Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên'. MỘT SỐ DẠNG TOÁN ÁP DỤNG TÍNH CHIA HEÁT CUÛA SOÁ NGUYEÂN A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong báo cáo về nhiệm vụ năm học, Bộ giáo dục & Đào tạo chỉ rõ: " Chỉ đạo mạnh mẽ việc đổi mới phương pháp dạy học và phong trào tự học, tự đào tạo''. '' Coi trọng trọng giáo dục chính trị, tư tưởng nhân cách, khả năng tư duy sáng tạo và năng lực thực hành của học sinh''. '' Quyết tâm thực hiện 2 không trong ngành giáo đục''. Chủ trương đod hoàn toàn phù hợp với những yêu cầu cấp bách của công cuộc công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước ta hiện nay. Căn cứ vào nhiệm vụ, mục tiêu của ngành giáo dục, căn cứ vào thức trạng dạyhọc toán hiện nay, hướng đổi mới phương pháp dạy học toán ở trường THCS là tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, tập trung việc rèn luyện khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo. Trong chương đại số của THCS, các bài toán về tính chia hết của số nguyên hết sức phong phú vầ đa dạng. Vì nó vận dụng kiến thức cơ bản vào giải toán và còn phaùt trieån tö duy cho hoïc sinh. Khi gặp một bài toán chứng minh chia hết, học sinh sẽ gặp khó khăn nếu không nắm vững kiến thức cơ bản và các dạng bài tập, cách làm các dạng bài tập đó Vậy làm thế nào để học sinh biết làm các bài toán chia hết và biết cách vận dụng nó để giải các dạng toán khác và ứng dụng nó trong thực tế? Và làm thế nào để học sinh cảm thấy có sự say mê, hào hứng khi giải các bài toán nhất là đối với học sinh ngại học toán? Đó là vấn đề tôi luôn quan tâm và luôn tìm phương pháp tối ưu, để đạt được mục đích đó tôi lựa chọn chuyên đề "Một số dạng toán áp dụng tính chia hết cuûa soá nguyeân''. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I) CƠ SỞ LÝ LUẬN Đổi mới phương pháp dạy học nhằm mục đichs cho học sinh phương pháp suy nghĩ, chiếm lĩnh các tri thức khoa học và phương pháp nghiên cứu kiến thức một cách khoa học, nhằm vận dụng kiến thức khoa học một cáhc tối ưu nhất. Muốn đạt được diều kiện trên thì trong quá trình dạy học ta phải xác định: - Công việc của thầy giữ vai trò chủ động, sáng tạo, tổ chức cho học sinh chiếm lĩnh kiến thức. - Đối với học sinh phải chủ động, sáng tạo, phải được suy nghĩ nhiều, trả lời nhiều câu hỏi, đượ thực hành nhiều dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên. II) CƠ SỞ THỰC TIỄN Thực trạng dạy và học toán hiện nay, mặc dù học sinh đã dược học đầy đủ các kiến thức cơ bản, có phần mở rộng, nâng cao nhiều. Song khi gặp một bài toán, học sinh vẫn òcn lúng túng trong việc định hướng phương pháp giải, chưa biết vận dụng hoặc vận dụng chưa linh hoạt, sáng tạo các kiến thức cơ bản đã học. 1 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên'. Nhiều học sinh chỉ biết vận dụng từng bước giải, từng ohần của quy tắc, công thức mà thầy đã hướng dẫn. Vì thế không phát huy được tính độc lập, sáng toạ cuûa hoïc sinh. - Đối với thầy công việc chuẩn bị kiến thức, đặt vấn đề, đặt câu hỏi sao cho học sinh được suy nghĩ nhiều? Được làm việc nhiều? Đối với học sinh đại trà hay chỉ là học sinh khá, giỏi trong lớp trả lời. Vì vậy người thầy phải chủ động tích cực hoá các hoạt động của tất cả các đối tượng trong lớp. - Trong thức tiễn vấn đề học không đi đôi với hành đã làm cho học sinh không có cơ sở thực hiện các thao tác tư duy để tiếp nhận, củng cố tri thức cũ, làm nền tảng lĩnh hội tri thức mới. Do đó, học sinh ít được làm việc dộc lập, năng lực các nhân không được phát huy thoả đáng. - Trong nhiều năm giảng dạy toán của bậc THCS tôi thấy tính chia hết đối với số nguyên, hs đã được học ở lớp 6,lớp 7 nhưng khi gặp một bài toán về chia hết học sinh vẫn còn lúng túng trong việc tìm ra cách làm,, bởi vì các kiến thức liên quan để hỗ trợ còn hạn chế. Lên lớp 8 nhờ có hằng đẳng thức đáng nhớ và phân tích đa thức thành nhân tử , học sinh có thể giải được các bài toán nhanh hơn và phức tạp hơn ở lớp dưới Dựa trên cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn trên tối thấy cần có một số giải pháp đổi mới phương pháp giảng dạy cho phù hợp với thực tiễn này. III CAÙC GIAÛI PHAÙP Để đáp ứng mục tiêu giáo dục và khắc phục những tồn tại trên, để học sinh có thể làm được các bài tập liên quan đến sự chia hết của số nguyên, một cách chủ động hơn giáo viên cần phải: - Chuẩn bị tốt tiến trình bài soạn và tổ chức dạy học. - Chuaơn bò toẫt caùc tình huoâng coù vaân ñeă ñeơ coù theơ giuùp hóc sinh tö duy suy nghó, ñònh hình caùch laøm - Cung cấp học sinh một số dạng toán thường gặp về tính chia hết của số nguyên và một số kiến thức nâng cao mà hs có thể ứng dụng được - Qua các bài toán hs biết áp dụng những kiến thức đã học vào làm bài tập một cách linh hoạt,có sáng tạo. - Thoâng qua noäi dung lyù thuyeát caàn löu yù vaø caùc baøi taäp coù tính heä thống,nâng cao phát triển cho hs tư duy toán: lôgic, sáng tạo, phát triển khả năng khái quát,tổng quát hoá Để tạo cho học sinh có sự phấn khích khi gặp các bài toán chia hết của số nguyên, tôi xin trình bày một số ví dụ về các dạng toán để minh hoạ cho chuyên đề '' Một số dạng toán áp dụng tính hcia hết của số nguyên'' IV. NOÄI DUNG DẠNG 1.Chứng minh quan hệ chia hết Ví dụ1.Chứng minh rằng 2 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên'. A = n3(n2 -7)2 -36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n. + Trước hết cho hs nhận xét về các hạng tử của biểu thức A + Từ đó phân tích A thành nhân tử Giaûi: Ta coù A =n[n2(n2 -7)2 -36]= n[(n3 -7n2)-36] = n(n3 -7n2 -6)( n3 -7n2 +6) Maø n3 -7n2 -6 = (n+1) (n+2) (n-3) n3 -7n2 +6 = (n-1)(n-2)(n+3) Do đó A= (n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3) Ñaây laø tích cuûa 7 soá nguyeân lieân tieáp.Trong 7 soá nguyeân lieân tieáp _Toàn taïi moät ø boäi cuûa 5  A  5 -Toàn taïi moät boäi cuûa 7  A  7 -Toàn taïi hai boäi cuûa 3  A  9 -Tồn tại ba bội số của 2,trong đó có một bội số của 4  A  16 A chia heát cho caùc soá 5,7,9,16 ñoâi moät nguyeân toá cuøng nhau neân A chia heát cho 5.7.9.16 =5040. + Qua ví duï 1 ruùt ra caùch laøm nhö sau: Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n  N hoặc n  Z). Chú ý 1: Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho một số, ta thường phân tích A(n) thành thừa số, trong đó có một thừa số là m.Nếu m là hợp số, ta phân tích nó thành môït tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n)chia hết cho tất cả các số đó. Lưu ý: Trong k số nguyên liên tiếp, bao giờ cũng tồn tại một bội số của k. Ví dụ 2.Chứng minh rằng với moiï số nguyên a thì a) a2 -a chia heát cho 2. b) a3 -a chia heát cho 3. c) a5 -a chia heát cho 5. d) a7 -a chia heát cho 7. Giaûi: a) a2 - a =a(a-1), chia heát cho 2. b)a3 -a = a( a2 - 1) = a(a-1)(a+1), tích naøy chia heát cho 3 vì toàn taïi moät boäi cuûa 3. + Ở phần a, b hs dễ dàng làm được nhờ các bài toán đã quen thuộc + Để chứng minh a(a -1 ) chia hết cho 2, ta đã xét số dư của a khi chia cho 2 c) Caùch 1 A = a5 -1= a(a2+1)(a2 -1) Xét các trường hợp a = 5k, a= 5k  1 a=5k  2 suy ra A chia heát cho 5 3 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên'. Caùch 2. A = a5 -1= a(a2+1)(a2 -1) = a(a2+1)(a2 -4+5) = a(a2+1)(a2 -4)+ 5a( a2 -1) = (a -2) (a-1)a(a+1)(a+2) + 5a(a2 -1) Số hạng thứ nhất là tích của năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5,số hạng thứ hai cũng chia hết cho 5. Do đó A = a5 -1 chia hết cho 5. + Qua ví dụ 2 để chứng minh chia hết ta đã làm như sau: Chú ý 2: Khi chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể xét mọi trường hợp về soá dö khi chia n cho m. Ví duï 3. a)Chứng minh rằng một số chính phương chia hết cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1. b) Chứng minh rằng mọt số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1. c)Caùc soá sau coù laø soá chính phöông khoâng? M =19922 + 19932 +19942 N= 19922 + 19932 +19942 +19952 P = 1+ 9100+ 94100 +1994100. d)Trong daõy sau coù toàn taïi soá naøo laø soá chính phöông khoâng? 11, 111,1111,11111,....... Giaûi: Goïi A laø soá chính phöông A =n2 (n  N) a)Xét các trường hợp: n= 3k (k  N)  A = 9k2 chia heát cho 3 n= 3k  1 (k  N)  A = 9k2  6k +1 chia cho 3 dö 1 vậy số chính phương chia cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1. b)Xét các trường hợp n =2k (k  N)  A= 4k2, chia heát cho 4. n= 2k+1(k  N)  A = 4k2 +4k +1 =4k(k+1)+1, chia cho 4 dö 1(chia cho 8 cuõng dö 1) vậy số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1. Chú ý: Từ bài toán trên ta thấy: -Soá chính phöông chaün chia heát cho 4 -Soá chính phöông leû chia cho 4 dö 1( chia cho 8 cuõng dö 1). c) Caùc soá 19932,19942 laø soá chính phöông khoâng chia heát cho 3 neân chia cho 3 dö 1,coøn 19922 chia heát cho 3. Vaäy M chia cho 3 dö 2,khoâng laø soá chính phöông. Caùc soá 19922,19942 laø soá chính phöông chaün neân chia heát cho 4. 4 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên'. Caùc soá 19932,19952 laø soá chính phöông leû neân chia cho 4 dö 1. Vaäy soá N chia cho 4 dö 2,khoâng laø soá chính phöông. d) Mọi số của dãy đều tận cùng là 11 nên chia cho 4 dư 3.Mặt khác số chính phöông leû thì chia cho 4 dö 1. Vaäy khoâng coù soá naøo cuûa daõy laø soá chính phöông. Chú ý 3:Khi chứng minh về tính chất chia hết của các luỹ thừa,ta còn sử dụng các hằng đẳng thức bậc cao và công thức Niu-tơn sau đây: (1). an -bn =(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+...+abn-2+bn-1) (2) )an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-...-abn-2+bn-1) với mọi số lẻ n. Công thức Niu-tơn (a+b)n= an+c1an-1b+c2an-2b2+...+cn-1abn-1+bn Trong công thức trên, vế phải là một đa thức có n+1 hạng tử ,bậc của mỗi hạng tử đối với tập hợp các biến là a,b là n.Các hệ số c1,c2,...cn-1 được xác định bởi tam giaùc Pa -xcan: n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5. 1 1 1 1 2 1 1 3 3. 1. 1 4 6. 4. 1. 1 5 10 10 5 1 ............. c1 c2 c3 c4 Áp dụng các hằng đẳng thức trên vào tính chia hết, ta có với mọi số tự nhiên a,b và số tự nhiên n : an -bn chia heát cho a-b (a  b) a2n+1 +b2n+1 chia heát cho a+b ( a  -b) (a+b)n =Bs a+bn (Bs a laø boäi cuûa a). Đặc biệt chú ý đến: (a+1)n = Bs a +1 ( a -1)n = Bs a+ 1 (a-1)2n+1= Bs a - 1 Ví dụ 4.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16n -1 chia hết cho 17 khi vaø chæ khi n laø soá chaün. Giaûi: Caùch 1:Neáu n chaün (n=2k, k  N) thì A= 162k -1 = (162)k -1 chia heát cho 162 -1 Theo hằng đẳng thức (1) 5 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên'. Maø 162 -1 =255 chia heát cho 17. Vaäy A chia heát cho 17 Neáu n leû thì A = 16n +1 -2, mà 16n+1 chia hết cho 17 theo hằng đẳng thức (9),nên A không chia hết cho 17 vaäy A chia heát cho 17  n chaün. Caùch 2: A=16n -1 =(17-1)n -1 = Bs 17 +(-1)n -1(theo công thức Niu-tơn) Neáu n chaün thì A =Bs 17 +1-1 =Bs 17 Neáu n leû thì A = Bs 17 -1 -1 = Bs 17 -2 Khoâng chia heát cho 17. Chú ý 4: Người ta còn dùng phương pháp phản chứng,nguyên lý Di ríchlet để chứng minh quan hệ chia hết. Ví dụ 5. Chứng minh rằng tồn tại một bội số của 2003 có dạng 2004 2004 .......2004 Giaûi: Xeùt 2004 soá : A1 =2004 A2 =2004 2004 ... A2004=2004 2004....2004 (Nhoùm 2004 coù maët 2004 laàn). Theo nguyeân lyù Dirich let, toàn taïi hai soá coù cuøng soá dö khi chia cho 2003. Gọi hai số đó là am và an (1  n  m  2004) Thì am -an chia heát cho 2003.Ta coù am -an = 2004 2004......2004000....000 4n 2004 = 20042004  .....    . 10 m nnhoùm 2004. Do (. 104m,. 2004 2003) =1 neân 20042004  .....    m nnhoùm 2004. Chia heát cho 2003. Bài tập tương tự: Bài 1. Chứng minh rằng n6 + n4 - 2n2 chia hết cho 72 với mọi số nguyên n. Giaûi: Ta coù n6 + n4 - 2n2 = n2 ( n4 +n2 - 2) =n2 (n4 -1 + n2 -1 ) = n2 [ (n2 -1)(n2 +1) +(n2 -1)] = n2 (n-1)(n+1)(n2 +2) +Xét các trường hợp n= 2k, n=2k+1  n6 + n4 - 2n2  8 +Xét các trường hợp n = 3a, n=3a  1 n6 + n4 - 2n2  9 6 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên'. vậy n6 + n4 - 2n2  72 với mọi số nguyên n Bài 2. Chứng minh rằng 32n -9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên dương n Giaûi: Ta coù B =32n -9= 9n - 9,neân B  9 Maët khaùc B = 32n - 9 = (3n -1)(3n +1) -8 Do 3n -1,3n +1 laø hai soá chaün lieân tieáp neân B 8 Vaäy B  72 * Bài tập tự làm Chứng minh rằng 1.n3+6n2+8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn 2.n4-10n2+9 chia hết cho 384 với mọi sốn lẻ DAÏNG 2.Tìm soá dö Ví duï 6: Tìm soá dö khi chia 2100 a) cho 9; b) cho 25; c) cho 125. Giaûi: a) Luỹ thừa của 2 sát với một bội so ácủa 9 là 23 = 8 = 9-1 Ta coù 2100 =2( 23)33 = 2(9-1)33=2(BS9-1) = BS 9 -2= BS9+ 7 Soá dö khi chia 2100 cho 9 laø 7. b) Luỹ thừa của 2 sát với bội số của 25 là 210 = 1024 =BS 25 -1 Ta coù 2100= (210)10 =(BS 25 -1)10 =BS25 +1 Soá dö khi chia 2100 cho 25 laø 1. c) Dùng công thức Niu-tơn: 2100 = (5 - 1)50 =550-50.5049+....+. 50.49 2 .5 -50.5+1. 2. Không kể phần hệ số của khai triển Niu-tơn thì 48 số hạng đầu đã chứa luỹ thừa của 5 với sô mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên chia hết cho 125, số hạng cuối là 1 . Vaäy 2100 chia cho 125 dö 1. Chú ý: Tổng quát hơn,ta chứng minh được rằng nếu một số tự nhiên n không chia heát cho 5 thì n100 chia cho 125 coù soá dö laø 1. Thaät vaäy, n coù daïng 5k  1,5k  2.Ta coù (5k  1)100=(5k)100  ...+ 1002.99 (5k)2  100.5k+1 = BS 125 +1 (5k  2)100=(5k)100  ...+. 100.99 (5k)2.298  100.5k .299+ 2100 2 7 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên'. = BS 125 +2100 Ta laïi coù 2100 chia cho 125 dö 1 Do đó (5k  2)100 chia cho 125 dư 1. Ví dụ 7: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100 khi viết trong hệ thập phân. Giaûi: Theo ví duï treân ta coù 2100 = BS 125 +1,mà 2100 là số chẵn, nên ba chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 876. Mà 2100 chia hết cho8 nên ba chữ số tậncùng của nó phải chia hết cho 8.Trong 4 số trên chỉ có 376 thoả mãn điều kiện này. Vậy ba chữ số tận cùng của 2100 là 376. Chú ý: Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của n100 là 376. Ví dụ 8: Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994 viết trong hệ thập phân. Giaûi: Cách 1. Ta thấy số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nguyên dương bất kì vẫn tận cùng bằng 0625.Do đó 51994=54k+2 =25(54k)=25(0625)k = 25.(...0625) = .....5625 Caùch 2. Ta thaáy 54k -1 chia heât cho 54 -1 = (52 -1)(52 +1) neân chia heát cho 16. Ta coù: 51994 = 56( 5332 -1) +56 Do 56 chia heát cho 54, coøn 5332 -1 chia heát cho 16 neân 56( 5332 -1) chia heát cho 10000 Vaø 56 = 15625. Vậy 4 chữ số tận cùng của 51994 là 5 Bài tập tương tự 1.CMR với mọi số tự nhiên n thì 7n và 7n+4 có hai chữ số tận cùng như nhau. + Cho hs đặt câu hỏi: Khi nào hai số có hai chữ số tận cùng giống nhau? - Khi hieäu cuûa chuùng chia heát cho 100 Giaûi: Xeùt hieäu cuûa 7n +4- 7n = 7n( 74 -1) = 7n .2400 Do đó 7n+1 và 7n có chữ số tận cùng giống nhau. 2.Tìm soá dö cuûa 2222+5555 cho 7. + Xeùt soá dö cuûa 22 vaø 55 cho 7? Giaûi:Ta coù 2222 + 5555 =(Bs 7 +1)22 +(Bs 7 -1)55 = Bs 7 +1+ Bs7 -1 = Bs 7 22 55 Vaäy22 + 55 chia heát cho 7 DẠNG 3. Tìm điều kiện để chia hết 8 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên'. Ví dụ 9: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B: A= n3 +2n2 -3n+2 , B= n2 -n Giaûi: Ñaët tính chia: n3 +2n2 -3n+2 n2 -n - n3 - n2 n +3 3n2 -3n +2 - 3n2 -3n 2 Muoân chia heât, ta phại coù 2 chia heẫt cho n(n-1),do ñoù 2 chia heât cho n(vì n laø soâ nguyeân) Ta coù: n. 1. -1. 2. -2. n-1. 0. -2. 1. -3. n(n1). 0. 2. 2. 6. loại. loại. Vaäy n= -1; n = 2 Ví duï 10 Tìm số nguyên dương n để n5 +1 chia hết cho n3 +1. Giaûi: Ta coù n5 +1  n3 +1  n2 (n3+1) - (n2 -1)  (n+1)(n2 -n +1)  (n+1)(n2 -n +1)  (n-1)(n+1)  n2 -n +1 (vì n+1  0)  n -1 Nếu n =1 thì ta được 0 chia hết cho 1 Nếu n>1 thì n -1< n(n-1) +1=n2 -n +1, do đó không thể chia hết cho n2 - n +1. Vậy giá trị duy nhất của n tìm được là 1. Ví duï 11 Tìm số nguyên n để n5 +1 chia hết cho n3+1. Giaûi: Theo ví duï treân ta coù: n -1  n2 -n +1  n(n-1)  n2 -n +1  n2 -n +1  n2 -n  (n2 -n +1) -1  n2 -n +1  1  n2 -n +1 9 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên'. Có hai trường hợp n2 -n +1 =1  n( n -1) =0  n=0; n=1. Các giá trị này thoả mãn đề bài. n2 -n +1= -1  n2 -n +2 =0 không tìm được giá trị của n Vaäy n= 0; n =1 laø hai soá phaûi tìm.. Ví duï 12 Tìm số tự nhiên n sao cho 2n -1 chia hết cho 7. Giaûi: Neáu n = 3k (k  N) thì 2n -1 = 23k -1 = 8k -1 Chia heát cho 7 -Neáu n =3k +1(k  N) thì 2n -1= 23k+1 - 1=2(23k -1) +1 = Bs 7 +1 Neáu n = 3k +2 ( k  N) thì 2n -1= 23k+2 -1 =4(23k - 1)+3 =Bs 7 +3 Vaäy 2n -1 chia heát cho 7  n = 3k(k  N). *Baøi taäp aùp duïng Bài 1: Tìm điều kiện của số tự nhiên a để a2+3a +2 chia hết cho 6. Giaûi: Ta có a2 +3a + 2 = (a+1)(a+2) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 Do đó a2 +3a +2  3  a2 +2  3  a2 : 3 dö 1  a khoâng chia heát cho 3. Ñieàu kieän phaûi tìm laø a khoâng chia heát cho 3. Baøi 2: Tìm điều kiện của số tựï nhiên a để a4 -1 chia hết cho 240. Baøi 3: Tìm số nguyên tố p để 4p +1 là số chính phương. Bài 4. Tìm điều kiện của số tự nhiên a để a2 + 3a + 2 chia hết cho 6. Giaûi: Ta coù a2 + 3a + 2 =( a+1)(a+2) Laø tích cuûa 2 soá nguyeân lieân tieáp neân chia heát cho 2 Do đó a2 + 3a + 2  3  a2 + 2  3  a2 chia cho 3 dö 1  a khoâng chia heát cho 3. Ñieàu kieän phaûi tìm laø a khoâng chia heát cho 3. Baøi 5. Tìm ba soá nguyeân toá lieân tieáp a,b,c sao cho a2 + b2 + c2 cuõng laø soá nguyeân toá Giải: Xét hai trường hợp 10 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên'. + Trong 3 soá a,b,c coù moät soá baèng 3. Khi đó 22 + 32 + 52 =38 là hợp số (loại) Coøn 32 + 52 + 72 =83 laø soá nguyeân toá. + Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 3. Khi đó a2, b2, c2 đều chia cho 3 dư 1 nên a2 + b2 + c2 chia hết cho 3,là hợp số (loại) Vaâïy ba soá phaûi tìm laø 3,5,7. * Các bài tập tổng hợp các dạng toán trên Bài 1. : Cho bốn số nguyên dương a,b,c,d thảo mãn a2 +b2 = c2 + d2 .Chứng minh rằng a+ b+c+ d là hợp số. Giaûi: Xét biểu thức A= (a2 -a)+(b2 -b)+( c2 -c)+ (d2 -d) Dễ thấy A là số chẵn (vì biểu thức trong mỗi dấu ngoặc là tích của hai số nguyeân lieân tieáp) neân (a2 + b2 + c2 +d2) -(a+b + c+ d) laø soá chaün maø a2 +b2 = c2 + d2 neân a2 +b2 + c2 + d2 laø soá chaün. Vậy a + b+ c + d là số chẵn,tổng này lớn hơn 2 nên là hợp số. Bài 2. : Cho các số nguyên a,b,c đều chia hết cho 6. Chứng minh rằng Neáu a+ b+ c chia heát cho 6 thì a3 + b3 + c3 Chia heát cho 6 Giaûi: Ta coù A=a3 + b3 + c3 - (a +b + c) = (a3 -a) + (b3 -b) + (c3 -c) Do a3 -a , (b3 -b) , (c3 -c) đều chia hết cho 6 Neân A  6 Maët khaùc a+ b +c chia heát cho 6 Do đó a3 + b3 + c3 chia hết cho 6 Bài 3: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba sô nguyên liên tiếp thì chia heát cho 9. + Hướng suy nghĩ: Tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp có daïng nhö theá naøo? - HS: a3 + ( a + 1)3 + ( a + 2)3 hoặc ( a -1)3 + a3 + ( a+ 1)3 + Trong hai tổng vừa lập được hãy chọn tổng mà ta có thể biến đổi một caùch nheï nhaøng hôn Bài 4: Chứng minh rằng A chia hết cho B với A= 13 + 23 + 33 +...+ 99 3 + 1003 B= 1 + 2 + 3+...+ 99 + 100. + Hướng suy nghĩ cho hs: Bài toán trên thuộc dạng nào? 11 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên'. + Trong hai tổng A và B ta tính được tổng nào? ( B = 50. 101) + Chứng tỏ A chia hết cho 5050? ( 13 + 993  50. 101 Bài5. Cho bốn số nguyên dương thoả mãn điều kiện ab = cd. Chứng minh rằng a5 + b5 +c5 + d5 là hợp số Giaûi: Goïi ÖCLN (a,c) = k ( k nguyeân döông) Khi đó a = ka1 , c= k .c1 và ( a1, c1) =1 Thay vào a.b = c.d được k.a1 .b = k .c1.d neân a1.b = c1. d ta coù a1.b  c1 maø ( a1 , c1)=1 nên b  c1 .Đặt b = c1.m (m nguyên dương), thay vào (1) được a1.c1.m = c1.d neân a1 .m = d Do đó A = a5 + b5 +c5 + d5 = k5 a15 + c15 m5 + c15 m5 +k5 c15 + a15 m5 = k5 ( a15 +c5) + m5 ( a5 + c5) = (a15 + c15)( k5 + m5). Do a1, c1 , k ,m là các số nguyên dương nên A là hợp số. Bài 6. : Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên a,b,c thoả mãn điều kiện a2 + b2 = c2 thì abc chia heát cho 60. Giaûi: Theo baøi ra a2 + b2 = c2 (1) Ta coù 60 = 3. 4. 5 -Nếu a ,b ,c đều không chia hết cho 3 thì a2, b2 ,c2 đều chia cho 3 dư 1. Khi đó a2 + b2 = Bs 3 + 2, còn c2 = Bs 3 + 1 trái với (1).Vậy trong ba só a,b,c có một số chia heát cho 3. -Nếu a,b,c đều không chia hết cho 5 thì a2, b2, c2 chia cho 5 dư 1 hoặc 4. Khi đó a2 +b2 chia cho 5 dư 0,2,3 còn c2 chia cho 5 dư 1,4 trái với (1).Vậy tồn tại một trong ba soá a,b,c chia heát cho 5. _Nếu a,b,c đều không chia hết cho 4 thì a2, b2, c2 chia cho 8 dư 1 hoặc 4 .Khi đó a2 + b2 chia cho 8 dư 0, 2 , 5, còn c2 chia cho 8 dư 1, 4 trái với (1).Vậy tồn tại một soá chia heát cho 4. Kết luận: abc chia hết cho 3.4.5 tức là chia hết cho 60. Bài 7. Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức là số nguyên tố: a). 12n2. -5n -25. n 2  3n b) 4. Giaûi: a) Ta coù 12n2 -5n -25 = 12n2 + 15n - 20n - 25 = 3n( 4n +3) - 5( 4n +3) = (4n +3) (3n - 5) 12 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên'. Do 12n2 -5n -25 laø soá nguyeân toá neân 4n +5, 3n - 5 laø caùc soá nguyeân döông . Ta laïi coù 3n -5< 4n + 5 ( vì n >1) Để 12n2 -5n -25 là số nguyên tố thì thừa số nhỏ phải bằng 1. Neân 3n -5 =1  n = 2 Khi đó 12n2 -5n -25 = 13 .1 =13 là số nguyên tố. b) B =. n 2  3n n(n  3) = .Do A là số tự nhiên nên n(n+3)  4.Hai số n và n + 3 4 4. không thể cùng chẵn.Vậy hoặc n, hoặc n+3 chia hết cho 4. Nếu n =0 thì B= 0, loại Neáu n =4 thì B =7, laø soá nguuyeân toá. Nếu n = 4k (k  N,k>1) thì B = k( 4k -3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên B là hợp số. Nếu n+ 3 =4 thì B =1 loại Nếu n+3 = 4k (k  N,k>1) thì B = k( 4k -3) là tích của hai thứaố lớn hơn 1 nên A là hợp số. Vậy n =4, khi đó B = 7 Bài 8. Chứng minh rằng: 270 + 370 chia hết cho 13. Giaûi: Ta coù 270 + 370 = (22)35 + (32)35 = 435 + 9 35 . Do đó chia hết cho 4 + 9 =13 (Áp dụng an + bn  a+b với n là số lẻ) Vaäy 270 + 370 chia heát cho 13. Bài 9.Tìm số nguyên tố p để 2p2 + 1 là số nguyên tố. + Với p là số nguyên tố thì p có dạng như thế nào? ( Thường xét số dư của một số khi chia cho 2 hoặc 3) + Xét p = 3k + 1; p = 3k + 2 và p =3k trường hợp nào mà 2p2 = 1 là số nguyeân toá thì => p. Bài 10.Chứng minh:1719+ 1917 chia hết cho 18. + Xeùt soá dö cuûa 17 vaø 18 khi chia cho 18? C. KEÁT LUAÄN Tôi viết kinh nghiệm này dựa trên cơ sở , những kinh nghiệm đã được rút ra trong những năm giảng dạy và học tập của bản thâ. Bằng sự học hỏi thông qua caùc taøi lieäu saùch giaùo khao, saùch tham khaûo....vaø qua tieáp thu caùc yù kieán cuûa đồng nghiệp. Đã giúp tôi hoàn thành chuyên đề và áp dụng vào giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8. Sau khi viết thực hiện chuyên đề tôi đã rút ra bài học kinh mghiệm cho baûn thaân: - Khi dạy học cần đặt vị trí của mình voà vị trí học sinh. Có thể có những vấn đề mình thấy là dễ, rất quen thuộc, nhưng với học trò lại rất khó, rất lạ. 13 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên'. - Phải luôn cố gắng tạo ra tình huống có vấn đề, làm xuất hiện ở học sinh nhu cầu nghiên cứu kiến thức. Chọn các bài tập hợp lý từ đơn giản đến khó, thu hút hoïc sinh tham gia. - Các bài tập đưa ra ban đầu có thể theo từng dạng cụ thể, để học sinh làm quen dần với các dạng toán. Sau đó, đưa ra các dạng bài có tính tổng hợp hơn, đồi hỏi học sinh biết vận dụng, suy nghĩ tìm tòi cách giải. Từ đó mới phát triển đượctư duy, khaû naêng saùng taïo cuûa hoïc sinh. - Nên quan tâm đến câu trả lời của học sinh, khai thác những phát hiện dù là nhỏ nhất của học sinh để phát huy tính chủ động suy nghĩ, tích cực của học sinh. Trên đây là một số ý kiến, quan điểm của tôi xung quanh vấn đề nâng cao chất lượng dạy học môn toán. Đồng thời phát huy tính tích cực, độc lập sáng tạo của học sinh thông qua chuyên đề '' Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên''. Khi viết chuyên đề này chắc hẳn không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được sự góp ý, phê bình của các đồng nghiệp để xây dựng cho kiến thức chuyên môn của mình. Cuoái cuøng toâi xin chaân thaønh caùm ôn! Ngaøy 4 thaùng 4 naêm 2009 Người viết. Ñaëng Thò Dinh D. Ý KIẾN, ĐÁNH GIÁ, NHẬN XÉT CỦA NHAØ TRƯỜNG ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. E. Ý KIẾN , ĐÁNH GIÁ, NHẬN XÉT CỦA BAN GIÁM KHẢO. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. 14 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên'. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ........................ 15 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>