ĐẶC TRƯNG HÌNH học (sức bền vật LIỆU SLIDE) (chữ biến dạng do slide dùng font VNI times, tải về xem bình thường)

CHƯƠNG 6

ĐẶC TRƯNG HÌNH
HỌC


NỘI DUNG
1. Khái niệm
2. Mô men tónh - Trọng tâm
3. Mômen quán tính
4. Mômen quán tính của các
hình đơn giản
5. Công thức chuyển trục song
song
6. Công thức xoay trục


1.
KHÁI
NIỆM
♦ Thanh để đứng (H.a)

P

chịu lực tốt hơn
thanh để nằm (H.b)

♦ Có những đại

x
z

P
x

lượng phụ thuộc
y
z y b)
vào hình dáng, vị
a)
trí mặt cắt ngang,
ảnh hưởng đến
sự làm việc của
♦ Đó
là những Đặc trưng Hình Học của
thanh
mặt cắt ngang.


2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM
Xét một hình phẳng
biểu diễn mặt cắt
ngang A (mặt cắt A).
Lập hệ tọa độ
vuông góc Oxy.
M(x,y) là một điểm
bất kỳ trên hình.
Lấy chung quanh M
một diện tích vi
phaân dA.

y0

y

M
y0
y

yC

C
x0

O
xC

A
dA
x0
x

x


2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM
♦ Mômen tónh :
y
Mômen tónh của A
đối với trục x (hay y) là:
y0

S x = ∫ ydF , S y = ∫ xdF
F

F

y

yC

y0
M
C
x0

O

vì x, y có thể âm hoặc dương
xC

A
dA
x0
x

x

nênSx ,
<0
>
Sy

Thứ nguyên của mômen tónh là
[(chiều dài)3].


2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM
♦ Trọng tâm :
 Trục Trung tâm
là trục mà
mômen tónh của A
đối
với tâm
nó bằng
 Trọng
là
0
giao điểm của 2
trục trung tâm.
 Mômen tónh đối
với
trụctrọng tâm
đi qua

y0

y

M
y0
y

yC

C
x0

O
xC

A
dA
x0
x

x


2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM
y0

y

♦ Cách xác định Trọng tâm C :
y0
Xác định xC và yC
Dựng hệ trục x Cy
y
yC
song song hệ trục
O
xyx = xC + xo; y = yC + yo

xC
0

0

Sx = ∫ (yC + yo )dA = yC ∫ dA + ∫ yodA = yCA + Sxo
A

Vì Sxo = 0
nên:
Tương tự:

A

A

Sx = yC .A

Sy = xC .A

xC =

Sy

A
Sx
yC =
A

M

C
x0

A
dA
x0
x

x


2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM
Tính chất 1: (quan
trọng)
•

C

x

y
•

C

y
•

C

x

• Mặt cắt có trục đối xứng,
trọng tâm nằm trên trục đối
xứng
• Mặt .cắt có hai trục đối xứng,
trọng tâm là giao điểm hai trục đối xứn


2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM
Tính
y
xC
chất 2 :
A1
Mômen tónh của hìnhx
1
phức tạp bằng tổng mômen
tónh của các hình đơn giản.
•
C1
Thí dụ 6-1. Định trọng tâm •C
y1
mặt cắt chữ L gồm 2 chữ nhật.
yC
C2 •
x
Kết quả:
O
A2

x2
y2
Tọa độ trọng tâm
Sy
Sx y1A 1 + y2A 2
x1A 1 + x2A 2
=
xC =
; yC =
C của hình trên
là:=
A

A1 + A 2

A

A1 + A 2


HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG
TÂM

1- Mômen quán tính (MMQT)
♦Mômen quán tính độc cực
(MMQT đối với điểm) của Ay
đối với điểmI O:
= ∫ ρ2dA
O
p

A

y

M

A
dA

ρ
x

x

♦Mômen quán tính của A đối với
trục y và xI : = ∫ y2dA ; I = ∫ x2dA
x
y
A
A

♦ I p = I x + Iy

♦ Ip , I x , I y > 0

♦ Thứ nguyên - [chiều daøi]4


HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG

TÂM
♦Mômen quán tính ly tâm
(MMQT đối với hệ trục xy)
I

xy

= ∫ x.y.dA
A

y
O

y

M

A
dA

ρ

x
Thứ nguyên - [chiều dài]4
<0
Ixy >
♦Tính chất: MMQT của mộät hình
phức tạp bằng
tổng mômen quán tính của các
hình đơn giản.

x


HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG
TÂM
2- Hệ trục chính trung tâm

y

M

♦ Một hệ trục tọa độ có MMQT ly tâm
y
đối với hệ trục đó bằng không
ρ
O chính
được gọi là hệ trục quán tính
x

A
dA

x

♦ Hệ trục quán tính chính trung tâm
có gốc ở trọng tâm
♦ MMQT đối với các trục quán tính chín
gọi là MMQT chính trung tâm.
I = ∫ y2dA ; I = ∫ x2dA

x
y
A
A


HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG
TÂM
2Tínhđối
chất
3- quan
trọng dA
♦Trục
xứng
của mặt
1
cắt và trục vuông góc
A1
với nó đi qua trọng tâm
O
hợp thành hệ trục chính
♦Chứng
trung
tâm
minh:
I xy = ∫ yxdA = ∫ yxdA = ∫ ( xy − yx)dA1 = 0
A

A1 + A2

A1

y
dA2
A2
x


CỦA
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
1- Hình chữ nhật:
Hệ có hai trục đối xứng x, y dA =
y b.dy
cũng là hệ trục QTCTT.
dy
h
2
I = ∫ y2dA = ∫ y2bdy
x
A
h
−
3
2
bh
I =
x 12
hb3
I =
y 12

h/
2
h/
2

O

b

y
x


CỦA
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
y dA = 2πρ.dρ

2- Hình tròn:

R

Hệ có hai trục đối xứng x, y ρ
O
cũng là hệ trục QTCTT.
dρ x
 Tính Ip :
D
2
2

I = ∫ ρ dA = ∫ ρ2.2πρ.dρ
p
A
0

Tính Ix , Iy
Ip
I =I =
x
y 2
:

πD4
I =
p 32

D

πD4
I =I =
x
y 64


CỦA
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
3- Hình vành khăn:
 Tính Ip :
4
4

π
D
π
d
I = ID − Id =
−
p p p 32
32

πD
I =
(1− η4 )
p 32
4

Tính Ix , Iy
Ip
I =I =
x
y 2
:
πD
I =I =
(1− η4 )
x
y 64
4

y
d

O
D
η=

d
D

x


5. CÔNG THỨC CHUYỂN
TRỤC SONG SONG

I

I

X

= ∫ Y dA = ∫ (b + y) dA

X

= ∫ y2dA + 2b∫ y.dA + ∫ b2.dA

2

A

A

M
y

2

A

A

A

I = I x + 2bSx + b A
X
I = I y + 2aSy + a2A
Y
2

I

XY

y

Y

1- Lập công thức:
Tính IX , IY , IXY :
Y

b

O

A
dA

x
O'
a

x
X

X

= I xy + aSx + bSy + abA


5. CÔNG THỨC CHUYỂN
TRỤC SONG SONG

Y
2- Trường hợp thường dùng:
Khi trục cũ (xy) là
y
hệ trục chính trung tâm :

I = Ix + b A

X
2

Y

b

y
M
O
x

O'
a
Cách nhớ: MMQT đối với trục
X

mới bằng MMQT đối với trục
cũ cộâng diện tích nhân khoảng
cách hai trục bình phương

A
dA
x
X


CỦA
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
3- Thí dụ 3:

 h
I BB' = I x + A . 
 2
3

2

y

2

bh  h 
bh3
I BB' =
+   bh =
12  2 
3

h/
2
h/
2 B

O

b

x
B'

CỦA
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
3- Thí
dụ 4:

Gia
Trọng
ûi:
tâm:

Định MMQT
chính trung tâm
12

x

Sx 24.4.2 + 2(4.12.10)
y =
=
= 6cm
C A
(24.4) + 2(4.12)

MMQT:

I
3

y8 4

4 8

= I1 + I 2 + I 3
X
X
X
X

24.4
I1 =
+ (24.4).42
X
12
3
4
.
12
I2 = I3 =
+ (4.12).42
X
X
12

4

1
0

X
2

y

3

C

X

6

IX=4352c
m4

1

x


6. CÔNG THỨC XOAY
TRỤC
V

y

1- Lập công thức:
Tính Iu , Iv ,
Iuv :
Ta coù: u = y.sinα+x.cos αy
v = y.cosα-x.sin α

v
2
Iu = ∫ A v .dA; Iv = ∫ A
2
u
I.dA
O
uv = ∫ A
uv.dA
Ix + Iy Ix − Iy
Iu =
+
cos2α − I xy sin2α
2
2

I uv =

Ix − Iy
2

sin2α + I xy cos2α

M

A
dA
U

u

x

α
x


6. CÔNG THỨC XOAY
TRỤC

2- Hệ trục chính (HTC):

V

y
M

 Hệ trục quán tính chính
là hệ trục có MMQT ly tâm
y
bằng không.
v
 Tìm HTC, cho Iuv=0
tg2α 0 = −

2I xy

dA
U

u

O

x

Ix − Iy

⇒ có 2 góc α0 sai biệt nhau 90

A

α
x

0

nghóa là luôn có 2 trục chính vuông góc


6. CÔNG THỨC XOAY
TRỤC
 MMQT cực trị

V

y

dIuv
Ch
=

dα
o
y
0
2I xy
v
tg2α 0 = −
Cũng
Ix − Iy
được
O
MMQT cực trị cũng là
MMQT đối với trục chính.
I max,min =

Ix + Iy
2

1
±
(I x − I y )2 + 4I 2xy
2

M

A
dA
U

u

x

α
x