Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (213.55 KB, 16 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bồi dưỡng HSG Toán 9 – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ. Chủ đề:căn bậc hai – căn bậc ba DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.. Bài 1: Cho biểu thức 1 1 a2 2 P= 21 a 21 a 1 a 3 a) Rút gọn P. b) Tìm Min P. Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x x 2 y 2 xy Tính giá trị biểu thức : P = xy - 1 Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q =. x-y xy. Biết x2 -2y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0 Bài 4: Cho biểu thức 15 x 11 3 x 2 2 x 3 P= x 3 x 2 x 3 1- x a) Tìm các giá trị của x sao cho P = b) Chứng minh P ≤. 1 2. 2 3. Bài 5: Cho biểu thức 3a 9a 3 a 1 a 2 P= a a 2 a 2 1 a a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên. Bài 6: Cho biểu thức P=. a 4 a-4 a 4 a-4 8 16 1- a a2. a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên. Bài 7: Cho biểu thức a 1 1 2 : P = a 1 a a a 1 a 1 a) Rút gọn P. b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2 c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0. Bài 8: Cho biểu thức 1 Lop8.net.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bồi dưỡng HSG Toán 9 – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ. 4 x 8x x 1 2 : P = x 2 x 4x x2 x a) Rút gọn P. b) Tính x để P = -1 c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( x - 3)P > x + 1. Bài 9: Cho biểu thức y - xy y x y x P= x : x y xy y xy x xy . a) Tìm x, y để P có nghĩa. b) Rút gọn P. c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 3 Bài 10: Cho biểu thức x 1 x - 1 x 2 4x 1 x 2007 P = 2 x 1 x 1 x x 1 a) Tìm x để P xác định. b) Rút gọn P. c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên. Bài 11: Rút gọn P. P=. a a 2 b2 a a 2 b2 a a 2 b2 a a 2 b2 . 4 a 4 a 2b 2 : b2 . Với | a | >| b | > 0 Bài 12: Cho biểu thức 2 x 2 x 2 1 x . P= 2 x 1 x 2 x 1 . a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0. c) Tìm GTLN của P. Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức 2x 5 x 1 x 10 P= x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6 Không phụ thuộc vào biến số x. Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức P = x 3 2 3 .6 7 4 3 x 4. 9 4. 5 .. 2 . 5 . x. Không phụ thuộc vào biến số x. Bài 15: Cho biểu thức x2 x x2 P= x . x 1. x . x x 1 x 1. 2 Lop8.net.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bồi dưỡng HSG Toán 9 – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ. Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1 . Bài 16: Cho biểu thức 2 P= x . x. x 2x x 2(x 1) x 1 x x 1. a) Rút gọn P. b) Tìm GTNN của P c) Tìm x để biểu thức Q = Bài 17:. 2 x nhận giá trị là số nguyên. P. Cho biểu thức 2x x x x x x x 1 x P = x 1 2x x 1 2 x 1 x x 1 a) Tìm x để P có nghĩa b) Rút gọn P. c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó.. Bài 18:. Rút gọn biểu thức 3 5 3 5 P= 10 3 5 10 3 5 Bài 19: Rút gọn biểu thức a) A =. 4 7 4 7. b) B =. 4 10 2 5 4 10 2 5. c) C = 4 15 4 15 2 3 5 Bài 20: Tính giá trị biểu thức P= Bài 21:. x 24 7 2 x 1 x 4 3 2 x 1 1 Với ≤ x ≤ 5. 2 Chứng minh rằng:. 2 3 5 13 48 6 2 là một số nguyên. Bài 22: Chứng minh đẳng thức: 3 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 1 2 2 P=. Cho x = 3 5 2 7 3 5 2 7 . Tính giá trị của biểu thức f(x) = x3 + 3x 1 xy 1 xy Bài 24: Cho E = xy xy Tính giá trị của E biết: Bài 23:. 3 Lop8.net.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bồi dưỡng HSG Toán 9 – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ. x= y=. 4 8. 2 2 2 . 2 2 2. 3 8 2 12 20 3 18 2 27 45. Bài 25:. Tính P = 1 20072. Bài 26:. Rút gọn biểu thức sau:. P=. 1 + 1 5. 20072 2007 2 2008 2008. 1 1 + ... + 5 9 2001 2005. Bài 27: Tính giá trị của biểu thức: 3 P = x + y3 - 3(x + y) + 2004 biết rằng x = 3 3 2 2 3 3 2 2 y = 3 17 12 2 3 17 12 2 Bài 28:. a 1 a 1 1 4 a a Cho biểu thức A = a 1 a 1 a . . a) Rút gọn A. b) Tính A với a = (4 + 15 )( 10 - 6 ) 4 15 Bài 29: Cho biểu thức A=. x 4 x 1 x 4 x 1 1 1 x 1 x 2 4 x 1. a) x = ? thì A có nghĩa. b) Rút gọn A. Bài 30: Cho biểu thức P=. 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x. a) Rút gọn P. b) So sánh P với. 2 . 2. Bài 31:. Cho biểu thức 1 3 2 P= x 1 x x 1 x x 1 a) Rút gọn P. b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1.. Bài 32:. Cho biểu thức 2 a 9 a 3 2 a 1 P= a 5 a 6 a 2 3 a a) Rút gọn P. b) a = ? thì P < 1 c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên. 4 Lop8.net.
<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bồi dưỡng HSG Toán 9 – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ. Bài 33:. a) b) Bài 34:. a) b) Bài 35:. Cho biểu thức x 2 x 1 x P= xy 2 y x x 2 xy 2 y 1 x Rút gọn P. Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0. Cho biểu thức x 2 x 1 x P= xy 2 y x x 2 xy 2 y 1 x Rút gọn P. Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0. Cho biểu thức 1 1 2 1 P = y x y x x. 1 : y . x3 y x x y y 3 xy 3 x 3 y. a) Rút gọn P. b) Cho xy = 16. Tìm Min P.. 5 Lop8.net.
<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bồi dưỡng HSG Toán 9 – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ. DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT. Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab. Tính giá trị của biểu thức: P = a b ab. 2x2. +2y2. Bài 2: Cho x > y > 0 và = 5xy x Tính giá trị biểu thức E = y x y. Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0 CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc 2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0 Tính giá trị biểu thức: yz xz xy M= 2 2 2 x y z Bài 4: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức: . a b . b c . c a. P = 1 1 1 Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y 3 -z3 b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 . Tính giá trị của biểu thức: A = x2007 + y2007 + z2007 Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức: P = a4 + b4 + c4 Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Tính giá trị của biểu thức P = a2007 + b2007 xy x3 y3 x y 2 Bài 8: Cho 1 và . Tính 3 3 ab a b a b Bài 9: Cho a + b + c = 0 . Tính giá trị của biểu thức P=. 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 b c a a c b a b c 2 2. x4 y4 1 Bài 10: Cho ; x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng: a b ab a) bx2 = ay2;. x 2008 y 2008 2 b) 1004 1004 a b (a b) 1004 Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì: 1 1 1 =1 1 x xy 1 y yz 1 z xz. Bài 12: Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức: A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3 Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức: a2 b2 c2 P= (a b)(a c) (b c)(b a ) (c b)(c a ). Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. 6 Lop8.net.
<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bồi dưỡng HSG Toán 9 – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ. Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều. Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì:. bc cb a b 2 2 2 (a b)(a c) (b c)(b a ) (c a )(c b) a b b c c a. Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p Chứng minh rằng:. 1 1 1 1 abc p a p b p c p p ( p a )( p b)( p c). Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh : a b 2(ab 2) 3 2 2 b 1 a 1 a b 3 a b c x y z Bài 18: Cho 1 và 0 x y z a b c 3. x2 y 2 z 2 a 2 b2 c2 a b c 0 Bài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và bc ca a b a b c Tính giá trị của P = 2 2 (b c) (c a ) (a c) 2. Tính giá trị biểu thức A =. Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c. Chứng minh rằng biểu thức A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) luôn khác 0. Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + 1 = cd Chứng minh: c = d. Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2. Tính giá trị biểu thức: A =. x y x y. Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x2 – y2 = 2xy. Tính giá trị của phân thức A =. 2 xy 6 x xy y 2 2. Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007. Tính giá trị của biểu thức:. ax 2 by 2 cz 2 P= bc( y z ) 2 ac( x z ) 2 ab( x y ) 2. Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008. Tính giá trị biểu thức: x3 y3 z3 P= ( x y )( x z ) ( y x)( y z ) ( z y )( z x) x y z 1 Bài 27: Cho x 2 y 2 z 2 1 x3 y 3 z 3 1 . Tính giá trị của biểu thức: P = x2007 + y2007 + z2007 . 7 Lop8.net.
<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bồi dưỡng HSG Toán 9 – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ. Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Tính giá trị của biểu thức:. a P=. . (b c) 2 (a b c) (a b c) (a c) 2 b 2 2. . (b2. c2. . a2)2. Bài 29: Cho biểu thức P = + – – 4b2c2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì P < 0. Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn: xy y z 3 yz y z 8 zx x z 15 . Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z. Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình: x 2 y 2 z 2 1 3 x y 3 z 3 1. Tính giá trị biểu thức P = xyz. (Đề thi HSG tỉnh 2003) 2 3 6 84 2 3 4 x y b) Tính giá trị biểu thức: Q = x y. Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P =. Biết x2 – 2y2 = xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0. (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005) Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006) Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2. a) So sánh a và b + c. b) So sánh a3 và b3 + c3. (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 0 2) Tính A = 3 20 14 2 3 20 14 2 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007). 8 Lop8.net.
<span class='text_page_counter'>(9)</span> Bồi dưỡng HSG Toán 9 – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ. DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = 2. b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m. c) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn điều kiện x 12 + x 22 10. c 0. Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện: . c a ab bc 2ac 2. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm. Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < 0. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt. Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = 0. Tìm p, q biết rằng phương trình có hai x1 x 2 5. nghiệm x1, x2 thỏa mãn: . 3 3 x1 x 2 35. Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình (x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm. Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. CMR phương trình sau có nghiệm: (a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0 Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm nếu. 2b c 4 a a. Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: x 12 - x 22 =. 5 9. Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN b) B = x12 + x22 - đạt GTNN. c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. Bài 11: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2: 3x2 - cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức: S=. 1 1 3 3 x1 x 2. Bài 12: Cho phương trình : x2 - 2 3 x + 1 = 0. Có hai nghiệm là x1, x2. Không giải phương trình trên hãy tính giá trị của biểu thức: A=. 3 x12 5 x1 x 2 3 x 22 4 x1 x 23 4 x13 x 2. Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1) 9 Lop8.net.
<span class='text_page_counter'>(10)</span> Bồi dưỡng HSG Toán 9 – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ. 1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a. 2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 = 6. 3. Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1 < 1 < x2. Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1) a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) . Tìm GTNN của M = x12 + x22 Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện: 1 1 1 a b 2. CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm: x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0. Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1) a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m. b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN. Tìm GTNN đó. Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình sau phải có nghiệm: ax2 + 2bx + c = 0 (1) bx2 + 2cx + a = 0 (2) cx2 + 2ax + b = 0 (2) Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1) a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m. b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN. Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1) 1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m. 2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 10. 3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: E = x12 + x22 đạt GTNN. Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương. CMR: a2 + b2 là một hợp số.. 10 Lop8.net.
<span class='text_page_counter'>(11)</span> Bồi dưỡng HSG Toán 9 – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ. DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO. Giải phương trình: Bài 1: x3 + 2x2 + 2 2 x + 2 2 . Bài 2: (x + 1)4 = 2(x4 + 1) Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144 Bài 6: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272 Bài 7: a) (x + 2 )4 + (x + 1)4 = 33 + 12 2 b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64 Bài 8: a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + 1 = 0 b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0 c) x4 - 3x3 + 3x + 1 = 0 Bài 9: a) x4 = 24x + 32 b) x3 + 3x2 - 3x + 1 = 0 5 3 Bài 10: x 8 x 9 1 Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14:. Bài 15:. 2x 7x 2 1 3x x 2 3x 5 x 2 4x 2 2 12 x + x 2 2 2. 2. 2. x 2 x2 4 x 2 0 5 48 2 x 1 x 1 x 1 3x 7x 2 4 a) 2 x 3x 1 x x 1 x 2 10 x 15 4x 2 b) 2 x 6 x 15 x 12 x 15 x 2 3x 5 x 2 5 x 5 1 2 c) 2 4 x 4x 5 x 6x 5 2 81x 40 a) x2 + x 9 2 x2 15 b) x2 + x 12. 20 . 2. Bài 16:. 2. x 1 x 1 40 a) 9 x x 2 2. 2. x 2 x 2 5 x2 4 b) 0 2 x2 1 x 1 x 1 8 x 8 x c) x. x 15 x 1 x 1 2. Bài 17: Bài 18: Bài 19:. x 1 + = 8( Đề thi HSG V1 2004) x x 1 5 x 1 3x 2 x 1 3 7 x 2. x2 3. 11 Lop8.net.
<span class='text_page_counter'>(12)</span> Bồi dưỡng HSG Toán 9 – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ. Bài 20: Bài 21: Bài 22: Bài 23: Bài 24: Bài 25: Bài 26: Bài 27: Bài 28:. Bài 29: Bài 30: Bài 31: Bài 32: Bài 33: Bài 34:. x 2 x 1 x 2 x 1 2. 3x2 + 21x + 18 + 2 x 2 7 x 7 2 a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1 b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0 c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0 (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( Đề thi HSG V1 2003) a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3 b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24 a) x3 - 6x + 4 = 0 b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0 a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0 b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 x 2 48 x 4 2 10 0 3 x 3 x. a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 x 3 1 ( Đề thi HSG 1998) x5 . x 14. 3 3 x 5 x4 - 4 3 x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000) x4 4 5x 0 ( Đề thi HSG V2 2003) x2 2. a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0 b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0 (x + 3 x + 2)(x + 9 x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005) a) x2 + 4x + 5 = 2 2 x 3 b) 3 x 3 8 = 2x2 - 6x + 4 c) 2 x . Bài 35: Bài 36:. 3. 4. 2 2 x 3 x 1 3 x 2 3 x 3 0. Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m a) Giải phương trình khi m = 5. b) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Bài 37: Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c. Tìm điều kiện của a, b, c để phương trình có nghiệm. Bài 38: Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 5 = 0 Bài 39: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = 0. Bài 40: x2 + 9x + 20 = 2 3x 10 Bài 41: x2 + 3x + 1 = (x + 3) x 2 1 Bài 42: x2 + x 2006 =2006. DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC 12 Lop8.net.
<span class='text_page_counter'>(13)</span> Bồi dưỡng HSG Toán 9 – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ. Bài 1) Với a, b > 0 thì. ab ab . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 2. Bài 2) CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có: (a 2 b 2 )( x 2 y 2 ) (ax + by)2.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 3) Cho a, b, c, d > 0. Cm: ab cd a c b d Bài 4) CM bất đẳng thức: a2 b2 c2 d 2 . a c 2 b d 2. Bài 5) Cho a, b, c là các số dương cm bất đẳng thức: a2 b2 c2 abc bc ca ab 2. Bài 6) CM với mọi n nguyên dương thì: 1 1 1 1 ... n 1 n 2 2n 2. Bài 7) Cho a3 + b3 = 2. Cmr: a + b 2. Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1) a2 + b2 + c2 = 2 (2) 4 CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn ;0 khi biễu diễn trên trục số. 3. . Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5. CMR: 2a2 + 3b2 5. Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = 1. CM: a2 + 4b2 . 1 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề thi HSG 2003). 5. Bài 11) Chứng minh:. 2 2 2 2 2. . 2 2 2 2. 1 3. (Đề thi HSG 2001).. Bài 12) Chứng minh: a) (a 2 b 2 )( x 2 y 2 ) (ax + by)2 b) 0 x 2 4 x 2 a b c 3 bc ca ab 2 1 1 1 Bài 14) Cho S 1 . ... 2 3 100. Bài 13) Cho a, b, c > 0. Cm:. CMR: S không là số tự nhiên. 1 1 4 . Dấu bằng xảy ra khi nào? x y x y abc b) Tam giác ABC có chu vi P . 2 1 1 1 1 1 1 Cm: 2 pa pb pc a b c. Bài 15) a) Cho x, y dương. CMR:. Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì?. 13 Lop8.net.
<span class='text_page_counter'>(14)</span> Bồi dưỡng HSG Toán 9 – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ. x. Bài 16) a) CM x > 1 ta có:. x 1. 2. a2 b2 b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của: P b 1 a 1. Bài 17) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) 1 1 1 Bài 18) CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì 9 . a. b. c. Bài 19) CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2. CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005). Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5. Cm: a + 2b 10. Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = 4 + ab. CMR:. 8 a2 b2 8 . 3. Dấu bằng xảy ra khi nào? Bài 23) CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT:. 1 1 2 3 a b ab. Bài 24) CMR nếu: a) 1 a 5 thì 3 a 1 4 5 a 10 b) a + b 0; b 1 0; a b 2 thì a 1 b 1 2 2 Bài 25) Cho biểu thức P CMR: 0 P . 3 x x x 1 4. 3. . 32 với x 1 . 9. Bài 26) a) Cho a, b, k là các số dương và. 1 x x x 1 4. 3. . 4 x x x x2 x 1 5. 4. 3. a a ak 1.Cmr : b b bk. b) CMR nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì: a b c < 2. bc ca ab. Bài 27) Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1. 1 1 Chứng minh rằng: 1 1 9 . a . b. (Đề thi HSG V2 2003 - 2004) Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0: x y x2 y2 2 4 3 2 y x y x. ( Đề thi HSG V2 2006 - 2007). DẠNG 6: CỰC TRỊ Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x + y. 14 Lop8.net.
<span class='text_page_counter'>(15)</span> Bồi dưỡng HSG Toán 9 – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ. 1 1 Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = 1. Tìm GTNN của P = 1 2 1 2 x y 2 x x 1. . . . 2. Bài 3) Cho P =. x2 1. . Tìm GTNN, GTLN của P và các giá trị tương ứng của x.. Bài 4) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y 0, x + y = 10. Bài 5) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5. Bài 6) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x2 + y2. Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 Bài 7) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P =. x2 x 1 x2 x 1. Bài 8) Tìm GTLN của A = x + 2 x Bài 9) Tìm GTLN của P =. x y z với x, y, z > 0. y z x. Bài 10) Tìm GTLN của P = ( x 1990)2 ( x 1991)2 Bài 11) Cho M = a 3 4 a 1 a 15 8 a 1 a) Tìm điều kiện của a để M được xác định. b) Tìm GTNN của M và giá trị của A tương ứng. Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: 1 1 1 2 . Tìm GTNN của P = x.y.z. 1 x 1 y 1 z. Bài 13) Tìm GTNN của P =. 2 1 1 x x. Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x2 + 4y2 = 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x + 2y. Bài 15) Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3. Tìm GTNN của E = x2 + 2y2. Bài 16) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn: x + y 1. Tìm GTNN của biểu thức P=. 1 2 + + 4xy 2 x y xy 2. x2 x 1 Bài 17) Tìm GTLN và GTNN của: P = với x bất kỳ. x2 1 Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y 1. Tìm GTNN của biểu thức 1 2 A= 2 2 x y xy 2. 1 1 Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = x y x y 1 Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 2(x4 + y4) + 4xy 1 1 Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 1 1 y x . 2. Bài 22) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = 4. 15 Lop8.net.
<span class='text_page_counter'>(16)</span> Bồi dưỡng HSG Toán 9 – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ 2. 1 1 Tìm GTNN của biểu thức P = x y y x . 2. Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 2. 2. 1 1 1 E = a b c a b c . 2. Bài 24) Cho a, b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1. Tìm GTNN của: P = a3 + b3 Bài 25) Cho a, b là hai số dương thỏa a + b = 1. Tìm GTNN của P =. 1 1 a 1 b 1. Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = 2. Tìm GTNN của P =. x2 y 2 x y. Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = 1. Tìm GTNN của P = 8(x4 + y4) +. 1 xy. Bài 28) Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = 0 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x + y + 1 Bài 29) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x x + y y biết x + y = 1 Bài 30) Tìm GTNN của biểu thức P =. x 2 2 x 2000 x2. 16 Lop8.net.
<span class='text_page_counter'>(17)</span>