ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN, VECTƠ NGẪU NHIÊN (điện tử xác SUẤT THỐNG kê SLIDE)

Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên
§1: Đại lượng ngẫu nhiên
• Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có thể ngẫu
nhiên nhận một số giá trị với các xác suất tương ứng xác định.
• Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá trị của nó là
hữu hạn hoặc vơ hạn đếm được
• Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp tất cả các giá trị
có thể có của nó lấp đầy ít nhất 1 khoảng trên trục số.

Khoa Khoa Học và Máy Tính

1


§2: Các phương pháp mô tả đại lượng ngẫu nhiên
1. Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho rời rạc)
Định nghĩa 2.1:

⇔
Chú ý:

∑p

i

=1

Ρ ( Χ = xi ) = pi , i = 1, 2,3,...k

Χ x1

x2

... xk

Ρx

p2

...

p1

pk

( ...)
( ...)

(…) vô hạn

i

• Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với
xác suất trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì
dừng. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X là số đạn đã
bắn ra cho đến khi dừng lại.Tính xác suất để X= m nếu X>
n-1, m > nX. 1
2
3
...
k

...
P
p qp q 2 p ... q k −1 p ...
Khoa Khoa Học và Máy Tính

2


P ( X = m) q m −1. p
P ( X = m / X ≥ n) =
= n −1 = q m − n . p
P ( X ≥ n)
q
Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với xác
suất trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì dừng
hoặc bắn hết 20 viên thì ngừng. Hãy lập bảng phân phối xác
suất của X là số đạn đã bắn ra cho đến khi dừng lại.Tính xác
suất để X= m nếu X> n-1, 20>m > n .
X
P

1
p

2
qp

3
q2 p

...
...

19
q18 p

20
q19

P( X = m) q m −1. p
P ( X = m / X ≥ n) =
= n −1 = q m − n . p
P ( X ≥ n)
q
Khoa Khoa Học và Máy Tính

3


2. Hàm phân phối xác suất(rời rạc và liên tục):
• Định nghĩa 2.2: hàm phân phối xác suất của đại
lượng ngẫu nhiên XFXlà:
( x) = F ( x ) = Ρ ( X < x )
Tính chất:
1.F(x) là hàm khơng giảm
các t/c đặc trưng
2. F ( − ∞ ) = 0, F ( + ∞ ) = 1
3. Ρ( a ≤ X < b ) = FX ( b ) − FX ( a )
Hệ quả 1: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì
FX ( x ) liên tục trên tồn trục số

• Hệ quả 2: Nếu X liên tục thì Ρ( X = x0 ) = 0, ∀x0
Chú ý: Trong trường hợp liên tục sự thay đổi tại 1 điểm
khơng có ý nghĩa
Khoa Khoa Học và Máy Tính

4


• Hệ quả 3: Giả sử X rời rạc và có bảng phân phối xác suất như
trên.Khi ấy

FX ( x ) = ∑ pi
xi < x

• Ví dụ 2.3:
X

2

x

P

0,1

|

5

7

0,5 0, 4

0
0,1

⇒ FX ( x ) = 
0, 6

1

khi
khi
khi
khi

x≤ 2
2 57
Chú ý: Hàm phân phối FX ( x ) = 0 bên trái miền giá trị
của X và
FX ( x ) = 1bên phải miền giá trị của X.
Khoa Khoa Học và Máy Tính

5


• 3.Hàm mật độ xác suất(chỉ dùng cho đại lượng ngẫu nhiên

liên tục)
• Định nghĩa 2.3: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu
/
nhiên X liên tục là:

f X ( x ) = f ( x ) =  FX ( x )  x

• Định lý 2.1:
• Tính chất:

FX ( x ) =

( 1) f (x) ≥ 0
+∞

( 2) ∫

−∞

x

∫

f X ( t ) dt

−∞



t đặ

c trưng
 -tính chaá
f (x)dx = 1 


(3) P ( a < X < b) =

b

∫f

X

( x ).dx

a

Khoa Khoa Học và Máy Tính

6


Chú ý: Hàm mật độ
• Ví dụ 2.4:

• 1.Xác định a
•

1=

f X ( x ) = bên
0 ngồi miền giá trị của X.
a cos 2 x, x ∈ [ 0, π / 2]
X : f ( x) = 
x ∉ [ 0, π / 2]
0,

+∞

π /2

−∞

0

∫ f (x)dx = ∫

a
a cos xdx =
2
2

π /2

∫ ( 1 + cos2x) dx
0

a
sin2x  π /2 a π
4

= x+
÷ = . ⇒ a=
2
2 0
2 2
π
Khoa Khoa Học và Máy Tính

7


FX ( x )
2. Hãy tìm hàm phân phối
0 , neáu x < 0
x
x
2  sin 2x 
π
 4 2
F X x = ∫ f t dt =  ∫ cos tdt =  x +
÷ , nếu 0 ≤ x ≤
π
2 
2
−∞
0 π
1 , neáu x > π / 2


( )

()

3. Hãy tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng:

( −π / 4, π / 4 )

Ρ ( −π / 4 < X < π / 4 ) = F ( π / 4 ) − F ( −π / 4 )
Ρ ( −π / 4 < X < π / 4 ) =

π /4

∫

−π /4
Khoa Khoa Học và Máy Tính

f ( x ) dx =

π /4

∫

(4 / π ) cos 2 xdx

0

8

Ví dụ 2.5: Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ
cho đến chừng nào 1 người ném lọt rổ thì thơi. Lập dãy
phân phối của số lần ném của mỗi người và tổng số
bóng của cả 2 người nếu xác suất lọt rổ của người thứ
nhất, thứ hai là
p1, p2 .
Tính xác suất để người thứ 2 ném lọt rổ trước.
• Giải: Gọi q , q là xác suất ném trượt bóng của người
1
2
1,2
• X là số bóng của người thứ 1
• Y là số bóng của người thứ 2
• Z là tổng số bóng của cả 2 người.
• A là biến cố người thứ 2 ném lọt rổ trước.
Khoa Khoa Học và Máy Tính

9


X
P
Y
P

1
2
...
k
k−1 k−1

p1 + q1p2 qq
(
p
+
q
p
)
...
q
q2 ( p1 + q1p2 )
1 2
1
1 2
1
0

1

p1 q1 ( p2 + q2 p1 )

2

...

...
...

k

...

k−1 k−1


qq
q
p
+
q
p
...
q
q2 .... ...
1 2  1( 2
2 1) 
1

Z
2k − 1
2k
, k=1,2,...,n,...
k−1 k−1
k k−1
P q1 q2 p1 q1 q2 p2
∞

∞

k =1

k =1

P ( A) = ∑ P( Z = 2k ) = ∑ q q

Khoa Khoa Học và Máy Tính

k
1

∞

p = q1 p1 ∑ q q

k −1
2
1

k =1

k −1 k −1
1
2

1
= q1 p1
1 − q1q2
10


§3: Véc tơ ngẫu nhiên

I. Vectơ ngẫu nhiên
Giả sử X 1 , X 2 ,..., X nlà các đại lượng ngẫu nhiên được xác
định bởi kết quả của cùng 1 phép thử. Khi ấy X = ( X 1 , X 2 ,..., X n )
được gọi là một vectơ ngẫu nhiên n chiều
II. Véctơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều(X,Y).
1. Bảng phân phối xác suất đồng thời:

Ρ ( Χ = xi , Y = y j ) = pij , i = 1, k ; j = 1, h

Khoa Khoa Học và Máy Tính

11


y
Y

y1

y2

…

yh

Px

X

x

x1

P11

P12

P1h

P1

x2

P21

P22

P2h

P2

xk

Pk1

Pk2

Pkh

Pk

PY

q1

q2

qh

1

…

Khoa Khoa Học và Máy Tính

12


2. Bảng phân phối xác suất lề của X và Y
pi = Ρ ( Χ = xi ) =
qj = Ρ( Y = yj ) =

h

∑p
j =1

ij

k

∑p
i =1

ij

, i = 1, k
, j = 1, h

3. Điều kiện độc lập của X và Y
⇔ ∀i, j : pij = pi .q j
Định lý 3.1: X,Y độc lập
4. Các bảng phân phối xác suất có điều kiện.
Ρ ( X = xi / Y = y j ) =
Ρ (Y = y j / X = xi ) =
Khoa Khoa Học và Máy Tính

pij

qj
pij
pi

, i = 1, k
, j = 1, h
13


5.Hàm phân phối xác suất đồng thời(rời rạc và liên tục)

F ( x, y ) = Ρ ( X < x , Y < y )
Định nghĩa 3.1:
Tính chất:
(1) F ( x, y )là một hàm không giảm theo từng biến
(2) F (−∞, −∞) = 0, F (+∞, +∞) = 1
(3) Ρ(a ≤ X < b, c ≤ Y < d ) = F (a, c) + F (b, d ) − F (a, d ) − F (b, c)
Hệ quả:(1)Nếu X,Y liên tục thì F(x,y) liên tục trên tồn bộ mặt
phẳng.
(2)Giả sử X,Y rời rạc và có bảng phân phối xác suất như trên,
khi ấy ta có:

F ( x, y ) =

∑

xi < x
yj Khoa Khoa Học và Máy Tính

pij

14


y

d

−

+

c

+

−

a
Khoa Khoa Học và Máy Tính

b

x
15


Ví dụ 3.1: Giả sử (X,Y) có bảng phân phối xác suất sau:

y

Y

x

3

5

0

0,1

0,2

0,3

2

0,3

0,4

0,7

0,4

0,6

1

ΡX

X

Ρ

Y

Khoa Khoa Học và Máy Tính

16


X

0

(1)Tìm bảng phân phối xác suất lề của X:
P
0, 3
(2) Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y
0,1 ≠ 0,3.0, 4 ⇒ X là
, Y phụ thuộc
X
0
(3)Tìm bảng phân phối của X khi Y=5:
P X |Y =5

(4)Tìm hàm phân phối:
0,
0.1,

F ( x, y ) = 0.1 + 0.2,
0.1 + 0.3,

1,
Khoa Khoa Học và Máy Tính

0, 2

0, 6

2
0, 7

2
0, 4
0, 6

x ≤ 0∨ y ≤ 3
0 < x ≤ 2,3 < y ≤ 5
0 < x ≤ 2,5 < y
2 < x,3 < y ≤ 5
2 < x,5 < y
17


III. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X,Y)
1.Hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)
2.Hàm mật độ xác suất đồng thời:
Định nghĩa 3.2:

Định lý 3.2:

f

(

∂ F ( x, y )
x, y ) =

∂x∂y
2

x

y

F ( x, y ) = ∫ ∫
f ( u , v ) dudv
1−∞
4 2 −∞
43
Dxy

Khoa Khoa Học và Máy Tính

18


HÌNH 3.1
Khoa Khoa Học và Máy Tính

19


Tính chất:
(1) f ( x, y ) ≥ 0




(2) ∫∫ f ( x, y ) dxdy = 1 TCDT

R2

(3) Ρ ( ( X , Y ) ∈ D ) = ∫∫ f ( x, y ) dxdy
D

3. Các hàm mật độ xác suất lề.

fX
fY

( x)

∫
( y) = ∫

Khoa Khoa Học và Máy Tính

=

+∞

−∞
+∞

−∞

f

( x, y ) dy

f

( x, y ) dx
20


.Chú ý : Các hàm phân phối xác suất lề:

FX
FY

( x)
( y)

( x, +∞ )
F ( +∞, y )

= F
=

4.Điều kiện độc lập của X và Y
X,Y độc lập ⇔ f ( x, y ) = f X ( x ) . fY ( y )

⇔ F ( x, y ) = FX ( x ) .FY ( y )

5.Các hàm mật độ xác suất có điều kiện:

f X / Y = y0 ( x ) =

fY / X = x0
Khoa Khoa Học và Máy Tính

f

(

fY

x , y0 )

(

y0 )

f ( x0 , y )
( y) =
f X ( x0 )

21


Ví dụ 3.2: Cho

6 44 7Ω 4 48

 a.e− x− y , neá
u 0 ≤  x ≤  y <+∞
f ( x, y) = 


, nế
u trá
i lại .
0
1.Xác định tham số a.

1=

∫∫ f ( x, y ) dxdy = a ∫
R

= a∫

0

2

+∞

0

+∞

e

−2 x

dx ∫

+∞

x

e

− x− y

dy

a
dx =
⇒a=2
2

Khoa Khoa Học và Máy Tính

22


(2).Tìm các hàm mật độ xác suất lề.

fX ( x) = ∫ f ( x, y) dy =
+∞

−∞

0 , neá
ux< 0;
=  +∞ − x− y
(hình 3.2)

−2 x
ux≥ 0
 ∫x 2e dy = 2e , neá

Khoa Khoa Học và Máy Tính

23


HÌNH 3.2

Khoa Khoa Học và Máy Tính

24


HÌNH 3.3

y<0
Khoa Khoa Học và Máy Tính

25