con chuồn chuồn âm nhạc 2 tạ xuân thuỷ thư viện tư liệu giáo dục

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (136.08 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CĨ CÁCH GIẢI

KHƠNG MẪU MỰC

A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Một số bài tốn về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc
thù của phương trình, chứ khơng nằm ở trong phương pháp đã nêu ở hầu hết
các sách giáo khoa.

Một số phương trình lượng giác thể hiện tính khơng mẫu mực ở ngay
dạng của chúng, nhưng cũng có những phương trình ta thấy dạng rất bình
thường nhưng cách giải lại khơng mẫu mực.

Sau đây là những phương trình lượng giác có cách giải khơng mẫu mực
thường gặp.

I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG

Phương pháp này nhằm biến đổi phương trình lượng giác về dạng một
vế là tổng bình phương các số hạng (hay tổng các số hạng không âm) và vế
cịn lại bằng khơng và áp dụng tính chất:

A2+B2=0⇔

A=0

B=0
¿{
Bài 1. Giải phương trình:

3 tan2x

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

¿√3 tanx −1=0

2 sinx −1=0
¿

⇔

¿tanx=√3

sinx=1

⇔

¿x=π

6+mπ
x=π

6+2nπ

3 tan2x+4 sin2x −2√3 tanx −4 sinx+2=0

⇔3 tan2x −2

√3 tanx+1+4 sin2x −4 sinx+1=0

2 sinx −1¿2=0
¿

⇔

√3 tanx −1¿2+¿

⇔¿

ĐS x=π

6+2kπ (k∈Z)

II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP

Phương pháp này được xây dựng trên tính chất: Để giải phương trình

f(x)=g(x) , ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại A → R:

f(x)≥ A ,∀x∈(a , b) và g(x)≤ A ,∀x∈(a ,b) thì khi đó:

f(x)=g(x)⇔

f(x)=A

g(x)=A
¿{

Nếu ta chỉ có f(x)>A và g(x)<A , ∀x∈(a , b) thì kết luận phương
trình vơ ngiệm.

Bài 2. Giải phương trình:
cos5x+x2=0

GIẢI
cos5x+x2=0⇔x2=−cos5x

Vì −1≤cosx ≤1 nên 0≤ x2≤1⇔−1≤ x ≤1
mà [−1,1]⊂

(

− π

2 ,
π

)

⇒cosx>0,∀x∈[−1,1]⇒−cos

5x

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Do x2>0 và −cos5x<0 nên phương trình vơ nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.

Bài 3. Giải phương trình:

sin1996x+cos1996x=1 (1)

GIẢI
(1) ⇔sin1996x

+cos1996x=sin2x+cos2x

⇔sin2x(sin1994x −1)=cos2x(1−cos1994x) (2)

Ta thấy

sin2x ≥0

sin1994x ≤1

⇒sin2x(sin1994x −1)≤0,∀x
¿{

Mà

cos2x ≥0

1−cos1994x ≥0

⇒cos2x

(1−cos1994x)≥0,∀x
¿{

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Do đó (2)

⇔

sin2x(sin1994x −1)=0

cos2x(1−cos1994x)=0

⇔

sinx=0
¿

sinx=±1
¿

cosx=0
¿

cosx=±1
¿
¿⇔

x=mπ

x=π

2+mπ

x=π

2+nπ

x=nπ
¿
¿(m , n∈Z)

¿
¿
¿ ¿

¿
¿
¿
¿ ¿

¿
¿ ¿

Vậy nghiệm của phương trình là: x=k π

2(k∈Z)

ĐS x=k π

2(k∈Z)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>



sin ax . sin bx=1⇔
¿sin ax=1

sin bx=1
¿
¿
¿

sin ax=−1
¿
¿

sin bx=−1
¿
¿
¿



sin ax . sin bx=−1⇔

¿sin ax=1

sin bx=−1
¿
¿
¿

sin ax=−1
¿
¿

sin bx=1
¿
¿
¿

Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng:

cos ax .cos bx=1

cos ax .cos bx=−1

sin ax . cos bx=1

sin ax . cos bx=−1

III. PHƯƠNG PHÁP ĐỐN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH
TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM

Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm
của phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong
những cách thơng sụng sau:

Dùng tính chất đại số

Áp dụng tính đơn điệu của hàm số

Phương trình f (x)=0 có 1 nghiệm x=α∈(a ,b) và hàm f đơn
điệu trong (a , b) thì f(x)=0 có nghiệm duy nhất là x=α .

Phương trình f (x)=g(x) có 1 nghiệm x=α∈(a ,b) , f(x) tăng
(giảm) trong (a , b) , g(x) giảm (tăng) trong (a , b) thì phương trình

f(x)=g(x) có nghiệm x=α là duy nhất.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

cosx=1−x

2 với x>0

GIẢI

Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm x=0 .

Đặt f(x)=cosx+x

2 −1 là biểu thức của hàm số có đạo hàm
f '(x)=−sinx+x>0,∀x>0 (vì |x|>|sinx|,∀x )

⇒ Hàm f ln đơn điệu tăng trong (0,+∞)
⇒ f(x)=0 có 1 nghiệm duy nhất trong (0,+∞)
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x=0 .

B.CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN

Bài 1: Giải phương trình:

x2−2xcosx −2 sinx+2=0 (1)

GIẢI

Ta có (1) ⇔x2−2xcosx+cos2x+sin2x −2 sinx+1=0
¿x −cosx=0

sinx −1=0
¿

⇔

¿cosx=x
¿

sinx=1

sinx −1¿2=0
¿

⇔

x −cosx¿2+¿
¿
¿⇔¿
Phương trình vơ nghiệm.
Bài 2: Giải phương trình:

sin4x+cos15x=1

GIẢI
Ta có: sin4x+cos15x=1

⇔sin4x+cos15x=sin2x+cos2x

⇔sin2x

(sin2x −1)=cos2x(1−cos13x) (1)
Vì sin2x(sin2x −1)≤0,∀x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Do đó (1)

⇔

sin2x(sin2x −1)=0

cos2x(1−cos13x)=0
¿{

⇔

sinx=0
¿

sinx=±1
¿

cosx=0
¿

cosx=1
¿
¿
¿
¿
¿ ¿

¿
¿
¿

⇔

x=mπ
¿

x=π

2+mπ

x=π

2+nπ

x=2nπ
¿
¿(m, n∈Z)

¿
¿
¿ ¿

¿
¿
¿

ĐS x=π

2+kπ hay x=2kπ , (k∈Z)

C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THI

Bài 3: Giải các phương trình:

1. sin4x+cos4(x+π

4)=

1
4 (1)

2. tanx+14cotx¿
n

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

GIẢI
1. Ta có:

(1)

1−cos 2x¿2
¿
¿

⇔¿

1−sin 2x¿2=1

1−cos 2x¿2+¿

⇔¿

⇔cos 2x+sin 2x=1

⇔cos(2x −π

4)=

√2

⇔

x=kπ
¿

x=π

4+kπ

¿
(k∈Z)

¿
¿
¿

2.Với điều kiện x ≠ k π

2 ta có tanx và cotx luôn cùng dấu nên:

|

tanx+1

4cotx

|

=|tanx|+

|

4cotx

|

≥2

√

|

tanx⋅
1

4cotx

|

=1⇒

|

tanx+
1
4cotx

|

n
≥1

Dấu "=" xảy ra ⇔|tanx|=

|

4cotx

|

⇔tan

x=1

4⇔tanx=±
1
2
Với n=2 : phương trình

(

tanx+1

4cotx

)

=1 có nghiệm cho

bởi:

tanx=±1

2⇔x=±arctan
1

2+kπ(k∈Z)
Với n∈Z , n>2 thì:

cosnx+sinnx ≤cos2x+sin2x=1

Dấu bằng xảy ra

⇔

x=kπ

2khin=2m

x=2kπhayx=π

2+2kπkhin=2m+1

¿
(k , m∈Z)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

(đều không thoả mãn điều kiện x ≠ k π

2 của phương trình)

Vậy với n>2, n∈Z thì phương trình vơ nghiệm.

ĐS x=±arctan1

2+kπ(k∈Z)

Bài 4: Giải phương trình:

cosx

√

cosx −1+cos 3x

√

cos 3x−1=1 (1)

GIẢI
Điều kiện:

cosx>0

cos 3x>0
¿{

Khi đó (1) ⇔

√

cosx −cos2x

√

cos 3x −cos23x=1
Vì

a −1
2¿

2≥0⇒a − a2≤1

4
a2− a

4=¿

Do đó cosx −cos2x ≤1

4 và cos 3x −cos

3x ≤1
4

⇒

√

cosx −cos2x ≤1

2và

√

cos 3x −cos

3x ≤1
2

Dấu bằng xảy ra

⇔

cosx −cos2x

4
cos 3x −cos23x=1

⇔

¿cosx=1

2
cos 3x=1

⇔x∈∅

¿{
Vậy phương trình (1) vơ nghiệm.

D.CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Giải phương trình:

sin3x+cos3x=2−sin4x

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

sin3x ≤sin2x ,∀x
cos3x ≤cos2x ,∀x

⇒sin3x+cos3x ≤1,∀x

2−sin4x ≥1,∀x

Vậy phương trình tương đương:

sin3x+cos3x=1

2−sin4x=1
¿{

¿
ĐS x=π

2+2kπ(k∈Z)

Bài 2: Giải phương trình:

sinx+tanx −2x=0 với 0≤ x ≤π

HƯỚNG DẪN

Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm x=0

Đặt f(x)=sinx+tanx −2x liên tục trên ¿
Có đạo hàm: f '(x)=(cosx −1)(cos

x −cosx −1)

cos2x ≥0,∀x∈¿ do
1−√5

2 <0≤cosx ≤1<
1+√5

2 ⇒cos

x −cosx −1<0
⇒f đơn điệu tăng trên ¿

Bài 3: Giải phương trình:
(cos 4x −cos 2x)2=5+sin3x
ĐS x=π

2+2kπ(k∈Z)

Bài 4: Giải phương trình:

cos4x −sin4x=|cosx|+|sinx|

ĐS x=kπ(k∈Z)

Bài 5: Giải phương trình:

x2−2 sin xy+1=0

ĐS

x=1

y=π

2+2kπ

¿{
¿

hay

x=−1

y=π

2+2kπ

¿{
¿

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11></div>

con chuồn chuồn âm nhạc 2 tạ xuân thuỷ thư viện tư liệu giáo dục

<b>PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CĨ CÁCH GIẢI</b>

<b>KHƠNG MẪU MỰC</b>

<b>A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI</b>

(

)

<b>B.CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN</b>

<b>C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THI</b>

|

|

|

|

√

|

|

|

|

|

|

(

)

√

√

√

√

√

√

<b>D.CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ</b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về