Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 Chuyên đề bất đẳng thức

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề:. Bất đẳng thức. a.môc tiªu: 1-Học sinh nắm vững một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. 2-Một số phương pháp và bài toán liên quan đến phương trình bậc hai sử dụng công thøc nghiÖm sÏ cho häc sinh häc sau. 3-Rèn kỹ năng và pp chứng minh bất đẳng thức. B- néi dung PhÇn 1 : c¸c kiÕn thøc cÇn l­u ý. 1- §Þnh nghÜa 2- TÝnh chÊt 3-Một số hằng bất đẳng thức hay dùng Phần 2:một số phương phápchứng minh bấtđẳng thức 1-Phương pháp dùng định nghĩa 2- Phương pháp dùng biến đổi tương đương 3- Phương pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc 4- Phương pháp sử dụng tính chất bắc cầu 5- Phương pháp dùng tính chất tỉ số 6- Phương pháp làm trội 7- Phương pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác 8- Phương pháp đổi biến số 9- Phương pháp dùng tam thức bậc hai 10- Phương pháp quy nạp 11- Phương pháp phản chứng PhÇn 3 :c¸c bµi tËp n©ng cao PHầN 4 : ứng dụng của bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 2-Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và bất phương trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phương trình nghiệm nguyên PhÇn I : c¸c kiÕn thøc cÇn l­u ý 1-§inhnghÜa. Lop8.net. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> A  B  A  B  0  A  B  A  B  0. 2-tÝnh chÊt + A>B  B  A + A>B vµ B >C  A  C + A>B  A+C >B + C + A>B vµ C > D  A+C > B + D + A>B vµ C > 0  A.C > B.C + A>B vµ C < 0  A.C < B.C + 0 < A < B vµ 0 < C <D  0 < A.C < B.D + A > B > 0  A n > B n n + A > B  A n > B n víi n lÎ + A > B  A n > B n víi n ch½n + m > n > 0 vµ A > 1  A m > A n + m > n > 0 vµ 0 <A < 1  A m < A n +A < B vµ A.B > 0. . 1 1  A B. 3-một số hằng bất đẳng thức + A 2  0 víi  A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 ) + An  0 víi  A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 ) + A  0 víi A (dÊu = x¶y ra khi A = 0 ) + -A <A= A + A  B  A  B ( dÊu = x¶y ra khi A.B > 0) + A  B  A  B ( dÊu = x¶y ra khi A.B < 0) Phần II : một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp 1 : dùng định nghĩa KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B Ta chøng minh A –B > 0 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2  0 với M VÝ dô 1  x, y, z chøng minh r»ng : a) x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx b) x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz c) x 2 + y 2 + z 2 +3  2 (x + y + z) Lop8.net. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz - zx 1 2 1 = ( x  y ) 2  ( x z ) 2  ( y  z ) 2  0 đúng với mọi x;y;z  R 2. = .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx). . . V× (x-y)2  0 víix ; y DÊu b»ng x¶y ra khi x=y (x-z)2  0 víix ; z DÊu b»ng x¶y ra khi x=z (y-z)2  0 víi z; y DÊu b»ng x¶y ra khi z=y VËy x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx DÊu b»ng x¶y ra khi x = y =z b)Ta xÐt hiÖu x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) 2  0 đúng với mọi x;y;z  R Vậy x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z  R DÊu b»ng x¶y ra khi x+y=z c) Ta xÐt hiÖu x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1 = (x-1) 2 + (y-1) 2 +(z-1) 2  0 DÊu(=)x¶y ra khi x=y=z=1 VÝ dô 2: chøng minh r»ng : 2. a2  b2  a  b  a)   ;b) 2  2 . a2  b2  c2  a  b  c    3 3  . c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n gi¶i 2. a2  b2  a  b    2  2  2 a 2  b 2 a 2  2ab  b 2  = 4 4 1 = 2a 2  2b 2  a 2  b 2  2ab 4 1 = a  b 2  0 4. a) Ta xÐt hiÖu. . . . a2  b2  a  b   VËy  2  2 . . 2. DÊu b»ng x¶y ra khi a=b Lop8.net. 3. 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> b)Ta xÐt hiÖu 2. a2  b2  c2  a  b  c    3 3   1 = a  b 2  b  c 2  c  a 2  0 9. . . a2  b2  c2  a  b  c   VËy  3 3  . 2. DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c c)Tæng qu¸t 2. a12  a 22  ....  a n2  a1  a 2  ....  a n    n n   Tóm lại các bước để chứng minh A  B theo định nghĩa. Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 +….+(E+F) 2 Bước 3:Kết luận A  B. VÝ dô:(chuyªn Nga- Ph¸p 98-99) Chứng minh m,n,p,q ta đều có m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1) Gi¶i:  m2   m2   m2   m2     mn  n 2     mp  p 2     mq  q 2     m  1  0  4   4   4   4  2. 2. 2. 2. m  m  m  m     n     p     q     1  0 (luôn đúng) 2  2  2  2 . m  2 n 0 m   p0 DÊu b»ng x¶y ra khi  2  m  q 0 2 m  2  1  0. m  n  2  m  m2 p   2  n  p  q  1  m q    m  22 . phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương L­u ý:. Lop8.net. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng. Chú ý các hằng đẳng thức sau:.  A  B 2  A 2  2 AB  B 2  A  B  C 2  A 2  B 2  C 2  2 AB  2 AC  2 BC  A  B 3  A3  3 A 2 B  3 AB 2  B 3. VÝ dô 1: Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng b2 a) a   ab 4 2 b) a  b 2  1  ab  a  b c) a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  ab  c  d  e  2. Gi¶i: b2  ab 4  4a 2  b 2  4ab  4a 2  4a  b 2  0 2 (bất đẳng thức này luôn đúng)  2a  b   0. a) a 2 . b2  ab (dÊu b»ng x¶y ra khi 2a=b) 4 b) a 2  b 2  1  ab  a  b  2(a 2  b 2  1   2(ab  a  b)  a 2  2ab  b 2  a 2  2a  1  b 2  2b  1  0 Bất đẳng thức cuối đúng.  (a  b) 2  (a  1) 2  (b  1) 2  0 2 2 VËy a  b  1  ab  a  b. VËy a 2 . DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=1. c). a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  ab  c  d  e   4 a 2  b 2  c 2  d 2  e 2   4ab  c  d  e   a 2  4ab  4b 2  a 2  4ac  4c 2  a 2  4ad  4d 2  a 2  4ac  4c 2  0. .  .  .  a  2b   a  2c   a  2d   a  2c   0 2. 2. 2.  . . 2. Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: a 10  b10 a 2  b 2   a 8  b 8 a 4  b 4  Gi¶i:. a. .   .  . .  b10 a 2  b 2  a 8  b 8 a 4  b 4  a 12  a 10 b 2  a 2 b10  b12  a 12  a 8 b 4  a 4 b 8  b12  a 8b 2 a 2  b 2  a 2b 8 b 2  a 2  0  a2b2(a2-b2)(a6-b6)  0  a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  0 10. . . Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh. VÝ dô 3: cho x.y =1 vµ x.y. Lop8.net. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chøng minh. x2  y2 2 2 x y. Gi¶i: x y  2 2 v× :x  y nªn x- y  0  x2+y2  2 2 ( x-y) x y 2. 2.  x2+y2- 2 2 x+ 2 2 y  0  x2+y2+2- 2 2 x+ 2 2 y -2  0  x2+y2+( 2 )2- 2 2 x+ 2 2 y -2xy  0 v× x.y=1 nªn 2.x.y=2  (x-y- 2 )2  0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh. VÝ dô 4: 1)CM: P(x,y)= 9 x 2 y 2  y 2  6 xy  2 y  1  0 x, y  R 2)CM: (gợi ý :bình phương 2 vế) a2  b2  c2  a  b  c 3)choba sè thùc kh¸c kh«ng x, y, z tháa m·n: x. y.z  1  1 1 1     x yz  x y z. Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1 (đề thi Lam Sơn 96-97) Gi¶i: XÐt (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 1 x. 1 y. 1 z. 1. 1. 1. x. y. z. 1 x. 1 y. 1 z. =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(   )=x+y+z - (   )  0 (v×   < x+y+z theo gt).  2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương. Nếủ trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc. phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1 Phương pháp 3:. dùng bất đẳng thức quen thuộc. A/ một số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: a) x 2  y 2  2 xy b) x 2  y 2  xy dÊu( = ) khi x = y = 0 c) x  y 2  4 xy a b. b a. d)   2 2)Bất đẳng thức Cô sy:. a1  a 2  a3  ....  a n n  a1 a 2 a3 ....a n n. 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski. a. 2 2. . . Víi ai  0.  a22  ....  an2 . x12  x22  ....  2n  a1 x1  a2 x2  ....  an xn . 4) Bất đẳng thức Trê- bư-sép: Lop8.net. 6. 2.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> abc A  B  C abc NÕu  A  B  C abc DÊu b»ng x¶y ra khi  A  B  C. NÕu . . aA  bB  cC a  b  c A  B  C  . 3 3 3. . aA  bB  cC a  b  c A  B  C  . 3 3 3. b/ c¸c vÝ dô vÝ dô 1 Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng (a+b)(b+c)(c+a)  8abc Gi¶i: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: x  y 2  4 xy Tacã a  b 2  4ab ; b  c 2  4bc ; c  a 2  4ac  a  b  b  c  c  a   64a 2 b 2 c 2  8abc   (a+b)(b+c)(c+a)  8abc 2. 2. 2. 2. DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c. 1 1 1   9 a b c CMR:x+2y+z  4(1  x)(1  y )(1  z ). vÝ dô 2(tù gi¶i): 1)Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=1 2)Cho x,y,z>0 vµ x+y+z=1 3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR:. CMR:. a b c 3    bc ca ab 2. 4)Cho x  0 ,y  0 tháa m·n 2 x  y  1 vÝ dô 3:. (403-1001). ;CMR: x+y . 1 5. Cho a>b>c>0 vµ a 2  b 2  c 2  1 chøng minh r»ng a3 b3 c3 1    bc ac ab 2. Gi¶i:  a2  b2  c2 Do a,b,c đối xứng ,giả sử a  b  c   a  b  c  b  c a  c a  b. ¸p dông B§T Trª- b­-sÐp ta cã a2.. a b c a2  b2  c2  a b c  1 3 1  b2.  c2.  .   = . = bc ac ab 3 bc a c a b 3 2 2. a3 b3 c3 1    VËy bc ac ab 2. DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c=. vÝ dô 4: Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng :. a 2  b 2  c 2  d 2  ab  c   bc  d   d c  a   10. Gi¶i:. Lop8.net. 7. 1 3.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Ta cã a 2  b 2  2ab c 2  d 2  2cd 1 1 1 (dïng x   ) ab x 2 1 Ta cã a 2  b 2  c 2  2(ab  cd )  2(ab  )  4 ab MÆt kh¸c: ab  c   bc  d   d c  a . Do abcd =1 nªn cd =. (1). =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) =  ab . 1   1   1    ac     bc    2  2  2 ab   ac   bc   2 2 2 2 VËy a  b  c  d  ab  c   bc  d   d c  a   10. vÝ dô 5:. Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng: (a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2. Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacã ac+bd  a 2  b 2 . c 2  d 2 mµ a  c 2  b  d 2  a 2  b 2  2ac  bd   c 2  d 2. . .  a2  b2  2 a2  b2 . c2  d 2  c2  d 2.  (a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2. vÝ dô 6: Chøng minh r»ng a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac. Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski C¸ch 1: XÐt cÆp sè (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã. 1  1  1 (a  b  c )  1.a  1.b  1.c  3 a  b  c   a  b  c  2ab  bc  ac  2. 2. 2. 2. 2 2 2   a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac. Phương pháp 4: L­u ý:. 2. 2. 2. 2. 2. 2. §iÒu ph¶i chøng minh DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c. Sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu. A>B vµ b>c th× A>c 0< x <1 th× x 2 <x. vÝ dô 1: Cho a, b, c ,d >0 tháa m·n a> c+d , b>c+d Chøng minh r»ng ab >ad+bc Gi¶i: a  c  d b  c  d. Tacã   . a  c  d  0   b  d  c  0. (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd. Lop8.net. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> ab> ad+bc. . (®iÒu ph¶i chøng minh). vÝ dô 2: 2 2 2 Cho a,b,c>0 tháa m·n a  b  c . Chøng minh. 5 3. 1 1 1 1    a b c abc. Gi¶i: Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc)  0 1 2 2 2 ( a +b +c ) 2 5 1 1 1 1     ac+bc-ab   1 Chia hai vÕ cho abc > 0 ta cã 6 a b c abc.  ac+bc-ab . vÝ dô 3 Cho 0 < a,b,c,d <1 Chøng minh r»ng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d Gi¶i: Ta cã (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nªn ab>0 (1)  (1-a).(1-b) > 1-a-b Do c <1 nªn 1- c >0 ta cã  (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c  (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd  (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (§iÒu ph¶i chøng minh) vÝ dô 4 1- Cho 0 <a,b,c <1 . Chøng minh r»ng 2a 3  2b 3  2c 3  3  a 2 b  b 2 c  c 2 a. Gi¶i : Do a < 1  a 2  1 vµ Ta cã 1  a 2 .1  b   0  1-b- a 2 + a 2 b > 0  1+ a 2 b 2 > a 2 + b mµ 0< a,b <1  a 2 > a 3 , b 2 > b 3 Tõ (1) vµ (2)  1+ a 2 b 2 > a 3 + b 3 VËy a 3 + b 3 < 1+ a 2 b 2 Tương tự b 3 + c 3  1  b 2 c c 3 + a3  1  c2a Cộng các bất đẳng thức ta có : 2a 3  2b 3  2c 3  3  a 2 b  b 2 c  c 2 a b)Chøng minh r»ng : NÕu a 2  b 2  c 2  d 2  1998 th× ac+bd =1998. (Chuyªn Anh –98 – 99) Gi¶i: Ta cã (ac + bd) 2 + (ad – bc ) 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2  2 abcd  a 2 d = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982 Lop8.net. 9. 2.  b 2 c 2 - 2abcd =.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> rá rµng (ac+bd)2  ac  bd 2  ad  bc 2  1998 2  ac  bd  1998. 2-Bµi tËp : 1, Cho c¸c sè thùc : a1; a2;a3 ….;a2003 tháa m·n : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1 2  c høng minh r»ng : a 12 + a 22  a32  ....  a 2003. 1 ( đề thi vào chuyên nga pháp 2003. 2003- 2004Thanh hãa ) 2,Cho a;b;c  0 tháa m·n :a+b+c=1(?) 1 a. 1 b. 1 c. Chøng minh r»ng: (  1).(  1).(  1)  8. Phương pháp 5:. dïng tÝnh chÊtcña tû sè. KiÕn thøc 1) Cho a, b ,c là các số dương thì a a ac  1 th×  b b bc a a ac b – NÕu  1 th×  b bc b. a – NÕu. 2)NÕu b,d >0 th× tõ. a c a ac c     b d b bd d. `. vÝ dô 1 : Cho a,b,c,d > 0 .Chøng minh r»ng 1. a b c d    2 abc bcd cd a d ab. Gi¶i : Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã. a a ad 1  abc abc abcd a a  MÆt kh¸c : abc abcd. (1) (2). Tõ (1) vµ (2) ta cã. a a ad < < abcd abc abcd. (3). Tương tự ta có. b b ba   abcd bcd abcd c c bc   abcd cd a abcd. (4) (5). Lop8.net. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> d d d c   abcd d ab abcd. (6). céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã 1. a b c d     2 ®iÒu ph¶i chøng minh abc bcd cd a d ab. vÝ dô 2 :. a c a ab  cd c vµ b,d > 0 .Chøng minh r»ng < 2  b d b b d2 d a c ab cd ab ab  cd cd c Tõ <  2  2  2  2   b d b d b b d2 d2 d a ab  cd c < ®iÒu ph¶i chøng minh  b b2  d 2 d. Cho: < Gi¶i: VËy. ví dụ 3 : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000 a c. t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña  gi¶i :. b d. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö :. a b a b a ab b Tõ :      c d c d c cd d. a  1 v× a+b = c+d c b a b  998    999 d c d a b 1 999 b, NÕu: b=998 th× a=1   =  §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi d= 1; c=999 c d c d a b 1 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña  =999+ khi a=d=1; c=b=999 c d 999. a, NÕu :b  998 th×. Phương pháp 6: Phương pháplàm trội L­u ý:. Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tæng h÷u h¹n hoÆc tÝch h÷u h¹n. (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1  u2  ....  un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau: uk  ak  ak 1. Khi đó : S = a1  a2   a2  a3   ....  an  an 1   a1  an 1 (*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn P = u1u2 ....un Biến đổi các số hạng u k về thương của hai số hạng liên tiếp nhau: uk =. ak ak 1. Lop8.net. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Khi đó P =. a a1 a2 a . ..... n  1 a2 a3 an 1 an 1. VÝ dô 1 : Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng 1 1 1 1 3    ....   2 n 1 n  2 nn 4. Gi¶i:. Ta cã Do đó:. 1 1 1   n  k n  n 2n. víi k = 1,2,3,…,n-1. 1 1 1 1 1 n 1   ...    ...    n 1 n  2 2n 2n 2n 2n 2. VÝ dô 2 : Chøng minh r»ng: 1. . . 1 1 1   ....   2 n 1 1 2 3 n. Gi¶i :. Víi n lµ sè nguyªn. . 1 2 2    2 k 1  k k 2 k k  k 1. Ta cã. Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có 1 > 2  2  1. . 1 2 3 2 2. . ………………. . 1  2 n 1  n n. . Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có 1. . . 1 1 1   ....   2 n 1 1 2 3 n. VÝ dô 3 : Chøng minh r»ng. n. 1. k k 1. 2. 2. n  Z. Gi¶i: Ta cã. 1 1 1 1    2 k k k  1 k  1 k. Cho k chạy từ 2 đến n ta có. Lop8.net. 12. .

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 1 1  1 2 2 2 1 1 1   32 2 3 ................. 1 1 1   2 n n 1 n 1 1 1  2  2  ....  2  1 2 3 n. VËy. n. 1. k k 1. 2. 2. Phương pháp 7: Dùng bất đẳng thức trong tam giác L­u ý: NÕu a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a;b;c> 0 Vµ |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a VÝ dô1: Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c chøng minh r»ng a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Gi¶i a)V× a,b,c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn ta cã 0  a  b  c  0  b  a  c 0  c  a  b . a 2  a (b  c)  2 b  b(a  c)  c 2  c ( a  b) . . Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b) Ta cã a > b-c   a 2  a 2  (b  c) 2 > 0 b > a-c   b 2  b 2  (c  a) 2 > 0 c > a-b   c 2  c 2  (a  b) 2  0 Nhân vế các bất đẳng thức ta được. . . .  a 2b 2 c 2  a 2  b  c  b 2  c  a  c 2  a  b  2. 2. 2.  a b c  a  b  c  b  c  a  c  a  b   abc  a  b  c  . b  c  a  . c  a  b 2 2 2. 2. 2. . 2. VÝ dô2: (404 – 1001). 1) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c Chøng minh r»ng ab  bc  ca  a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca). Lop8.net. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 2) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi b»ng 2 Chøng minh r»ng a 2  b 2  c 2  2abc  2 Phương pháp 8:. đổi biến số. VÝ dô1:. Cho a,b,c > 0 Chøng minh r»ng. a b c 3    (1) bc ca ab 2. Gi¶i :. yzx zx y x yz §Æt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cã a= ; b= ;c= 2 2 2 yzx zx y x yz 3    ta cã (1)  2x 2y 2z 2 y z x z x y  1  1  1  3  x x y y z z y x z x z y (  )(  )(  )6 x y x z y z y x z y z x Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì (   2;   2 nªn ta cã ®iÒu   2; x y y z x z. ph¶i chøng minh VÝ dô2:. Cho a,b,c > 0 vµ a+b+c <1 Chøng minh r»ng 1 1 1  2  2 9 a  2bc b  2ac c  2ab. (1). 2. Gi¶i: §Æt x = a 2  2bc ; y = b 2  2ac ; z = c 2  2ab Ta cã x  y  z  a  b  c 2  1 1 x. 1 y. 1 z. (1)     9. Víi x+y+z < 1 vµ x ,y,z > 0. Theo bất đẳng thức Côsi ta có x  y  z  3. 3 xyz 1 1 1 1    3. . 3 x y z xyz. . x  y  z . 1  1  1   9 x. y. z. Mµ x+y+z < 1 VËy. 1 1 1    9 (®pcm) x y z. VÝ dô3:. Lop8.net. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Cho x  0 , y  0 tháa m·n 2 x  y  1 CMR x  y  Gîi ý: §Æt x  u ,. y v. 1 5.  2u-v =1 vµ S = x+y = u 2  v 2  v = 2u-1 thay vµo tÝnh S min. Bµi tËp 1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0. CMR:. 25a 16b c   8 bc ca ab. . . 2)Tæng qu¸t m, n, p, q, a, b >0 CMR ma nb pc 1    bc ca ab 2. Phương pháp 9:. m  n  p  m  n  p  2. dïng tam thøc bËc hai. L­u ý : Cho tam thøc bËc hai f x   ax 2  bx  c NÕu   0 th× a. f x   0 x  R b a víi x  x1 hoÆc x  x2 víi x1  x  x2. NÕu   0 th× a. f x   0. x  . NÕu   0 th× a. f x   0 a. f  x   0. VÝ dô1:. Chøng minh r»ng. f  x, y   x 2  5 y 2  4 xy  2 x  6 y  3  0. Gi¶i: Ta cã (1)  x 2  2 x2 y  1  5 y 2  6 y  3  0   2 y  1  5 y 2  6 y  3  4 y2  4 y 1 5y2  6 y  3 2.   y  1  1  0 2. VËy f x, y   0 víi mäi x, y VÝ dô2:. Chøng minh r»ng. . . f  x, y   x 2 y 4  2 x 2  2 . y 2  4 xy  x 2  4 xy 3. Lop8.net. 15. (1). ( x2  x1 ).

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Gi¶i: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với. . . x 2 y 4  2 x 2  2 . y 2  4 xy  x 2  4 xy 3  0.  ( y  1) .x  4 y 1  y  x  4 y 2  0 2. 2. 2. 2. Ta cã   4 y 2 1  y 2   4 y 2 y 2  1  16 y 2  0 2 V× a = y 2  1  0 vËy f x, y   0 (®pcm) 2. 2. Phương pháp 10: dùng quy nạp toán học KiÕn thøc: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n  n0 ta thực hiện các bước sau : 1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n  n0 2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiÕt quy n¹p ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) 4 – kết luận BĐT đúng với mọi n  n0 VÝ dô1:. Chøng minh r»ng 1 1 1 1  2  ....  2  2  2 1 2 n n. n  N ; n  1. Gi¶i : 1 4. Víi n =2 ta cã 1   2 . 1 2. (đúng). Vậy BĐT (1) đúng với n =2 Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1 ThËt vËy khi n =k+1 th× (1) . 1 1 1 1 1  2  ....  2   2 2 2 1 2 k (k  1) k 1. Theo gi¶ thiÕt quy n¹p  . 1 1 1 1 1 1 1  2  ....  2   2   2 2 2 2 1 2 k (k  1) k k  1 k 1. 1 1 1 1 1  ....     2 2 2 1 (k  1) k  1 k  1 k. Lop8.net. 16. (1).

<span class='text_page_counter'>(17)</span> . k 11 1   k (k  2)  (k  1) 2  k2+2k<k2+2k+1 Điều này đúng .Vậy bất 2 k (k  1). đẳng thức (1)được chứng minh VÝ dô2: Cho n  N vµ a+b> 0 n. an  bn ab Chøng minh r»ng  (1)   2  2 . Gi¶i. Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1. Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1 ThËt vËy víi n = k+1 ta cã ab (1)     2 . k 1. . a k 1  b k 1 2. k. a k 1  b k 1 ab ab (2) .    2 2  2  a k  b k a  b a k 1  ab k  a k b  b k 1 a k 1  b k 1 .    VÕ tr¸i (2)  2 2 4 2 k 1 k 1 k 1 k k k 1 a b a  ab  a b  b  0  2 4  a k  b k .a  b   0 (3). . . Ta chøng minh (3) (+) Gi¶ sö a  b vµ gi¶ thiÕt cho a  -b  a  b k.  ak  b  bk. . a. k. .  b k .a  b   0. (+) Gi¶ sö a < b vµ theo gi¶ thiÕt - a<b  a  b k  a k  b k  a k  b k .a  b   0 Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm) k. Phương pháp 11:. Chøng minh ph¶n chøng. L­u ý: 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngược nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G  K” phép toán mệnh đề cho ta : Như vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luËn cña nã . Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau :. Lop8.net. 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> . . A - Dùng mệnh đề phản đảo : K  G B – Phủ định rôi suy trái giả thiết : C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau E – Phủ định rồi suy ra kết luận : VÝ dô 1:. Cho ba sè a,b,c tháa m·n a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 Chøng minh r»ng a > 0 , b > 0 , c > 0 Gi¶i : Giả sử a  0 thì từ abc > 0  a  0 do đó a < 0 Mµ abc > 0 vµ a < 0  cb < 0 Tõ ab+bc+ca > 0  a(b+c) > -bc > 0 V× a < 0 mµ a(b +c) > 0  b + c < 0 a < 0 vµ b +c < 0  a + b +c < 0 tr¸i gi¶ thiÕt a+b+c > 0 Vậy a > 0 tương tự ta có b > 0 , c > 0 VÝ dô 2:. Cho 4 sè a , b , c ,d tháa m·n ®iÒu kiÖn ac  2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: , c 2  4d a 2  4b Gi¶i : Giả sử 2 bất đẳng thức : a 2  4b , c 2  4d đều đúng khi đó cộng các vế ta được (1) a 2  c 2  4(b  d ) Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b+d)  2ac (2) Tõ (1) vµ (2)  a 2  c 2  2ac hay a  c 2  0 (v« lý) Vậy trong 2 bất đẳng thức a 2  4b và c 2  4d có ít nhất một các bất đẳng thức sai VÝ dô 3:. Cho x,y,z > 0 vµ xyz = 1. Chøng minh r»ng NÕu x+y+z >. 1 1 1   th× cã mét trong ba sè nµy lín h¬n 1 x y z. Gi¶i : Ta cã (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 1 x. 1 y. 1 z. =x + y + z – (   ) v× xyz = 1 theo gi¶ thiÕt x+y +z >. 1 1 1   x y z. nªn (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dương Thật vậy nếu cả ba số dương thì x,y,z > 1  xyz > 1 (trái giả thiết) Còn nếu 2 trong 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý) Lop8.net. 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> VËy cã mét vµ chØ mét trong ba sè x , y,z lín h¬n 1 PhÇn iii :. c¸c bµi tËp n©ng cao. 1/dùng định nghĩa a2 1) Cho abc = 1 vµ a  36 . . Chøng minh r»ng  b2+c2> ab+bc+ac 3 3. Gi¶i a2 Ta cã hiÖu:  b2+c2- ab- bc – ac 3 a2 a2 =   b2+c2- ab- bc – ac 4 12 a2 a2 = (  b2+c2- ab– ac+ 2bc) +  3bc 4 12 3 a  36abc a =( -b- c)2 + 12a 2 3 a  36abc a =( -b- c)2 + >0 (v× abc=1 vµ a3 > 36 nªn 12a 2 a2 VËy :  b2+c2> ab+bc+ac §iÒu ph¶i chøng minh 3. 2) Chøng minh r»ng a) x 4  y 4  z 2  1  2 x.( xy 2  x  z  1) b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã a 2  5b 2  4ab  2a  6b  3  0 a 2  2b 2  2ab  2a  4b  2  0. c) Gi¶i : a) XÐt hiÖu H = x 4  y 4  z 2  1  2 x 2 y 2  2 x 2  2 xz  2 x 2 = x 2  y 2   x  z 2  x  12 H  0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh b) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = a  2b  12  b  12  1  H > 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh c) vÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = a  b  12  b  12  H  0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh Ii / Dùng biến đổi tương đương 1) Cho x > y vµ xy =1 .Chøng minh r»ng. Lop8.net. 19. a >0 ).

<span class='text_page_counter'>(20)</span> x. . 2.  y2 8 x  y 2. Gi¶i : Ta cã. x 2  y 2   x  y   2 xy   x  y   2 2. x. . 2. 2. y.   x  y . 2 2. 4. 2. (v× xy = 1).  4. x  y   4 2. Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với  . x  y 4  4x  y 2  4  8.x  y 2 x  y 4  4x  y 2  4  0 x  y 2  22  0. BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho xy  1 .Chøng minh r»ng 1 1 2   2 2 1 x 1 y 1  xy. Gi¶i : 1 1 2   2 2 1 x 1 y 1  xy  1 1   1 1     0     2 2   2  1  x 1  y   1  y 1  xy . Ta cã. xy  x 2 xy  y 2  0 1  x 2 .1  xy  1  y 2 .1  xy  x( y  x) y( x  y)  0 2 1  x .1  xy  1  y 2 .1  xy . . . . . . . . . . .  y  x  xy  1  0 1  x 2 . 1  y 2 .1  xy  2. . BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh Iii / dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1 Chøng minh r»ng a 2  b 2  c 2  Gi¶i :. 1 3. ¸p dông B§T BunhiaC«pski cho 3 sè (1,1,1) vµ (a,b,c). Ta cã  . 1.a  1.b  1.c 2  1  1  1.a 2  b 2  c 2  a  b  c 2  3.a 2  b 2  c 2  a2  b2  c2 . 1 3. (v× a+b+c =1 ) (®pcm). 2) Cho a,b,c là các số dương Chøng minh r»ng a  b  c .     9 1 a. 1 b. Lop8.net. 1 c. 20. (1).

<span class='text_page_counter'>(21)</span>