Bai giảng chuyen đề PP Tọa độ - Bồi dưỡng HSG

Chuyên đề bồi dưỡng HSG
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
TRONG GIẢI TỐN ĐẠI SỐ, GIẢI
TÍCH VÀ HÌNH HỌC


Phương pháp cơ bản:
Giải tốn hình học








1/ Tạo ra quan hệ vng góc
2/ Lựa chọn hệ trục toạ độ phù hợp
3/ Biểu diễn các yếu tố trong giả thiết
theo toạ độ của hệ trục toạ độ
4/ Liên kết các vấn đề cần giải quyết
với hệ thống kiến thức đã biết
5/ Thực hiện tính tốn để có kết quả


Loại I: Các bài tốn định tính
I


Bài 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là
điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng

vng góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy đỉêm S
a 6
sao cho SD =
. CMR: mp(SAB) ⊥ mp(SAC).
2



Hướng dẫn: Chọn hệ trục toạ độ Dxyz với A∈Dx
và B, C đối xứng qua Dx. Ta chứng minh các
VTPT của 2 mp vng góc với nhau.




Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
đều cạnh a. SA = SB = SC. Khoảng cách từ S đến
mp(ABC) bằng h. Tìm ĐK của a và h để 2 mp (SAB)
và (SAC) vng góc với nhau.



Hướng dẫn: Gọi O là trọng tâm tam giác ABC. Chọn
hệ trục toạ độ Oxyz với BC//Ox, A∈Oy. Từ ĐK
vuông góc của 2 VTPT, suy ra
a =h

6

Bài 3:










Cho hhcn ABCD.A’B’C’D’ có 3 kích thước là AB = a, AD
= b, AA’ = c ( với 0điểm AB, C’D’. Các điểm M,N thoả mãn:
AM = k AD, BN = k BB' với 0≤k≤1.
a/ Tính khoảng cách từ A đến mp(A’BD)
b/ Cmr M,N,I,J đồng phẳng và tìm giá trị của k để
MN⊥IJ.
c/ Xác định tâm và bán kính mc(S) ngoại tiếp tứ diện
ABDA’ và xđ tâm H của đường tròn là giao của mc(S)
với mp(A’BD).
Hướng dẫn: Chọn hệ trục toạ độ Axyz


Bài 4:






Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC
đơi một vng góc với nhau và OA = OB =
OC = a. Kí hiệu K, M, N lần lượt là trung
điểm các cạnh AB, BC, CA. Gọi E là điểm
đối xứng của O qua K và I là giao điểm của
CE với mp(OMN).
a/ Xác định điểm I
b/ Cm OI vng góc với MN
c/ Tính diện tích tứ giác OMIN.


Bài 5:






Trong mp(P) cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các
đường thẳng vng góc với (P) tại B và C lần lượt lấy
các điểm D, E nằm về cùng một phía đối với (P) sao cho
a 3
, CE = a 3
2
a/ Tính độ dài các cạnh AD, AE, DE.
BD =

b/ Xác định tâm và bán kính mc ngoại tiếp tứ diện
ABCE.

c/ Gọi M là giao điểm của các đường thẳng ED và BC.
CMR đường thẳng AM vng góc với mp(ACE). Tính số
đo góc giữa 2 mp(ADE) và (ABC).


Loại 2: Các bài toán cực trị
2
 Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có SA = CA = AB =

a

2

SA⊥(ABC). Tam giác ABC vuông tại A, các điểm M∈SA,
N∈BC sao cho AM = CN = t, ( 0 < t < 2a ).
a/ Tính độ dài đoạn thẳng MN
b/ Tìm t để MN là ngắn nhất và tính độ dài đó.
Hướng dẫn: Chọn hệ trục toạ độ Cxyz sao cho S thuộc tia
Cz, A thuộc tia Cy và D thuộc tia Cx, với D là đỉnh thứ tư
của hcn ABCD. Xác định toạ độ các đỉnh và các điểm M, N
và áp dụng các cơng thức tính


Bài 2:
 Cho 2 nửa mp (P) và (Q) vuông góc với nhau theo

giao tuyến (d). Trên (d) lấy đoạn AB = a. Trên nửa
đường thẳng At vng góc với (d) và ở trong (P) lấy
điểm M với AM = b. Trên nửa đường thẳng Bs vng
góc với (d) và ở trong (Q) lấy điểm N sao cho BN =

a2/b.
 1/ Tính khoảng cách từ A đến mp(BMN) theo a và b.
 2/ Tính MN theo a, b. Với b bằng bao nhiêu thì MN
có độ dài ngắn nhất và tính độ dài đó.


Bài 3:
 Cho tứ diện S.ABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông.
 a/ Chứng minh rằng √3 SABC≥ SSAB +SSBC +SSAC
 b/ Biết SA = a, SB + SC = k >0. Đặt SB = x. Xác định SB

và SC để thể tích tứ diện là lớn nhất.
 Hướng dẫn: Chọn hệ trục toạ độ Sxyz sao cho A thuộc

tia Sx, B thuộc SY và C thuộc Sz.


Bài 4:
 Cho góc tam diện vng Oxyz, N là điểm cố định nằm

trong góc tam diện, mp(P) qua N cắt Ox, Oy, Oz lần
lượt tại A, B, C. Gọi khoảng cách từ N đến các
mp(OBC), (OCA), (OAB) là a, b, c > 0.
 a/ Tính OA, OB, OC để thể tích tứ diện OABC đạt giá
trị nhỏ nhất.
 b/ Tính OA, OB, OC để OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ
nhất.
 Hướng dẫn: Chọn hệ trục toạ độ và viết pt mp(P):

α(x−a)+β(y−b)+γ(z−c)=0 với α, β, γ > 0.

 Xác định toạ độ các đỉnh và áp dụng BĐT Cô si


GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ:

Một số bài tập về PT và BPT sử dụng PPTĐ


Bài 1: Giải phương trình:

x x +1 + 3 − x = 2 x2 +1
Hướng dẫn giải: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Xét các vectơ

u = ( x;1) , v =

(

x + 1; 3 − x

)

Vế trái là tích vơ hướng của 2 vectơ, vế phải là tích các
độ dài của 2 vectơ đó. Nên Cosin của góc giữa 2 vectơ
bằng 1


Bài 2:


Giải phương trình:



Hướng dẫn giải:

x 2 − 4 x + 5 − x 2 − 10 x + 50 = 5

Viết phương trình thành

( x − 2) 2 + 12 − ( x − 5) 2 + 52

=5

Xét 3 điểm A(2;1), B(5;5), M(x;0).Ta được:/MA – MB/≤AB
Suy ra A, B, M thẳng hàng và M không thuộc đoạn AB.
Do A,B cùng phía đ/với Ox và M∈Ox, Nên M = AB ∩ Ox.
Do đó hồnh độ M là nghiệm của phương trình.


Bài 3:


Biện luận theo m số
nghiệm của phương trình :



Hướng dẫn giải: Xét 2
hàm số:
Biện luận vị trí tương đối

của đường tròn và đường
thẳng, ta được số nghiệm.



1 x2 = x − m

y = 1− x2 & y = x − m


Bài 4: Tìm m để hệ bất phương trình sau cã nghiÖm duy nhÊt

( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 ≤ m

( x + 1) 2 + ( y − 1) 2 ≤ m

Hướng dẫn giải: Xét 2 hình trịn băng nhau (T1):
(x-1)2 +(y+1)2 =m; m ≥ 0. Có tâm I1( 1; -1) và (T2):
(x+1)2 + (y-1)2 = m có tâm I2(-1; 1).
Suy ra hệ có nghiệm duy nhất  (T1) tiếp xúc (T2)
 T1T2 = 2m


Bài 5: Giải hệ phương trình

n +1
 1 + x1 + 1 + x2 + ... + 1 + xn = n

n


 1 − x + 1 − x + ... + 1 − x = n n + 1
1
2
n

n


(

)

Hướng dẫn: Xét các vectơ ai = 1 + xi ; 1 − xi ; i = 1,2,..., n
Ta có: ai = 2 ⇒

n

∑a
i =1

i

=n 2


Mà:
n
 n

∑ ai =  ∑ 1 + xi ; ∑ 1 − xi 

i =1
i =1
 i =1

n

⇒

n

n

Do vậy:

2

2


 

ai =  ∑ 1 + xi  +  ∑ 1 − xi  = n 2
∑
i =1
 i =1
  i =1

n

∑a

i =1

i

n

n

= ∑ ai = n 2
i =1

Suy ra các vectơ là cùng chiều và cùng độ dài. Vậy:

1
x1 = x2 = ... = xn =
n


Một số bài toán về BĐT và GTLN, GTNN


Bài 1: Tìm GTNN của hàm số:
y = x 2 − 2 px + 2 p 2 + x 2 − 2qx + 2q 2
p < 0, q > 0

Hướng dẫn: Xét 3 điểm M( x; 0), P(p; p) và Q(q; q)
Bài 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

y=

x
x + 4 1−
2


(

) (

Hướng dẫn: Xét 2 vectơ a = 1;2 2 , b =

)

x ; 2 − x ;0 ≤ x ≤ 2

Bài 3: Tìm GTNN của

y = x + 1 5 + 5 x 2 − 14 x + 13
Bài 4: Cho 4 số thực a,b,c,d thoả mãn a2 + b2=c2 + d2 = 5
Chứng minh rằng:

3 30
5 − 2a − 4b + 10 − 2c − 4d + 10 − 2ac − 2bd ≤
2


Hướng dẫn:

Viết thành:

( a − 1) 2 + ( b − 2) 2 + ( c − 1) 2 ( d − 2) 2 + ( a − c ) 2 + ( b − d ) 2 ≤ 3

15

Xét đường tròn x2+y2=5, 3 điểm M(a; b),N(c; d) và P(1; 2)
Suy ra 3 điểm M, N, P thuộc đường tròn và
MP + NP + MN ≤ 3 15
Chu vi tam giác đều nội tiếp đường tròn là

3 15