Toán học - Chuyên đề 9: Phương pháp tọa độ trong không gian

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ 9 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Các bài toán về tọa độ trong không gian thường có các yêu cầu xác định tọa độ của điểm, vectơ, độ dài đoạn thẳng, tính góc 2 vectơ, các vấn đề về mặt phẳng và đường thẳng trong không gian (phương trình, vị trí tương đối, song song, vuông góc, số đo góc, khoảng cách,… ). Tùy theo từng trường hợp ta cần lưu ý vận dụng các kiến thức cơ bản sau đây : I. Toạ độ điểm. Toạ độ vectơ Trong không gian tọa độ vuông góc Oxyz có 3 vectơ đơn vị trên ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là G G G e1 , e2 , e3 . JJJJG G G G * Cho M(x, y, z) thì OM = x. e1 + y. e2 + z. e3 . G G G G G * Cho a = (a1, a2, a3) thì a = a1. e1 + a2. e2 + a3. e3 . II. Các phép toán trên tọa độ điểm, vectơ 1. Các phép toán trên tọa độ điểm. JJJG Cho hai điểm A(x1, y1, z1) và B(x2, y2, z2). Ta có nhóm công thức tính tọa độ vectơ AB , khoảng cách giữa hai điểm A, B và tọa độ điểm M là chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1 JJJG * AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) JJJG 2 2 2 * AB = ( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) + ( z2 − z1 ). *. (. x=. x1 − kx 2 y − ky 2 z − kz2 ,y= 1 ,z= 1 1− k 1− k 1− k. ). 2. Các phép toán trên tọa độ vectơ G G Cho hai vectơ a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3). Với α và β là 2 số thực ta có các công thức tính và công thức quan hệ sau : a) Công thức tính toán G G α . a + β . b = ( α .a1 + β .b1, α .a2 + β .b2, α .a 3 + β .b 3 ) G G a . b = a1.b1 + a2.b2 + a 3 .b 3. ( )=. GnG cos a, b. a1 .b1 + a 2 .b2 + a 3 .b3 a12 + a 2 2 + a 32 . b12 + b2 2 + b32. b) Công thức quan hệ. 1 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ⎧a1 = b1 G G ⎪ a = b ⇔ ⎨a 2 = b 2 ⎪a = b 3 ⎩ 3 G G a cuøng phöông b ⇔. (. a a1 a = 2 = 3 b3 b1 b2. ). (b1, b2, b 3 ≠ 0). G G a ⊥ b ⇔ a1.b1 + a2.b2 + a 3 .b 3 = 0 Chuù yù : Góc hai đường thẳng chéo nhau trong không gian là góc nhọn tạo bởi hai vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó. MAËT PHAÚNG I. Phöông trình maët phaúng. G 1.* Phöông trình tham soá cuûa maët phaúng α qua M(x0, y0, z0) coù caëp vectô chæ phöông a = (a1, G a2, a 3 ), b = (b1, b2, b 3 ) vieát laø : ⎧ x = x0 + t1a1 + t 2 b1 ⎪ ⎨ y = y 0 + t1a 2 + t 2 b2 ⎪z = z + t a + t b 0 1 3 2 3 ⎩. t1, t2 ∈ R. 2.* Phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng α laø : Ax + By + Cz + D = 0với A2 + B2 + C2 > 0 G Maët phaúng α coù : phaùp vectô : n = (A, B, C) 3.* Phương trình mặt phẳng qua M(x0, y0, z0) và vuông góc với vectơ G n = (A, B, C) vieát laø : (x – x0)A + (y – y0)B + (z – z0)C = 0 4.* Phöông trình maët phaúng qua M(x0, y0, z0) vaø nhaän 2 vectô chæ phöông G G a = (a1, a2, a 3 ), b = (b1, b2, b 3 ) vieát laø. a2. a3. b2. b3. ( x − x0 ) +. a3. a1. b3. b1. ( y − y0 ) +. a1 a2 b1. b2. ( z − z0 ) = 0 .. 5.* Phương trình mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c) với a.b.c ≠ 0 viết là : x y z + + =1 a b c. II. Toán trên mặt phẳng 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Khoảng cách từ M(x0, y0, z0) đến 2 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> α : Ax + By + Cz + D = 0 laø : MH =. Ax 0 + By 0 + Cz0 + D A 2 + B2 + C2. 2. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng G Cho hai mặt phẳng α , β có 2 pháp vectơ lần lượt là n = (A, B, C), G n1 = (A1, B1, C1) G G Vị trí giữa hai mặt phẳng α , β là vị trí giữa 2 pháp vectơ n , n1 :. α ⊥β. G G ⇔ n // n1 G G ⇔ n ⊥ n1. α caét β. G G ⇔ n khaùc phöông n1. α // β. ĐƯỜNG THẲNG I. Phương trình đường thẳng 1.* Phương trình tham số của đường thẳng Δ qua G M(x0, y0, z0) coù vectô chæ phöông a = (a1, a2, a 3 ) vieát laø. ⎧ x = x0 + ta1 ⎪ ⎨ y = y0 + ta2 ,t ∈ R (Heä I). ⎪ z = z + ta 0 3 ⎩ Neáu a1.a2.a3 ≠ 0 ta coù phöông trình chính taéc laø:. x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 2.* Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ xác định bởi giao tuyến 2 mặt phẳng α và β vieát laø :. ⎧ Ax + By + Cz + D = 0 ⎨ ⎩ A1x + B1y + C1z + D1 = 0. (α) (β). (II). Ghi chuù: Cho phương trình đường thẳng Δ xác định bởi hệ (II). Để viết thành phương trình tham số của đường thẳng ta có thể đặt z = t và tính x, y theo t từ hệ (II) và nhờ hệ (I) ta có được vectơ chỉ phương và điểm của Δ (hoặc x = t, hoặc y = t, nên chọn lựa ẩn phụ t để phép tính hai biến còn lại theo t được đơn giản). 3.*Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) : ⎧ A1x + B1y + C1z + D1 = 0 ⎨ ⎩ A 2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0. 3 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Có dạng : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (*) với m, n không đồng thời baèng 0. Phương trình (*) gọi là phương trình của chùm mặt phẳng xác định bởi đường thẳng (d). Chuù yù :Neáu m= 0 thì n khaùc 0, chia hai veá cuûa (*) cho n ta coù (*) thaønh A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Neáu m khaùc 0 chia hai veá cuûa (*) cho m ta coù: A1x + B1y + C1z + D1 + h (A2x + B2y + C2z + D2) = 0 với h =. n . m. Vậy chùm mặt phẳng chứa đường thẳng (d) có dạng: A1x + B1y + C1z + D1 + h (A2x + B2y + C2z + D2) = 0. hay A2x + B2y + C2z + D2 = 0. Vấn đề 1 TÌM PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG ¾ Phöông phaùp : Thông thường ta có 3 cách sau : - Caùch 1 : Tìm moät ñieåm vaø moät caëp vectô chæ phöông cuûa maët phaúng. - Caùch 2 : Tìm moät ñieåm vaø moät phaùp vectô cuûa maët phaúng. - Caùch 3 : Duøng phöông trình chuøm maët phaúng. Vấn đề 2 : TÌM PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ¾ Phöông phaùp : Thông thường ta có 2 cách sau : - Cách 1 : Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng. - Cách 2 : Tìm phương trình tổng quát của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng cần tìm. - Ghi chú : Trong 2 cách, thực chất của việc tìm phương trình đường thẳng là tìm phương trình 2 mặt phẳng cùng chứa đường thẳng ấy. Cái khó là phải xác định được 2 mặt phẳng phân biệt nào cùng chứa đường thẳng cần tìm. Thông thường ta hay gặp 3 giả thuyết sau : + Đường thẳng (Δ) đi qua điểm A và cắt đường thẳng d : Khi đó đường thẳng (Δ) nằm trong mặt phẳng đi qua A và chứa d. + Đường thẳng (Δ) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d : Khi đó đường thẳng (Δ) nằm trong mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. + Đường thẳng (Δ) song song với d1 và cắt d2 : Khi đó đường thẳng (Δ) nằm trong mặt phẳng chứa d2 và song song với d1. Chaúng haïn : 1. Lập phương trình đường thẳng (Δ) đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng a và cắt đường thẳng aáy. ª Caùch giaûi : - (Δ) đi qua A và vuông góc với d nên (Δ) nằm trong mặt phẳng α đi qua A và vuông góc với d. - (Δ) đi qua A và cắt d nên (Δ) nằm trong mặt phẳng β đi qua A và chứa d. Khi đó (Δ) chính là giao tuyeán cuûa α vaø β. 2. Lập phương trình đường thẳng (Δ) đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. ª Caùch giaûi : - (Δ) đi qua A và cắt d1 nên (Δ) nằm trong mặt phẳng α đi qua A và chứa d1. 4 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> - (Δ) đi qua A và cắt d2 nên (Δ) nằm trong mặt phẳng β đi qua A và chứa d2. Khi đó (Δ) chính là giao tuyến của α và β. 3. Lập phương trình đường thẳng (Δ) đi qua giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng α, vuông góc với d và nằm trong α. ª Caùch giaûi : - Từ giả thuyết ta đã có (Δ) ⊂ α. - (Δ) qua A và vuông góc với d nên (Δ) nằm trong mặt phẳng β đi qua A và vuông góc với d. Khi đó (Δ) chính là giao tuyến của α và β. 4. Lập phương trình đường thẳng (Δ) song song với đường thẳng (D) và cắt 2 đường thẳng d1 và d2. ª Caùch giaûi : - (Δ) song song với (D) và cắt d1 nên (Δ) nằm trong mặt phẳng α chứa d1 và song song với (D). - (Δ) song song với (D) và cắt d2 nên (Δ) nằm trong mặt phẳng β chứa d2 và song song với (D). Khi đó (Δ) chính là giao tuyến của α và β.. Vấn đề 3 HÌNH CHIEÁU Bài toán 1 : Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đường thẳng (d) ¾ Phöông phaùp : A (d). H. - Cách 1 : (d) cho bởi phương trình tham số : + H ∈ (d) suy ra dạng tọa độ của điểm H phụ thuộc vào tham số t. →. →. + Tìm tham số t nhờ điều kiện AH ⊥ a d - Cách 2 : (d) cho bởi phương trình chính tắc, gọi H(x, y, z) →. →. + AH ⊥ a d (*) + H ∈ (d) : Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm được x, y, z. - Cách 3 : (d) cho bởi phương trình tổng quát : + Tìm phương trình mặt phẳng α đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d). + Giao ñieåm cuûa (d) vaø (α) chính laø hình chieáu H cuûa A treân (d). Bài toán 2 : Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên mặt phẳng (α) - Caùch 1 : Goïi H(x, y, z) + H ∈ α (*) →. →. + AH cùng phương với n α : Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm được x, y, z. - Caùch 2 : + Tìm phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (α). + Giao ñieåm cuûa (d) vaø (α) chính laø hình chieáu H cuûa A treân maët phaúng (α).. 5 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bài toán 3 : Tìm hình chiếu vuông góc (Δ) của đường thẳng (d) xuống mặt phẳng α. - Tìm phương trình mặt phẳng β chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng α. - Hình chieáu (Δ) cuûa d xuoáng maët phaúng α chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β. Bài toán 4 : Tìm hình chiếu H của A theo phương đường thẳng (d) lên mặt phẳng (α). ¾ Phöông phaùp : - Tìm phương trình đường thẳng (Δ) đi qua A và song song với (d). - Hình chieáu H chính laø giao ñieåm cuûa (Δ) vaø (α). Bài toán 5 : Tìm hình chiếu (Δ) của đường thẳng (d) theo phương của đường thẳng (D) lên mặt phaúng (α). (Δ) (d) ¾ Phöông phaùp : A (D). d. H. (Δ). - Tìm phương trình mặt phẳng (β) chứa (d) và song song với (D) - Hình chieáu (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa (α) vaø (β) Vấn đề4 ĐỐI XỨNG Bài toán 1 : Tìm điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d. ¾ Phöông phaùp : - Tìm hình chieáu H cuûa A treân d. - H laø trung ñieåm AA’. Bài toán 2 : Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α. ¾ Phöông phaùp : - Tìm hình chieáu H cuûa A treân α. - H laø trung ñieåm AA’. Bài toán 3 : Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua đường thẳng (Δ) ¾ Phöông phaùp : (D) - Trường hợp 1 : (Δ) và (D) cắt nhau : A. M. (Δ). A’. d. + Tìm giao ñieåm M cuûa (D) vaø (Δ). + Tìm một điểm A trên (D) khác với điểm M. + Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (Δ) + d chính là đường thẳng đi qua 2 điểm A’ và M. 6 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> - Trường hợp 2 : (Δ) và (D) song song : + Tìm moät ñieåm A treân (D) + Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (Δ) + d chính là đường thẳng qua A’ và song song với (Δ) - Trường hợp 3 : (Δ) và (D) chéo nhau : + Tìm 2 ñieåm phaân bieät A, B treân (D) + Tìm điểm A’, B’ lần lượt là điểm đối xứng của A, B qua (Δ) + d chính là đường thẳng đi qua 2 điểm A’, B’. Bài toán 4 : Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua mặt phẳng α. ¾ Phöông phaùp : - Trường hợp 1 : (D) cắt α + Tìm giao ñieåm M cuûa (D) vaø (α) + Tìm moät ñieåm A treân (D) + Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α . + d chính là đường thẳng đi qua hai điểm A’ và M . - Trường hợp 2 : (D) song song với α.. (D). d. A. A’. - Tìm moät ñieåm A treân (D) - Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α. - d chính là đường thẳng qua A’ và song song với (D) Vấn đề 5 KHOẢNG CÁCH Bài toán 1 : Tính khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng α : Ax + By + Cz + D = 0 ¾ Phöông phaùp : d(M, α ) =. Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A 2 + B2 + C 2. Bài toán 2 : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (Δ) ¾ Phöông phaùp : - Tìm hình chieáu H cuûa M treân (Δ) - Khoảng cách từ M đến (Δ) chính là độ dài đoạn MH. Bài toán 3 : Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song d1 và d2. ¾ Phöông phaùp : 7 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> - Tìm moät ñieåm A treân d1. - Khoảng cách giữa d1 và d2 chính là khoảng cách từ điểm A đến d2. Bài toán 4 : Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song α : Ax + By + Cz + D1 = 0 Vaø β : Ax + By + Cz + D2 = 0 ¾ Phöông phaùp : Khoảng cách giữa α và β được cho bởi công thức : d(α, β) =. D1 − D2 2. A + B2 + C 2. Bài toán 5 : Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d1 và d2 ¾ Phöông phaùp : - Caùch 1 : + Tìm phương trình mặt phẳng α chứa d1 và song song với d2. + Tìm moät ñieåm A treân d2. + Khi đó d(d1, d2) = d(A, α) - Caùch 2 : + Tìm phương trình mặt phẳng α chứa d1 và song song với d2. + Tìm phương trình mặt phẳng β chứa d2 và song song với d1. + Khi đó d(d1, d2) = d(α, β) Ghi chuù : Mặt phẳng α và β chính là 2 mặt phẳng song song với nhau và lần lượt chứa d1 và d2. - Caùch 3 : + Viết dưới dạng phương trình tham số theo t. + Viết d2 dưới dạng phương trình tham số theo t2. + Xem A ∈ d1 ⇒ dạng tọa độ A theo t1. + Xem B ∈ d2 ⇒ dạng tọa độ B theo t2. + Tìm vectô chæ phöông. → →. a1, a2. lần lượt của d1 và d2.. ⎧ → → ⎪ AB ⊥ a + AB là đoạn vuông góc chung d1, d2. ⇔ ⎨ → →1 tìm được t1 và t2 ⎪ AB ⊥ a 2 ⎩. + Khi đó d(d1, d2) = AB Vấn đề 6 GOÙC Cho 2 đường thẳng d và d’ có phương trình : d:. x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c. d’ :. x − x0 y − y0 z − z0 = = a' b' c'. Cho 2 maët phaúng α vaø β coù phöông trình : α : Ax + By + Cz + D = 0 β : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 1. Góc giữa hai đường thẳng d và d’ : cos ϕ =. aa'+ bb'+ cc' a 2 + b 2 + c 2 a' 2 + b ' 2 + c ' 2. 2. Góc giữa hai mặt phẳng α và β :. 8 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> cos ϕ =. AA'+ BB'+ CC' A 2 + B2 + C 2 A' 2 + B' 2 + C' 2. 3. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng α : sin ϕ =. Aa + Bb + Cc A 2 + B2 + C 2 a 2 + b 2 + c 2. Chuù yù : - d ⊥ d’ ⇔ aa’ + bb’ + cc’ = 0 -α⊥β ⇔ AA’ + BB’ + CC’ = 0 - d song song (hoặc nằm trên) mặt phẳng α ⇔ aA + bB + cC = 0 Vấn đề 7 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG Cho hai maët phaúng α vaø β coù phöông trình : α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 β : A2x + B2y + C2z + D2 = 0 →. →. Gọi n1 = (A1, B1, C1 ), n 2 = (A 2 , B2 , C 2 ) lần lượt là pháp vectơ của 2 mặt phẳng trên và M là một điểm treân maët phaúng α. →. →. - α caét β. ⇔ n1 vaø n 2 khoâng cuøng phöông.. - α song song β. ⎧ ⇔ ⎪⎨ n1 vaø n 2 cuøng phöông. - α truøng β. ⇔. →. →. ⎪⎩ M ∉β → ⎧⎪ → n vaø n 2 cuøng phöông ⎨ 1 ⎩⎪ M ∈β. Neáu A2, B2, C2, D2 ≠ 0 thì ta coù caùch khaùc : - α caét β ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 - α song song β. ⇔. A1 B1 C1 D1 = = ≠ A 2 B2 C 2 D2. - α truøng β. ⇔. A1 B1 C1 D1 = = = A 2 B2 C 2 D2. Vấn đề 8 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG - Cách 1 : Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2. + Heä coù moät nghieäm duy nhaát : d1 caét d2. + Heä coù voâ soá nghieäm : d1 vaø d2 truøng nhau. + Heä voâ nghieäm : →. →. →. →. a d1 vaø a d 2 a d1 vaø a d 2. cuøng phöông : d1 // d2. khoâng cuøng phöông : d1 vaø d2 cheùo nhau.. - Caùch 2 : →. →. + Tìm vectô chæ phöông a d1 , a d2 cuûa d1 vaø d2. + Tìm ñieåm A ∈ d1 vaø B ∈ d2. →. →. a) a d1 vaø a d 2 cuøng phöông. A ∈ d 2 : d1 ≡ d 2 A ∉ d 2 : d1 / / d 2. 9 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> →. →. b) a d1 vaø a d 2 khoâng cuøng phöông ta coù: G G JJJG i) neáu ⎡⎣ ad1 , ad2 ⎤⎦ . AB = 0 thì d1,d2 caét nhau. G G JJJG ii) neáu ⎡⎣ ad1 , ad2 ⎤⎦ . AB ≠ 0 thì d1,d2 cheùo nhau. Vấn đề 9 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VAØ MẶT PHẲNG - Caùch 1 : Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng α. + Heä voâ nghieäm : d // α. + Heä coù nghieäm duy nhaát : d caét α + Heä voâ soá nghieäm : d⊂α - Caùch 2 : →. →. Tìm vectô chæ phöông a cuûa d, phaùp vectô n cuûa α vaø tìm ñieåm A ∈ d. → →. →. → →. →. →. + a . n ≠ 0 ( a khoâng vuoâng goùc n ) : d caét α. →. + a. n = 0 ( a ⊥ n ). A ∉ α: d / / α A ∈ α: d ⊂ α. Ví duï 1: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (D). ⎧ x − 2z = 0 ⎨ ⎩3x − 2y + z − 3 = 0 và vuông góc với mặt phẳng (P) : x – 2y + z + 5 = 0 Giaûi Phöông trình tham soá cuûa (D) vieát ⎧ x = 2t ⎪ 7 3 ⎪ ⎨y = t − 2 2 ⎪ ⎪⎩z = t. Mặt phẳng (Q) chứa (D) và vuông góc (P) sẽ đi qua điểm. G 3 M ( 0, − , 0 ) ∈ (D) vaø coù caëp vectô chæ phöông laø a = 2 G n = (1, –2, 1) (phaùp vectô cuûa (P)).. (. 2,. ⎛ −2 1 1 −2 ⎞ 1 1 G ⎜ ⎟ Do đó, một pháp véctơ của ( Q) là n1 = 2 7 ; ; 7 ⎟= ⎜⎜ 1 1 2 2 ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2. = (– 11, 2, 15). 10 Lop6.net. 7 ,1 2. ). (vectô chæ phöông cuûa (D) vaø.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Vaäy phöông trình (Q) vieát –11x + 2 ( y +. 3 ) + 15z = 0 ⇔ 11x – 2y - 15 z – 3 = 0. 2. Caùch khaùc: Pt mặt phẳng (Q) chứa (D) và vuông góc (P) có dạng: x-2z = 0 (loại) hay m(x-2z) +3x -2y+z -3= 0. Vaäy pt (Q) coù daïng: (m+3)x –2y +(1 –2m)z – 3 = 0. (Q) vuông góc với (P) nên ta có: m + 3 + 4 + 1- 2 m= 0. ⇒ m = 8. Vaäy pt mp (Q) laø: 11x – 2y - 15 z – 3 = 0. Ví duï 2: Xác định các tham số m và n để mặt phẳng 5x + ny + 4z + m = 0 thuộc chùm mặt phẳng có phöông trình :. α (3x – 7y + z – 3) + β (x – 9y – 2z + 5) = 0 Giaûi Chuøm maët phaúng coù phöông trình. α (3x – 7y + z – 3) + β (x – 9y – 2z + 5) = 0 chứa đường thẳng (D) có phương trình :. ⎧3x − 7 y + z − 3 = 0 ⎨ ⎩ x − 9 y − 2z + 5 = 0 Để mặt phẳng (P) : 5x + ny + 4z + m = 0 thuộc chùm mặt phẳng trên thì (P) chứa (D) nghĩa là ⎛ 1 18 ⎞ ⎛ 31 9 ⎞ chứa 2 điểm A ⎜ , 0, ⎟ , B ⎜ , , 0 ⎟ ∈ (D). Điều kiện để (P) chứa A, B thì m, n thỏa hệ phương 7 ⎠ ⎝ 10 10 ⎠ ⎝7 trình : 18 ⎧5 ⎪⎪ 7 + 4. 7 + m = 0 ⎨ ⎪5. 31 + 9 .n + m = 0 ⎪⎩ 10 10. ⎧m = −11 ⇒ ⎨ ⎩n = −5. Ví dụ 3: ( ĐH KHỐI A-2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thaúng: ⎧x − 2 y + z − 4 = 0. Δ1 : ⎨ vaø Δ2 : ⎩x + 2 y − 2 z + 4 = 0. ⎧x = 1 + t ⎪ ⎨y = 2 + t ⎪z = 1 + 2 t ⎩. a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ1 và song song với đường thẳng Δ2.. 11 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> b) Cho điểm M (2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng Δ2 sao cho đoạn thẳng MH có độ daøi nhoû nhaát. BAØI GIAÛI: a) (P) chứa Δ1 và // Δ2 a Δ1 = (2, 3, 4); a Δ 2 = (1, 1, 2); Δ1 qua M (0, −2, 0). [. ]. Maët phaúng (P) coù pvt aΔ1 , aΔ 2 =(2, 0, −1) (P) : 2x – z = 0 b) M (2, 1, 4); H ∈ Δ2; MH min ⇔ MH ⊥ Δ2 C1 : Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và vuông góc với Δ2. Pt (Q) : x + y + 2z – 11 = 0; {H} = (Q) ∩ Δ2 ⇒ H (2, 3, 3) C2 : MH = (−1 + t, 1 + t, −3 + 2t), với H ∈ Δ2 Do MH . a Δ 2 = 0 ⇒ t = 1. Vaäy ñieåm H (2, 3, 3). Ví duï 4: ( ÑH KHOÁI B-2002) Cho hình laäp phöông ABCDA1B1C1D1 coù caïnh baèng a. a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D . b) Gọi M,N,P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1, CD,A1D1 .Tính góc giữa hai đường thaúng MP vaø C1N . BAØI GIAÛI: Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho ta có : A (0, 0, 0); A1 (0, 0, a); B (a, 0, 0); B1 (a, 0, a) C (a, a, 0); C1 (a, a, a); D (0, a, 0); D1 (0, a, a) Suy ra M (a, 0, a 2 ); N ( a 2 , a, 0); P (0, a 2 , a) a) A 1 B = (a, 0, −a) B1 D = (−a, a, −a) Goïi (P) laø mp qua B1D vaø (P) // A1B ⇒ (P) coù phaùp vectô n = (1, 2, 1) ⇒ Pt (P) : x + 2y + z – 2a = 0. ⇒ d (A1B, B1D) = d (B, (P)) = a. a. a 6. (− a. , 0, −a) b) MP = (−a, 2 , 2 ) . C1 N = 2 Ta coù : MP . C1 N = 0 ⇒ MP ⊥ C1N. Vậy góc giữa MP và C1N là 900. Ví dụ5 ( ĐH KHỐI D-2002): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2 = 0 và đường thẳng dm : ⎧(2 m + 1)x + (1 − m )y + m − 1 = 0 ⎨ ⎩mx + (2 m + 1)z + 4 m + 2 = 0. (m laø tham soá). Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P). BAØI GIAÛI: 1 vectô chæ phöông cuûa (dm) laø : 2 2 a = (−2m + m + 1, −(2m +1) , - m(1 – m)) 1 pvt cuûa (P) laø n = (2, −1, 0) ycbt ⇔ a . n = 0 ⇔ −4m2 + 2m + 2 + (4m2 + 4m + 1) = 0. ⇔ 6m + 3 = 0 ⇔ m = −. 1 2. 12 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Ví dụ 6 ( ĐH KHỐI A-2003): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) ( a > 0, b > 0). Goïi M laø trung ñieåm CC’. a. Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b. a b. Xaùc ñònh tyû soá để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau. b BAØI GIAÛI: A (0, 0, 0); B (a, 0, 0); C (a, a, 0); D (0, a, 0) b ) 2 JJJJG JJJG JJJJG b a) BD = (−a,a,0) ; BA ' = (−a,0, b) ; BM = (0,a, ) 2 JJJG JJJJG 2 ⇒ ⎡⎣ BD,BA'⎤⎦ = (ab,ab,a ). A’ (0, 0, b); C’ (a, a, b); M (a, a,. JJJG JJJJG JJJJG. 2. 2. 2. 1 1 ab 3a b a b ⇒ V= ⎡⎣BD,BA'⎤⎦ .BM = (a2 b + ) = = (ñvtt) 6 6 2 12 4 JJJG JJJJG JJG b) (A’BD) coù vectô phaùp tuyeán ⎡⎣ BD,BA'⎤⎦ = (ab,ab,a2 ) hay n = (b, b,a). (MBD) coù vectô phaùp tuyeán. JJJG JJJJG JJJG ⎡ BD,BM ⎤ = ( ab , ab , −a2 ) hay m = (b, b, −2a) ⎣ ⎦ 2 2 JJJG JJG Ta coù : (A’BD) ⊥ (MBD) ⇔ m . n = 0. ⇔ b2 + b2 – 2a2 = 0 ⇔ a = b (a, b > 0) ⇔. a =1 b. Ví duï 7 ( ÑH KHOÁI B-2003): Trong khoâ ng gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai điểm JJJG A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C sao cho AC = (0;6;0) . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. BAØI GIAÛI: A (2; 0; 0); B (0; 0; 8). ⎧x C = 2 JJJG ⎪ AC = (0; 6; 0) ⇔ ⎨y C = 6 ⇔ C (2; 6; 0). I trung ñieåm BC ⇒ I (1; 3; 4) ⎪z = 0 ⎩ C ⎧x = t ⎪ Pt tham soá OA : ⎨y = 0 ⎪z = 0 ⎩ JJJG (α) qua I ⊥ OA = (2; 0; 0) : 2(x – 1) = 0 ⇔ x – 1 = 0. Tọa độ {H} = OA ∩ (α) thỏa :. ⎧x = 1 ⎧ x = t,y = 0,z = 0 ⎪ ⇔ ⎨y = 0 . Vaäy H (1; 0; 0). ⎨ x − 1 = 0 ⎩ ⎪z = 0 ⎩. d(I, OA) = IH = (1 − 1)2 + (0 − 3)2 + (0 − 4)2 = 5. Ví dụ 8 ( ĐH KHỐI D-2003): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho đường ⎧ x + 3ky − z + 2 = 0 thaúng d k : ⎨ ⎩kx − y + z + 1 = 0 Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng (P): x – y – 2z + 5 =0JJG JJG BAØI GIAÛI: n1 = (1, 3k, −1); n 2 = (k, −1, 1) 13 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> JJG ad JJG nP. = (3k – 1, −k – 1, −1 – 3k2) = (1, −1, −2). dk ⊥ (P) ⇔. JJG ad. JJG nP. cuøng phöông. ⎧k = 1 3k − 1 − k − 1 −1 − 3k 2 ⎪ ⇔ ⇔ ⎨ = = 1 ⇔k=1 1 −1 −2 ⎪⎩ k = 1 ∨ k = − 3. Ví dụ9 ( ĐH KHỐI A-2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ). Gọi M là trung ñieåm cuûa caïnh SC. a) Tính góc và khoảng cách hai đường thẳng SA, BM. b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. BAØI GIAÛI: Caùch 1:. S N. M. C. H D. a). O. B. A GT ⇒ SO ⊥ (ABCD); SA = SC = 2 3 n Ta coù OM // SA ⇒ Goùc (SA, MB) laø OMB. n = OB ΔOBM coù tg OMB. OB ⊥ (SAC) ⇒ OB ⊥ OM n= ⇒ tgOMB. 1 3. OM. 0. n =30 ⇒ OMB. Veõ OH ⊥ SA ⇒ OH ⊥ OM vaø OH ⊥ OB ⇒ OH ⊥ (OMB) Vì SA // OM ⇒ SA // (OMB). ⇒ d (SA, MB) = d(H, (OMB)) = OH = b). 2 6 . 3. (ABM) ∩ SD = N ⇒ N laø trung ñieåm SD. VSBMN SM SN 1 1 1 = . = ⇒ VSMNB = VSBCD = VSABCD 4 8 VSBCD SC SD 4 1 Tương tự: VSABN = VSABCD 4 3 Vaäy: VSABMN = VSMNB + VSABN = VSABCD 8 3 1 1 1 = . . AC.BD.SO = .4.2.2 2 = 2 (ñvtt) 8 3 2 16. Ta coù:. Caùch 2: a) O laø trung ñieåm BD ⇒ D (0; −1; 0) O laø trung ñieåm AC ⇒ C (−2; 0; 0) M laø trung ñieåm SC ⇒ M (−1;0; 2). 14 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> JJJG JJJJG SA =(2; 0;- 2 2 ); BM = (−1; −1; 2). Gọi ϕ là góc nhọn tạo bởi SA và BM −2 + 0 − 4. cosϕ =. 4 + 8 1+1+ 2. =. 3 ⇒ ϕ = 300 2. Gọi (α) là mp chứa SA và // BM ⇒ PT (α) : 2x + z − 2 2 = 0 2 6 . 3 2x + 2 2y + 3z − 2 2 = 0. Ta coù d(SA, BM) = d(B, α) = b). Pt mp(ABM):. ⎧x = 0 ⎪ Pt tham soá SD: ⎨y = −1 + t (t ∈ R). ⎪ ⎩z = 2 2t. 1 2. N laø giao ñieåm cuûa SD vaø mp (ABM) ⇒ N (0; − ; 2) JJJG JJJG BS = (0; −1;2 2) ; BA = (2; −1;0) JJJG JJJJG 3 BN = (0; − ; 2) ; BM = (−1; −1; 2) 2 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG ⎡ BS,BN ⎤ = (2 2;0;0) ; ⎡ BS,BN ⎤ .BA = 4 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ JJJG JJJG JJJJG ⎡ BS.BN ⎤ .BM = −2 2 ⎣ ⎦ 1 1 VSABMN= VSABN + VSBNM = .4 2 + .2 2 = 2 (ñvtt) 6 6. Ví dụ 10 ( ĐH KHỐI D -2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1. Bieát A(a;0;0); B(−a;0;0); C (0; 1; 0); B1(−a; 0; b) a > 0, b > 0. a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B1C và AC1 theo a, b. b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thỏa mãn a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa 2 đường thẳng B1C và AC1 lớn nhất. BAØI GIAÛI: a) C1 (0; 1; b) Goï i (α) laø maët phaú ng chứa B1C và song song với AC1 JJJJG JJJJG B1C = (a;1; − b) ; C1A = (a; −1; − b) JJJJG JJJJG. Suy ra: ⎡⎣ B1C,C1A ⎤⎦ = (−2b;0; −2a) Suy ra ptrình (α): b(x − 0) + 0(y − 1) + a(z − 0) = 0 . ⇔ bx + az = 0. Ta coù: d=d(B1C, AC1)=d(A, α)=. ab 2. a +b. 2. ab. =. 2. a + b2. b) Caùch 1: Ta coù: d=. ab 2. a +b. 2. ≤. ab 2ab. =. ab 2. ≤. a+b 2 2. =. 4 2 2. = 2. ⎧a = b ⎪ Max d ⇔ d = 2 ⇔ ⎨a + b = 4 ⇔ a = b = 2 ⎪a > 0, b > 0 ⎩. 15 Lop6.net. ..

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Caùch 2: d =. ab 16 − 2ab ⎛a+b⎞. , ñaët x = ab, ñk 0 < x ≤ 4. 2. vì x = ab ≤ ⎜ ⎟ =4 ⎝ 2 ⎠ Xeùt f(x) =. x. 16 − 2x. f’(x) =. 16 − x (16 − 2x)3. > 0 ∀x ∈ (0; 4]. ⇒ d đạt max khi x = ab = 4 ⇒ a = b = 2 (vì a + b = 4) Ví dụ 11 ( ĐH KHỐI B-2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm ⎧ x = −3 + 2t ⎪ A (-4; -2; 4) và đường thẳng d : ⎨ y = 1 − t ⎪ z = −1 + 4t ⎩ Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d. BAØI GIAÛI: Caùch 1: A (−4; −2; 4) ⎧x = −3 + 2t ⎪ (d) : ⎨y = 1 − t ⎪z = −1 + 4t ⎩. LaáyJJJJ MG (−3+2t; 1 – t; −1 + 4t) ∈ (d) ⇒ AM = (1 + 2t; 3 – JJJJ t; −G5JJJJ +G4t) JJJG Ta có: AM ⊥ (d) ⇔ AM. ad = 0 (với ad =(2; −1; 4)). ⇔ 2 + 4t – 3 + t – 20 + 16t = 0 ⇔ 21t = 21 ⇔ t = 1.JJJJG Vậy đường thẳng cần tìm là đt AM qua A có VTCP AM =(3;2;−1). ⇒ phöông trình (Δ) :. x+4 y + 2 z − 4 = = . 3 2 −1. Cách 2: Gọi (α) là mp qua A chứ a d ,Goïi (β) laø mp qua A JJJG vaø ⊥ d ⇒ d qua B (−3; 1; −1); ad = (2; −1; 4) (α) qua A (−4; −2; 4) (α) coù 1 caëp VTCP : JJJG JJJJG ⎧⎪ ad = (2; −1;4) ⇒ n (α ) = (−7; 14; 7) = −7(1; −2; −1) ⎨ JJJG ⎪⎩AB = (1;3; −5). Pt mp (α) : x – 2y – z + 4 = 0 ⎧⎪(β ) qua A (-4; -2; 4). JJJJG JJJG ⎨ ⎪⎩(β ) ⊥ (d) → n ( β ) = ad = (2; −1;4) ⎧ x − 2y − z + 4 = 0 ⎩2x − y + 4z − 10 = 0. Pt (β) : 2x – y + 4z – 10 = 0 Pt (Δ) : ⎨. Ví dụ 12 ( ĐH KHỐI A-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng: d:. x −1 y + 3 z − 3 = = vaø maët phaúng (P) : 2x + y – 2z + 9 = 0 −1 2 1. a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2. b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P), biết Δ đi qua A và vuông góc với d. ⎧x = 1 − t ⎪ BAØI GIAÛI: a) Phöông trình tham soá cuûa d : ⎨y = −3 + 2t (t∈ R) ⎪z = 3 + t ⎩. 16 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> I ∈ d ⇔ I (1–t ; –3+2t ; 3+t) Ta coù : d (I, (P)) = 2 ⇔. | 2 − 2t − 3 + 2t − 6 − 2t + 9 | =2 4 +1+ 4. ⎡ t = −2 Suy ra : I (3 ; -7 ; 1) hay I (-3 ; 5 ; 7). ⎣t = 4. ⇔ | 1 − t |= 3 ⇔ ⎢. b) Thế phương trình d vào phương trình (P) ta được t = 1. Thế t = 1 vào phương trình d, ta được x = 0; y = -1; z = 4 Suy ra A (0; -1 ; 4) JG Vectô chæ phöông cuûa d : a = (−1;2;1) JG. Vectô phaùp tuyeán cuûa (P): n = (2;1; −2) G G. Suy ra vectô chæ phöông cuûa Δ : [a, n] = (−5; 0; − 5) hay (1; 0; 1) Maët khaùc Δ ñi qua A neân phöông trình tham soá cuûa Δ laø : ⎧x = t ' ⎪ (t’∈ R) ⎨ y = −1 ⎪z = 4 + t ' ⎩. Ví dụ 13 ( ĐH KHỐI B-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với. A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4). a) Tìm tọa độ các đỉnh A1, C1. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1). b) Gọi M là trung điểm của A1B1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC1. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N. Tính độ dài MN. BAØI GIAÛI: a) Hình chieáu cuûa A1 xuoáng mp (Oxy) laø A ⇒ A1(0; -3; 4) Hình chieáu cuûa C1 xuoáng mp (Oxy) laø C ⇒ C1(0; 3; 4) JJJG Caëp veùc tô chæ phöông cuûa (BCC1B1) laø : BC = (−4;3;0) JJJJG BB1 = (0;0;4) Suy ra veùc tô phaùp tuyeán cuûa (BCC1B1) laø : JJG JJG JJJG JJJJG n = ⎡⎣ BC, BB1 ⎤⎦ = (12; 16; 0) hay m = (3; 4; 0) Maët khaùc (BCC1B1) qua B neân coù phöông trình: 3(x – 4) + 4y + 0z = 0 ⇔ 3x + 4y – 12 = 0 Baùn kính maët caàu laø : 0 − 12 − 12 24 R = d (A, (BCC1B1)) = = 5 9 + 16 Suy ra phöông trình maët caàu laø : x2 + (y + 3)2 + z2 =. 576 25. 3 b) M laø trung ñieåm cuûa A1B1 ⇒ M (2; − ; 4) 2 JJJJG JJJJG 3 Mp (P) coù caëp veùc tô chæ phöông AM = (2; ;4) vaø BC1 = (−4;3;4) ⇒ veùc tô phaùp tuyeán cuûa mp (P): 2 JJG JJJJG JJJJG n P = ⎡⎣ AM; BC1 ⎤⎦ = (−6; −24; 12) hay (1; 4; −2) Maët khaùc (P) ñi qua A neân coù phöông trình : x + 4(y + 3) – 2z = 0 ⇔ x + 4y – 2z + 12 = 0 JJJJJG A1C1 ñi qua A1 vaø coù veùc tô chæ phöông A1C1 = (0; 6;0) hay (0; 1; 0) ⎧x = 0 ⎪ neân coù phöông trình : ⎨ y = −3 + t (t ∈ R) ⎪z = 4 ⎩. 17 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Thế phương trình A1C1 vào phương trình (P) ta được t = 2 Thế t = 2 vào phương trình (A1C1) ta được x = 0, y = −1, z = 4 ⇒ N (0; −1; 4) 3 17 vaø MN = (0 − 2)2 + (−1 + )2 + (4 − 4) 2 = 2 2 Ví dụ 14 ( ĐH KHỐI D-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : x −1 y + 2 z +1 ⎧x + y − z − 2 = 0 = = vaø d2: ⎨ d1 : 3 −1 2 ⎩x + 3y − 12 = 0 a) Chứng minh rằng d1 và d2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thaúng d1 vaø d2. b) Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ). JJG BAØI GIAÛI: a) d1 qua N (1; −2; −1) vaø coù 1 vectô chæ phöông laø a =(3; −1; 2) JJG d2 qua B (12; 0; 10) vaø coù 1 vectô chæ phöông laø b =(3; −1; 2) JJG JJG JJJG JJG Ta có : a = b và NB = (11, 2, 11) không cùng phương với a . Vaäy d1 // d2 JJG JJG JJJG Mp (P) qua N vaø coù phaùp vectô : n =[ a , NB ] = (−15; −11; 17) Phöông trình (P) laø: −15(x–1) – 11(y+2) + 17(z+1) = 0 ⇔ 15x + 11y – 17z – 10 = 0 JJJG JJJG b) A(−5, 0, −5); B (12, 0, 10) ⇒ ⎡⎣ OA,OB⎤⎦ = (0, −10, 0) 1 JJJG JJJG ⇒ Dieän tích (ΔOAB) = ⎡⎣OA,OB⎤⎦ = 5 (ñvdt). 2. ***. 18 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span>