BÀI GIẢNG vật lý 1 đại học kỹ THUẬT CÔNG NGHIỆP THÁI NGUYÊN

Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản

BÀI GIẢNG VẬT LÝ 1

GV: Phạm Thị Ngọc Dung

GV Phạm Thị Ngọc Dung

1


Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản
CHƯƠNG 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
MỤC ĐÍCH: Nắm được các khái niệm, các đại lượng dùng để khảo sát chuyển động của chất
điểm. Ứng dụng để khảo sát một số dạng chuyển động cơ đặc biệt.
NỘI DUNG CHI TIẾT:

1.1. VẬN TỐC, GIA TỐC, VẬN TỐC VÀ GIA TỐC TRONG CHUYỂN ĐỘNG
TRÒN.
1.1.1. Vận tốc - Véctơ vận tốc trong hệ tọa độ Đề các
a. Vận tốc trung bình:
Xét một chất điểm chuyển động trên quỹ đạo cong C, để xác định vị trí của
chất điểm trên quỹ đạo cong ta chọn một điểm gốc 0.
Giả sử tại thời điểm t chất điểm ở vị trí M được xác định bởi quãng đường
0M= S
Tại thời điểm t ′ = t + ∆t chất điểm ở vị trí M ′ được xác định 0 M ′ = S ′ = S + ∆S
Vận tốc trung bình : V =

•
M

•
M/

•0

∆S
(1-1)
∆t

b. Vận tốc tức thời: V = ∆lim
t →0

∆S dS
=
∆t
dt

Vận tốc tức thời có giá trị bằng đạo hàm bậc nhất hoành độ cong của chất điểm đối với thời gian.

* Vectơ vận tốc tức thời: v có
r

- Phương v : Tiếp tuyến với qũy đạo tại điểm đang xét
r

- Chiều v : Theo chiều chuyển động
r



- Độ lớn của v : v =

ds
dt

c. Vectơ vận tốc trong hệ toạ độ Đề các:
Lấy hai vị trí vô cùng gần nhau của một chất điểm

y


 
các véctơ tia r va r + dr ở các thời điểm t và t + ∆t .
   

Ta có dS = ( r + dr ) − r = dr

r
r

Vectơ vận tốc

r
r dr d r
r
r dx r dy r dz r
v=
= ( x.i + y. j + z.k ) = i +
j+ k
dt dt

dt
dt
dt
r
r
r
= vx .i + v y . j + vz .k

Độ lớn:

2
2
2
r
 dx   dy   dz 
2
2
2
v = vx + v y + vz =  ÷ +  ÷ +  ÷
 dt   dt   dt 

r
dr
M

0
z

GV Phạm Thị Ngọc Dung

(

r r
r + dr

ứng

với

M’

)
x
y

2


Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản
1.1.2.. Véctơ gia tốc: Là một đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên của véctơ vận tốc.
a. Véc tơ gia tốc trung bình:

r
Tại thời điểm t chất điểm ở vị trí M có véctơ vận tốc V
v
Tại thời điểm t ′ = t + ∆t chất điểm ở vị trí M ′ có véctơ vận

S

 

V ′ = V + ∆V

M

∆S M’

ur
v' tốc

(C)

uur
uuu
r ∆v
Véc tơ gia tốc trung bình: aTB =
∆t

r
Là độ biến thiên trung bình của v trong một đơn vị thời gian:
b. Véc tơ gia tốc tức thời (còn gọi là véctơ gia tốc):Là độ biến thiên của vận tốc ở từng thời điểm
uur
r
r
∆v d v
a = lim
=
∆t →0 ∆t
dt

c. Véc tơ gia tốc trong hệ toạ độ đề các:

r
r dv d
r
r
r
dv r dv y r dvz r
a=
= (vx .i + v y . j + vz .k ) = x i +
j+
k
dt dt
dt
dt
dt
r
r
r uu
r uu
r uu
r
= a x i + a y j + az k = a x + a y + az
- Độ lớn gia tốc:
2
2
2
r
 d 2x   d 2 y   d 2z 
2
2
2

a = ax + a y + az =  2 ÷ +  2 ÷ +  2 ÷
 dt   dt   dt 

d. Véctơ gia tốc tiếp tuyến và véctơ gia tốc pháp tuyến:
Để đơn giản ta xét một chất điểm chuyển động trịn,
tâm 0 bán kính R

- Tại thời điểm t chất điểm ở vị trí M có véctơ vận tốc V = MA




-Tại thời điểm t ′ = t + ∆t chất điểm ở vị trí M’ có V ′ = M ′A′ = V + ∆V

∆V
(*)
a = lim
∆t → 0 ∆t
 
uuur uuuur
- Tìm ∆V = V ′ − V : Từ M vẽ MB = M ′A′ .

Theo định nghĩa :

M

A

∆V = M ′A′ − MA = MB − MA = AB

Trên phương MA vẽ MC sao cho MC = V ′ .
Nên: ∆V = AB = AC + CB thay vào (*)


ta có : a = lim

∆t → 0

AC
CB
+ lim
∆t ∆t →0 ∆t

C

0
B

M’

(**)
A’

+ Véctơ gia tốc tiếp tuyến:

GV Phạm Thị Ngọc Dung

3

Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản

uuur
uuuu
r uuur
ur r
uur uur
ur
AC
MC − MA
v'−v
∆v dv
at = lim
= lim
= lim
= lim
=
∆t →0 ∆t
∆t → 0
∆t → 0 ∆t
∆t →0 ∆t
∆t
dt

- Phương: Tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểm đang xét
- Chiều: + Cùng chiều chuyển động khi vận tốc tăng (CĐ nhanh dần)
+ Ngược chiều chuyển động khi vận tốc giảm (CĐ chậm dần)
- Độ lớn: Bằng đạo hàm độ lớn vận tốc theo thời gian: at =

dv

dt

- Ý nghĩa: Gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên về độ lớn của vectơ vận tốc .
+ Véctơ gia tốc pháp tuyến:
uuu
r

uuu
r
uu
r
CB
an = lim
Vt →0 ∆t

- Phương: Là phương CB khi ∆t → 0 .
π − CMB π ∆θ
= −
2
2 2
π
Khi ∆t → 0 ⇒ M ′ → M ⇒ ∆θ → 0 ⇒ MCB →
2
uu
r uuur
uuu
r uuur
Nghĩa là: CB ⊥ AC ⇒ Phương an ⊥ AC ⇒ Phương của véctơ gia tốc pháp tuyến là vng góc

Đặt MOM ' = CMB = ∆θ ⇒ MCB = MBC =

với tiếp tuyến của quỹ đạo tại M

uu
r

- Chiều: Luôn quay về phía lõm của quỹ đạo ( an cịn gọi là gia tốc hướng tâm).

uuu
r
CB
uu
r
an = lim
∆t →0 ∆t

- Độ lớn:

(*)

Xét ∆ cân CMB ta có : CB = 2.MC.Sin
Khi ∆θ nhỏ: CB ≈ 2.v '.

CMB
∆θ
= 2.v′.Sin
2
2

∆θ

= v′.∆θ
2

Mặt khác: ∆θ = MOM ' =

MM ' ∆S
∆S
=
(Với OM = R là bán kính quỹ đạo) ⇒ CB = v′.
OM
R
R

(*’)

Thay (*’) vào (*) ta có:

v′.∆S 1
∆S 1 dS 1
v2
′
an = lim
= . lim v . lim
= .v.
= .v.v =
∆t → 0 ∆t.R
R ∆t →0 ∆t →0 ∆t R dt R
R
Vậy:

an =

v2
R

- Ý nghĩa: Vectơ gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên về phương của vectơ vận tốc.
+ Kết luận:
GV Phạm Thị Ngọc Dung

4


Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản

uu
r

ur

- Trong chuyển động trịn véctơ gia tơc có thể phân tích thành 2 thành phần an và at :
r ur uu
r
a = at + an

2

Độ lớn: a = at + an
2

2

2
 dv   v 
=  ÷ + ÷
 dt   R 

2

(1-12)

- Chú ý : + Trong trường hợp tổng quát chất điểm chuyển động trên quỹ đạo bất kỳ thì các cơng
thức trên vẫn đúng, trong đó an =

v2
(R là bán kính của đường trịn mật tiếp tại M cho biết độ
R

cong của quỹ đạo tại điểm đó).
+ Với chuyển động thẳng:
+ Với chuyển động đều:

R = ∞ ⇒ an = 0

at = 0 ⇒ a = an

1.1.3. Vận tốc góc, gia tốc góc trong chuyển động trịn
a. Véc tơ vận tốc góc:
Xét chất điểm chuyển động trên quỹ đạo trịn tâm 0, bán kính R. Trong
khoảng thời gian:t, chất điểm đi được quãng đường S, tương ứng với góc
quay θ (Tính rad)

S = R.θ (*)
Ta có :
dS
dθ
= R.
Lấy đạo hàm hai vế biểu thức (*) theo thời gian :
dt

* Vận tốc góc :

R

O

ur
ω

dθ
ω=
dt

dt

ur

r

0

dS

dθ
= R.
= R.ω
dt
dt

  
Ba véctơ ω , R, V theo thứ tự tạo thành tam diện thuận nên ta có thể
  
viết: V = ω ∧ R
GV Phạm Thị Ngọc Dung

u
r
R

M

ur
ω
ur
β

+ Liên hệ giữa ω và v của chuyển động:
V=

θ SM
’

dt

Vận tốc góc có giá trị bằng đạo hàm bậc nhất của góc quay đối với thời
gian.
- Đơn vị vận tốc góc: rad/s

* Véctơ vận tốc góc: ω có
+ Phương: ⊥ mặt phẳng quỹ đạo có gốc là tâm quỹ đạo.
+ Chiều: Nhận chiều chuyển động làm chiều quay thuận xung quanh nó.
dθ
+ Độ lớn: ω =
*Hệ quả

M

O’

R
M


v

ur
at

5


Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản
+ Liên hệ giữa an và ω :

an =

V 2 R 2 .ω 2
=
= R.ω 2
R
R

b. Véctơ gia tốc góc:
* Gia tốc góc : β =

dω d 2θ
= 2
dt
dt

Vậy gia tốc góc có giá trị bằng đạo hàm bậc nhất của vận tốc góc theo thời gian hoặc bằng đạo
hàm bậc hai của góc quay theo thời gian.
ur
- Đơn vị : rad/s2
ω
ur
ur d ω
β=
dt

*Véctơ gia tốc góc :

Có :

+ Gốc là tâm quỹ đạo.
+ Phương: Nằm trên trục của đường tròn quỹ đạo

R

O’


v

ur M
at

ur

+ Chiều: Cùng chiều với ω khi chuyển động nhanh dần

Ngược chiều với ω khi chuyển động chậm dần

ur
β

dω d 2θ
= 2
dt
dt
ur
ur
dv

d ( R.ω )
dω
= R.
= Rβ
* Hệ quả: Liên hệ giữa β và at :Thay v = R.ω vào at =
có : at =
dt
dt
dt
  
 

Ta thấy β ; R ; at theo thứ tự luôn tạo thành một tam diện thuận, do đó : at = β ∧ R

+ Độ lớn:

β=

1.2. MỘT SỐ DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CƠ ĐẶC BIỆT
1.2.1. Chuyển động thẳng biến đổi đều.
- Chuyển động biến đổi đều là trong những khoảng thời gian bằng nhau vận tốc biến thiên những
lượng bằng nhau.

  dV
= const
- Quỹ đạo là đường thẳng R = ∞ → an = 0 → a = at =
dt

- Theo định nghĩa: Trong khoảng thời gian t (kể từ lúc t=0) vận tốc biến thiên từ V0 → V thì:
a=

V − V0
= const ⇒
t

V = V0 + at

- Mặt khác ta có : V = dS
dt
S

Lấy tích phân hai vế :

(*)

dS
= V0 + at ⇒ dS = V0 .dt + at.dt
dt

⇒
t

t

∫ dS = ∫ V0dt + ∫ at.dt , ta có

S0

0

S − S0 = V0t +

0

at 2
2

(*’)

- Liên hệ giữa vận tốc, gia tốc, quãng đường:
2
2
Rút t ừ (*) và thay vào (*’) ta có : v − v0 = 2a( s − s0 )

GV Phạm Thị Ngọc Dung

6


Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản
Trong đó S0 là tọa độ ban đầu tại thời điểm t = 0 phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ.
1.2.2. Chuyển động tròn biến đổi đều: ( β = const ; at = const )
dθ
= β .t + ω0
dt

βt 2
;
2
+ Trường hợp chuyển động tròn đều: ( ω = const ; β = 0 )

ω=

Vận tốc góc: ⇒ ω =
Chu kỳ: T =

θ = ω0t +

;

ω 2 − ω0 2 = 2.β .θ

2π
= 2π . f
T

2π
ω

Tần số: f =

1 ω
=
T 2π





1.2.3. Chuyển động với gia tốc không đổi : ( a = g )
r

ur

a. Chuyển động theo 1 phương : a = ± g ; vt = v0 ± g .t ;
s = s0 + v0 .t ±

y

gt 2
2

0

0

y


v0

v0

h

0

0

h

Trường hợp 1 : s0 = 0; a = − g

h
h

h
h
h

y

y

Trường hợp 2 : s0 = h; a = − g
Trường hợp 3 : v0 ≠ 0; a = g
Trường hợp 4 : v0 = 0; a = g

b. Chuyển động theo 2 phương:
Phân tích chuyển động của vật theo 2 phương: Theo phương ngang (ox) vật chuyển động
thẳng đều do quán tính, theo phương thẳng đứng (oy) vật chuyển động thẳng biến đổi đều dưới tác




dụng của trọng lực với gia tốc a = g

- Gia tốc: a x = 0 ; a y = ± g (Phụ thuộc cách chọn hệ toạ độ)
- Vận tốc: v = v0 + at ⇒

vx = v0 x

v y = v0 y ± gt

r uu
r uu
r
v = vx + v y độ lớn : v = vx 2 + v y 2
at 2
-Quãng đường : S = S0 + v0t +
2

x = v0 x .t
⇒

y = S0 + v0 y t ±

y
gt 2
2

* Các dạng chuyển động :
Dạng 1: Chuyển động ném lên xiên góc từ mặt đất
GV Phạm Thị Ngọc Dung

voy
0

uur
v0

α

vox

x
7


Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản
x = vx .t = v0 .Cosα .t

vx = v0 x = v0 .Cosα

;

v y = v0 y − gt = v0 .Sinα − gt

y = v0 y .t −

gt 2
gt 2
= v0 .Sinα .t −
2
2

y

uu
r
v0

Dạng 2: Chuyển động ném lên xiên góc từ độ cao h
α

x = vx .t = v0 .Cosα .t

vx = v0 x = v0 .Cosα
v y = v0 y − gt = v0 .Sinα − gt

;

gt 2
gt 2
y = y0 + v0 y .t −
= y0 + v0 .Sinα .t −
2
2

0

x

Dạng 3: Chuyển động ném ngang
x = v0 .t

vx = v0
v y = gt

y=

gt

2

0
h

2

y
0

2

2

voy

va t H =

d.

0

Độ cao cực đại mà vật có thể đạt được.

V0 sin α
g

g .t H
2

x

y

g

y max = V0 sin α .t H −

uu
r
v0

y

g

Tầm xa mà vật có thể đạt được.
2
2v0 sin α . cos α
x d = v 0 cos α .t d =

α

h

1.3. BÀI TỐN VÍ DỤ
Bài 1: Từ mặt đất một vật được bắn lên với vận tốc ban đầu V0(m/s) ,
hợp với phương nằm ngang mợt góc α . Hãy xác định:
a.
Thời gian chuyển động của vật.

2v sin α
gt 2
y d = 0 = v 0 sin α .t −
⇒ td = 0

c.

x

2

Dạng 4: Chuyển động ném xuống xiên góc từ độ cao h
x = vx .t = v0 .Cosα .t
vx = v0 x = v0 .Cosα
;
gt 2
gt 2
v y = v0 y + gt = v0 .Sinα + gt
y = v0 y .t +
= v0 .Sinα .t +

b.

uur
v0

uur
v0

α

vox

x

2

V0 . sin 2 α
2g
2

⇒

y max =

Véctơ vận tốc tại thời điểm chạm đất.



v d = v dx + v dy

⇒ v d = v dx + v dy = (v0 cos α ) 2 + (v 0 sin α − gt d ) 2
2

2

= (v 0 cos α ) 2 + (v0 sin α − 2v 0 sin α ) 2 = v0 = v0
2

e.

Véctơ vận tốc tại thời điểm t bất kỳ kể từ lúc ném.

GV Phạm Thị Ngọc Dung

8


Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản




v A = v Ax + v Ay

⇒ v A = v Ax + v Ay = (v 0 cos α ) 2 + (v0 sin α − gt A ) 2
2

2

f.
Giả sử góc α có thể thay đổi được . Hãy xác định góc α để vật có thể đạt được tầm xa
cực đại và tính giá trị cực đại đó.
2
2
2v0 sin α . cos α v0 sin 2α
x d max = v 0 cos α .t d =
=
g

g

⇒ sin 2α = 1 ⇒ α = 45 0

g.

Phương trình quỹ đạo của vật.
x = v0 cos α .t → t =
y = v 0 sin α .t −

x
v0 cos α

g .t 2 v 0 sin α .x g
x2
g
=
−
=
−
.x 2 + tgα .x
2
2
2
2
2
v0 cos α
2 v 0 cos α
2.v 0 cos α

h.
Tại thời điểm tA (s) kể từ lúc bắt đầu ném hãy xác định gia tốc tiếp tuyến , gia tốc pháp
tuyến, bán kính cong quỹ đạo.
vA y
v0 sin α − g.t A
at = g. sin ϕ = g.
= g.
vA
(v 0 cos α ) 2 + (v0 sin α − g t A ) 2
a n = g cos ϕ = g .

vA x
vA

v0 cos α

= g.

[

(v0 cos α ) 2 + (v 0 sin α − g t A ) 2

( v0 cos α ) + (v0 sin α − g t A ) 2
v2
→ R=
=
an
g .v0 . cos α

v2

an =
R

2

]

3/ 2

Bài 2: Một vô lăng đang quay với vận tốc 300 vịng/phút thì bị hãm lại. Sau mợt phút hãm, vận
tốc của vơ lăng cịn lại là 180 vịng/phút.
Tính: a) Gia tốc của vơ lăng khi bị hãm
b) Số vịng mà vơ lăng đã quay được trong thời gian mợt phút hãm đó. Coi vơ lăng chuyển
đợng chậm dần đều trong suốt thời gian hãm.
*Tóm tắt: f1 = 300 vòng/phút = 5 vòng/s
f 2 = 180 vòng/phút = 3 vòng/s

t = 1 phút = 60 s
a) β = ?
b) Số vịng quay N = ?
*Giải:
a. Vì vơ lăng chuyển động chậm dần đều nên áp dụng công thức :
ω − ω1 2π f 2 − 2π f1 2π ( f2 − f1 )
2.3,14(3 − 5)
β= 2
=
=
=
= −0, 21( Rad / s 2 )
t

t

t

60

b. Số vịng mà vơ lăng quay được trong một phút hãm:
GV Phạm Thị Ngọc Dung

9


Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản

θ
N=
, với θ là góc quay của vơ lăng trong một phút hãm
2π
1
Áp dụng công thức : θ = β .t 2 + ω1.t (Vì: ω0 = ω1 )
2
1
1
.β .t 2 + ω1t
.(−0, 21).602 + 2.3,14.60
2
2
⇒ N=
=

= 240 (vịng)
2π
2.3,14

<Vì: ω1 = 2.π . f1 >
Bài 3 . Mợt bánh xe có bán kính R = 10cm lúc đầu đứng yên, sau đó quay xung quanh trục của nó với
gia tốc góc bằng 3,14 rad/s2. Hỏi, sau giây thứ nhất:
a) Vận tốc góc và vận tốc dài của mợt điểm trên vành bánh?
b) Gia tốc pháp tuyến, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc tồn phần của mợt điểm trên vành bánh?
c) Góc giữa gia tốc tồn phần và bán kính của bánh xe (ứng với cùng một điểm trên vành bánh?
Bài giải:
a. Sau giây thứ nhất, vận tốc góc và vận tốc dài của một điểm trên vành bánh là:

ω = β .t = 3,14.1 = 3,14 ( rad / s )
v = ω .R = 3,14.0 ,1 = 0 ,314 ( m / s )
b. Gia tốc tiếp tuyến có giá trị không đổi và gia tốc pháp tuyến
a t = β .R = 3,14.0 ,1 = 0 ,314 ( m / s 2 )

a n = ω 2 .R = 3,14 2 .0 ,1 = 0 ,986 ( m / s 2 )
- Gia tốc toàn phần bằng:
a = a t + a n = 1,03 ( m / s 2 ) .
2

2

c. Góc giữa gia tốc tồn phần a và bán kính là α thoả mãn:
sin α =

a t 0 ,314
=

⇒
a
1,03

α = 17046’.

GV Phạm Thị Ngọc Dung

10


Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản
CHƯƠNG II: ĐỘNG LỰC HỌC
MỤC ĐÍCH: Khảo sát chuyển động của chất điểm khi xét đến nguyên nhân gây ra chuyển động;
Xét chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu qn tính, khơng qn tính.
NỘI DUNG CHI TIẾT:
2.1. CÁC ĐỊNH LUẬT NEWTƠN
2.1.1. Định luật I Newtơn:
- Khi 1 chất điểm cô lập (không chịu một tác dụng nào từ bên ngồi) nếu đang đứng n, nó sẽ
tiếp tục đứng n, nếu đang chuyển động thì chuyển động của nó là thẳng đều.


- Chất điểm đứng yên hay chuyển động thẳng đều: V = const
Hay nói cách khác chất điểm cơ lập bảo tồn trạng thái chuyển động, tính bảo tồn trạng thái
chuyển động được gọi là quán tính.
Vậy: Một chất điểm cơ lập bảo tồn trạng thái chuyển động của nó.
- Tính chất bảo tồn trạng thái chuyển động gọi là qn tính. Định luật I Newtơn cịn được gọi là
Định luật quán tính.
2.1.2. Định luật II Newtơn:
ur

a) Nội dung: - Chuyển động của một chất điểm chịu tác dụng của các lực có tổng hợp F ≠ 0 là
một chuyển động có gia tốc.

ur

- Gia tốc chuyển động của một chất điểm tỉ lệ với tổng hợp lực tác dụng F và tỉ lệ
ur
r F
a=
m

nghịch với khối lượng của chất điểm ấy.

(2 - 1)

b) Phương trình cơ bản của cơ học chất
ur
r
F = m.a

M

(2 - 2)

Phương trình (2-2) tương đương với 3
trình cho các thành phần vectơ:
Fx = m.ax , Fy = m.a y , Fz = m.az
ur
Chú ý: F là tổng hợp lực tác dụng:

ur
at

uu
r
Ft

phương

uu
r
an
uu
r
Fn

(2

điểm:

ur
F

- 3)

ur
uu
r
F = ∑ Fi

c) Hệ quy chiếu quán tính: Là hệ quy
chiếu
chuyển động với vận tốc khơng đổi. Phương trình (2-1) chỉ nghiệm đúng với những hệ quy chiếu
quán tính.
d) Lực tác dụng lên chuyển động cong:
r ur uu
r
ur
r
uu
r
uu
r uu
r uur
a = at + an ⇒ F = m.a = m.a t + m.an = Ft + Fn

(2 - 4)

GV Phạm Thị Ngọc Dung

11


Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản
Trong đó :

uu
r
ur

Ft = m.at : Là lực tiếp tuyến. Gây ra gia tốc tiếp tuyến, làm độ lớn vận tốc thay đổi.
uur
uu
r
Fn = m.an : Lực pháp tuyến (lực hướng tâm). Gây ra gia tốc pháp tuyến, làm vận tốc đổi hướng ()
ur
2.1.3. Định luật III Newtơn : “Khi chất điểm A tác dụng lên chất điểm B một lực F thì chất
uur
ur
uur
điểm B cũng tác dụng lên chất điểm A một lực F ′ . Hai lực F và F ′ tồn tại đồng thời cùng

phương, ngược chiều và cùng cường độ ”
Hay : Tổng hình học của lực tương tác giữa 2 chất điểm bằng 0.
ur uur
F + F′ = 0
ur
F : Gọi là lực tác dụng ;

Quy ước :

(2 - 5)

uur
F ′ : Gọi là phản lực

- Hệ quả: Tổng các nội lực của 1 hệ chất điểm cơ lập (hệ kín) bằng
khơng.



F′
A


F′

A

B
F


F

B

2.2. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐỘNG LƯỢNG, MÔ MEN ĐỘNG LƯỢNG.
2.2.1. Động lượng - Các định lý về động lượng :
uu
r

r

a. Động lượng: K = m.v

(2 - 6)

- Đặc điểm: Véc tơ động lượng của một chất điểm tại mỗi thời điểm luôn cùng phương, chiều với
u
r

véc tơ vận tốc
L
- Đơn vị động lượng: kg.m/s
ur
b. Các định lý về động lượng :
F
uu
r
r
r
0
uu
r
r
r ur
dK
dv
r
Từ biểu thức K = m.v ⇒
= m.
= m.a = F (2 - 7)
dt
dt
r
r
(C)
M vr u
K
=
mv

.
Định lý 1: Đạo hàm véctơ động lượng của mợt chất điểm đối
với thời gian có giá trị bằng lực hay (tổng hợp các lực) tác dụng lên chất điểm đó.
uu
r
uu
r ur
d K ur
- Từ biểu thức
= F ⇒ d K = F .dt
dt
K2

Tích phân hai vế :

 t2 
∫ dK = ∫ F .dt

K1

uur uur
K1 → K 2 ) =>

(Trong khoảng thời gian từ t1 → t2 , động lượng biến thiên từ

t1



K 2 − K1 = ∆K =

t2


F
∫ .dt

(2 - 8)

t1
t2



Trong đó ∫ F .dt gọi là xung lượng của lực trong trong khoảng thời gian ∆t = t2 = t1
t1

GV Phạm Thị Ngọc Dung

12


Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản
Định lý 2: Độ biến thiên động lượng của một chất điểm trong mợt khoảng thời gian nào đó có giá
trị bằng xung lượng của lực (hay tổng hợp lực) tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó
t 2

ur
-Từ biểu thức (2-8) Nếu F = Const thì ∆K = F ∫ dt = F .∆t

Hay :

t1

∆K 
= F (2 - 9)
∆t

Vậy: Độ biến thiên động lượng của chất điểm trong một đơn vị thời gian có giá trị bằng lực tác
dụng lên chất điểm đó.
c. Ý nghĩa của động lượng và xung lượng:
* Động lượng:
- (Kết hợp cả khối lượng và vận tốc) đặc trưng cho chuyển động về mặt động lực học.
- Trong các hiện tượng va chạm, động lượng là một đại lượng đặc trưng cho khả năng truyền
chuyển động.
Ví dụ: 1 vật có khối lượng m1 chuyển động với vận tốc v1 đến va chạm với vật m2 đang đứng yên
(v2 = 0), sau va chạm 2 vật cđ với vận tốc v 1’ và v2’. Giá trị v2’ phụ thuộc vào m1 và v1 tức là phụ
thuộc K1= m1.v1
t2

* Xung lượng :



∫ F .dt

là đại lượng đặc trưng cho tác dụng của lực trong khoảng thời gian nào

t1

đó.
Từ (2-8) và (2-9) thấy: Tác dụng của lực không những phụ thuộc vào cường độ lực mà còn phụ
thuộc thời gian tác dụng.
C- Ứng dụng của các định lý về động lượng: Dùng để giải quyết các bài tốn va chạm.
2.2.2. Mơmen động lượng - Định lý về Mômen động lượng:
a. Mômen của của một vectơ đối với một điểm cố định trong không gian.
uur

ur

ur

* Định nghĩa: Mômen của V đối với O là một vectơ ký hiệu là M / o (V) xác định bởi một tích
uur
ur uuuu
r ur r ur
M / o (V) = OM ∧ V = r ∧ V

véctơ:

(2 - 10)

- Có gốc tại 0

ur

- Có phương vng góc với mặt phẳng xác định bởi 0 và V .

r

ur

- Chiều là chiều quay thuận đối với chiều quay từ r sang V theo
góc nhỏ nhất.

ur

- Có độ lớn: M / o(V) = r.V.Sinα = d.V
* Tính chất:
uur

ur

ur

uu
r
M

(2– 11)
ur

r
r

- M / o (V) = 0 khi V = 0 hay khi d = 0, nghĩa là V có phương đi
qua 0
GV Phạm Thị Ngọc Dung

M

O
d
H

u
r
V

13

A


Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản
- Mômen của 1 véc tơ đối với O là một hàm tuyến tính của vectơ đó:

uur
uu
r uu
r uur
uu
r uur
uu
r
M / o (V1 + V2 ) = M / o (V1) + M / o (V2 )
uur
ur
uur
ur

M / o (r.V) = r.M / o (V)
uu
r
uu
r
uu
r uu
r
uur
uu
r uur
uu
r
- Khi V1 và V2 cùng phương ngược chiều, cùng độ lớn: V1 + V2 = 0 thì: M / o (V1) + M / o (V2 ) = 0

b. Định lý về Mômen động lượng:

ur

- Xét chuyển động của chất điểm M trên một quỹ đạo (C) dưới tác dụng của một lực F , ta có:
ur
r
dK d(mv
. ) ur
=
=F
dt
dt

(*)

r

uuuu
r

Chọn hệ quy chiếu gốc 0, vị trí của chất điểm M được xác định bởi bán kính véctơ r = OM , nhân
r

hữu hướng 2 vế của (*) với r :

r
r d(mv
. ) r ur
r∧
= r∧F
dt

(**)

Vế trái:

r
r
uu
r
ur
ur
r dr
r r d(mv)
r d(mv) d r ur

r ∧ d(mv
.) d r
= (r ∧ mv
. ) = ∧ mv
. +r∧
= 0+ r ∧
= (r ∧ K )
dt
dt
dt
dt
dt
dt
r
r
r
r
d r ur r ur
dr r
dr
(r ∧ K ) = r ∧ F
(Vì: = v// mv
(2 – 12)
. →
∧ mv
. = 0 ) ; (**) ⇔
dt
dt
dt

Trong đó:

r ur ur
r ∧ K = L : Vectơ mômen động lượng của chất điểm đối với điểm 0
r ur
ur
ur
r ∧ F = M / o(F ) : Mômen của lực F đối với 0.
ur
ur
dL
(2 – 12) ⇔
(2 - 13)
= M / o(F )
dt

* Định lý về mômen động lượng: Đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng đối với điểm
0 của một chất điểm chuyển động bằng tổng mômen đối với 0 của các ngoại lực tác dụng lên chất
điểm.
* Hệ quả: Trường hợp chất điểm chuyển động luôn luôn chịu tác dụng của một lực xuyên tâm
ur

(phương F luôn luôn đi qua 0 cố định):

ur
ur
ur
ur
ur
dL

M / o(F ) luôn luôn bằng 0 →
= 0 ⇒ L = Const , phương L không đổi theo thời gian, L ln
dt
ur
r
ur
r
ur
vng góc với mặt phẳng (0, K = mv
. ). Hay mặt phẳng (0, K = mv
. ) là

một mặt phẳng cố định, nghĩa là chất điểm M luôn luôn cố định trong
một mặt phẳng cố định.
GV Phạm Thị Ngọc Dung

L

ur
ω

O

14 r

v

R
M

Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản
c.Trường hợp chuyển động tròn: Nếu M chuyển động trên quỹ đạo trịn (0, R):
- Mơmen động lượng của chất điểm:
ur
L = R.mv
. = (mR
. 2 ).ω

(Vì: v = R.ω )

Đặt: mR
. 2 = I ( Là mơmen qn tính của chất điểm đối với 0)

ur
Ta có: L = I .ω
(2-14)
ur
ur
ur
ur
Vì : ω cùng phương, chiều L nên: L = I .ω (2-15)
ur
Vậy: Vectơ mômen động lượng L của một chất điểm chuyển đợng trịn bằng tích của mơmen qn

tính của chất điểm với vectơ vận tốc góc của chất điểm ấy.
- Định lý về mômen động lượng đối với chất điểm chuyển động trịn:
ur

uu

r uu
r

uur

uu
r

uu
r

Phân tích: F = Ft + Fn mà: M / o(Fn ) = 0 (Vì: Fn luôn hướng tâm)
ur
uu
r
dL d ur uur
Biểu thức định lý:
= (I .ω ) = M / o (Ft )
dt dt

uur
ur uur
uu
r
⇒ M / o (F ) = M / o (Ft )

(2-16)

II.3. NGUYÊN LÝ TƯƠNG ĐỐI GALILÊ
2.3.1.Không gian và thời gian theo cơ học cổ điển - phép biến

đổi Galilê
a. Không gian và thời gian theo cơ học cổ điển :
Cơ học cổ điển xây dựng trên quan điểm không gian và thời gian là
tuyệt đối. Để đơn giản ta xét hai hệ tọa độ: Hệ 0xyz coi là đứng

z

y

y’

0

0’ A

B x’
x

z’


yên, hệ 0′ x ′y ′z ′ chuyển động theo chiều dương của trục 0x với vận tốc V = const ; 0 y || 0′ y′ ; 0 z ||
0′ z′ . Gắn vào mỗi hệ toạ độ một đồng hồ.

- Theo quan điểm của Newtơn:
+ Thời gian có tính tuyệt đối, khơng phụ thuộc vào hệ quy chiếu ( t = t’).
+ Vị trí khơng gian có tính tương đối phụ thuộc hệ quy chiếu. Do đó, chuyển động có tính tương
đối, phụ thuộc hệ quy chiếu.
x = x′ + OO′ ; y = y′ ; z = z′ .

(2-17)

+ Khoảng khơng gian có tính tuyệt đối khơng phụ thuộc hệ quy chiếu.
Ví dụ : Giả sử có thước AB đặt dọc theo trục 0′ x ′ .
Chiều dài AB trong hệ quy chiếu 0′ : l′ = x′B − x′A
Chiều dài AB trong hệ quy chiếu 0: l = xB − xA
Theo (2-17):

xA = x′A + OO′
xB − xA = x′B − x′A
⇒ 1
23 123
xB = xB′ + OO′ 
l
l′

Vậy: Khoảng khơng gian có tính tuyệt đối không phụ thuộc hệ quy chiếu.
GV Phạm Thị Ngọc Dung

15


Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản
b. Phép biến đổi Galilê (Trường hợp đặt biệt): Nếu 0’chuyển động thẳng đều đối với 0. Tại thời
điểm t = 0 thi 0 ≡ 0′ . Sau một khoảng thời gian t thì 00′ = v.t
của hệ 0′ ). Ta có:
- Biến đổi từ 0’ -> 0:
 x = x′ + OO′ = x′ + vt
.


 y = y′
 z = z′


(Với v là vận tốc chuyển động

- Biến đổi từ 0 ->0’
.
 x′ = x − vt

 y′ = y
 z′ = z


(2-18)

(2-19)

2.3.2. Tổng hợp vận tốc và gia tốc:
a. Tổng hợp vận tốc: Xét một chất điểm M trong 2 hệ quy chiếu 0xyz hệ quy chiếu tuyệt đối và
uuuu
r uuuu
r uuuuu
r

hệ 0′ x ′y ′z ′ chuyển động tịnh tiến so với 0 (Hệ tương đối) OM = OO′ + O′M′ hay
r
ur
uuuu
r

r ur ur
dr dr′ d(OO′)
⇒ v = v′ + V
⇒
=
+
dt dt
dt
ur
(Với V là vận tốc của 0’ so với 0)

r ur uuuu
r
r = r′ + OO′

(2-20)

y

y’
•

Vậy: Vectơ vận tốc của một chất điểm đối với một hệ quy chiếu 0
bằng tổng hợp vận tốc của chất điểm đó đối với hệ quy chiếu 0’
chuyển đợng tịnh tiến đối với hệ quy chiếu 0 và vectơ vận tốc tịnh
tiến của hệ quy chiếu 0’ đối với hệ quy chiếu 0.
b. Tổng hợp gia tốc:

0’
0

z

M
x’
x

z’

r
ur
ur
dv dv′ dV ⇒ r ur ur
Từ (2-20) ta có:
(2-21)
=
+
a = a′ + A
dt dt dt
 
Với: v , a - Vận tốc, Gia tốc của M đối với hệ 0 (tuyệt đối)
 
v ′, a ′ - Vận tốc, Gia tốc của M đối với hệ 0’ (tương đối)
 
V , A - Là Vận tốc, gia tốc tịnh tiến của hệ 0’ đồi với hệ 0 (theo)

Vậy: Vectơ gia tốc của một chất điểm đối với một hệ quy chiếu 0 bằng tổng hợp vectơ gia tốc của
chất điểm đó đối với hệ quy chiếu 0’ chuyển động tịnh tiến đối với hệ quy chiếu 0 và vectơ gia tốc
tịnh tiến của hệ quy chiếu 0’ đối với hệ quy chiếu 0.
2.3.3. Nguyên lý tương đối Galilê - Lực quán tính:
a. Nguyên lý :

Xét chuyển động của một chất điểm trong hai hệ quy chiếu khác nhau. Hệ 0 đứng yên và là


hệ quy chiếu quán tính. Hệ 0’ chuyển động so với 0 với gia tốc A .




- Phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ 0 : m a = F






theo định lý cộng gia tốc a = a′ + A

- Nếu hệ 0’ chuyển động thẳng đều đối với 0 thì:
GV Phạm Thị Ngọc Dung

16


Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản


 

 
A = 0 ⇒ a = a ′ ⇒ ma = ma ′ = F

Định luật II Newtơn cũng được nghiệm đúng trong hệ 0’ nên 0’ cũng là một hệ quy chiếu quán
tính.
* Nguyên lý tương đối Galilê: Mọi hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều đối với một hệ quy
chiếu quán tính cũng là hệ quy chiếu quán tính.( hay: Các Định luật Newtơn được nghiệm đúng
trong hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều với hệ quy chiếu quán tính).
b. Lực quán tính :
ur

- Hệ quy chiếu 0’chuyển động tịnh tiến với gia tốc A đối với hệ quy chiếu quán tính 0:










Theo định lý cộng gia tốc: a = a ′ + A ⇒ a ′ = a + (− A)



ma ′ = ma + (− mA)
  
⇒ ma ′ = F + Fqt
⇒

Định luật II Newtơn không nghiệm đúng trong hệ 0/. Hệ 0′ là hệ quy chiếu khơng qn tính.

uur

ur



. cùng phương ngược chiều với gia tốc A , có độ lớn Fqt = m A .
- Lực quán tính : Fqt = −mA

- Lực quán tính chỉ quan sát được trong hệ quy chiếu khơng qn tính.
- Phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu khơng qn tính được viết là:
  
ma ′ = F + Fqt

(2-22)

GV Phạm Thị Ngọc Dung

17


Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản
CHƯƠNG III:
ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN
MỤC ĐÍCH: Nắm được chuyển động của một hệ chất điểm và chuyển động của vật rắn. Khảo
sát chuyển động quay của vật rắn. Áp dụng được các định luật bảo toán động lượng và bảo tồn
mơmen động lượng.
NỘI DUNG CHI TIẾT:
3.1. KHỐI TÂM, CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM
3.1.1. Định nghĩa khối tâm: Khối tâm của 1 hệ chất điểm M 1, M2...Mn có khối lượng m1, m2...mn

là điểm G xác định bởi đẳng thức:
n

m1 .M 1G + m2 .M 2 G + ... + mn .M n G = 0

∑ m .M G = 0

Hay:

i

i =1

(3 - 1)

i

- Xác định toạ độ của khối tâm G đối với gốc toạ độ O: OG = OM i + M i G
r

n

uu
r
⇒ rG =

n
n
n
 n


⇒  ∑ mi rG = ∑ mi .ri + ∑ mi .M i G = ∑ mi .ri
1
1
1
 1


∑ m.r
i =1
n

Hay: rG = ri + M i G

i

i

(3 - 2)

∑m
i =1

i

Chiếu lên 3 trục toạ độ có toạ độ của khối tâm.
n

xG =

∑ mi .xi
i =1
n

∑ mi

n

yG =

;

∑ mi .yi
i =1
n

∑ mi

i =1

n

zG =

;

i =1

∑ m.z
i =1

n

i

∑ mi

i

(3 - 3)

i =1

3.1.2. Vân tốc của khối tâm:
uu
r
ur dr
V= G =
dt

r
dri
∑i mi . dt

∑m
i

i

=

ur
m
.
v
∑ i i
i

∑m
i

∑K
=
∑m

i

i

i

i

i

=

K
∑ mi

(3- 4)

( K : Tổng động lượng của

i

hệ)
Do đó :

V=

K
∑ mi

(3-5)

⇒ K = V .∑ mi
i

(3-6)

i

Vậy : Tổng động lượng của hệ bằng động lượng của một chất điểm đặt tại khối tâm của hệ có
khối lượng bằng tổng khối lượng của hệ và có vận tốc bằng vận tốc khối tâm của hệ.
3.1.3. Phương trình chuyển động của khối tâm.
- Giả sử các chất điểm của hệ lần lượt chịu tác dụng của những lực: F 1, F2, …, Fn và chuyển động
với gia tốc : a1, a2, …, an thoả mãn các phương trình sau :
GV Phạm Thị Ngọc Dung

18

uu
r uu
r
m1a1 = F1 ;

Bộ mơn u
Vật
lír – Khoa: Khoa học cơ bản
u
r uu

uu
r uu
r
m2 a2 = F2 ; ......

mn an = Fn

- Đạo hàm 2 vế (1- 5) :
ur
dv
ur
mi . i
dV ∑
dt
= i
dt
∑ mi

ur
r
ur
ur
ur ⇒ ( m).a = F
dV
∑i i ∑i i
⇒ (∑ mi ).
= ∑ mi .ai = ∑ F i
dt
i
i
i

(3-7)

i

ur
r dV
(Với : a =
là vectơ gia tốc của khối tâm)
dt

Kết luận: Khối tâm của một hệ chuyển đợng như mợt chất điểm có khối lượng bằng tổng khối
lượng của hệ và chịu tác dụng của một lực bằng tổng hợp ngoại lực tác dụng lên hệ. Chuyển
động khối tâm của một hệ được gọi là chuyển động toàn thể của hệ.
3.2. CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN - PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHUYỂN
ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN.

Vật rắn là một hệ chất điểm nhưng khoảng cách giữa các chất điểm luôn không đổi.
Chuyển động của vật rắn phức tạp có thể chia là hai chuyển động thành phần: Chuyển động tịnh
tiến và chuyển động quay.
3.2.1. Chuyển động của vật rắn:
a. Chuyển động tịnh tiến:
* Tính chất:
- Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến mọi chất điểm của vật chuyển động theo những quỹ đạo
giống nhau
- Tại một thời điểm các chất điểm của vật rắn đều có cùng véctơ vận tốc và véctơ gia tốc.
* Phương trình:
- Coi vật rắn là hệ chất điểm có khối lượng lần lượt: m1 , m2 , ..., mn chịu tác dụng của ngoại lực:
 


F1 , F2 ,..., Fn . Chuyển động với gia tốc : a

- Phương trình chuyển động cho từng chất điểm:

+

 
m1.a = F1
 
m1.a = F2

...............
 
mn .a = Fn

 n

 n 
 ∑ mi .a = ∑ Fi
i =1
 i =1 

Ngoại lực t/d lên các chất điểm của vật rắn song
song cùng chiều ( điều kiện VR CĐ tịnh tiến)

(3-8) (Phương trình chuyển động tịnh tiến của vật rắn)

GV Phạm Thị Ngọc Dung

19


ur
β

ur
ω

Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản
Vậy: Khi khảo sát chuyển động tịnh tiến của một vật rắn chỉ cần xét
chuyển động của khối tâm của vật .
b. Chuyển động quay: Khi một rắn chuyển động quay xung quanh một
trục cố định ∆ thì nó có những tính chất sau:
- Mọi chất điểm của vật rắn đều vạch nên những đường trịn mà mặt
phẳng vng góc với trục quay ∆ và có tâm nằm trên trục quay ∆ )
- Trong cùng một khoảng thời gian, mọi điểm của vật rắn đều quay được
những góc như nhau.

0

- Tại cùng một thời điểm , mọi điểm của vật rắn đều có cùng vận tốc góc ω =
β=

r
v

ur
r

ur
at

dθ
và gia tốc góc
dt

dω d2θ
=
dt dt2

- Đối với một chất điểm M , cách trục quay một khoảng r, đoạn đường đi được trên quỹ đạo là




S tương ứng với gọc quay θ , vectơ vận tốc dài v và vectơ gia tốc tiếp tuyến là at , mối liên hệ

được xác định bởi:

S = r.θ
  
v = ω ∧ r (3-9)
  
at = β ∧ r

3.2.2. Phương trình chuyển động quay của vật rắn:
a. Mômen của lực tiếp tuyến đối với trục quay:
* Lực Tác dụng trong chuyển động quay: Vật rắn quay xung quanh trục ∆ dưới tác dụng


của lực F đặt tại một điểm M.
ur

- Phân tích F thành 2 thành phần:
uu
r

ur uu
r uu
r
F = F1 + F2

- Thành phần F1 // ∆ : khơng có tác dụng trong chuyển động quay.

  



- Trong phẳng chứa F2 ta phân tích F2 thành hai phần F2 = Fn + Ft
uu
r
Nhận xét: + Fn : Khơng có tác dụng trong chuyển động quay, chỉ có

tác dụng làm vật rắn dời khỏi trục quay.

uu
r
+ Thành phần Ft có tác dụng trong chuyển động quay.

Kết luận: Trong chuyển động quay của một vật rắn xung quanh một
trục chỉ những thành phần lực tiếp tuyến với quỹ đạo của điểm đặt
mới có tác dụng thực sự
* Mômen của lực tiếp tuyến đối với trục quay:

GV Phạm Thị Ngọc Dung

∆

0


F1

ur
F

ur
r

uu
r
Ft

M

uur
Fn


F2

20


Bộ mơn
Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản
uu
r
uur

+ Định nghĩa: Mômen của lực Ft đối với trục quay ∆ là một vectơ M xác định bởi:
  
M = r ∧ Ft (3-10)
uur
r uu
r
uur
- Phương M ⊥ mf (r, Ft ) (nghĩa là M có phương trùng với trục quay)

- Chiều M : Thuận với chiều quay từ r sang Ft theo góc nhỏ nhất.
r uu
r
M = r.Ft .Sin(r, Ft ) = r.Ft .

- Trị số:

- Đơn vị : (Nm)

ur
F =0
+ Chú ý: +) M / ∆ ( F ) =0 khi ur
ng
F đồng phẳ

+) M / ∆ ( F ) = M / 0 ( F )

uu
r

(0 là giao điểm của ∆ và mặt phẳng chứa Ft ⊥ ∆ )

b. Phương trình cơ bản của chuyển động quay:
- Coi vật rắn là hệ chất điểm, ta xét một chất điểm thứ i có khối lượng mi , chịu tác dụng của lực




tiếp tuyến Fit và chuyển động với gia tốc ait .

Theo định luật II Niu tơn:



mi .ait = Fit

(∗)

Chọn hệ quy chiếu gốc 0 nằm trên trục quay, tại thời điểm t chất điểm thứ i được xác định bởi bán




kính véctơ ri = 0M . Nhân hữu hướng hai vế của phương trình (*) với ri

 
 
mi ( ri ∧ ait ) = ri ∧ Fit = M i

  
mi ri ∧ β ∧ ri = M i

    
mi ( ri .ri ).β − ri .β .ri = M i
 
 
2
mi ri .β = M i (∗∗) (vi ri ⊥ β )

[ (

[

)]

( ) ]

- Xét đối với mọi chất điểm của vật rắn ta được một hệ phương trình như phương trình (**), cộng

  n
2
M
∑
i =  ∑ mi .ri .β
i =1
 i=1

n

vế với vế của hệ phương trình :


n

Trong đó:

∑M
i =1

n

Đặt
Vậy:
Hay

∑ m .r
i =1

i i

2

i

(∗ ∗ ∗)


= M mômen các ngoại lực tác dụng lên vật rắn trong chuyển động quay.

= I : Mômen quán tính của vật rắn đối với trục ∆



M = I .β

 M
β=
I

(3-11) Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn
(3-12)

c. Mơmen qn tính của vật rắn:
GV Phạm Thị Ngọc Dung

21


Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản
* Trục quay đi qua khối tâm:
- Vật rắn có khối lượng phân bố khơng liên tục:
Mơmen qn tính I của vật rắn đối với một trục ∆ được tính theo công thức:
n

n

I = ∑ mi ri = ∑ I i
2

i =1

(3-13)

i =1

2
Trong đó: I i = mi .ri là mơmen quán tính của chất điểm mi của vật đối với trục ∆

- Vật rắn có khối lượng phân bố liên tục: muốn tính mơmen qn tính I, ta chia vật thành những
phần tử vơ cùng nhỏ, mỗi phần tử có khối lượng vi phân dm và cách trục ∆ một khoảng r, có mơ
men qn tính là dI = r 2 dm . Khi đó mơ men qn tính của cả vật rắn đối với trục quay ∆ :

I=

∫r

2

dm

toàn v

(3-14)

- Ví dụ:
Ví dụ 1: Tính mơmen qn tính I của một thanh mỏng đồng chất chiều dài l, khối lượng m đối
với trục ∆ đi qua giữa thanh và vuông góc với thanh.
- chia thanh ra thành phần tử nhỏ có chiều dài dx, mang khối lượng dm, cách trục quay một
khoảng x. Mơmen qn tính của thanh đối với trục ∆ là:

I=

∫ dI = ∫ x .dm
2

toµnthanh

toµnthanh

- Vì thanh đồng chất nên khối lượng của thanh tỉ lệ với chiều dài của thanh:
m dm
=

l
dx
I=

⇒ dm =

m
dx
l

x

l
2

m 2
ml 2
x
dx
=
∫l l
12

−

dx

(3-15)

∆

G

2

Ví dụ 2: Tính mơmen qn tính của một đĩa trịn đồng chất, bán kính
R, khối lượng m đối với trục ∆ đi qua tâm đĩa.
- Phân tích đĩa thành những phần tử hình vành khăn, bán kính x, bề rộng
dx, diện tích của vành khăn là:

∆0

dx

G x

dS = d(π .x2 ) = 2π x.dx

- Gọi khối lượng của phần tử đó là dm,
- mơmen qn tính của đĩa là:

I=

∫ dI = ∫ x dm
2

toµndÜa

toµndÜa

- Vì đĩa đồng chất nên khối lượng của các phần tử trên đĩa tỉ lệ với diện tích của phần tử:
m dm
=
S dS

⇒ dm =

m
m
2m xdx
.dS = 2 .2π xdx =
S
πR
R2
GV Phạm Thị Ngọc Dung

22


Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản
R

I=∫

-Thay dm vào cơng thức tính :

0

2m 3
mR 2

x
dx
=
2
R2

(3-16)

Ví dụ 3 : Tính mơmen qn tính của một quả cầu đặc đồng chất bán kính R, khối lượng m
đối với trục ∆ đi qua tâm của quả cầu.
y

(

)

(

)

(

)

I x = ∫ y 2 + z 2 .dm ; I y = ∫ z 2 + x 2 .dm ; I z = ∫ x 2 + y 2 .dm
x

y

z

Do tính chất đối xứng cầu nên : I x = I y = I z = I ⇒ I =
I=
=

[(

) (

) (

1
(Ix + I y + Iz )
3

)]

1 2
x + y 2 + y 2 + z 2 + z 2 + x 2 .dm
3
toµnvË
t

∫

(

0



R
x

z

)

2
2
x 2 + y 2 + z 2 .dm =
r 2 .dm
∫
∫
3 toµnvËt
3 toµnvËt

dm = ρ .dV = ρ .4πr 2 dr
2.4.πρ 4
4
2
2
r .dr = ρ . πR 3 . R 2 = .m.R 2
∫
3 0
3
5
5
R

⇒

I=

(3 − 17)

Chú ý: Biểu thức tính I trong (3-16) khơng phụ thuộc chiều dày của đĩa, vì vậy cơng thức (3-17)
cũng áp dụng được để tính I của một vật đồng chất hình trụ trịn khối lượng m, bán kính R. Tương
tự các ví dụ trên ta tính được I của những vật đồng chất có dạng hình học đối xứng:
I hình trụ rỗng = I vành tròn = mR2 (3-18)
=

mR 2
2

I hình trụ đặc = I đĩa trịn
* Trục quay bất kỳ (Định lý Stene - Huyghen)
Mơmen qn tính của một vật rắn đối với một trục ∆ bất kỳ bằng
mômen quán tính của vật rắn đối với trục ∆ 0 // với ∆ đi qua khối tâm G
của vật này cộng với tích của khối lượng m của vật và bình phương khoảng
cách giữa hai trục quay .
I ∆ = I 0 + md 2

∆0

∆
•

d

G

(3 − 19)

3.3. CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN
3.3.1. Định luật bảo toàn động lượng
a- Thiết lập: Xét 1 hệ chất điểm có khối lượng m1 , m2 ...., mn chịu tác dụng của các ngoại lực
ur uu
r uu
r
F1 , F2 ..., Fn chuyển động với vận tốc v1 , v2 ..., vn
ur
uu
r
uu
r
ur
d
- Theo định lý về động lượng: (m1.v1 + m2.v2 + ... + mn.vn ) = ∑ Fi
dt
GV Phạm Thị Ngọc Dung

23


Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa học cơ bản

ur
ur
uu
r

uu
r
d
(m1.v1 + m2.v2 + ... + mn.vn ) = 0
* TH1: ( ∑ Fi = 0 ) thì
dt
ur
uu
r
uu
r uuuuuu
r
⇒ m1.v1 + m2.v2 + ... + mn.vn = Const
(3-20)

Định luật: Hệ cô lập, hệ không cô lập nhưng tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ triệt tiêu thì tổng
động lượng của hệ là đại lượng bảo toàn.
ur
+ Vận tốc chuyển động của khối tâm của hệ cô lập: V =

ur
m
.
v
∑ i i
i

∑m

uuuuuu

r
= Const

i

i

Vậy : Khối tâm của một hệ cô lập hoặc đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.
* TH2: Bảo tồn động lượng theo phương : Hệ khơng cơ lập, tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ
ur

khác không ( ∑ Fi ≠ 0 ) nhưng tổng hình chiếu của các ngoại lực tác dụng lên hệ theo một phương

(
F
nào đó bằng khơng ( ∑ i ) / x = 0 )
i

Từ phương trình :

ur
uu
r
uu
r
ur
d
(m1.v1 + m2.v2 + ... + mn.vn ) = ∑ Fi
dt

Chiếu phương trình trên lên phương x có:

ur
uu
r
uu
r
ur
uur
uur
uur
d
(m1.v1 + m2.v2 + ... + mn.vn )x = ∑ Fi ( x) ⇒ m1.v1x + m2.v2x + ... + mn.vnx = Const
dt
ur

Vậy: Hệ không cô lập ( ∑ Fi ≠ 0 ) nhưng hình chiếu của

ur
∑ Fi lên một phương (x) nào đó ln = 0

thì hình chiếu của tổng động lượng của hệ lên phương x là một đại lượng bảo tồn.
b-Ứng dụng:
- Giải thích hiện tượng súng giật lùi
- Chuyển động phản lực
3.3.2. Định luật bảo toàn mômen động lượng.
a. Mômen động lượng của một hệ chất điểm:
* Định nghĩa: + Mômen động lượng của một hệ chất điểm chuyển động tịnh tiến đối với gốc 0
của hệ quy chiếu:





L = ∑ Li = ∑ ( ri ∧ mvi )
i

i

(3-21)

+ Hệ chất điểm quay xung quanh một trục ∆ :




L = ∑ Li = ∑ I i ω i
i

i

(3-22)

2
Trong đó: I i = mi .ri và ωi Là Mơmen qn tính và vận tốc góc của chất điểm thứ i đối với trục

quay
+ Vật rắn chuyển động quay xung quanh trục ∆ :
GV Phạm Thị Ngọc Dung

24


Bộ mơn Vật lí – Khoa: Khoa họcuurcơubản
ur

Mọi chất điểm của vật rắn quay đều với cùng vận tốc góc:
ur
ur
ur
L = (∑ I i )ω = I .ω

uu
r
ur
ω1 = ω2 = ... = ωi = ... = ω

(3-24)

i

I i = ∑ mi .ri 2 : Là Mơmen qn tính của vật rắn đối với trục quay ∆ .
Trong đó: I = ∑
i
i

b- Định lý về mômen động lượng :
* Định lý về mômen động lượng đối với một chất điểm:
uur

ur

uu
r
ur
dLi uur
= M / o (Fi )
dt

Với M / o (Fi ) là tổng mômen đối với gốc O của các lực tác dụng lên chất điểm mi :
* Định lý về mômen động lượng đối với hệ chất điểm:
uu
r
uur
ur
r d ur
uur
ur
d ur uur
dLi
d uu
⇔
L=M
=
M
/
o
(
F
)

⇔
L
=
L
=
M
/
o
(
F
)
∑i dt ∑i
∑ i dt ∑i
i
i
dt
dt i

(3-25)

+ Định lý: Đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng của một hệ bằng tổng mômen các
ngoại lực tác dụng lên hệ (đối với một điểm gốc O bất kỳ)
+Chú ý:
ur

ur

- TH hệ chất điểm là một rắn quay xung quanh một trục cố định ∆ : L = I .ω và I = Const
Định lý về mômen động lượng có thể viết:

ur
ur
ur
ur uur
dL d(I .ω )
dω
(3-26)
=
= I.
= I .β = M
dt
dt
dt
uur
Trong đó: M là tổng mơmen các ngoại lực tác dụng lên vật rắn quay.

ur

uur

Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục: I .β = M
uu
r

uur

-Trong khoảng thời gian t1 → t2 ; mômen động lượng biến thiên từ L1 → L2 ta có:

d ur uur
L=M ⇒

dt

ur uuu
r uur uu
r t2 uur
∫ dL = ∆L = L2 − L1 = ∫ M .dt

L2

L1

t1

uur
uur
M
Trong đó: ∫ .dt : Xung lượng của M trong khoảng thời gian ∆t = t2 − t1
t2

t1

uur uuuuuu
r
Nếu M = Const thì:

uuu
r uur
∆L = M .∆t

(3-27)

3.3.2- Định luật bảo tồn mơmen động lượng.
Đối với một hệ chất điểm cô lập hoặc chịu tác dụng của ngoại lực nhưng tổng mômen các ngoại
lực đối với điểm gốc O bằng 0:
Theo định lý về mômen động lượng
uur m
m1
2

v10

GV Phạm Thị Ngọc Dung
Trước va chạm

Sau va chạm

m1

ur
v1

m2

uu25
r
v2