Các dạng Toán về giá trị tuyệt đối

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Các dạng toán về giá trị tuyệt đối. I. Đặt vấn đề Trong chương trình Đại số 7 học sinh bắt đầu làm quen với khái niệm “giá trị tuyệt đối”. Đây là một khái niệm mới, trừu tượng và hết sức quan trọng trong qu¸ tr×nh häc to¸n sau nµy. Tuy nhiªn, kh¸i niÖm nµy ®­îc ph©n bè trong chương trình phổ thông với lượng thời gian rất ít. Do vậy đa số các em học sinh còn hiểu lơ mơ dẫn đến việc thực hiện các phép tính liên quan sẽ gặp không ít khã kh¨n vµ dÔ sai sãt v× kh«ng hiÓu b¶n chÊt kh¸i niÖm. V× vËy t«i m¹nh d¹n đưa vấn đề mà bản thân cho là rất quan trọng để các bạn cùng tham khảo và giúp học sinh học tốt, giải đúng các dạng toán về “giá trị tuyệt đối” trong chương tr×nh THCS. II. Néi dung A. Những kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối. 1. Các định nghĩa 1.1. Định nghĩa 1: Giá trị tuyệt đối thực chất là một ánh xạ f: R  R  a a. 1.2. Định nghĩa 2: Giá trị tuyệt đối của một số thực a, kí hiệu a là: a  a nÕu a  0 - a nÕu a < 0 NÕu A(x)  0  A( x) * Më réng víi biÓu thøc A(x), kÝ hiÖu: A(x) lµ: A( x)    A( x) NÕu A(x)  0 1.3. Định nghĩa 3: Giá trị tuyệt đối của số nguyên a là số đo của khoảng cách từ điểm a đến gốc toạ độ * Mét c¸ch tæng qu¸t: a  b. b a  b b  0 b +) a  b  a    b. +) . a  b. +) . b  0.  b  a  b. a  b a  b. +) a  b  . 2. Một số tính chất về giá trị tuyệt đối a) a  0a b) a   a c)  a  a  a Trường THCS Xuân Trường. 1 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Các dạng toán về giá trị tuyệt đối. d) e) g) h) i). ab  a  b a  b  ab  a  b a  b  ab. a.b  a . b. a a víi b  0  b b. B. Các dạng toán về giá trị tuyệt đối. * Chủ đề 1: Giải phương trình chứa dấu giá tri tuyệt đối  A( x)  b. 1. D¹ng 1: . b  0.  A( x)  b   A( x)  b. Ví dụ: giải phương trình x  3  2 (1) x  3  2 x  5   x  3  2 x  1. Bµi lµm: (1)  . Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm x = 1, x = 5  A( x)  B( x).  A( x)  B( x)   A( x)   B( x)  B( x)  0 Ví dụ: giải phương trình x  1  3x  1 (2). 2. D¹ng 2: . 1  3 x  1  0 x  3 Bµi lµm: (2)   x  1  3x  1    x0 x  1  x  1  3 x  1    x  0. Vậy phương trình (2) có một nghiệm x = 0  A( x)  b  x0 3. D¹ng 3: A x   b    A( x)  b   x  0. Ví dụ: giải phương trình x  2  5 (3)  x  2  5  x0 Bµi lµm: (3)     x  2  5   x  0.  x  7   x  0   x  7   x  0. x  7  x  7 . Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 7 hoặc x = - 7  A( x)  B( x)  x0 4. D¹ng 4: A x   B( x)    A( x)  B( x)   x  0. Ví dụ: Giải phương trình x  1  x  6 (4) Trường THCS Xuân Trường. 2 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Các dạng toán về giá trị tuyệt đối  x  1  x  6  x0  Bµi lµm: (4)    x  1  x  6   x  0.  1  6   x  0  5  x  2   x  0. Vậy phương trình (4) vô nghiệm.  A( x)  B( x). 5. D¹ng 5: A( x)  B( x)    A( x)   B( x) Ví dụ: Giải phương trình: x  x  3 (5) 0  3 x  x  3  Bµi lµm: (5)   x  3 x   ( x  3 )  2 . Vậy phương trình (5) có nghiệm x =. 3 2. 6. Dạng 6: Phương trình chứa một số biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối  A( x)  A( x). L­u ý: A( x)  . NÕu A(x)  0 NÕu A(x)  0. Ví dụ: Giải phương trình x  1  x  3  2 (6) Bµi lµm: x  1 x  1 NÕu x - 1  0 x 1     ( x  1) NÕu x – 1 < 0  x  1 x  3 x  3 NÕu x – 3  0 x3     ( x  3) NÕu x – 3 < 0  x  3 VÕ tr¸i = x  1  x  3 B¶ng gi¸ trÞ X 1  1–x 0 x–1 x 1 3–x 3–x x3 VT - 2x + 4 2 2 x  1  2 x  4  2 NÕu x < 1   1  x  3 (6)  2  2 NÕu 1  x  3 NÕu x > 3  x  3 2 x  4. NÕu x  1 NÕu x < 1 NÕu x  3 NÕu x < 3. 3 x–1 0 x–3 2 2x - 4 NÕu x < 1. 1 x  3. NÕu x > 3. Vậy phương trình (6) có nghiệm là 1  x  3 ( x  Q ), ( x  1;3 ) * Chủ đề 2: Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối  A( x)  b. 1. D¹ng 1: . b  0. Trường THCS Xuân Trường.  b  A( x)  b. 3 Lop7.net. .

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Các dạng toán về giá trị tuyệt đối. Ví dụ: Giải bất phương trình 2 x  5  7. (1). 2 x  5  7  1  x  6 2 x  5  7. Bµi lµm: (1)  7  2 x  5  7  . Vậy nghiệm của bất phương trình là: x   1;6  A( x)  b.  A( x)  b   A( x)  b b  0 Ví dụ: Giải bất phương trình: 3x  5  10. 2. D¹ng 2: . (2). x  5 3 x  5  10  Bµi lµm: (2)   x   5 3 x  5  10 3  5 Vậy nghiệm của bất phương trình (2) là: x    ;   5;    A( x)  B( x)  B( x)  A( x)  B( x) 3. D¹ng 3:    B( x)  0  B( x)  0. 3. Ví dụ: Giải bất phương trình: 3  2 x  x  1 (3) Bµi lµm: 2  x  3 3  2 x  x  1   x  1  3  2 x  x  1   2 3    3  2 x   x  1   x  4   x  4 3 x  1  0 x  1  0  x  1    2 Vậy nghiệm của bất phương trình (3) là: x   ;4 3   A( x)  B( x)  A( x)  B( x)  4. D¹ng 4:    A( x)   B( x)  B( x)  0  B( x)  0  Ví dụ: giải bất phương trình: x  2  x (4). Bµi lµm:  x  2  x  2  0   (4)   x  2   x   x  1  0  x  1 x  0 x  0  . Vậy nghiệm của bất phương trình (4) là: x  0;1 5. D¹ng 5: A( x)  B( x)  A( x)2  B( x)2 Ví dụ: Giải bất phương trình: x  1  x  2 (5) Bµi lµm: (5) x  12  x  22  x 2  2 x  1  x 2  4 x  4  6 x  3  x . 1 2. Vậy nghiệm của bất phương trình là: x   ;  2  1. * Chủ đề 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Trường THCS Xuân Trường. 4 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Các dạng toán về giá trị tuyệt đối. 1. C¸c kiÕn thøc cÇn l­u ý: a) b) c) d) e). A( x)  0 (DÊu “=” x¶y ra khi A(x)=0) A( x)  B( x)  A( x)  B( x) (DÊu “=” x¶y ra khi A(x).B(x)  0 ). A( x)  B( x)  A( x)  B( x) (DÊu “=” x¶y ra khi A(x).B(x)  0 ).. (DÊu “=” x¶y ra khi A(x).B(x)  0 ). A( x)  B( x)  A( x)  B( x) (DÊu “=” x¶y ra khi A(x).B(x)  0 ).. A( x)  B( x)  A( x)  B( x). g) A( x)  B( x)  A( x)  B( x) (DÊu “=” x¶y ra khi A(x).B(x)  0 ). 2. Mét sè bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt (GTNN), gi¸ trÞ lín nhÊt (GTLN) thường gặp. 2.1. T×m GTNN cña biÓu thøc A  2 3x  1  4 Bµi lµm: Ta cã 3x  1  0x  2 3x  1  0x  2 3x  1  4  4x . 1 3. VËy GTNN cña A lµ - 4 khi 3x  1  0  3x  1  x  . 2.2. T×m GTNN cña biÓu thøc B . 6 víi x  Z x 3. Bµi lµm: XÐt x  3  x  3  0  B  0 x  3 XÐt x  3, x  Z  x  0;1;2 NÕu x  0  B  2 NÕu x  1  B  3 NÕu x  2  B  6 VËy GTNN cña B = - 6  x  2  x  2 2.3. T×m GTNN cña biÓu thøc C  x  2  x  3 Bµi lµm: - C¸ch 1: C  x  2  x  3  x  2  x  3  x  2  3  x  1 VËy GTNN cña C = 1  x  2x  3  0  2  x  3 - C¸ch 2: C  x  2  x  3  x  2  3  x  x  2  3  x  1 VËy GTNN cña C = 1  x  23  x   0  2  x  3 2.4. T×m GTLN cña D  x  1  x  5 Bµi lµm: - C¸ch 1: D  x  1  x  5  x  1  x  5  x  1  x  5  4 x  1 x  5. VËy GTLN cña D  4  x  1x  5  0  . * Chủ đề 4: Đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối 1. D¹ng 1: §å thÞ cña hµm sè y  f  x  .  f ( x) NÕu x  0 NÕu x  0  f ( x). Ta cã: y  . Trường THCS Xuân Trường. 5 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Các dạng toán về giá trị tuyệt đối. §å thÞ gåm: y = f(x) nÕu x  0 y = f(- x) nÕu x < 0 Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y  2 x  2 NÕu x  0 2 x  2 Bµi lµm: Ta cã y   2( x)  2 NÕu x  0. Nhận xét: Đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy 2. D¹ng 2: §å thÞ hµm sè y  f (x)  f ( x)  f ( x ). Ta cã: y  . NÕu f ( x)  0 NÕu f ( x)  0. Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y  x  2 x  2 NÕu x  2  0 NÕu x  2  0  ( x  2) x  2 NÕu x  2  NÕu x  2  x  2. Bµi lµm: Ta cã y  x  2  . NhËn xÐt: §å thÞ hµm sè n»m phÝa trªn trôc hoµnh Ox. Trường THCS Xuân Trường. 6 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Các dạng toán về giá trị tuyệt đối. 3. D¹ng 3: §å thÞ cña hµm sè y  1  x Bµi lµm:. NÕu x  0 , 1  x  0. 1  x 1  ( x) Ta cã: y    (1  x)  1  ( x) 1  x 1  x  y  1  x  1  x. NÕu x  0 , 1  x  0 NÕu x  0 , 1  x  0 NÕu x < 0, 1  x  0. NÕu x  0 , 1  x  1 NÕu x  0 , 1  x  1 NÕu x  0 , x  1, x  1 NÕu x < 0, x  1, x  1. §å thÞ hµm sè:. Nhận xét: Đồ thị nằm phía trên trục hoành Ox và đối xứng qua trục tung Oy 4. D¹ng 4: §å thÞ hµm sè y  f (x)  f ( x)  f ( x ). Ta cã y  f ( x)  y  . NÕu y  0 NÕu y  0. Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y  x  1. Nhận xét: Đồ thị hàm số đối xứng qua trục hoành 5. D¹ng 5. §å thÞ hµm sè y  f (x) Trường THCS Xuân Trường. 7 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Các dạng toán về giá trị tuyệt đối.  f ( x) NÕu f ( x)  0 Ta cã: y  f ( x)   NÕu f ( x)  0  f ( x) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y  x.  f ( x)   f ( x). Nhận xét: Đồ thị hàm số đối xứng qua gốc toạ độ O * Chủ đề 5. Tính giá trị biểu thức VÝ dô 1: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A = 3x2 – 2x + 1 víi x . 1 2. 1  x  1 Bµi lµm: Ta cã x    2 2 x   1 2  2. 1 1 1 3 NÕu x  th× A  3.   2.   1  2 4 2 2 2. NÕu x  . 1 1 1 3 th× A  3.    2.    1  2 2 4  2  2 1 2. VÝ dô 2: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc B  2 x  3 y víi x  , y = - 3. Ta cã: x . 1 1  x  2 2. 1 y  3  y  3 . B cã gi¸ trÞ lµ: 2.  3.3  1  9  8 2. * Chủ đề 6. Rút gọn biểu thức chứa giá trị tuyệt đối VÝ dô: Cho biÓu thøc: A  3(2 x  1)  x  5 . Hãy viết A dưới dạng không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Bµi lµm: x  5 NÕu x  5  0 NÕu x  5  0  ( x  5 ) .  x  5 NÕu x  5   x  5 NÕu x  5 NÕu x  5 . Ta cã: A  32 x  1  x  5  5 x  2 NÕu x  5 . Ta cã: A  3(2 x  1)  ( x  5)  7 x  8. Ta cã: x  5  . Trường THCS Xuân Trường. 8 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Các dạng toán về giá trị tuyệt đối. III. KÕt luËn Việc giảng dạy giúp học sinh làm tốt các bài toán về giá trị tuyệt đối có rất nhiÒu óng dông trong thùc tÕ còng nh­ trong khi gi¶i c¸c d¹ng to¸n kh¸c nh­: giải phương trình, bất phương trình, vẽ đồ thị, toán cực trị, ... Nó được vận dụng rÊt nhiÒu trong thùc tÕ. V× vËy viÖc ph©n chia c¸c d¹ng bµi gióp häc sinh n¾m ch¾c c«ng thøc tæng qu¸t, ¸p dông gi¶i tõng bµi cô thÓ la rÊt quan träng trong khi dạy. Trong thời gian có hạn, sáng kiến dạy “các dạng toán về giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7” của tôi không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong được sự đóng gãp ý kiÕn./. Xuân Trường, ngày 02 tháng 05 năm 2007 Người viết. Nguyễn Thị Thu Hường. Trường THCS Xuân Trường. 9 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>