Học sinh lớp 7a1 trường THCS Võ Thị Sáu tham học dự án Tin

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Phòng giáo dục và đào tạo</b>

<b>yên định</b> <b>kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCSnăm học 2008 - 2009</b>

<b>Môn: Toán</b>

Thi gian lm bi: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)

<b>Câu 1: (4,0 điểm)</b>

Cho biÓu thøc :

P = 2x

x - 2 +
4
<i>x</i>2_{- 5x}

+ 6 <i>−</i>
1

x - 3

.

a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn biểu thức P.

b) Tìm tất cả các giá trị của x để P nguyên.

<b>Câu 2: (5,0 điểm)</b>

Trên mặt phẳng tọa độ cho các đờng thẳng (d):


3x 3
y

2

_vµ

(d') :

y = 9 - 3x

2

cắt nhau tại C và lần lợt cắt trục Ox tại A, B.

a) Tìm tọa độ của các điểm A, B, C.

b) Tìm diện tích và chu vi của tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trên các trục

là cm.

<b>Câu 3: (4,0 điểm)</b>

<b> a, Cho 3 số dơng a,b,c thoả m·n </b>

2 2 2 5

3
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> 

Chứng minh bất đẳng thức:

1 1 1 1

<i>a b c</i>   <i>abc</i>

b, Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

<i>x</i>2 25<i>y y</i>( 6)

<b> </b>

<b>Câu 4: (5,0 điểm)</b>

Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB; Từ A và B ta vẽ hai dây cung AC và BD cắt

nhau tại N. Hai tiếp tuyến Cx, Dy của đờng tròn cắt nhau tại M. Gọi P là giao điểm

của hai đờng thẳng AD và BC.

a, Chøng minh PN vu«ng gãc víi AB.

b, Chứng minh P,M,N thẳng hàng.

<b>Câu 5: (2,0 điểm)</b>

Chứng minh rằng:

2 3 4 5... 2000 3

---Hết---

<i>Học sinh không đợc sử dụng tài liu gỡ.</i>

<i>Cán bộ coi thi không gi</i>

<i></i>

<i>i thích gì thêm.</i>

Phòng giáo dục và

o to yờn nh k thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCSnăm học 2008 - 2009
ỏp ỏn v hng dn chm

Môn: Toán

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Câu ý Nội dung cơ bản Điểm

1
a)

Điều kiện :

x <i></i> 2 ; x <i>≠ 3 </i>
<i>x</i>2 - 5x + 6 <i>≠ 0 </i>

¿{
¿

 x  2 vµ x  3

P = 2x

x - 2 +
4

<i>x</i>2 - 5x + 6 <i>−</i>
1
x - 3
= 2x(x - 3)+ 4 <i>−</i>(x - 2)

(x - 2)(x -3) =

2x2_{- 7x}

+ 6
(x - 2)(x <i>−</i>3)
= (2x - 3)(x - 2 )

(x - 2)(x <i>−</i>3) =

2x - 3
x <i>−3</i>
VËy : P = 2x - 3

x −3 víi x  2 , x  3 .

0,5

0,5

1,0

b)

Ta cã P = 2x - 3
x <i>−3</i> =

(2x - 6)+ 3

x <i>−3</i> = 2 +
3
x <i>−3</i>
nªn P nguyªn  3

x <i>−3</i> nguyên x - 3 là ớc của 3



x - 3 = 3
¿
x - 3 = 1

¿
x - 3 = -3

¿
x - 3 = -1

¿
¿
¿
¿



x = 6
¿
x = 4

¿
x = 0

¿

x = 2 ( loại )

.

Vậy các giá trị cần tìm là x = 6 ; x = 4 ; x = 0

0,5
0,5

1,0

Câu ý Nội dung cơ bản Điểm

a)

b)

C l giao im ca d v d/_{nên tọa độ của C thỏa mãn hệ :}
¿

2y = 3x + 3
2y = 9 - 3x

¿{
¿



¿

2y = 3x + 3
4y = 12

¿{
¿



¿
x = 1
y = 3

¿{
¿

VËy C(1 ; 3)

 Phơng trình trục Ox là y = 0 nên tọa độ A thỏa mãn hệ :

¿
2y = 3x + 3
y = 0

¿{
¿



¿
x = - 1
y = 0

¿{
¿

VËy A(- 1; 0)

1,0

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2

tọa độ B thỏa mãn hệ :

¿
2y = 9 - 3x
y = 0

¿{
¿


¿
x = 3
y = 0

¿{

¿

VËy B(3 ; 0)

 Gọi H là hình chiếu của C trên trục Ox thì CH là đờng cao của tam giác
CAB và CH = 3 cm ( tung độ của điểm C) ; cạnh đáy AB = AO + OB = 1 + 3
= 4 (cm) .

 dt(ABC) = 1

2 AB.CH =
1

2 .4.3 = 6 (cm2)

 HA = HO + OA = 1 + 1 = 2 (cm)  HB = AB - AH = 2 (cm)

 HA = HB = 2(cm)  tam giác CAB cân tại C (CH vừa là đờng cao vừa là
trung tuyến) ; tam giác vng HCA có :

_CA₌

_√

_AH2₊_HC2₌

_√

₂2₊₃2₌

_√

₁₃ (cm)

 chu vi ABC lµ : AB + BC + CA = 4 2 13 (cm)

1,5

1,5

C©u
3 a

b

Ta cã





2

2 2 2

2 2 2
0

2( ) 0

1 1 5

( ) 1

2 2 3

1

(do a, b,c > 0)

1 1 1 1

a
<i>a b c</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ac bc ab</i>

<i>ac bc ab</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>ac bc ab</i>

<i>abc</i> <i>abc</i>

<i>b c</i> <i>abc</i>
  

      

        

 

 

   

Tõ

2 ₂₅ ₍ ₆₎
<i>x</i>  <i>y y</i>

Ta cã : (y+3+x)(y+3-x) = - 16

Để ý trong phơng trình chỉ chứa ẩn số x với số mũ bằng 2 , do đó ta có thể
hạn chế giải với x là số tự nhiên.

Khi đó: y+3+x  y+3-x .

Ta cã ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵn

Suy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ . Ta lại có tích của chúng là
số chẵn , vậy 2 sè 2 sè ( y+3+x ) vµ (y+3-x) lµ 2 số chẵn .

Ta chỉ có cách phân tích - 16 ra tÝch cđa 2 sè ch½n sau ®©y.

- 16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8) trong đó thừa số đầu bằng giá trị (y+3+x).
Khi y+3+x= 8 , y+3-x = -2 ta có x= 5 , y= 0.

Khi y+3+x= 4 , y+3-x = -4 ta cã x= 4 , y= -3.
Khi y+3+x= 2 , y+3-x = -8 ta cã x= 5 , y= -6.

Vì thế phơng trình đã cho có các nghiệm ( x,y) = (



5, 0 ; 5, 6 ; 4, 3 .

 

 

 

 



0.5
0.5
0.5
0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

C©u
4

y

x
O H

1
3

3
-1

C

B
A

y = 9-3x
2
y = 3x+3

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

a
b

Trong tam giác PAB ta có AC và BD là các đờng cao nên N là trực tâm tam
giác. Do đó PN là đờng cao cịn lại nên vng góc với cạnh AB.

Gọi I là trung điểm của PN thì IC là trung tuyến của tam giác vuông PAC nên

IPC cân tại I. Do ú : <i>IPC</i><i>ICP</i>.

Tam giác OAC cân tại O nên : <i>CAO</i><i>ACO</i>.

Mặt khác <i>CAO</i><i>IPC</i> (do có các cạnh tơng ứng vuông góc)
nên <i>ACO</i><i>ICP</i>.

Ta cú AC PC nờn OC IC . Do đó IC là tiếp tuyến tại C của đờng tròn.
Tơng tự , ID là tiếp tuyến tại D của đờng trịn .

Chøng tá I trïng víi M nên P,M,A thẳng hàng.

2
0,5
0,5
0.5
0.5
0.5
0.5

Câu

5 2

2

2 3... 1999.2001 2 3... 1998 2000 1

2 3... 1998.2000 2 3... 1997 1999 1

2 3... 1997.1999 ... 2.4 3

  

  

   

2 3 4 5... 2000

1,0
1,0

</div>

<!--links-->