Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VASIA VAYINGTUVUE

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ
VỚI HẠCH LOGARITHMIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VASIA VAYINGTUVUE

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ
VỚI HẠCH LOGARITHMIC

Ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Ngân

Thái Nguyên - 2020

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thơng
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2020
Người viết luận văn

Vasia VAYINGTUVUE

i


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn
Thị Ngân. Cơ đã tận tình hướng dẫn, giải đáp những thắc mắc, giúp đỡ
tơi hồn thành luận văn này.
Một lần nữa tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến cô! Đồng thời, tôi
xin gửi lời cảm ơn đến Ban Chủ nhiệm khoa Toán và các thầy cơ trong
tổ Bộ mơn Giải tích - Tốn ứng dụng đã tạo điều kiện cho tơi được làm
luận văn, đã quan tâm và đôn đốc tôi trong quá trình làm luận văn.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2020

Vasia VAYINGTUVUE

ii


Mục lục

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính . . . . . . .
1.1.1

1.2

3

Khái niệm về hệ vô hạn các phương trình đại số
tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Các định lý so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính chính
quy, hồn tồn chính quy, tựa chính quy . . . . . .

9

Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.1

Khái niệm phương trình tích phân . . . . . . . . .

15

1.2.2

Phương trình tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . .

16

2 Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarthmic
2.1

3

18

Phương pháp đa thức trực giao . . . . . . . . . . . . . . .

18

Π - hạch và phương pháp đa thức trực giao . . . .

2.1.2 Không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Phương trình đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Phương trình đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic . .
2.2.1 Đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic
2.2.3 Đưa phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic về hệ vơ hạn các phương trình đại số tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Trường hợp riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.1

iii

21
21
25
29
29
30

32
34


Kết luận

38

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

iv


Mở đầu
1. Lý do chọn luận văn
Phương trình tích phân xuất hiện một cách tự nhiên khi nghiên cứu
bài toán biên của vật lí tốn. Các kỹ thuật giải phương trình tích phân
kỳ dị đã được xây dựng và phát triển mạnh mẽ trong Thế kỷ 19. Việc
tìm nghiệm của phương trình tích phân đã đưa ra hướng nghiên cứu là
đưa giá trị kỳ dị của hạch vào phương trình tích phân, đây là vấn đề được
nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu, như Noether, Muskhelishvili,
Gakhov, B.N. Mandal, A. Chakrabarti, ...
Với mong muốn được nghiên cứu về cách giải phương trình tích phân
kỳ dị, tơi đã lựa chọn đề tài “Giải phương trình tích phân kỳ dị với
hạch logarithmic" làm luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục đích của luận văn
Nghiên cứu về cách giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic bằng cách sử dụng phương pháp đa thức trực giao để biến đổi
phương trình tích phân kỳ dị về hệ vơ hạn các phương trình đại số tuyến
tính .
3. Nội dung của luận văn
Tổng quan một số kết quả về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến
tính, phương pháp đa thức trực giao. Nghiên cứu một ứng dụng của hệ
vô hạn các phương trình đại số tuyến tính là giải phương trình tích phân
với hạch logarithmic. Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu
tham khảo, có 2 chương nội dung

- Chương 1: Trình bày tổng quan về hệ vơ hạn các phương trình đại
số tuyến tính, hệ vơ hạn các phương trình đại số tuyến tính chính quy,
hồn tồn chính quy, tựa chính quy, khái niệm phương trình tích phân,
phương trình tích phân kỳ dị.
1


- Chương 2: Trong chương 2, trình bày phương pháp đa thức trực giao,
một trong những phương pháp hữu hiệu để giải phương trình tích phân
kỳ dị. Trình bày cách giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic bằng cách sử dụng phương pháp đa thức trực giao đưa phương
trình tích phân về hệ vơ hạn các phương trình đại số tuyến tính. Mục
2.2.4 trình bày về một trường hợp riêng để nhận được nghiệm đúng tường
minh của phương trình tích phân kỳ dị đã xét ở Mục 2.2.3.

2


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Hệ vơ hạn các phương trình đại số tuyến tính

Trong chương này trình bày các kết quả cơ bản về hệ vơ hạn các phương
trình đại số tuyến tính, bao gồm các định lý về sự tồn tại, tính duy nhất
nghiệm và cơ sở lý luận của việc tìm nghiệm bằng phương pháp xấp xỉ
liên tiếp, khái niệm phương trình tích phân, phương trình tích phân kỳ
dị. Nội dung chủ yếu của chương này được tham khảo từ các tài liệu [2,
4, 6].

1.1.1

Khái niệm về hệ vơ hạn các phương trình đại số tuyến tính

Xét hệ vơ hạn các phương trình đại số tuyến tính sau đây:
∞

ci,k xk + bi (i = 1, 2, ...),

xi =

(1.1)

k=1

trong đó xi là các số cần xác định, ci,k và bi là các số đã biết.
Định nghĩa 1.1. Tập hợp những số x1 , x2 , ... được gọi là nghiệm của
hệ vơ hạn các phương trình đại số tuyến tính (1.1) nếu khi thay những
số đó vào vế phải của (1.1) ta có các chuỗi hội tụ và tất cả những đẳng
thức được thỏa mãn.

3


1.1.2

Các định lý so sánh

Định nghĩa 1.2. Hệ
∞

Ci,k Xk + Bi ,

Xi =

(i = 1, 2, ...),

(1.2)

k=1

được gọi là hệ trội của hệ phương trình (1.1) nếu

|c | C , (i = 1, 2, ...; k = 1, 2, ...),
i,k
i,k
|b | B , (i = 1, 2, ...).
i
i

(1.3)

Định lý 1.1. (Về sự tồn tại nghiệm). Nếu hệ trội (1.2) có nghiệm
khơng âm Xi ≥ 0 thì hệ phương trình (1.1) có nghiệm x∗i , nghiệm này
tìm được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp:
∞
(n+1)
xi

(n)

=

ci,k xk + bi

(i = 1, 2, ...; n = 0, 1, 2, ..),

k=1
(0)

(n)

xi = 0,

lim xi

n→+∞

= x∗i ,

|x∗i |

Xi .

Chứng minh. Trước hết áp dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp đối với hệ
(0)

(n)

(1.2), với xi = 0, cịn Xi

được xác định theo cơng thức lặp:

∞
(n+1)
Xi

(n)

Ci,k Xk + Bi (i = 1, 2, ...).

=

(1.4)

k=1
(1)

Ta có Xi

(0)

(n)

= Bi ≥ 0 = Xi . Nếu Xi
∞

(n+1)
Xi

thì từ (1.4) ta có:

∞
(n)
Ci,k Xk

=

(n−1)

+ Bi ≥

k=1

Ci,k Xk

(n)

+ Bi = Xi .

k=1
(n+1)

(n)

≥ Xi .
(n)
Xi . Giả sử Xi

Như vậy, với mọi n, i ta có Xi

(0)

Mặt khác, Xi

=0
thỏa mãn hệ (1.2), ta có
∞
(n+1)
Xi

(n−1)

≥ Xi

∞
(n)
Ci,k Xk

=

Xi , khi đó từ (1.4) và Xi

+ Bi

k=1

Ci,k Xk + Bi = Xi ,
k=1

4

ngoài ra từ sự hội tụ của chuỗi ở vế phải suy ra sự hội tụ của chuỗi ở vế
(n)

trái. Trên cơ sở của nguyên lý quy nạp ta có ∀i, n : Xi

Xi .
là dãy tăng và bị chặn trên bởi

(n)
Xi

Như vậy, với i cố định, dãy

Xi , do đó tồn tại giới hạn:
(n)

= Xi∗

lim Xi

n→∞

Xi

(i = 1, 2, ...).

(1.5)

Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng các số Xi∗ là nghiệm của hệ (1.2). Thật vậy,
chuỗi ở vế phải của (1.4) hội tụ đều theo n, vì nó được làm trội bởi chuỗi
∞

k=1

Ci,k Xk . Chuyển qua giới hạn trong (1.4) khi n → ∞ ta được
∞

Xi∗

Ci,k Xk∗ + Bi ,

=

(1.6)

k=1

nghĩa là

Xi∗

là nghiệm của hệ (1.2).

Ta tiếp tục vận dụng phương pháp trên đây đối với hệ (1.1).
(0)

Cho Xi

(n)

= 0 và xác định xi

theo công thức lặp:
∞

(n+1)
xi

(n)

=

ci,k xk + bi .

(1.7)

k=1

Chúng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức
(n+1)

xi

(n)

(n+1)

− xi

Xi

(n)

− Xi .

(1.8)

Ta có
(1)

(0)

xi − xi

(0)

(1)

Bi = Xi − Xi .

= |bi |

Giả sử rằng đã chứng minh được
(n)

(n−1)

(n)

xi − xi

Xi

(n−1)

− Xi

.

Khi đó
∞
(n+1)
xi

−

(n)
xi

=

(n)

(n−1)

Ci,k Xk − Xk

k=1

ci,k xk

+ bi

=

k=1
(n)

(n−1)

ci,k xk − xk

(n−1)

+ bi −

k=1
∞

∞

=

∞
(n)
ci,k xk

(n+1)

= Xi

(n)

− Xi .

k=1

Như vậy, bất đẳng thức (1.8) được chứng minh. Sử dụng điều này ta
thấy chuỗi
(0)

(1)

(0)

xi + xi − xi

(2)

(1)

+ xi − xi
5

+ ...

(1.9)

hội tụ vì nó được làm trội bởi chuỗi hội tụ
(0)

(1)

(0)

(2)

X i + Xi − Xi

(1)

+ X i − Xi

(n)

+ ... = lim Xi
n→∞

= Xi∗ . (1.10)

Ký hiệu tổng của chuỗi (1.9) là x∗i :
(0)

(1)

(0)

(2)

xi + xi − xi

(1)

+ xi − xi

(n)

+ ... = lim xi
n→∞

Từ (1.10), (1.11) dễ thấy rằng |x∗i |

= x∗i

(1.11)

Xi∗ . Cuối cùng, chuyển qua giới

hạn trong (1.7), ta được
∞

x∗i

ci,k x∗k + bi (i = 1, 2, ...).

=
k=1

Việc chuyển qua giới hạn là hoàn toàn thực hiện được vì chuỗi ở bên
∞

phải được làm trội bởi chuỗi
k=1

Ci,k Xk , nên do đó nó hội tụ đều theo n.

Như vậy, x∗i là nghiệm của (1.1), ngoài ra |x∗i |

Xi∗

Xi . Định lý được

chứng minh.
Định nghĩa 1.3. Các nghiệm x∗i và Xi∗ tương ứng của các hệ phương
trình (1.1) và (1.2) có thể tìm được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp
cùng với những giá trị ban đầu bằng khơng, được gọi là nghiệm chính
của các hệ đó.
Định lý 1.2. (Tính duy nhất của nghiệm). Với các điều kiện và ký
hiệu như trong Định lý 1.1, nghiệm duy nhất của hệ (1.1) thỏa mãn bất

P Xi∗ (P ≥ 1) là nghiệm chính x∗i . Mọi nghiệm gần đúng
khác của hệ được giải bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp với điều kiện ban
(0)
(0)
đầu xi tùy ý thỏa mãn điền kiện xi
P Xi∗ thì hội tụ đến nghiệm
đẳng thức |xi |

chính x∗i .
Chứng minh. Để thuận tiện trước tiên chúng ta sẽ chứng minh điều khẳng
định thứ hai cuả định lý này. Cần phải chứng minh rằng, xuất pháp từ
(0)

các giá trị xi

(0)

thỏa mãn bất đẳng thức xi

theo công thức lặp:

(n)

P Xi∗ và xi

xác định

∞
(n+1)
xi

(n)

=

ci,k xi + bi
k=1

chúng ta sẽ có
(n)

lim xi

n→+∞

6

= x∗i .

(1.12)


Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức
(n)

(n)

(n)

P Xi∗ − Xi

xi − xi

.

(1.13)

Với n = 0 bất đẳng thức trên đúng:
(0)

(0)

(0)

xi − xi

(0)

P Xi∗ = P Xi∗ − Xi

= xi

.

Từ (1.12), (1.7), (1.13), (1.4) và (1.6), ta có:
∞

∞
(n+1)
xi

−

(n+1)
xi

=

(n)
xk

ci,k

−

(n)
xk

=

k=1

k=1
∞

∞

Ci,k Xk∗ + Bi

=P

(n)

Ci,k Xk∗ − Xk

P

(n)

−

(n+1)

= P Xi∗ − Xi

Ci,k Xk + Bi

k=1

k=1

do đó trong bất đẳng thức (1.13) có thể thay n bởi n + 1. Từ đó, áp
(n)

dụng (1.5), suy ra xi

(n)

− xi

(n)

→ 0, và do xi

→ x∗i [theo (1.11)], nên

(n)

→ x∗i và do đó khẳng định thứ hai của định lý được chứng minh.
Ta giả sử xi là nghiệm nào đó của hệ (1.1), thỏa mãn điều kiện |xi |
(0)
(n)
P Xi∗ . Ta đặt xi = xi , khi đó rõ ràng là tất cả các số xi xác định liên
tiếp theo (1.12) sẽ bằng xi . Theo kết quả đã chứng minh ở trên ta có
xi

(n)

lim xi

n→+∞
(n)

vì xi

= x∗i

khơng phụ thuộc vào n, và bằng xi , nên xi = x∗i . Do đó khẳng

định thứ nhất được chứng minh.
Định lý 1.3. (Chuyển qua giới hạn). Cùng với hệ vô hạn (1.1), xét hệ
vô hạn:

∞

xi =

s

s

ci,k xk + bi

(i = 1, 2, ...; s = 1, 2, ...)

(1.14)

k=1

có chung hệ trội là hệ (1.2) cùng với nghiệm khơng âm Xi∗ , trong đó
s

s

lim ci,k = ci,k ,

s→∞

lim bi = bi .

s→∞

(1.15)

s

Khi đó, nếu x∗i là nghiệm chính của (1.1) và x∗i là nghiệm của (1.14), thì

s

lim x∗i = x∗i .

s→∞

7

(1.16)

,


Chứng minh. Đối với mỗi hệ (1.14) chúng ta vận dụng phương pháp xấp
xỉ liên tiếp với

s
(0)
xi = 0 và công thức lặp
s
s
∞
s
s (n)
(n+1)
xi
=
ci,k xi + bi ,
k=1

(i = 1, 2, ...).

(1.17)

Chúng ta sẽ chứng minh
s
(n)
lim x
s→∞ i

(n)

= xi .

(1.18)

Với n = 0 điều này là rõ ràng, chúng ta chứng tỏ có thể thay n bởi n + 1.
Trong hệ (1.17) chuyển qua giới hạn khi s → ∞. Vì chuỗi bên phải được
∞

Ci,k Xi , nên có thể chuyển qua giới hạn, sử

làm trội bởi chuỗi hội tụ
k=1

dụng (1.15), (1.18) và (1.17) ta có:
s
(n+1)
lim x
s→∞ i

∞

s
s (n)
ci,k xi

= lim

s→∞

+

∞

s
bi

(n+1)

(n)

ci.k xk + bi = xi

=

,

k=1

k=1

và do đó hệ thức (1.18) được thỏa mãn với mọi n. Tiếp theo ta có (so
sánh với (1.11)):
s
x∗i

=

s
(0)
xi

+

s
(1)
xi

−

s
(0)
xi

+

s
(2)
xi

−

s
(1)
xi

+ ...,

trong trường hợp này chuỗi bên phải được làm trội với mọi s bởi chuỗi
(1.10) và do đó có thể chuyển qua giới hạn khi s → ∞. Tiến hành điều
này, sử dụng (1.18) và (1.11), ta được
s

(0)

(1)

(0)

(2)

lim x∗i = xi + xi − xi

(1)

+ xi − xi

+ ... = x∗i ,

và do đó hệ thức (1.16) được chứng minh. Định lý được chứng minh.
Định lý 1.4. (Sự "chặt cụt"). Giả sử hệ (1.1) có hệ trội (1.2) cùng
với nghiệm khơng âm Xi∗ . Khi đó nghiệm chính của hệ (1.1) có thể được
tìm như sau: Nếu xN
i là nghiệm của hệ:
N

xi =

ci,k xk + bi

(i = 1, 2, ..., N ),

(1.19)

k=1

thì
∗
lim xN
i = xi ,

N →∞

8

(1.20)


với x∗i là nghiệm chính của hệ (1.1).

Chứng minh. Cùng với hệ (1.19), chúng ta xét hệ vô hạn sau đây:

∞

xi =
ci,k xk + bi (i = 1, 2, ..., N ),
k=1

(1.21)


xi = 0 (i = N + 1, N + 2, ...).
Nghiệm chính của hệ này rõ ràng là dãy
N
N
xN
i , x2 , ..., xN , 0, 0, ... ,

hoặc là, nếu cho xN
i = 0, ∀i > N thì nghiệm của hệ (1.21) sẽ là dãy

xN
i (i=1,2,...). Tiếp theo, rõ ràng là giới hạn dãy nghiệm của (1.21) khi
N → ∞ là nghiệm của hệ (1.1). Thật vậy chỉ với những N ≥ i, hệ số
của hệ (1.21), đứng tại vị trí (i,k), cN
i,k bằng ci,k , do đó, các hệ số (và cả
các số hạng tự do) của hệ (1.21) tiến tới các hệ số và các số hạng tự do
tương ứng của hệ (1.1). Cuối cùng, ta có hệ (1.2) là hệ làm trội của hệ
(1.21). Như vậy, đối với hệ (1.21) có thể áp dụng Định lý 1.3. Vận dụng

Định lý này, chúng ta có thể khẳng định được rằng, nghiệm chính của hệ
(1.21) hội tụ đến nghiệm chính của hệ (1.1):
∗
lim xN
i = xi ,

N →∞

và đó là điều phải chứng minh.
1.1.3

Hệ vơ hạn các phương trình đại số tuyến tính chính quy, hồn tồn
chính quy, tựa chính quy

Định nghĩa 1.4. Hệ vơ hạn các phương trình đại số tuyến tính (1.1)
được gọi là hệ chính quy, nếu
∞

|ci,k | < 1,

(i = 1, 2, ...).

(1.22)

k=1

Nếu
∞

|ci,k |

1 − θ < 1,

0 < θ < 1,

k=1
9

(i = 1, 2, ...),

(1.23)


thì hệ này được gọi là hồn tồn chính quy.
Ta ký hiệu

∞

|ci,k |

ρi = 1 −

(i = 1, 2, ..).

(1.24)

k=1

Hệ chính quy cho ρi > 0, hệ hồn tồn chính quy cho ρi ≥ θ > 0. Giả sử
hệ (1.1) là hệ chính quy, và các hệ số tự do bi thỏa mãn điều kiện

|bi |

Kρi (K = const > 0).

(1.25)

Khi đó hệ phương trình
∞

|ci,k | Xk + Kρi ,

Xi =

(i = 1, 2, ...)

(1.26)

k=1

sẽ trở thành hệ trội của hệ (1.1). Theo (1.25), rõ ràng là, điều kiện (1.3)
là được thỏa mãn. Hệ (1.26) có nghiệm Xi = K > 0, bởi vì từ
∞

ρi = 1 −

∞

|ci,k | ⇔ 1 =
k=1

∞

|ci,k | + ρi ⇔ K =
k=1

|ci,k | K + Kρi .
k=1

Định lý 1.5. (Sự tồn tại của nghiệm bị chặn). Nếu các hệ số tự do của
hệ vô hạn chính quy (1.1) thỏa mãn điều kiện (1.25) thì nó có nghiệm bị
chặn |xi |

K và nghiệm này có thể tìm bằng phương pháp xấp xỉ liên

tiếp.
Chứng minh. Ta có

∞


|ci,k | Xk + Kρi ,
Xi =



k=1

|ci,k |





Kρi

(i = 1, 2, ...),

|ci,k | ,
|bi | .

là hệ trội của hệ chính quy (1.1):

∞


ci,k xk + bi , (i = 1, 2, ...),
xi =
k=1



ρi = 1 −

∞

|ci,k | > 0.
k=1

Do đó theo Định lý 1.1 ta có hệ trội (1.26) có nghiệm Xi = K > 0 nên
hệ chính quy (1.1) có nghiệm bị chặn xi thỏa mãn |xi |

10

K và nghiệm


này được tìm bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp. Định lý được chứng
minh.
Hệ quả 1.1. Trong trường hợp hệ phương trình (1.1) là hồn tồn
chính quy và có điều kiện (1.25), giả sử ρi ≥ θ và thay điều kiện này
bằng điều kiện |bi |

Kθ := P với P - tùy ý, khi đó nghiệm xi của hệ
hồn tồn chính quy tồn tại với mọi vế phải bị chặn và nếu |bi | P thì
|xi | Pθ (= K).
Nhận xét 1.1. Đối với hệ chính quy (1.1) điều kiện (1.25) có thể được
thỏa mãn nếu chọn K một cách thích hợp, nếu trong các số hạng tự do
của hệ , trừ một số hữu hạn, đều bằng không. Như vậy, trong trường hợp
này hệ chính quy (1.1) có nghiệm bị chặn duy nhất.
Nhận xét 1.2. Chúng ta đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của hệ
chính quy với điều kiện (1.25), đã sử dụng điều là các hệ như vậy là các
trường hợp riêng của các hệ có hệ làm trội với nghiệm không âm. Nhưng
thực tế trường hợp riêng này hầu như trùng với tổng quát. Cụ thể là mỗi
hệ vơ hạn các phương trình đại số tuyến tính dạng (1.1) có hệ trội với
các số hạng tự do Bi > 0 và nghiệm dương Xi có thể đưa đến hệ chính
quy.
Định lý 1.6. (Tính duy nhất của nghiệm bị chặn). Nếu nghiệm chính
của hệ (1.26) bị chặn dưới bởi một số nào đó, tức là:
Xi∗ ≥ α > 0

(1.27)

thì hệ chính quy (1.1) có nghiệm bị chặn duy nhất. Nghiệm này có thể
tìm bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp cùng với những giá trị bị chặn ban
(0)

đầu xi . Trong trường hợp này Xi∗ = K .
Chứng minh. Ta chứng minh khẳng định thứ nhất của định lý: Với mỗi
nghiệm bị chặn xi của hệ chính quy (1.1) theo Định lý 1.5 thì |xi |

K = Xi . Mặt khác, theo Định lý 1.1 thì Xi
Xi∗ - nghiệm chính, ta
suy ra K = Xi = P.Xi∗ với P được chọn một cách thích hợp. Như vậy
|xi | P Xi∗ , theo Định lý 1.2 thì nghiệm bị chặn xi là nghiệm chính và
xi tồn tại là duy nhất.
Khẳng định thứ hai của định lý này được suy ra từ phần thứ hai của
11


Định lý 1.2. Cuối cùng, điều khẳng định Xi∗ = K được suy ra bằng cách
áp dụng khẳng định thứ nhất của định lý cho hệ (1.26) mà nó là một
hệ trội cho chính nó. Khi đó rõ ràng là nghiệm bị chặn của nó Xi = K
phải trùng với nghiệm chính Xi∗ tức là Xi∗ = K . Định lý được chứng
minh.
Nhận xét 1.3. Đối với hệ hoàn toàn chính quy điều kiện (1.27) bao
giờ cũng thỏa mãn.
Nhận xét 1.4. Hệ chính quy chỉ gồm có một số hữu hạn phương trình
nhất thiết phải là hệ hồn tồn chính quy.
Tương tự Định lý 1.4, đối với hệ chính quy ta có định lý:
Định lý 1.7 (Sự “chặt cụt”). Nghiệm chính x∗i của hệ chính quy
∞

ci,k xk + bi ,

xi =

(i = 1, 2, ...)

(1.28)

k=1

cùng với các hệ số tự do thỏa mãn điều kiện |bi |
phương pháp “chặt cụt” nghĩa là, nếu xN
i

Kρi có thể tìm bằng
là nghiệm của hệ hữu hạn

N

xi =

ci,k xk + bi ,

(i = 1, 2, ..., N )

(1.29)

k=1

thì

x∗i = lim xN
i .

(1.30)

N →∞

Định lý 1.8. Hệ chính quy chỉ có thể có khơng q một nghiệm tiến
đến không, nghĩa là

lim xi = 0.

i→∞

Trong trường hợp này, nếu các hệ số và các số hạng tự do tiến đến khơng
thì nghiệm là nghiệm chính.
Chứng minh. Trước hết chúng ta chứng tỏ rằng hệ thuần nhất khơng thể
có q một nghiệm tiến đến khơng và khác không.
Thật vậy, giả sử xi là nghiệm của hệ
∞

xi =

∞

|ci,k | < 1,

ci,k xk ;

k=1

k=1
12

(1 =, 1, 2, 3, ...).


Ký hiệu Q > 0 là cận trên đúng của |xi |. Vì xi → 0 nên bắt đầu từ số i
nào đó (i ≥ i1 ) ta có |xi | < 21 Q và vì thế tìm được chỉ số i0 < i1 , sao cho

|xi0 | = Q. Với chỉ số i0 ta có
∞

∞

Q = |xi0 |

|ci0 ,k | |xk |

|ci0 ,k | ,

Q
k=1

k=1

suy ra Q = 0, vì thế xi = 0. Phần thứ nhất của định lý được chứng minh.
Chuyển sang phần thứ hai của định lý.
Trước hết nhận xét rằng nếu bắt đầu với ci,k ≥ 0 và bi ≥ 0 hệ có nghiệm

x∗i xi . Điều
này được suy ra từ Định lý 1.1, nếu cho Xi = xi . Vì thế, nếu nghiệm như
vậy là đã biết thì nó phải tiến đến khơng xi → 0, và do đó x∗i → 0, khi
đó theo chứng minh ở trên ta có xi = x∗i , nghĩa là {xi } là nghiệm chính.
Định lý được chứng minh.

dương {xi } thì nghiệm chính khơng thể vượt q nó: 0

Hệ quả 1.2. Nếu thực hiện biến đổi dạng xi = Hi .zi ,

(Hi = 0)

lim Hi = ∞.

i→∞

Trong hệ chính quy (1.1) ta nhận được hệ đối với ẩn zi :
∞

zi =

ci,k
k=1

bi
Hk
zi +
Hi
Hi

(i = 1, 2, ...)

(1.1*)

cũng là hệ chính quy, nghĩa là
∞

|ci,k |
k=1

Hk
= 1 − ρi ;
Hi

ρi > 0,

|bi | ≤ K Hi ρi

và hệ đã cho có nghiệm bị chặn duy nhất.
Chứng minh. Mỗi một nghiệm bị chặn xi của hệ chính quy (1.1) cho
nghiệm zi =

1
Hi xi

của hệ (1.1*) tiến đến khơng, nhưng vì hệ chính quy

(1.1) khơng thể có q một nghiệm như vậy, nên nghiệm bị chặn của hệ
(1.1*) là duy nhất. Điều khẳng định trên đây cho ta phương pháp thiết

lập tính duy nhất của nghiệm bị chặn của hệ chính quy.
Định nghĩa 1.5. Cho hệ phương trình
∞

xi =

ci,k xk + bi ,
k=1
13

(i = 1, 2, ...),


trong đó xi là các số cần xác định, ci,k và bi là các số đã biết.
Giả sử có điều kiện:
∞

|ci,k | < 1,

(i = N + 1, N + 2, ...)

(1.31)

k=1

và
∞


 |ci,k | < +∞,

(1 = 1, 2, ..., N ),

k=1

∞



|bi | ≤ Kρi = K(1 −

|ci,k |), (i = N + 1, N + 2, ...; K = const).
k=N +1

(1.32)
Một hệ có tính chất như trên được gọi là hệ vơ hạn tựa chính quy.
Mệnh đề. Nếu hệ hữu hạn gồm N phương trình ban đầu của hệ vơ
hạn tựa chính quy tồn tại nghiệm thì hệ vơ hạn tựa chính quy tồn tại
nghiệm.
Chứng minh. Xét hệ chính quy
∞

xi =

N

ci,k xk + bi +
k=N +1

ci,k xk

(i = N + 1, N + 2, ...). (1.33)

k=1

Hệ tương tự với hệ (1.33) với các số hạng tự do là bi có nghiệm là |ξi | ≤ K ;
˜
(k)
với các số hạng tự do c ˜ (k˜ = 1, 2, ...N ), hệ có nghiệm bị chặn a , ta
i

i,k

có

˜
(k)
ai

≤ 1 vì một mặt là
∞

ci,k˜ ≤ 1 −

|ci,k | ,
k=N +1

có được do điều kiện (1.31) như sau
∞

|ci,k | < 1 (i = 1, 2, ...)
k=1

⇔ |ci,1 | + |ci,2 | + ... + |ci,N | + |ci,N +1 | + |ci,N +2 | + ... < 1
⇔ |ci,1 | + |ci,2 | + ... + |ci,N | < 1 − (|ci,N +1 | + |ci,N +2 | + ...)
∞

⇔ ci,k˜ ≤ 1 −

|ci,k |
k=N +1
14

(k˜ = 1, 2, ..., N ),


mặt khác theo Định lý 1.5 (về sự tồn tại của nghiệm bị chặn) hệ số tự do
∞

|ci,k |) = ρi

ci,k˜ ≤ 1.(1 −
k=N +1

của hệ phương trình
∞

xi =

ci,k xk + ci,k˜

(i = N + 1, N + 2, ...; k˜ = 1, 2, ...N ),

k=N +1
˜
(k)

thỏa mãn điều kiện của Định lý 1.5 nên sẽ có nghiệm bị chặn là ai

và

˜
(k)
|ai |

≤ 1.
Do đó nghiệm bị chặn của hệ (1.33) có thể được biểu diễn ở dạng:
ta có

(1)

(2)

(N )

xi = ai x1 + ai x2 + ... + ai xN + ξi . (i = N + 1, N + 2, ...), (1.34)
˜
(k)

(k˜ = 1, 2, ...N ), ξi đã biết, còn xk (k = 1, 2, ...N ) chưa

xác định. Đưa (1.34) vào hệ sau:

trong đó ai

N

xi =

ci,k xk + bi (i = 1, 2, ...N ),

(1.35)

k=1

ta nhận được một hệ N phương trình với N ẩn x1 , x2 , ..., xN . Nếu hệ
(1.35) hữu hạn này có nghiệm thì ta có thể tìm được nghiệm của hệ đã
cho

∞

xi =

ci,k xk + bi (i = 1, 2, ...),
k=1

bằng cơng thức (1.34).

1.2
1.2.1

Phương trình tích phân
Khái niệm phương trình tích phân

Định nghĩa 1.6. Phương trình tích phân là một phương trình mà
trong đó hàm số chưa biết có xuất hiện dưới dấu tích phân.
Ví dụ 1.1. Xét các phương trình tích phân:

15


a). Phương trình tích phân Fredholm
b

K(x, t)ϕ(t)dt = f (x) a

Loại 1:

x

b.

a
b

Loại 2: ϕ(x) + λ

K(x, t)ϕ(t)dt = f (x) a

x

b.

a

trong đó λ là hằng số, K(x, t), f (x) là các hàm đã biết, ϕ(x) là hàm chưa
biết. Hàm K(x, t) được gọi là nhân của phương trình tích phân.
b). Phương trình tích phân Volterral
x

K(x, t)ϕ(t)dt = f (x).

Loại 1:
a

x

Loại 2: ϕ(x) + λ

K(x, t)ϕ(t)dt = f (x).
a

trong đó K(x, t), f (x) là các hàm đã biết, ϕ(x) là hàm chưa biết. Hàm

K(x, t) được gọi là nhân cửa phương trình tích phân.
1.2.2

Phương trình tích phân kỳ dị

Định nghĩa 1.7. Phương trình tích phân kỳ dị là phương trình tích
phân có nhân K(x, t) là hàm khơng bị chặn trên miền lấy tích phân.

Dựa trên tích chất khơng bị chặn của nhân, chúng ta có thể phân loại
phương trình tích phân kỳ dị thành hai loại: Phương trình tích phân kỳ
dị mạnh và phương trình tích phân kỳ dị yếu.
Phương trình tích phân kỳ dị yếu là phương trình tích phân với nhân

K(x, t) thỏa mãn điều kiện tích phân
b

K(x, t)dt tồn tại theo nghĩa Riemann, với mọi x ∈ (a, b).
a

Phương trình tích phân kỳ dị mạnh là phương trình tích phân kỳ dị
mà nhân K(x, t) có tính chất là tồn tại x ∈ (a, b) sao cho
b

K(x, t)dt khơng tồn tại theo nghĩa Riemann.
a

Ví dụ 1.2.

16


a) Nhân

K(x, t) =

L(x, t)
|x − t|α

với L(x, t) là hàm liên tục trong hình chữ nhật [a, b] × [a, b] , L(x, x) = 0
và α là hằng số (0 < α < 1). Khi đó tích phân
b

K(x, t)dt với a < x < b
a

tồn tại theo nghĩa Riemann. Do vậy tương ứng chúng ta được phương
trình tích phân kỳ dị yếu.
b) Nhân

K(x, t) = L(x, t). ln |x − t|
với L(x, t) là hàm liên tục trong hình chữ nhật [a, b]×[a, b] , L(x, x) = 0.
Khi đó, phương trình tích phân
b

L(x, t) ln |x − t| ϕ(t)dt = f (x)

ϕ(x) + λ
a

là phương trình tích phân kỳ dị yếu.
c) Nhân

k(x, t) =

L(x, t)
,
x−t

a < x < b,

với L(x, t) là hàm khả vi và L(x, x) = 0. Khi đó nhân K(x, t) nhận điểm

t = x là điểm kỳ dị mạnh. Do vậy phương trình tích phân tương ứng là
phương trình tích phân kỳ dị mạnh.

17


Chương 2

Giải phương trình tích phân kỳ dị
với hạch logarthmic
Chương này trình bày cách giải phương trình tích phân với hạch logarithmic bằng cách áp dụng phương pháp đa thức trực giao để biến đổi
phương trình tích phân về hệ vơ hạn các phương trình đại số tuyến tính,
xét một trường hợp với hạch cụ thể để nhận được nghiệm đúng tường
minh của phương trình tích phân. Nội dung trình bày trong Chương này
được tham khảo từ tài liệu [1, 3, 4, 5].

2.1

Phương pháp đa thức trực giao
Π - hạch và phương pháp đa thức trực giao

2.1.1

Định nghĩa 2.1. Hàm hai biến Π(x,y)=Π(y, x) được gọi là hạch đa
thức hay đơn giản là Π - hạch, nếu có các hệ thức
b

Π(x, y)ρ(y)πk (y)dy = σk πk (x),

x ∈ (a, b),

(2.1)

a

trong đó σk = const = 0, {πk (x)} là hệ các đa thức trực chuẩn với trọng

ρ(x) > 0.
b

ρ(x)πm (x)πn (x)dx = δmn ,

n = 0, 1, 2, ...; m = 0, 1, 2, ...

a

18

(2.2)


với δmn là ký hiệu Kronecker.
Nếu có thêm điều kiện
b

b

a

ρ(x)ρ(y) |Π(x, y)|2 dxdy < ∞

(2.3)

a

thì Π - hạch được gọi là Π - hạch Hilbert. Hệ thức trong (2.1) được gọi
là hệ thức phổ của hạch Π(x, y).
Đối với Π - hạch Hilbert, theo lý thuyết Hilbert-Shmit có khai triển
song tuyến sau đây:
∞

Π(x, y) =

σm πm (x)πm (y).

(2.4)

m=0

Phương pháp đa thức trực giao vận dụng để giải các phương trình tích
phân loại một mà hạch của nó là hạch đa thức (Π − hạch). Nội dung của
phương pháp này như sau:
Xét phương trình tích phân sau:
b

[Π(x, t) + K(x, t)] u(t)dt = f (x),

a < x < b,

(2.5)

a

trong đó
b

b

2

b

ρ(x) |f (x)| dx < ∞,
a

a

ρ(x)ρ(t) |K(x, t)|2 dxdt < ∞. (2.6)

a

Khai triển hàm u(t) thành chuỗi
∞

u(t) = ρ(t)

Xn πn (t).

(2.7)

n=0

Đưa (2.7) vào vế trái của (2.5), ta có:
∞

b

[Π(x, t) + K(x, t)] ρ(t)(
a

Xn πn (t))dt = f (x),

a < x < b.

n=0

Thay đổi thứ tự tích phân và chuỗi trong phương trình trên ta có:
∞

Xn
n=0

∞

b

Π(x, t)ρ(t)πn (t)dt +

a

b

Xn
n=0

K(x, t)ρ(t)πn (t)dt = f (x).
a

(2.8)
19