Bai giang Tổ Hợp

Trêng THPT CÈm B×nh Bµi gi¶ng lun thi
-----------------------------------------------------------------------------------------------
§.TỔ HP
Bài 1: Kiến thức cơ bản về tổ hợp.
I. Quy tắc cộng.
Ví dụ. Có 9 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Hỏi có mấy cách chọn một học sinh lên nhận
phần thưởng đại diện?
+ Có 9 cách chọn học sinh nam
+ Có 6 cách chọn học sinh nữ
Vì chọn nam thì không chọn nữ và ngược lại nên ta có 9 +6 =15 cách chọn một học sinh…
Tổng quát ta có quy tắc.
Nếu có m
1
cách chọn đối tượng x
1
Nếu có m
2
cách chọn đối tượng x
2
.
.
Nếu có m
n

cách chọn đối tượng x
n

Và
( , 1,2,........, )
i j
x x i j n¹ " =

thì ta có m
1
+ m
2
+…… + m
n
cách chọn một đối tượng trong
các đối tượng đã cho.
Ví dụ. Cho ba số tự nhiên 6, 7, 8 . Hỏi có thể lâp được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau có
các chữ số khác nhau?
H? Trường hợp số có một chữ số, có mấy số?
H? Trường hợp số có hai chữ số, có mấy số?
H? Trường hợp số có ba chữ số, có mấy số?
Kết luận?
II. Quy tắc nhân.
Ví dụ.
Hỏi có mấy cách đi từ HN về HT và phải qua TP Vinh?
H? Có mấy cách đi từ HN về Vinh?
H? Mỗi cách đi từ HN về Vinh thì có mấy cách đi từ Vinh về HT?
Tổng quát ta có quy tắc:
Nếu một phép chọn được thực hiện n bước liên tiếp. Trong đó:
Bước 1 có m
1
cách chọn
Bước 2 có m
2
cách chọn
…..
…..
Bước n có m

n
cách chọn
Thì phép chọn được thực hiện m
1
.m
2
… m
n
cách khác nhau.
Ví dụ. Với 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và
là
a) Số lẽ
b) Số chẵn.
Ví dụ. Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và
là
Trêng THPT CÈm B×nh Bµi gi¶ng lun thi
-----------------------------------------------------------------------------------------------
a) Số lẽ
b) Số chẵn.
III. Hoán vò.
1. Đònh nghóa. Cho tập A gồm n phần tử
( )
1n ³
. Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử của A
được gọi là một hoán vò của n phần tử đó.
Ví dụ.
{ }
{ }
; có hai hoán vò ab, ba
A= ; ; có 6 hoán vò abc, acb, bac, bca, cab, cba.

A a b
a b c
=
{ }
1 2 3
2. Đònh lí. Nếu kí hiệu số hoán vò của n phần tử là P , ta có
P ( 1)( 2)...3.2.1 !.
Thật vậy: A= ; ; ;...; có n phần tử
Lập một hoán vò ta làm như s
n
n
n
n n n n
a a a a
= - - =
au.
Chọn phần tử đứng vò trí số 1 có n cách chọn
Chọn phần tử đứng vò trí số 2 có n-1 cách chọn
Chọn phần tử đứng vò trí số 3 có n-2 cách chọn
.......
Sau khi
®
®
®
đã chọn n-1 phần tử thì còn phần tử cuối cùng đứng ở vò trí thứ n có một cách chọn
Áp dụng qut tắc nhân ta có P =n!
n
®
Ví dụ. 1) Hỏi có mấy cách sắp xếp 5 học sinh ngồi vào một bàn? Có P
5

= 5! cách.
2) Hỏi có mấy cách sắp xếp 6 người ngồi vào một bàn tròn?
Hai cách ngồi được xem là như nhau nếu cách này có thể nhận đươc từ cách
kia bằng cách quay bàn đi một góc nào đó. Vậy có
6
6
P
cách. ( vẽ hình minh họa)
IV. Chỉnh hợp.
1. Đònh nghóa. Cho một tập A có n phần
( )
1n ³
. Một bộ gồm k phần tử
( )
1 k n£ £
sắp thứ
tự của tập A được gọi một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.
Ví dụ.
{ }
Cho A= ; ; số chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử của A làa b c
{ } { } { } { } { } { }
; , ; , ; , ; , ; , ; có 6 chỉnh hợp.a b a c b a b c c a c b ®
2. Đònh lí. Kí hiệu chỉnh hợp chập k của n phần tử là
k
n
A
, thì ta có

( )
!

( 1)( 2)( 3)...( 1)
!
k
n
n
A n n n n n k
n k
= - - - - + =
-
.
C/M:
1 2 3 . … k
n n-1 n-2 . … ?
Ví dụ. Có mấy cách chọn và sắp thứ tự 5 cầu thủ đá luân lưu 11m. Biết rằng khả năng đá
11m của 11 cầu thủ là như nhau.
( )
5
11
A cách
Ví dụ. Từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau.
V. Tổ hợp.
1. Đònh nghóa. Cho tập A gồm n phần tử. Một tập con k phần tử của A
( )
0 k n£ £
được gọi
là tổ hợp chập k của n phần tử của A.
Trêng THPT CÈm B×nh Bµi gi¶ng lun thi
-----------------------------------------------------------------------------------------------
2. Đònh lí. Kí hiệu
k

n
C
là tổ hợp chập k của n phần tử thì ta có.
( )
!
! !
k
n
n
C
k n k
=
-

C/M: Các chỉnh hợp chập k nếu khác nhau về thứ tự thì được coi như cùng một tổ hợp chập
k của n phần tử. Vậy nếu đem một tổ hợp chập k này hoán vò theo một cách nào đó thì được
k! chỉnh hợp, tức là
( )
!
!
!
! !
k
k k k
n
n n n
A
n
k C A C
k

k n k
= Û = =
-
Ví dụ. Một hộp có 10 viên bi. Lấy ngẫu nhiên 4 viên. Hỏi có mấy cách lấy?
3. Tính chất.
1
1 1
) (0 )
) (1 1)
k n k
n n
k k k
n n n
a C C k n
b C C C k n
-
-
- -
= £ £
= + £ £ -
Bài 2. Các dạng bài tập về tổ hợp
Dạng 1. Rút gọn biểu thức.
Kiến thức. 0! = 1
1! = 1
n! = n(n-1)(n-2)…3.2.1
Ví dụ. Rút gọn các biểu thức sau:
( ) ( )
1
1 1
6 5

2009
7 7
2009
4
7
6! ( 1)!
) .
( 1) 4!( 1)!
) . !
Ta có k.k!= 1 1 ! 1 ! ! ( 1)! !
. ! ( 1)! ! 2! 1! 3! 2! ...( 1)! ! ( 1)! 1
)
2 7!.4! 8! 9!
) .
3 101 3!.5! 2!7
n
k
n n
k k
m
a A
m m m
b A k k
k k k k k k k
A k k k k n n n
A A
c A C
A
d A
=

= =
+
=
+ -
=
é ù
+ - = + - = + -
ê ú
ë û
é ù
= = + - = - + - + + - = + -
ë û
+
= +
= -
å
å å
!
2009! 2007
) . 0!
2008! 2007! 2009
e A
ỉ ư
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷

ç
è ø
= +
-
Dạng 2. Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình.
Ví dụ. Giải các phương trình sau:
( )
1 1
7 7 7
6 5 4 1 2 3
4
1 2 3 2
3 4
1
4 3 2
1
4 3 6
1) 1 ! 6 ! ( 1)! 2) 2
7
3) ( : 6) 4) .
2
23
5) ( 4) 6) 6 6 9 14
4
1 1 1 5
7) (0 4 8)
4
n n n
n n n n n n
n

x x x
n
n n
n n n
n n n
n n n C C C
A A A đk n C C C n
A
n C C C x x
A C
n C C A
C C C
- +
-
+
-
é ù
+ = - - = +
ë û
+ = ³ + + =
= ³ + + = -
-
= + £ £ = +
Trêng THPT CÈm B×nh Bµi gi¶ng lun thi
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Giải các bất phương trình sau:
Ví dụ. Giải các hệ phương trình và hệ bất phương trình sau:
3 2
5 5
2 3

5 5
1 1
1
1 1
1 1
2
5
3 5
2
2
7
1)
4 7
5
2)
2
72
3)
10 16
720
4) 120
,
12
5)
6
y y
x x
y y
x x
y y y

x x x
y y
x x
y
x x y x
x y x y x y
x y
x
x y
A A
C C
A yA A
A C
A P P
x y
P A P
P
x y
A y
P
- -
- -
- -
+
- -
+ +
- -
+ + + + -
-
+

ì
ï
=
ï
ï
í
ï
=
ï
ï
ỵ
ì
ï
+ =
ï
ï
í
ï
=
ï
ï
ỵ
ì
ï
=
ï
í
ï
< + <
ï

ỵ
ì
ï
=
ï
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
ï
Ỵ
ï
ï
ỵ
ì
ï
+ £
ï
ï
í
ï
£
ï
ï
ỵ
¢
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.

Kiến thức.
( )
( )
1
1
1 1
* . (1 )
* 0
* 0 1
* !
n n
k n k
n n
k k k
n n n
k k
n n
P P n n
C C k n
C C C k n
A k C
-
-
-
- -
= £ Ỵ
= £ £
= + £ £ -
=
¥

Bài tập.
VD1.
( )
1 1
1
ho ; , . CMR: C ( )
k k k
n n n
C k n k n C C VT VP
+ +
+
< Ỵ + = ®¥
Trờng THPT Cẩm Bình Bài giảng luyện thi
-----------------------------------------------------------------------------------------------
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
2
VD2. Cho 2 k n. CMR: k 1 1
!
Thaọt vaọy: k 1 1
! !

2 !
!
1 1
2 ! !
2 ! 2 2 !
k k
n n
k
n
k
n
k C n n C
n
k C k k
k n k
n
n
n n n n C
k n k
k n k
-
-
-
-
Ê Ê - = -
- = -
-
-
= = - = -
ộ ự

- -
- - - -
ờ ỳ
ở ỷ
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2 3 4
4
1 1 2 2 3 3 4
1 2 3
1 1 1 1
3. Cho 4 k n. CMR: C 4 6 6 4
Thaọt vaọy: VT= C 3 3
=C 3 3

k k k k k k k
n n n n n n n
k k k k k k k k
n n n n n n n n
k k k k
n n n n
VD C C C C C C
C C C C C C C
C C C
- - - - -
+
- - - - - - -
- - -
+ + + +
Ê Ê + + + + + =
+ + + + + + +

+ + +
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2 3
1 1 1 1 1 1
1 2
2 2 1
1 1 2
2 2 2 1
1
3 3 4
= C 2
=C 2
= C
=C
k k k k k k
n n n n n n
k k k
n n n
k k k k
n n n n
k k k
n n n
C C C C C
C C
C C C
C C VP
- - - - -
+ + + + + +
- -

+ + +
- - -
+ + + +
-
+ + +
+ + + + +
+ +
+ + +
+ = =
( )
( )
( )
1 2 3 1
1 1 1
2 1 1
3 2 2
4 3 3
1 1
4. CMR: 1+P 2 3 ... 1
Thaọt vaọy:
P 1
2
3
.........................
1
Coọng veỏ theo veỏ ủpcm.
n n
n n n n n
n n n
VD P P n P P

nP P P n P
P P P
P P P
P P P
P P n P
-
- - -
- -
+ + + + - =
= - = -
ị - =
- =
- =
- = -
ị
( )
1 1 1 1
5. CMR: .... 2
1! 2! 3! !
Thaọt vaọy:
1
=1
1!
1 1 1
= =1-
2! 2 2
1 1 1 1
= =
3! 2.3 2 3
1 1 1 1

4! 3.4 3 4
..............................
1 1 1 1
! 1
1
Coọng veỏ theo veỏ ta coự 2
VD
n
n n n
n n
VT
+ + + + <
-
< = -
< = -
-
-
< -
1
2
n
<
( )
1
6.CMR: 2 ! , 3
n
VD n n n
-
< ẻ Â
Trêng THPT CÈm B×nh Bµi gi¶ng lun thi

-----------------------------------------------------------------------------------------------
Dạng 4. Bài toán đếm.
* Bài toán 1. Đếm số các chữ số thỏa mãn tính chất K hình thành từ một tập số.
Ví dụ 1. Cho
{ }
1;2;3;4;5;6;7E =
. Tìm tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ E sao cho
a) Các chữ số đều khác nhau?
( )
5
7
sốA
b) Chữ số đầu tiên là chữ số 3? ( QT nhân)
c) Chữ số tận cùng không là số 4? (QT nhân)
d) Các chữ số khác nhau và là số chẵn?
HD: Số cuối có 3 cách chọn. 4 số còn lại là chỉnh hợp chập 4 của 6. Áp dụng quy tắc
nhân.
e) Các chữ số khác nhau trong đó phải có chữ số 7?
HD: + Số có 5 chữ số khác nhau lấy từ E là
( )
5
7
sốA
+ Số có 5 chữ số khác nhau lấy từ E không có chữ số 7 là
( )
5
6
sốA
Suy ra: Số các số có 5 chữ số khác nhau và có mặt chữ số 7 là
5 5

7 6
A A-
số.
f) Các chữ số khác nhau trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là 1?
{ }
: Gọi số cần tìm là abcde
b- có 1 cách chon.
Chọn 1 trong 4 vò trí để đặt chữ số 7, có 4 cách.
3 vò trí còn lại là mọt bộ thứ tự được chọn trong E\ 1;7 c
HD
-
3
5
3
5
ó A cách.
Theo quy tắc nhân ta có 1.4.A cách chọn
Ví dụ 2. Cho
{ }
1;2;3;4;5E =
. Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số phân biệt thỏa mãn
a) Không bắt đầu bằng chữ số 1?
b) Không bắt đầu bằng chữ số 123?
HD: + Số các số có 5 chữ số phân biệt lấy từ E là
5
5
A
+ Số các số có 5 chữ số khác nhau lấy từ E và bắt đầu bằng chữ số 1 là 1.
4
4

A
+ Số các số có 5 chữ số khác nhau lấy từ E và bắt đầu bằng chữ số 123 là 1.
2
2
A
Kết luận…
Ví dụ 3. Cho
{ }
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9E =
. Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số thỏa
mãn
a) Phân biệt?
b) Trong đó hai chữ số kề nhau phải khác nhau?
{ }
{ }
4
9
4
9
:
) có 9 cách chọn.
bcde phân biệt chọn chọn từ E\ có A
Số có 5 chữ số phân biệt chọn từ E là 9.A số.
b) a- có 9 cách chọn
b- được chọn từ E\ co
HD abcde
a a
a
a
a =

-
Þ
{ }
ù 9 cách chọn
c- được chọn từ E\ có 9 cách chọnb