Thời trang "Bốn Mùa và các loài cây" trong ngày " Tết trồng cây

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (190.73 KB, 22 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = sin x - cos x + sin 2x$
(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

$f(x) = sin x - cos x + sin 2x = sin x - cos x + 2 sin x . cos x$

Đặt $t = sin x - cos x$, $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ và $2 sin x . cos x = 1 - t^2$
Bài tốn trở thành tìm GTLN và GTNN của hàm số $g(t) = -t^2 + t + 1$

$g`(t) = -2t + 1$

$g`(t) = 0$ $\Leftrightarrow$ $t = \frac{1}{2}$

Tính giá trị của $g(t)$ tại $t = \frac{1}{2}; \pm \sqrt{2}$
Ghi vào màn hình (MathIO): $-X^2 + X + 1$

Ấn (X?) nhập $1 \div 2$ ấn kết quả: $\frac{5}{4} = 1,25$

Ấn (X?) nhập $-\sqrt{}(2)$ ấn kết quả: $-1 - \sqrt{2} = -2,414213562$
Ấn (X?) nhập $\sqrt{}(2)$ ấn kết quả: $-1 + \sqrt{2} = 0,4142135624$
Suy ra:

max $f(x)$ = max $g(t)$ = $\frac{5}{4}$
min $f(x)$ = min $g(t)$ = $-1 - \sqrt{2}}$

Tính gần đúng tọa độ giao điểm của hypebol $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ và đường thẳng $x - 4y - 5 =
0$

(kết quả gần đúng lấy 4 chữ số thập phân)

(Trích đề thi Quốc gia giải tốn trên MTCT 2010, BT THPT)
Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

Tọa độ giao điểm của hypebol và đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1}\\ {x - 4y - 5 = 0} \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}{\frac{(4y + 5)^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 (*)}\\ {x = 4y + 5}
\end{array} \right.$

Giải (*)

Ghi vào màn hình (MathIO): $\frac{(4A + 5)^2}{16} - \frac{A^2}{9} = 1, A$
Ấn (Solve for A) nhập 10 ấn kết quả: $y_1 = -0,2466$

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Ấn (Solve for B) nhập $-10$ ấn kết quả: $y_2 = -2,5659$
Tìm $x_1, x_2$

Ghi vào màn hình: $4Y + 5$

Ấn kết quả: $x_1 = 4,0135$
Ấn kết quả: $x_2 = -5,2635$

Vậy hypebol và đường thẳng giao nhau tại các điểm có tọa độ lần lượt là:

$\left\{\begin{array}{l}{x_1 = 4,0135}\\ {y_1 = -0,2466} \end{array} \right.$ ; $\left\{\begin{array}{l}{x_2 = 
-5,2635}\\ {y_2 = -2,5659} \end{array} \right.$

Tính gần đúng giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số (đề Quốc gia MTCT 2010)

Tính gần đúng giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số $y = \frac{x^2 - 5x + 1}{x + 1}$

(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES
$y` = \frac{x^2 + 2x - 6}{(x+1)^2}$
$y`` = \frac{14}{(x+1)^3}$

$y` = 0$ $\Leftrightarrow$ $\frac{x^2 + 2x - 6}{(x+1)^2} = 0$ $\Leftrightarrow$ $x^2 + 2x - 6 = 0$ ($x=-1$
khơng là nghiệm)

Ghi vào màn hình (MathIO): $A^2 + 2A - 6, A$

Ấn (Solve for A) nhập $-5$ ấn kết quả: $-3,645751311$
Ghi vào màn hình (MathIO): $B^2 + 2B - 6, B$

Ấn (Solve for B) nhập $5$ ấn kết quả: $1,645751311$
Dùng máy tính được: $y``(-3,645751311) < 0$, $y``(1,645751311) > 0$
$\Rightarrow$ $y_{CĐ} = y(-3,645751311)$; $y_{CT} = y(1,645751311)$
Ghi vào màn hình (MathIO): $\frac{X^2 - 5X + 1}{X + 1}$

Ấn (X?) ấn kết quả: $-12,29150262$
Ấn (X?) ấn kết quả: $-1,708497378$

Vậy $y_{CĐ} = -12,29150262$, $y_{CT} = -1,708497378$

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Cho một tứ diện SPQR có SP = QR = 11, SQ = PR = 20 và SR = PQ = 21. Hãy tính thể tích của tứ diện đó?
(Trích đề thi Quốc gia giải tốn trên MTCT 2010, THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

Ta dựng các đường thẳng lần lượt đi qua P, Q, R và lần lượt song song với QR, PR, PQ.

Các đường thẳng trên lần lượt cắt nhau tại A, B, C.

P, Q, R là trung điểm của các cạnh tương ứng AB, BC, CA...
$S_{PQR} = \frac{1}{4} S_{ABC}$. Suy ra:

$V_{SPQR} = \frac{1}{4} V_{SABC}$

Ta có: $\Delta SBQ$ cân tại Q (SQ = BQ = PR) $\Rightarrow$ $\hat{BSQ} = \hat{SBQ}$
$\Delta SCQ$ cân tại Q (SQ = CQ = PR) $\Rightarrow$ $\hat{CSQ} = \hat{SCQ}$

$\Rightarrow$ $\hat{BSC} = \hat{BSQ} + \hat{CSQ} = \frac{1}{2}(2\hat{BSQ} + 2\hat{CSQ}) = \frac{1}{2}
(\hat{BSQ} + \hat{SBQ} + \hat{CSQ} + \hat{SCQ}) = 90^o$

Tương tự: $\hat{ASB} = \hat{ASC} = 90^o$
Suy ra: $V_{SABC} = \frac{1}{6}SA. SB. SC$

$\Rightarrow$ $V_{SPQR} = \frac{1}{24}SA. SB. SC$

Trong đó: $\left\{\begin{array}{l}{SA^2 + SB^2 = AB^2 = 4QR^2 = 4b^2}\\ {SB^2 + SC^2 = BC^2 = 4PR^2 =
4a^2}\\ {SC^2 + SA^2 = AC^2 = 4PQ^2 = 4c^2} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}{SA^2 = 2(b^2+c^2-a^2)}\\ {SB^2 = 2(a^2+b^2-c^2)}\\ {SC^2 =
2(a^2+c^2-b^2)} \end{array} \right.$

Lưu 20 vào A, 11 vào B, 21 vào C:

Ấn 20 11 21

Ghi vào màn hình (MathIO): $\frac{1}{24} \sqrt{2(B^2 + C^2 - A^2) \times 2 (A^2+B^2-C^2) \times 
2(A^2+C^2-B^2)}$

Ấn kết quả: 360

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Một người mua xe máy trả góp (đề thi Quốc gia 2010, THPT)

Một người mua xe máy trả góp với giá tiền là 20.000.000 đ, mức lãi suất 1,2% / tháng với quy ước 1 tháng trả
800.000 đ cả gốc và lãi. Hỏi sau 12 tháng kể từ ngày người ấy mua xe số tiền còn nợ là bao nhiêu đồng? Sau một
năm lãi suất lại tăng lên là 1,5% / tháng và người đó lại quy ước 1 tháng trả 1.000.000 đ cả gốc và lãi (trừ tháng
cuối cùng). Hỏi sau bao nhiêu tháng người ấy trả hết nợ? (tháng cuối trả không quá 500.000 đ).

(Trích đề thi Quốc gia giải tốn trên MTCT 2010, THPT)
Giải bằng máy tính Casio fx-570MS

Gọi $u_0$ là số tiền người đó mua xe: $u_0 = 20 000 000$ (đồng)
$u_n$ là số tiền người đó cịn nợ sau n tháng.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{u_0 = 20 000 000}\\ {u_ n = 1,012u_{n-1} - 800 000 (TH: n \le 12)}\\ {u_n =
1,015 u_{n-1} - 1 000 000 (TH: n > 12)} \end{array} \right.$

Nhớ 0 vào X, nhớ 20000000 vào A
Ấn 0 20000000

Ghi vào màn hình: $X = X+1 : A = 1.012A - 800000$
Ấn liên tiếp phím cho đến khi X = 12 thì dừng.
Ấn kết quả: $u_{12} = 12818250,87$.

Vậy sau 12 tháng, số tiền người đó cịn nợ là 12818250,87 đồng.
Ghi vào màn hình: $X = X+1 : A = 1.015A - 1000000$

Ấn liên tiếp phím cho đến khi $A < 0$ thì dừng.

Ấn kết quả: $27$

Vậy sau 27 tháng người đó trả hết nợ.

Tìm số hạng thứ 2009 (đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010)

Cho dãy số {$u_n$} với

$u_n = sin(2010 - sin(2010 - sin (2010 - ... sin(2010 - sin2010))))$

Tìm $n_0$ để với mọi $n \le n_0$ thì $u_n$ có 4 chữ số thập phân ngay sau dấu phẩy là khơng đổi. Tính giá
trị $u_{2009}$

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES
(chọn đơn vị đo góc là rad)

Nhớ $-1$ vào X, nhớ 0 vào A
Ấn $-1$ 0

Ấn 1 ($X+1 \to X$)

Ấn sửa lại thành: $X + 1 \to X : sin (2010 - A)$
Ấn

Ấn liên tiếp phím cho đến khi $sin (2010 - A)$ kết quả có 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy khơng đổi thì
dừng.

Ấn

Kết quả: $n_0 = 186$

Và $u_{186} = u_{187} = u_{188} = .... = -0,3071$
Suy ra: $u_{2009} = -0,3071$

Thứ hai, 5/4/2010

Tìm số tự nhiên n (đề thi Quốc gia MTCT 2010, THPT)

Hãy tìm số tự nhiên n, sao cho giá trị của $(1+1)(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{3})...(n+\sqrt{n})$ sai khác số
43294578923 khơng q một đơn vị.

(Trích đề thi Quốc gia giải tốn trên MTCT 2010, THPT)
Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

Ghi vào màn hình (MathIO): $X = X + 1 : A = A (X + \sqrt{X}) : 43294578923 - A$
Ấn (X?) nhập 0 ấn (A?) nhập 1 ấn

Ấn liên tục cho đến khi $-1 \le 43294578923 - A \le 1$ thì dừng.
Ấn

Ta được $n = 12$.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Tìm nghiệm gần đúng của hệ:

$\left\{\begin{array}{l}{xy (x-2) (y-2) = 4}\\ {x^2 + y^2 - 2(x+y) = 4} \end{array} \right.$
(kết quả chính xác tới 4 chữ số thập phân)

(Trích đề thi Quốc gia giải tốn trên MTCT 2010 - THPT)
Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

$\left\{\begin{array}{l}{xy (x-2) (y-2) = 4}\\ {x^2 + y^2 - 2(x+y) = 4} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}{xy (x-2) (y-2) = 4}\\ {x(x-2) + y(y-2) = 4} \end{array} \right.$
Đặt $\left\{\begin{array}{l}{u = x(x-2)}\\ {v = y(y-2)} \end{array} \right.$

Hệ phương trình trên trở thành:

$\left\{\begin{array}{l}{uv = 4}\\ {u+v = 4} \end{array} \right.$
Suy ra: $u,v$ là nghiệm của phương trình: $X^2 - 4X + 4 = 0$
Chọn chương trình giải phương trình bậc 2: ấn

Nhập hệ số: 1 $-4$ 4
Ấn kết quả: $X=2$

Vậy $\left\{\begin{array}{l}{u=2}\\ {v=2} \end{array} \right.$

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}{x(x-2) = 2}\\ {y(y-2) = 2} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\
{\begin{array}{l}{x^2 - 2x - 2 =0}\\ {y^2 - 2y - 2 = 0} \end{array} \right.$

Ấn

Nhập hệ số: 1 $-2$ $-2$

Ấn kết quả: $\left\{\begin{array}{l}{X_1 = 2,7321}\\ {X_2 = -0,7321} \end{array} \right.$
Hệ có 4 nghiệm:

$\left\{\begin{array}{l}{x_1 = 2,7321}\\ {y_1 = 2,7321} \end{array} \right.$ ; $\left\{\begin{array}{l}{x_2 = 
2,7321}\\ {y_2 = -0,7321} \end{array} \right.$ ; $\left\{\begin{array}{l}{x_3 = -0,7321}\\ {y_3 = 2,7321} 
\end{array} \right.$ ; $\left\{\begin{array}{l}{x_4 = -0,7321}\\ {y_4 = -0,7321} \end{array} \right.$ 
Thứ bảy, 3/4/2010

Tìm các giá trị của a thỏa mãn hệ thức (đề Quốc gia MTCT 2010)

Cho các hàm số $f(x) = \frac{a}{x^2} - 3x + 2$, ($x \ne 0$) và $g(x) = a sin 2x$. Tìm các giá trị của a thỏa mãn
hệ thức: $f[f(-1)] \approx \sqrt{2} + g[f(2)]$

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT năm 2010 - THPT)
Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

$f(-1) = a + 5$

$f[f(-1)] = f(a + 5) = \frac{a}{(a+5)^2} - 3(a+5) + 2$
$f(2) = \frac{a}{4} - 4$

$g[f(2)] = g(\frac{a}{4} - 4) = a sin(2(\frac{a}{4} - 4)) = a sin(\frac{a}{2} - 8)$
Ta có: $f[f(-1)] = \sqrt{2} + g[f(2)]$

$\Leftrightarrow$ $\frac{a}{(a+5)^2} - 3(a+5) + 2 = \sqrt{2} + a sin(\frac{a}{2} - 8)$
(Chọn đơn vị đo góc là rad)

Ghi vào màn hình (MathIO): $\frac{X}{(X+5)^2} - 3(X+5) + 2 = \sqrt{2} + X sin(\frac{X}{2} - 8)$
Ấn (X?) nhập 1

Ấn kết quả: $-5,8122$

Thử lại với các giá trị ban đầu của X khác nhau ta đều tìm nghiệm duy nhất nghiệm $-5,8122$
Kết luận: $a = -5,8122$

Cho hàm số. Tính tổng (đề thi QG 2010)

Cho hàm số $f(x) = 4^x (4^x + 2)^{-1}$. Hãy tính tổng:

$S = f(\frac{1}{2010}) + f(\frac{2}{2010}) + f(\frac{3}{2010}) + ... + f(\frac{2009}{2010})$
(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT năm 2010 - THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES
Ta chứng minh: $f(x) + f(1-x) = 1$
Thật vậy:

$f(x) + f(1-x) = 4^x (4^x + 2)^{-1} + 4^{1-x} (4^{1-x} + 2)^{-1}$

$= 4^x (4^x + 2)^{-1} + 4^{1-x} [4 \times 4^{-x} + 2 \times 4^{-x} \times 4^x]^{-1}$
$= 4^x (4^x + 2)^{-1} + 4^{1-x} [2 \times 4^{-x} (2 + 4^x)]^{-1}$

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

$= (4^x + 2)(4^x + 2)^{-1}$
$= 1$

Từ đó suy ra:

$S = [f(\frac{1}{2010}) + f(\frac{2009}{2010})] + ... + [f(\frac{1004}{2010}) + f(\frac{1006}{2010})] +
f(\frac{1005}{2010})$

$= 1004 \times 1 + f(\frac{1005}{2010})$

Ghi vào màn hình (MathIO): $1004 + 4^X (4^X + 2)^{-1}$
Ấn (X?) nhập $1005 \div 2010$

Ấn kết quả: $\frac{2009}{2}$
Ấn kết quả: 1004.5

Vậy $S = 1004,5$.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Tính gần đúng giá trị của a và b nếu đường thẳng $y = ax + b$ đi qua điểm $M(1; 2)$ và là tiếp tuyến của đồ thị
hàm số $y = -3x^2 + 4x - 5$.

(Trích đề thi HSGMT Tồn quốc năm 2009, lớp 12 BT THPT)
Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

Tiếp tuyến đi qua $M(1; 2)$ nên có phương trình là: $y = k(x-1) + 2$
Khi đó hệ phương trình sau có nghiệm:

$\left\{\begin{array}{l}{-3x^2 + 4x - 5 = k(x-1) + 2 (*)}\\ {-6x + 4 = k (**)} \end{array} \right.$
Thế (**) vào (*) ta được: $-3x^2 + 4x - 5 = (-6x + 4)(x-1) + 2$

Ghi vào màn hình (MathIO): $-3A^2 + 4A - 5 = (-6A + 4)(A-1) + 2, A$
Ấn (Solve for A) nhập 5 ấn kết quả: $x_1 = 2,41423562$
Ghi vào màn hình (MathIO): $-3B^2 + 4B - 5 = (-6B + 4)(B-1) + 2, B$
Ấn (Solve for B) nhập $-5$ ấn kết quả: $x_2 = -0,414213562$
Tính k

Ghi vào màn hình: $C = -6X + 4$

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ấn (X?) nhập kết quả: $k_2 = 6,485281374$

Suy ra, có 2 tiếp tuyến là: $y = k_1(x-1) + 2$ và $y = k_2(x-1) + 2$
Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{a_{1,2} = k_{1,2}}\\ {b_{1,2} = -k_{1,2} + 2} \end{array} \right.$

Ghi vào màn hình: $X : -X + 2$

Ấn

Ấn kết quả: $a_1 = -10,48528137$
Ấn kết quả: $b_1 = 12,48528137$
Ấn

Ấn kết quả: $a_2 = 6,485281374$
Ấn kết quả: $b_2 = -4,485281374$

Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện

Tính gần đúng bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCD có các cạnh $AB = AC = AD = 8dm$, $BC
= 7dm$, $CD = 6dm$, $BD = 5dm$

(Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2009, lớp 12 BT THPT)
Giải bằng máy tính Casio fx-570MS

Gọi H là đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD. Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{HC = HC = HD}\\ {AB = AC = AD} \end{array} \right.$
$\Rightarrow$ A, H nằm trên đường thẳng là tập hợp các điểm cách đều ba điểm B, C, D.

$\Rightarrow$ Đường thẳng AH đi qua tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và $AH \bot (BCD)$
Các tam giác $HAC, HAB, HAD$ là các tam giác vuông bằng nhau (c.c.c).

Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ($O \in AH$) và $\alpha = \hat{HAB}$ , thì
$R = OB = \frac{HB}{sin (\hat{HBO})}$

Trong đó: $\hat{HBO} = \hat{HBA} - \hat{OBA} = 90 - \hat{HAB} - \hat{OBA} = 90 - 2 \hat{HAB} = 90 - 2
\alpha$

(tam giác AOB cân tại O nên $\hat{HAB} = \hat{OBA}$)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ta có: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \frac{abc}{4R}$

Ghi vào màn hình: $\sqrt{}(D(D-A)(D-B)(D-C)) = ABC \div (4X)$
Ấn (D?) nhập $(5+6+7) \div 2$ ấn

(A?) nhập 5 ấn
(B?) nhập 6 ấn
(C?) nhập 7 ấn
(X?) nhập 1 ấn

Ta được $HB = 3,572172542$dm
Tính R

(chọn đơn vị đo góc là độ)

Ghi vào màn hình: $X \div sin (90 - 2A)$
Ấn (X?) ấn

(A?) nhập $tan^{-1}(X \div 8)$ ấn
Kết quả: $R = 5,351359924$dm

Tính gần đúng các giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số

Đồ thị của hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ đi qua các điểm $A(1;-3)$, $B(-2;4)$, $C(-1;5)$, $D(2;3)$.
1. Xác định các hệ số $a, b, c, d$.

2. Tính gần đúng các giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đó.
(Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2003, lớp 12 THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

1. $a, b, c, d$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}{a+b+c+d = -3}\\ {-8a+4b-2c+d = 4}\\ {-a+b-c+d =
5}\\ {8a+4b+2c+d = 3} \end{array} \right.$ $\left .\begin{array}{l}{(1)}\\ {(2)}\\ {(3)}\\ {(4)} \end{array} \right.
$

Cộng phương trình (1) với phương trình (3), phương trình (2) với phương trình (4) ta được
$\left\{\begin{array}{l}{2b+2d = 2}\\ {8b+2d = 7} \end{array} \right.$

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2 2 2
8 2 7

Ấn kết quả: $\left\{\begin{array}{l}{b = \frac{5}{6}}\\ {d = \frac{1}{6}} \end{array} \right.$

Thế vào (1) và (4) ta được: $\left\{\begin{array}{l}{a+c = -3-\frac{5}{6}-\frac{1}{6}}\\ {8a+2c = 3 - 4 \times
\frac{5}{6} - \frac{1}{6}} \end{array} \right.$

Ấn

Nhập hệ số:

1 1 $-3 - 5 \div 6 - 1 \div 6$

8 2 $3 - 4 \times 5 \div 6 - 1 \div 6$

Ấn kết quả: $\left\{\begin{array}{l}{a = \frac{5}{4}}\\ {c = -\frac{21}{4}} \end{array} \right.$

Hàm số đã cho là: $y = \frac{5}{4} x^3 + \frac{5}{6} x^2 -\frac{21}{4} x + \frac{1}{6}$

2. $y` = \frac{15}{4} x^2 + \frac{5}{3} x - \frac{21}{4}$
Trở về MODE COMP: ấn

Ghi vào màn hình (MathIO): $\frac{15}{4} A^2 + \frac{5}{3} A - \frac{21}{4}, A$
Ấn (Solve for A) nhập 1 ấn kết quả: $x_1 = 0,9816808952$

Ghi vào màn hình (MathIO): $\frac{15}{4} B^2 + \frac{5}{3} B - \frac{21}{4}, B$
Ấn (Solve for A) nhập $-1$ ấn kết quả: $x_2 = -1,42612534$

$y`` = \frac{15}{2}x + \frac{5}{3}$

Tính trên máy: $y``(x_1) > 0$, $y``(x_2) < 0$, suy ra
$y_{CT} = y(x_1)$, $y_{CĐ} = y(x_2)$

Ghi vào màn hình (MathIO): $\frac{5}{4} X^3 + \frac{5}{6} X^2 -\frac{21}{4} X + \frac{1}{6}$
Ấn (X?) kết quả: $y_1 = -3,00152275$

Ấn (X?) kết quả: $y_2 = 5,723059101$
Vậy $y_{CT} = -3,00152275$, $y_{CĐ} = 5,723059101$
============

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ, các nhà thiết kế ln đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít
nhất, tức là diện tích tồn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Tính gần đúng diện tích tồn phần của lon khi ta muốn có
thể tích của lon là 1 $dm^3$.

(Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2009, lớp 12 BT THPT)
Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

Đặt R là bán kính đáy của lon, d là chiều cao của lon. Ta có:
Thể tích của lon là: $V = \pi R^2 d = 1$

$\Rightarrow$ $d = \frac{1}{\pi R^2}$ (*)

Thể tích tồn phần của lon là: $S = 2 \pi R^2 + 2 \pi R d$ (**)
Thế (*) vào (**) ta được:

$S = 2 \pi R^2 + 2 \pi R \frac{1}{\pi R^2} = 2 \pi R^2 + \frac{2}{R}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$S = 2 \pi R^2 + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \ge 3 \root{3}{2 \pi R^2 \frac{1}{R} \frac{1}{R}} = 3 \root{3}{2
\pi}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ $2 \pi R^2 = \frac{1}{R}$
$\Leftrightarrow$ $R = \root{3}{\frac{1}{2 \pi}}$

Vậy diên tích tồn phần của lon nhỏ nhất bằng $3 \root{3}{2 \pi}$ khi $R = \root{3}{\frac{1}{2 \pi}}$
Ghi vào màn hình (MathIO): $3 \root{3}{2 \pi}$

Ấn kết quả: 5,535810446
Vậy $S = 5,535810446$ dm.

Tìm gần đúng các hệ số của tiếp tuyến

Tìm gần đúng với 5 chữ số thập phân các hệ số $a_1, b_1$ của đường thẳng $y=a_1x + b_1$ là tiếp tuyến tại
điểm $M(1;2)$ của elip $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, biết elip đi qua điểm $N(-2;\sqrt{3})$
(Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2004, lớp 12 THPT, đề dự bị)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

Elip đi qua hai điểm M và N nên tọa độ của M và N thỏa phương trình elip, suy ra:

$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1}\\ {\frac{4}{a^2} + \frac{3}{b^2} = 1}
\end{array} \right.$

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a^2} = \frac{1}{13}}\\ {\frac{1}{b^2} = \frac{3}{13}} \end{array} \right.$
Vậy phương trình elip là: $\frac{x^2}{13} + \frac{3y^2}{13} = 1$

Tiếp tuyến tại điểm $M(1;2)$ của elip có phương trình $\frac{1 \times x}{13} + \frac{3 \times 2 \times y}{13}
= 1$

hay $y= -\frac{1}{6}x + \frac{13}{6}$

Vậy $\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{6} \approx -0,16667}\\ {b=\frac{13}{6} \approx 2,16667} 
\end{array} \right.$

Thứ bảy, 27/2/2010

Tính gần đúng GTLN và GTNN của hàm số

Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=3x-4-\sqrt{5-2x^2}$
(Trích đề thi HSGMT Tồn quốc năm 2009, mơn Tốn 12 BT THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

TXĐ: $D=[-\frac{\sqrt{10}}{2};\frac{\sqrt{10}}{2}]$
$f`(x) = 3 + \frac{2x}{\sqrt{5-2x^2}}$

$f``(x) = \frac{10}{(5-2x^2)^{\frac{3}{2}}} > 0$ với mọi $x \in TXĐ$

$\Rightarrow$ $f`(x)$ là hàm số đồng biến nên phương trình $f`(x)=0$ có tối đa 1 nghiệm
Giải phương trình $f`(x)=0$

Ghi vào màn hình: $3 + \frac{2X}{\sqrt{5-2X^2}}$
Ấn (X?) nhập -1 ấn

Kết quả: $x=-$1.430193884

Tính $f(-\frac{\sqrt{10}}{2})$, $f(\frac{\sqrt{10}}{2})$, $f(-1.430193884)$
Ghi vào màn hình: $3A-4-\sqrt{5-2A^2}$

Ấn (X?) nhập $-\sqrt{}(10) \div 2$ ấn kết quả: $-$8.74341649
Ấn (X?) nhập $\sqrt{}(10) \div 2$ ấn kết quả: 0.7434164903
Ấn (X?) ấn ấn kết quả: $-$9.244044241

Kết luận: GTLN = 0.7434164903, GTNN = $-$9.244044241

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Tính gần đúng giá trị đạo hàm cấp 100 của hàm số $f(x) = sin x$ tại $x=140308 \times \frac{\pi}{5}$
(Trích đề thi HSGMT Tồn quốc năm 2008, mơn Tốn 12 THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570MS

Ta chứng minh $f^{(n)}(x) = sin(x+n\times\frac{\pi}{2})$ (*)
Ta có:

$f^{(1)}(x) = cos x = sin(x+\frac{\pi}{2}) = sin(x+1 \times \frac{\pi}{2})$
Vậy (*) đúng với $n=1$

Giả sử (*) đúng với $n=k$, tức là $f^{(k)}(x) = sin(x+k \times \frac{\pi}{2})$

Ta chứng minh (*) đúng với $n=k+1$

Thật vậy:

$f^{(k+1)}(x) = cos(x+k \times \frac{\pi}{2}) = sin (x+k \times \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = sin(x+(k+1)
\times \frac{\pi}{2})$

Vậy theo nguyên lý quy nạp (*) đúng với mọi n.

$\Rightarrow$ $f^{(100)}(x) = sin(x+100 \times \frac{\pi}{2}) = sin x$
(chọn đơn vị đo góc là rad)

Ghi vào màn hình: sin X

Ấn nhập $140308\pi \div 5$
Ấn kết quả: $-$0.95105651

Kết luận: $f^{(100)}(140308 \times \frac{\pi}{5}) =$ $-$0.95105651
Thứ năm, 17/12/2009

Tính gần đúng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số

Cho hàm số $y=\frac{x^2-3x+2}{x}$

1. Tính gần đúng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số đó.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Giải bằng máy tính Casio fx-570MS

1. Tính gần đúng giá trị cực đại và cực tiểu 
$y`=\frac{x^2-2}{x^2}$, $y`` = \frac{4}{x^3}$

$y`=0$ $\Leftrightarrow$ $x=\pm \sqrt{2}$
$y``(\sqrt{2}) > 0$, $y``(-\sqrt{2}) < 0$

Suy ra: hàm số đạt cực đại tại $x=-\sqrt{2}$ và đạt cực tiểu tại $x=\sqrt{2}$
Nhớ $-\sqrt{2}$ vào A, $\sqrt{2}$ vào B

Ấn 2
2

Tính $y({-\sqrt{2}})$ nhớ vào C

Ghi vào màn hình: $C=(X^2-3X+2) \div X$
Ấn

Kết quả: $-$5.828427125

Tính $y({\sqrt{2}})$ nhớ vào D

Ấn sửa lại thành: $D=(X^2-3X+2) \div X$
Ấn

Kết quả: $-$0.171572875

Kết luận: $y_{CĐ} = -$5.828427125, $y_{CT} = -$0.171572875
2. Tính giá trị a, b

Đường thẳng $y=ax+b$ đi qua điểm cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}{y_{CĐ}=ax_{CĐ}+b}\\ {y_{CT}=ax_{CT}+b} \end{array} \right.$
Chọn chương trình giải hệ phương trình 2 ẩn: ấn

Nhập hệ số
1

Kết quả: $a=2, b=-3$

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Tính gần đúng diện tích tồn phần của hình chóp tam giác S.ABC biết rằng đáy ABC là tam giác vuông tại B,
cạnh AB = 6 dm, cạnh BC = 8 dm, cạnh bên SA = $4\sqrt{2}$ dm và vng góc với đáy.

(Trích đề thi HSGMT Tồn quốc năm 2004, lớp 12 BT THPT, đề dự bị)
Giải bằng máy tính Casio fx-570MS

Ta có các tam giác SAB, SAC, ABC là các tam giác vuông lần lượt tại A, A, B.
Do $\left\{\begin{array}{l}{BC \bot AB}\\ {BC \bot SA} \end{array} \right.$
$\Rightarrow$ $BC \bot (SAB)$

$\Rightarrow$ $BC \bot SB$

$\Rightarrow$ Tam giác SBC vuông tại B.
Diện tích tồn phần hình chóp S.ABC

$S=S_{ABC}+S_{SAB}+S_{SAC}+S_{SBC}$
$=\frac{1}{2}(AB.BC+SA.AB+SA.AC+SB.BC)$

Với $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}, SB=\sqrt{SA^2+AB^2}$
Đặt AB = a, BC = b, SA = c, AC = d, SB = e

Ghi vào màn hình: $(AB+CA+CD+EB) \div 2$

Ấn

(A?) nhập 6 ấn
(B?) nhập 8 ấn

(C?) nhập $4\sqrt{2}$ ấn

(D?) nhập $\sqrt{}(A^2+B^2)$ ấn
(E?) nhập $\sqrt{}(C^2+A^2)$ ấn
Kết quả: 102.239679

Vậy diện tích tồn phần hình chóp S.ABC là 102.239679 $dm^2$.

Dự đoán về giới hạn của dãy số

Cho dãy số {$u_n$} với $u_n=(1+\frac{sin (n)}{n})^n$

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

c. Với các kết quả tính tốn như trên, hãy nêu dự đốn về giới hạn của dãy số đã cho (khi $n \to \infty$).
(Trích đề thi HSGMT Tồn quốc năm 2005, lớp 12 THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570MS
a. Tính $u_n$ với $n=1001, 1002, ....$
(chọn đơn vị đo góc là rad)

Ghi vào màn hình: $(1+sinX \div X){^}X$

Ấn (X?) nhập 1001 ấn kết quả: $u_{1001}=$2.508206841
Ấn (X?) nhập 1002 ấn kết quả: $u_{1002}=$1.182052797
Ấn (X?) nhập 1003 ấn kết quả: $u_{1003}=$0.477345774
$\Rightarrow$ $|u_{1001}-u_{1003}|>2$

b. Tính $u_n$ với $n=1000001, 1000002, ....$

Ấn (X?) nhập 1000001 ấn kết quả: $u_{1000001}=$1.820571421
Ấn (X?) nhập 1000002 ấn kết quả: $u_{1000002}=$2.711308873
Ấn (X?) nhập 1000003 ấn kết quả: $u_{1000003}=$1.613944724
Ấn (X?) nhập 1000004 ấn kết quả: $u_{1000004}=$0.618681278
$\Rightarrow$ $|u_{1000002}-u_{1000004}|>2$

c. Dự đốn dãy số khơng tồn tại giới hạn.
Thứ năm, 29/10/2009

Tính thể tích V và đường cao SH của hình chóp S.ABC

Cho hình chóp S.ABC có 3 cạnh bên SA, SB, SC đơi một vng góc với nhau và SA = 12,742cm; SB = 17,768 và
SC = 20,579cm. Tính thể tích V và đường cao SH của hình chóp S.ABC.

(chính xác tới 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy)

(Trích đề thi HSGMT TPHCM năm học 2009-2010, lớp 12 BTVH)
Giải bằng máy tính Casio fx-570MS

Do SA, SB, SC đơi một vng góc với nhau suy ra:
$V_{S.ABC}=\frac{1}{6}SA . SB . SC$

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

E là chân đường cao hạ từ S của tam giác SBC.
$\Rightarrow$ SE $\bot $ BC (1)

SA $\bot $ SB và SA $\bot $ SC $\Rightarrow$ SA $\bot $ (SBC)
$\Rightarrow$ SA $\bot $ BC (2)

Và SH $\bot $ (ABC) $\Rightarrow$ SH $\bot $ BC (3)
(2) và (3) $\Rightarrow$ BC $\bot $ (SAH)

$\Rightarrow$ BC $\bot $ AH (4)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ BC $\bot $ (SAE)
$\Rightarrow$ BC $\bot $ AE (5)

Từ (4) và (5) suy ra: A, H, E thẳng hàng.
Vì SH $\bot $ AE và SA $\bot $ SE

$\Rightarrow$ SH là đường cao của tam giác vuông SAE.

$\Rightarrow$ $\frac{1}{SH^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{SE^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{SB^2}+\frac{1}
{SC^2}$

$\Rightarrow$ $SH=(\sqrt{\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{SB^2}+\frac{1}{SC^2}})^{-1}$
Thực hiện trên máy:

Nhớ 12,742 vào A, 17,768 vào B, 20,579 vào C
Ấn 12.742 17,768 20,579
Tính V:

Ghi vào màn hình: $ABC \div 6$
Ấn kết quả: 776.5138

Vậy $V=$ 776.5138 cm${}^3$
Tính SH:

Ghi vào màn hình: $\sqrt{}(1 \div A^2+1 \div B^2 +1 \div C^2)^{-1}$

Ấn kết quả: 9.2497

Vậy $SH=$ 9.2497 cm

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Tính gần đúng thể tích khối tứ diện ABCD nếu BC = 6 dm, CD = 7 dm, BD = 8dm, AB = AC = AD = 9dm.
(Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2007, lớp 12 BT THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570MS

Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống mặt (BCD)
Xét tam giác vuông AHB và tam giác vuông AHC:
+ AH cạnh chung.

+ AB = AC.

$\Rightarrow$ $\Delta$ AHB = $\Delta$ AHC.
$\Rightarrow$ HB = HC.

Tương tự ta cũng chứng minh được HC = HD.
Vậy HB = HC = HD.

$\Rightarrow$ H là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta$ BCD.
$\Rightarrow$ $HB = \frac{BC . CD . DB}{4S_{BCD}}$
$AH = \sqrt{AB^2 - HB^2}$

Thể tích tứ diện:

$V = \frac{1}{3} AH . S_{BCD} = \frac{1}{3} \sqrt{AB^2 - HB^2} . S_{BCD}$
Thực hiện trên máy.

Nhớ AB = 9 vào A, CD = 7 vào B, BD = 8 vào C, BC = 6 vào D

Ấn 9 7 8 6

Tính $P=\frac{BC+CD+DB}{2}$
Ghi vào màn hình: $(B+C+D) \div 2$
Ấn

Tính $S_{BCD}$

Ghi vào màn hình: $\sqrt{}(Ans(Ans-B)(Ans-C)(Ans-D))$
Ấn

Tính HB

Ghi vào màn hình: $BCD \div 4 \div Ans$
Ấn

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Ghi vào màn hình: $\sqrt{}(A^2-Ans^2) \times X \div 3$
Ấn kết quả: 54.19351899

Vậy $V=$ 54.19351899 dm${}^3$
=========

Thứ sáu, 23/10/2009

Tìm tọa độ điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

Cho hàm số $y=\frac{2x^2-5x+3}{3x^2-x+1}$

a. Tìm tọa độ điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

b. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là $y=ax+b$. Tìm a và b.
(Trích đề thi HSGMT TPHCM năm học 2009-2010, lớp 12 BTVH)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES
(cài đặt máy ở chế độ MthIO)
1.

$y`=\frac{13x^2-14x-2}{(3x^2-x+1)^2}$
$y`=0$ $\Leftrightarrow$ $13x^2-14x-2=0$
Ghi vào màn hình: $13A^2-14A-2,A$
Ấn nhập 1 ấn

Kết quả: $x_1=$ 1.2046

Ghi vào màn hình: $13B^2-14B-2,B$
Ấn nhập $-1$ ấn

Kết quả: $x_2=-$0.1277

Ghi vào màn hình: $C=\frac{2X^2-5X+3}{3X^2-X+1}$
Ấn

Ấn kết quả: $y_1=-$0.0291

Ấn sửa lại thành: $D=\frac{2X^2-5X+3}{3X^2-X+1}$
Ấn

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Vậy tọa độ điểm cực đại là: ($-$0.1277; 3.1200)

tọa độ điểm cực tiểu là: (1.2046; $-$0.0291)
2.

Đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là $y=ax+b$.

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}{ax_1+b=y_1}\\ {ax_2+b=y_2} \end{array} \right.$
Chọn chương trình giải hệ phương trình 2 ẩn: ấn 5 1

Nhập

1
1
Ấn

Kết quả: $a=-\frac{26}{11}=-$2.3636, $b=\frac{31}{11}=$2.8182
Thứ năm, 22/10/2009

Tiếp tuyến của đồ thị (C)

Cho hàm số $y=\frac{\sqrt{4x^2+2x+5}}{x^2+1}$ có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm trên (C) có
hồnh độ $x=1-\sqrt{5}$ có dạng $y=ax+b$. Tìm a và b.

(Chính xác tới 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy)

(Trích đề thi HSGMT TPHCM năm học 2009-2010, lớp 12 BTVH)
Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm trên (C) có hồnh độ $x=1-\sqrt{5}$ có dạng $y=ax+b$
$\Rightarrow$ $a=y`(1-\sqrt{5})$

Ghi vào màn hình: $\frac{d}{dx}(\frac{\sqrt{4X^2+2X+5}}{X^2+1})|_{x=1-\sqrt{5}}$
Ấn

Kết quả: $a=$ 0.6063
$y=ax+b$

$\Leftrightarrow$ $b=y-ax$

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

(X?) nhập $1-\sqrt{5}$ ấn
(A?) ấn

</div>