Nghiên cứu quá trình lan truyền của sóng áp suất trong hỗn hợp chất lỏng hai pha

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN QUỐC NGHỊ

NGHIÊN CỨU Q TRÌNH LAN TRUYỀN CỦA
SĨNG ÁP SUẤT TRONG HỖN HỢP
CHẤT LỎNG HAI PHA
Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 60.46.36

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Văn Tuấn

Thái Nguyên – 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Cơng trình được hồn thành tại trường Đại học Khoa học,
Đại học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Văn Tuấn

Phản biện 1:…………………………………………….
Phản biện 2:…………………………………………….

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:
Trường đại học khoa học
vào hồi …. giờ …. ngày ….tháng …. năm 2011

Có thể tìm hiểu luận văn tại trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên
và thư viện trường Đại học Khoa học, khoa Tốn học

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN

1.
Nguyễn Văn Tuấn, Trần Quốc Nghị, Nguyễn Thị Bích Ngọc “ Một số kết
quả nghiên cứu về hiện tượng khuếch đại cường độ của sóng xung kích trong
hỗn hợp chất lỏng hai pha” Tạp chí Khoa học và Cơng nghệ, Đại học Thái
Nguyên 2011 (đã được nhận đăng)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Văn Tuấn. Tác giả xin
bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy về sự tận tình hướng dẫn
trong suốt thời gian tác giả làm luận văn.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô, Ban giám hiệu nhà
trường, Ban chấp hành Đồn, các đồng nghiệp cùng cơng tác trong cơ quan đã
luôn tạo điều kiện thuận lợi nhất giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và
làm luận văn cao học.
Xin chân thành cảm ơn anh chị em học viên cao học và bạn bè đồng
nghiệp gần xa đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học
tập, nghiên cứu và làm luận văn.
Luận văn sẽ khơng hồn thành được nếu khơng có sự thông cảm, giúp
đỡ của những người thân trong gia đình tác giả. Đây là món q tinh thần, tác
giả xin kính tặng gia đình thân u của mình với tấm lịng biết ơn chân thành
và sâu sắc.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2

MỘT SỐ KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

B

Hằng số khí.

j, n

Cường độ chuyển pha, số lượng bọt.

p, p0 , pi Áp suất hỗn hợp, áp suất ban đầu, áp suất của pha thứ i.
pe

Cường độ sóng xung kích ban đầu.

R, a

Bán kính cảu bọt.

R0 , a0

Bán kính ban đầu của bọt.

T , T0 , Ti

Nhiệt độ hỗn hợp, nhiệt độ ban đầu, nhiệt độ pha i.

t

Thời gian.

v, vi

Vận tốc của hỗn hợp, vận tốc pha i.

W1

Vận tốc hướng kính của chất lỏng chuyển động xung quanh bọt.

W1

Vận tốc màng bọt.

 ,

Đại lượng không thứ nguyên của mật độ, nhiệt độ.

P, W

Đại lượng không thứ nguyên của áp suất và vận tốc màng bọt.

i

Phần thể tích của pha i trong hỗn hợp.

i0

Phần thể tích ban đầu của pha i.

, 

Hệ số sức căng bề mặt, tọa độ Lagrange.

i , 

Mật độ của pha i, mật độ của hỗn hợp.

i0 , 0

Mật độ thực của pha i, mật độ ban đầu của hỗn hợp.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .......................................................................................................................... 1
MỘT SỐ KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ............................................................................... 2
MỤC LỤC ................................................................................................................................ 3
LỜI MỞ ĐẦU .......................................................................................................................... 4
CHƯƠNG I: TỔNG QUAN ................................................................................................... 8
CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT .................................................................................... 12
2.1 Hệ phương trình thủy - nhiệt động lực học cho môi trường hai pha lỏng hơi ...... 12
2.1.1 Xây dựng mơ hình.................................................................................................12
2.1.2. Hệ phương trình cơ sở. ........................................................................................12
2.1.3. Điều kiện đầu và điều kiện biên ..........................................................................24
2.2. Phương pháp giải số.................................................................................................. 24
CHƯƠNG 3: MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Q TRÌNH LAN TRUYỀN VÀ
KHUẾCH ĐẠI CỦA SĨNG XUNG KÍCH TRONG CÁC HỖN HỢP CHẤT LỎNG
CHỨA BỌT HƠI .................................................................................................................. 29

3.1 Một số kết quả nghiên cứu quá trình lan truyền của sóng xung kích trong các
hỗn hợp chất lỏng chứa bọt hơi ....................................................................................... 29
3.1.1 Quá trình lan truyền của sóng xung kích trong hỗn hợp nước chứa bọt hơi ..... 29
3.1.2 Q trình lan truyền của sóng xung kích trong mơi trường dầu. ....................... 33
3.1.3 Q trình lan truyền của sóng xung kích trong mơi trường freon21 ................. 37
3.1.4 Q trình lan truyền của sóng xung kích trong môi trường nitơ lỏng chứa bọt
hơi ....................................................................................................................................... 40
3.2. Một số kết quả về hiện tượng khuếch đại cường độ của sóng xung kích trong
hỗn hợp chất lỏng hai ....................................................................................................... 44
KẾT LUẬN ............................................................................................................................ 56
KIẾN NGHỊ VỀ NHỮNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO .................................................... 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................... 59

PHỤ LỤC ........................................................................................................ 62

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

LỜI MỞ ĐẦU
Hỗn hợp chất lỏng chứa bọt khí là một môi trường hai pha rất phức
tạp. Môi trường này thường gặp nhiều trong các q trình tự nhiên, trong
cơng nghệ hoá học, đồng thời chúng cũng được ứng dụng rất nhiều trong các
ngành công nghiệp năng lượng như: khai thác, vận chuyển và chế biến dầu
khí...Tuy nhiên, chỉ từ 1950 trở lại đây, việc nghiên cứu về dòng hai pha lỏngkhí mới được tiến hành một cách có hệ thống cả về lý thuyết và thực nghiệm.
Trong các hỗn hợp này thì quá trình trao đổi nhiệt - chất là một trong những
hiện tượng quan trọng không thể tách rời, nhất là trong trường hợp tồn tại

sóng xung kích lan truyền trong hỗn hợp.
Môi trường hỗn hợp hai pha có tính chất đặc biệt ở chỗ trong hỗn hợp
do có sự kết hợp các tính chất phi tuyến vật lý mạnh, sự tán sắc và quá trình
hao tán năng lượng nên biểu đồ mơ tả các sóng có nhiều dạng. Chính vì vậy,
khi thay đổi các điều kiện thuỷ động lực sẽ dẫn đến sự thay đổi cấu trúc về
sóng, các tính chất vật lý nhiệt, và các q trình tương tác giữa các pha. Tính
chất đặc trưng của hỗn hợp chất lỏng chứa bọt khí trong các quá trình động
lực học là sự xuất hiện biến dạng cục bộ của hỗn hợp khi thay đổi thể tích mơi
trường do sự thay đổi thể tích của bọt. Khả năng mức độ co nén của bọt phụ
thuộc mạnh vào sự trao đổi nhiệt và khối lượng giữa pha lỏng và pha khí. Sự
xuất hiện đồng thời những năng lượng do biến dạng này sẽ dẫn tới sóng có
cấu trúc khác nhau. Ngồi ra, sự truyền sóng áp suất trong những mơi trường
như vậy cũng dẫn đến khả năng hố hơi và ngưng tụ của pha khí, từ đó dẫn
đến sự thay đổi chủ yếu cấu trúc của môi trường.
Do hỗn hợp chất lỏng chứa bọt khí có tính chất đặc biệt như trên hơn
nữa đây là hỗn hợp xuất hiện rất nhiều trong các lĩnh vực công nghiệp năng
lượng, công nghệ hố học và các q trình tự nhiên... cho nên, sự hiểu biết về

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5

các hiện tượng có thể xuất hiện ví dụ như hiện tượng khuếch đại cường độ
của sóng trong hỗn hợp khi sóng áp suất lan truyền qua chất lỏng chứa bọt và
nhất là khi xảy ra quá trình tương tác giữa các sóng là rất cần thiết.
Căn cứ vào tình hình phát triển của các nghiên cứu ở trong và ngồi
nước về các q trình lan truyền của sóng xung kích trong hỗn hợp các chất

lỏng- bọt , mục đích chính của đề tài này bao gồm các vấn đề sau:
- Nghiên cứu lý thuyết về các quá trình lan truyền của sóng trong hỗn
hợp hai pha bao gồm pha phân tán là các phần tử dạng bọt hơi cùng với pha
chính là chất lỏng Newton được chứa trong ống nằm ngang. Giả sử tại một
đầu ống tồn tại một sóng xung kích tác động và lan truyền vào trong hỗn hợp,
chúng lan truyền đến khi tắt dần. Thành lập hệ phương trình vi phân và đạo
hàm riêng thuỷ nhiệt động lực học mơ tả các q trình này.
- Trên cơ sở nghiên cứu, ứng dụng thuật toán và sử dụng chương trình
tính giải hệ phương trình thuỷ nhiệt động lực học của hỗn hợp hai pha sau khi
kết hợp các điều kiện biên phù hợp với mơ hình khảo sát, để nghiên cứu q
trình lan truyền của sóng xung kích trong một số hỗn hợp các chất lỏng - bọt.
Chương trình đã được kiểm chứng bằng cách so sánh kết quả của chương
trình với kết quả thực nghiệm đã được cơng bố của các tác giả khác về sóng
tới.
- Nghiên cứu ảnh hưởng của các điều kiện đầu và điều kiện biên đặc
trưng cho tác dụng động lực và cấu trúc của hỗn hợp lên quá trình lan truyền
của sóng áp suất trong hỗn hợp chất lỏng hai pha. Đồng thời nghiên cứu hiện
tượng khuếch đại cường độ của sóng xung kích khi sóng này tác động vào
hỗn hợp, đây là một hiện tượng bất thường xảy ra đối với hỗn hợp chất lỏng
chứa bọt.
- Đưa ra nhận xét và kết luận những vấn đề nghiên cứu. Đồng thời có
thể đề xuất ý kiến góp phần giảm thiểu các hiện tượng bất thường để đảm bảo

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6

an toàn trong hệ thống truyền dẫn thủy lực.
Nội dung của luận văn được chia làm ba chương:
Chương I: Tổng quan
Trình bày tổng quan về sự phát triển và xu hướng phát triển trong lĩnh
vực truyền sóng xung kích trong hỗn hợp lỏng – hơi, các hiện tượng xảy ra
khi sóng xung kích lan truyền trong hỗn hợp.
Chương II: Cơ sở lý thuyết
Dựa trên cơ sở hệ phương trình thủy nhiệt - động lực học của hỗn hợp
lỏng hơi mô tả hiện tượng vật lí, xây dựng thuật tốn và chương trình tính phù
hợp để nghiên cứu phân tích và đánh giá q trình lan truyền của sóng xung
kích trong hỗn hợp.
Chương III: Trình bày một số kết quả nghiên cứu về q trình lan truyền
của sóng xung kích trong các hỗn hợp chất lỏng và hiện tượng bất thường xảy
ra trong q trình này, đó là hiện tượng khuếch đại của sóng xung kích. Từ
kết quả của chương trình tính có được, nghiên cứu, đánh giá sự ảnh hưởng
của các yếu tố: cường độ sóng xung kích ban đầu, nồng độ thể tích pha hơi
lên q trình lan truyền của sóng xung kích trong hỗn hợp.
So sánh các q trình lan truyền của sóng xung kích trong một số hỗn
hợp chất lỏng chứa bọt hơi nhằm chỉ ra được sự ảnh hưởng của các tính chất
vật lý nhiệt của nó lên các q trình lan truyền của sóng xung kích trong hỗn
hợp.
Để thực hiện được các nội dung trên, chúng tôi tiến hành thực hiện đề
tài “Nghiên cứu quá trình lan truyền của sóng áp suất trong hỗn hợp chất
lỏng hai pha”
Bản luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học và xã hội
- Đại học Thái Nguyên và hoàn thành từ ý tưởng nghiên cứu, sự tận tình
hướng dẫn và giúp đỡ về mặt khoa học của PGS.TS Nguyễn Văn Tuấn, tơi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7

xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy.
Tôi xin chân thành cảm ơn Trường Trung học phổ thông Chợ Đồn đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và hồn
thành luận văn tốt nghiệp.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8

CHƯƠNG I

TỔNG QUAN
Như đã nêu trong phần mở đầu, hỗn hợp hai pha chất lỏng chứa bọt khí
hoặc hơi có tính chất đặc biệt, đó là sự kết hợp của các tính chất phi tuyến vật
lý mạnh, phân tán và hao tán năng lượng, nên biểu đồ mô tả các sóng có thể
có nhiều dạng. Chính vì vậy khi thay đổi các điều kiện thuỷ động lực, sẽ dẫn
đến sự thay đổi các cấu trúc về sóng và các quá trình tuơng tác giữa các pha.
Cho nên sự hiểu biết về các hiện tượng bất thường có thể xuất hiện khi sóng
áp suất lan truyền qua chất lỏng chứa bọt hơi là rất cần thiết để giải quyết một
loạt các bài tốn thực tế như để phân tích chế độ làm việc quá độ của các thiết
bị năng lượng, phân tích tình huống hư hỏng và đảm bảo an tồn khi khai thác
của các nhà máy điện nguyên tử, phân tích các hiện tượng xâm thực trong các

máy tuốc bin, trong các hệ thống truyền dẫn thuỷ lực, để ứng dụng trong công
nghiệp khai thác, vận chuyển và chế biến dầu khí, trong cơng nghệ hố học,..
Dẫn đến sự cấp thiết của việc nghiên cứu thuỷ động lực học về các q trình
sóng trong mơi trường chất lỏng có bọt.
Mơi trường hỗn hợp của chất lỏng với bọt của khí hồ tan và ngưng tụ
(hay khí khơng hồ tan và không ngưng tụ) thú vị ở chỗ trong chúng được cấu
thành từ ba yếu tố chính : tính phi tuyến, sự tán sắc và quá trình hao tán năng
lượng [1, 19]. Bức tranh sóng có thể có nhiều dạng và nó dễ dàng thay đổi
bằng cách thay đổi các điều kiện thuỷ động lực, cấu trúc và tính chất vật lý
nhiệt của hỗn hợp với các quá trình tương tác của các pha. Điều đặc biệt của
hỗn hợp chất lỏng chứa bọt trong các quá trình thuỷ động lực là sự xuất hiện
của năng lượng biến dạng cục bộ của hỗn hợp khi thay đổi thể tích mơi
trường, sự thay đổi này chủ yếu do sự thay đổi thể tích của bọt trong hỗn hợp

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




9

do tính chất dễ co lại hay giãn nở của khí (hoặc hơi) trong bọt [3],[6].
Sự xuất hiện đồng thời của năng lượng biến dạng và sự đàn hồi dẫn đến
sóng có cấu trúc dao động bởi sự thay đổi thể tích của bọt. Ngồi ra, sự lan
truyền sóng áp suất trong những môi trường như vậy dẫn đến sự hồ tan hay
ngưng tụ của pha khí (hoặc hơi) và như vậy dẫn đến sự thay đổi cơ bản về bản
chất và cấu trúc vật lí của hỗn hợp.
Do sự thay đổi tính chất vật lí của hỗn hợp khi có sóng xung kích lan
truyền qua, nên trong hỗn hợp chất lỏng chứa bọt khí (hoặc hơi) thường xảy
ra những hiện tượng thể hiện tính chất phi tuyến của hỗn hợp đó là hiện tượng

khuếch đại hay tắt dần của sóng xung kích khi nó lan truyền trong hỗn hợp.
Về sự khuếch đại của sóng xung kích lan truyền trong chất lỏng chứa bọt khí
đã được đề cập đến trong [8],[9]. Trong các cơng trình này tác giả đã trình bày
hệ phương trình nhiệt thuỷ động lực học, giải hệ phương trình bằng phương
pháp số và đưa ra một số kết quả về sự ảnh hưởng của quá trình trao đổi nhiệt
– khối lượng lên động lực học sóng của mơi trường hai pha lỏng - khí hoặc
hơi có xét đến khả năng ngưng tụ của hơi hay khí hồ tan của pha khí [14].
Trong trường hợp khơng đi sâu nghiên cứu về cấu trúc của sóng xung kích,
mà chỉ xem sự truyền sóng xung kích như sự truyền của mặt gián đoạn. Tác
giả đã trình bày một số kết quả nghiên cứu về sự tăng áp suất của sóng xung
kích trong hỗn hợp chất lỏng chứa bọt khí hoặc hơi khi sóng này tác động và
bị phản xạ bởi một tường cứng, cịn hiện tượng tắt dần có thể xem trong [10].
Sóng xung kích trong hỗn hợp chứa bọt khí hồ tan hay ngưng tụ, về lý
thuyết đã được nghiên cứu trong các cơng trình [11, 16, 17], cịn bằng thực
nghiệm đã được nghiên cứu bởi các cơng trình [10, 13, 15]. Nghiên cứu lý
thuyết về sự di chuyển của bọt và về sự co lại hay giãn nở của bọt trong dịng
chảy hai pha có thể xem trong [12]. Mơi trường lỏng - bọt cịn được sử dụng
trong cơng nghiệp năng lượng ngun tử. Phân tích các chế độ làm việc quá

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




10

độ của của các thiết bị năng lượng, phân tích các tình huống hư hỏng và đảm
bảo an tồn khi khai thác các nhà máy điện nguyên tử đã được đề cập đến
trong cơng trình [4].
Nhận biết được những tính chất phi tuyến mạnh của môi trường hai pha

lỏng - bọt, mà trong đó có thể xuất hiện nhiều hiện tượng bất thường khi có
sóng xung kích lan truyền qua như hiện tượng tăng áp suất hoặc giảm đột
ngột của áp suất trong hỗn hợp [5, 17]. Hơn nữa, môi trường này lại được ứng
dụng rộng rãi trong rất nhiều ngành trong các lĩnh vực cơng nghiệp khác
nhau. Chính vì vậy, đây là một môi trường đã tập trung được rất nhiều nhà
khoa học trong nước và trên thế giới quan tâm. Với tổng quan tóm tắt trình
bày thực trạng của vấn đề đối với mơ hình thủy - nhiệt mơ tả dịng chảy hai
pha lỏng – bọt, có sóng xung kích lan truyền trong đó, tác giả đã cố gắng tìm
hiểu và trình bày một số nghiên cứu về lý thuyết cũng như về thực nghiệm
của quá trình lan truyền của sóng xung kích trong hỗn hợp chất lỏng hai pha,
phân tích các hiện tượng, các hiệu ứng bất thường có thể xảy ra trong hỗn hợp
và một số nguyên nhân cơ bản gây ra các hiệu ứng đó. Qua kết quả nghiên
cứu của các cơng trình đã cho sự hiểu biết đúng đắn về các hiện tượng có thể
xuất hiện, để giải quyết hàng loạt các bài toán thực tế như phân tích các chế
độ làm việc của các trạm năng lượng, phân tích các điều kiện hư hỏng và đảm
bảo an toàn khi khai thác các nhà máy điện nguyên tử, trong khai thác vận
chuyển và chế biến dầu khí, trong cơng nghệ hố học và các quá trình tự
nhiên…
Các kết quả nghiên cứu về lý thuyết và thực nghiệm của các cơng trình
được trình bày trên đây đã quan tâm đến hầu hết các vấn đề, các hiện tượng
có thể xuất hiện trong hỗn hợp lỏng - bọt khi tồn tại sóng xung kích truyền
qua như sự tăng áp suất hay giảm áp suất trong hỗn hợp. Đã tìm hiểu quá trình
chuyển động của bọt trong hỗn hợp, đến sự tách rời hay sự kết hợp lại của bọt

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




11

trong hỗn hợp vì chính bọt là ngun nhân gây ra tính phi tuyến mạnh của
mơi trường. Những vấn đề đặt ra trên đây có thể cịn chưa được quan tâm
hoặc quan tâm chưa đúng mức.
Chính vì vậy, khi nhận biết được vấn đề này và hiểu được tầm quan trọng
của mơi trường lỏng - bọt bởi nó được ứng dụng rất nhiều trong thực tế, nên
bản thân tôi đã cố gắng nghiên cứu, tìm hiểu và đã đưa ra được một số kết quả
nghiên cứu về quá trình lan truyền của sóng xung kích trong hỗn hợp lỏng bọt dẫn đến các hiện tượng bất thường có thể xảy ra trong hỗn hợp trong đó
có hiện tượng khuếch đại cường độ của sóng xung kích. Đã nghiên cứu, phân
tích và tìm hiểu về sự ảnh hưởng của các tham số đặc trưng như: các điều kiện
ban đầu, các điều kiện biên, các tính chất vật lý nhiệt của hỗn hợp, cường độ
xung kích, phần thể tích của pha hơi trong hỗn hợp...lên quá trình lan truyền
và hiện tượng khuếch đại của sóng xung kích trong hỗn hợp lỏng - bọt. Các
vấn đề đặt ra trên đây cũng là nội dung chính sẽ được trình bày trong luận văn
này.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




12

CHƯƠNG II
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1 Hệ phương trình thủy - nhiệt động lực học cho môi trường hai pha
lỏng hơi
2.1.1 Xây dựng mơ hình
Khảo sát hỗn hợp chất lỏng chứa bọt hơi hình cầu được chứa trong ống
nằm ngang với giả thiết: Độ nhớt và tính dẫn nhiệt chỉ quan trọng trong q

trình tương tác giữa các pha, khơng quan trọng trong sự truyền xung và năng
lượng. Mật độ thực của chất lỏng chính là khơng thay đổi  = const.
Giả sử tồn tại một sóng xung kích tác động và lan truyền trong hỗn hợp.
p

Nghiên cứu, phân tích và đánh giá q trình lan truyền của sóng xung
kích trong hỗn hợp chứa trong ống ở trên. Đồng thời nghiên cứu hiện tượng
bất thường xảy ra trong giai đoạn đầu khi sóng tác động vào hỗn hợp – đó là
hiện tượng khuếch đại cường độ của sóng xung kích.
2.1.2. Hệ phương trình cơ sở.
Hệ phương trình cơ học của hỗn hợp chất lỏng hai pha được xây dựng
trên cơ sở các định luật vật lý về bảo toàn khối lượng, xung lượng và năng
lượng [2].
Khảo sát hỗn hợp 2 pha (N =2) trong đó pha phân tán gồm có các phần
tử dạng bọt với pha chính là chất lỏng Newton [19]

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




13

Ta quy ước chỉ số dưới i =1 sẽ liên quan tới thơng số pha chính cịn
i=2 liên quan tới pha phân tán. Để cho các phương trình nhận được bớt phức
tạp trong việc sử dụng phương pháp số ta giả thiết như sau:
- Pha phân tán (hay gọi là pha hơi) trong từng thể tích  V tồn tại dạng bọt
hình cầu, có cùng bán kính R được phân bố đều và nồng độ thể tích của pha
phân tán khơng q lớn  22  1 .
- Có thể bỏ qua năng lượng và các ảnh hưởng khác của chuyển động hỗn

loạn, chuyển động quay, biến dạng của phần tử phân tán.
- Có thể bỏ qua tác dụng trực tiếp và sự va đập giữa các bọt.
- Độ nhớt và tính dẫn nhiệt chỉ quan trọng trong q trình tương tác giữa
các pha, không quan trọng trong sự truyền xung và năng lượng.
- Vận tốc của các pha trong hỗn hợp là như nhau v1  v2  v .
- Mật độ thực của chất lỏng là không thay đổi 10  const .
Do giả thiết các phần tử của pha phân tán là hình cầu bán kính a cho
nên
4
3

 2  a 3 n

; 1  1   2

Khi đó mật độ pha  i đặc trưng cho khối lượng pha trong một đơn vị
thể tích hỗn hợp được tính như sau:
1  10 . 1

 2   20 . 2 ( 1   2  1 )

Và mật độ của cả hỗn hợp
  1   2  10 . 1   20 . 2

Trong tọa độ Lagrange (  , t ), hỗn hợp chuyển động với vận tốc môi
trường v(  , t ), các phương trình bảo tồn khối lượng, mật độ bọt và xung
lượng của cả hỗn hợp trong trường hợp chuyển động liên tục một chiều có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14

dạng sau [8]:
 1  1 v

  4R 2 nj ,
t
 0 

(2.1)

 2  2 v

 4R 2 nj ,
t
 0 

(2.2)

 4 3 0
2
 R  2   4R j ,
t  3


(2.3)

v
1 p

 0,
t  0 

n n v

 0.
t  0 

(2.4)
4
3

 i   i  i0 , 1   2  1 ,   1   2 ,  2  R 3 n ,
2 

p   1 p1   2  p 2 
.
R 


(2.5)

Trong đó: t là thời gian, chỉ số i = 1, 2 liên quan tới tham số tương ứng của
chất lỏng và hơi nước;  i , pi ,  i ,  i0 là phần thể tích, áp suất, mật độ trung bình
và mật độ thực của pha thứ i ;  , p, v là mật độ, áp suất và vận tốc trung bình
của hỗn hợp ; n là số lượng bọt trong một đơn vị thể tích hỗn hợp ; j là cường
độ của sự chuyển pha trong một đơn vị diện tích bề mặt giữa các pha (j > 0

tương ứng với trường hợp hố hơi, cịn j < 0 tương ứng với trường hợp ngưng
tụ); g là cường độ của lực khối ngoài ;  là hệ số sức căng bề mặt. Từ đây về
sau lấy đạo hàm riêng


khi cố định toạ độ Lagrange có nghĩa là lấy đạo hàm
t

toàn phần theo thời gian.
Liên hệ giữa toạ độ Lagrange  và tọa độ Euler x có dạng:
t

x(  , t )     v( ,  ) d

(2.6)

0

Với giả thiết chất lỏng là không nén được, hơi nước tuân theo phương
trình trạng thái pha của khí hồn hảo và ln tồn tại ở trạng thái bão hồ, do
đó nó tn theo phương trình Clapeyron-Clausius được biểu diễn dưới dạng:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




15

  const,
0

1

p 2  B T ,
0
2 2

dT2 T2 
 20 
1  0  .

dp2  20 l 
1 

(2.7)

trong đó T là nhiệt độ tuyệt đối, B là hằng số khí, l là nhiệt dung riêng của hơi
nước bão hoà.
Trong hệ toạ độ Lagrange (  , r, t ), phương trình truyền nhiệt của chất
lỏng xung quanh bọt đối xứng cầu có dạng:
T  1   2 T1 
 T1
 w1 1   2
 1 r
,
r  r r 
r 
 t

10 c1 

(2.8)

trong đó c1 là nhiệt dung riêng của chất lỏng, w1 là vận tốc hướng kính của
chuyển động vi mơ của chất lỏng xung quanh bọt, nó được xác định từ
phương trình chuyển động vi mơ của chất lỏng xung quanh bọt cùng với tính
khơng nén được của nó:

w1 

w1  R 2
r2

,

(2.9)

chỉ số  là tham số trên biên giữa các pha (bề mặt bọt)
Điều kiện biên đối với phương trình (2.8) và (2.9) trong khn khổ mơ
hình có thể được viết như sau:
 T1 
,

 r  r  R

r = R : T1  T2 , jl   q1  q 2   , q1   1 


1

r  R 2 3 :

T1
0 .
r

(2.10)

Trong trường hợp bọt khí đồng đều như nhau thì:
T1  T2 (  , t ) ,

 20   20 (  , t ) ,

p2  p2   , t  ,

(2.11)

Dòng nhiệt q 2  trong hơi nước từ biên giữa các pha có thể được biểu
diễn bởi đường cong tích phân của phương trình dịng nhiệt trong pha hơi từ
0 đến R với tính tốn tương ứng (3.2.5):
q2 

R  c p 2 T2

3  l


 0   p
1  20   1 2 .

 1   t



(2.12)

trong đó cp2 là nhiệt dung riêng của hơi khi áp suất khơng thay đổi.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




16

áp suất pha và kích cỡ của bọt liên quan tới điều kiện tương thích biến
dạng, nên phương trình tổng qt Rayleigh-Lamb (phương trình bảo tồn
xung của chuyển động đối xứng cầu của chất lỏng xung quanh bọt) được sử
dụng với điều kiện ban đầu:
(1  1 ) R

w1
t

 1.5(1   2 ) w12 

4 1
1 
2  2 jw1
1  1  ,
w1  0  p 2  p1 

R

R 
1 
10


R
j
j
 w1  0  w2   0 , R(0)  R0 , R(0)  w1 (0) ,
t
1
2
1

1

 3 2   2   3 2
3  23   2
1 
; 2  2
.
2 1  2
1  2

(2.13)

trong đó 1 ,  2 là hệ số điều chỉnh của hỗn hợp.
Hệ phương trình (2.1) – (2.13) là hệ phương trình kín, khi điều kiện
biên và điều kiện đầu thích hợp, nó có thể được sử dụng để khảo sát q trình
sóng khơng dừng trong hỗn hợp chất lỏng chứa bọt hơi. Để thuận lợi cho việc

giải hệ phương trình trên bằng phương pháp số, có thể biến đổi hệ phương
trình này về dạng sau:
Từ phương trình thay đổi khối lượng của pha lỏng (2.1) khi kết hợp với
4
3

 i   i  i0 (i  1, 2) và  2   nR 3 có thể nhận được biểu diễn sau:
 1
3 2 j
 v
 1

;
t
 0 
R 10

mà 1   2  1



 2
 v 3 2 j
 1

.
t
 0 
R10

(2.14)

Từ phương trình (2.2) có thể viết:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




17

 2
 20
3 2 j
  2 v

 2


t
t
R
 0 
0
2

(2.15)

mà từ phương trình (2.3) có thể viết
0

4
R
3  2
R
 4 R 2  20
 4 R j ;
3
t
t

kết hợp với (2.13) tức là

R
j
 w1  0 , nên có:
t
1

 20
j 20 
3 
0



j   2 w1 
t
R 
10 

thay vào (2.15) có thể nhận được:
 2
 2 v
 0 
1  3 j
 0 2 
 2 2 
t
 0 
t 
2  R



 2
 2 v
3 2
1  3 j
 0 2 

t
 0 
R
 2  R


j 20 
 j   20 w1 

0 


1 



(2.16)

kết hợp với (2.14) có thể nhận được biểu diễn:
1

3 2 j
 2 v
3 2
 v
1  3 2 j




0
0 
 0 
 0 
R
R 1
 2  R



 2 

3 2 j
3 2
v  1 

 


0 
0
   0
0 2 
R 2
R 20


j 20 
 j   20 w1 
 ,
0 

1 




j 20 
3 2 j
0
 j  w1  2 
 

,
0 
1 
R10


thay  2   2  20 và rút gọn biểu thức trên sẽ thu được:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




18

3 2 w1
 
v  1 

 2  
   0
0 
R



3 2 w1
v   
  
,

   0 
R

3 2 w1  0
v


R

do đó

(2.17)

Từ biểu thức (2.17) kết hợp với phương trình bảo tồn khối lượng của
hỗn hợp có thể nhận được phương trình sau:

 2 v
 
t
 0 



3  2 w1

 
t
R

(2.18)

Từ phương trình bảo tồn xung lượng của hỗn hợp (2.4), sau khi lấy
đạo hàm hai vế theo  có thể nhận được biểu thức:
 2v
1 2 p
1  0 p

 2
 0
2
t 
 0 
 0  



1 2 p
1  0 p
  v 
 2
  0   .
2
 0 
t   
 0  

sử dụng biểu thức (2.17) vào biểu thức trên, sẽ nhận được biểu diễn sau:
w 
2 p
1  0 p

2   1 2 



3


,
0
t  R 
 2
 0  
 w  2  2 w1
w   w1  2 R 
2 p
1  0 p


  3 02  1

 1 2 2
 2
.
2
R t

 0  
R t
R  t 
 R t

(2.19)
Để tiếp tục biến đổi phương trình này, có thể sử dụng các phương trình
(2.17), (2.18), (2.13). Trong đó phương trình (2.13) được kết hợp với phương
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




19

trình bảo tồn xung của chuyển động đối xứng cầu của chất lỏng xung quanh
bọt Rayleigh-Lamb nên có thể viết được như sau:
2 

p 2  p1 
 3
w1
4

w
2
jw
1
2
1 1
1
R ,

 1   1 


 1   2  w1 

0
0
t
R1   1   2
R
1
1




(2.20)
Biểu thức đạo hàm (2.16) sau khi sử dụng biểu thức (2.17) có thể viết
 2 3 2 
j 
1 w1  0  .

t
R 
1 

lại là:

Khi đó biểu thức (3.2.19) sẽ được biến đổi và biểu diễn như sau:

2 p
1  0 p

2  w1 3 2



3


0
 2
 0  
 R R




j  
1
 3
 1 w1  0   2
 1   2 w12

1  R R1   1   2


 w  3  2 w1
4 1 w1
2 jw1
 w
1  1   p 2  p1 0 2  / R   1 2 2


 2 2 1
0
R
R
1
1
R 
 R

  3  02






j
 w1  0
1








4 1 w1
j  3
2

3w1 1   1  1 w1  0   1   2  w1 
2
R
R  1   1  
1  2


2

2j



0
1

w1 1   1  

p 2  p1  2  / R



0
1


j
 3 2 w12 1   1   w1  w1  0
1




 1   1 



3 2  02  2 
3

w1 31 1  1   1   2   3 2 1  1   1  1 
2
2
R  1  1   


3j

4
p  p1  2 / R 
2j
j
 w1  0 1  1   1  0 1  1   0 1  1   2

R
1
1
10
 1




Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




20

đơn giản biểu thức này sẽ nhận được:

3 2  02  2
2 p
1  0 p

 2
 w1
 2
 0  
R  1   1  


3  4 w
1
  2 1   2   1 1 
2 
R
2

p 2  p1 

10

2 
R 




hay phương trình này cịn có thể biểu diễn dưới dạng:
2 p
p
   ( )
 M .
2



(2.21)

trong đó:
  ( )  

M

1  0
,
 0 



3 2  02  2
 2
 w1
R  1   1  


3  4 w
1
  2 1   2   1 1 
2 
R
2

p 2  p1 

10

2 
R .




Phương trình (2.21) dạng elliptic mơ tả sự truyền nhiễu áp suất trong
hỗn hợp với vận tốc tương ứng với vận tốc âm thanh trong hỗn hợp hai pha
lỏng khí khi chất lỏng là khơng nén được. Phương trình này cho phép xác
định được trường áp suất trong khoảng thời gian nhất định theo sự thay đổi
của các tham số cơ sở.
Để xác định áp suất pha hơi p2 có thể sử dụng phương trình biểu diễn
sự thay đổi khối lượng của từng bọt (2.3) cùng với các điều kiện (2.7), (2.10)

và (2.12). Từ phương trình (2.3) có thể viết được như sau:
 0 R
R  20 p2 
2
4 R   2

  4 R j ,
t
3 p 2 t 

2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(2.22)




21

từ phương trình trạng thái của pha hơi (2.7) có thể biểu diễn
 20 

p2
,
B T2

đạo hàm hai vế biểu thức này theo p2 và sử dụng phương trình ClapeyronClausius sẽ nhận được:
 20

p2 T2
p2 T2 
 20 
1
1

,




1

p2
BT2
BT2
B T22 p2
BT22 l  20 
10 

 20
0 
1
1

 1  20  .
p2
BT2
l
1 

do đó

thay vào biểu thức (3.2.22) thì sẽ nhận được:
 1
 0  R p 2
 q 2  q1
1
R
R
 1  20 
 j   20

  20
,

l
t
l
t
1  3 t
 BT2

sử dụng phương trình (3.2.12) có thể nhận được biểu thức:
 1
c p 2T2
 0  R p 2
1
R
 1  20 



1 
l
3l 
l
1  3 t
 BT2


 0  p
q
R
1  20  2  1   20
,
l
t
1  t


hay có thể viết dưới dạng:
c p 2T2
 20  1
R p 2  1
1

 

1




0 

3 t  BT2
l
l
l
1 



p 2

t

 1
R 
 BT2


 R
 0 
q 
1  20     20 
 01 
1 
2l 

 t

 R
q 
3 20 
 01 
2l 
 t
c p 2T2
0  1
1
 1  20   
l
l
l
1 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


 0 
1  20 
1 


(2.23).