau:
Bài toán gốc:
f (x) = cT x → min,
Ax = b, x 0.
Bài toán đối ngẫu:
g(y) = bT y → max,
AT y c.
Ví dụ 1.3. Đối ngẫu của bài tốn qui hoạch tuyến tính chính tắc:
min{x1 − 2x2 + 3x3 : x1 + x2 + x3 = 4, x1 − 2x2 = 1, x1
0, x3 0}.

0, x2

là bài tốn qui hoạch tuyến tính
max{4y1 + y2 : y1 + y2

1, y1 − 2y2

−2, y1

3}.

Định lí 1.5. (Đối ngẫu yếu) Nếu x là một phương án bất kỳ của bài toán gốc
(P) và y là một phương án bất kỳ của bài tốn đối ngẫu (Q) thì:
f (x) = c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn

g(y) = b1 y1 + b2 y2 + ... + bm ym .

Định lí 1.6. (Đối ngẫu mạnh) Nếu một qui hoạch có phương án tối ưu thì qui
hoạch đối ngẫu của nó cũng có phương án tối ưu và giá trị tối ưu của chúng
là bằng nhau.
Định lí 1.7. (Độ lệch bù yếu) Một cặp phương án x, y của hai qui hoạch đối
ngẫu (P) và (Q) là các phương án tối ưu khi và chỉ khi chúng nghiệm đúng hệ
thức:
m

xT (c − AT y) = 0 hay xj (cj −

aij yi ) = 0 với mọi j = 1, ..., n.
i=1

Ví dụ 1.4. Áp dụng Định lý (1.7) vào cặp bài tốn đối ngẫu cho ở Ví dụ 1.3,
ta thấy x và y là nghiệm tối ưu của các bài toán gốc và đối ngẫu tương ứng khi
và chỉ khi x, y thỏa mãn hệ điều kiện sau:
x1 + x2 + x3 = 4, x1 − 2x2 = 1, x1 0, x2 0, x3 0(chấp nhận được gốc)
y1 + y2 1, y1 − 2y2 −2, y1 3(chấp nhận được đối ngẫu)
x1 (1 − y1 − y2 ) = 0, x2 (−2 − y1 + 2y2 ) = 0, x3 (3 − y1 ) = 0(độ lệch bù yếu).
Kiểm tra trực tiếp cho thấy rằng x∗ = (3, 1, 0) và y ∗ = (0, 1) thỏa mãn hệ
điều kiện trên. Vì thế, x∗ là phương án tối ưu của bàn toán gốc và y ∗ là phương

án tối ưu của bài toán đối ngẫu tương ứng và ta có hệ thức f (x∗ ) = g(y ∗ ) = 1.


9

1.4

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

Xét qui hoạch tuyến tính chính tắc:
(P)
min{f (x) = cT x : Ax = b, x
Rm , c ∈ Rn , x ∈ Rn .
Bài toán đối ngẫu của (P) có dạng:
(Q)

max{g(y) = bT y : AT y
T

0}, A ∈ Rm×n , b ∈

c}

T

= max{b y : A y + s = c, s

0}.

Định nghĩa 1.10. Ma trận con B cấp m×m của A gọi là cơ sở nếu rankB =

m.
Với cơ sở B = {Aj1 , Aj2 , ..., Ajm } của A, ta cũng gọi J = {j1 , j2 , ..., jm }
là cơ sở của A.
Đặt N = {Ak : k ∈
/ J}, xB = (xj : j ∈ J)T , xN = (xj :
T
j ∈
/ J) , cB = (cj : j ∈ J), cN = (cj : j ∈
/ J). Khi đó, x, c ∈ Rn
T
T
tách thành x = (xB , xN ), c = (cB , cN ) (vectơ hàng). Do rank B =
m nên tồn tại B −1 . Mỗi cột Ak của A được biểu diễn: Ak = Bzk với
zk = B −1 Ak , (k = 1, ..., n).
Hệ Ax = b ⇔ BxB + N xN = b ⇒ xB = B −1 b − B −1 N xN và
f (x) = cT x = cB xB + cN xN = cB B − 1b − ∆N xN với ∆N = {Dk =
cB zk − ck , k ∈
/ J}. Số ∆k gọi là ước lượng của biến xk (k ∈
/ J).
Định nghĩa 1.11. Cơ sở B gọi là chấp nhận được gốc nếu B −1 b 0, gọi là
chấp nhận được đối ngẫu nếu ∆N
0 và gọi là cơ sở tối ưu nếu B −1 b 0
và ∆N 0.
Định lí 1.8. Nếu B là cơ sở tối ưu (tức là B −1 b

0 và ∆N

0) thì:

a) x = (xB = B −1 b, xN = 0)T là nghiệm tối ưu của bài toán gốc.

b) y T = cB B −1 , s = (sB = 0, sN = −∆N )T là nghiệm tối ưu của bài
toán đối ngẫu.
Chứng minh suy từ hệ thức đối ngẫu cT x = cB xB = cB B −1 b = y T b.
• Thuật tốn đơn hình gốc xuất phát từ một cơ sở B chấp nhận được gốc
và nghiệm cơ sở của (P): xB = B −1 b, xN = 0. Thay đổi cơ sở B cho
đến khi ∆N 0.


10
Định lí 1.9. (Dấu hiệu bài tốn có giá trị tối ưu vô cực) Nếu với cơ sở B
chấp nhận được gốc tồn tại chỉ số k ∈
/ J sao cho ước lượng ∆k > 0 và
zjk 0, ∀j ∈ J thì bài tốn gốc (P) đã cho có giá trị tối ưu vơ cực (−∞ đối
với bài tốn min).
Lưu ý: Trong q trình giải bài tốn qui hoạch tuyến tính theo thuật tốn đơn
hình gốc, ở mỗi vịng lặp ta cần lưu giữ và biến đổi các thơng tin:
• xB = B −1 b: giá trị các biến cơ sở và CB B −1 b: giá trị hàm mục tiêu
tương ứng.
• B −1 N : ma trận hệ số khai triển của các vectơ ngoài cơ sở theo cơ sở
B.
• ∆N = cB B −1 N − cN : vectơ ước lượng của các biến ngồi cơ sở.
Thơng tin này được ghi lại trong một bảng chữ nhật cấp (m + 1) × (n −
m + 1), gọi là bảng đơn hình:

B −1 b

B −1 N

cB B −1 b ∆N = cB B −1 N − cN

11

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH
CẢI BIÊN
Chương này trình bày phương pháp đơn hình cải biên giải qui hoạch
tuyến tính chính tắc: ý nghĩa của sự cải biên, cách tính truy hồi ma trận nghịch
đảo, sơ đồ tính tốn và ví dụ số minh họa thuật toán.

2.1

Ý NGHĨA CỦA SỰ CẢI BIÊN

Xét bài tốn qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc:
min{f (x) = cT x : Ax = b, x

0}

(2.1)

Giả sử ta có phương án cực biên x với cơ sở J = {i1 , i2 , ..., im }, (Ai1 , Ai2 , ..., Aim )
là các vectơ cơ sở và xi1 , xi2 , ..., xim là các biến cơ sở). Đặt:
B = (Ai1 , Ai2 , ..., Aim ) - ma trận cơ sở (m hàng, m cột).
Zk = (z1k , z2k , ..., zmk )T - vectơ cột hệ số khai triển của Ak theo cơ sở B.
cB = (ci1 , ci2 , ..., cim )T - vectơ hàng gồm hệ số mục tiêu của các biến cơ sở.
xB = (xi1 , xi2 , ..., xim )T - vectơ cột ghi giá trị các biến cơ sở.
Theo phương pháp đơn hình ta đã có cơng thức tính sau:
xB = B −1 b, f (x) = (cB )T B −1 b, Zk = B −1 Ak , k = 1, 2, ..., n.

∆k = cB Zk − ck , gọi là các ước lượng của biến xk , k = 1, 2, ..., n. (2.2)


12
Phương pháp đơn hình giải qui hoạch tuyến tính (2.1) cần tính tốn trên ma
trận cỡ m × n. Phương pháp đơn hình cải biên sử dụng các cơng thức (2.2)
nên ở mỗi vòng lặp chỉ cần lưu giữ và biến đổi ma trận cơ sở nghịch đảo B −1
cỡ m × m, khơng cần lưu giữ và biến đổi ma trân điều kiện ban đầu (cỡ m × n
lớn hơn rất nhiều), nhờ đó tiết kiệm được bộ nhớ và thời gian tính tốn giải
bài tốn. Phương pháp đơn hình cải biên đặc biệt thích hợp và có hiệu quả đối
với các bài tốn thực tế có kích thước lớn, có số ràng buộc m nhỏ hơn nhiều
so với số biến n của bài toán và A là ma trận thưa (tỉ lệ các phần tử khác 0
trong A rất nhỏ, chỉ khoảng từ 5% đến 10%).

2.2

CÔNG THỨC TRUY HỒI TÍNH
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO B −1

Khi đưa vectơ phi cơ sở As và cơ sở B và loại khỏi B vectơ Air với
zrs = 0, ta nhận được cơ sở mới:
B = (Ai1 , ..., Air −1 , As , Air +1 , ..., Aim ),
nghĩa là B’ chỉ khác B bởi một vectơ As thay cho Air (ở vị trí thứ r trong cơ
sở).
Kí hiệu:
Q = B −1 = (qik )m×n , Q = (B )−1 = (qik )m×n .
Khi đó cơng thức liên hệ giữa các phần tử qik và qik như sau:
qik =

)zis , i = r

qik − ( qzrk
rs
qrk
zrs , i = r

i, k = 1, ..., m.

(2.3)

hay ở dạng ma trận ta có (B )−1 = Ur B −1 , trong đó:

1
 ..
.

0

.
Ur =  ..

0

.
 ..
0

...
..
.
...

...
...
..
.
...

0
..
.
1
..
.
0
..
.
0

− z1,s
rs
..
.
z
− r−1,s
zrs

z

0
..
.

0

...
..
.
...

1
zrs
zr+1,s
− zrs

0
1
..
.
0

...
...
..
.
...

−

..
.
z

m,s

zrs


0
.. 
.

0


0

0

.. 
.
1

(2.4)


13
là một ma trận sơ cấp, nghĩa là nó chỉ khác ma trận đơn vị ở một cột duy nhất
(cột thứ r).

2.3

THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH CẢI BIÊN

Dantzig và Orchard - Hays (1954) đã đề ra một thuật tốn đơn hình cải
biên để giảm bớt khối lượng tính tốn và thơng tin lưu trữ ở mỗi bước lặp đơn
hình.
Xét bài tốn qui hoạch tuyến tính chính tắc ở dạng (2.1). Quá trình giải bài
tốn đơn hình cải biên sử dụng hai bảng: Bảng 2.1 và Bảng 2.2.
Trong Bảng 2.1, m+1 dòng đầu lưu giữ các hệ số aij , bi , cij của bài tốn
cần giải (2.1). Từ dịng m+2 trở đi ghi các ước lượng ∆k của biến xk ở mỗi
vịng lặp tính theo cơng thức (2.2).

Dịng 0

b

A1 . . . As . . . An

Dòng 1
..
.

b1
..
.

a11 . . . a1s . . . a1n
.. . . . .. . . . ..
. . .

Dòng m

bm am1 . . . ams . . . amn

Dòng m+1

c

c1 . . . cs . . . cn

Dòng m+2

∆1

∆1 . . . ∆s . . . ∆n

Dòng m+3

∆2

∆1 . . . ∆s . . . ∆n

Bảng 2.1:
Bảng 2.2 gọi là bảng đơn hình cải biên. Cột đầu tiên ghi tên các biến cơ
sở. Cột cB ghi hệ số mục tiêu của các biến cơ sở. Trong cột thứ ba (Phương
án): m phần tử đầu là giá trị các biến cơ sở, phần tử cuối là giá trị hàm mục
tiêu tương ứng. Ma trận cơ sở nghịch đảo B −1 được ghi ở m cột tiếp theo. Cột
Zs (cột quay): m phần tử đầu ghi các hệ số khai triển của vectơ đưa vào cơ sở
As theo các vectơ cơ sở, phần tử cuối ghi ước lượng ∆s . Dịng phía dưới ma


14

trận nghịch đảo ghi phương án của bài toán đối ngẫu, nó được tính theo cơng
thức:
(qm+1,1 , qm+1,2 , ..., qm+1,m ) = cB B −1
(2.5)

Biến

cB Phương

cơ sở

án

Ma trận B −1

Zs

xi1
..
.

ci
..
.

q10
..
.

q11 . . . . . . q1m

.. . . . . . . ..
.
.

z1s
..
.

xir
..
.

cir
..
.

qr0
..
.

qr1 . . . . . . qrm
.. . . . . . . ..
.
.

zrs
..
.

xim

cim qm0

qm1 . . . . . . qmm

zms

qm+1,0 qm+1,1 . . . . . . qm+1,m

θ

∆s

Bảng 2.2: Bảng đơn hình cải biên
Thuật tốn đơn hình cải biên gồm các bước sau:
Bước 0 (Xây dựng bảng đơn hình ban đầu). Giả sử lúc đầu có phương án cực
biên x với cơ sở J. Đặt B = {Aj : j ∈
/ J}. Tính ma trận nghịch đảo và ghi
nó vào Bảng 2.2. Tính m phần tử đầu của cột Phương án theo (2.2) và tính
qm+1,0 = (cB )T B −1 b. Các phần tử qm+1,k (k = 1, ..., m) là tích của vectơ
cB với vectơ cột thứ k của B −1 theo cơng thức (2.5).
Bước 1 (Kiểm tra tối ưu và tìm cột quay) Tính ước lượng của biến xk theo
cơng thức (2.2): ∆k là tích của dịng m+1 của Bảng 2.2 với cột Ak ở Bảng
2.1, rồi trừ ck . Nếu ∆k
0∀k = 1, ..., n thì phương án cực biên hiện có là
tối ưu. Trái lại, ta xác định vectơ As đưa vào cơ sở theo công thức (hoặc chọn
ngẫu nhiên nếu có nhiều chỉ số đạt max):
∆s = max{∆k : ∆k > 0, k ∈
/ J}.
Bước 2: (Kiểm tra bài tốn khơng có lời giải hữu hạn và tìm dịng quay).

Trước hết tính cột quay (cột Zs ở Bảng 2.2) theo công thức Zs = B −1 As , tức


15
là nhân từng dòng của ma trận nghịch đảo B −1 với cột As ở Bảng 2.1 ta sẽ
được từng phần tử của cột quay Zs của Bảng 2.2. Phần tử cuối của cột này là
∆s (đã tính ở trên).
Nếu zis 0∀i = 1, ..., m thì hàm mục tiêu của bài tốn (2.1) khơng bị chặn
dưới: dừng tính tốn. Trái lại, xác định vectơ loại khỏi cơ sở theo công thức:
θ0 =

qr0
zrs

= min{ zqi0
: zis > 0}
is

Cột θ trong Bảng 2.2 dùng để ghi các tỉ số zqi0
đối với zis > 0.
is
Bước 3:(Biến đổi bảng đơn hình cải biên) Biến cơ sở ở dòng r là xir bị loại
khỏi cơ sở, thay vào đó là biến xs . Trong cột cB thay hệ số mục tiêu ở dòng
r là cir bởi cs . Biến đổi ma trận (qik )(m+1)×(m+1) (i = 1, 2, ..., m + 1; k =
0, 1, ..., m) theo công thức tương tự (2.3) với cột quay Zs , dòng quay r và
phần từ quay zrs > 0. Cụ thể:
a) Chia mỗi phần tử ở dòng r cho zrs . Dòng nhận được gọi là dịng chính.
b) Lấy mỗi dịng khác trừ tích của dịng chính với phần tử của dịng đó trên
cột quay, tức là trừ (dịng chính) ×zis .
Quay trở lại thực hiện Bước 1.

2.4

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 2.1. Giải bài tốn sau theo thuật tốn đơn hình cải biên:

f (x) = 26x1 + 35x2 + 34x3 + 37x4 + 25x5 + 31x6 → min
28x1 + 34x2 + 28x3 + 30x4 + 30x5 + 34x6 = 32
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 1
x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0.
Số liệu ban đầu của bài toán và các ước lượng ∆k ở mỗi vòng lặp ghi ở
Bảng 2.3:
Các bước giải bài toán được nêu trong ba bảng đơn hình cải biên Bảng 2.4,
Bảng 2.5 và Bảng 2.6:
Bảng 2.4: Cơ sở ban đầu gồm hai vectơ A1 và A2 với:
17
1
34 ⇒ B −1 = − 6
3
B = (A1 , A2 ) = 28
1
1
1
− 14
6
3
Phương án cực biên ban đầu và biến đối ngẫu tương ứng là:

16
b A1 A2
32 28 34
1
1 1
c 26 35
∆1
∆2
∆3

0
-1
-4

0
0
-4

A3
28
1
34

A4
30
1
37

A5 A6
30 34

1 1
25 31

-8 -8
-14 -12
-12 -12

4
0
0

4
4
0

Bảng 2.3:
Biến cơ sở Cơ bản Phương án
x1

26

x2

35

B −1
− 16

1
3

2
3

θ

2
3
1
3

1
2

17
3
− 14
3

1
6

32

Z5

1,5

-16 4

Bảng 2.4:

1
x1 = − 6
x2
1
6

17
3
− 14
3

× 32
1 =

(y1 , y2 ) = (26, 35)

1
3
2
3

với f1 =
− 16
1
6

17
3
− 14
3

1
3

× 26 +

2
3

2

× 35 = 32.

= ( 32 , −16).

Tính các ước lượng ∆1 = AT y − c = (0 0
−8
− 8 4 4).
Đưa vectơ A5 vào cơ sở. Loại vectơ A1 khỏi cơ sở. Bảng 2.4 được biến đổi
theo Bước 3 của thuật toán nêu trên, với phần tử quay z15 = 32 (số in đậm).
Kết quả ta nhận được Bảng 2.5
Tính các ước lượng ∆2 = AT y−c = (−1 0 −14 −12 0 4).
Đưa vectơ A6 vào cơ sở. Loại vectơ A2 khỏi cơ sở. Biến đổi Bảng 2.5 ta thu
được Bảng 2.6.
Tính các ước lượng ∆3 = AT y−c = (−4 −4 −12 −12 0 0).


17
Biến cơ sở Cơ bản Phương án
x5

25

x2

35

1
2
1
2

B −1
− 14

17
2
− 15
2

1
4

30

2,5

Z6

θ

0

−

1

1
2

-50

4

Bảng 2.5:
Biến cơ sở Cơ bản Phương án
x5

25

x6

31

B −1

1
2
1
2

− 14

28

1, 5

1
4

17
2
15
2

−
−

− 20

Bảng 2.6:
Mọi biến có ước lượng nhỏ hơn hay bằng 0 nên dừng tính tốn: Phương án tối
ưu của bài toán là
x∗ = (0

0

0

0

0, 5

0, 5)T

và giá trị tối ưu của hàm mục tiêu fmin = f (x∗ ) = 28.
Ví dụ 2.2. Giải bài tốn sau bằng phương pháp đơn hình cải biên:

f = 2x + x2 + x3 + x4 → max

4x1 + x12 + 2x
3 + x4 = 8
2x1 + x2 + 2x3 − x4 = 6

2x1 − x2 + 2x3 + x4 = 2
x1 0, x2 0, x3 0, x4 0
Ta chuyển sang bài tốn tìm min của -f, rồi thêm vào ba biến giả x5 , x6 , x7
0 và xét bài toán (M) với M=10:
Áp dụng thuật toán, ta được lời giải tối ưu x∗ = (0; 3; 2; 1) với giá trị tối
ưu của hàm mục tiêu fmax = 6.


18

Chương 3

QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH
VỚI RÀNG BUỘC SUY RỘNG
Chương này đề cập tới bài tốn qui hoạch tuyến tính với ràng buộc suy
rộng, chứng minh sự tương đương với bài tốn qui hoạch tuyến tính và trình

bày thuật tốn giải bài tốn dựa trên áp dụng phương pháp đơn hình cải biên
và kĩ thuật sinh cột theo nguyên lý phân rã trong qui hoạch tuyến tính. Cuối
chương nêu ví dụ minh họa bằng số cụ thể.

3.1

NỘI DUNG BÀI TOÁN

Qui hoạch tuyến tính với ràng buộc suy rộng là bài tốn có dạng:
n

(P )

f (x) = cT x =

cj xj → min
j=1

với các điều kiện:

n

Aj x j = b
j=1

Aj ∈ Dj , j = 1, 2, ..., n
xj 0, j = 1, 2, ..., n.


19

trong đó x ∈ Rn , b ∈ Rm , c ∈ Rn , Dj (j = 1, ..., n) là tập lồi đa diện cho
trước trong Rm , Aj ∈ Rm là vectơ được chọn là điểm tùy ý trong Dj . Bài
toán này được nêu ra trong [4] và theo [5, tr.267], được Philip Wolfe nghiên
cứu đầu tiên. Tên gọi của bài toán xuất phát từ nhận xét là bài toán (P) trở
thành bài toán qui hoạch tuyến tính thơng thường khi A1 , ..., An là các vectơ
hằng, nghĩa là khi mỗi tập Dj gồm duy nhất một phần tử. Còn ở đây Aj là
các vectơ biến cần được xác định, vì thế các hàm ràng buộc trong bài tốn là
hàm song tuyến tính và (P) là một bài toán tối ưu phi tuyến với ràng buộc tồn
phương khơng lồi (xem [6]). Tuy nhiên, sự giống nhau giữa bài tốn qui hoạch
tuyến tính và qui hoạch tuyến tính với ràng buộc suy rộng gợi ra ý tưởng xây
dựng thuật toán hiệu quả giải (P). Thuật toán ban đầu do Wolfe đề xuất (xem
[5]) và thuật toán tương tự nêu trong [6] có thể xem như những mở rộng trực
tiếp của phương pháp đơn hình Dantzig (xem [1], [3]).

3.2

BÀI TỐN QUI HOẠCH TUYẾN
TÍNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Giả sử Dj là tập lồi đa diện bị chặn và có nj đỉnh. Kí hiệu Akj (k =
1, ..., nj ) là các đỉnh của Dj , (j = 1, ..., n). Theo định lý biểu diễn tập lồi đa
diện, mỗi x ∈ Dj có thể viết dưới dạng:
nj

nj

λk Akj với

x=

λk = 1, λk

k=1

0(k = 1, ..., nj ).

k=1

Định lý sau nêu bài tốn qui hoạch tuyến tính (theo các biến yjk ) tương
đương với bài tốn (P):
Định lí 3.1. Bài tốn (P) tương đương với qui hoạch tuyến tính sau, kí hiệu
(LP):
nj

n

g(y) =

cj yjk ) → min

(
j=1 k=1

với điều kiện:

nj

n

(

j=1 k=1

Akj yjk ) = b


20
yjk 0, k = 1, ..., nj ; j = 1, ..., n
trong đó Akj ∈ Rm (k = 1, ..., nj ) là các đỉnh của Dj (j=1,..., n).

3.3

THUẬT TỐN GIẢI

3.3.1

Mơ tả thuật tốn

Ta sẽ giải (P) bằng cách giải bài toán (LP) tương đương. Bài toán này
gồm rất nhiều biến (n1 + ... + nn biến.) Hơn nữa, các cột hệ số Akj =
(ak1j , ak2j , ..., akmj )T (các đỉnh của Dj ) không cho ở dạng tường minh. Để
khắc phục các khó khăn này, ta sẽ vận dụng phương pháp đơn hình cải biên,
kết hợp với kỹ thuật sinh cột của nguyên lý phân rã trong qui hoạch tuyến tính.
Khơng giảm tổng qt, ta có thể xem b 0.
Cụ thể, để giải (LP) theo phương pháp đơn hình cải biên, tại mỗi bước lặp
ta chỉ cần biết m vectơ điều kiện (độc lập tuyến tính) tạo nên cơ sở của bài
tốn. Cách tìm cơ sở ban đầu sẽ được nói sau. Cịn việc kiểm tra cơ sở hiện có
đã tối ưu chưa và việc chọn vectơ đưa vào cơ sở (khi chưa đạt tối ưu) sẽ được
tiến hành nhờ giải n bài tốn tuyến tính phụ trên n tập Dj .
Vòng lặp k= 1, 2,... gồm các bước sau:
Bước 1. Giả sử cơ sở Bk gồm m vectơ độc lập tuyến tính, lấy từ tập đỉnh của

tất cả các đa diện lồi Dj với mọi j. Kí hiệu [Bk ]−1 là ma trận nghịch đảo của
Bk . (Bk và [Bk ]−1 xem như đã biết). Theo thuật tốn đơn hình, giá trị các
biến cơ sở là yB = [Bk ]−1 b 0 (mọi biến phi cơ sở nhận giá trị 0). Giá trị
hàm mục tiêu tương ứng là g(y) = [cB ]T xB , trong đó cB là vectơ gồm các
hệ số mục tiêu của các biến cơ sở trong bài toán cần giải.
Bước 2. Tính π = (π1 , ..., πm ) theo cơng thức π = (cB )T (Bk )−1 .
Bước 3. Với mỗi j=1,..., n, giải bài tốn tuyến tính phụ (biến Aj ):
(LPj )
θj = max{π T Aj − cj : Aj ∈ Dj }.
(Nếu bài toán phụ thứ j nào đó khơng chấp nhận được, tức Dj = ∅, thì từ đó
về sau ta khơng cần giải bài tốn phụ thứ j đó nữa). Xét hai khả năng:
a) Nếu θj

0∀j = 1, ..., n thì với mọi đỉnh Akj (k = 1, ..., nj ) của Dj ta có:
∆kj ≡ π T Akj − cj θj 0∀k = 1, ..., nj ; j = 1, ..., n.
Chứng tỏ Bk là cơ sở tối ưu và y = (yB , 0) là một nghiệm tối ưu của
(LP).

b) Trái lại (có θj > 0), cơ sở Bk chưa tối ưu. Đặt θs = max{θj : θj > 0}


21
và đưa vào cơ sở Bk vectơ Aks , 1 k ns , là đỉnh của Ds thỏa mãn
θs = π T Aks − cs . Vectơ loại khỏi cơ sở Bk được xác định theo thủ tục
đơn hình. Kết quả nhận được cơ sở mới Bk+1 với [Bk+1 ]−1 được tính
theo thuật tốn đơn hình cải biên. Tăng k thành k+1 và thực hiện tiếp
vòng lặp k mới.

3.3.2

Xây dựng nghiệm cơ sở ban đầu

Để xây dựng nghiệm cơ sở ban đầu cho thuật tốn, ta có thể dùng phương
pháp 2 pha: thêm vào (LP) các biến giả tạo (z1 , z2 , ..., zm ) và xét bài toán mở
rộng:
(z) = z1 + z2 + ... + zm → min
với các điều kiện:
nj

n

(

Akj yjk ) + Im z = b

j=1 k=1

yjk

0, k = 1, ..., nj ; j = 1, ..., n
z = (z1 , z2 , ..., zm )T 0

trong đó Akj ∈ Rm (k = 1, ..., nj ) là đỉnh của Dj (j = 1, ..., n), Im là ma trận
đơn vị.
Áp dụng thuật toán nêu trên giải bài toán này với cơ sở ban đầu B1 = Im
(do đó [B1 ]−1 = Im ) và các biến cơ sở z1 , z2 , ..., zm (zi = bi 0 với mọi i theo giả thiết).
Giả sử z ∗ là nghiệm tối ưu thu được. Nếu (z ∗ ) > 0 thì kết luận bài tốn (LP),
do đó cả bài tốn (P) khơng có nghiệm chấp nhận được và dừng quá trình giải.
Trái lại ( (z ∗ ) = 0), loại khỏi cơ sở tối ưu (nếu cần) mọi biến zj , ta sẽ nhận
được cơ sở ban đầu cho bài tốn (LP).

3.4

VÍ DỤ MINH HỌA

Giải bài toán (P) với các dữ liệu sau đây: số ràng buộc m = 2, số biến n
= 3, vectơ hệ số mục tiêu c = (1, 2, −1)T và các tập lồi đa diện bị chặn D1 là
hình chữ nhật có n1 = 4 đỉnh A11 , A21 , A31 , A41 ; D2 là tam giác có n2 = 3 đỉnh
A12 , A22 , A32 ; D3 gồm n3 = 1 đỉnh A13 với:


22
−2
1
1
−1
1
2
3
4
1
2
A11 = −2
−1 , A1 = 2 , A1 = 2 , A1 = −1 , A2 = −1 , A2 = −2 ,
1
3
1
A32 = 2
1 , A3 = 3 , b = 5 .
Dữ liệu bài tốn (P) có thể viết ở Bảng 3.1: Dòng đầu tiên ghi các biến

x1 , x2 , x3 ; dòng thứ hai ghi hệ số của các biến này trong hàm mục tiêu c =
(c1 , c2 , c3 ); hai dòng tiếp theo ghi hệ số của các vectơ biến A1 , A2 , A3 . Dòng
cuối cùng ghi tên các tập lồi đa diện D1 , D2 , D3 (các biến xj 0, aij tùy ý).
Cột tận cùng bên phải ghi các hệ số vế phải b.
Tương tự, dữ liệu bài toán (LP) tương đương ghi ở Bảng 3.2 (yjk 0).

x1 x2 x3
0
1
2 -1 = f (min)
a11 a12 a13
=3;
a21 a22 a23
=5.
D1 D2 D3
Bảng 3.1: Dữ liệu bài toán qui hoạch tuyến tính với ràng buộc
suy rộng (P)

y11 y12 y13 y14
1 1 1 1
-2 -2 1 1
-1 2 2 -1

y21 y22 y23
2 2 2
-1 1 2
-1 -2 1

y31
0

-1 = g(min)
1
=3,
3
=5.

Bảng 3.2: Dữ liệu bài toán (LP) tương đương
Thêm 2 biến giả tạo z1 0, z2 0 và xét bài toán mở rộng (Pha I) cho
trong Bảng 3.3
Áp dụng phương pháp đơn hình cải biên, ta giải bài toán này như sau (các
cột hệ số tương ứng với các biến yjk (k = 1, ..., nj ; j = 1, 2, 3) xem như chưa
biết, sẽ được tính khi cần).
Vịng lặp 1
Bước 1. Cơ sở ban đầu B1 gồm hai vectơ đơn vị e1 = (1, 0)T , e2 = (0, 1)T