Toán học - Chuyên đề 1: Tọa độ phẳng

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ 1. TỌA ĐỘ PHẲNG Trong các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng thường gặp các yêu cầu như tìm tọa độ một điểm, một vectơ, tính độ dài một đoạn thẳng, số đo góc giữa hai vectơ, quan hệ cùng phương hoặc vuông góc giữa hai vectơ, 3 điểm thẳng hàng. Ta vận dụng các kiến thức cơ bản sau đây: G G Cho a = ( a1 , a 2 ) , b = ( b1 , b2 ) ta coù:. G G a= b ⇔. ⎧a1 = b1 ⎨ ⎩a 2 = b2. G G a + b = ( a1 + b1 , a 2 + b2 ) G G a – b = ( a1 - b1 , a 2 - b2 ) G k a = (k a1 , k a 2 ) (k ∈ R) G G α a + β b = ( α a1 + β b1 , α a 2 + β b2 ) G G a . b = a1 b1 + a 2 b2 . Với các quan hệ về độ dài ta có:. G a = ( a1 , a 2 ) ⎧⎪ A ( x A , y A ) ⇒ ⎨ ⎪⎩B ( x B , y B ) vaø. ⇒. G a =. a12 + a 22. JJJG AB = ( xB – x A , y B – y A ). AB =. ( xB. - xA ). 2. +. ( yB. - yA ). 2. . Với quan hệ cùng phương hoặc vuông góc ta có: G G a ⊥ b ⇔ a1 b1 + a 2 b2 = 0 G G G G a cuøng phöông b ⇔ sin( a, b) = 0 ⇔ a1 b2 – a 2 b1 = 0 ⇔ A, B, C thaúng haøng. a1 a = 2 ( b1 , b2 ≠ 0) b1 b2 JJJG JJJG AB cuøng phöông AC ⇔. Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> xB - x A y B - y A. ⇔. xC - x A y C - y A. =0. . Với việc tìm góc của hai vectơ ta có: G G - Góc hình học tạo bởi hai vectơ a , b được suy từ công thức: GnG ab +a b cos( a, b ) = 1 1G G 2 2 a.b. (1). G G - Số đo góc định hướng của hai vectơ a , b ngoài (1) còn được suy thêm từ một trong hai công thức: ab - a b G G sin( a, b) = 1 2G G 2 1 a .b a b - a2 b1 G G tg( a, b) = 1 2 a1b1 + a2 b2 Ngoài ra trong các bài toán về tọa độ phẳng ta có thể áp dụng các kết quả sau đây: . M( x M , y M ) là trung điểm của đoạn thẳng AB. ⇔. xA ⎧ x = M ⎪⎪ ⎨ ⎪y = y A ⎪⎩ M. + xB 2 + yB 2. . G( x G , y G ) laø troïng taâm cuûa Δ ABC. ⇔. x A + x B + xC ⎧ ⎪⎪ x G = 3 ⎨ y + y B + yC ⎪y = A G ⎪⎩ 3. . I( x I , y I ) và J( x J , y J ) là chân đường phân giác trong và ngoài của góc A trong Δ ABC thì:. JJG JJJG IB JB AB JJG = − JJJG = − AC IC JC . Với A( x A , y A ), B( xB , y B ), C( xC , yC ) thì diện tích tam giác ABC là: S=. 1 Δ 2. với. Δ =. xB - x A y B - y A xC - x A y C - y A. Ví duï 1:. Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Trong maët phaúng Oxy cho ba ñieåm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2). a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua B. JJJJG G JJJJG JJJJG b) Tìm tọa độ điểm M để 2 AM + 3 BM - 4 CM = 0 c) Tìm tọa độ điểm E để ABCE là hình thang có một cạnh đáy là AB và E nằm Ox. d) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm I đường tròn ngoại tiếp Δ ABC. e) Chứng tỏ H, G, I thẳng hàng. Giaûi a) D là điểm đối xứng của A qua B ⇔. B laø trung ñieåm cuûa AD. ⇔. xA + xD ⎧ ⎪⎪x B = 2 ⎨ ⎪y = y A + y D ⎪⎩ B 2. ⎧⎪ x D = 2x B − x A = 2 ( 0 ) − 2 = − 2 hay D(–2, 7) ⎨ ⎪⎩ y D = 2y B − y A = 2 ( 3 ) + 1 = 7 JJJJG G JJJJG JJJJG b) Ta coù: 2 AM + 3 BM – 4 CM = 0 = ( 0, 0 ) ⇔. ⇔. ⎧⎪2 ( x M − 2 ) + 3 ( x M − 0 ) − 4 ( x M − 4 ) = 0 ⎨ ⎪⎩2 ( y M + 1) + 3 ( y M − 3 ) − 4 ( y M − 2 ) = 0. ⇔. ⎧x M = − 12 ⎨ ⎩y M = − 1. hay M(–12, –1). c) ABCE là hình thang có đáy AB và E nằm trên Ox. ⇔. ⎧⎪ y E = 0 ⎨ JJJG JJJG ⎪⎩CE // ΑΒ. ⇔. ⎧yE = 0 ⎪ ⎨ xE - 4 yE - 2 ⎪⎩ 0 - 2 = 3 + 1. ⇔. ⎧yE = 0 ⎨ ⎩ xE = 5. hay. E(5, 0). ⇔. JJJJG JJJG ⎧⎪ AH.BC = 0 ⎨ JJJJGJJJG ⎪⎩BH.AC = 0. d) H là trực tâm của Δ ABC ⇔. ⎧ AH ⊥ BC ⎨ ⎩BH ⊥ AC. Lop6.net. treân.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ⇔. ⎧⎪( x H − 2 )( 4 − 0 ) + ( y H + 1)( 2 − 3) = 0 ⎨ ⎪⎩( x H − 0 )( 4 − 2 ) + ( y H − 3)( 2 + 1) = 0. ⇔. 18 ⎧ x = H ⎪⎪ 7 ⎨ 9 ⎪y = ⎪⎩ H 7. ⎧4 xH − y H − 9 = 0 ⇔ ⎨ ⎩2 xH + 3y H − 9 = 0. ⎛ 18 9 ⎞ hay H ⎜ , ⎟ ⎝ 7 7⎠. G laø troïng taâm Δ ABC ta coù: x A + x B + xC 2 + 0 + 4 ⎧ = =2 ⎪⎪ x G = 3 3 ⎨ ⎪ y = y A + y B + y C = −1 + 3 + 2 = 4 ⎪⎩ G 3 3 3. ⎛ 4⎞ hay G ⎜ 2, ⎟ ⎝ 3⎠. + I là tâm đường tròn ngoại tiếp Δ ABC 2 2 ⎪⎧IA = IB ⎨ 2 2 ⎪⎩IA = IC. ⇔. IA = IB = IC. ⇔. ⎧⎪( 2 − x I )2 + ( −1 − y I )2 = ( 0 − x I )2 + ( 3 − y I )2 ⎨ 2 2 2 2 ⎪⎩( 2 − x I ) + ( −1 − y I ) = ( 4 − x I ) + ( 2 − y I ). ⇔. ⎧−4x I + 8y I − 4 = 0 ⎨ ⎩4 xI + 6 y I − 15 = 0. ⇔. 24 12 ⎧ ⎪⎪ x I = 14 = 7 ⎨ ⎪ y = 19 ⎪⎩ I 14. ⇔. hay. ⎛ 12 19 ⎞ I⎜ , ⎟ ⎝ 7 14 ⎠. JJJJG ⎛ 4 1 ⎞ JJJG ⎛ 6 1 ⎞ e) Ta coù : HG = ⎜ − , ⎟ vaø HI = ⎜ − , ⎟ ⎝ 7 21 ⎠ ⎝ 7 14 ⎠. ⇒. 4 1 7 = 21 = 2 6 1 3 − 7 14 JJJJG JJJG HG cùng phương với HI. ⇒. H, I, G thaúng haøng.. ⇒. −. Ví duï 2: Trong maët phaúng Oxy cho A(2, 2 3 ), B(1, 3 3 ), C (-1,. Lop6.net. 3 ) . Tính.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> JJJG JJJG cos ( AO , AB ) vaø dieän tích tam giaùc ABC.. Ta coù:. Giaûi JJJG JJJG AO = (–2, –2 3 ), AB = (–1,. JJJG JJJG cos( AO , AB ) =. 3 ) = ( a1;a2 ). 2−6 1 = − 2 4 + 12 . 1 + 3. JJJG AC = (–3, – 3 ) = = ( b1; b2 ) ⇒ S ABC =. 1 1 a1b2 − a2 b1 = ( −1 )( − 3 ) − 3 ( −3 ) = 2 3 2 2. ***. Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>