Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 9

WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

PHẦN I: ĐỀ BÀI
1. Chứng minh 7 là số vô tỉ.
2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.
4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy :
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

a+b
³ ab .
2

bc ca ab
+ +
³a+b+c
a
b
c

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.
6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.
7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : a + b > a - b
9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a
b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
10. Chứng minh các bất đẳng thức :

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
11. Tìm các giá trị của x sao cho :
a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5
c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.
12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị
nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.
15. Chứng minh rằng khơng có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :
x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0
16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A =

1
x - 4x + 9
2

17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) :
a) 7 + 15 và 7
b)
c)

23 - 2 19
và
3

27

18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn

d)

17 + 5 + 1 và
3 2 và

45

2 3

2 nhưng nhỏ hơn

3

19. Giải phương trình : 3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 21 = 5 - 2x - x 2 .
20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.

1
1
1
1
+
+ .... +
+ ... +
.
1.1998
2.1997
k(1998 - k + 1)
1998 - 1
1998
Hãy so sánh S và 2.

.
1999
22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì a là số vơ tỉ.
21. Cho S =

23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng :

1

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

x y
+ ³2
y x
ỉ x 2 y2 ư ổ x y ử
b) ỗ 2 + 2 ữ - ç + ÷ ³ 0
x ø èy xø
èy
a)

ỉ x 4 y4 ư ỉ x 2 y2 ư ỉ x y ử
+ ữ-ỗ + ữ+ỗ + ữ 2.
y4 x 4 ø è y2 x 2 ø è y x ø
è

c) ç

24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ :
a)

1+ 2

b) m +

3
với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 0.
n

25. Có hai số vơ tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ khơng ?

ỉx yö
x 2 y2
26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng : 2 + 2 + 4 3 ỗ + ữ .
y
x
ốy xứ
27. Cho cỏc s x, y, z dương. Chứng minh rằng :

x 2 y2 z2 x y z
+ +
³ + + .
y2 z2 x 2 y z x

28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
29. Chứng minh các bất đẳng thức :

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
c) (a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + ….. + an2).
30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.
31. Chứng minh rằng : [ x ] + [ y ] £ [ x + y ] .

1
.
x - 6x + 17
x y z
33. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = + +
với x, y, z > 0.
y z x
32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A =

2

34. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4.
35. Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.
36. Xét xem các số a và b có thể là số vơ tỉ không nếu :

a
là số vô tỉ.
b
a
b) a + b và
là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
b
a) ab và

c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

a
b
c
d
+
+
+
³2
b+c c+d d+a a +b
39. Chứng minh rằng [ 2x ] bằng 2 [ x ] hoặc 2 [ x ] + 1
38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh :

40. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n.
Chứng minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.
41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :

2

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

A= x 2 - 3

B=

MAI TRỌNG MẬU

1
x 2 + 4x - 5

C=

1

D=

x - 2x - 1

1

E= x+

1- x2 - 3

2
+ -2x
x

G = 3x - 1 - 5x - 3 + x 2 + x + 1
42. a) Chứng minh rằng : | A + B | ≤ | A | + | B | . Dấu “ = ” xảy ra khi nào ?
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : M =

x 2 + 4x + 4 + x 2 - 6x + 9 .

4x 2 + 20x + 25 + x 2 - 8x + 16 = x 2 + 18x + 81

c) Giải phương trình :

43. Giải phương trình : 2x 2 - 8x - 3 x 2 - 4x - 5 = 12 .
44. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :

A = x2 + x + 2

E=

B=

1

G=

2x + 1 + x

45. Giải phương trình :

1
1 - 3x

C = 2 - 1 - 9x 2

x
+ x-2
x -4

1

D=

x 2 - 5x + 6

H = x 2 - 2x - 3 + 3 1 - x 2

2

x 2 - 3x
=0
x -3

46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =

x +x.
47. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B = 3 - x + x
3 +1
48. So sánh : a) a = 2 + 3 và b=
b) 5 - 13 + 4 3 và
2
c) n + 2 - n + 1 và n+1 - n (n là số nguyên dương)

3 -1

49. Với giá trị nào của x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất : A = 1 - 1 - 6x + 9x 2 + (3x - 1) 2 .
50. Tính : a)

4-2 3

b)

11 + 6 2

d) A = m 2 + 8m + 16 + m 2 - 8m + 16

c)

27 - 10 2

e) B = n + 2 n - 1 + n - 2 n - 1 (n

≥ 1)
51. Rút gọn biểu thức : M =

8 41
45 + 4 41 + 45 - 4 41

.

52. Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x - y) 2 + (y - 2)2 + (x + y + z) 2 = 0
53. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = 25x 2 - 20x + 4 + 25x 2 - 30x + 9 .
54. Giải các phương trình sau :

a) x 2 - x - 2 - x - 2 = 0
d) x - x 4 - 2x 2 + 1 = 1

b) x 2 - 1 + 1 = x 2
e) x 2 + 4x + 4 + x - 4 = 0

h) x 2 - 2x + 1 + x 2 - 6x + 9 = 1
k) x + 3 - 4 x - 1 + x + 8 - 6 x - 1 = 1

3

c) x 2 - x + x 2 + x - 2 = 0
g) x - 2 + x - 3 = -5

i) x + 5 + 2 - x = x 2 - 25
l) 8x + 1 + 3x - 5 = 7x + 4 + 2x - 2

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

55. Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = 1 và x > y. CMR:

x 2 + y2
³2 2.
x-y

56. Rút gọn các biểu thức :

a) 13 + 30 2 + 9 + 4 2

b) m + 2 m - 1 + m - 2 m - 1

c) 2 + 3. 2 + 2 + 3 . 2 + 2 + 2 + 3 . 2 - 2 + 2 + 3
2+ 3 =

57. Chứng minh rằng

58. Rút gọn các biểu thức :

a) C =

6+2

(

d) 227 - 30 2 + 123 + 22 2

6
2
+
.
2
2

)

6 + 3 + 2 - 6-2

(

6- 3+ 2

)

9-6 2 - 6
.
3

b) D =

2

59. So sánh :

a)

6 + 20 và 1+ 6

b)

17 + 12 2 và

2 +1

c)

28 - 16 3 và 3 - 2

60. Cho biểu thức : A = x - x 2 - 4x + 4
a) Tìm tập xác định của biểu thức A.
b) Rút gọn biểu thức A.
61. Rút gọn các biểu thức sau : a)

c)

11 - 2 10

b)

9 - 2 14

3 + 11 + 6 2 - 5 + 2 6
2 + 6 + 2 5 - 7 + 2 10

62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức :
63. Giải bất phương trình :

1 1 1
1 1 1
+ 2+ 2 = + +
2
a
b
c
a b c

x 2 - 16x + 60 < x - 6 .

64. Tìm x sao cho : x 2 - 3 + 3 £ x 2 .
65. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng :
x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1)
66. Tìm x để biểu thức có nghĩa:

a) A =

1
x - 2x - 1

67. Cho biểu thức : A =

16 - x 2
b) B =
+ x 2 - 8x + 8 .
2x + 1

x + x 2 - 2x
x - x - 2x
2

-

x - x 2 - 2x
x + x - 2x
2

.

a) Tìm giá trị của x để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A < 2.
68. Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số : 0,9999....9 (20 chữ số 9)
69. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của : A = | x - 2 | + | y – 1 | với | x | + | y | = 5
70. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1

71. Trong hai số : n + n + 2 và 2 n+1 (n là số nguyên dương), số nào lớn hơn ?

4

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

72. Cho biểu thức A = 7 + 4 3 + 7 - 4 3 . Tính giá trị của A theo hai cách.
73. Tính : ( 2 + 3 + 5)( 2 + 3 - 5)( 2 - 3 + 5)(- 2 + 3 + 5)
74. Chứng minh các số sau là số vô tỉ :

3+ 5 ;

3- 2 ; 2 2 +3

75. Hãy so sánh hai số : a = 3 3 - 3 và b=2 2 - 1 ;
76. So sánh

2 + 5 và

5 +1
2

4 + 7 - 4 - 7 - 2 và số 0.
2+ 3+ 6+ 8+4
.

2+ 3+ 4

77. Rút gọn biểu thức : Q =

78. Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 . Hãy biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc hai
79. Tính giá trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng : x 1 - y 2 + y 1 - x 2 = 1 .
80. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của : A = 1 - x + 1 + x .
81. Tìm giá trị lớn nhất của : M =

(

a+ b

)

2

với a, b > 0 và a + b ≤ 1.

82. CMR trong các số 2b + c - 2 ad ; 2c + d - 2 ab ; 2d + a - 2 bc ; 2a + b - 2 cd có ít
nhất hai số dương (a, b, c, d > 0).
83. Rút gọn biểu thức : N = 4 6 + 8 3 + 4 2 + 18 .
84. Cho x + y + z = xy + yz + zx , trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z.
85. Cho a1, a2, …, an > 0 và a1a2…an = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n.
86. Chứng minh :

(

a+ b

)

2

³ 2 2(a + b) ab

(a, b ≥ 0).

87. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các
đoạn thẳng có độ dài a , b , c cũng lập được thành một tam giác.

(x + 2) 2 - 8x
.
2
xx
2
a +2
89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều có :
³ 2 . Khi nào có đẳng thức ?
2
a +1
88. Rút gọn : a) A =

ab - b 2
a
b
b

b) B =

90. Tính : A = 3 + 5 + 3 - 5 bằng hai cách.
91. So sánh : a)
92. Tính : P =

3 7 +5 2
và 6,9
b)
5
2+ 3
2- 3
+
.
2 + 2+ 3
2 - 2- 3

13 - 12 và

7- 6

x + 2 + 3 2x - 5 + x - 2 - 2x - 5 = 2 2 .
1.3.5...(2n - 1)
1
94. Chứng minh rằng ta ln có : Pn =
<
; "n Ỵ Z+
2.4.6...2n
2n + 1
93. Giải phương trình :

5

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

a2
b2
a+ b£
+
.
b
a

95. Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thì
96. Rút gọn biểu thức :

A=

x - 4(x - 1) + x + 4(x - 1) ổ
1 ử
.ỗ1 ÷.
è x -1 ø
x 2 - 4(x - 1)

a b +b a
1
:

= a - b (a, b > 0 ; a ≠ b)
ab
a- b
æ 14 - 7
æ a + a ửổ a - a ử
15 - 5 ử
1
b) ỗ
+
= -2
c) ç 1 +
÷:
÷ç 1 ÷ = 1 - a (a >
1- 3 ø 7 - 5
a + 1 øè
a -1 ø
è 1- 2
è

97. Chứng minh các đẳng thức sau : a)

0).

5 - 3 - 29 - 6 20

98. Tính : a)

ổ
c) ỗ
ố

; b) 2 3 + 5 - 13 + 48 .

ư
28 - 16 3 ÷ . 7 + 48 .
ø
99. So sánh : a) 3 + 5 và 15
b) 2 + 15 và 12 + 7
16
c) 18 + 19 và 9
d)
và 5. 25
2
7 + 48 -

100. Cho hằng đẳng thức :

a± b =

a + a2 - b
a - a2 - b
±
(a, b > 0 và a2 – b > 0).
2
2

Áp dụng kết quả để rút gọn :

a)

c)

2+ 3
2 + 2+ 3

+

2- 3
2 - 2- 3

; b)

3- 2 2
17 - 12 2

-

3+ 2 2
17 + 12 2

2 10 + 30 - 2 2 - 6
2
:
2 10 - 2 2
3 -1

101. Xác định giá trị các biểu thức sau :

a) A =

b) B =

xy - x 2 - 1. y 2 - 1
xy + x 2 - 1. y 2 - 1

a + bx + a - bx
a + bx - a - bx

vi x =
vi x =

1ổ
1ử
ỗa + ữ , y =
2ố
aứ

1ổ
1ử
ỗ b + ữ (a > 1 ; b > 1)
2è
bø

2am
, m < 1.
b (1 + m 2 )

2x - x 2 - 1
102. Cho biểu thức P(x) =
3x 2 - 4x + 1

a) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x).
b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(- x) < 0.
103. Cho biểu thức A =

6

x+2-4 x -2 + x +2+4 x -2
.
4 4
- +1
x2 x

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số ngun.
104. Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau:

a) 9 - x 2
e) 1 - 2 1 - 3x

b) x - x (x > 0)

c) 1 + 2 - x

g) 2x 2 - 2x + 5

105. Rút gọn biểu thức : A =

h) 1 - - x 2 + 2x + 5

x + 2x - 1 - x - 2x - 1 , bằng ba cách ?
5 3 + 5 48 - 10 7 + 4 3

106. Rút gọn các biểu thức sau : a)

b)

d) x - 5 - 4
1
i)
2x - x + 3

4 + 10 + 2 5 + 4 - 10 + 2 5

c)

107. Chứng minh các hằng đẳng thức với b ≥ 0 ; a ≥

(

)

a)

a + b ± a - b = 2 a ± a2 - b

b)

94 - 42 5 - 94 + 42 5 .

b

a + a2 - b
a - a2 - b
a± b =
±
2
2

108. Rút gọn biểu thức : A =
109. Tìm x và y sao cho :

x + 2 2x - 4 + x - 2 2x - 4

x+y-2 = x + y - 2

110. Chứng minh bất đẳng thức :

a 2 + b2 + c2 + d 2 ³

(a + c)

2

+ (b + d) .
2

a2
b2
c2
a+b+c
111. Cho a, b, c > 0. Chứng minh :
+
+
³
.
b+c c+a a +b
2
112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh :

a)

a + 1 + b + 1 + c + 1 < 3,5

113. CM :

(a

2

+ c 2 )( b 2 + c2 ) +

b)

(a

2

a +b + b+c + c+a £ 6 .

+ d 2 )( b 2 + d 2 ) ³ (a + b)(c + d) với a, b, c, d > 0.

114. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x + x .
115. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A =

(x + a)(x + b)
.
x

116. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5.
117. Tìm giá trị lớn nhất của A = x + 2 - x .
118. Giải phương trình :

x - 1 - 5x - 1 = 3x - 2

119. Giải phương trình :

x + 2 x -1 + x - 2 x -1 = 2

120. Giải phương trình : 3x 2 + 21x + 18 + 2 x 2 + 7x + 7 = 2

3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 14 = 4 - 2x - x 2
122. Chứng minh các số sau là số vô tỉ : 3 - 2
;

2 2+ 3
121. Giải phương trình :

123. Chứng minh x - 2 + 4 - x £ 2 .
124. Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học :

a 2 + b 2 . b 2 + c 2 ³ b(a + c)

7

với a, b, c > 0.

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

125. Chứng minh (a + b)(c + d) ³ ac + bd với a, b, c, d > 0.
126. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các
đoạn thẳng có độ dài a , b , c cũng lập được thành một tam giác.

(a + b)2 a + b
127. Chứng minh
+
³ a b + b a với a, b ≥ 0.
2
4
a

b
c
128. Chứng minh
+
+
> 2 với a, b, c > 0.
b+c
a+c
a+b
129. Cho x 1 - y 2 + y 1 - x 2 = 1 . Chứng minh rằng x2 + y2 = 1.
130. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

x - 2 x -1 + x + 2 x -1

131. Tìm GTNN, GTLN của A = 1 - x + 1 + x .
132. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

x 2 + 1 + x 2 - 2x + 5

133. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = - x 2 + 4x + 12 - - x 2 + 2x + 3 .
134. Tìm GTNN, GTLN của : a) A = 2x + 5 - x 2

(

b) A = x 99 + 101 - x 2

135. Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn

)

a b
+ = 1 (a và b là hằng số dương).
x y

136. Tìm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1.

xy yz zx
+ +
với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
z
x
y
x2
y2
z2
138. Tìm GTNN của A =
+
+
biết x, y, z > 0 , xy + yz + zx = 1 .
x+y y+z z+x
137. Tìm GTNN của A =

139. Tìm giá trị lớn nhất của : a) A =
b) B =

(

a+ b

) (

4

+

a+ c

) (
4

+

(

a+ b

a+ d

)

2

với a, b > 0 , a + b ≤ 1

) (
4

+

b+ c

) (
4

+

b+ d

) (
4

+

c+ d

)

4

với a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1.
140. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x + 3y với x + y = 4.

b
c
+
với b + c ≥ a + d ; b, c > 0 ; a, d ≥ 0.
c+d a+b

141. Tìm GTNN của A =

142. Giải các phương trình sau :

a) x 2 - 5x - 2 3x + 12 = 0
d) x - 1 - x + 1 = 2

b) x 2 - 4x = 8 x - 1

e) x - 2 x - 1 - x - 1 = 1

h) x + 2 - 4 x - 2 + x + 7 - 6 x - 2 = 1

k) 1 - x 2 - x = x - 1

m) x 2 + 6 = x - 2 x 2 - 1
o) x - 1 + x + 3 + 2

8

c) 4x + 1 - 3x + 4 = 1
g) x + 2x - 1 + x - 2x - 1 = 2
i) x + x + 1 - x = 1

l) 2x 2 + 8x + 6 + x 2 - 1 = 2x + 2

n) x + 1 + x + 10 = x + 2 + x + 5

( x - 1) ( x 2 - 3x + 5) = 4 - 2x

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

p) 2x + 3 + x + 2 + 2x + 2 - x + 2 = 1 + 2 x + 2 .

q) 2x 2 - 9x + 4 + 3 2x - 1 = 2x 2 + 21x - 11

(

143. Rút gọn biểu thức : A = 2 2 - 5 + 3 2

)(

144. Chứng minh rằng, "n Ỵ Z+ , ta ln có : 1 +
145. Trục căn thức ở mẫu : a)

1
1+ 2 + 5

)

18 - 20 + 2 2 .

(

)

1
1

1
+
+ .... +
> 2 n +1 -1 .
2
3
n
1
b)
.
x + x +1

146. Tính :

5 - 3 - 29 - 6 20

a)

(

147. Cho a = 3 - 5 . 3 + 5
148. Cho b =

a)
c)

(

3- 2 2
17 - 12 2

-

b) 6 + 2 5 - 13 + 48

)(

)

17 + 12 2

149. Giải các phương trình sau :

)

(5 - x )

5 - x + ( x - 3) x - 3
5- x + x -3

b)
=2

5 - 3 - 29 - 12 5

10 - 2 . Chứng minh rằng a là số tự nhiên.

3+ 2 2

3 -1 x - x + 4 - 3 = 0

c)

(

. b có phải là số tự nhiên không ?

)

3 -1 x = 2

(

)

3 +1 x - 3 3

d) x + x - 5 = 5

150. Tính giá trị của biểu thức :

M = 12 5 - 29 + 25 + 4 21 - 12 5 + 29 - 25 - 4 21
1
1
1
1
+
+
+ ... +
.

1+ 2
2+ 3
3+ 4
n -1 + n
1
1
1
1
152. Cho biểu thức : P =
+
- ... +
2- 3
3- 4
4- 5
2n - 2n + 1
151. Rút gọn : A =

a) Rút gọn P.

b) P có phải là số hữu tỉ khơng ?

1
1
1
1
+
+
+ ... +
.
2 1 +1 2 3 2 + 2 3 4 3 + 3 4

100 99 + 99 100
1
1
1
154. Chứng minh : 1 +
+
+ ... +
> n.
2
3
n
155. Cho a = 17 - 1 . Hãy tính giá trị của biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000.
156. Chứng minh : a - a - 1 < a - 2 - a - 3 (a ≥ 3)
1
157. Chứng minh : x 2 - x + > 0 (x ≥ 0)
2
158. Tìm giá trị lớn nhất của S = x - 1 + y - 2 , biết x + y = 4.
153. Tính : A =

159. Tính giá trị của biểu thức sau với a =

9

3
1 + 2a
1 - 2a
: A=
+
.
4

1 + 1 + 2a 1 - 1 - 2a

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

160. Chứng minh các đẳng thức sau :

(

)( 10 - 6 ) 4 - 15 = 2
5 ( 3 + 5 )( 10 - 2 ) = 8 d)

a) 4 + 15

c) 3 -

b) 4 2 + 2 6 =

7 + 48 =

2
2

(

2

(

)

3 +1

)

3 + 1 e) 17 - 4 9 + 4 5 = 5 - 2

161. Chứng minh các bất đẳng thức sau :

5+ 5 5- 5
+
- 10 < 0
5- 5 5+ 5
ỉ
ư
5 +1
5 - 1 ửổ
1
c) ỗ
+
+ 2 ữ 0, 2 - 1,01 > 0
ữỗ 3 - 4
3
è 1 + 5 + 3 1 + 3 - 5 øè
ø
2 + 3 -1

2- 3ỉ
3
3 ư 1
d)
+
+
+ 3- 2 > 0
ỗ
ữ2+ 6
2 6 ố 2- 6 2+ 6 ø
2
27 + 6 > 48

a)

2+2

e)
h)

(

3+

b)

2 -1 +
5+

2 -2

)

7 -

(

2 - 1 > 1,9

)

3+ 5+ 7 <3

g)
i)

17 + 12 2 - 2 > 3 - 1
2 + 2 + 3 2- 2
< 0,8
4

1
< 2 n - 2 n - 1 . Từ đó suy ra:
n
1
1
1
2004 < 1 +
+
+ ... +

< 2005
2
3
1006009
2+ 3+ 4
3
163. Trục căn thức ở mẫu : a)
b)
.
2+ 3+ 6+ 8+4
2+ 3 2 + 3 4
3+ 2
3- 2
164. Cho x =
và y=
. Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.
3- 2
3+ 2
2002
2003
165. Chứng minh bất đẳng thức sau :
+
> 2002 + 2003 .
2003
2002
x 2 - 3xy + y 2
166. Tính giá trị của biểu thức : A =
với x = 3 + 5 và y = 3 - 5 .
x+y+2
6x - 3

167. Giải phương trình :
= 3 + 2 x - x2 .
x - 1- x
162. Chứng minh rằng : 2 n + 1 - 2 n <

168. Giải bất các pt :
a) 3 3 + 5x ³ 72

b)

1
10x - 14 ³ 1 c) 2 + 2 2 + 2x ³ 4 .
4

169. Rút gọn các biểu thức sau :

a) A = 5 - 3 - 29 - 12 5

c) C =

10

x + 3 + 2 x2 - 9
2x - 6 + x 2 - 9

b) B = 1 - a + a(a - 1) + a

d) D =

a -1

a

x 2 + 5x + 6 + x 9 - x 2
3x - x 2 + (x + 2) 9 - x 2

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

1
1
1
1
+
- ... 1- 2
2- 3
3- 4
24 - 25
1
170. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A =
.
2 - 3 - x2
2
1
171. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
+
với 0 < x < 1.

1- x x
172. Tìm GTLN của : a) A = x - 1 + y - 2 biết x + y = 4 ;
E=

b) B =

y-2
x -1
+
x
y

173. Cho a = 1997 - 1996 ; b = 1998 - 1997 . So sánh a với b, số nào lớn hơn ?
174. Tìm GTNN, GTLN của :

a) A =

1
5+2 6-x

175. Tìm giá trị lớn nhất của
176. Tìm giá trị lớn nhất của
177. Tìm GTNN, GTLN của
178. Tìm GTNN, GTLN của
179. Giải phương trình :

2

b) B = - x 2 + 2x + 4 .

A = x 1- x2 .
A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 1.
A = x3 + y3 biết x, y ≥ 0 ; x2 + y2 = 1.
A = x x + y y biết
x + y = 1.

1 - x + x 2 - 3x + 2 + (x - 2)

x -1
= 3.
x-2

180. Giải phương trình : x 2 + 2x - 9 = 6 + 4x + 2x 2 .

1
1
1
1
+
+
+ ... +
< 2.
2 3 2 4 3
(n + 1) n
1
1
1
1
182. Cho A =
+

+
+ ... +
. Hãy so sánh A và 1,999.
1.1999
2.1998
3.1997
1999.1
183. Cho 3 số x, y và x + y là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x ; y đều là số
181. CMR, "n Î Z+ , ta có :

hữu tỉ

3+ 2
- 2 6 ; b = 3 + 2 2 + 6 - 4 2 . CMR : a, b là các số hữu tỉ.
3- 2
ỉ 2+ a
a - 2 ư a a + a - a -1
185. Rút gọn biểu thức : P = ỗ
ữ.
a
ố a + 2 a +1 a -1 ø
184. Cho a =

(a >0 ; a ≠ 1)

æ a +1
ửổ
a -1
1 ử
+ 4 a ữỗ a ữ = 4a .

a +1
aứ
ố a -1
ứố

186. Chng minh : ỗ

187. Rỳt gn :

11

( x + 2)

- 8x
2
xx

(a > 0 ; a ≠ 1)

2

(0 < x < 2)

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

ổ

MAI TRNG MU

b - ab ử ổ
a
b
a+bử
+
ữ:ỗ
ữ
a + b ứ è ab + b
ab - a
ab ø

188. Rút gọn : ç a +

è

(

189. Giải bất phương trình : 2 x + x + a
2

2

)£

5a 2

(a ≠ 0)

x2 + a2
éæ 1 - a a
ưỉ 1 + a a
ứ
190. Cho A = (1 - a 2 ) : ờỗ
+ a ữỗ
- a ÷ú + 1
êè 1 - a
øè 1 + a
øú
ë
û
a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của A với a = 9.

c) Với giá trị nào của a thì | A | = A.
191. Cho biểu thức : B =

a + b -1
a- bổ
b
b ử
+
+
ỗ
ữ.
a + ab
2 ab ố a - ab a + ab ø
b) Tính giá trị của B nếu a = 6 + 2 5 .

a) Rút gọn biểu thức B.
c) So sánh B với -1.

æ

192. Cho A = ỗ

1

a+b ử
ử ổ
: ỗ1 +
ữ
ữ
a + a+b ø è
a-b ø
1

+

è a - a-b

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm b biết | A | = -A.
c) Tính giá trị của A khi a = 5 + 4 2 ; b = 2 + 6 2 .

æ a +1
ửổ
a -1

1 ử
+ 4 a ữỗ a ữ
a +1
aứ
ố a -1
ứố

193. Cho biu thc A = ỗ
a) Rỳt gn biu thức A.

b) Tìm giá trị của A nếu a =

6
2+ 6

c) Tìm giá trị của a để

.

A > A.

ỉ a
1 ửổ a - a a + a ử
ữỗ
ữ.
2 2 a øè a + 1
a -1 ø
è

194. Cho biểu thức A = ỗ

a) Rỳt gn biu thc A.

b) Tỡm giỏ tr của A để A = - 4

æ 1+ a
1- a
+
1+ a
è 1- a

195. Thực hiện phép tính : A = ç
196. Thực hiện phép tính : B =

2+ 3
2 + 2+ 3

+

ử ổ 1+ a
1- a ử
ữ:ỗ
ữ
1+ a ứ
ứ ố 1- a
2- 3
2 - 2- 3

197. Rút gọn các biểu thức sau :

é

x - y êỉ 1 1 ư
1
a) A =
: ỗ + ữ.
+
ờố x y ứ x + y + 2 xy
xy xy
ờ
ở

(

ự
ổ 1
1 ửỳ
.
+
ữ
3 ỗ
ỗ
y ữỳ
x+ y ố x
øú
û
2

)

với x = 2 - 3 ; y = 2 + 3 .
b) B =

12

x + x 2 - y2 - x - x 2 - y2
2(x - y)

với x > y > 0

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

c) C =

MAI TRỌNG MẬU

2a 1 + x 2
1+ x2 - x

(a

`d) D = (a + b) e) E =

với x =
2

1 ổ 1- a
a ử
ỗ

ữ
2ố a
1- a ứ

+ 1)( b 2 + 1)

x + 2 x -1 + x - 2 x -1
x + 2x - 1 + x - 2x - 1
x+

0
với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1

c2 + 1

198. Chứng minh :

;

. 2x - 1

x2 - 4
+
x

x-

x2 - 4
=

x

2x + 4
x

với x ≥ 2.

-1 + 2
-1 - 2
,b=
. Tính a7 + b7.
2
2
200. Cho a = 2 - 1
a) Viết a2 ; a3 dưới dạng m - m - 1 , trong đó m là số tự nhiên.
199. Cho a =

`

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số an viết được dưới dạng trên.
201. Cho biết x = 2 là một nghiệm của phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 với các hệ số
hữu tỉ. Tìm các nghiệm cịn lại.
202. Chứng minh 2 n - 3 <
203. Tìm phần nguyên của số

1
1
1
+
+ ... +

< 2 n - 2 với nỴ N ; n ≥ 2.
2
3
n

6 + 6 + ... + 6 + 6

204. Cho a = 2 + 3. Tính a)
205. Cho 3 số x, y,

éa 2 ù
ë û

b)

(có 100 dấu căn).

éa 3 ù .
ë û

x + y là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số

x , y đều là số hữu

tỉ

1
1
1
1

+
+
+ ... +
<2
2 3 2 4 3
(n + 1) n
1
1
1
1
207. Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , … a25 thỏa đk :
+
+
+ ... +
=9.
a1
a2
a3
a 25

206. CMR, "n ≥ 1 , n Ỵ N :

Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó tồn tại 2 số bằng nhau.
208. Giải phương trình

2+ x
2 + 2+ x

209. Giải và biện luận với tham số a

+

2- x

= 2.

2 - 2- x
1+ x + 1- x
= a.
1+ x - 1- x

ì x (1 + y ) = 2y
ï
ï
210. Giải hệ phương trình í y (1 + z ) = 2z
ï
ï z (1 + x ) = 2x
ỵ
211. Chứng minh rằng :

13

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

(8 + 3 7 ) có 7 chữ số 9 liền sau dấu phẩy.

b) Số ( 7 + 4 3 ) có mười chữ số 9 liền sau dấu phẩy.
7

a) Số

10

n nhất (n Ỵ N*), ví dụ :
1 = 1 Þ a1 = 1 ;
2 » 1, 4 Þ a 2 = 1 ;
3 » 1,7 Þ a 3 = 2 ;
1 1 1
1
Tính :
+ + + ... +
.
a1 a 2 a 3
a1980
212. Kí hiệu an là số nguyên gần

a) a n = 2 + 2 + ... + 2 + 2

213. Tìm phần nguyên của các số (có n dấu căn) :
b) a n = 4 + 4 + ... + 4 + 4

4 = 2 Þ a4 = 2

c) a n = 1996 + 1996 + ... + 1996 + 1996

214. Tìm phần nguyên của A với n Ỵ N : A = 4n 2 + 16n 2 + 8n + 3

215. Chứng minh rằng khi viết số x =

(

3+ 2

)

200

dưới dạng thập phân, ta được chữ số liền

trước dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 9.
216. Tìm chữ số tận cùng của phần nguyên của

(

3+ 2

)

250

.

217. Tính tổng A = é 1 ù + é 2 ù + é 3 ù + ... + é 24 ù

ë

û ë

û ë

û

ë

û

2

218. Tìm giá trị lớn nhất của A = x (3 – x) với x ≥ 0.
219. Giải phương trình : a) 3 x + 1 + 3 7 - x = 2

x - 2 + x +1 = 3 .
220. Có tồn tại các số hữu tỉ dương a, b không nếu : a) a + b = 2 b) a + b = 4 2 .
221. Chứng minh các số sau là số vô tỉ : a) 3 5
b) 3 2 + 3 4
a+b+c 3
222. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy với 3 số không âm :
³ abc .
3
a
b
c
d
1
223. Cho a, b, c, d > 0. Biết
+
+

+
£ 1 . Chứng minh rằng : abcd £ .
1+ a 1+ b 1+ c 1+ d
81
2
2
2
x
y
z
x y z
224. Chứng minh bất đẳng thức : 2 + 2 + 2 ³ + +
với x, y, z > 0
y
z
x
y z x
b)

3

225. Cho a = 3 3 + 3 3 + 3 3 - 3 3 ; b = 2 3 3 . Chứng minh rằng : a < b.
n

ỉ 1ư
226. a) Chứng minh với mọi số nguyờn dng n, ta cú : ỗ1 + ữ < 3 .
è nø
b) Chứng minh rằng trong các số có dạng n n (n là số tự nhiên), số 3 3 có giá trị lớn nhất
227. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 2 + x + 1 + x 2 - x + 1 .
228. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2(2 – x) biết x ≤ 4.

229. Tìm giá trị lớn nhất của A = x 2 9 - x 2 .
230. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x(x2 – 6) biết 0 ≤ x ≤ 3.
231. Một miếng bìa hình vng có cạnh 3 dm. Ở mỗi góc của hình vng lớn, người ta cắt đi
một hình vng nhỏ rồi gấp bìa để được một cái hộp hình hộp chữ nhật khơng nắp. Tính cạnh
hình vng nhỏ để thể tích của hộp là lớn nhất.

14

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

232. Giải các phương trình sau :

a) 1 + 3 x - 16 = 3 x + 3
c)

3

b)

x + 1 + 3 x - 1 = 3 5x

3

2 - x + x -1 = 1

d) 2 3 2x - 1 = x 3 + 1

x 3 - 3x - ( x 2 - 1) x 2 - 4

7- x - 3 x -5
g) 3
= 6-x
7- x + 3 x -5
3

= 2- 3

e)

3

h)

3

(x + 1) 2 + 3 (x - 1) 2 + 3 x 2 - 1 = 1

k)

4

1- x2 + 4 1+ x + 4 1- x = 3

2

i)
l)

4

3

x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0

a - x + 4 b - x = 4 a + b - 2x (a, b là

tham số)
3

233. Rút gọn A =

a 4 + 3 a 2 b2 + 3 b4
3

a 2 + 3 ab + 3 b 2

.

234. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x 2 - x + 1 + x 2 + x + 1
235. Xác định các số nguyên a, b sao cho một trong các nghiệm của phương trình :
3x3 + ax2 + bx + 12 = 0 là 1 + 3 .
236. Chứng minh

3

3 là số vơ tỉ.

237. Làm phép tính : a)

3

1 + 2 .6 3 - 2 2

b)

6

9 + 4 5. 3 2 - 5 .

238. Tính : a = 3 20 + 14 2 + 3 20 - 14 2 .

7 + 5 2 + 3 7 - 2 5 = 2.

239. Chứng minh :

3

240. Tính : A =

7 + 48 - 4 28 - 16 3 . 4 7 + 48 .

(

4

)

241. Hãy lập phương trình f(x) = 0 với hệ số nguyên có một nghiệm là : x = 3 3 + 3 9 .

1

242. Tính giá trị của biểu thức : M = x3 + 3x – 14 với x = 3 7 + 5 2 3

243. Giải các phương trình : a)

b)

3

3

7+5 2

.

x + 2 + 25 - x = 3 .
3

x - 9 = (x - 3) 2 + 6

244. Tìm GTNN của biểu thức : A =

c)

(

x 2 + 32 - 2 4 x 2 + 32 = 3

)

)

(

x3 + 2 1 + x3 + 1 + x3 + 2 1 - x3 + 1 .

245. Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh : a + b + c + d ≥ 4 4 abcd .

8-x
246. Rút gọn : P =
2- 3 x

3
ổ
x2
:ỗ2+
ỗ
2+ 3 x
ố

ử ổ3
2 3 x ửổ 3 x2 - 4
ữ+ỗ x + 3
ữỗ
ữ

x - 2 ứỗ 3 x2 + 2 x
è
ø
è

ư
÷;
÷
ø

Voi x > 0 , x ≠ 8
247. CMR : x = 3 5 - 17 + 3 5 + 17 là nghiệm của phương trình x3 – 6x – 10 = 0.

1

248. Cho x =
3

15

4 - 15

+ 3 4 - 15 . Tính giá trị biểu thức y = x3 – 3x + 1987.

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

a + 2 + 5.

249. Chứng minh đẳng thức :
3

9-4 5

= - 3 a -1.

2 - 5 .3 9 + 4 5 - 3 a 2 + 3 a
ỉ3
ư
9 + 4 5 + 3 2 + 5 ÷ . 3 5 - 2 - 2,1 < 0 .
è
ø

250. Chng minh bt ng thc : ỗ
251. Rỳt gn cỏc biu thc sau :

ổ
ử ỗ 1+ 23 1
a + a b + b
4b
b
ữ .ỗ
a) A =
3 ữ
3 2
1

3
a + 3 ab + 3 b 2
b + 2 ữ ỗ 1 - 2.
3
ỗ
ứ
b
ố
ổ a 3 a - 2a 3 b + 3 a 2 b 2 3 a 2 b - 3 ab 2 ử 1
c) C = ỗ
.
+ 3
ữ.
3 2
ỗ
a - 3 b ÷ 3 a2
a - 3 ab
è
ø
3

4

252. Cho M =

3

2

2

3

4

ổ
b
b) ỗ
ỗ b +8
ỗ
ố

(

)

ử
ữ 24
ữữ b +8
ữ
ứ

x 2 - 4a + 9 + x 2 - 4x + 8 . Tính giá trị của biểu thức M biết rằng:
x 2 - 4x + 9 - x 2 - 4x + 8 = 2 .

253. Tìm giá trị nhỏ nhất của : P = x 2 - 2ax + a 2 + x 2 - 2bx + b 2 (a < b)
254. Chứng minh rằng, nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì :
abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
255. Tìm giá trị của biểu thức | x – y | biết x + y = 2 và xy = -1
256. Biết a – b = 2 + 1 , b – c = 2 - 1, tìm giá trị của biểu thức :

A = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca.
257. Tìm x, y, z biết rằng : x + y + z + 4 = 2 x - 2 + 4 y - 3 + 6 z - 5 .
258. Cho y =
số.

x + 2 x - 1 + x - 2 x - 1 . CMR, nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì giá trị của y là một hằng

259. Phân tích thành nhân tử : M = 7 x - 1 - x 3 - x 2 + x - 1

(x ≥ 1).

260. Trong tất cả các hình chữ nhật có đường chéo bằng 8 2 , hãy tìm hình chữ nhật có diện
tích lớn nhất.
261. Cho tam giác vng ABC có các cạnh góc vng là a, b và cạnh huyền là c. Chứng minh
rằng ta luôn có : c ³

a+b
.
2

262. Cho các số dương a, b, c, a’, b’, c’. Chứng minh rằng :
Nếu

aa' + bb ' + cc ' = (a + b + c)(a '+ b '+ c ') thì

a b c
= =
.
a' b ' c '

263. Giải phương trình : | x2 – 1 | + | x2 – 4 | = 3.
264. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức C không phụ thuộc vào x, y :

C=

x+y
x+ y
x+y ö 2 x y
ữ
x+y
x+ yữ
ứ
1

ổ
ỗ
ỗ
ố

( x + y)
4xy

4

vi x > 0 ; y > 0.

265. Chứng minh giá trị biểu thức D không phụ thuộc vào a:

16

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

ỉ 2+ a
a - 2 ư a a + a - a -1
D=ỗ
vi a > 0 ; a ≠ 1
÷
a
è a + 2 a +1 a -1 ø
ỉ
c - ac ử
1
266. Cho biu thc B = ỗ a +
.
÷a
c
a+c
a+ cø
è
+
ac + c
ac - a
ac
a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tính giá trị của biểu thức B khi c = 54 ; a = 24

c) Với giá trị nào của a và c để B > 0 ; B < 0.

ổ

267. Cho biu thc : A= ỗ m+

ố

2mn
2mn ử
1
+ m1+ 2
2
2 ÷
1+n
1+ n ø
n

a) Rút gọn biểu thức A.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
268. Rút gọn

với m ≥ 0 ; n ≥ 1

b) Tìm giá trị của A với m = 56 + 24 5 .

ỉ
ưỉ 1
1+ x
1- x

1- x ử
x
D=ỗ
ữỗ 2 - 1 ữ
x ứ1- x + 1- x2
1 - x 2 - 1 + x øè x
è 1+ x - 1- x
ỉ 1
ư ỉ 2 xử
2 x
269. Cho P = ỗ
ữ : ỗ1 ữ vi x ≥ 0 ; x ≠ 1.
è x -1 x x + x - x -1 ø è x +1 ø
a) Rút gọn biểu thức P.
270. Xét biểu thức y =

b) Tìm x sao cho P < 0.

x + x
2x + x
+1.
x - x +1
x
2

a) Rút gọn y. Tìm x để y = 2.
b) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng : y - | y | = 0
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y ?

PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI

m
m2
1. Giả sử 7 là số hữu tỉ Þ 7 =
(tối giản). Suy ra 7 = 2 hay 7n 2 = m 2 (1). Đẳng thức
n
n
2
này chứng tỏ m M 7 mà 7 là số nguyên tố nên m M 7. Đặt m = 7k (k Ỵ Z), ta có m2 = 49k2 (2).
Từ (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3). Từ (3) ta lại có n2 M 7 và vì 7 là số nguyên tố
m
nên n M 7. m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số
không tối giản, trái giả thiết. Vậy 7
n
không phải là số hữu tỉ; do đó 7 là số vơ tỉ.
2. Khai triển vế trái và đặt nhân tử chung, ta được vế phải. Từ a) Þ b) vì (ad – bc)2 ≥ 0.
3. Cách 1 : Từ x + y = 2 ta có y = 2 – x. Do đó : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2.
Vậy min S = 2 Û x = y = 1.

17

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có :
(x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) Û 4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S Û S ≥ 2. Þ mim S = 2 khi x = y = 1
4. b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương

bc
ca bc
ab ca
ab
và
;
và
;
và
,
a
b a
c b
c

ta lần lượt có:

bc ca
bc ca
bc ab
bc ab
ca ab
ca ab
+ ³2
. = 2c;
+
³2
. = 2b ; +
³2

. = 2a cộng từng
a
b
a b
a
c
a c
b
c
b c
vế ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.

3a + 5b
³ 3a.5b .
2
12
12
Û (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) Û 122 ≥ 60P Û P ≤
Þ max P =
.
5
5
c) Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có :

Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2 Û a = 2 ; b = 6/5.
5. Ta có b = 1 – a, do đó M = a3 + (1 – a)3 = 3(a ẵ)2 + ẳ ẳ . Du = xảy ra khi a = ½ .
Vậy min M = ¼ Û a = b = ½ .
6. Đặt a = 1 + x Þ b3 = 2 – a3 = 2 – (1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3.
Suy ra : b ≤ 1 – x. Ta lại có a = 1 + x, nên : a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2.
Với a = 1, b = 1 thì a3 + b3 = 2 và a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1.

7. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a – b)2(a + b).
8. Vì | a + b | ≥ 0 , | a – b | ≥ 0 , nên : | a + b | > | a – b | Û a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2
Û 4ab > 0 Û ab > 0. Vậy a và b là hai số cùng dấu.
9. a) Xét hiệu : (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + 1 – 4a = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 ≥ 0.
b) Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c và các bất đẳng thức này có hai vế đều
dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82. Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8.
10. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) 2 ≤ 2(a2 + b2).
b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai triển và rút gọn, ta được :
3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2).

é 2x - 3 = 1 - x
11. a) 2x - 3 = 1 - x Û ê
Û
ë 2x - 3 = x - 1

é3x = 4
êx = 2 Û
ë

4
é
êx = 3
ê
ëx = 2

b) x2 – 4x ≤ 5 Û (x – 2)2 ≤ 33 Û | x – 2 | ≤ 3 Û -3 ≤ x – 2 ≤ 3 Û -1 ≤ x ≤ 5.
c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1 Û (2x – 1)2 ≤ 0. Nhưng (2x – 1)2 ≥ 0, nên chỉ có thể : 2x – 1 = 0
Vậy : x = ½ .
12. Viết đẳng thức đã cho dưới dạng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = 0 (1). Nhân hai vế của
(1) với 4 rồi đưa về dạng : a2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = 0 (2). Do đó ta có :

a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = 0 . Suy ra : a = b = c = d = 0.
13. 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 Þ M ≥ 1998.

ìa + b - 2 = 0
ï
Dấu “ = “ xảy ra khi có đồng thời : ía - 1 = 0
Vậy min M = 1998 Û a = b = 1.
ïb - 1 = 0
ỵ
14. Giải tương tự bài 13.
15. Đưa đẳng thức đã cho về dạng : (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + 1 = 0.
16. A =

18

1
1
1
1
=
£ . max A= Û x = 2 .
2
x - 4x + 9 ( x - 2 ) + 5 5
5
2

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

7 + 15 < 9 + 16 = 3 + 4 = 7 . Vậy 7 + 15 < 7
b) 17 + 5 + 1 > 16 + 4 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7 = 49 > 45 .
23 - 2 19 23 - 2 16 23 - 2.4
c)
<
=
= 5 = 25 < 27 .
3
3
3
17. a)

d) Giả sử

3 2> 2 3 Û

(

) (
2

3 2

>

2 3

Bất đẳng thức cuối cùng đúng, nên :
18. Các số đó có thể là 1,42 và

)

2

Û 3 2 > 2 3 Û 18 > 12 Û 18 > 12 .

3 2 > 2 3.

2+ 3
2

19. Viết lại phương trình dưới dạng : 3(x + 1) 2 + 4 + 5(x + 1)2 + 16 = 6 - (x + 1) 2 .
Vế trái của phương trình khơng nhỏ hơn 6, cịn vế phải khơng lớn hơn 6. Vậy đẳng thức chỉ xảy
ra khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra x = -1.

a+b
ỉa+bư
ab £
viết lại dưới dạng ab Ê ỗ
ữ (*) (a, b 0).
2
ố 2 ứ
2

20. Bt đẳng thức Cauchy

Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dưới dạng (*) với hai số dương 2x và xy ta được :

ổ 2x + xy ử
2x.xy Ê ỗ
ữ =4
ố 2 ứ
2

Du “ = “ xảy ra khi : 2x = xy = 4 : 2 tức là khi x = 1, y = 2. Þ max A = 2 Û x = 2, y = 2.
21. Bất đẳng thức Cauchy viết lại dưới dạng :

1
2
1998
>
. Áp dụng ta có S > 2.
.
1999
ab a + b

22. Chứng minh như bài 1.

x y
x 2 + y 2 - 2xy (x - y) 2
x y
+ -2=
=
³ 0 . Vậy + ³ 2
y x
xy
xy

y x
2
2
2
2
æx
y ö æx yö æx
y ö æx yö æx yö
b) Ta cú : A = ỗ 2 + 2 ữ - ç + ÷ = ç 2 + 2 ÷ - 2 ỗ + ữ + ỗ + ữ . Theo câu a :
x ø èy xø èy
x ø èy xø èy xø
èy
23. a)

2

ỉ x 2 y2 ư ỉ x y ử
ổx ử ổy ử
A ỗ 2 + 2 ữ - 2 ỗ + ữ + 2 = ỗ - 1ữ + ỗ - 1ữ 0
x ứ ốy xứ
ốy ø èx ø
èy
ỉ x 4 y4 ư ỉ x 2 y2 ử
x y
c) T cõu b suy ra : ỗ 4 + 4 ữ - ỗ 2 + 2 ữ ³ 0 . Vì
+ ³ 2 (câu a). Do đó :
y x
y
x ø èy
x ø

è
2

ỉ x 4 y4 ư ỉ x 2 y2 ử ổ x y ử
ỗ 4 + 4 ữ-ỗ 2 + 2 ữ+ỗ + ữ 2.
x ø èy
x ø èy xø
èy
24. a) Giả sử

1 + 2 = m (m : số hữu tỉ) Þ

b) Giả sử m +

3
= a (a : số hữu tỉ) Þ
n

tỉ, vơ lí.
25. Có, chẳng hạn

19

2 = m2 – 1 Þ

3
=a–m Þ
n

2 là số hữu tỉ (vơ lí)

3 = n(a – m) Þ

3 là số hữu

2 + (5 - 2) = 5

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

26. Đặt

MAI TRỌNG MẬU

x y
x 2 y2
x 2 y2
+ = a Þ 2 + 2 + 2 = a 2 . Dễ dàng chứng minh 2 + 2 ³ 2 nên a2 ≥ 4, do đó
y x
y
x
y
x

| a | ≥ 2 (1). Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a2 – 2 + 4 ≥ 3a
Û a2 – 3a + 2 ≥ 0 Û (a – 1)(a – 2) ≥0 (2)
Từ (1) suy ra a ≥ 2 hoặc a ≤ -2. Nếu a ≥ 2 thì (2) đúng. Nếu a ≤ -2 thì (2) cũng đúng. Bài
tốn được chứng minh.

27. Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :

x 4 z 2 + y 4 x 2 + z 4 x 2 - ( x 2 z + y 2 x + z 2 y ) xyz
x 2 y2 z2

³ 0.

Cần chứng minh tử không âm, tức là : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) + z3y2(z – x) ≥ 0. (1)
Biểu thức không đổi khi hốn vị vịng x à y à z à x nên có thể giả sử x là số lớn nhất. Xét hai
trường hợp :
a) x ≥ y ≥ z > 0. Tách z – x ở (1) thành – (x – y + y – z), (1) tương đương với :
x3z2(x – y) + y3x2(y – z) – z3y2(x – y) – z3y2(y – z) ≥ 0
Û z2(x – y)(x3 – y2z) + y2(y – z)(yx2 – z3) ≥ 0
Dễ thấy x – y ≥ 0 , x3 – y2z ≥ 0 , y – z ≥ 0 , yx2 – z3 ≥ 0 nên bất đẳng thức trên đúng.
b) x ≥ z ≥ y > 0. Tách x – y ở (1) thành x – z + z – y , (1) tương đương với :
x3z2(x – z) + x3z2(z – y) – y3x2(z – y) – z3y2(x – z) ≥ 0
Û z2(x – z)(x3 – zy2) + x2(xz2 – y3)(z – y) ≥ 0
Dễ thấy bất đẳng thức trên dúng.
Cách khác : Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :
2

ỉx ư ỉy ư ổz ử ổx y zử
ỗ - 1ữ + ỗ - 1ữ + ỗ - 1ữ + ỗ + + ữ ³ 3 .
èy ø èz ø èx ø èy z xø
2

2

28. Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tổng của số hữu tỉ a với số vô tỉ b là số hữu tỉ c. Ta có
: b = c – a. Ta thấy, hiệu của hai số hữu tỉ c và a là số hữu tỉ, nên b là số hữu tỉ, trái với giả thiết.

Vậy c phải là số vơ tỉ.
29. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) Þ (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2).
b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai triển và rút gọn ta được :
3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
c) Tương tự như câu b
30. Giả sử a + b > 2 Þ (a + b)3 > 8 Û a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 Û 2 + 3ab(a + b) > 8
Þ ab(a + b) > 2 Þ ab(a + b) > a3 + b3. Chia hai vế cho số dương a + b : ab > a2 – ab + b2
Þ (a – b)2 < 0, vơ lí. Vậy a + b ≤ 2.
31. Cách 1: Ta có : [ x ] ≤ x ; [ y] ≤ y nên [ x ] + [ y] ≤ x + y. Suy ra [ x ] + [ y] là số nguyên
không vượt quá x + y (1). Theo định nghĩa phần nguyên, [ x + y ] là số nguyên lớn nhất không
vượt quá x + y (2). Từ (1) và (2) suy ra :
Cách 2 : Theo định nghĩa phần nguyên :

[ x ] + [ y] ≤ [ x + y ] .
0 ≤ x - [ x ] < 1 ; 0 ≤ y - [ y] < 1.

Suy ra : 0 ≤ (x + y) – ( [ x ] + [ y] ) < 2. Xét hai trường hợp :
-

20

Nếu 0 ≤ (x + y) – ( [ x ] + [ y] ) < 1 thì

[ x + y] = [ x ] + [ y] (1)
Nếu 1 ≤ (x + y) – ( [ x ] + [ y] ) < 2 thì 0 ≤ (x + y) – ( [ x ] + [ y] + 1) < 1 nên
[ x + y] = [ x ] + [ y] + 1 (2). Trong cả hai trường hợp ta đều có : [ x ] + [ y] ≤ [ x + y]

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

32. Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + 8 ≥ 8 nên tử và mẫu của A là các số dương , suy ra A > 0 do
đó : A lớn nhất Û
Vậy max A =

1
nhỏ nhất Û x2 – 6x + 17 nhỏ nhất.
A

1
Û x = 3.
8

33. Khơng được dùng phép hốn vị vòng quanh x à y à z à x và giả sử x ≥ y ≥ z.
Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương x, y, z :

A=

x y z
x y z
+ + ³ 33 . . = 3
y z x
y z x

æx y zư
x y z
+ + ÷=3 Û = = Ûx = y=z

y z x
èy z xø
x y z ỉx ỉy z
x y
Cách 2 : Ta có : + + = ỗ + ữ + ỗ + - ữ . Ta đã có + ³ 2 (do x, y > 0) nên
y z x èy xø èz x xø
y x
x y z
y z y
để chứng minh + + ³ 3 ta chỉ cần chứng minh : + - ³ 1 (1)
y z x
z x x
Do ú min ỗ

(1) xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)
Û xy + z – yz – xz ≥ 0 Û y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 Û (x – z)(y – z) ≥ 0 (2)
(2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó tìm được giá
2

trị nhỏ nhất của

x y z
+ + .
y z x

34. Ta có x + y = 4 Þ x2 + 2xy + y2 = 16. Ta lại có (x – y)2 ≥ 0 Þ x2 – 2xy + y2 ≥ 0. Từ đó suy
ra 2(x2 + y2) ≥ 16 Þ x2 + y2 ≥ 8. min A = 8 khi và chỉ khi x = y = 2.
35. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm :
1 = x + y + z ≥ 3. 3 xyz
(1)

2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3. 3 (x + y)(y + z)(z + x)

(2)

ỉ2ư
Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm) : 2 9. A ị A ỗ ữ
ố9ứ
3
1
ổ2ử
max A = ỗ ữ khi v ch khi x = y = z = .
3
è9ø

3

3

36. a) Có thể. b, c) Khơng thể.
37. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a – b)2(a + b).

1
4
³
với x, y > 0 :
xy (x + y) 2
a
c
a 2 + ad + bc + c 2 4(a 2 + ad + bc + c 2 )
+

=
³
(1)
b+c d+a
(b + c)(a + d)
(a + b + c + d) 2
b
d
4(b 2 + ab + cd + d 2 )
Tương tự
+
³
(2)
c+d a+b
(a + b + c + d) 2
a
b
c
d
4(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ad + bc + ab + cd)
Cộng (1) với (2)
+
+
+
³
= 4B
b+c c+d d+a a +b
(a + b + c + d)2

38. Áp dụng bất đẳng thức

21

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

Cần chứng minh B ≥

MAI TRỌNG MẬU

1
, bất đẳng thức này tương đương với :
2

2B ≥ 1 Û 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2
Û a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ 0 Û (a – c)2 + (b – d)2 ≥ 0 : đúng.
39. - Nếu 0 ≤ x - [ x ] < ½ thì 0 ≤ 2x - 2 [ x ] < 1 nên [ 2x ] = 2 [ x ] .

- Nếu ½ ≤ x - [ x ] < 1 thì 1 ≤ 2x - 2 [ x ] < 2 Þ 0 ≤ 2x – (2 [ x ] + 1) < 1 Þ [ 2x ] = 2 [ x ] + 1
40. Ta sẽ chứng minh tồn tại các số tự nhiên m, p sao cho :
96 000...00 ≤ a + 15p < 97000...00
1 24
4 3
1 24
4 3
m chữ số 0

m chữ số 0

a
15p
+ m < 97 (1). Gọi a + 15 là số có k chữ số : 10k – 1 ≤ a + 15 < 10k
m
10
10
1
a
15
a 15p
15
Þ
£ k + k < 1 (2). Đặt x n = k + k . Theo (2) ta có x1 < 1 và k < 1.
10 10 10
10 10
10
Tức là 96 ≤

Cho n nhận lần lượt các giá trị 2, 3, 4, …, các giá trị của xn tăng dần, mỗi lần tăng khơng q 1
đơn vị, khi đó [ x n ] sẽ trải qua các giá trị 1, 2, 3, … Đến một lúc nào đó ta có é x p ù = 96. Khi đó
ë û
96 ≤ xp < 97 tức là 96 ≤

a 15p
+
< 97. Bất đẳng thức (1) được chứng minh.
10 k 10 k

42. a) Do hai vế của bất đẳng thức không âm nên ta có :

| A + B | ≤ | A | + | B | Û | A + B |2 ≤ ( | A | + | B | )2
Û
A2 + B2 + 2AB ≤ A2 + B2 + 2| AB | Û AB ≤ | AB | (bất đẳng thức đúng)
Dấu “ = “ xảy ra khi AB ≥ 0.
b) Ta có : M = | x + 2 | + | x – 3 | = | x + 2 | + | 3 – x | ≥ | x + 2 + 3 – x | = 5.
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi (x + 2)(3 – x) ≥ 0 Û -2 ≤ x ≤ 3 (lập bảng xét dấu)
Vậy min M = 5 Û -2 ≤ x ≤ 3.
c) Phương trình đã cho Û | 2x + 5 | + | x – 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 – x |
Û (2x + 5)(4 – x) ≥ 0 Û -5/2 ≤ x ≤ 4

é x £ -1

43. Điều kiện tồn tại của phương trình : x2 – 4x – 5 ≥ 0 Û ê
ëx ³ 5

Đặt ẩn phụ x 2 - 4x - 5 = y ³ 0 , ta được : 2y2 – 3y – 2 = 0 Û (y – 2)(2y + 1) = 0.
45. Vô nghiệm
46. Điều kiện tồn tại của x là x ≥ 0. Do đó : A = x + x ≥ 0 Þ min A = 0 Û x = 0.

3 - x = y ≥ 0, ta có : y2 = 3 – x Þ x = 3 – y2.
13
13
13
11
B = 3 – y2 + y = - (y – ½ )2 +
≤
. max B =
Û y=½ Û x=
.
4

4
4
4

47. Điều kiện : x ≤ 3. Đặt

48. a) Xét a2 và b2. Từ đó suy ra a = b.
b)

5 - 13 + 4 3 = 5 - (2 3 + 1) = 4 - 2 3 = 3 - 1 . Vậy hai số này bằng nhau.

c) Ta có :

(

n + 2 - n +1

)(

)

n + 2 + n + 1 = 1 và

(

n+1 - n

)(

)

n + 1 + n = 1.

Mà n + 2 + n + 1 > n + 1 + n nên n+2 - n + 1 < n + 1 - n .
49. A = 1 - | 1 – 3x | + | 3x – 1 |2 = ( | 3x 1| - ẵ )2 + ắ ¾ .
Từ đó suy ra : min A = ¾ Û x = ½ hoặc x = 1/6
51. M = 4

22

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

52. x = 1 ; y = 2 ; z = -3.
53. P = | 5x – 2 | + | 3 – 5x | ≥ | 5x – 2 + 3 – 5x | = 1. min P = 1 Û

2
3
£x£ .
5
5

54. Cần nhớ cách giải một số phương trình dạng sau :

ìA ³ 0 (B ³ 0)
a) A = B Û í

ỵA = B
ìB ³ 0
ï
d) A = B Û í é A = B
ïêA = -B
ỵë

b)

ìB ³ 0
A = BÛ í
2
ỵA = B

ìA = 0
c) A + B = 0 Û í
ỵB = 0

ìA = 0
e) A + B = 0 Û í
.
ỵB = 0

A = B.
b) Đưa phương trình về dạng : A = B .
c) Phương trình có dạng : A + B = 0 .
d) Đưa phương trình về dạng : A = B .
a) Đưa phương trình về dạng :

e) Đưa phương trình về dạng : | A | + | B | = 0

g, h, i) Phương trình vơ nghiệm.
k) Đặt x - 1 = y ≥ 0, đưa phương trình về dạng : | y – 2 | + | y – 3 | = 1 . Xét dấu vế trái.
l) Đặt :

8x + 1 = u ³ 0 ; 3x - 5 = v ³ 0 ; 7x + 4 = z ³ 0 ; 2x - 2 = t ³ 0 .

ìu + v = z + t

Ta được hệ : í

2
2
2
2
ỵu - v = z - t

8x + 1 = 7x + 4 Û x = 3 .

. Từ đó suy ra : u = z tức là :

55. Cách 1 : Xét

x 2 + y 2 - 2 2(x - y) = x 2 + y 2 - 2 2(x - y) + 2 - 2xy = (x - y - 2)2 ³ 0 .

( x 2 + y2 ) ³ 8 Û (x2 + y2)2 – 8(x – y)2 ≥ 0
x 2 + y2
Cách 2 : Biến đổi tương đương
³2 2Û
2
x-y

( x - y)
2

Û (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2 – 2) ≥ 0 Û (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2) + 16 ≥ 0 Û (x2 + y2 – 4)2 ≥ 0.
Cách 3 : Sử dụng bất đẳng thức Cauchy :

x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2xy + 2xy (x - y) 2 + 2.1
2
1
=
=
= (x - y) +
³ 2 (x - y).
x-y
x-y
x-y
x-y
x-y

(x >

y).

6+ 2
6- 2
- 6+ 2
- 6- 2
;y=
hoặc x =
;y=

2
2
2
2
2
1 1 1
1
1 ö 1 1 1 2(c + b + a
ỉ1 1 1ư
ỉ 1
62. ç + + ÷ = 2 + 2 + 2 + 2 ỗ
+ + ữ= 2 + 2 + 2 +
=
a
b c
b
c
abc
èa b cø
è ab bc ca ø a
1 1 1
= 2 + 2 + 2 . Suy ra điều phải chứng minh.
a
b
c
ìéx £ 6
ì x 2 - 16x + 60 ³ 0
ì(x - 6)(x - 10) ³ 0
ï
63. Điều kiện : í

Ûí
Û í ê x ³ 10 Û x ³ 10 .
ë
ỵx ³ 6
ỵx - 6 ³ 0
ïx ³ 6
ỵ
Dấu đẳng thức xảy ra khi x =

23

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

Bình phương hai vế : x2 – 16x + 60 < x2 – 12x + 36 Û x > 6.
Nghiệm của bất phương trình đã cho : x ≥ 10.

x 2 - 3 ≤ x2 – 3 (1)

64. Điều kiện x2 ≥ 3. Chuyển vế :
Đặt thừa chung :

2

x - 3 .(1 -

éx2 - 3 = 0
x -3) ≤ 0 Û ê
Û
ê1 - x 2 - 3 £ 0
ë
2

éx = ± 3
ê
êx ³ 2
ê x £ -2
ë

Vậy nghiệm của bất phương trình : x = ± 3 ; x ≥ 2 ; x ≤ -2.
65. Ta có x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 Û (x2 + y2)2 – 4(x2 + y2) + 3 = - x2 ≤ 0.
Do đó : A2 – 4A + 3 ≤ 0 Û (A – 1)(A – 3) ≤ 0 Û 1 ≤ A ≤ 3.
min A = 1 Û x = 0, khi đó y = ± 1. max A = 3 Û x = 0, khi đó y = ± 3 .
66. a) ½ ≤ x ≠ 1.
b) B có nghĩa Û

ì
ï -4 £ x £ 4
ï
ïéx £ 4 - 2 2
1
Û - < x £ 4-2 2 .
íê
2
ïêx ³ 4 + 2 2
ë

ï
ïx > - 1
ỵ
2
2
ì x - 2x ³ 0
ìx(x - 2) ³ 0
éx ³ 2
ï
67. a) A có nghĩa Û í
Ûí 2
Ûê
2
2
ëx < 0
ợx ạ x - 2x
ù x ạ x - 2x
ỵ
ì
2
ï -4 £ x £ 4
ì16 - x ³ 0
ï
ï
Û í(x - 4)2 ³ 8 Û
í2x + 1 > 0
ï x 2 - 8x + 8 ³ 0
ï
1
ỵ

ïx > ỵ
2

b) A = 2 x 2 - 2x với điều kiện trên.

x 2 - 2x < 1 Û x2 – 2x < 1 Û (x – 1)2 < 2 Û - 2 < x – 1 < 2 Þ kq
68. Đặt 0,999...99 = a. Ta sẽ chứng minh 20 chữ số thập phân đầu tiên của a là các chữ số
1 24
4 3
c) A < 2 Û

20 chữ số 9

a < 1. Thật vậy ta có : 0 < a < 1 Þ a(a – 1) < 0 Þ a2
– a < 0 Þ a2 < a. Từ a2 < a < 1 suy ra a < a < 1.
Vậy 0,999...99 = 0,999...99 .
1 24
4 3
1 24
4 3
9. Muốn vậy chỉ cần chứng minh a <

20 chữ số 9

20 chữ số 9

69. a) Tìm giá trị lớn nhất. Áp dụng | a + b | ≥ | a | + | b |.
A ≤ | x | + 2 + | y | + 1 = 6 + 2 Þ max A = 6 + 2 (khi chẳng hạn x = - 2, y = - 3)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất. Áp dụng | a – b | ≥ | a | - | b .
A ≥ | x | - 2 | y | - 1 = 4 - 2 Þ min A = 4 - 2 (khi chẳng hạn x = 2, y = 3)

70. Ta có : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2. Suy ra :
x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 (1)
Mặt khác, dễ dàng chứng minh được : Nếu a + b + c = 1 thì a2 + b2 + c2 ≥
Do đó từ giả thiết suy ra : x2y2 + y2z2 + z2x2 ≥

24

1
3

1
.
3

(2).

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

1
3
Û x=y=z= ±
3
3
71. Làm như bài 8c (§ 2). Thay vì so sánh n + n + 2 và 2 n+1 ta so sánh
Từ (1) , (2) : min A =

n + 2 - n + 1 và n + 1 - n . Ta có :
n + 2 - n +1 < n +1 - n Þ n + n + 2 < 2 n +1 .
72. Cách 1 : Viết các biểu thức dưới dấu căn thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu.
Cách 2 : Tính A2 rồi suy ra A.
73. Áp dụng : (a + b)(a – b) = a2 – b2.
74. Ta chứng minh bằng phản chứng.

15 =

3 + 5 = r Þ 3 + 2 15 + 5 = r2 Þ

a) Giả sử tồn tại số hữu tỉ r mà

r2 - 8
. Vế trái
2

là số vô tỉ, vế phải là số hữu tỉ, vơ lí. Vậy 3 + 5 là số vô tỉ.
b), c) Giải tương tự.
75. a) Giả sử a > b rồi biến đổi tương đương : 3 3 = 3 > 2 2 - 1 Û 3 3 > 2 2 + 2
Û

( ) (
2

3 3

> 2 2+2

)

2

Û 27 > 8 + 4 + 8 2 Û 15 > 8 2 Û 225 > 128 . Vậy a > b là đúng.

b) Bình phương hai vế lên rồi so sánh.

4 + 7 - 4 - 7 , rõ ràng A > 0 và A2 = 2 Þ A =

76. Cách 1 : Đặt A =

4 + 7 - 4 - 7 - 2 Þ 2.B = 8 + 2 7 - 8 - 2 7 - 2 = 0 Þ B =

Cách 2 : Đặt B =
0.
77. Q =
78. Viết

2

(

)

(

)

2+ 3+ 4 + 2 2+ 3+ 4

2 + 3 + 2.3 + 2.4 + 2 4
=
= 1+ 2 .
2+ 3+ 4
2+ 3+ 4
40 = 2 2.5 ; 56 = 2 2.7 ; 140 = 2 5.7 . Vậy P = 2 + 5 + 7 .

79. Từ giả thiết ta có : x 1 - y 2 = 1 - y 1 - x 2 . Bình phương hai vế của đẳng thức này ta
được : y = 1 - x 2 . Từ đó : x2 + y2 = 1.
80. Xét A2 để suy ra : 2 ≤ A2 ≤ 4. Vậy : min A =
81. Ta có : M =

(

a+ b

) (
2

£

a+ b

) (
2

+

2 Û x = ± 1 ; max A = 2 Û x = 0.

a- b

)

2

= 2a + 2b £ 2 .

ì a= b
1
ï
max M = 2 Û í
Ûa=b= .
2
ïa + b = 1
ỵ
82. Xét tổng của hai số :

( 2a + b - 2 cd ) + ( 2c + d - 2 ab ) = ( a + b - 2 ab ) + ( c + d - 2 cd ) + a + c =
= (a + c) + ( a - b ) + ( c - d ) ³ a + c > 0 .
2

2

83. N = 4 6 + 8 3 + 4 2 + 18 = 12 + 8 3 + 4 + 4 6 + 4 2 + 2 =
=

(2

)

2

84. Từ x + y + z =

25

(

)

3+2 +2 2 2 3+2 +2 =

(2

xy + yz + zx Þ

3 +2+ 2

(

x- y

)

2

= 2 3 + 2 + 2.

) (

2

+

y- z

) (
2

+

z- x

)

2

= 0.

www.MATHVN.com