progress test 9 tư liệu tham khảo cấn chính trường thư viện tư liệu giáo dục

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (140.25 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BÀI BẤT ĐẲNG THỨC VÀ HƯỚNG DẪN

Tiếp theo ( 21 – 40)

21. Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh

2( )

1 x 1 y 1 z 2 x y z

y z x xyz

      

    

     

   

 

Hướng dẫn:

Ta có

3 3

2( ) 2( )

1 x 1 y 1 z 2 x y z 2 x y z x y z 2 x y z

y z x xyz y z x z x y xyz

            

             

        

   

     

2( )

x y z x y z x y z

y z x z x y xyz

     

       

   

Ta có

2 2 2

3 x y z x x y y y z z z x x x y y y z z z x

y z x y y z z z x x x y xy y z yz z x zx x y

     

       

                     

             

 

           

3 3 3

3x 3y 3z

xyz xyz xyz

  

22. Cho ba số dương x ,y, z . Chứng minh

3 3 3

x y z

x y z
yz zx zx   

Hướng dẫn:

Ta có

x

y z x
yz   

  

y

z x y
zx

  

z

x y z
xy

Cộng 3 bất đẳng thức

23.Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh

a2b2 c2  2(ab ac )

Hướng dẫn:

Ta có

2 2 2 2 ( ) 2 2( )

2 2

b c b c

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

24.Cho ba số dương a, b, c thỏa a + b + c = 3. Chứng minh

2 2 2

3
2

1 1 1

a b c

b  c  a 

  

.

Hướng dẫn:

Ta có

2 2

2 2 2 2

1 1

a ab ab ab

a a a

b

b   b    

  và ab bc ca  3

25.

Chøng minh r»ng :

a)

a

+b2

2 ≥

(

a+b

)

;

b)

a

+b2+c2

3 ≥

(

a+b+c

)

Hướng dẫn:

a) Ta xÐt hiÖu a

+b2

2 −

(

a+b

)

= 2

(

a

+b2

)

4 −

a2+2ab+b2

= 1

(

2a

+2b2− a2−b2−2 ab

)

= 1

4(a −b)

2≥0

VËy a

+b2

2 ≥

(

a+b

)

DÊu b»ng x¶y ra khi a=b
b) Ta xÐt hiÖu

a

+b2+c2

3 −

(

a+b+c

)

= 1

[

(a − b)

+(b − c)2+(c − a)2

]

≥0

VËy a

+b2+c2

3 ≥

(

a+b+c

)

DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c

26. Chứng minh



m,n,p,q ta đều có

m

❑2

+ n

❑2

+ p

❑2

+ q

❑2

+1



m(n+p+q+1)

Hướng dẫn:

⇔

(

m2

4 −mn+n

)

(

m

4 −mp+p

)

(

m

4 −mq+q

)

(

m

4 − m+1

)

≥0

⇔

(

m

2− n

)

(

m

2− p

)

(

m

2 − q

)

(

m

2 −1

)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

DÊu b»ng x¶y ra khi

{

m2 −n=0

m

2− p=0

m

2 −q=0

m

2 −1=0

⇔

{

n=m

p=m

q=m

m=2

⇔

{

m=2

n=p=q=1

27. Cho a, b, c, d,e là các số thực,

Chøng minh r»ng

a)

a2

+b

4 ≥ab

b)

a2

+b2+1≥ab+a+b

c)

a2

+b2+c2+d2+e2≥ a(b+c+d+e)

Hướng dẫn:

a) a2

+b

4 ≥ab

⇔4a2

+b2≥4 ab ⇔4a2−4a+b2≥0

⇔(2a −b)2≥0 (bất đẳng thức này luôn đúng)
Vậy a2+b

4 ≥ab (dÊu b»ng x¶y ra khi 2a=b)

b) a2+b2+1≥ab+a+b
⇔2(a2+b2+1)>2(ab+a+b)
⇔a2−2ab

+b2+a2−2a+1+b2−2b+1≥0

b −1¿2≥0

a −1¿2+¿

a −b¿2+¿

⇔¿

Bất đẳng thức cuối đúng.

VËy a2

+b2+1≥ab+a+b

DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=1

c) a2+b2+c2+d2+e2≥ a(b+c+d+e)

⇔ 4(a2+b2+c2+d2+e2)≥4a(b+c+d+e)
⇔

(

a2−4 ab+4b2

)

+

(

a2−4 ac+4c2

)

+

(

a2−4 ad+4d2

)

+

(

a2−4 ac+4c2

)

≥0

⇔ (a −2b)2+(a−2c)2+(a−2d)2+(a−2c)2≥0

Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh

28. Chøng minh r»ng:

(

a10+b10

) (

a2+b2

)

≥

(

a8+b8

)(

a4+b4

)

Hướng dẫn:

(

a10

+b10

) (

a2+b2

)

≥

(

a8+b8

)(

a4+b4

)

⇔ a12+a10b2+a2b10+b12≥ a12+a8b4+a4b8+b12
⇔ a8b2

(

a2− b2

)

+a2b8

(

b2− a2

)

≥0

⇔ a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 ⇔ a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

29. Cho x.y =1 vµ x.y = 1. Chøng minh

x

+y2

x − y 2

√

Hướng dẫn:

x2+y2

x − y 2

√

2 v× :x y nªn x- y 0 ⇒ x2+y2 2

√

2 ( x-y)

⇒ x2+y2- 2

√

2 x+ 2

√

2 y 0 ⇔ x2+y2+2- 2

√

2 x+ 2

√

2 y -2 0

⇔ x2+y2+(

√

2 )2- 2

√2

x+ 2

2

y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

⇒ (x-y-

√

2 )2 0 Điều này ln ln đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh

30. Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng

(a+b)(b+c)(c+a)

8abc

Hướng dẫn:

Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: (x+y)2≥4 xy

Tacã (a+b)2≥4 ab ; (b+c)2≥4 bc ; (c+a)2≥4 ac
⇒ (a+b)2 (b+c)2 (c+a)2 64a2b2c2=(8 abc)2
⇒ (a+b)(b+c)(c+a) 8abc

DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c

31. Cho a>b>c>0 vµ

a2

+b2+c2=1

. Chøng minh r»ng:

3 3 3 1

a b c

b c a c a b     

Hướng dẫn:

Do a,b,c đối xứng ,giả sử a b c ⇒

{

a2 b2c2
a

b+c

b
a+c

c
a+b
áp dụng BĐT Trê- b-sép ta có

a2. a

b+c+b

. b

a+c+c

. c

a+b≥

a2+b2+c2

3 .

(

a
b+c+

b
a+c+

c
a+b

)

1
3.

2 =

VËy a

b+c+

b3

a+c+

c3

a+b≥

2 DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c=
1

√

32. Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng:

a2

+b2+c2+d2+a(b+c)+b(c+d)+d(c+a)≥10

Hướng dẫn:

Ta cã a2+b2≥2 ab
c2+d2≥2 cd
Do abcd =1 nªn cd = 1

ab (dïng x+
1

x≥

2 )

Ta cã a2+b2+c2≥2(ab+cd)=2(ab+ 1

ab)≥4 (1)

Mặt khác: a(b+c)+b(c+d)+d(c+a)

=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
=

(

ab+ 1

)

(

ac+
1

)

(

bc+
1

)

≥2+2+2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

33. Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng:

b+d¿2
¿

a+c¿2+¿
¿

√¿

Hướng dẫn:

Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
tacó ac+bd

√

a2

+b2.

√

c2+d2

mµ (a+c)2+(b+d)2=a2+b2+2(ac+bd)+c2+d2

(

a2+b2

)

√

a2+b2.

√

c2+d2+c2+d2

⇒

b+d¿2
¿

a+c¿2+¿

√¿

34. Cho 0 <a,b,c <1 . Chøng minh r»ng:

2a3+2b3+2c3

<3+a2b+b2c+c2a

Hướng dẫn:

Do a < 1 ⇒ a2<1 vµ
Ta cã

(

1− a2

)

.(1− b

)<0 ⇒ 1-b- a2 + a2 b > 0

⇒ 1+ a2 b2 > a2 + b

mµ 0< a,b <1 ⇒ a2 > a3 , b2 > b3

Tõ (1) vµ (2) ⇒ 1+ a2 b2 > a3 + b3
VËy a3 + b3 < 1+ a2 b2

T¬ng tù b3 + c3 1+b2c
c ❑3 + a3 

1+c2a

Cộng các bất đẳng thức ta có :

2a3+2b3+2c3≤3+a2b+b2c+c2a

35. Cho a,b,c,d > 0 .Chøng minh r»ng

1< a

a+b+c+

b
b+c+d+

c
c+d+a+

d
d+a+b<2

Hướng dẫn:

Theo tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc ta cã
a

a+b+c<1⇒

a
a+b+c<

a+d

a+b+c+d (1)

Mặt khác : a

a+b+c>

a

a+b+c+d (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã

a

a+b+c+d <

a
a+b+c <

a+d

a+b+c+d (3)

T¬ng tù ta cã

b

a+b+c+d<

b
b+c+d<

b+a

a+b+c+d (4)

c

a+b+c+d<

c
c+d+a<

b+c

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

d

a+b+c+d<

d
d+a+b<

d+c

a+b+c+d (6)

céng vÕ víi vÕ cđa (3); (4); (5); (6) ta có

1< a

a+b+c+

b
b+c+d+

c
c+d+a+

d

d+a+b<2 điều phải chứng minh

36. Cho

a

b

<

c

d

vµ b,d > 0 . Chøng minh r»ng

a
b

<

ab+cd

b2

+d2<

c
d

Hướng dẫn:

Tõ a

b <
c

d ⇒

b2<

d2 ⇒

b2<

ab+cd

b2

+d2<

d2=

c
d

VËy a

b <

ab+cd

b2

+d2<

c

d điều phải chứng minh

37. Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng

2<
1

n+1+

n+2+. .. .+

n+n<

3
4

Hướng dẫn:

Ta cã 1

n+k>

n+n=

2n víi k = 1,2,3,…,n-1

Do đó:
1

n+1+

n+2+.. .+

1
2n>

1
2n+. ..+

1
2n=

n

2n=

1
2

38. Chøng minh r»ng:

1+ 1

√

2+
1

√

3+.. . .+
1

√

n>2

(

√

n+1−1

)

( Víi n lµ sè nguyªn dương)

Hướng dẫn:

Ta cã 1

√

k=

2
2

√

k>

√

k+

√

k+1=2

(

√

k+1−

√

k

)

Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có
1 > 2

(

√

2−1

)

√

2>2

(

√3

−

√2

)

………
1

√

n>2

(

√

n+1−

√

n

)

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có
1+ 1

√

2+
1

√

3+.. . .+
1

√

n>2

(

√

n+1−1

)

39. Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chøng minh r»ng

a, a

+b

+c

< 2(ab+bc+ac)

b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)

Hng dn:

a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có

{

0<a<b+c

0<b<a+c

0<c<a+b



{

a2<a(b+c)

b2<b(a+c)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có
a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)

b) Ta cã a > b-c   b − c¿

a2

>a2−¿ > 0
b > a-c   c −a¿

b2>b2−¿ > 0
c > a-b   a −b¿

c2>c2−¿
Nhân vế các bất đẳng thức ta đợc

⇒a2b2c2>

[

a2−(b − c)2

][

b2−(c − a)2

] [

c2−(a −b)2

]

⇒a2b2c2>(a+b − c)2(b+c − a)2(c+a −b)2

⇒abc>(a+b − c).(b+c −a).(c+a −b)

40. Cho a,b,c > 0 vµ a+b+c <1

Chøng minh r»ng

a2+2 bc+

b2+2 ac+

c2+2 ab≥9 (1)

Hng dn:

Đặt x = a2+2 bc ; y = b2+2 ac ; z = c2+2ab
Ta cã x+y+z=(a+b+c)2<1

(1) ⇔1

x+

y+

z≥9 Víi x+y+z < 1 vµ x ,y,z > 0

Theo bất đẳng thức Cơsi ta có
x+y+z ≥ 3. 3

√

xyz
1

x+

y+

z≥ 3. .

√

1
xyz

⇒ (x+y+z).

(

x+

y+

z

)

≥9

Mµ x+y+z < 1
VËy 1

x+

y+

z≥9 (®pcm)

</div>

progress test 9 tư liệu tham khảo cấn chính trường thư viện tư liệu giáo dục

<b> </b>

<b>BÀI BẤT ĐẲNG THỨC VÀ HƯỚNG DẪN</b>

Tiếp theo ( 21 – 40)

<b> </b>

<b> 21. Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh </b>

<b>Hướng dẫn:</b>

<b>Hướng dẫn:</b>

<b>23.Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh </b>

<b>Hướng dẫn:</b>

<b>24.Cho ba số dương a, b, c thỏa a + b + c = 3. Chứng minh </b>

<b><sub>.</sub></b>

<b>Hướng dẫn:</b>

<b>25.</b>

Chøng minh r»ng :

a)

(

)

;

b)

(

)

<b>Hướng dẫn:</b>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

<b>26. Chứng minh </b>



<b>m,n,p,q ta đều có </b>

<b> m</b>

<b><sub>+ n</sub></b>

<b>+ p</b>

<b>+ q</b>

<b>+1</b>



<b> m(n+p+q+1)</b>

<b>Hướng dẫn:</b>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

{

{

{

<b>27. Cho a, b, c, d,e là các số thực,</b>

<b> Chøng minh r»ng</b>

<b> a) </b>

<b> b)</b>

<b> c)</b>

<b>Hướng dẫn:</b>

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

<sub>(</sub>