Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (519.96 KB, 24 trang )
1
Phát trio cho hc sinh trung hc
ph thông qua dy hc các bài toán v giá tr ln
nht và giá tr nh nht
Development of creative thinking for highschool students, a case study of maximization and
minimization problem teaching
NXB 2 S trang 99 tr. +
inh Th M Hnh
Trng i hc Giáo dc
Lu: Lý lun và phng pháp dy hc b môn Toán;
Mã s: 60 14 10
i ng dn: PGS.TS.Nguyn Nhy
o v: 2012
Abstract.
.
c ph thông. t s
.
Keywords: Toán hc; ng dy; o; Giá tr ln nht; Giá tr
nh nht; Bài toán
Content.
1.
Do nhng yêu cu thc t ca thi giáo viên không ch trang b cho hc sinh
nhng kin thc c th mà cn rèn luyc sinh hình thành kh hc và sáng to.
,
.
.
,
, , .
.
,
. ,
,
.
.
:
2
" THPT
"
2.
: "
" -
- "
-
12 nâng cao THPT" -
-
" THPT
".
3.
-
.
-
.
-
.
4.
.
5.
12A1, 12A2, 12A6, 12A7
- .
6.
-
:
,
.
,
.
- ,
:
.
-
.
7.
,
.
8.
,
,
1.
.
3
.
3.
.
C S LÝ LUN VÀ THC TIN
1.1.
1.1.1.
Theo t n trit hc: n phm cao nht ca vt chc t chc mc
bit là b não, là quá trình phn ánh tích cc th gii khách quan trong các khái nim
lunt hin trong quá trình hong sn xut xã hi c
m bo phn
ánh thc ti mt cách gián tip phát hin nhng mi liên h hp quy lut. ng tiêu
biu cho xã hduy cc thc hin trong mi liên h cht ch
vi li nói và nhng kt qu cc ghi nhn trong ngôn ngt qu c
.
1.1.2.
t hong trí tu vi quá trình gn sau:
- c v, bit nó thành nhim v
- ng trí tu, vn kinh nghing, hình thành gi thuyt và cách gii
quyt v, cách tr li câu hi.
- c 3: xác minh gi thuyt trong thc tin. Nu gi thuynh chính xác
hoá và gii quyt v, nu gi thuyt không phù hp thì ph nh nó và hình thành gi thuyt mi.
- c 4: quyt qu dng.
Các thao tác trí tu n phc v là:
Phân tích, tng hp so sánh trng hoá và khái quát hoá c th hoá,
c bit hoá ng suy lun chng minh.
1.1.3. Nhm c
t thit phi s dng ngôn ng n.
i da vào các khái nim. phn ánh khái quát.
phn ánh gián tip.
không tách ri quá trình nhn thc cm tính
1.1.4. Du hin
Có kh chuyn ti tri tht tình hung mi. Có kh
hin c bit gia các bài toán.
4
Có kh ng kin th gii tt các bài toán thc tng nhanh, bit phân
tn d tìm cách t chc thc hin có hiu qu.
1.2. Sáng to
1.2.1. Sáng to là gì?
Sáng to là tìm ra cái mi, cách gii quyt v mi không b ph thu
t phm trù trit hc, sáng tc hiu là quá trình hong ca con
i to ra nhng giá tr vt cht, tinh thn mi v cht.
Theo Bách ksáng to là hong c các quy lut
khách quan ca thc tin, nhm bii th gii t nhiên, xã hi phù hp vi mu
ci. Sáng to là hong không lp lo và duy nht.
Tng hp các quan nim trên ta có th hiu sáng to mn nht chính là quá
trình tìm ra cái m
1.2.2.
o
Quá trình sáng to tri qua bn:
n th nhtn chun b cho công vic ý th
i quyt và gii quyt bng các cách nhau.
n th hain p c bu khi công vic có ý thc ngng li. Công vic
tip din là các hong ca tim thc.
n th baon bng sáng trn nhy vt v cht trong tin trình
nhn th quynh cho quá trình tìm kim li gii.
n th n kim chng. n này cn phi trin khai lp lun, chng
minh logic và kim tra li gii nhc t trc giác.
1.2.3. Các c ca sáng to
Sáng to là hong và phong phú ci, có th phân chia sáng to thành
hai c:
C 1 là hong ci to, ci tii mi, nâng cao nh cao
C 2 là hong to ra cái mi v cht.
1.3. o
1.3.1. o là gì?
Mt s nhà nghiên cu cho rng o là mt dc lp tng
mu qu gii quyt v ng mi th hin ch phát hin v mi, tìm
i to ra kt qu mng th hin i pháp l, him, không
quen thuc hoc duy nht.
1.3.2. Các thành phn co
- Tính mm do.
5
- Tính nhun nhuyn
-
- Tính hoàn thin.
- Tính nhy cm v
1.4. Phát trio cho hc sinh qua môn toán
1.4.1. Mt s biu hin s sáng to ca hc sinh trong hc toán
C th nh m bt kin thc nhanh và tt; hình thành k xo và
cách ging. Trong cách gii có nho, hoc có nhiu cách
gii vi mt bài toán, hoc kh a chn cách gii hiu qu nhi vi mt bài toán.
Th o ra nhng kt qu mi có giá tr. T hai c này ta thy cp
1 là ph bin vi hc sinh ph t s biu hin c th mà chúng ta có th kho
- Có kh p thu và vn dng kin thc tt.
- Có th nm bt giáo trình mc lp.
- Sáng to trong cách gii toán (có nhiu cách gii, có cách gii hiu qu nht).
- c lp suy ra các công thc.
- Chnh lý, hoc t i các bài toán không mu mc.
- c sinh có th t ra l xut bài toán mi chính là quá trình phát
hin v mi, các phm cht co ny sinh t c phát trin tôi rèn.
1.4.2. ng phát trio cho hc sinh qua môn toán
Phát trio cho hc sinh thông qua vic kt hp các hong trí tu khác.
Phát trio cho hc sinh thông qua vic rèn luyn kh n v
ng mi.
Phát trio cho hc sinh là mt quá trình lâu dài cn tin hành trong tt c các
khâu ca quá trình dy hc.
Chú trng bo qua vic rèn luyn tng yu t c th bng vic xây
dng và dy hc h thng bài tp.
Các bin pháp c th
- Tp cho hc sinh thói quen d n, phân tích, tng hp t trng
c th.
- Tp cho hc sinh bit nhìn tình hui nhi khác nhau.
- Tp cho hc sinh bit gii quyt v bng nhiu a chn cách
gii quyt tt.
- Tp cho hc sinh vn dc bit .
- Tp cho hc sinh bit cách h thng hoá kin th
6
- Tp cho hc sinh bit cách vn dng kin thc vào thc tin.
- Quan tâm ti sai lm ca hc sinh tìm ra nguyên nhân và cách khác phc.
- Tôn trng tính sáng to ca hc sinh, luôn khuyng viên kp thi chú trng vic
hc sinh t phát hin và gii quyt v.
1.5. GTLN - GTNN
1.5.1.
GTLN - GTNN
- :
- :
- Qua nghiê
,
;
; 10, 11, 12
GTLN - GTNN
GTLN - GTNN
;
12.
GTLN - GTNN : ;
;
;
,
.
1.5.2.
GTLN - GTNN
GTLN - GTNN
,
.
,
.
,
GTLN - GTNN
.
GTLN - GTNN.
GTLN - GTNN
,
.
GTLN - GTNN
.
.
7
GTLN -
GTNN.
,
.
.
,
.
GTLN - GTNN
.
; ;
.
:
,
,
,
.
Nguyên nhân
-
GTLN - GTNN
.
-
sinh.
:
-
,
.
GTLN - GTNN
.
1.5.3.
GTLN - GTNN
G
, ,
:
.
.
.
,
GTLN - GTNN
. GTLN - GTNN
8
,
,
,
TRUNG HC PH THÔNG
QUA Á TR LN NHT GIÁ TR NH NHT
2.1.
2.1.1. GTLN - GTNN ca hàm s
y f x
*
0
xD
sao cho
0
f x f x
xD
0
M f x
fx
trên D
D
M maxf x
*
0
xD
sao cho
0
f x f x
xD
0
m f x
fx
trên D
D
m minf x
: GTLN - GTNN
.
GTLN - GTNN
a,b
.
GTLN - GTNN
a,b
.
:
sinx
,x 0,1
fx
x
2,x 0
x0
sinx x
, suy ra
sinx
1
x
x 0,1 f x 2, x 0,1
f 0 2
maxf x f 0 2
ét
GTLN - GTNN.
9
2.1.2. GTLN - GTNN ca mt tp
A
Cho tp
A
*
:
1)
a , a A
A
2)
A
*
:
1)
a, a A
2)
A
-
GTLN - GTNN
.
2.2.
- GTNN
2.2.1.
-
'
fx
y f x
.
-
0
(
)
GTLN - GTNN.
- .
-
c,
,
.
,
GTLN - GTNN .
Ví d 1. Tìm GTNN ca hàm s
22
x (a 1)x a
fx
x
2
0 x a a 1
(a > 0)
2.2.2.
Cho hàm s nh trên
a,b
khi x bin thiên trên
a,b
ng bin
thiên trên
c,d
. Vy ta gi
c,d
là tp giá tr ca hàm s và
a,b
a,b
c minf x , d maxf x
.
y vic tìm tp giá tr ca hàm s i vic tìm GTLN - GTNN. Dnh lý
:
10
nh lý: Cho hàm s
y f x
nh trên
a,b
có tp giá tr là
c,d
trình
f x m
có nghim thuc
a,b
khi và ch khi
c m d
T nh lý này ta suy ra cách tìm GTLN - GTNN ca mt hàm s
y f x
nh trên
a,b
Bu
0
f x y
có nghim thuc
a,b
t c b ng thc:
Nu
0
c y d
thì c là GTNN và d là GTLN.
c bit nu hàm s
y f x
nh vi mi x thì b
0
f x y
có nghim
suy ra. Nu
0
c y d
thì c là GTNN và d là GTLN.
Ví d 2. Tìm GTNN và GTLN ca hàm s
2 cosx
y
sinx cosx 3
2.2.3.
-
(
x sint,x cost,x tant
)
.
-
.
- -
:
-
2 2 2
x y ;1 x ;
Ho
2 2 2
x y a ,a 0,
.
2.2.4. c
-
-
,
.
-
,
:
,
,
.
,
.
,
11
3. Tìm GTNN ca hàm s
22
f x x x 1 x 3x 1
x
2.2.5. dng bng thc
a trc tip vào GTLN - GTNN ca hàm s. Vì th chung ca
tic sau
- c ht chng minh m ng thc có dng
f x , x D
vi bài toán tìm
GTNN hoc
f x , x D
vi bài toán tìm GTLN
- ch ra mt phn t
0
xD
sao cho
0
fx
4. Tìm GTLN ca hàm s
26
y sin xcos x
Cc xem nh c nào. Tùy dng ca bài toán
c th mà ta s la chn mng minh bng thc thích h
ch ra phn t x
0
D c hai ca thut toán.
Kt lun: Mt bài toán tìm GTLN - GTNN có th có nhiu cách gii, nhi
gii. trong mi có kh n cho hc sinh nhi
u loi by
i phát tric sinh
2.3. Các bin pháp phát trio cho hc sinh THPT qua dy hc các bài toán
v GTLN - GTNN
2.3.1. ng chung
- Tp cho hc sinh thói quen mò mm, d ng hp.
- Tp cho hc sinh bit ra vi nhi khác nhau, gii quyt v
i nhiu khía cnh, bin lun các kh y ra.
- Tp cho hc sinh bit gii quyt v bng nhii
quyt t
- Tp luyn cho hc sinh bit vn dc big t.
- Tp cho hc sinh bit h thng hóa kin th
- n các sai lm ca hc phc.
2.3.2. Các bin pháp phát trio cho hc sinh THPT qua dy hc các bài toán v
GTLN - GTNN
2.3.2.1. Rèn luyn theo các thành phn cu o
* Rèn luyn tính mm do co
1. Cho
x 0,y 0
22
x y 1
. Tìm GTNN ca biu thc sau
12
11
P 1 x (1 ) 1 y (1 )
yx
Xét li gi.
1 1 x y
P 2 (x ) (y ) ( )
x y y x
Ta có
1 1 x y
x 2; y 2 và 2
x y y x
Do vy
1 1 x y
P 2 (x ) (y ) ( ) 8
x y y x
Du bng xy ra khi
x y 1
. Vy min
P8
22
x y 1 thì x y 2
(không thu kin
22
x y 1
).
Vy sai lm ca li gii
Phân tích: Nu ph thuc vào cách gic hin mt cách máy móc thì gii bài toán
nhiu khi vp phi sai lu thy ngay không th xy ra du bng trong bng thc P
8
(Phn 2 c GTNN không tho mãn). Vì th lun min P = 8 là sai
Cách gi
1 x 1 y
P 1 x 1 y
y y x x
1 1 x y 1 1 1
( x ) (y ) ( ) ( ) 2
2x 2y y x 2 x y
Ta có:
1
x 2
2x
(2)
1
y 2
2y
(3)
xy
2
yx
(4)
1 1 2
xy
xy
(5)
Do
22
x y 2 xy
nên t (5) ta có
22
1 1 2
2 2
xy
xy
2
(do
22
x y 1
) (6)
13
T (1), (2), (3), (4) và (6) suy ra
P 3 2 4
(7)
Du "=" trong (7) xy ra
ng thi có du bng trong (2), (3), (4), và (6)
2
x y
2
y tn ti (x
0,
y
0
) tho mãn
22
00
x y 1
Vy min
P=3 2 4
khi
2
xy
2
.
Nu không có s "mm do" i quyt v thì d dn sai lm khi gii
bài toán trên
* Rèn luyn tính nhun nhuyn c
2. Tìm GTNN ca hàm s
x 1 x 1
y 3 3
. Bi nhin trên c hàm s i gii
khác nhau.
1. n s dng bng thc c n
x 1 x 1
x ,3 0,3 0
Áp dng bng thc Côsi, ta có
x 1 x 1 x 1 x 1 2
2
y 3 3 2 3 .3 2 3
3
Du "=" xy ra
x 1 x 1
3 3 x 0
Vy
R
2
min y
3
khi
x 0
.
Cách 2. n s dng bng thc c t s phép
bii khác
Ta có
xx
x 1 x 1 x x x x
xx
3 3 1 1
y 3 3 3y 3 3 3 x ,3 >0, 0
3 3 3 3
p
dng bng thc Côsi, ta có
xx
xx
1 1 2
3y 3 2 3 . 2 y
3 3 3
14
du "=" xy ra khi
x
x
1
3 x 0
3
Vy
R
2
min y
3
khi
x 0
.
Cách 3. i dng mình siêu vit t din tp giá tr ca
hàm s
Ta có
xx
x 1 x 1 x 2x x
x
3 3 1
y 3 3 3y=3 3 3y.3 1 0
3 3 3
(1)
x
t 3 0
, (1)
2
(2)
m
2
2
y
3
2
y
3
do
2
y 0 y
3
Du "=" xy ra khi
x0
Vy
R
2
min y
3
khi
x0
.
Cách 4. o hàm
Ta có
x 1 x 1 x x
1
y 3 3 3 3
3
Xét hàm s
xx
f x 3 3
Do f(x) là hàm s chn nên ch cn xét f(x) vi
x 0
t
x
t 3 ,t 1
(do x
0
15
1
g t t ,t 1
t
'
2
1
g t 1 0, t 1
t
S
m s ng bin khi
t 1 f x
ng bin khi
x 0
2
y y 0
3
.
R
2
min y
3
khi
x0
.
Vic rèn luyn tính nhun nhuyn c o s giúp h c nhiu
t bài toán và t t nht.
* Rèn luyo
3. Cho 3 s y, z tha mãn
1 1 1
4
x y z
. Tìm GTLN ca biu thc
1 1 1
A
2x y z x 2y z x y 2z
Li gii. Nhn xét:
11
2x y z (x y) (x z)
có liên h gì vi
11
x y x z
ng thc quen thuc
1 1 4
a b a b
du "=" xy ra khi
ab
T
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 ( ) ( ) ( )
x y z 2 x y y z z x
1 4 4 4 1 1 1 1 1 1
2 x y y z z x x y y z y z z x z x x y
4 4 4 1 1 1
1
x 2y z x y 2z 2x y z 2x y z x 2y z 2x y z
Du "=" xy ra khi
3
x y z
4
16
Vy
max A 1
khi
3
x y z
4
Cách gii bài toán là tìm ra s liên h gia gi thit ca bài toán vi b ng thc
1 1 4
a b a b
có mi liên h vng gii trên th hin
mt phn tc lp c.
* Rèn luyn tính nhy cm co
Ví d 4. Cho
x,y 0
tha mãn
1
x1
y
Tìm Giá tr nh nht ca biu thc
xy
P 32 1999
yx
.
. T
x,y 0
, ta có
xy
2
yx
x,y 0
và
1
x1
y
, ta có
2
1 1 y
1 x 4x 4
y y x
x y y
P 32 1967 32.2 1967.4 7932
y x x
du "=" xy ra khi
xy
xy
thì ta có
P 32.1 1999.1 2031
Sai lm ca li gii
Li gii sai ch vi
x,y 0
thì
xy
2
yx
, du "=" xy ra khi
xy
Còn
y
4
x
, du "=" xy ra khi
y 4x
.
Mc khác, khi
xy
thì gi thit
1
x1
y
tr thành
1
x1
x
(vô lý).
i gi thiy ra kh
xy
.
17
Li gi
Ta có:
2
1 x y
1 x 4. 4
y y x
Áp dng bng thc Côsi, ta có:
x y y x y
P 32 1967. 2. 32 .2 1997.4 8004
y x x y x
du "=' xy ra khi:
y 4x
và
2
11
x 1 x
y2
và
y2
Vy
minP 8004
khi
1
x ,y 2
2
y khi dy hc giáo viên cn các sai lm ca hc sinh, tìm nguyên nhân
c phc. Vic sa cha sai l hc sinh t tìm và t khc phc,
m b chc. T c sinh linh hot và sáng to trong hc tp và rèn luyn
c tính nhy cm co cho hc sinh.
2.3.2.2. ng vào rèn luyn các hong trí tu
Các hong trí tu n có th k ng hp, khc bit
hóa, trn cho hc sinh nhng hong trong dy hc
sáng to.
2.3.2.3. Khuyn khích hc sinh tip cn bài toán bng nhing khác nhau t c
nhiu li gii cho mt bài toán
1. Tìm GTLN - GTNN ca biu thc
2
2
2(x 6xy)
P
1 2xy 2y
vi x, y là các s thc sao cho
22
x y 1
.
.
Cách 1. Khi gii bài toán tìm GTLN - GTNN dng
o hàm. T i 1
Do
22
x y 1
nên
2
22
2(x 6xy)
P
x 2xy 3y
18
i) Nu
y0
thì
2
x1
suy ra
P2
ii) Nu
y 0
thì
2
2
2t 12t
P
t 2t 3
vi
x
t
y
Xét hàm s
2
2
2t 12t
f t ,t
t 2t 3
22
22
22
8t 12t 36 2t 3t 9
f t 4
t 2t 3 t 2t 3
'
3
f t) 0 t 3 và t
2
:
T bng bin thiên suy ra
maxP 3
,
22
min P 6 khi x y 1
Qua ví d ta thy: Nh vic chuyi nhiu
khía cnh mà hc sinh có th tìm ra nhing gii quyt bài toán t c nhìu cách gii bài
toán và nh c nhiu li gi
c cách gii t.
2.3.2.4. Sáng to bài toán mi
Sáng to bài toán mi là mc quan trng trong quá trình gii toán, mc rèn
luyo toán hc, mt trong nhng mc tiêu chính ca hc tp sáng t xây dng
bài toán mi, có th ng dn hc sinh theo các con
- S dc bit hóa hay t n bài toán
o, bài toán tng quát.
x
3
2
3
'
f (x)
-
0
+
0
-
f(x)
3
2
2
-6
19
- Nghiên cu sâu bn cht c s hình thành c
xây dng các bài toán cùng dng.
Ví d 1.
Bài toán 1. Cho
a, b, c 0
tha mãn
a b c 1
Tìm Giá tr nh nht ca
1 1 1
P 1 1 1
a b c
.
Bài toán 1.1. u kin bài toán 2:
a, b, c 0
tha mãn
2 2 2
a b c 1
Tìm Giá tr nh nht ca
1 1 1
P= 1+ 1+ 1+
a b c
.
Bài toán 1.2. Nu thay
A
a sin
2
,
B
b sin
2
,
C
c sin
2
thì bài toán mi là:
Cho A, B, C là 3 góc c
0
A B C 180
Tìm Giá tr nh nht ca:
1 1 1
P= 1 1 1
A B C
sin sin sin
2 2 2
2.3.2.5.
t h thng các bài tp rèn luy trên
Tác gi c th v các bài toán tìm GTLN-GTNN,
ng ti chính là thông qua các ví d c sinh n
cách làm và có kh ng dng gii nhiu bài toán khác mc lp, thm chí hình thành
hc, t tìm hi toán mi
Luc mt s các bin pháp phát trio cho hc sinh
trung hc ph thông góp phn mang li hiu qu tích ci my hc nhà
ng ph thông.
20
3.1.
3.1.1.
c -
.
3.1.2.
-
.
()
.
.
,
.
.
:
.
3.2.
.
3.3.
3.3.1.
: 27/3/2012 14/4/2012.
: 12A2, 12A6
.
: 12A1, 12A7
.
(
)
-
2
.
,
o
c sinh,
, o
.
3.3.2.
2 .
tra 60 .
ng dy các lp thc nghim
21
, i
60 ,
cho các
,
à ác
.
-
c sin
- GTNN.
3.4.
3.4.1.
-
,
.
-
(, ,
) h
,
.
.
- H
, ,
, ,
, h
.
-
,
,
cho hc sinh.
3.4.2. c
-
, h
, thi
, ,
.
-
-
GTNN, ,
.
-
, ,
.
3.4.3.
-
,
,
, :
+
Bng 3.2. Kt qu bài kim tra
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12A
2
0
0
0
0
1
6
7
7
5
8
4
38
12A
6
0
0
0
0
2
9
13
8
4
3
1
40
12A
1
0
0
0
0
3
10
7
9
6
5
0
40
12A
7
0
0
0
0
4
12
11
8
3
1
0
39
22
+
u:
Bng 3.3. Phân loi bài kim tra
TT
yu - kém
trung bình
-
(12A
2,
12A
6
)
3
3,8%
35
44,9%
40
51,3%
(12A
1
, 12A
7
)
7
8,9%
40
50,6%
32
40,5%
3
7
35
40
40
32
0
5
10
15
20
25
30
35
40
trung bình
Bi 3.1. Phân loi bài kim tra
:
.
.
:
.
,
.
3
Qua vic tin hành thc nghim và nhng kt qu rút ra sau thc nghim cho thy:
1. Ma vic thc nghi
Quá trình thc nghiy nhc phi thc hin kiên trì vi
chun b ng xuyên hc tp, nm chng h
m phù hp.
23
2. Tính thit thc, kh thi và khách quan ca vic phát trio cho hc sinh THPT
qua dy hc các bài toán v Giá tr ln nht và Giá tr nh nhc khnh.
1.
, ,
. .
2. T -
.
3.
-
,
.
4.
4
-
.
.
5.
.
.
References.
A.
1.
.
10, 11,
12
.
, 2006.
2.
. . Nxb
, 2007.
3.
.
, 2010.
4.
-
.
.
, 1996 - 2007.
5. ,
, 12.
, 2000.
6.
(). 10 nâng cao.
, 2007.
7.
(). 11 nâng cao.
, 2007.
8.
(C). 12 nâng cao.
, 2007.
9.
. .
, 2001.
10.
().
.
c gia
, 2001.
11.
. 500 1,
2.
, 1995.
12.
.
.
, 2006.
24
13.
, .
.
,
2007.
14.
. . Nghiên
, 1995.
15.
(). ôpski.
, 2008.
16. .
.
, 2009.
17.
. , 2005.
18.
(
).
10 nâng cao.
, 2007.
19.
(
).
11 nâng cao.
, 2007.
20.
(
). 12 nâng cao.
, 2007.
21.
. 263 .
, 1997.
22. Tôn Thân.
t Nam.
, 1995.
23.
r. T.
, 2003.
24.
30
,
, 1977.
B. Trang Website
25.
26.
27.
