Ôn tập Cuối năm phần Số học

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Đề bài: Cho n là số tự nhiên lớn hơn 3. Nếu 2</b>n_{=10a+b (a, b}_{ }*_{, b<10).}

Chứng minh rằng a.b chia hết cho 6
<b>Giải:</b>

<i><b>Cách 1:</b></i>

Do n > 3 => 2n_{>= 2}4_{chia hết cho 16 => 10a + b chia hết cho 16}

Ta có 2n_{có thể có những tân cùng là 2; 4; 6; 8}

+ TH1: 2n_{có tận cùng là 2 => n = 4k+1}

=> 10a + b có tận cùng là 2 => b = 2 ( do b < 10)
ta có 2n_{= 10a + 2 => 2( 2}4k_{- 1) = 10a => 2}4k_{- 1 = 5a}

do 24k_{- 1 chia hết cho 3 => 5a chia hết cho 3 => a chia hết cho 3}

=> a.b = a.2 chia hết cho 6 (1)

+ TH2: 2n_{có tận cùng là 4 => n = 4k +2}

=> 2n_{= 10a + b có tận cùng là 4 => b = 4( do b <10)}

=> 24k+2_{= 10a + 4 => 4.2}4k_{- 4 = 10a}

=> 4.24k-1_{= 10a}

ta có 24k-1_{chia hết cho 3 => 10a chia hết cho 3 => a chia hết cho 3}

=> a.b chia hết cho 6 (2)

+ TH3: 2n_{có tận cùng là 8 => n = 4k +3}

+ TH4: 2n_{có tận cùng là 6 => n = 4k}

(bằng cách làm tương tự ta luôn có a.b chia hết cho 6) => Đpcm.
<i><b>Cách 2:</b></i>

Ta có: n > 3 nên có thể biểu diễn n = 4 k + p

( p là số tự nhiên nhỏ hơn 4 hay p thuộc tập {0 ; 1 ; 2 ; 3}
+) p = 0, ta có:

2n_{= 2}4k_{= 16}k_{tận cùng là 6 => b = 6 => ab chia hết cho 6}

+) p = 1, ta có:

2n_{= 2}4k+1_{= 2.16}k_{tận cùng là 2 => b = 2 (1)}

Khi đó : 2n_{= 2.16}k_{= 10 a + 2 <=> 2.(16}k_{– 1) = 10 a <=> 5a = 16}k_{- 1}

Mặt khác: Áp dụng tính chất an_{- 1 chia hết cho a - 1, ta có}

5a = 16k_{- 1 chia hết cho 16 - 1 = 15 => a chia hết cho 3 (2)}

Từ (1) và (2) ta có ab chia hết cho 6
+) p =2 (lập luận tương tự)

2n_{= 4.16}k_{tận cùng là 4 => b = 4}

2n_{= 4.16}k_{= 10a + 4 <=> 4(16}k_{- 1) = 10a <=> 5a = 2(16}k_{- 1)}

5a = 2(16k_{- 1) chia hết cho 16 - 1 - 15 => a chia hết cho 3}

=> ab chia hết cho 6
+) p = 3

2n_{= 8.16}k_{tận cùng là 8 => b = 8}

2n_{= 8.16}k_{= 10a + 8 <=> 8 (16}k_{- 1) = 10a <=> 5a = 4(16}k_{- 1)}

5a = 4(16k_{- 1) chia hết cho 16 - 1 = 15 => a chia hết cho 3}

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Vậy ab luôn chia hết cho 6. => Đpcm.
Bài tốn sử dụng một vài tính chất:

(1) Số có tận cùng là 6 lũy thừa cơ số tự nhiên được số có tận cùng là 6
(2) an_{- 1 chia hết cho a - 1}

(3) k . A chia hết cho m và ƯCLN(k,m) = 1 => A chia hết cho m

(4) A có chữ số tận cùng là m, B có chữ số tận cùng là n, thì A.B có chữ số tận cùng bằng chữ
số tận cùng là m.n

</div>

<!--links-->