Bài giảng xác suất thống kê chương 3 các biến ngẫu nhiên đặc biệt

Chương 3
CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐẶC BIỆT
1. Biến ngẫu nhiên nhị thức
2. Biến ngẫu nhiên Poisson
3. Biến ngẫu nhiên siêu bội
4. Biến ngẫu nhiên chuẩn

Dãy phép thử Bernoulli: một dãy n phép thử được
gọi là một dãy n phép thử Bernoulli nếu:
1. Các phép thử độc lập với nhau, và
2. Trong mỗi phép thử biến cố A mà ta quan tâm
có xác suất p không đổi.
Số p được gọi là xác suất thành công.
Xác suất để có k lần thành công trong n phép thử là





  


Biến ngẫu nhiên nhị thức
Số lần A xuất hiện trong n phép thử được gọi là số
lần thành công trong dãy phép thử Bernoulli.
Ví dụ: Tại tỉnh A, theo số liệu thống kê cho biết có
25% dân số bị sốt rét. Chọn ngẫu nhiên 6 người.
Kiểm tra lần lượt từng người trong 6 người này xem
có mắc bệnh sốt rét hay không.
Trong mỗi lần kiểm tra, xác suất người được kiểm
tra mắc bệnh là bao nhiêu?

Hãy tính xác suất để có 4 người mắc bệnh trong 6
người này!?
Biến ngẫu nhiên nhị thức
Phép thử kiểm tra một người có bệnh sốt rét hay
không được thực hiện mấy lần?
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên  chỉ số lần thành công
trong một dãy  phép thử Bernoulli với xác xuất
thành công  được gọi là biến ngẫu nhiên nhị thức,
và được ký hiệu là .
Biến ngẫu nhiên nhị thức
  




 


Nhận xét: Xét dãy  phép thử Bernoulli với xác xuất
thành công  Đặt




 
 

Thế thì



 

  


Ví dụ: Tại tỉnh A, theo số liệu thống kê cho biết có
25% dân số bị sốt rét. Chọn ngẫu nhiên 6 người.
Tính xác suất có 4 người bị sốt rét trong 6 người
được chọn.
Ví dụ: Có 5 máy hoạt động độc lập. Xác suất để
trong một ngày mỗi máy bị hỏng bằng 0,1. Tìm xác
suất để:
(a) Trong một ngày có 2 máy hỏng;
(b) Trong một ngày có không quá 2 máy hỏng.
Biến ngẫu nhiên nhị thức
Ví dụ: Một đề thi có 20 câu hỏi, mỗi câu có 4 đáp án
trong đó chỉ có một đáp án đúng. Sinh viên A trả lời
một cách ngẫu nhiên tất cả các câu. Gọi X là số câu trả
lời đúng của sinh viên. Tính       
Ví dụ: Một máy sản xuất được 200 sản phẩm trong
một ngày. Xác suất để sản xuất ra phế phẩm là 0,05.
Tìm số phế phẩm trung bình và số phế phẩm tin chắc
nhất của máy đó trong 1 ngày.
Biến ngẫu nhiên nhị thức
Định lý: Cho    Ta có
   
     
      
Định nghĩa: BNN  nhận các giá trị  với xác
xuất

  






được gọi là BNN Poisson với tham số , ký hiệu

Ví dụ: Quan sát 5 phút thấy có 15 người vào đại lý
internet. Tính xác suất trong một phút có 4 người vào
nơi đó.
Biến ngẫu nhiên Poisson
BNN Poisson thường là số sự kiện xảy ra trong một
khoảng thời gian nào đó; tham số  là trung bình số
sự kiện xảy ra trong khoảng thời gian đó.
Nhị thức xấp xỉ bởi Poisson
Định lý: Cho    Khi  lớn và  nhỏ,  thì

Quy ước:  và 
Ví dụ: Trong một lô thuốc dạng ống, tỷ lệ thuốc hư là
0,003. Kiểm nghiệm 1000 ống. Tính xác suất để gặp 3
ống bị hỏng.
Ví dụ: Giả sử xác suất tử vong của bệnh sốt xuất huyết
là 0,7%. Tính xác suất để có đúng 5 người chết do sốt
xuất huyết trong một nhóm 400 người.
Bài tập: một máy dệt có 4000 ống sợi. Xác suất để mỗi
ống sợi ấy bị đứt trong 1 phút là 0,0005. Tính xác suất để
trong một phút:

1. Có 3 ống sợi bị đứt;
2. Có ít nhất hai ống sợi bị đứt.
Bài tập: Xác suất một chai rượu bị bể khi vận chuyển là
0,001. Giả sử vận chuyển 4000 chai. Tìm số chai rượu bị bể
trung bình và số chai bị bể tin chắc nhất khi vận chuyển.
Nhị thức xấp xỉ bởi Poisson
Bài tập: Một nhà vườn trồng 256 cây mai với xác suất nở
hoa của mỗi cây trong dịp tết năm nay là 0,62. Giá bán
một cây mai nở hoa là 0,5 triệu đồng. Giả sử nhà vườn
bán hết các cây mai nở hoa. Hỏi nhà vườn thu được chắc
chắn nhất là bao nhiêu tiền?
Ví dụ: Trong một hộp có 10 hòn bi, gồm 6 bi đỏ và 4
bi đen. Lấy ngẫu nhiên 1 lần 5 bi. Gọi X là số bi đen
trong 5 bi lấy ra. Tính xác suất để có m bi đen.
Định nghĩa: BNN rời rạc  nhận các giá trị nguyên 
thỏa    với
xác suất
  



 






được gọi là BNN siêu bội, và ký hiệu là
  

Biến ngẫu nhiên siêu bội
Biến ngẫu nhiên siêu bội
Ví dụ: Trong một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 3
sản phẩm loại A, còn lại là sản phẩm loại B. Lấy ngẫu
nhiên từ hộp ra 5 sản phẩm (lấy một lần). Gọi X là số
sản phẩm loại A có trong 5 sản phẩm lấy ra.
1) Xác định phối xác suất của X;
2) Tính xác suất trong 5 sản phẩm lấy ra có 2 sản
phẩm loại A.
Bài tập: Có 20 chi tiết máy, trong đó có 15 chi tiết máy
tốt. Từ 20 chi tiết này lấy ra ngẫu nhiên 4 chi tiết máy
(lấy một lần), gọi X là số chi tiết tốt lẫn trong 4 chi tiết
lấy ra.
1) Xác định phối xác suất của X;
2) Tính xác suất trong 4 chi tiết lấy ra có 3 chi tiết tốt.
Biến ngẫu nhiên siêu bội
Ví dụ: Chủ một vườn lan để nhầm 20 chậu lan có
hoa màu đỏ với 100 chậu lan có hoa màu tím, lan
chưa nở hoa. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 15
chậu từ 120 chậu lan đó (chọn một lần). Gọi X là số
chậu lan có hoa màu đỏ khách chọn được. Tính E(X)
và Var(X).
Định lý: Cho    Đặt 


 Ta có
1)   
2)     



Xấp xỉ siêu bội bằng nhị thức
Ví dụ: Trong một lô hàng gồm 1000 sản phẩm, trong
đó có 800 sản phẩm loại A và 200 sản phẩm loại B.
Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó 10 sản phẩm để kiểm
tra. Tìm xác suất để có ít nhất 8 sản phẩm loại A
trong 10 sản phẩm lấy ra.
Định lý: Cho    Nếu  rất nhỏ so với 
thì  có phân phối xấp xỉ nhị thức với hai tham số 
và  với 



Ví dụ: Một ao cá có 10.000 cá da trơn, trong đó có
1.000 con cá tra. Tính xác suất để khi bắt ngẫu nhiên
1) 20 con từ ao thì được 5 con cá tra.
2) 50 con từ ao thì được 10 con cá tra.
Biến ngẫu nhiên chuẩn
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên  được gọi là BNN chuẩn
nếu  có hàm mật độ
  

 







trong đó,  và được ký hiệu  






Đồ thị của hàm mật độ
chuẩn
Định lý: 

 thì
    


và   



Biến ngẫu nhiên chuẩn
Định nghĩa: Cho  

 Nếu  và  ta
gọi  là biến ngẫu nhiên chuẩn tắc.
Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên chuẩn tắc  là
  









Có đồ thị
Định lý: Cho  


Thế thì



Biến ngẫu nhiên chuẩn
Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên chuẩn tắc  là
  












Tích phân Laplace
  













Liên hệ giữa tích phân Laplace và hàm phân phối
  


  
Tính chất của tích phân Laplace:  là hàm lẻ và



Biến ngẫu nhiên chuẩn
Định lý: Cho    Ta có
1)        
2)   .
Ví dụ: Cho    Tính
1)   
2)   
3) 
4)  
5)  

Biến ngẫu nhiên chuẩn
Hệ quả: Cho  

  Ta có
1)   


 



2)     


.
Ví dụ: Cho  

  Tính
1)   
2)   
3)   
4)     
5)   
Ví dụ: Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản
xuất có phân phối chuẩn, kỳ vọng 20mm, độ lệch chuẩn
0,2mm. Tính xác suất lấy ngẫu nhiên một chi tiết:
a) Có đường kính trong khoảng 19,9mm đến 20,3mm;
b) Có đường kính sai khác với kỳ vọng không quá
0,3mm.
Biến ngẫu nhiên chuẩn

Bài tập: Điểm Toeic của sinh viên sắp tốt nghiệp ở
trường đại học có phân phối chuẩn với giá trị trung bình
560 và độ lệch chuẩn 78. Tính:
a. Tỷ lệ sinh viên có điểm từ 600 đến 700.
b. Tỷ lệ sinh viên có điểm Toeic trên 500.
c. Giả sử nhà trường muốn xác định điểm Toeic tối thiểu
để sinh viên có thể ra trường với tỉ lệ 80%. Tính điểm
Toeic tối thiểu (lấy phần nguyên).
trong đó,
  







  












Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng pp chuẩn
Định lý: Cho    Nếu  lớn và  không gần
với  và  thì  có phân phối xấp xỉ chuẩn với kỳ
vọng bằng  và phương sai bằng   
Khi ấy,
   






  








 





Ví dụ: Xác suất để một máy sản xuất được sản phẩm
loại A là 0,8. Tính xác suất để trong 400 sản phẩm do
máy sản xuất ra có:

1) 336 sản phẩm loại A;
2) Có từ 304 đến 328 sản phẩm loại A;
Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng pp chuẩn
Bài tập: Trong một kho lúa giống có tỉ lệ hạt lúa lai là
20%. Tính xác suất sao cho khi chọn lần lượt 1000 hạt
lúa giống trong kho thì có:
1) Đúng 192 hạt lúa lai.
2) Có từ 185 đến 195 hạt lúa lai.
Bài tập: Tuổi thọ của một loại máy cắt cỏ là biến ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 82 tháng.
Nhà sản xuất bảo hành sản phẩm khi bán ra là 33
tháng. Giả sử 2,5% sản phẩm bị trả lại (hỏng) trong
thời gian bảo hành. Tính:
a. Độ lệch chuẩn của tuổi thọ sản phẩm này.
b. Xác suất một máy loại này có tuổi thọ trên 50
tháng.
c. Một cửa hàng bán 10 máy cắt cỏ loại này. Tính:
i) Xác suất có 2 máy hỏng trong thời gian bảo
hành.
ii) Số máy trung b.nh hỏng trong thời gian bảo
hành.
Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng pp chuẩn
Bài 1: Tại bệnh viện A trung bình 3 giờ có 8 ca mổ. Tính
a. Số ca mổ chắc chắn nhất sẽ xảy ra tại bệnh viện A
trong 25 giờ.
b. Tính xác suất trong 5 giờ có từ 10 đến 12 ca mổ.
Bài tập
Bài 2: Một lô hàng chứa 20 sản phẩm trong đó có 4 phế
phẩm. Chọn liên tiếp 3 lần (có hoàn lại) từ lô hàng, mỗi
lần chọn ra 4 sản phẩm. Tính xác suất để trong 3 lần

chọn có:
a. Đúng 1 lần chọn được không quá 1 phế phẩm.
b. Trung bình số lần chọn được không quá 1 phế phẩm.
Bài 3: Giá cà phê trên thị trường là biến ngẫu nhiên có
phân phối chuẩn với trung bình là 26000 đồng/kg và độ
lệch chuẩn 2000 đồng. Gọi k là giá trị tại đó cà phê có giá
lớn hơn k với xác suất 90%. Tính giá trị k.
Bài tập
Bài 4: Thời gian mang thai của sản phụ là biến ngẫu nhiên
có phân phối chuẩn với trung bình 280 ngày. Cho biết tỷ lệ
một sản phụ mang thai trên 290 ngày là 25,14%, tính độ
lệch chuẩn của thời gian mang thai.
Bài 5: Chiều dài của loại linh kiện điện tử A tại cửa hàng B
là biến ngẫu nhiên . Một công ty cần
mua loại linh kiện này với chiều dài từ 11,98mm đến
13mm và họ chọn lần lượt 7 chiếc từ cửa hàng B. Tính xác
suất để trong 7 chiếc được chọn có:
a. Từ 5 đến 6 chiếc sử dụng được.
b. Ít nhất một chiếc sử dụng được.
Bài tập