Đề cương bồi dường học sinh giỏi toán 6 học kỳ I – Năm học: 2010 – 2011

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THCS SỐ 2 PHƯỚC SƠN ĐỀ CƯƠNG BỒI DƯỜNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 HOÏC KYØ I – NAÊM HOÏC: 2010 – 2011. A. Phaàn I: Soá hoïc 1. Các phép tính về số tự nhiên a. Kiến thức cơ bản: - Caùc pheùp tính vaø tính chaát cô baûn cuûa caùc pheùp tính. b. Kiến thức nâng cao: - Phép nhân cũng có tính chất phân phối đối với phép trừ. - Giai thừa. - Các tính chất của phép trừ và phép chia - Luỹ thừa: + Luỹ thừa của một tích. + Luỹ thừa của một luỹ thừa. + Luỹ thừa tầng. + Soá chính phöông. 2. Tính chất chia hết trên tập hợp số tự nhiên a. Ñònh nghóa pheùp chia heát. b. Caùc tính chaát chung. c. Tính chaát chia heát cuûa moät toång vaø hieäu. d. Tính chaát chia heát cuûa moät tích. 3. Caùc daáu hieäu chia heát a. Kiến thức cơ bản: Daáu hieäu chia heát cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 b. Kiến thức nâng cao: Daáu hieäu chia heát cho 4, cho 25, cho 8, cho 11, . . . 4. Số nguyên tố – hợp số a. Ñònh nghóa; b. Caùc ñònh lyù cô baûn; c. Moät soá ñònh lyù veà soá nguyeân toá. 5. Ước chung lớn nhất – bội chung nhỏ nhất a. Ước & bội; b. Ước chung và ước chung lớn nhất; c. Boäi chung vaø boäi dung nhoû nhaát. 6. Các bài toán giải bằng phương pháp số học - Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng; - Phương pháp lựa chọn; 1 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> - Phöông phaùp giaû thieát taïm; - Phöông phaùp suy luaän logic - Nguyeân lí ÑI – RICH - LEÂ 7. Soá nguyeân Các chuyên đề nâng cao Chuyên đề 1: Điền chữ số Chuyên đề 2: Đếm số, dãy các số viết theo qui luật Chuyên đề 3: Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa Chuyên đề 4: Các vấn đề nâng cao về tính chất chia hết. Chuyên đề 5: Số chính phương B. Phaàn II: Hình hoïc Chuyên đề: Tìm số điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng. ----------------------------------------Phước Sơn, 15 tháng 10 năm 2010 Người lập. Haø Minh Huøng. 2 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> PHAÀN I: SOÁ HOÏC Chủ đề 1: CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ TỰ NHIÊN I. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT: 1. Thứ tự và cách ghi số trên N: *) Ta xác định trên N một thứ tự như sau: a) 0 là số tự nhiên nhỏ nhất; b) a < b khi và chỉ khi điểm a điểm a ở bên trái điểm b trên tia số ( nằm ngang ). *) Trong heä thaäp phaân, ta coù: ab  10a  b abc  100a  10b  c abcd  1000a  100b  10c  d ………………………………………………………… 2. Các phép tính về số tự nhiên: - Giữa thứ tự và phép toán có quan hệ: a < b  a +c < b + c và ac < bc ( với c > 0) - Với mọi cặp số tự nhiên a và b bất kỳ (b  0), bao giờ cũng tồn tại duy nhất hai số tự nhiên q và r sao cho a = b.q + r với 0  r < b. + Nếu r = 0 ta được phép chia hết, khi đó q là thương. + Nếu r  0, ta được phép chia có dư, khi đó q là thương và r là số dư trong phép chia a cho b. 3. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: a) Ñònh nghóa: an = a. a. a . . . a ( n  0) a goïi laø cô soá ; n laø soá muõ n thừa số b) Caùc pheùp tính vaø tính chaát: + Pheùp tính: * Nhân và chia hai luỹ thừa cùng cơ số: Nhaân: an . am = an + m Chia: a m : a n = am – n ( m > n ) * Luỹ thừa của một luỹ thừa: ( an)m = an.m * Luyõ thöaø cuûa moät tích: ( a.b)n = an.bn * Luỹ thừa của một thương: ( a : b ) n = an: bn ( b  0 ) + Tính chaát: - Quy ước: a0 = 1 a1 = a - Ta coù: an = am ( a  1) n=m  an > am ( a > 1) n>m  n n a >a a>b  II. BAØI TAÄP: Phép trừ: Baøi 1: So saùnh A vaø B maø khoâng tính giaù trò cuï theå cuûa chuùng a) A = 2002.2002 B = 2000.2004 b) A = 1998.1998 B = 1996.2000. Baøi: So saùnh: a) 3111 với 1714 b) 10750 với 7375 c) 291 với 535 d) 544 với 2112. 3 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a) 61991 b) 91991 c) 31991 d) 21991 Bài 3: a) Tính tổng của 100 số tự nhiên đầu tiên b) Tính tổng n số tự nhiên đầu tiên. Bài 4: Tìm số ( chữ ) tự nhiên x, biết: a) ( x – 5 ) (x – 7 ) = 0 b) x + ( x + 1 ) + ( x+ 2) + . . . + ( x + 2010 ) = 2029099 c) 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2x = 210 d) (x + 1) + ( x + 2 ) + ( x + 3) + . . . + (x + 100) = 5750 e) 2 x  2 x 1  2 x  2  2 x  3  480 f) 2009 + 3x chia hết cho 13 Bài 5: Chứng tỏ rằng: a) Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3. b) Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4. Bài 6: a) Cho ababab là số có sáu chữ số. Chứng minh rằng ababab là bội của 3. b) Chứng tỏ rằng số có dạng aaaaaa luôn chia hết cho 7 c) Chứng tỏ rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11 Baøi 7: a) Tính toång sau: S = 1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 262 + 263 b) Viết tổng S = 22 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2100 dưới dạng luỹ thừa của 2. c) Chứng tỏ tổng P = 2 + 22 + 23 24 + . . . + 259 + 260 chia hết cho 3. d) Cho A = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + . . . 52004. Chứng tỏ rằng A chia hết cho 126 va chia heát cho 65. e) Cho S = 1 + 5 + 52 + 53 +54 + … + 52010 Tìm soá dö khi chia S cho 2, cho10, cho 13. f) Tìm soá dö trong pheùp chia 7129 cho 50 vaø soá dö trong pheùp chia 171994 cho 16. Baøi 6: Cho M = 3  32  33  ...  399  3100 . a. M có chia hết cho 5, cho 12 không ? vì sao? b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n . Baøi 9: a) Tìm số có 3 chữ số, biết rằng số đó chia cho tổng các chữ số của nó được thương là 11 không dư. b)Hiệu của hai số là 862. chia số lớn cho số nhỏ ta được thương là 11 và dư 12. Tìm hai số đó. c) Tổng của hai số tự nhiên gấp ba lần hiệu của chúng . Tìm thương của hai số tự nhieân aáy.. Chủ đề 2 : TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN I. Toùm taét lyù thuyeát: 1. Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b  0. Ta nói a chia hết cho b nếu tồn tại số tự nhiên q sao cho a = b.q. Khi đó ta còn nói a là bội của b, hoặc b là ước của a. 2. Caùc tính chaát: a) Với mọi a  0 thì a  a b) Neáu a  b vaø b  c thì a  c c) Soá 0 chia heát cho moïi soá b  0 d) Baát kì soá naøo cuõng chia heát cho 1 e) Neáu a  m vaø b  m thì a + b  m, a – b  m. 4 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> * Heä quaû: Neáu a + b  m vaø a  m thì b  m. g) Neáu a  m thì a.b  m h) Neáu a  m vaø b  n thì a.b  m.n * Heä quaû: Neáu a  b thì an  bn II. Caùc ví duï vaø baøi taäp: Ví dụ 1: Chứng minh rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3. Giải: Gọi a, a + 1, a + 2 là ba số tự nhiên liên tiếp Ta coù: a + a + 1 + a + 2 = 3a + 3 chia heát cho 3. Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a) ab  ba chia heát cho 11; b) ab  ba chia hết cho 9 với a > b Giaûi: a) ab  ba = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b chia heát cho 11 b) ab  ba = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b chia heát cho 9 Ví dụ 3: Cho số abc chia hết cho 27. Chứng minh rằng số bca chia hết cho 27. Giaûi: abc  27  abc0  27  1000a + bc0  27  999a + a + bc0  27  27.37a + bca  27 Do: 27.37a  27 neân bca  27 Baøi taäp: 1. Tìm thöông: a) aaa  a ; b) abab  ab ; c) abcabc  abc . 2. Moät pheùp chia coù toång cuûa soá bò chia vaø soá chia baèng 72. Bieát raèng thöông laø 3 vaø dö baèng 8. Tìm soá chia vaø soá bò chia. 3. Tìm các số tự nhiên a, biết rằng khi chia a cho 3 thì thương là 15. 4. Chứng tỏ rằng: a. Trong hai số tự nhiên liên tiếp, có một số chia hết cho 2; b. Trong ba số tự nhiên liên tiếp, có một số chia hết cho 3. 5. Chứng minh rằng: a. abcabc chia hết cho 7, 11 và 13; b. abc deg chia heát cho 23 vaø 29, bieát raèng abc  2.deg . 6. Chứng minh rằng nếu: ab  cd  eg chia hết cho 37 thì abc deg chia hết cho 37. 7.. a. Cho abc  deg chia hết cho 37. Chứng minh rằng abc deg chia hết cho 37; b. Cho abc  deg chia hết cho 7. Chứng minh rằng abc deg chia hết cho 7.. 8.. a. Tìm chữ số a biết rằng 20a 20a 20a chia hết cho 7; b. Tìm số tự nhiên có hai chữ số , sao cho nếu viết nó tiếp sau số 1999 thì ta được moät soá chia heát cho 37. 9. Tìm số tự nhiên n sao cho: a. n + 2 chia heát cho n – 1; b. 2n + 7 chia heát cho n + 1; c. 2n + 1 chia heát cho 6 – n; d. 3n chia heát cho 5 – 2n; e. 4n + 3 chia heát cho 2n + 6. Hướng dẫn giải: Căn cứ vào tính chất chia hết của một tổng, hiệu và tích, ta có thể rút ra phương pháp chung để giải loại toán này dựa vào nhận xét sau đây: Nếu A  B thì ( m.A + n.B)  B ( Với m, n  N* ) 9. Cho n là số tự nhiên. Chứng tỏ rằng: a. ( n + 10 ) ( n + 15 ) chia heát cho 2; b. n. ( n + 1 )(n + 2) chia heát cho 2 vaø cho 3; c. n.( n + 1 ) (2n + 1) chia heát cho 2 vaø cho 3.. 5 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 10. Tìm số tự nhiên a và b sao cho a chia hết cho b và b chia hết cho a. 11. Khi chia một số tự nhiên cho 255 ta được số dư là 170. Hỏi số đó chia hết cho 85 khoâng ? Taïi sao ? 12. Chứng tỏ rằng: a. S = 5 + 52 + 53 + . . . + 599 + 5100 chia heát cho 6; b. S = 2 + 22 + 23 + . . . + 299 + 2100 chia heát cho 31; c. S = 165 + 215 chia heát cho 33. 13. Tổng các chữ số của một số tự nhiên có ba chữ số là 7. Chứng tỏ rằng số đó chia hết cho 7 khi và chỉ khi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng nhau. 14. a. Cho ababab là số có 6 chữ số . Chứng tỏ rằng: ababab là bội của 3; b. Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + . . . + 52004. Chứng tỏ rằng S chia hết cho 126 vaø chia heát cho 65.. Chủ đề 3: CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT Chủ đề 4: SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ Chủ đề 5: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT – BỘI CHUNG NHỎ NHẤT 1. ƯỚC & BỘI 2. ƯỚC CHUNG VAØ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT 3. BOÄI CHUNG VAØ BOÄI DUNG NHOÛ NHAÁT Chủ đề 6: CÁC BAØI TOÁN ĐỐ VỀ CHIA HẾT Chủ đề 7: SỐ NGUYÊN. 6 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO Chuyên đề 1: ĐIỀN CHỮ SỐ Chuyên đề 2: ĐẾM SỐ, DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUI LUẬT Chuyên đề 3: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LUỸ THỪA Chuyên đề 4: CÁC VẤN ĐỀ NÂNG CAO VỀ TÍNH CHẤT CHIA HẾT. Chuyên đề 5: SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHAÀN II: HÌNH HOÏC Chuyên đề: TÌM SỐ ĐIỂM, SỐ ĐƯỜNG THẲNG, SỐ ĐOẠN THẲNG. Chủ đề 1 PHÉP CHIA HẾT VAØ PHÉP CHIA CÓ DƯ A TOÙM TAÉT LÍ THUYEÁT: I. Pheùp chia heát: 1. Ñònh nghóa: -Cho a, b laø hai soá nguyeân vaø b khaùc 0. Ta noùi a chia heát cho b vaø kí hieäu a  b, neáu toàn taïi soá nguyeân q sao cho a = b. q. - Khi a chia hết cho b thì ta nói b là ước của a hay b chia hết a và kí hiệu là b\ a. Ngoài ra ta coøn noùi a laø boäi cuûa b.  Lưu ý: Khi a chia hết cho b thì a cũng chia hết cho –b nên ta chỉ xét các ước nguyên döông cuûa a 7 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Ví dụ: Số 28 có các ước là: 1; 2; 4; 7; 14; 28 và chỉ xét các ước dương của 28 laø 1, 2, 4, 7, 14 vaø 28. 2. Moät soá tính chaát: a) Mọi số a  0 đều chia hết cho chính nó. b) Neáu a  b vaø b  c thì a  c c) Soá 0 chia heát cho moïi soá b  0. d) Neáu a  b thì ka  b (k nguyeân) e) Neáu a  b thì  a  b ; a  (b) ; ( a ) (b) g) Neáu a  m; b  m thì a  b  m . Ñaëc bieät ax  by  m . a  m h) Neáu  thì ab  m 0  r  b b  m f) Nếu một trong những thừa số của tích chia hết cho m thì tích cũng chia hết cho m i) Neáu a  m thì a x  m ( n  N ). II. Pheùp chia coù dö: Trên đây, ta đã nói đến phép chia hết, tuy nhiên nếu cho trước hai số nguyên a và b thì không phải bao giờ cũng tìm được số nguyên q sao cho a = bq. ( GV nêu ví dụ ). Người ta đã chứng minh được tính chất sau đây của phép chia. Tính chaát: Cho a, b là hai số nguyên và b khác 0. Khi đó tồn tại duy nhất cặp số ( q, r ) sao cho a = bq + r vaø 0  r  b . B. Các bài toán về chia hết và phương hướng tìm lời giải: Cho biểu thức A(n), phụ thuộc vào số n ( n  Z hoặc n  Z ' một tập con của Z ). a) Để chứng minh A(n) chia hết cho một số nguyên tố p, có thể xét mọi trường hợp về số dư p 1 khi chia n cho p (0, 1,...,  ). 2 b) Để chứng minh A(n) chia hết cho hợp số m, nói chung ta phải phân tích m ra thừa số. Giả sử m= pq. * Nếu p và q là số nguyên tố, hay p và q nguyên tố cùng nhau thì ta tìm cách chứng minh A(n)  p và A(n) q ( từ đó suy ra A(n) pq  m ). ** Nếu p và không nguyên tố cùng nhau thì ta phân tích A(n) ra thừa số, chẳng hạn A(n)= B(n).C(n) và tìm cách chứng minh B(n)  p và C(n)  q ( suy ra A(n) = B(n).C(n)  pq  m ). c) Để chứng minh A(n) chia hết cho m, có thể biến đổi A(n) thành tổng nhiều số hạng và chứng minh mỗi số hạng chia hết cho m. d) Để chứng minh một tổng không chia hết cho m, có thể chứng minh một số hạng nào đó không chia hết cho m còn tất cả các số hạng khác đều chia hết cho m. e) Thường sử dụng kết quả sau đây: Neáu soá dö khi chia a cho b, b> 0 laø r (0 < r < b ) thì soá dö khi chia an (n > 1) cho b laø soá dö khi chia rn cho b ( soá dö naøy baèng rn neáu rn< b). g) Có thể dùng các công thức sau ( GV chứng minh cho HS hiểu các đẳng thức). +) a2 – b2 = ( a + b) ( a – b). +) a3 – b3 = (a – b) ( a2 + ab + b2). +) a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2). Moät caùch toång quaùt: (1) an + bn = (a – b).M với n bất kì. trong đó: M = an-1 + an-2b +…+ abn – 2 + bn – 1. 8 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> (2) an – bn = (a + b).N với n chẵn. n – 1 n – 2 trong đó: N = a – a b + ….+ abn-2 – bn – 1. ( 3) an + bn = ( a + b ) .P với n lẻ. Trong đó: P = an-1 – an – 2b + …-abn-2+ bn-1. Do đó, theo (1) và (2): an – bn chia hết cho a – b ( nếu a  b) với n bất kì. an – bn chia hết cho a + b (nếu a  -b) với n chẵn. Theo (3): an + bn chia hết cho a + b (nếu a  -b) với n lẻ. h) Chứng minh bằng phương pháp qui nạp ( trình bày sau) C. Baøi taäp vaän duïng: * Baøi 1: a) Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3) (n + 6 )  2 ( SBT- T.18 ). b) Chứng tỏ rằng hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2. (SBT – T. 17 ). c) Chứng tỏ rằng ba số tự nhiên liên tiếp, có một số chia hết cho 3. d) Chứng tỏ rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3. e) Chứng tỏ tổng bốn số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 4. * Bài 2: Cho n là số tự nhiên, chứng tỏ rằng: ( N.CAO – T. 17 ) a) ( n + 10 ) ( n + 15 ) chia heát cho 2 vaø cho 3. b) n(n + 1 ) ( n + 2 ) chia heát cho 2 vaø cho 3. c) n ( n + 1 )( 2n + 1) chia heát cho 2 vaø cho 3. * Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên m, n thì: a) n3 + 11n  6. b) mn( m2 – n2 )  3 c) n( n + 1 ) ( 2n + 1 )  6 * Bài 4: Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9. * Bài 5: Chứng rằng trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có một số có tổng các chữ số chia hết cho 27. * Bài 6: Chứng tỏ rằng a5b - ab5 chia hết cho 30 với mọi a, b là hai số nguyên bất kì. (Trích toán 6 nâng cao – trang 96). * Bài 7: Hãy tìm các chữ số thích hợp x, y, z để sao cho số: A = x54y199z chia hết cho 330. ( Trích toán 6 nâng cao – trang 96). * Bài 8: Tìm tất cả giá trị n để n + 7 chia hết cho n + 2. ( Trích toán 6 nâng cao – trang 96) * Bài 9: Tìm hai số tự nhiên a ,b sao cho số A = a19b chia hết 82. ( Trích toán 6 nâng cao – trang 31). * Bài 10: Cho số tự nhiên A = dcba chứng tỏ rằng : a) Nếu ( a + 2b)  4 thì A  4 và ngược lại. b) Nếu ( a + 2b + 4c )  8 thì A  8 và ngược lại. ( Trích toán 6 nâng cao – trang 31). * Bài 11: Cho số A = n ( n2 + 1 ) ( n2 + 4 ) ( Trích toán 6 nâng cao – trang 47) a) Chứng tỏ A chia hết cho 5 với mọi n  N. b) Tìm điều kiện của a để A chia hết 120. * Bài 12: Tìm điều kiện cho n  N để n+ 7 chia hết cho n + 1. ( Trích toán 6 nâng cao – trang 47) * Bài 13:Cho số A = 34a5b . Tìm hai số tự nhiên a, b để A  36. ( Trích toán 6 nâng cao – trang 95). * Baøi 14: * Baøi 15: 9 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> * Baøi 16: * Baøi 17: * Baøi 18: * Baøi 19: * Baøi 20:. 10 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>