Tài liệu tự học Hình học 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.52 MB, 20 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>§ 1 : CÁC ĐỊNH NGHĨA A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT:. TRƯỜNG THPT Đ. ĐĂNG TUY N. TÀI LIỆU HỌC TẬP. . Vectơ là đoạn thẳng có hướng. Ký hiệu : AB ; CD hoặc a ; b. • • ó. • • •. Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Ký hiệu 0 . Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đ. • •. Độ dài vecto Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độdài. . Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng hướng Hai vecto cùngAB thìlàluôn cùng phương. chính độ dài đoạn thẳng AB. Kí hiệu: AB = AB. a = b Vậy: a = b ⇔ a, b cïng h−íng. Các phương pháp chứng minh:. CHƯƠNG I: VECTƠ. . •. . •. Ba điểm A,B,C thẳng hàng ⇔ AB, AC cùng phương.. •. Chứng minh AB = DC ⇔ ABCD là hình bình hành.. . . B. CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Xác định một vectơ, sự cùng phương và hướng của hai vectơ Phương pháp giải: • Để xác định vectơ ta cần biết độ dài và hướng của vectơ, hoặc biết điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Ví dụ 2 điểm phân biệt A, B ta có 2 vectơ khác nhau là. H ck I. AB và BA . • Vectơ a là vectơ-không khi và chỉ khi a = 0 hoặc a = AA với A là điểm bất kì.. Bài tập: Bài 1: Cho ∆ABC . Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ các cạnh của tam giác đó. Bài 2: Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D. Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ 4 điểm đã cho. Bài 3: Cho ngũ giác ABCDE. a). Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ các cạnh và đường chéo của ngũgiác. b). Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ các dỉnh của ngũ giác. Dạng 2: Khảo sát sự bằng nhau của 2 vectơ. Phương pháp giải: Để chứng minh 2 vectơ bằng nhau có 3 cách:. GV: Nguy n Công Nh t. • Hình Học 10. -1-. Gv : Nguy n Công Nh t. a= a và. b ⇒ a = b b cïng h−íng . Hình Học 10. Lop3.net. -2-. Gv : Nguy n Công Nh t.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> •. Nếu a = b , b = c thì a = c. . . ABCD là hbh ⇒ AB = DC và BC = AD. § 2 : TỔNG VÀ HIỆU CỦA CÁC VECTƠ. • Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Tìm các vectơ bằng nhau và chứng minh.. A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT:. . . Bài 2: Cho điểm M và a . Dựng điểm N sao cho:. . . . a). MN = a. . . * Tính chất :. b). MN cùng phương với a và có độ dài bằng a .. Bài 3: Cho hình vuông ABCD tâm O. Liệt kê tất cả các vectơ bằng nhau (khác 0 ) nhận đỉnh và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối. Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC. Chứng. . . . * Giao hoán : a + b = b + a * Kết hợp : ( a + b ) + c = a + (b + c ) * Tính chất vectơ –không : a + 0 = a. * Định nghĩa: Cho AB = a ; BC = b . Khi đó AC = a + b. * Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,O tùy ý, ta có :. . minh rằng nếu MN = AB và MN = DC , thì ABCD là hình bình hành.. •. Bài 5: Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng nếu AB = DC thì AD = BC .. •. AB = AO + OB (phép cộng) AB = OB − OA (phép trừ). . . Bài 6: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với C qua D. Chứng tỏ:. * Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì AC = AB + AD. Bài 7: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên đoạn CD. * Vecto đối: Vecto đối của vecto a là một vecto có cùng độ dài nhưng ngược hướng.. AE = BD .. . . . Kí hiệu: − a . Vậy a + ( − a) = 0 . Chú ý: AB = − BA. . sao cho AM=CN. Chứng minh: AN = MC và MD = BN . Bài 8: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.. . . . AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F. Chứng ming rằng: DE = EF = FB . Bài 9: Cho tam giác ABC và điểm M ở trong tam giác. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và M, N, P lần lượt là các điểm đối xứng với M qua A’, B’, C’. Chứng minh:. * Tính chất trung điểm và tính chất trọng tâm: •. a). AQ = CN và AM = PC. b). AN, BP, CQ đồng quy. Bài 10: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều vectơ Phương pháp giải: Dùng định nghĩa tổng của 2 vectơ, quy tắc 3 điểm, quy tắc hbh và các tính chất của tổng các vectơ Bài tập: Bài 1: Cho hbh ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.. a). Tìm các vecto khác 0 và cùng phương với OA . b). Tìm các vecto bằng vecto AB, OE .. Bài 11: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O.Tìm các vectơ từ 5 điểm A,B,C,D,O:. . . . a). Bằng vectơ AB ; OB . b). Có độ dài bằng OB . Bài 12: Cho tam giác đều ABC . Các đẳng thức sau đây đúng hay sai?. a). AB = BC. b). AB = − AC. G là trọng tâm ∆ABC ⇔ GA + GB + GC = 0 I là trung điểm AB ⇔ IA + IB = 0. •. b). Chứng minh AM + AN = AB + AD .. c). AB = AC. . . a). Tìm tổng của 2 vectơ NC và MC ; AM và CD ; AD và NC .. Bài 13 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.. Chứng minh : MN = QP ; NP = MQ .. Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEFF tâm O. Chứng minh. Bài 14: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Gọi I là giao điểm AM và BN, K là giao điểm DM và CN.. Bài 3: Cho năm điểm A, B, C, D, E. Hãy tính tổng AB + BC + CD + DE . Dạng 2: Tìm vectơ đối và hiệu của 2 vectơ Phương pháp giải:. . . OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0 .. . CMR: AM = NC , DK = NI . Bài 15 : Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp . Gọi B’. •. là điểm đối xứng B qua O . Chứng minh : AH = B ' C . Hình Học 10. -3-. . . . Theo định nghĩa, tìm hiệu a - b , ta làm hai bước sau:. . - Tìm vectơ đối của b. Gv : Nguy n Công Nh t. Hình Học 10. Lop3.net. -4-. Gv : Nguy n Công Nh t.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> . . - Tính tổng a + ( − b). . b). AB − BC = DB c). DA − DB = OD − OC d). DA − DB + DC = 0 Bài 10: Cho ∆ABC . Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh: RJ + IQ + PS = 0 . a). CO − OB = BA. . • Vận dụng quy tắc OA − OB = BA với ba điểm O, A, B bất kì. Bài Tập: Bài 1: Cho tam giac ABC. Các điểm M, N và P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC.. . Bài 11: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR :. b). OA + OC + OE = 0 c). AB + AO + AF = AD d). MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý ). a). Tìm hiệu AM − AN , MN − NC , MN − PN , BP − CP .. a). OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0. b). Phân tích AM theo 2 vectơ MN và MP . Bài 2: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh AB − CD = AC − BD. Bài 12: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng :. b). AD + BE + c). AB + CD + d). AB - AF +. Bài 3: Cho 2 điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thỏa mãn 1 trong các điều kiện sau:. a). MA − MB = BA. b). MA − MB = AB. Bài 4: Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi. IA = − IB .. Dạng 3: Chứng minh đẳng thức vectơ: Phương pháp giải: + Sử dụng qui tắc ba điểm;quy tắc hình bình hành; trung điểm. + Vận dụng các các chứng minh đẳng thức: biến đổi VT thành VP và ngược lại; biến đổi hai vế cùng thành một đẳng thức; biến đổi đẳng thức đã cho thành một đẳng thức luôn đúng. Bài tập: Bài 1: Cho 4 điểm bất kỳ A, B, C, D. Chứng minh các đẳng thức sau:. a). AC + BD = AD + BC. CF = AE + BF + CD EF + GA = CB + ED + CD - CB + EF - ED =. a). AB + CD + EA = CB + ED. c). MA + MB = 0. GF 0. Bài 13: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P là trung điểm AB, AC, BC. CMR: với điểm O. . . bất kì: OA + OB + OC = OM + ON + OP Bài 14 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. Với một điểm O bất kỳ, CMR:. OA + OB + OC = OA ' + OB ' + OC '. Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD. b). AB + CD = AD + CB c). AB − CD = AC − BD .. . . . a). Chứng minh rằng HB + HC = HD. Bài 2: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tùy ý. Chứng minh rằng:. AC + BD + EF = AF + BC + ED .. . . . . b). Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng HA + HB + HC = HH '. . . Bài 3: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh:. Bài 16: CMR: AB = CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.. Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là điểm tùy ý. Chứng minh:. Bài 17: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt AO = a ; BO = b. Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:. Bài 18: Cho tam giác ABC. Xác định điểm M sao cho MA − MB + MC = 0 Dạng 4: Tính độ dài của vectơ: Phương pháp giải: Đưa tổng hoặc hiệu của các vectơ về một vectơ có độ dài là một cạnh của đa giác. Bài tập:. BD − BA = OC − OB và BC − BD + BA = 0 .. Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và b. AB + OA = OB và MA + MC = MB + MD . . . . . a). AD + MB + NA = 0 b). CD − CA + CB = 0 Bài 6: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : (Bằng nhiều cách khác nhau). c). AB − AD = CB − CD e). AD + BE + CF = AE + BF + CD. d). AB + BC + CD + DA = 0 f) AC + DE − DC − CE + CB = AB Bài 7: Cho hình bình hành ABCD, M tùy ý. Cm: MA + MC = MB + MD Bài 8: ∆ ABC có G là trọng tâm, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh GM + GN + GP = 0 a). AB + CD = AD + CB. b). AB − CD = AC + DB. Bài 9: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. CMR: Hình Học 10 -5-. . . . . . . Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB=a, AC=2a. Tính: AB + AC và. AB − AC . . Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính: AB + BC và CA − CB .. Gv : Nguy n Công Nh t. Hình Học 10. Lop3.net. -6-. Gv : Nguy n Công Nh t.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> . . = 60 0 . Tính: AB + BC và Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB=a và B. . . • Phân tích một vecto theo hai vecto không cùng phương:. . x = ma + nb. . . . . . . . . . . . . Hình Học 10. Bài 9: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.. . . . . . ⇔ MA + MB + MC = 3 MG .. G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA + GB + GC = 0. . d). k a = 0 ⇔ k = 0 hoặc a = 0. -7-. . thì AA' + BB ' + CC ' = 3GG ' . Suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm. Bài 11: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:. . . CMR: AM + BN + CP = 0 . Bài 10: CMR: nếu G và G’ là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’. b). (k + m) a = k a + m a. c). k( a + b ) = k a + k b. ). 2MN = AC + BD = BC + AD. ka và được xác định: Nếu k > 0 thì k a cùng hướng với a ; k < 0 thì k a ngược hướng với a . Độ dài: k .a = k . a . (. 1 AC + BD b). OA + OB + OC + OD = 0 2 c). MA + MB + MC + MD = 4 MO (M là điểm bất kỳ). a). EF =. Bài 8: Gọi M,N là trung điểm AB và CD của tứ giác ABCD. Cmr:. . . . Bài 7: Cho tứ giác ABCD. Gọi E,F là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm EF.. * Cho số thực k ≠ 0 , a ≠ 0 . Tích của một số thực k và vecto a là 1 vectơ, kí hiệu:. . . 3GG ' = AA ' + BB ' + CC '. A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT:. . . . CMR:. a). k(m a ) = (km) a. . Chứng minh rằng: 2 IJ = AC + BD = AD + BC Bài 6: CMR nếu G và G' lần lượt là trọng tâm của ∆ ABC và ∆ A'B'C' thì. § 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ. Tính chất :. b). 2OA + OB + OC = 4OD ( với O tùy ý). BD. CMR: AB + CD = 2 MI Bài 5: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB và CD.. Bài 9: Cho 2 véc tơ a và b cùng khác 0 . Khi nào thì: a) a + b = a + b ; b) a + b = a − b ; C) a − b = a − b Bài 10: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : CA + CB = CA - CB. . . bất kỳ. Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 2 đường chéo AC và. . b. Chứng minh rằng: AB + AD = AB − AD. . . Bài 3: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. CMR: MA + MB + MC = 3 MG , với M. a. Với M tùy ý, Hãy chứng minh MA + MC = MB + MD. . . a). 2 DA + DB + DC = 0. Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.. . . Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Cmr: AB + 2 AC + AD = 3 AC Bài 2: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến, D là trung điểm của AM. Cm:. c. CD − DA. . . ( m, n duy nhất ).. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ:. c. OB − DC. b. AB + DC. . Cho b , a là hai vecto không cùng phương, với mọi x tùy ý, khi đó:. Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm hai đường chéo. Tính a. OA − CB. . I trung điểm đoạn thẳng AB, với mọi điểm M bất kỳ: MA + MB = 2 MI .. . b. BA − BC. . G là trọng tâm ∆ABC , với mọi điểm M bất kỳ: MA + MB + MC = 3 MG .. Bài 4: Cho tam giác đều ABC cạnh a và đường cao AH. Tính: AB + AC ; AB + BH ; AB − AC . Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính BC + AB ; AB - AC theo a = 60 0 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm hai Bài 6: Cho hình thoi ABCD có BAD a. AB + AD. . • Điều kiện cần và đủ để A , B , C thẳng hàng là có số k sao cho AB =k AC . • Tính chất trung điểm và tính chất trọng tâm:. AB − AC .. đường chéo. Tính:. . • b cùng phương a ( a ≠ 0 ) khi và chỉ khi có số k thỏa b =k a .. Bài 12: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O. Hình Học 10 -8 Gv : Nguy n Công Nh t. Gv : Nguy n Công Nh t Lop3.net.
<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài Tập:. a). Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành. b). Chứng minh:. . (. 1 AB + DC 2. . . ). . Bài 4: Cho tam giác ABC.. CMR: OA − 2OB − 2OC + OD = 0 Bài 14: Cho tam giác A, B, C. G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm tuỳ ý trong mặt phẳng. CMR: a). GB + GB + GC = 0 b). MB + MB + MC = 3MG . Bài 15: Cho hình bình hành ABCD tâm I. AO = a; BO = b a). Chứng minh rằng: AB + AD = 2 AI b). Tính AC ; BD; AB; BC ; CD; DA theo a; b . Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D; M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng: AD + BD + AC + BC = 4MN . Bài 17: Gọi O; H; G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) HA + HB + HC = 2 HO b) HG = 2GO . Bài 18: Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác; D, E, F lần lượt là hình chiếu của nó trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng: 3 MD + ME + MF = MO . 2 Bài 19: Cho 4 điểm A, B, C, D; I, F lần lượt là trung điểm của BC, CD. CM: 2 AB + AI + FA + DA = 3DB .. (. b). Tìm điểm J sao cho JA − JB − 2 JC = 0 c). Tìm điểm K sao cho KA + KB + KC = BC d). Tìm điểm K sao cho KA + KB + KC = 2 BC e). Tìm điểm L sao cho 3LA − LB + 2 LC = 0 a). Tìm điểm I sao cho 2 IB + 3IC = 0. HD:. . ). * Phương pháp tìm điểm M thỏa một đẳng thức vecto cho trước:. . . B1: Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng: AM = u , trong đó A là điểm cố định,. •. B2: Dựng điểm M thỏa AM = u .. u cố định.. Hình Học 10. . . . . . e). 3LA − LB + 2 LC = ( LA − LB ) + 2( LA + LC ) . Sau đó áp dụng quy tắc 3 điểm và hệ thức trung điểm. Bài 5: Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M biết: 2 MA − 3MB = 0 Bài 6: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC=2NA. a). Xác định điểm K sao cho: 3 AB + 2 AC − 12 AK = 0 b). Xác định điểm D sao cho: 3 AB + 4 AC − 12 KD = 0 Bài 7: Cho các điểm A, B, C, D, E. Xác định các điểm O, I, K sao cho: a ).OA + 2OB + 3OC = 0 b).IA + IB + IC + ID = 0 c).KA + KB + KC + 3( KD + KE ) = 0 Bài 8: Cho tam giác ABC. Xác định các điểm M, N sao cho: a). MA + 2MB = 0 b). NA + 2 NB = CB . Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm M thoả mãn: 3 AM = AB + AC + AD . Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm O thoả mãn: OA + OB + OC + OD = 0. Bài 20: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm; H là điểm đối xứng với B qua G. CM: 2 1 1 a). AH = AC − AB ; CH = − AB + AC . 3 3 3 1 5 b). M là trung điểm của BC. CM: MH = AC − AB . 6 6 Dạng 2: Tìm một điểm thỏa một đẳng thức vecto cho trước. •. . c). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó với mọi K ta có: KA + KB + KC = 3KG. ). (. . b). Tìm điểm O sao cho OA + OB + OC = 0 c). Tìm điểm K sao cho KA + 2 KB = CB d). Tìm điểm M sao cho MA + MB + 2 MC = 0 Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm O sao cho OA + OB + OC + OD = 0. b). Gọi O là điểm nằm trên đoạn MN và OM = 2ON.. . . a). Tìm điểm I sao cho IA + 2 IB = 0. Từ đó có kết luận gì về 3 điểm O,H,G. Bài 13: Cho tứ giác ABCD. a). Gọi M,N là trung điểm AD, BC, chứng minh: MN =. . Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. tìm điểm K sao cho: 3KA + 2 KB = 0 . Bài 2: Cho tam giác ABC.. HA + HD = 2 HO , HA + HB + HC = 2 HO , OA + OB + OC = OH . c). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. CMR: OH = 3OG .. . -9-. Gv : Nguy n Công Nh t. Hình Học 10. Lop3.net. - 10 -. Gv : Nguy n Công Nh t.
<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bài 9: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm MN.. Dạng 3: Phân tích một vecto theo hai vecto không cùng phương.. . . a. Phân tích vecto AK theo AB, AC .. * Phương pháp: Áp dụng các kiến thức:. . AB = OB − OA (phép trừ). b. Gọi D là trung điểm BC. Cm: KD =. * Quy tắc 3 điểm: AB = AO + OB (phép cộng). 1 1 AB + AC . 4 3. Bài 10: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P là trung điểm BC,CA,AB. Tính các vecto. * Quy tắc đường chéo hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì. AB, BC , CA theo các vecto BN , CP. * Tính chất trung điểm: I là trung điểm AB ⇔ IA + IB = 0 ⇔ MA + MB = 2 MI (M bất kỳ) * Tính chất trọng tâm: G là trọng tâm ∆ABC ⇔ GA + GB + GC = 0. Bài 11: Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm CD. Hãy phân tích AE theo hai. AC = AB + AD. Bài 12: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng của B qua G.. . Bài Tập: Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D,E,F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. I là giao điểm AD và EF. Hãy phân tích các vecto. . . Bài 2: Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 3 MC . Hãy phân tích. . . vecto AM theo hai vecto AB, AC . Bài 3: Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích. . . vecto AM theo hai vecto AB, AC . Bài 4: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vecto. . AB, AC .. Bài 15: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J thuộc BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC.. 1 AB . Hãy phân tích AI , AK , CI , CK theo 5. . . . . b). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính AG theo AI , AJ . Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng:. Bài 6: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a.. . a. Phân tích vecto AD theo hai vecto AB, AF .. . b. Tính độ dài u =. 1 1 AB + BC theo a. 2 2. . a). Tính AI , AJ theo hai véc tơ AB, AC . Từ đó biểu diễn AB, AC theo AI , AJ .. . . ). điểm BC. Hãy biểu diễn các véc tơ AM , AG, BC , CB1 , AB1 , MB1 qua hai véc tơ. Bài 5: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của đoạn AG, K là. CA, CB .. 2 1 AC − AB , 3 3. Bài 14: Cho tam giác ABC và G là trọng tâm. B1 đối xứng với B qua G. M là trung. AB, BC , CA theo hai vecto AK , BM .. điểm trên cạnh AB sao cho AK =. (. 1 BH = − AB + AC . 3 1 5 b). Gọi M là trung điểm BC, chứng minh: MH = AC − AB . 6 6 Bài 13: Cho hình bình hành ABCD, tâm O. đặt AB = a, AD = b . Hãy tính các vecto sau đây theo a, b . a). AI (I là trung điểm BO). b). BG (G là trọng tâm tam giác OCD). 3 1 1 5 * ĐS: AI = a + b BG = − a + b 4 4 2 6 a). Chứng minh: AH =. ⇔ MA + MB + MC = 3 MG (M bất kỳ). AI , AG, DE , DC theo hai vecto AE , AF .. . vecto AD, AB .. . . . Bài 7: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Phân tích AM theo hai vecto AB, AC . Bài 8: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho. . . * Phương pháp: Ba điểm A,B,C thẳng hàng ⇔ AB = k . AC Để chứng minh được điều này ta có thể áp dụng một trong hai phương pháp: + Cách 1: Áp dụng các quy tắc biến đổi véctơ. + Cách 2: Xác định hai véctơ trên thông qua tổ hợp trung gian.. . NA = 2NC. Gọi K là trung điểm MN. Phân tích vecto AK theo AB, AC .. Hình Học 10. - 11 -. Gv : Nguy n Công Nh t. Hình Học 10. Lop3.net. - 12 -. Gv : Nguy n Công Nh t.
<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bài Tập: Bài 1 : Cho 4 điểm O, A, B, C sao cho 3OA − 2OB − OC = 0 . CMR: A, B, C thẳng hàng. Bài 2 : Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM và K là một điểm trên cạnh AC sao cho AK =. . 1 AC. 3. Chứng minh : I, J, O thẳng hàng với O là giao điểm của AC và BD. Bài 10: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P sao cho: MB − 3MC = 0 , AN = 3NC , PA + PB = 0 . Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. Bài 11: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa AM = 3 AB − 2 AC .Chứng minh B,M,C thẳng hàng Bài 12: Cho tam giác ABC .Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB, AC sao cho 1 AM= MB , AN= 3NC và điểm P xác định bởi hệ thức 4 PB + 9 PC = 0 . Gọi K là 2 trung điểm MN. 1 3 a). Chứng minh: AK = AB + AC . 6 8 b). Chứng minh : Ba điểm A, K, P thẳng hàng.. . a). Phân tích vecto BK , BI theo hai vecto BA, BC b). Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. Bài 3: Cho ∆ ABC. I là điểm trên cạnh AC sao cho CI =. 1 AC , J là điểm mà 4. 1 2 BJ = AC − AB 2 3 . a). Chứng minh rằng BI =. 3 AC − AB 4. Bài 13 : Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức. BC + MA = O; AB − NA − 3 AC = O . Chứng minh MN // AC. b). Chứng minh B, I, J thẳng hàng. Bài 4: Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC; D và E là hai điểm sao cho: BD = DE = EC a). Chứng minh: AB + AC = AD + AE . b). Tính véctơ: AS = AB + AD + AC + AE theo AI . c). Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng. Bài 5: Cho tam giác ABC. Đặt AB = u; AC = v a). Gọi P là điểm đối xứng với B qua C. Tính AP theo u; v ? 1 1 b). Qọi Q và R là hai điểm định bởi: AQ = AC ; AR = AB . Tính RP; RQ 2 3 theo u; v . c). Suy ra P, Q, R thẳng hàng. Bài 6: Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy điểm I, J sao cho: 2 IA + 3IC = 0 , 2 JA + 5 JB + 3JC = 0 a). CMR: M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm của AB và BC. b). CMR: J là trung điểm của BI. Bài 7: Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy các điểm I, J thoả mãn: IA = 2 IB ; 3JA + 2 JC = 0 . Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 8: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P thoả mãn: MA + MB = 0 3 AN − 2 AC = 0; PB = 2 PC . Chứng minh: M, N, P thẳng hàng. Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm I, J thoả mãn: 3JA + 2 JC − 2 JD = 0 JA − 2 JB + 2 JC = 0 . Hình Học 10. - 13 -. Dạng 4: Chứng minh hai điểm trùng nhau: * Phương pháp : Để chứng minh M và M' trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai hướng: + Cách 1: Chứng minh MM ' = 0 + Cách 2: Chứng minh OM = OM ' với O là điểm tuỳ ý. Bài 1: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm. Bài 2: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Cmr hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA. Cmr hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm. Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi I,J là trung điểm của AB và CD.. . b). Gọi G là trung điểm IJ. Cm: GA + GB + GC + GD = 0 . a). CMR: AC + BD = AD + BC = 2 IJ .. c). Gọi P, Q là trung điểm các đoạn thẳng AC và BD, M và N là trung điểm AD và BC. CMR: Ba đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm. Dạng 5: Quỹ tích điểm *Phương pháp: Đối với các bài toán quỹ tích, học sinh cần nhớ một số quỹ tích cơ bản sau: - Nếu MA = MB với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB. - Nếu MC = k . AB với A, B, C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng k . AB . - Nếu MA = k BC thì. Gv : Nguy n Công Nh t. Hình Học 10. Lop3.net. - 14 -. Gv : Nguy n Công Nh t.
<span class='text_page_counter'>(8)</span> + M thuộc đường thẳng qua A song song với BC nếu k ∈ R. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng1: Xác định tọa độ của véctơ và của một điểm trên mp tọa độ Oxy: Phương pháp giải: Căn cứ vào định nghĩa tọa độ của vectơ và tọa độ của một điểm trêm mp tọa độ Oxy. * Nếu biết tọa độ hai điểm A (xA,yA), B(xB, yB) thị ta tính được tọa độ của. + M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và cùng hướng BC nếu k ∈ R + + M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và ngược hướng BC nếu k ∈ R − * Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: 3 a). MA + MB + MC = MB + MC 2 b). MA + 3MB − 2 MC = 2MA − MB − MC. AB : AB = ( x B − x A ; yB − y A ) .. * Nếu M và N có tọa độ lần lượt là a, b thì MN = b − a Bài tập:. . Bài 1: Trên trục (O, i ) cho hai điểm M và N có tọa độ lần lượt là -5; 3. tìm tọa độ. Bài 2: Cho tam giác ABC. M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng. a). CMR: véctơ v = 3MA − 5MB + 2MC không đổi. b). Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: 3MA + 2MB − 2 MC = MB − MC. điểm P trên trục sao cho. PM 1 = PN 2. Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có AD=4 và chiều cao ứng với cạnh AD=3, góc. . § 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. . . vectơ AB, BC , CD , AC . Bài 3: Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −2 và 5.. A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT:. →. a). Tìm tọa độ của AB . b). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.. 1. Định nghĩa tọa độ của một vectơ, độ dài đại số của một vectơ trên một trục. a = (a1 ; a2 ) ⇔ a = a1 .i + a2 . j • M có tọa độ là (x; y) ⇔ OM = x.i + y. j • A( x A ; y A ) và B( xB ; yB ) ⇒ AB = ( x B − x A ; yB − y A ) 2. Tọa độ của a + b, a − b, k a * Cho a = ( a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ), k ∈ R Ta có: a + b = ( a1 + b1 ; a2 + b2 ) ; a − b = ( a1 − b1 ; a2 − b2 ) ; ka = ( ka1 ; ka2 ) b1 = ka1 * Hai vectơ a và b ( a ≠ 0 ) cùng phương ⇔ ∃k ∈ : b2 = ka2 x A + xB x I = 2 3.+ I là trung điểm của đoạn thẳng AB ta có: y = yA + y B I 2 x A + x B + xC x G = 3 + G là trọng tâm của tam giác ABC ta có: y + y B + yC y = A G 3. → → c). Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 MA + 5 MB = 0 .. •. Hình Học 10. . BAD=600, chọn hệ trục (A; i, j ) sao cho i và AD cùng hướng. Tìm tọa độ các. - 15 -. d). Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA + 3 NB = −1. Bài 4: Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c. a). Tìm tọa độ trung điểm I của AB. → → → b). Tìm tọa độ điểm M sao cho MA + MB − MC = 0 . →. →. →. c). Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA − 3 NB = NC . Bài 5: Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −3 và 1. a). Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 MA − 2 MB = 1. b). Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3 NB = AB . Bài 6: Trên trục x'Ox cho 4 điểm A (−2) ; B(4) ; C(1) ; D(6) 1 1 2 a). CMR : + = AC AD AB b). Gọi I là trung điểm AB. CMR: IC . ID = IA. 2. c). Gọi J là trung điểm CD. CMR: AC . AD = AB . AJ Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có A(-1;3); B(2;4), C(0;1). Tìm tọa độ đỉnh D. Bài 8: Cho ∆ ABC, các điểm M(1;0); N(2;2) và P(-1;3) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC; CA; AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. Bài 9: Cho ∆ ABC, các điểm M(1;1); N(2;3) và P(0;4) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC; CA; AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.. Gv : Nguy n Công Nh t. Hình Học 10. Lop3.net. - 16 -. Gv : Nguy n Công Nh t.
<span class='text_page_counter'>(9)</span> Bài 10: Cho ∆ ABC, các điểm A(-5;6); B(-4;-1) và C(4;3). Tìm tọa độ trung điểm I của AC. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Bài 11: Cho 3 điểm A(2;5); B(1;1); C(3;3).. . . Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng: Phương pháp giải: Sử dụng điều kiện cần và đủ sau:. . a). Tìm tọa độ điểm D sao cho AD = 3 AB − 2 AC . b). Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm hình bình hành đó. Bài 12: Cho tam giác ABC có A(-1;1), B(5;-3), C nằm trên Oy và trọng tâm G nằm trên Ox. Tìm tọa độ C.. . . . . . . . Bài 2: Cho 3 điểm M(. . Bài 1: Cho a = (2;1); b = (3;4); c = (7;2) .. Bài 3: Tìm x để các cặp vectơ sau cùng phương. . . . a). a = (2;3) vµ b = (4; x ) . b). u = (0;5) vµ b = ( x;7) .. . . 4 7 ; ); N(2;1) và P(1;3). Chứng minh rằng 3 điểm M; N; P 3 3. thẳng hàng. Bài 3: Cho 3 điểm A(3; 4); B(2; 5) và C(1; 5). Tìm x để (-7; x) thuộc đường thẳng AB. Bài 4: Cho 3 điểm A(-3; 4); B(1; 1) và C(9; -5). a). Chứng minh rằng 3 điểm A; B; C thẳng hàng. b). Tìm tọa độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. c). Tìm tọa độ điểm E trên trục Ox sao cho A; B; E thẳng hàng. Bài 5: Cho A(2;1); B(6;-1). Tìm toạ độ: a). Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng. b). Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng. c). Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và PA = 2 5 . Bài 6: Cho A(-1;-4); B(3;4). Tìm toạ độ: a). Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng. b). Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng. c). Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và PA = 3 5 . Bài 7: Tìm điểm P trên đường thẳng (d): x+y=0 sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biết: a). A(1;1) và B(-2;-4) b). A(1;1) và B(3;-2) Dạng 4: Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ, độ dài: Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC với A(1;0); B(-3;-5); C(0;3) a). Xác định toạ độ điểm E sao cho AE = 2 BC b). Xác định toạ độ điểm F sao cho AF=CF=5 Bài 2: Cho tam giác ABC với A(-1;3); B(2;4); C(0;1). Xác định toạ độ: a). Trọng tâm G b). Véc tơ trung tuyến AA1 c). Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác. d). Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Bài 3: Cho M(1+2t; 1+3t). Hãy tìm điểm M sao cho xM2 + yM2 nhỏ nhất.. a).Tìm tọa độ của vectơ u = 2 a − 3b + c . b).Tìm tọa độ vectơ x + a = b − c . c).Tìm hai số j; k sao cho c = ka + lb . Bài 2: Cho a = (1;2); b = (−3;1); c = (−4; −2) 1 1 a). Tìm tọa độ các vectơ u = 2 a − 4 b + c ; v = − a + b − c ; u = 3a + 2 b + 4 c . 3 2 và xem vectơ nào trong các vectơ cùng phương với véctơ i và cùng phương với j . b). Tìm các số m, n sao cho a = mb + nc . . . . Phương pháp giải: Tính theo công thức tọa độ u + v; u − v; ku Bài tập:. . . * Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k để AB = k AC Bài tập: Bài 1: Cho 3 điểm A(-1;1); B(1;3) và C(-2;0). Chứng minh rằng 3 điểm A; B; C thẳng hàng.. . Dạng 2: Tìm tọa độ của các vectơ u + v; u − v; ku. . * Hai vectơ a, b ≠ 0) cùng phương khi và chỉ khi có số k để a = kb. . c). m = ( x; −3) vµ n = ( −2;2 x ) . Bài 4: Biểu diễn véc tơ c theo các véc tơ a; b biết: a). a (2; −1); b(−3; 4); c(−4;7) b). a (1;1); b(2; −3); c(−1;3) .. Bài 5: Cho bốn điểm A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3). Hãy biểu diễn véc tơ AD theo các véc tơ AB ; AC . Bài 6: Biểu diễn véc tơ c theo các véc tơ a; b biết: a). a (−4;3); b(−2; −1); c(0;5) b). a (4; 2); b(5;3); c(2;0) . Bài 7: Cho bốn điểm A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4). Hãy biểu diễn véc tơ AD theo các véc tơ AB ; AC. 3 Bài 4: Cho tam giác ABC với A(4;6); B(1;4); C(7; ) 2 Hình Học 10. - 17 -. Gv : Nguy n Công Nh t. Hình Học 10. Lop3.net. - 18 -. Gv : Nguy n Công Nh t.
<span class='text_page_counter'>(10)</span> a). CM: ∆ABC vuông b). Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Bài 5: Cho tam giác ABC với A(1;-2); B(0;4); C(3;2). Tìm toạ độ của: a). Trọng tâm G của tam giác . b). Vectơ trung tuyến ứng với cạnh BC. c). Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. d). Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. e). Điểm M biết: CM = 2 AB − 3 AC . f). Điểm N biết: AN + 2 BN − 4CN = 0 . Bài 6: Cho tam giác ABC với A(0;3); B(4;6); C(3;3).Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.. c). Tìm toạ độ điểm C sao cho O là trọng tâm của tam giác ABC. Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; 0), B(2; -4), C(0; -2) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh hai tam giác ABC và tam giác MNP có cùng trọng tâm. Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho G(1 ; 2). Tìm tọa độ điểm A thuộc Ox và B thuộc Oy sao cho G là trọng tâm tam giác OAB.. Oxy cho các véctơ a = (2; −1), b = (−1; −3), c = (3;1) . a). Tìm toạ độ của các véctơ u = a + b, v = a − b + c, w = 2a − 3b + 4c. b). Biểu diễn véctơ c theo hai véctơ a và b . c). Tìm toạ độ của véctơ d sao cho a + 2d = b − 3c .. Bài 8: Trong hệ trục. Bài Tập Tổng Hợp: Bài 1: Trong hệ trục Oxy , cho A(1; 2), B(-2; 3), C(-4;6) a). Tìm tọa độ AB + 2 BC − 3 AC . b). Tìm tọa độ trung điểm M của BC. c). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. d). Biểu diễn AG theo AB, AC . e). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành này. f). Tìm tọa độ điểm E thuộc Ox sao cho ABCE là hình thang. Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình thang này. Bài 2: Trong hệ trục toạ độ oxy , cho tam giác ABC có A(4 ;-1) , B(-2 ;- 4), C( -2;2) a). Tính chu vi tam giác ABC. b). Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC. c). Tìm toạ độ điểm I biết AI + 3BI + 2CI = 0. Bài 9: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A ( 1;3) , B ( -5; 7) , C ( 3; 5 ) . a). Xác định toạ độ điểm M sao cho. b). Xác định toạ độ điểm P trên trục tung sao cho P thẳng hàng với A và B . Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho A(4; 3), B(2; 7), C(-3: 8) . a). Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác. b). Tìm D để BCGD là hình bình hành. Biểu diễn AG theo hai AB, AD . c). Tìm tọa độ M thỏa AM + AG + 2MB + CM = −5BC .. Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho A(4; 3), B(2; 7), C(-3: 8) . a). Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác. b). Tìm D để BCGD là hình bình hành. Biểu diễn AG theo hai AB, AD . c). Tìm tọa độ M thỏa AM + AG + 2MB + CM = −5BC . d). Tìm N thuộc cạnh BC sao cho diện tích tam giác ANB gấp 7 lần diện tích tam giác ANC. Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(-1;2); B(2;3) và C(1; -4). a). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. b). Tìm tọa độ điểm N trên trục hoành sao cho ba điểm A, B, N thẳng hàng. c). Tìm tọa độ M thuộc BC thỏa S∆AMB = 7 S∆ABC d). Gọi M, P lần lượt là trung điểm cuả AB và BC. Phân tích AC theo hai vectơ AP và CM . Bài 5: : Cho hai điểm A(3 , 4) ; B(2 ; 5 ) . a). Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua B . b). Tìm toạ độ điểm D trên Ox sao cho 3 điểm A , B , D thẳng hàng . Hình Học 10. - 19 -. AB − 2 AC + AM = 0. ...................Hết. ......................... “Trên bước đường thành công, không có dấu chân của những kẻ lười biế ng”. Gv : Nguy n Công Nh t. Hình Học 10. Lop3.net. - 20 -. Gv : Nguy n Công Nh t.
<span class='text_page_counter'>(11)</span> CHƯƠNG II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA 2 VECTO VÀ ỨNG DỤNG 0. . §1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ ( Từ 0 - 180 ) A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:. = và 1/ Định nghĩa : Trên nửa dường tròn đơn vị lấy điểm M thỏa góc xOM M(x0;y0). Khi đó ta định nghĩa: sin của góc là y0 ; ký hiệu sin = y0 côsin của góc là x0; ký hiệu cos = x0. y tang của góc là 0 ( x0 0); ký hiệu tan = x0 x côtang của góc là 0 ( y0 0); ký hiệu cot = y0. a) Nếu cos 0 thì tan . y0 x0 x0 y0. 2. . b. a. e) 1 + tan2 =. . . . Nếu ( a , b )= 900 thì ta nói a vuông góc b . Kí hiệu: a b . . . . . . . . - 21 -. 600. 0. 1 2. Cos . 1. 3 2. 2 2 2 2. 3 2 1 2. tan . 0. 3 3. 1. 3. . Cot . . 3. 1. 3 3. 0. B. Ví dụ: Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác của góc. . . + ( a , b )= 1800 a ngược hướng b. Hình Học 10. 450. + ( a , b )= 00 a cùng hướng b. * Chú ý: : + ( a , b )= ( b , a ) . 300. B. . sin cos b) Nếu sin 0 thì cot cos sin d) tan .cot = 1 1 f) 1 + cot2 = sin 2. 00. Sin . Cho hai véctơ a , b đều 0 . Từ điểm O tuỳ ý dựng OA = a , OB = b . Góc 00≤ AOB ≤1800 được gọi là góc giữa hai véctơ a , b . Kí hiệu là: ( a , b ). . 1 cos 2. . . . . * Góc phụ nhau Sin(900- ) = Cos Cos(900- ) = Sin 0 tan(90 - ) = Cot cot(900- ) = tan . * Góc đối nhau sin(- ) = - sin cos(- ) = cos * Chú ý: sin2 = (sin)2 sin2 Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt. A. O. 2. c) sin + cos = 1. * Dấu của các tỉ số lượng giác: 00≤ ≤900 900< <1800 + + sin + cos + tan + cot * Chú ý: + tan chỉ xác định khi 900 + cot chỉ xác định khi 00 và 1800 2. Tính chất : Hai góc bù nhau (tổng hai góc bằng 1800) sin( 1800 ) = sin cos ( 1800) = cos tan (1800 ) = tan ( 900) cot ( 1800 ) = Cot ( 0 < < 1800) 4. Góc giữa hai vectơ . . * Quy ước: Nếu ít nhất một trong hai véc tơ a và b là véctơ 0 thì ta có thể xem góc bao nhiêu cũng được. Ví dụ (SGKTr39): Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B= 500 5. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc Xem SGK.Tr39+40 Các hệ thức cơ bản. 0. a. Sin 450 =. Gv : Nguy n Công Nh t. 1 0. a.45 0 b.1200 Giải. 2 2 , cos 450 = , tan 450=1, cot 450 = 1 2 2. Hình Học 10. Lop3.net. 900. - 22 -. Gv : Nguy n Công Nh t.
<span class='text_page_counter'>(12)</span> b. Sin 1200 =. 3 1 3 , cos 1200 = - , tan1200 = - 3 , cot1200= 2 2 3. Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức A = Cos 200 + cos 800+ cos 1000+ cos1600 Giải A = Cos 200+ cos 800 + (-cos 800) + ( - cos 200). =0 C. BÀI TẬP: Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A=( 2sin 300 + cos 135 0 – 3 tan 1500)( cos 1800 -cot 600) B= sin2900 + cos 21200- cos200- tan2600+ cot21350 Bài 2:Đơn gianû các biểu thức: a) A= Sin 1000 + sin 800+ cos 160 + cos 1640 b) B= 2 Sin (1800- ) cot - cos(1800- ) tan cot(1800- ) . (Với 00< <900) Bài 3: a) Chứng minh rằng sin2x +cos2x = 1 ( 00 x 1800) b)Tính sinx khi cosx =. e) Chứng minh rằng 1 + cot2 x =. 2 3 1 2. cos x 1 2. sin x. ( Với x 900 ) ( Với 00 < x < 18000 ). Bài 4:Tính giá trị biểu thức: A = cos 00 + cos100 + cos200 + . . . . . . + cos 1700 B= cos21200 - sin21500 +2 tan1350 Bài 5: Cho tam giác ABC , Chứng minh rằng a) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC b) cos(A + C) + cos B = 0 c) tan( A – C) + tan( B + 2C) = 0 Bài 6: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G . Tính góc giữa a). . b) AB vaø BC. c) GB vaø GC. b). AG vaø BC GA vaø AC. d) BÀI TẬP ÁP DỤNG 1/ Cho = 1350. Tính sin, cos, tan và cot. HD: sin1350 = sin(1800450)= sin450. Hình Học 10. 1 , tính P = 3sin 2 x + 4cos2 x. Kết quả: 2 1 a) Cho góc nhọn mà sin= .Tính cos và tan. 4 1 b) Cho góc mà cos= . Tính sin, tan,và cot. 3 c) Cho tanx= 2 2 . Tính cotx, sinx và cosx. 1 d) Cho cot = . Tính tan, sin và cos. 2. 6/ Biết cosx= 7/. 5. d) Chứng minh rằng 1 + tan2 x =. . C ) sinA= sin(1800300) HD: vì A 180 0 ( B 3/ Tính giá trị các biểu thức sau: A= asin0o + bcos 0o + c sin 90o ; B= acos90o + bsin 90o + c sin180o; C= a2 sin90o + b2cos 90o + c.cos18Oo; 4/Tính giá trị của biểu thức sau : A= 3 sin2 90o + 2cos2 90o 3tan2 45o; B= 4 a2 sin2 90o 3(a.tan245o )2+ 2a.cos45o. 5/ Tính giá trị các biểu thức sau: A= sinx + cosx khi x = 0o, 45o , 60o. B= 2sinx+ cos2x khi x = 60o , 45o, 30o. C= sin2 x + cos2 x khi x = 30o, 45, 30o ,60o,90o,145o.. 3. c) Tính sinx.cosx neáu sinx – cosx =. AB vaø AC . C =150. Hãy tính các giá trị lượng giác của góc A. 2/ Cho tam giác cân ABC có B. - 23 -. 8/ Chứng minh các hằng đẳng thức : a) ( sin + cos)2 = 1 + 2sin.cos b) ( sin cos)2 = 1 2sin.cos c) sin4x cos4 x = 2sin2 x 1 c) sin4x + cos4 x = 1 - sin2x cos2 x d) sinx.cosx( 1+ tanx )( 1 + cotx ) = 1+ 2sinx.cosx. 9/ Đơn giản các biểu thức: A = cosy + siny . tany; Đáp số: A=1/cosy B=. 1 cos b . 1 cos b. C = sina C=. Đáp số: B= sinb (vì sinb>0). 1 tan 2 a 0. sina tana |cosa | tana 0. Đáp số: 0. 0 a<90. 900 <a 1800. D= sin100 +sin80 +cos160+cos1640 10/ Tính a) cos2120+cos2 78o+ cos2 10+cos2 78o. Gv : Nguy n Công Nh t. 0. Hình Học 10. Lop3.net. - 24 -. Đáp số: a) 2; b= 2. Gv : Nguy n Công Nh t.
<span class='text_page_counter'>(13)</span> b) sin2 3o+sin215o+ sin275o+ sin287o . 11/ Đơn giản các biểu thức: A = sin( 90o x ) cos( 180o x ) B = cos( 90o x ) sin ( 180o x ) Bài 7 : Biết rằng sin15o =. 6. 4. 2. 2. Đáp số: A=cos x Đáp số: B= sin2x. Bài 9 : Cho sin =. 2 21 với 900< <1800 .Tính cos ,tan ,cot .Kq2 cos = 5 5. Bài 10 : Cho biết a) sin =. Tính các tỉ số lượng giác của góc 15o.. 2 cot α tan α , tính A = 3 cot α tan α. b) tan = -2 , tính B =. BÀI TẬP SỐ 1 Bài 1 : Tính các hàm số lượng giác (sin ,cos ,tan ,cot ) của các góc sau. a. = -1500 b. = 1350 0 d. = -45 e. = -1800. Bài 2 : Tính giá trị biểu thức. c. = -600. c) tan =3 , tính d) cos =. 1 A = 2sin6 -cos4 + tan( +450)+2cos6 , với = 450 . Kq2 A = 0. 2 7 3 B = 3sin600-2cos300+3tan600-4cot900 Kq2 B = 2 1 C = 3-sin900 +2cos2600-3tan2450 Kq2 C = 2 D=. ( sin 530 cos 530 ) cot 340 sin 370 0 0 ( cot 37 1 ) tan 56. E=. ( tan1260 cot 360 ) cos 540 cos1440. Kq2 D = 0. - 25 -. cos sin cos sin . Kq2 C =. tan cot 2 , tính D = 3 tan cot . tan 2cot 4 2 3 Kq2 E = 2 cos . cos 2 sin cos sin 2 . Kq2 F = 20. Kq2 A = cos2 Kq2 B = cot2a. 1 cos sin sin 1 cos . Kq2 C = 0. D = sin4x + cos4x + 2sin2xcos2 x-1. Kq2 D = 0. tan x tan y cot x cot y F = (sin +cos )2-1-2sin cos . Kq2 E = tanxtany. E=. 0. 0. 0. 0. G = cos10 + cos20 + cos30 +…+ cos170 + cos180 H=. 1 7. Kq2 D =. Bài 11 : Rút gọn các biểu thức sau A =(1+cos )cot2 (1-cos ) B = cos2a +cos2acot2a C=. 1 3. 2 sin 2 3 sin cos cos 2 . f) cot = 5 , tính F =. Kq2 E = -2. 1 9. Kq2 B = . sin 2 5 cos 2 . C=. e) sin = 2 1 và 00< <900, tính E =. 1 2 2 Bài 3 : Cho sin = với 00< <900 .Tính cos ,tan ,cot . Kq2 cos = 3 3 8 15 Bài 4 : Cho cos = với 900< <1800 . Tính sin ,tan ,cot . Kq2 sin = 17 17 1 Bài 5 : cho tan = 2 3 . Tính sin ,cos ,cot ; Kq2 cos = ( 3 1) 2 1 Bài 6 : Cho cot = 2 2 với 00 < <900 . tính sin ,cos ,tan . Kq2 sin = 3 3 4 Bài 7 : Cho sin = . Tính cos ,tan ,cot . Kq2 cos = 5 5 2 6 2 Bài 8 : Cho cos = ( 3 1) . Tính sin ,tan ,cot . Kq2 sin = 4 4 Hình Học 10. Kq2 A =. 0. Kq2 F = 0 Kq2 G = -1. cos(900 ) cot( 900 ) sin(1800 ) cot(1800 ) 0 cot(90 ). Kq2 H = -1 I = cos200 + cos400 +…+ cos1600 + cos1800 Kq2 I = -1 0 0 J = sin(90 - ) + sin(180 - )-cos +sin Kq2 J = 2sin 0 0 0 K = 2sin -3cos(90 - )+tan90 - )+2cot(180 - )+2sin -3cot Kq2 K = sin -4cot 2 0 2 0 2 0 2 L = sin 10 +sin 20 +sin 30 +…+sin 700+sin2800+sin2900 Kq2 L = 5. Gv : Nguy n Công Nh t. Hình Học 10. Lop3.net. - 26 -. Gv : Nguy n Công Nh t.
<span class='text_page_counter'>(14)</span> M = cos2 150+cos2250 + cos2 450 + cos2650+cos2 750. Kq2 M =. 5 2. Bài 12 : Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau 1)sin6 + cos6 = 1 - 3sin2 cos2 3)tan2 - sin2 = tan2 sin2 . 1 sin cos cos 1 sin 2 tan sin 2 4) tan 6 2 2 cot cos 2). 2 sin 2 cos2 1 1 1 sin 2 6) tan 2 cot 2 1 cos2 cos2 sin 2 1 cos x 1 cos x 2 7) (00 < x < 900) 1 cos x 1 cos x sin x sin x 1 cos x 2 cos 2 x sin 2 x sin 4 x 8) cot 4 x 9) 1 cos x sin x sin x sin 2 x cos 2 x cos4 x cos a 1 1 sin 2 a 10) 11) tan a 1 2 tan 2 a 1 sin a cos a 1 sin 2 a 1 cos (1 cos )2 tan a cot 2 a 1 1 2cot 12) . 1 13) 2 sin 1 tan 2 a cot a sin 2 2 sin cos 14) 1 sin cos 1 cot 1 tan tan x sin x 1 15) 3 cos x(1 cos x) sin x. 1 1 cos x cos x cos x 2 1 sin x 1 sin x 2 2 19) sin x (1 cot x) cos x(1 tan x) sin x cos x 18). cos 1 1 = cot 00 < <900 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 21) 2cot 00< <900 1 cos 1 cos 1 sin 1 sin 22) 2 tan 900< <1800 1 sin 1 sin 20). 5). sin x cos x 1 cot 2 x cos x sin x cos x sin x 1 cot 2 x sin x cos x 17)1+ tanx + tan2 x + tan3x = cos3 x 16). 23)sin3x(1+cotx)+cos3x(1+tanx) = sinx+cosx 24). 1 4 sin 2 x. cos2 x 1 2 sin x.cos x 2 (sin x cos x). 25) sin 2 x cos 2 x cos 4 x tg 4 x. cos 2 x sin 2 x sin 4 x Bài 13 : Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc (độc lập với x ). A = cos6x+2sin6x+sin4 xcos2 x+4sin2 xcos2x-sin2x. B=. 1 1 tan 2 x. sin 2 (1800 x ) cos(900 x) sin x tan 2 (900 x) 1 . C = sin(900-x)+cos(1800-x)+sin2x+sin2xtan2x-tan2 (1800-x) D=. sin 3x cos 3x sin 3x cos 3x sin x cos x sin x cos x. BÀI TẬP SỐ 2 Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A=( 2sin 300 + cos 135 0 – 3 tan 1500)( cos 1800 -cot 600) B= sin2900 + cos 21200 - cos200- tan2600+ cot21350 Bài 2: Đơn gian các biểu thức: a) A= Sin 1000 + sin 800+ cos 160 + cos 1640 b) B= 2 Sin (1800- ) cot - cos(1800 - ) tan cot(1800- ) . (Với 00< <900). Bài 3 : a) Chứng minh rằng sin2x +cos2 x = 1 ( 00 x 1800) b)Tính sinx khi cosx =. 3 5. c) Tính sinx.cosx nếu sinx – cosx =. Hình Học 10. - 27 -. 1 sin 2 x. Gv : Nguy n Công Nh t. Hình Học 10. Lop3.net. - 28 -. 2 3. Gv : Nguy n Công Nh t.
<span class='text_page_counter'>(15)</span> d) Chứng minh rằng 1 + tan2 x = e) Chứng minh rằng 1 + cot2 x =. 1 2. cos x 1 2. sin x. . . . . . c/ sin. A BC = cos 2 2. . . P M/(O) = MO2 – R2 = MA.MB. Nếu M ở ngoài đường tròn (O,R), MT là tiếp tuyến thì Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Cho a = (x, y) , b = (x', y') ; M(xM , yM), N(xN, yN); ta coù. . a) AB và AC b) AB và BC c) AG và BC d) GB và GC e) Bài 7: Cho ABC. Chứng minh rằng : a/ sinA = sin(B + C) b/ cosA = cos(B + C). Phương tích của điểm M, đối với đường tròn (O,R): kí hiệu: P M/(O). ( Với 00 < x < 18000 ). Bài 4 : Tính giá trị biểu thức: A = cos 00 + cos100 + cos200 + . . . . . . + cos 1700 B= cos21200 - sin21500 +2 tan1350 Bài 5: Cho tam giác ABC , Chứng minh rằng d) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC e) cos(A + C) + cos B = 0 f) tan( A – C) + tan( B + 2C) = 0 Bài 6: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G . Tính góc giữa. . Cho đường tròn (O,R) và một điểm M cố định, Một đường thẳng thay đổi, luôn đi qua điểm M cắt đường tròn (O,R) tại A, B. ( Với x 900 ). GA. a . b = x.x' + y.y' | a | = x2 + y2 xx'+ yy' Cos ( a , b ) = 2 x + y 2 . x'2 + y '2 a b xx' + yy' = 0 MN = | MN | = ( xM xN ) 2 ( yM yN ) 2. và AC. AB C = cos 2 2 ABC d/ sin = cosC 2 b/ sin. B. CÁC VÍ DỤ: Ví duï 1: Cho a = (1, 2), b = (-1, m). b) Tính độ dài a , b ; tìm m để | a | = | b |. §2: TÍCH VÔ HƯỚNG 2 VECTO B. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:. Kyù hieäu ( a ; b ) Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì góc ( a ; b ) tùy ý . P M/(O) = MT2. a) Tìm m để a , b vuông góc. . . Cho OA = a và OB = b . Khi đó góc AOB là góc giũa 2 vectơ a và b. Giaûi 1 a) a b -1 + 2m = 0 m = 2 b) | a | = 1 + 4 = 5 | b | = 1+ m2 |a | = |b | 5 = 1 + m2 m = ± 2. Neáu ( a ; b ) = 900 ta kyù hieäu a b. a.b = a b cos(a, b). . . Bình phương vô hướng a 2 = a 2 .. Các quy tắc: Cho a b c ; k R. a .b = b.a a . b = 0 <=> a b (k a , b = k ( a b ). ( Tính giao hoán). Ví dụ 2: cho đều ABC cạnh a và trọng tâm G; tính. AB. AC; AC . CB ; AG . AB; GB . GC ; BG . G A ; GA. BC Giaûi 1 AB. AC = a.a cos 600 = a2 2. a ( b c ) = a b a c (Tính chất phân phối đối với phép cộng và trừ ) Phương tích của một điểm đối với một đường tròn: Hình Học 10. - 29 -. Gv : Nguy n Công Nh t. Hình Học 10. Lop3.net. - 30 -. Gv : Nguy n Công Nh t.
<span class='text_page_counter'>(16)</span> . 1 ; -5) và b =( k ; -4). Tìm k để: 2 a) a cuøng phöông b b) a vuoâng goùc b c) a = b Bài 5: Cho a =(-2; 3) ; b =( 4 ; 1) a)Tính cosin góc hợp bởi a và b ; a và i ; a và j ; a + b và a - b b)Tìm soá m vaø n sao cho m a +n b vuoâng goùc a + b c)Tìm d bieát a . d = 4 vaø b . d = -2. 1 2 a 2 a 3 1 a cos 30 0 = a 2 AG . AB = 3 2 a2 a 3a 3 GB GC = cos 120 0 = 6 3 3 2 a 3a 3 a cos60 0 = BG G A = 3 3 6 GA BC =0 vì GA BC AC . CB = a.a cos 1200 = -. Bài 4: Cho a =(. Ví dụ 3: Trong Mp oxy cho 2 ñieåm M(-2;2),N(4,1) a)Tìm trên trục ox điểm P cách đều 2 điểm M,N b)Tính cos cuûa goùc MON. Giải a) p ox => P( xp,0). MP = NP <=> MP2 = NP2 <=> (xp +2)2 + 22 = ( xp -2)2 + 12 Vaäy P (. 3 ,0) 4. b) OM = (-2,2), ON = (4,1) Cos MON = cos( OM , ON )=. - 2.4 + 2.1 3 =8. 17 34. C.BÀI TẬP: Bài 1: Cho tam giác ABC với A ( 1; 1) ; B(2;3) ; C(5; -1). a) Chứng minh rằng tam giác vuông b) Xác định tâm đương tròn ngoại tiếp c) Tính diện tích tam giác và diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài 2: Cho A (-1 ; -1) vaø B (5; 6) a) Tìm M x’Ox để tam giác ABM cân tại M b) Tìm N y’Oy để tam giác ABN vuông tại N c) Xác định H,K để ABHK là hình bình hành nhận J(1;4) làm tâm. . . f) Xác định I x’Ox để IA + IB + IN đạt giá trị nhỏ nhất Bài 3: Cho A(-2;1) vaø B(4;5) a) Tìm M x’Ox để tam giác ABM vuông tại M b) Tìm C để OACB là hình bình hành - 31 -. b)Gọi G , H , I là trọng tâm , trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.. . . . Tính G, H , I vaø CMR GH +2 GI = 0 Bài 7: Cho tam giaùc ABC coù A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2) a) Chứng minh rằng A ; B ; C không thẳng hàng b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành c) Tìm điểm M trục x’Ox để tam giác ABM vuông tại B d) Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì ? e)Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC Bài 8: Cho ABC coù AB=7, AC=5, AÂ = 1200 a) Tính AB. AC, AB. BC b) Tính độ dài trung tuyến AM (M là trung điểm BC) Bài 9: Cho 4 điểm bất kỳ A,B,C.D: chứng minh rằng:. DA BC + DB CA + DC AB=0 Từ đó suy ra một cách chứng minh định lý “3 đường cao của một tam giác đồng quy” Bài 10: Cho ABC coù 3 trung tuyeán AD, BE,CF; CMR:. . d) Xaùc ñònh C thoûa 3 AC - 4 BC = 2 AB e) Tìm G sao cho O laø troïng taâm tam giaùc ABG. Hình Học 10. Bài 6: Cho tam giác ABC với A ( -4; 1) ; B(2;4) ; C(2; -2). a)Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì . Tính dieän tích tam giaùc. BC AD + CA BE + AB CF =0 Bài 11a : Cho ABC coù AC= b, AB= c, goùc BAC = vaø AD laø phaân giaùc cuûa goùc BAC ( D thuoäc caïnh BC) a) Haõy bieåu thò AD qua AB, AC b) Tính độ dài đoạn AD. Bài 11b :) Cho 2 điểm M,N nằm trên đường tròn đường kính AB= 2 R, AM ¿ BN =I. Gv : Nguy n Công Nh t. Hình Học 10. Lop3.net. - 32 -. Gv : Nguy n Công Nh t.
<span class='text_page_counter'>(17)</span> a) Chứng minh: AM AI = AB AI. BN BI = BA BI. b) Tính AM AI + BN BI theo R Bài 12: Cho đoạn AB cố định, AB= 2a, k IR, Tìm tập hợp điểm M sao cho: a) MA MB = k b) MA2 - MB2 = k2 Bài 13: Từ điển M ở ngoài đt (0) vẽ các tuyến MAB với đt (0) (A,B (0) ; 2 tiếp tuyến tại A,B của đường tròn (0) cắt nhau tại I, IO AB tại D; đường thẳng qua I và vuông góc với MO tại H và lần lượt cắt AB tại C; cắt đường tròn (0) tại E, F Chứng minh : a. MA.MB = MC.MD b. OF2 = OH.OM c. IE.IF = IC.IH d. PM/(ICD) + PI/(MCH) = IM2 ( (ICD), (MCH) : đường tròn ngoại tiếp: : ICD, MCH) Bài 14:. Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M chứng minh rằng 4 điểm. Bài 18:. Cho 4 điểm A (-8,0) B(0,4), C(2,0) D (-3,-5) chứng minh 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn Bài 19:. Biết A(1,-1), B (3,0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD; tìm toạ độ các ñænh C vaø D. Bài 20: Cho M cố định ngoài dường tròn (O,R) ,vẽ cát tuyến MAB và 2 tiếp tuyến CT và CT’. Gọi D là giao điểm của TT’ và AB. H và I lần lượt là trung điểm của cuûa TT’ vaø AB a) CMR : MA . MB = MO MH = MI MD b) Cho AB = 8 cm. Gọi (C1) là đường tròn tâm A, bán kính = 4 cm, (C2) là đường tròn tâm B, bán kính = 3cm. Tìm tập hợp N thoả P N/(C1) + P N/(C2) = 15 Bài 21: Cho (O;7), ñieåm I thoûa OI =11. Qua I veõ 2 caùt tuyeán IAB vaø ICD Cho IA = 12, tính IB Cho CD = 1; tính IC ; ID Bài 22: Ñieåm I naèm trong (O;R), qua I veõ 2 daây AB vaø CD. Tính IC ; ID a) IA = 12 ; IB = 16 ; CD = 32. A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi MA.MB = MC.MD ¨. b) IA =12 ; IB = 18 ;. ¨. Bài 15:. Cho a = (-2, 3), b = (4,1) a. Tim côsin của góc giữa mỗi cặp vectơ sau : ¨. ¨. ¨. ¨. ¨. ¨. ¨. Bài 23: Cho (O;20) OM = 30, veõ tieáp tuyeán MT vaø caùt tuyeán MAB . Cho AB = 5 a) Tính MT ; MA ; MB b) Đường tròn ngoại tiếp AOB cắt MO tại E. Tính OE Bài 24: Cho (O;30); I ở ngoài đường tròn , vẽ 2 cát tuyến IAB và ICD ; tiếp tuyến IT. Đường thẳng IO cắt đường tròn tại E và F . Cho IA = 54 ; IB = 96; IC = 64. Tính ID ; IT ; IO ; IE ; IF Bài 25: Cho tam giác ABC có 3 đường cao AA’ ; BB’ ; CC’ đồng quy tại H. ¨. * a vaø b , a vaø i , a + b vaø a - b ¨. ¨. ¨. b. Tìm caùc soá k vaø l sao cho c = k a + l b c. Tìm vectô d bieát. a.d 4 b.d 2. ¨. ¨. Vuông góc với a + b. Bài 16:. Cho hai điểm A (-3,2) B(4,3) tìm toạ độ của a. Ñieåm M ox sao cho MAB vuoâng taïi M b. Ñieåm N oy sao cho NA = NB c. Ñieåm K oy sao cho3 ñieåm A,K,B thaúng haøng d. Ñieåm C sao cho ABC vuoâng caân taïi C Bài 17:. Cho 3 ñieåm A (-1,1) B(3,1), C(2,4) a. Tính chu vi vaø dieän tích ABC b. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên BC; tìm toạ độ A’ c. Tìm toạ độ trực tâm H, trọng tâm G, và tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC; từ đó chứng minh 3 điểm I,H,G thẳng hàng.. Hình Học 10. - 33 -. IC 3 ID 8. CMR : HA.HA ' = HB . HB ' = HC . HC ' Bài 26:Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. M là 1 điểm trên cạnh AB kéo dài. Qua M lần lượt vẽ 2 tiếp tuyến MT, MT’, 2 cát tuyến MCD, MC’D’ đối với (O) và (O’) CMR MT = MT’ vaø CDD’C’ noäi tieáp Bài 27: Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Trên đường tròn tâm C, bán kính CA lấy điểm M ( không ở trên đường BC kéo dài). CMR đường thẳng CM tiếp xúc với (BHM) Bài 28: tam giác ABC nội tiếp trong (O), M là trung điểm BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOM cắt đường thẳng BC tại 1 điểm thứ 2 là E và cắt (O) tại D. AD cắt BC tại F.Chứng minh rằng:. Gv : Nguy n Công Nh t. Hình Học 10. Lop3.net. - 34 -. Gv : Nguy n Công Nh t.
<span class='text_page_counter'>(18)</span> a) FB . FC = FE . FM b) EB. EC = EF .EM c) EA tiếp xúc với (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác AMF Bài 29: Cho P nằm ngoài (O), vẽ cát tuyến PAB lưu động,tiếp tuyến với (O) vẽ từ A và B cắt nhau M. Vẽ MH vuông góc với OP. a) CMR : 5 điểm O , A , B, M , H ở trên 1 đường tròn b) Tìm tập hợp M khi PAB quay quanh P c)Goïi I laø trung ñieåm AB, N laø giao ñieåm cuûa PAB vaø MH . CMR. PA.PB = PI .PN Bài 30: Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Trên đường thẳng AB lấy 1 điểm M ở ngoài (O) sao cho MA =. Bài 34 : Cho đường tròn tâm O đường kính BC = 4; A ngoài (O), AB = 6 ; AC = 5. AC , AB caét (O) taïi D vaø E a)Tính AO , AE , AD b)Qua A veõ AH BC vaø caét (O) taïi F ; K. Laáy M (O). Goïi BMAH = I ; CMAH = J Chứng minh rằng IF .IK = IH .IJ Bài 35: Cho 2 đường tròn (O;10) ; (O’;20) tiếp xúc ngoài tại A. Tiếp tuyến chung BB’ caét OO’ taïi I vaø caét tieáp tuyeán chung qua A taïi M a)Tính IO ; IO’ ; IB ; IB’ b)CMR: IA2 = IB.IB’. Suy ra OO’ tiếp xúc đường tròn đường kính BB’ c)CMR : IM2 = IO.IO’. Suy ra BB’ tiếp xúc đường tròn đường kính OO’. 3R . Từ M vẽ tiếp tuyến MT 2. a)Tính MT theo R b) Gọi TH là đường cao trong TMO. Chứng minh rằng : MH .MO = MA.MB c) Tính H/(O) d)Vẽ cát tuyến MCD, CMR tứ giác CDOH nội tiếp e) AD vaø BC caét nhau taïi N. CMR : AN . AD + BN . BC = 4R2 Bài 31: Trên đoạn AB = 8, vẽ (A,4) và (B,3). Tìm tập hợp M thỏa M/(A) +M/(B) = 15 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . M, N là 2 điểm cùng phía trên tiếp tuyến kẻ từ B. AM và AN cắt (O) tại M1 và N1. a)CMR tứ giác MNN1M1 nội tiếp b)Giả sử AB = BN = 10; BM = 5. Tính AM ; AM1 ; AN1 ; sin M1AN1, M1N1 Bài 32: M là 1 diểm trên nửa đường tròn đường kính AB . H là hình chiếu của M xuống AB . Đường tròn đườg kính MH cắt MA ; MB tại P,Q và cắt nửa đường tròn taïi E a) CMR tứ giác APQB nội tiếp b) CMR 3 đường AB ; PQ ; ME đồng quy Bài 33: Cho 3 điểm A ; B ; C thẳng hàng theo thứ tự. AB = 5 ; BC = 7. Đường tròn di động qua A , B có tâm là O. Vẽ 2 tiếp tuyến CT ; CT’. Gọi D là giao điểm TT’ với AB. Gọi H; I lần lượt là trung điểm của đọan TT’, AB a) Tìm tập hợp T; T’ b) CMR : CA.CB = CO .CH = CI .CD c) CMR : Điểm D cố định. Suy ra tập hợp H. Hình Học 10. - 35 -. Gv : Nguy n Công Nh t. Hình Học 10. Lop3.net. - 36 -. Gv : Nguy n Công Nh t.
<span class='text_page_counter'>(19)</span> §3 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Caùc kyù hieäu trong ABC Độ dài : BC = a, CA = b, AB = c ma, mb, mc : độ dài trung tuyến ứng với đỉnh A,B,C ha, hb, hc : Độ dài đường cao ứng với đỉnh A,B,C. . . a+ b+c P= : nữa chu vi ABC 2. b. S = c. S =. 2 1 2. a.ha =. 1 2. b.hb =. b.c. sinA =. 1 2. 1 2. 129 2. 6 - 2 . Tính 3 goùc. 3) b=8; c=5; goùc A = 600. Tính S , R , r , ha , ma 4) a=21; b= 17;c =10.Tính S, R , r , ha , ma. A. 5) A = 600; hc =. Công thức tính diện tích. 1. 2b 2 + 2c 2 - a 2 129 = ma = 4 4. 2) a= 2 3 ; b= 2 2 ; c=. Ñònh lyù sin :. a. S =. ma2 =. C.BÀI TẬP: Bài 1: Cho tam giaùc ABC 1) a=5 ; b = 6 ; c = 7. Tính S, ha, hb , hc . R, r. S : dieän tích tam giaùc R,r : bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp . Ñònh lyù Coâsin : a2 = b2 + c2 - 2bc cos A. a b c = = = 2R sin A sin B sin c 2 b 2 + 2c2 - a 2 2 Công thức trung tuyến : m a = 4. abc abc 7 3 R= = 4R 4S 3 S S = p.r r = = 3 p S=. 3 ; R = 5 . tính a , b, c. 6) A=1200;B =450 ;R =2. tính 3 caïnh. c.hc. c. c.a. sinB =. 1 2. b ha. 7) a = 4 , b = 3 , c = 2. Tính SABC, suy ra SAIC ( I trung ñieåm AB). ma. a.b. sinC. 8) Cho goùc A nhoïn, b = 2m 2 ,c = m , S = m2. Tính a . la a. B. abc 4R. C. 9) C = 3 , b = 4 ; S = 3 3 . Tính a 10) Neáu A = 900. CMR:. d. S = p.r e. S = p(p - a) (p - h)(p - c) ( Công thức Hê – rông) B.VÍ DỤ: Cho ABC coù a = 7, b = 8, c = 5; tính : AÂ, S, ha, R, r, ma Giaûi : a2 = b2 + c2 - 2bc cosA 49 = 64 + 25 - 2.8.5 cos AÂ Cos A = ½ AÂ = 600 . S = ½ b.c.sinA = ½ 8.5.. . S = ½ a.ha ha =. Hình Học 10. *. la =. (b c )sin *.. 3 = 10 3 2. *.r =. A 2. 1 (b c b 2 c 2 ) 2. 1 1 1 1 r ha hb hc. *. M BC; goùc BAM = . CMR: AM =. 2S 20 3 = a 7. - 37 -. bc sin A. 11) Cho A=1200. CMR :. 1 la. Gv : Nguy n Công Nh t. Hình Học 10. Lop3.net. . bc b.cos c.sin . 1 1 b c. - 38 -. Gv : Nguy n Công Nh t.
<span class='text_page_counter'>(20)</span> 12) CMR : *. cotA + cotB + cotC =. *.. 2 2 2 a b c R abc. 23) Cho b + c = 2a . Chứng minh rằng. ha. 16) acosB = bcosA. Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì 17) mb2 +mc2 = 5ma2 . Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì. sin A 2.cos C . Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì sin B. 19) Cho AB = k . Tìm tập hợp M thỏa MA2 + MB2 =. 5k 2 2. 20) Gọi G là trọng tâm tam giác . Chứng minh rằng *.GA2 + GB2 + GC2 = 1/3 (a2+ b2+ c2). 3 2 2 2 (a +b +c ) 4. *. 4ma2= b2 + c2 + 2bc.cosA 21) CMR. S =2R2sinA.sinB.sinC S=Rr(sinA + sinB + sinC). 1 hc. 2. 25) Đường tròn nội tiếp tiếp xúc 3 cạnh tam gíac tại A1;B1;C1. CMR: SA1B1C1 =. pr 2R. 26) 2 trung tuyến BM = 6, CN = 9 và hợp với nhau 1 góc 1200 tính các cạnh của ABC. a)CMR SABCD =. 1 AC.BD.sin 2. b)Vẽ hình bình hành ABDC’. Chứng minh rằng : SABCD = SACC’ Bài 3: Cho tứ giác ABCD có I, J lần lượt là trung điểm của 2 đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng : AB2 + BC2 +CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4 IJ2 BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông ở A, có đường cao AH. Tính AH; CH; BH; BC nếu biết AB = 3; AC = 4. Bài 2 : Cho hình thang ABCD với đường cao AB. Biết rằng AD = 3a; BC = 4a; góc BDC = 900. Tính AB; CD; AC. Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại C, CD là đường cao, DA = 9; DB = 16.. Tính CD ; AC ; BC. Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4, AH là đường cao (H BC). Gọi I là điểm thuộc AB sao cho AI = 2BI, CI cắt AH tại E. Tính CE . Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A ,. AB 2 . Đường cao AH = 6. AC 3. Tính HB ; HC ; AB ; AC. Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao , BH = 1, AC = AB ; BC ; AH. Bài 7 : Cho tam giác ABC. Tính ha , R , r nếu biết : a)AC = 8 ; AB = 5 ; góc A = 600. b)BC = 21 ; CA = 17 ; AB = 8 .. 2 5.. Tính. ha = 2RsinBsinC. 6 ; b = 2 ; c = 3 + 1. e)a = 7 ; b = 5 ; c = 8 . f)a = 2 3 ; b = 2 2 ; c = 6 2 . g)a = 4 17 ; b= 6 ; c = 8 .. sinB.cosC +sinC.cosB = sinA. Bài 8 : Cho tam giác ABC có a = 5, b = 6, c = 3. Trên đoạn AB,BC lần lượt lấy các điểm M, K sao cho BM = 2, BK = 2. Tính MK.. a =b.cosC + c.cosB. Hình Học 10. hb. . Bài 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi là góc hợp bởi 2 đường chéo AC và BD.. . Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì. *. ma2 +mb2 +mc2 =. 1. = 1200. 1 15) S = (a + b – c)(a + c - b). Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì 4. 18). . 24) Định x để x2+x+1 ; 2x+1 ;x2 -1 là 3 cạnh tam giác. Khi đó CMR tam giác có góc. tanA a 2 c 2 b 2 tanB b 2 c 2 a 2. b3 c 3 a3 a2 13) b c a . Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì a 2b.cos C 14) S = p(p – c). 2. - 39 -. c)BC = 2 ; AC = 3 ; AB = 4 .. Gv : Nguy n Công Nh t. Hình Học 10. Lop3.net. d)a =. - 40 -. Gv : Nguy n Công Nh t.
<span class='text_page_counter'>(21)</span>
