đề cuong môn phuong trinhh vi phân

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (110.01 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bµi 1: xy’ –y = (y-x)ln
y x

x


Bµi lµm: xy’- y = (y-x)ln
y x

x


 y’ -
y
x = (

y

x -1)ln(
y

x -1) (1)
®Ët

y

x = u  y = ux 
dy

dx = u + 
xdu

dx thay vào (1) ta đợc : u + 
xdu

dx - u = (u-1)ln(u-1)


xdu

dx = (u-1)ln(u-1)  ( 1) ln( 1)
du

u u = 
dx

x  ( 1) ln( 1)

du dx

c
u u  x 





ln( 1)

ln ln( 1) ln ln(u 1) cx

ln( 1)

d u dx

c u x c

u x



        





 ln y x cx

x




Bµi 2: y’ =

y y x
tg

x x




Bµi lµm: y’ =

y y x
tg

x x




 y’ = ( 1)

y y

tg

x x (1) ®Ët 
y

x = u  y = ux 
dy

dx = u + 
xdu

dx thay vào 
(1) ta đợc: u +

xdu

dx = u + tg ( u-1) 

xdu

dx = tg ( u-1)

cos(u 1) du sin( 1)

ln ln

( 1) ( 1) sin( 1) sin( 1)

ln sin( 1) ln sin( 1) sin

du dx du dx d u

c x c x c

tg u x tg u x u u

y x

u x c u Cx Cx

x

 

          

   



        



Bµi 3: xy’-y = xtg
y
x

Bµi lµm: xy’-y = xtg
y

x  '

y y

y tg

x x

 

(1) ®Ët
y

x =u y = ux 
dy

dx = u +

xdu

dx thay vào (1)
ta đợc: u +

xdu

dx - u = tgu

cos sin

ln ln ln sin ln

sin sin

du dx du dx udu d u

C x C x C u x C

tgu x tgu x u u

y

u Cx Cx

x

             

   



Bµi 4: xy’ – y = (y + x )ln
y x

x


Bµi lµm: : xy’ – y = (y + x )ln
y x

x


' y (y 1) ln(y 1)

y

x x x

    

(1)
đặt

y

x =u y = ux 
dy

dx = u + 
xdu

dx thay vào (1) ta đợc: u + 
xdu

dx - u = (u1)ln(u1)

( 10 ln( 1)

( 1) ln( 1) ( 1) ln(u 1)

ln( 1)

ln ln ln( 1) ln ln( 1) ln

ln( 1)

xdu du dx du dx

u u C

dx u u x u x

d u y x

x C u x C u Cx Cx

u x

        

   

 

           





</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bµi 5: xy’ = y - x

y
x

e

Bµi lµm: xy’ = y - x

y
x

e '

y

x

y

y e

x

  

(1)
đặt

y

x = u y = ux 
dy

dx = u + 
xdu

dx thay vào (1) ta đợc: u + 
xdu

dx = u -eu

ln ln ln ln

y

u u u x

u u

du dx du dx

C e du x C e x C x e C x e C

e x e x



  

  







 



           

Bµi 6: (2x-4y)dx + (x + y) dy = 0

Bµi lµm:

4 2

y
dy y x dy x

y

dx x y dx

x



  



(1) đặt
y

x = u y = ux 
dy

dx = u + 
xdu

dx thay vào 
(1) ta đợc:

4 2 3 2

1 1

xdu u xdu u u
u

dx u dx u

  

   

  2

( 1)

3 2

u du dx

u u x



 

  2

( 1)

3 2

u du dx

C

u u x



  

 



( 1) 2 3 2 3

( ) ln ln

( 1)( 2) 1 2 1 2

u du dx du du

C du x C x C

u u x u u u u

  

          

     



3
2

2ln 1 3ln 2 ln ln ln 2 ln

( 1)

u u x C u x C

u

           



3 3

3 2

2 2

( 2 ) ( 2 )

ln ( 2 ) ( )

( ) ( )

y x y x

C C y x C y x

y x y x

 

       

 

Bµi 7 : Giải phương trình vi phân: (2x+3y)dx+(x+4y)dy=0
Bµi lµm: (2x+3y)dx + (x+4y)dy=0

4
4

2 3

x

dx x y dx y

x

dy x y dy

y




   




(*)
đặt

x

y = u x = uy 
dx

dy = u + 
ydu

dy . Vì vậy:
(*)

   

        

  

4 4 2 4 4

2 3 2 3 2 3

ydu u du u du u u

u y u y

dy u dy u dy u

(2 3)
2 4 4

u du dy

u u y



 

  . Lấy tích phân hai vế ta được:

2 2

(2 3) (2 2) 1

2 4 4 2 2

( 2 2) 1

2 ln( 2 2) arctan(u+1)=-2ln|y|+C
2 2 ( 1) 1

u du dy u dy

du

u u y u u y

d u u dy

du u u

u u u y

  

  

   

 

      

   



Thay

x
u

y



vào ta được :
2
2

ln( 2 2) arctan( 1) 2 ln | | , .
y

x x

y C C R

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bµi 8 : y + xy’= 2
2
1
y
y
 
 

 

Bµi lµm : y + xy’= 2

2
1
y
y
 
 

 

2 3 2

2 2 2

2 ( 1)

( 1) ( 1) ( 1)

dy y dy y y dy y y

x y x x

dx y dx y dx y

   
      
  
2
2
( 1)
( 1)

y dy dx

y y x



 



2 2 2

( 1) 1 2 2

( ) ln ln

( 1) 1 1

y dy dx dy dy

C dy x C x C

y y x y y y y



          

  



ln y 2arctgy ln x C



Dạng 2:

Bài 1: xy’- 2y = 2x4

Bµi lµm: xy’ – 2y = 2x4  y -

2
2

y x
x (*)
Giải phơng trình: y’ -

y

x 

2 2 2

dy dy dx dy dx

y C

dx x y x y x

     









ln y 2 ln x C y Cx

    

C«ng thøc nghiƯm cđa (*) lµ : y=

2 2

3 2 3

2 2

dx dx

x x

e x e dx C x x dx C

x
 
     

  
   
 








2 2 2( 2 )

x  xdx C x x C

   







Bµi 2: (2x+1)y’=4x+2y

Bµi lµm: (2x+1)y’=4x+2y

2 4

2 1 2 1

x

y y

x x



(*)

Giải phơng trình:

2
' 0
2 1
y y
x
 


2 2 2

2 1 2 1 2 1

dy y dy dx dy dx

C

dx x y x y x

      

 





(2 1)

2 1

dy d x

C

y x



  





 ln y ln 2x 1 C y C x (2 1)

C«ng thøc nghiƯm cđa (*) lµ y =

2 2

2 1 4 2 1 (2 1) 4 1

2 1 2 1 2 1

dx dx

x x x x

e e dx C x dx C

x x x

 

     
 
    
   
    








2 2

4 2 2

(2 1) (2 1) ( )

(2 1) 2 1 (2 1)

xdx

x C x dx C

x x x

   

          

  





 



 2

2 2

(2 1)

2 1 (2 1)

dx dx
x C
x x
 
     
 






(2x 1)

 

ln 2 1

2 1
x C
x
 
  
  
 

Bµi 3: x(y’-y) = ex

Bµi lµm: x(y’-y) = ex  y’ -

x
e
y
x

(*)
Giải phơng trình: y’ - y0

ln x

dy dy dy

y dx dx C y x C y Ce

dx y y

    







     

Theo c«ng thøc nghiƯm (*) cã nghiƯm lµ: y =

x x

dx e dx x e x

e e dx C e e dx C

x x
      
  
   




 





1
ln
x x

e dx C e x C
x

 

       

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bµi 4: x2y’ + xy + 1 = 0

Bµi lµm: x2y’ + xy + 1 = 0 2

1 1

y y
x x



  

(*)
Gi¶i phơng trình :

' 0

y y
x

dy y dy dx dy dx C ln y ln x C

dx x y x y x

    







    y C1

x

 

Theo c«ng thøc nghiÖm (*) cã nghiÖm :
y =

1 1

2 2

1 1 1

dx dx

x x

e e dx C xdx C

x x x

       

   

   

 









1 1

dx C
x x



 

   







ln x C

x

    

Bµi 5: y = x(y’-cosx)

Bµi lµm: y = x(y’-xcosx)

' cos

y y x x
x

(*)
Giải phơng trình:

' 0

y y
x

  dy y dy dx dy dx C ln y ln x C

dx x y x y x

    







   

y Cx

 

Theo c«ng thøc nghiƯm (*) cã nghiƯm :
y

1 1

cos x cos

dx dx

x x

e x xe dx C x x dx C

x

 

     

        

 









x



cosxdx C  x



sinx C



xsinx Cx

Bµi 6: y’ = 2x(x2+y)

Bµi lµm: y’ = 2x(x2+y)  y' 2 xy2x3 (*)

Giải phơng trình: y' 2 xy0

2 2 2 ln

dy dy dy

xy xdx xdx C y x c

dx y y

    







    x2

y Ce

 

Theo c«ng thøc nghiƯm (*) cã nghiÖm :
y =

2 2

2 3 2 3

2 2

xdx xdx x x

e  x e dx C e  x e dx C 

  

   









2 2 2 2

2 ( )

x x

e  x e d x C

Đặt x2 = t

2 2

( )

x t

x e d x te dt

Đặt u = t  du dt ; dv = e-tdt  vet

t t t t t

te dt udv uv vdu te e dt te e









 



 



 

2 2 2

2 x ( )2 2 x x

x e d x x e e





 

2 2 2 2

2 2

x x x

y e  x e e C

    

 

Bµi 7: (xy’-1)lnx = 2y

Bµi lµm: (xy’-1)lnx = 2y

2 1

'
ln

y y

x x x

(*)
Giải phơng trình

' 0

y y

x x

  2 2 2

ln ln ln

dy y dy dx dy dx

C
dx x x y x x y x x

    









(ln )

ln 2 ln 2ln ln ln

d x

y C y x C y C x

x

 



      

Theo c«ng thøc nghiƯm (*) cã nghiÖm :
y =

2 2

2 ln(ln ) 2

ln ln

1 1 1

ln ln

dx dx x

x x x x

e e dx C x e dx C x dx C

x x x x

 

        

    

     

   









2 2 2

2 2

(lnx) 1

ln ln 1 ln

ln ln

d

x C x C C x

x x



   

          

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

bµi 8: xy’ + ( x+1)y = 3x2e-x

bµi lµm: xy’ + ( x+1)y = 3x2e-x

' x 3 x

y y xe

x

Giải phơng trình :

' x 0

y y

x


  dy x 1y dy (x 1)dx dy (x 1)dx C

dx x y x y x

  

    









ln y (1 )dx C ln y ( dx dx) C ln y (x ln )x C

x x

 



   







     y C 1x

xe

  

Theo c«ng thøc nghiƯm (*) cã nghiÖm
y =

1 1

x dx x dx

x

x x

e xe e dx C

 



 

 



 





 

2 3

1 1 1

3 x x 3

x xe xe dx C x x dx C x x C

xe xe xe



     

       





 





x x

x C
e xe

 

D¹ng 3 :

Bµi 1: y” + 4 y’+ 4 y = 4x + 16 e2x (1)

Bài làm: Giải phơng trình thuần nhất tơng ứng: y” + 4y’ + 4y= 0 (2)
Phơng trình đặc trng :

1 2

4 4 0 2

k  k   k k

Nghiệm tổng quát của phơng trình (2) là : y0= c1e-2x+ c
2xe-2x

Tìm nghiệm riêng của phơng tr×nh: y” + 4 y’+ 4 y = 4x (3)

Vì 0 khơng phải là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (3) là :

Y1= (ax+b)e0x  y’1= a ; y1” = 0 thay vào (3) ta đợc : 4a + 4(ax +b) = 4x  4(a+b) + 4ax =

0 1

4 4 1

a b a

a b

  

 

   

 

   NghiÖm riêng của (3) là y1= x 1

Tìm nghiệm riêng của phơng trình: y + 4 y+ 4 y = 16 e2x (4)

Vì 2 khơng phải là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiêm riêng của (4) là: y2=ae2x

 y’2= 2ae2x vµ y”

2= 4ae2x thay vào (4) ta đợc 4ae2x+ 8ae2x + 4ae2x = 16e2x a = 1

Nghiệm riêng của (4) là: y2= e2x

 Nghiệm riêng của phơng trình đã cho là: y1+y2= x-1+e2x

Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình đã cho là: y = C1e-2x +C2xe-2x +x-1+e2x

Bµi 2: y“- 2y’-3y = 4e2x- 8xex (1)

Bài làm: Giải phơng trình thuần nhất tơng ứng: y“- 2y’-3y = 0 (2)
Phơng trình đặc trng:

1 2

2 3 0 1; 3

k  k   k k

Nghiệm tổng quát của phơng trình (2) là : y0= c1e-x+ c
2e3x

* Tìm nghiệm riêng của phơng trình: y- 2y-3y = 4e2x (3)

Vỡ 2 khụng phải là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (3) là : y1= ae2x

Y’1=2ae2x và y1” = 4ae2x thay vào (3) ta đợc: 4ae2x-4ae2x-3ae2x = 4e2x  a
=-4
3

Nghiệm riêng của (3) là y1=

-4

3e2x

* Tìm nghiệm riêng của phơng trình: y“- 2y’-3y = - 8xex (4)

Vì 1 khơng phải là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (4) là:

Y2= (ax+b)ex  y’2= aex+(ax+b)ex vµ y”2= aex + aex+(ax+b)ex= 2aex + (ax+b)ex Thay vào (4) ta

đ-ợc: 2aex + (ax+b)ex - 2aex-2(ax+b)ex- 3(ax+b)ex = -8xex  -4axex 4bex=-8xex a=2;b=0

Nghiệm riêng của (4) là: y2= 2ex

 Nghiệm riêng của phơng trình đã cho là: y1+y2

=-4

3e2x + 2ex

Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình đã cho là: y = C1e-x +C2e3x
-4

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bµi 3: : y” + y’-2y = 3ex -10sinx (1)

Bài làm: Giải phơng trình thuần nhất tơng ứng: y” + y’ -2y= 0 (2)
Phơng trình đặc trng :

1 2

2 0 1; 2

k  k   k  k 

 NghiƯm tỉng qu¸t cđa phơng trình (2) là : y0= c1ex+ c
2e-2x

* Tìm nghiệm riêng của phơng trình: y” + y’-2y = 3ex (3)

Vì 1 là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (3) là: y1= x aex=axex

 y1’= aex+axex vµ y

1” = aex+aex+axex=2aex+axex thay vào (3) ta đợc:

2aex+axex+ aex+axex-2axex=3ex  3aex=3ex a=1 NghiƯm riªng cđa (3) là: y
1=xex

* Tìm nghiệm riêng của phơng trình: y” + y’-2y = -10sinx

Vì i  0 1i i khơng là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (4) là:
Y2= acosx+ bsinx  y’2= -asinx + bcosx và y2”= -acosx – bsinx Thay vào (4) ta đợc :

-acosx – bsinx -asinx + bcosx - 2acosx - 2bsinx= -10sinx  (b-3a)cosx-(a+3b)sinx=-10sinx

3 0 1

3 10 3

b a a

a b b

  

 

    

  

  Nghiệm riêng của (4) là: y2 = cosx+3sinx
 Nghiệm riêng của phơng trình đã cho là: y1+y2= xex+ cosx+3sinx

Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình đã cho là: y = C1ex +C2e2x +xex+ cosx+3sinx

Bµi 4: y” -3y’ +2y =36xe-x-10cosx

Bài làm: giải phơng trình thuần nhất tơng ứng : y” -3y’ + 2y = 0 (1)
Phơng trình đặc trng là : k2 – 3k + 2 = 0  k11;k2 2

 nghiÖm tổng quát của (1) là : y0 = c1ex + c
2e2x

Tìm nghiệm riêng của phơng trình : y“ -3y’ + 2y = 36x e-x (2)

Vì -1 khơng phải là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (2) là
y1 = (ax +b) e-x '1 ae ( )

x x

y  ax b e

   

; y”1= -ae-x-ae-x+(ax+b)e-x=-2ae-x+(ax+b)e-x

thay vào (2) ta đợc

-2ae-x + (ax + b) e-x - 3a e-x+3(ax + b) e-x+ 2 (ax+ b)e-x = 36xe-x  6axex (5a 6 )b ex 36xex

6 36 6

5 6 0 5

a a

a b b

 

 

   

nghiệm riêng của (2) là: y1 = (6x +5)e-x

* Tìm nghiệm riêng của phơng trình : y-3y + 2y = -10 cosx (3)

Vì i   0 i i khơng phải là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (3) là
y2= acosx + bsinx  y’2= -asinx + bcosx  y” 2 = -acosx- bsinx thay vào (3) ta đợc

-acosx- bsinx+ 3ainx -3bcosx +2acosx + 2bsinx = -10cosx  (a-3b) cosx + (3a+b)sinx = -10 cosx

3 10 1

3 0 3

a b a

a b b

  

 

    



nghiệm riêng của (3) là y2= -cosx + 3sinx

 nghiệm riêng của phơng trình đã cho là : y1+y2 = (6x +5)e-x -cosx + 3sinx

Kết luận : nghiệm tổng quát của phơng trình đã cho là :

y = y0+y1+y2 = c1ex+c2e2x+(6x +5)e-x -cosx +3sinx

bµi 5: y” +y =1 + 4sinx

Bài làm: giải phơng trình thuần nhất tơng ứng : y” + y = 0 (1)
Phơng trình đặc trng là : k2 + 1 = 0  k1 i k; 2 i

 nghiệm tổng quát của (1) là : y0 = c1eix + c
2e-ix

Tìm nghiệm riêng của phơng trình : y“ + y = 1 (2)

Vì 0 khơng phải là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (2) là

y1= a  y’1 = 0 ; y”1 = 0 Thay vào (2) ta đợc a = 1  nghiệm riêng của (2) là: y1= 1

* Tìm nghiệm riêng của phơng trình : y”+ y = 4sinx (3)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

y” 2 = - asinx + bcosx-asinx+bcosx+x(-acosx-bcosx)= -2asinx+ 2bcosx-(a+b)xcosx

thay vào (3) ta đợc : -2asinx + 2bcosx - (a+b)xcosx + x(acosx + bsinx) = 4sinx
 -2asinx + 2bcosx-bxcosx +bxsinx = 4sinx  a = 4 ; b = 0

nghiệm riêng của (3) là y2= 4xcosx

nghiệm riêng của phơng trình đã cho là : y1+y2 = 1 + 4xcosx 
Kết luận : nghiệm tổng quát của phơng trình đã cho là :

y = y0+y1+y2 = c1eix+c2e-ix+1 +4xcosx

Bµi 6: y” - 5y’ + 4y = 4x e2x + 34cosx

Bài làm: giải phơng trình thuần nhất tơng ứng : y” -5y’ + 4y = 0 (1)
Phơng trình đặc trng là : k2- 5k + 4 = 0  k11;k2 4

 nghiƯm tỉng qu¸t cđa (1) là : y0 = c1ex + c2e4x

Tìm nghiệm riêng của phơng trình : y -5y + 4y = 4x e2x (2)

Vì 2 khơng phải là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (2) là
y1 = (ax +b) e2x

2 2

' ae x 2( ) x

y ax b e

   

y”1 = 2ae2x + 2ae2x + 4( ax + b )e2x = 4ae2x + 4( ax + b )e2x

thay vào (2) ta đợc: 4ae2x + 4( ax + b )e2x -5ae2x10(ax b e ) 2x+4(ax +b) e2x= 4x e2x

 -(a+2b)e2x-2axe2x = 4x e2x

2 0 2

2 4 1

a b a

a b

  

 

    



nghiệm riêng của (2) là:y1 = (-2x +1)e2x

* Tìm nghiệm riêng của phơng trình : y”-5y’ + 4y = 34cosx (3)

-acosx- bsinx+ 5asinx -5bcosx +4acosx + 4bsinx = 34cosx

3 5 34 3

(3 5 ) cos (5 3 )sin 34cos

5 3 0 5

a b a

a b x a b x x

a b b

  

 

        

  

 

 nghiệm riêng của (3) là y2= 3cosx -5 sinx

nghiệm riêng của phơng trình đã cho là : y1+y2 = (-2x +1)e2x + 3cosx -5 sinx

Kết luận : nghiệm tổng quát của phơng trình đã cho là:

y = y0+y1+y2= c1ex + c2e4x +(-2x +1)e2x + 3cosx -5 sinx

Bµi 7: y” -3y’ + 2y = 2x e2x + 10 sin x

Bài làm: giải phơng trình thuần nhất tơng ứng : y” -3y’ + 2y = 0 (1)
Phơng trình đặc trng là : k2 – 3k + 2 = 0  k1 1;k2 2

nghiệm tổng quát của (1) là : y0 = c1ex + c
2e2x

 T×m nghiƯm riêng của phơng trình : y -3y + 2y = 2x e2x (2)

Vì 2 là một ngiêm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (2) là
y1 = x(ax +b) e2x = (ax2 + bx)e2x

2 2 2

' (2ax b) e x 2( ) x

y ax bx e

    

y”1 = 2ae2x + 2( 2ax + b )e2x + 2( 2ax + b )e2x + 4 ( ax2 + bx) e2x

= 2ae2x + 4 (2ax + b) e2x + 4 (ax2 + b)e2x thay vào (2) ta đợc

2ae2x + 4 (2ax + b) e2x + 4 (ax2 + b)e2x- 3( 2ax + b)e2x- 6(ax2 + bx) e2x+ 2 (ax2+ bx)e2x = 2xe2x

 2ae2x + (2ax + b)e2x = 2x e2x

2 2 1

2 0 2

a a

a b b

 

 

    

  

  nghiƯm riªng cđa (2) lµ:
y1 = (x2 -2x)e2x

* Tìm nghiệm riêng của phơng trình : y”-3y’ + 2y = 10 sinx (3)

Vì i   0 i i không phải là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (3) là
y2= acosx + bsinx  y’2= -asinx + bcosx  y” 2 = -acosx- bsinx thay vào (3) ta đợc

-acosx- bsinx+ 3ainx -3bcosx +2acosx + 2bsinx = 10sinx  (a-3b) cosx + (3a+b)sinx = 10sinx

3 0 3

3 10 1

a b a

a b b

  

 

    

  

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

 nghiệm riêng của phơng trình đã cho là : y1+y2 = (x2 -2x)e2x + 3cosx + sinx

Kết luận : nghiệm tổng quát của phơng trình đã cho là :

y = y0+y1+y2 = c1ex+c2e2x+(x2-2x)e2x+3cosx +sinx

Bµi 8: : y” - 4y’ + 8y = 4e2x + 20 cos2x

Bài làm: giải phơng trình thuần nhất tơng ứng : y” - 4y’ + 8y = 0 (1)
Phơng trình đặc trng là: k2- 4k + 8 = 0  k 1 2 2i; k2  2 2i

nghiệm tổng quát của (1) là : y0= C1e(2+2i)x + C
2e(2-2i)x

Tìm nghiệm riêng của phơng trình : y” - 4y’ + 8y = 4e2x (2)

Vì 2 khơng là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (2) là
y1= ae2x  y’1= 2ae2x ; y”1 = 4ae2x thay vào (2) ta đợc phơng trình

4ae2x - 8ae2x + 8ae2x= 4e2x  4ae2x = 4e2x  a = 1

 nghiƯm riªng cđa (2) là : y1= e2x

Tìm nghiệm riêng của phơng tr×nh : y” - 4y’ + 8y = 20cos2x (3)

Vì  i  0 i2 2 i không là nghiệm của phơng trình đặc trng nên nghiệm riêng của (3) là

y2= acos2x + bsin2x  y’2= -2asin2x + 2bcos2x ; y2”= -4acos2x - 4bsin2x

Thay vào (3) ta đợc : -4acos2x - 4bsin2x +8asin2x -8bcos2x + 8acos2x + 8bsin2x = 20cos2x
 (4a-8b)cos2x + (4b + 8a) sin2x = 20 cos2x

4 8 20 1

4 8 0 2

a b a

b a b

  

 

 

 

  

  nghiệm riêng của (3) là : y2= cos2x – 2sin2x
 nghiệm riêng của phơng trình đã cho là : y1+y2 =e2x+ cos2x- 2sin2x

Kết luận: Nghiệm tổng quát của phơng trình đã cho là :

</div>

đề cuong môn phuong trinhh vi phân





























<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>







































<sub></sub>

<sub></sub>



























<sub></sub>

<sub></sub>





<sub></sub>

<sub></sub>







<sub></sub>

<sub></sub>











<sub></sub>

<sub></sub>





<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>