Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn tương đối trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐOÀN THỊ HẢI NINH

PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN TƯƠNG ĐỐI
TRONG KHƠNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐOÀN THỊ HẢI NINH

PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN TƯƠNG ĐỐI
TRONG KHƠNG GIAN BANACH

Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Nguyễn Song Hà

THÁI NGUYÊN - 2020


iii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa
học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của T.S Nguyễn Song Hà. Tác
giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy T.S Nguyễn Song Hà (Trường
Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên ), Thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận
tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn tới các quý Thầy, Cô giáo đã trực tiếp giảng dạy
lớp Cao học Toán K12A3, các bạn học viên và các bạn đồng nghiệp đã tạo
điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và
nghiên cứu tại trường. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia
đình và người thân ln khuyến khích động viên tác giả trong suốt q trình
học cao học và viết luận văn này.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót
và hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các Thầy
Cơ và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!

Tác giả
Đoàn Thị Hải Ninh


iv

Mục lục

Trang bìa phụ

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

iv

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt
Danh sách bảng

v
vi

Mở đầu

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Cấu trúc hình học khơng gian Banach . . . . . . . . . . . . .

2
2

1.2. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Ánh xạ không giãn tương đối và phép chiếu suy rộng . . . . .

11
16

Chương 2. Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ
không giãn tương đối
23
2.1. Phương pháp chiếu lai ghép . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Phương pháp lặp Halpern-Mann . . . . . . . . . . . . . . . . .

23
31

2.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Kết luận chung và đề nghị

44

Tài liệu tham khảo

45


v

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

E

Không gian Banach thực

E∗

Không gian đối ngẫu của E

E ∗∗

Không gian đối ngẫu thứ hai của E

PC (x)

Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C

ΠC (x)

Phép chiếu suy rộng phần tử x lên tập C

Fix(T )

Tập điểm bất động của ánh xạ T

xn → x

Dãy {xn } hội tụ mạnh đến x

xn

Dãy {xn } hội tụ yếu đến x

x

x

Chuẩn của phần tử x

x∗ , x

Giá trị của x∗ ∈ E ∗ tại x ∈ E

J

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E

I

Ánh xạ đơn vị của E

SE

Mặt cầu đơn vị của E

lim inf xn

Giới hạn dưới của dãy {xn }

lim sup xn

Giới hạn trên của dãy {xn }

n→∞

n→∞


vi

Danh sách bảng

2.1

Kết quả tính tốn cho phương pháp (2.14) . . . . . . . . . . .

40

2.2

Kết quả tính tốn cho phương pháp (2.15) . . . . . . . . . . .

42


1

Mở đầu

Luizen Egbertus Jan Brouwer, nhà Toán học người BaLan, là người đặt
nền móng cho những nghiên cứu về lí thuyết điểm bất động. Kết quả quan

trọng đầu tiên, "Nguyên lí điểm bất động Brouwer" được ơng cơng bố năm
1912. Đó là định lý trung tâm của lý thuyết điểm bất động và cũng là một
trong những nguyên lý cơ bản của giải tích phi tuyến. Ngày nay đã có ít nhất
năm cách chứng minh khác nhau cho nguyên lý nổi tiếng này và hàng chục
định lý tương đương đã được tìm ra.
Trong suốt hơn 100 năm qua, lí thuyết này đã dành được sự quan tâm đặc
biệt và gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà Toán học lớn như E. Picard, L.E.J.
Brouwer, S. Banach, J. Schauder, S. Kakutani, A.N. Tikhonov, Ky Fan, F.E.
Browder, K. Goebel, W.A. Kirk, ... Nó đóng vai trị then chốt trong nhiều
nghiên cứu thuộc các lĩnh vực lí thuyết Tốn học khác nhau như: lí thuyết tối
ưu, bất đẳng thức biến phân, bài tốn cân bằng, bài tốn minimax, phương
trình vi tích phân, phương trình đạo hàm riêng,... Bên cạnh đó, lí thuyết này
cũng là một công cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều mơ hình bài tốn thực tiễn
như: kiểm sốt năng lượng trong hệ thống mạng viễn thơng CDMA, xử lí
ảnh, xử lí tín hiệu, mạng giao thơng, y sinh, ...
Mục đích chính của luận văn này là trình bày lại có hệ thống về một số
phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn tương đối trên
các không gian Banach lồi đều và trơn đều.
Với mục tiêu như vậy, ngồi lời mở đầu, luận văn gồm có hai chương, kết
luận và tài liệu tham khảo. Chương 1, chúng tôi dành để hệ thống lại những
kiến thức cơ bản về cấu trúc hình học khơng gian Banach, ánh xạ không giãn
tương đối và phép chiếu suy rộng, nhằm phục vụ cho việc cụ thể hóa nội dung
chính ở chương sau của luận văn. Chương 2 dùng để trình bày phương pháp
chiếu lai ghép và phương pháp lặp Halpern-Mann tìm điểm bất động của bài
tốn nêu trên cùng các ví dụ số minh họa.


2

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản nhằm
phục vụ cho việc trình bày các nội dung chính ở phần sau của luận văn. Cấu
trúc của chương được chia thành ba phần: Mục 1.1 trình bày lại một số khái
niệm và kết quả cơ bản về cấu trúc hình học khơng gian Banach. Những tính
chất cần thiết về ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được cụ thể hóa trong Mục 1.2.
Phần cuối chương, Mục 1.3 dành để giới thiệu lớp ánh xạ không giãn tương
đối cùng phép chiếu suy rộng trên khơng gian Banach.
1.1.

Cấu trúc hình học khơng gian Banach

Cho E là không gian Banach thực, E ∗ và E ∗∗ tương ứng là không gian đối
ngẫu và không gian đối ngẫu thứ hai của E.
Định nghĩa 1.1. Tập C ⊆ E được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi
λ ∈ [0, 1] ta có
λx + (1 − λ)y ∈ C.
Hay nói cách khác, tập C ⊆ E là lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai
điểm bất kì thuộc nó.
D
C
I
B
A

G

J
K

E
H

F

Hình 1.1. Tập lồi và tập khơng lồi
(Quan sát hình bên tay phải, ta thấy là tập khơng lồi vì đoạn nối hai điểm I
và H có chứa phần JK khơng nằm trong tập đó).


3

Ví dụ 1.1. Những ví dụ đơn giản về tập lồi là các nửa khơng gian đóng hoặc
hình cầu đóng. Dạng biểu diễn giải tích của các tập hợp này lần lượt là:
∆ := {x ∈ E : x∗ , x ≤ α},
S[x0 , r] := {x ∈ E : x − x0 ≤ r},
trong đó, x∗ ∈ E ∗ , x0 ∈ E, α ∈ R và số thực r > 0 cố định đã cho.
Định nghĩa 1.2. Dãy {xk } ⊂ E được gọi là
i) hội tụ mạnh tới x0 ∈ E nếu
lim xk − x0 = 0,

k→∞

và khi ấy ta kí hiệu là xk → x0 .
ii) hội tụ yếu tới x0 ∈ E nếu
lim xk , x∗ = x0 , x∗

k→∞

và khi ấy ta kí hiệu là xk

∀x∗ ∈ E ∗ ,

x0 .

Nhận xét 1.1. Nếu dãy {xk } ⊂ E hội tụ mạnh tới x0 ∈ E thì nó hội tụ yếu
tới x0 ∈ E. Khẳng định ngược lại là đúng nếu E là không gian hữu hạn chiều.
Ví dụ 1.2. Dưới đây là một ví dụ về một dãy hội tụ yếu nhưng khơng hội
tụ mạnh. Xét E = l2 và {xk } là một dãy trong l2 xác định bởi
xk = (0, 0, 0, . . . , 1, 0, . . . ) k ∈ N,
trong đó các thành phần đều bằng 0 trừ ra thành phần bằng 1 ở vị trí thứ
k tương ứng. Trước hết, để ý rằng E ∗ = l2 và ∀x∗ = (y1 , y2 , . . . , yk , . . . ) ∈ l2
ta có
lim xk , x∗ = lim yk = 0.

k→∞

Do đó, xk

k→∞

0 khi k → ∞. Tuy nhiên, {xk } khơng hội tụ mạnh bởi vì

xk = 1 với mọi k ∈ N.
Nhận xét 1.2. Trong không gian Hilbert, nếu dãy {xk } thỏa mãn xk
và xk → x0 khi k → ∞ thì xk → x0 . Thật vậy, ta có
xk − x0

2

= xk − x0 , xk − x0
= xk

2

+ x0

Cho k → ∞ ta nhận được xk − x0 → 0.

2

− 2 xk , x0 .

x0


4

Mệnh đề 1.1. [1, 3]
Cho E là một không gian Banach thực và {xk } ⊂ E. Khi đó, nếu xk

x0

thì {xk } bị chặn và
x0 ≤ lim inf xk .
k→∞

Định nghĩa 1.3. Tập C ⊆ E được gọi là đóng nếu với mọi dãy {xk } trong
C mà xk → x0 thì x0 ∈ C.

Những vấn đề cơ bản về cấu trúc hình học của khơng gian Banach trong
phần tiếp theo được tham khảo chủ yếu ở các tài liệu [1, 3].
Định nghĩa 1.4. Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi
0 < ε ≤ 2 và các bất đẳng thức x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε thỏa mãn thì
tồn tại một số δ = δ( ) > 0 sao cho
(x + y)/2 ≤ 1 − δ.
D

B
δ
A

x
A≡

y

x+y
2

O

Hình 1.2. Minh họa hình cầu đơn vị trong khơng gian R2 lồi đều.
Ví dụ 1.3. Không gian Hilbert H là không gian lồi đều. Thật vậy, từ quy
tắc hình bình hành trên khơng gian Hilbert, ta có
x+y

2

= 2( x

2

+ y 2) − x − y

2

∀x, y ∈ H.

Giả sử với mọi 0 < ε ≤ 2 và các bất đẳng thức x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε
thỏa mãn. Khi đó, ta nhận được
x+y

2

≤ 4 − ε2 .


5

Điều này suy ra
(x + y)/2 ≤ 1 − δ(ε),
1 − ε2 /4.

trong đó δ(ε) = 1 −

Định nghĩa 1.5. Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi
điểm x, y ∈ SE , x = y thì
(1 − λ)x + λy < 1,

∀λ ∈ (0, 1),

trong đó SE = {x ∈ E : x = 1} là mặt cầu đơn vị của E.
Ví dụ 1.4. Khơng gian hữu hạn chiều Rn với chuẩn
x =

x21 + x22 + . . . + x2n ,

∀x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn

là không gian lồi chặt.
Tuy nhiên, nếu xét với chuẩn
n

|xi |,

x =

∀x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn

i=1

thì Rn khơng phải khơng gian lồi chặt.
λx + (1 − λ)y
y

x

O

Hình 1.3. Minh họa hình cầu đơn vị trong không gian R2 không lồi chặt.
(Quan sát hình trên ta thấy mọi điểm thuộc đoạn thẳng nối hai điểm x và y
đều nằm trên biên của hình cầu đơn vị đó.)
Tổng quát hơn ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.2. [3]
Mọi không gian Banach lồi đều là lồi chặt.


6

Ví dụ 1.5. Các khơng gian l1 hay l∞ khơng lồi chặt. Thật vậy, trong l1
hoặc l∞ ta lấy x = (1, 0, 0, . . . , 0) và y = (0, 1, 0, . . . , 0). Khi đó, dễ thấy rằng
x = y, x = y = 1 nhưng
(1 − λ)x + λy = 1,

∀λ ∈ (0, 1).

Nhận xét 1.3. Cho E là không gian Banach lồi chặt. Nếu
x+y = x + y ,

∀x, y ∈ E\{0},

thì tồn tại α ∈ R+ sao cho y = αx. Thật vậy, với mọi x, y = 0, theo Định lí
Hahn-Banach, tồn tại x∗ ∈ E ∗ sao cho
x + y, x∗ = x + y

và

x∗ = 1.

Mặt khác, vì
x, x∗ ≤ x

x∗ = x

và

y, x∗ ≤ y

x, x∗ = x

và

y, x∗ = y .

x∗ = y ,

nên ta phải có
y
x
x
, x∗ =
, x∗ = 1. Ta đặt a =
và
Do đó, ta nhận được
x
y
x
y
b=

. Khi đó, ta thấy a = b = 1 và a, x∗ = b, x∗ = 1 = x∗ . Nếu
y
a = b thì với bất kì λ ∈ (0, 1), từ tính lồi chặt của E ta có
x∗ = λ a, x∗ + (1 − λ) b, x∗ = λa + (1 − λ)b, x∗
≤ λa + (1 − λ)b x∗ < x∗ .
Mâu thuẫn. Điều này dẫn đến a = b hay tương đương với

x
y
=
. Vì thế,
x
y

nếu đặt α = y / x ta có điều cần chứng minh.
Định nghĩa 1.6. Khơng gian Banach E được gọi là có tính chất Kadec-Klee
nếu với mọi dãy {xk } ⊂ E thỏa mãn xk
x0 và xk → x0 khi k → ∞
đều kéo theo xk → x0 .
Ví dụ 1.6. Khơng gian Hilbert là khơng gian có tính chất Kadec-Klee.
Tổng qt hơn ta có mệnh đề sau.


7

Mệnh đề 1.3. [1]
Mọi khơng gian Banach lồi đều có tính chất Kadec-Klee.
Chứng minh. Giả sử E là khơng gian Banach lồi đều và dãy {xk } ⊂ E thỏa
mãn xk
x0 và xk → x0 .

Nếu x0 = 0 thì hiển nhiên ta có xk → 0. Giả sử x0 = 0 và xk
đó, ta có
x0
xk
.
xk
x0

x0 . Khi

Do đó, tồn tại ε > 0 và dãy con {xki } của dãy {xk } sao cho
x0
xki
−
xki
x0

≥ ε.

Vì E là khơng gian lồi đều nên tồn tại δ = δ( ) > 0 sao cho
1
2
Vì xk

x0
xki
+
xki
x0

≤ 1 − δ.

x0 và xk → x0 nên
xk
xk

x0
.
x0

Kết hợp điều này và Mệnh đề 1.1, ta nhận được
x0
x0

≤ lim inf
k→∞

1
2

x0
x ki
+
x ki
x0

≤ 1 − δ,

mâu thuẫn. Vì thế xk → x0 hay E có tính chất Kadec-Klee.
Định nghĩa 1.7. Hàm δE (ε) : [0, 2] → [0, 1] được gọi là môđun lồi của không

gian Banach E nếu
x+y
δE (ε) = inf 1 −
: x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε .
2
Chú ý 1.1. Dễ thấy rằng δE (0) = 0 và δE (t) ≥ 0 với mọi t ≥ 0. Hơn nữa,
môđun lồi của không gian Banach E là hàm số xác định, liên tục và tăng
trên đoạn [0, 2].
Ví dụ 1.7. Cho H là khơng gian Hilbert, khi đó mơđun lồi của H là
δH (ε) = 1 −

ε2
1 − , ε ∈ (0, 2].
4


8

Đặc trưng tính lồi của khơng gian qua mơđun lồi được phát biểu như sau.
Mệnh đề 1.4. [1]
Không gian Banach E là lồi đều khi và chỉ khi δE (ε) > 0, ∀ε > 0.
Chứng minh. Giả sử E là khơng gian lồi đều. Khi đó, với ε > 0 tồn tại
δ(ε) > 0 sao cho
0 < δ(ε) ≤ 1 −

x+y
, ∀x, y ∈ E,
2

trong đó x ≤ 1, y ≤ 1 và x − y ≥ ε. Từ đây suy ra δE (ε) > 0.

Ngược lại, giả sử E là khơng gian Banach có mơđun lồi δE thỏa mãn
δE (ε) > 0, ∀ε ∈ (0, 2]. Lấy x, y ∈ E sao cho x = 1, y = 1 với x − y ≥ ε
với ε ∈ (0, 2]. Từ định nghĩa δE (ε) ta có
x+y
.
0 < δE (ε) ≤ 1 −
2
Hay tương đương với

x+y
≤ 1 − δ(ε),
2
ở đây δ(ε) = δE (ε) không phụ thuộc vào x và y. Vì thế, E là khơng gian
lồi đều.
Định nghĩa 1.8. Chuẩn của E được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x0 ∈ SE
nếu với mỗi y ∈ SE giới hạn sau
lim
t→0

x0 + ty − x0
,
t

tồn tại và kí hiệu là y, ∇ x0 . Khi đó, ∇ x0 được gọi là gradient của
chuẩn x tại x = x0 . Chuẩn của E được gọi là khả vi Gâteaux nếu nó khả
vi Gâteaux tại mọi điểm của SE . Chuẩn của E được gọi là khả vi Gâteaux
đều nếu với mỗi y ∈ SE giới hạn trên tồn tại đều theo x ∈ SE .
Ví dụ 1.8. Trên khơng gian Hilbert H, chuẩn của H khả vi Gâteaux tại mọi
x
x = 0 và ∇ x =

. Thật vậy, với mỗi x ∈ H, x = 0, ta có
x
x + ty − x
x + ty 2 −
lim
= lim
t→0
t→0 t( x + ty +
t
2t x, y + t2
= lim
t→0 t( x + ty +

x 2
x )
y 2
=
x )

y,

x
x

.


9

Định nghĩa 1.9. Không gian Banach E được gọi là trơn nếu với mỗi x ∈ SE

tồn tại duy nhất một phiếm hàm x∗ ∈ E ∗ sao cho x, x∗ = x và x∗ = 1.
Ví dụ 1.9. [1, 3]
Các không gian lp , Lp [a, b] (1 < p < ∞) là các không gian Banach trơn.
Các không gian Banach c0 , l1 , L1 [a, b] và l∞ là không trơn.
Mệnh đề sau cho ta mối liên hệ giữa tính trơn của khơng gian và tính khả
vi Gâteaux của chuẩn.
Mệnh đề 1.5. [1]
Không gian Banach E trơn khi và chỉ khi chuẩn của E là khả vi Gâteaux
trên E\{0}.
Độ trơn của khơng gian Banach E cịn được biểu diễn qua môđun trơn.
Định nghĩa 1.10. Cho E là không gian Banach. Hàm ρE : R+ → R+ được
gọi là môđun trơn của E nếu
ρE (t) = sup
= sup

x+y + x−y
− 1 : x = 1, y = t
2
x + ty + x − ty
−1: x = y =1 ,
2

t ≥ 0.

Nhận xét 1.4. Từ định nghĩa của ρE suy ra ρE (0) = 0 và ρE (t) ≥ 0 với mọi
t ≥ 0. Hơn nữa, ρE là hàm lồi, tăng và liên tục.
Tính trơn đều của khơng gian Banach được định nghĩa thông qua môđun
trơn như sau.
Định nghĩa 1.11. Không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu
ρE (t)

= 0.
t→0
t

lim

Ví dụ 1.10. Khơng gian Hilbert H là khơng gian trơn đều vì
√
ρH (t)
1 + t2 − 1
lim
= lim
= 0.
t→0
t→0
t
t
Mệnh đề 1.6. [1]
Mọi không gian Banach trơn đều là không gian trơn.


10

Chứng minh. Giả sử E là không gian Banach trơn đều nhưng khơng trơn.
Khi đó, tồn tại x = 0 và x∗ = y ∗ ∈ E ∗ sao cho x∗ = y ∗ = 1 và
x, x∗ = x, y ∗ = x .
Lấy y ∈ SE thỏa mãn y, x∗ − y ∗ > 0. Với mỗi t > 0 ta có
0 < t y, x∗ − y ∗
= t y, x∗ − t y, y ∗
x + ty, x∗ + x − ty, y ∗

=
−1
2
x + ty + x − ty
≤
− 1.
2
Điều này suy ra
ρE (t)
, ∀t > 0.
t
Mâu thuẫn với tính lồi đều của E. Vì thế, E là không gian trơn.
0 < t y, x∗ − y ∗ ≤

Mệnh đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa tính trơn đều và lồi đều của
khơng gian Banach E và không gian đối ngẫu E ∗ của nó.
Mệnh đề 1.7. [1]
Cho E là khơng gian Banach. Khi đó, ta có các khẳng định sau:
i) E ∗ là không gian lồi đều khi và chỉ khi E là không gian trơn đều.
ii) E là không gian lồi đều khi và chỉ khi E ∗ là không gian trơn đều.
Chứng minh. i) Giả sử E là không gian trơn đều. Khi đó, ta có
ρE (τ ) = sup

τε
− δE ∗ (ε) : ε ∈ (0, 2] , τ > 0.
2

(1.1)

Nếu E ∗ không là không gian lồi đều thì ∃ε0 ∈ (0, 2] sao cho δE ∗ (ε0 ) = 0. Khi

đó, từ (1.1) suy ra

τ ε0
− δE ∗ (ε0 ) ≤ ρE (τ ).
2

Điều này dẫn đến
ε0
ρE (τ )
≤
.
2
τ
Mâu thuẫn với giả thiết E là không gian trơn đều. Vì thế, E ∗ là khơng gian
lồi đều.
0<


11

Ngược lại, giả sử E ∗ là không gian lồi đều. Khi đó, ta có
τε
− δE (ε) : ε ∈ (0, 2] , τ > 0.
2

ρE ∗ (τ ) = sup

(1.2)

Nếu E khơng là khơng gian trơn đều thì

ρE (τ )
= 0.
τ →0
τ

ρE (0) = lim
Giả sử

ρE (τ )
= ε,
τ →0
τ

ε > 0.

lim

ρE (τn )
= ε. Từ (1.2)
n→∞
τn

Khi đó, tồn tại dãy {τn } ∈ (0, 1) sao cho τn → 0 và lim
dẫn tới tồn tại dãy {εn } ∈ (0, 2] sao cho
τ n εn
ε
τn ≤
− δE ∗ (εn ).
2
2

Hay tương đương với
0 < δE ∗ (εn ) ≤

τn
(εn − ε).
2

Vì τn < 1 nên ε < εn . Mặt khác, δE ∗ là hàm không giảm nên ta có
δE (ε) ≤ δE (εn ) → 0.
Do đó, δE (ε) = 0, điều này mâu thuẫn với giả thiết E ∗ là khơng gian lồi đều.
Vì thế, E là không gian trơn đều.
ii) Chứng minh tương tự như i) bằng cách thay đổi vai trò E và E ∗ .
1.2.

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

Định nghĩa 1.12. Một ánh xạ J : E ⇒ E ∗ (nói chung là đa trị) thỏa mãn
điều kiện
J(x) = {x∗ ∈ E ∗ : x, x∗ = x

x∗

và

x∗ = x },

được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E.
Chú ý 1.2. Ánh xạ J tồn tại trên mọi không gian Banach. Khẳng định này
được suy ra như một hệ quả trực tiếp của Định lí Hahn-Banach (Nhận xét
4.2, trang 25, [3]). Đôi khi, nếu không sợ nhầm lẫn, trường hợp ánh xạ đối

ngẫu chuẩn tắc là đơn trị ta sẽ kí hiệu là j.


12

Ví dụ 1.11. Trong khơng gian Hilbert H ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của
H là ánh xạ đơn vị I. Thật vậy, trước hết để ý rằng H = H ∗ và với mọi
x ∈ H ta có
x, x = x x .
Do đó, x ∈ J(x). Ngược lại, với mọi y ∈ J(x), từ định nghĩa của J ta thấy
x, y = x y

y = x .

và

Kết hợp điều này với tính chất
x−y

2

= x

2

+ y

2

− 2 x, y ,

suy ra x = y. Vì vậy, J(x) = {x}.
Mệnh đề 1.8. [1]
Trong khơng gian Banach E, ta có bất đẳng thức sau
x

2

2

≤ x

+ 2 y, j(x + y) = x

2

− x+y

2

+ 2 x + y − x, j(x + y)

= x

2

+ x+y

2

− 2 x, j(x + y)

≥ x

2

+ x+y

2

− 2 x j(x + y)

= x

2

+ x+y

2

− 2 x x+y

+ 2 y, j(x) ≤ x + y

2

+ 2 y, j(x + y) ,

với mọi x, y ∈ E.
Chứng minh. Ta có

x

2

− x+y

2

= ( x − x + y )2 ≥ 0.
Do đó, ta nhận được
x+y

2

≤ x

2

+ 2 y, j(x + y) .

Tiếp theo, để ý rằng
x+y

2

− x

2

− 2 y, j(x) = x + y

2

− x

2

− 2 y + x − x, j(x)

= x+y

2

+ x

2

− 2 x + y, j(x)

≥ x

2

+ x+y

2

− 2 x+y

= x

2

+ x+y

2

− 2 x x+y

j(x)


13

= ( x − x + y )2 ≥ 0.
Từ đó suy ra x

2

+ 2 y, j(x) ≤ x + y 2 .

Một số tính chất cơ bản của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được trình bày
trong mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.9. [1]
Cho E là không gian Banach thực và J : E ⇒ E ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn
tắc của E. Khi đó, ta có các khẳng định sau:
i) J(0) = {0}.
ii) Với mỗi x ∈ E, J(x) là tập lồi đóng bị chặn và khác rỗng.
iii) J(λx) = λJ(x) với mọi x ∈ E và λ ∈ R.
iv) Nếu E ∗ là không gian lồi chặt thì J là ánh xạ đơn trị.

Chứng minh. i) Hiển nhiên, ta thấy
J(0) = {x∗ ∈ E ∗ : 0, x∗ = 0 và

x∗ = 0} = {0}.

ii) Nếu x = 0 thì J(0) = {0} = ∅. Nếu x = 0 thì theo Định lí Hahn-Banach,
tồn tại x∗ ∈ E ∗ sao cho
x, x∗ = x

x∗ = 1.

và

Bằng cách đặt y ∗ = x x∗ ta nhận được
x, y ∗ = x

2

y∗ = x .

và

Do đó, y ∗ ∈ J(x) hay suy ra J(x) khác rỗng với mọi x ∈ E.
Tiếp theo, giả sử x∗ , y ∗ ∈ J(x) và λ ∈ [0, 1]. Ta có
x, x∗ = x

x∗ ,

x = x∗ ,

x, y ∗ = x y ∗ ,

x = y∗ ,

và
x, λx∗ + (1 − λ)y ∗ = x (λ x∗ + (1 − λ) y ∗ ) = x 2 .
Từ các đẳng thức trên cùng ước lượng sau
x, λx∗ + (1 − λ)y ∗ ≤ x

λx∗ + (1 − λ)y ∗

(1.3)


14

≤ x (λ x∗ + (1 − λ) y ∗ )
= x

2

dẫn đến
x

λx∗ + (1 − λ)y ∗ = x 2 .

Điều này tương đương với
λx∗ + (1 − λ)y ∗ = x .

(1.4)

Kết hợp (1.3) và (1.4) ta nhận được
x, λx∗ + (1 − λ)y ∗ = λx∗ + (1 − λ)y ∗

x .

(1.5)

Vì thế, từ (1.4) và (1.5) suy ra λx∗ + (1 − λ)y ∗ ∈ J(x) hay J(x) là tập lồi.
Cuối cùng, từ định nghĩa của J(x), dễ thấy J(x) là tập đóng và bị chặn.
iii) Giả sử x∗ ∈ J(λx) và xét trường hợp λ = 0 (vì nếu λ = 0 thì hiển nhiên
J(0) = {0}). Khi đó, ta có
λx, x∗ = λx x∗ = x∗ 2 , λx = x∗ .
Từ đó suy ra
x, λ−1 x∗ = λ−1 λx, λ−1 x∗ = λ−2 λx, x∗ = λ−2 λx x∗ = λ−2 λx

2

= x 2.

Mặt khác, dễ thấy rằng
λ−1 x∗ = |λ−1 | x∗ = |λ−1 | λx = x .
Do đó, λ−1 x∗ ∈ J(x) hay x∗ ∈ λJ(x). Vì thế, ta nhận được
J(λx) ⊆ λJ(x).

(1.6)

Ngược lại, giả sử x∗ ∈ λJ(x) hay λ−1 x∗ ∈ J(x). Để ý rằng, từ ước lượng
x, λ−1 x∗ = x

λ−1 x∗ = λ−1 x∗

2

= x 2,

cho ta
λx, x∗ = λ x, x∗ = λ2 x, λ−1 x∗ = λ2 x

2

= λx 2 .

Hơn nữa, vì x∗ = λy ∗ với y ∗ ∈ J(x) nên
x∗ = λy ∗ = |λ| y ∗ = |λ| x = λx .


15

Do đó, x∗ ∈ J(λx) hay suy ra
λJ(x) ⊆ J(λx)

(1.7)

Từ (1.6) và (1.7) ta có điều cần chứng minh.
iv) Giả sử x∗ , y ∗ ∈ J(x) với mọi x ∈ E. Ta có
x, x∗ = x x∗ ,

x∗ = x ,

x, y ∗ = x y ∗ ,

y∗ = x .

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được
x, x∗ + y ∗ = 2 x 2 .
Thêm vào đó, để ý rằng
2 x

2

= x, x∗ + y ∗ ≤ x x∗ + y ∗ ,

kéo theo
x∗ + y ∗ ≥ 2 x = x∗ + y ∗ .

(1.8)

Ngồi ra, ta có đánh giá sau
x∗ + y ∗ ≤ x∗ + y ∗ .

(1.9)

Từ (1.8) và (1.9) dẫn đến
x∗ + y ∗ = x∗ + y ∗ .
Từ giả thiết E ∗ là không gian lồi chặt và đẳng thức trên, theo Nhận xét 1.3,
tồn tại α ∈ R+ sao cho x∗ = αy ∗ Mặt khác, để ý rằng
x, y ∗ = x, x∗ = x, αy ∗ = α x, y ∗ .
Điều này suy ra α = 1 và vì thế x∗ = y ∗ . Do đó, J là ánh xạ đơn trị.
Định nghĩa 1.13. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j : E → E ∗ được gọi là

i) liên tục yếu theo dãy nếu với mọi dãy {xk } hội tụ yếu tới điểm x thì j(xk )
hội tụ tới j(x) theo tôpô yếu∗ trong E ∗ .
ii) liên tục mạnh-yếu∗ nếu với mọi dãy {xk } hội tụ mạnh tới điểm x thì j(xk )
hội tụ tới j(x) theo tơpơ yếu∗ trong E ∗ .


16

Mệnh đề 1.10. [3]
Nếu khơng gian Banach E có chuẩn khả vi Gâteaux đều thì ánh xạ đối
ngẫu chuẩn tắc j : E → E ∗ liên tục đều mạnh-yếu∗ trên các tập con bị chặn
của E.
Mệnh đề 1.11. [1]
Cho E là không gian Banach và J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc. Khi đó,
các khẳng định sau tương đương:
i) E là không gian trơn.
ii) J là đơn trị.
iii) Chuẩn của E là khả vi Gâteaux với ∇ x = x

−1

J(x).

Mệnh đề dưới đây cho ta một đặc trưng quan trọng của không gian Banach
lồi đều.
Mệnh đề 1.12. [1]
Cho s > 0 và E là không gian Banach thực.Khi đó, E là lồi đều khi và chỉ
khi tồn tại một hàm lồi, liên tục và tăng ngặt g : [0, ∞) → [0, ∞) có g(0) = 0
thỏa mãn
x+y

2

≥ x

2

+ 2 y, J(x) + g( y ),

với mọi x, y ∈ {z ∈ E : z ≤ s}.
1.3.

Ánh xạ không giãn tương đối và phép chiếu suy rộng

Cho E là không gian Banach trơn. Ta xét hàm số φ : E × E → R xác định
như sau
φ(y, x) := y

2

− 2 y, J(x) + x 2 .

với mỗi x, y ∈ E.
Nhận xét 1.5. Từ định nghĩa của hàm φ ta có
( y − x )2 ≤ φ(y, x) ≤ ( y + x )2 ,

∀x, y ∈ E,

và
φ(y, J −1 (λJ(x) + (1 − λ)J(z))) ≤ λφ(y, x) + (1 − λ)φ(y, z),

17

với mọi x, y, z ∈ E và λ ∈ [0, 1].
Nếu E là không gian lồi đều và trơn [4, 5] thì với mọi x, y ∈ E ta có
φ(y, x) = 0 ⇔ x = y.
Nếu E là khơng gian Hilbert H thì ta có φ(y, x) = y − x 2 , ∀x, y ∈ H.
Mệnh đề 1.13. [4]
Cho E là không gian Banach lồi đều và trơn. Cho {yn }, {zn } là các dãy
tùy ý trong E. Nếu φ(yn , zn ) → 0 và ít nhất một trong hai dãy {yn }, {zn } bị
chặn thì yn − zn → 0.
Chứng minh. Vì φ(yn , zn ) → 0 nên {φ(yn , zn )} bị chặn. Do đó, nếu ít nhất
một trong hai dãy {yn }, {zn } bị chặn thì dãy cịn lại cũng bị chặn (suy ra từ
Nhận xét 1.5). Theo Mệnh đề 1.12, tồn tại một hàm lồi, liên tục và tăng ngặt
g : [0, ∞) → [0, ∞) mà g(0) = 0 sao cho
g( yn − zn ) ≤ zn + (yn − zn )
2

2

− zn

2

= yn

2

− zn

= yn

2

− 2 yn , J(zn ) + zn

− 2 yn − zn , J(zn )

− 2 yn , J(zn ) + 2 zn

2

2

= φ(yn , zn ).
Điều này suy ra rằng, nếu φ(yn , zn ) → 0 thì g( yn − zn ) → 0. Từ tính chất
của g ta có điều cần chứng minh.
Định nghĩa 1.14. Cho C là tập con khác rỗng của E. Ánh xạ T : C → C
được gọi là không giãn nếu
T (x) − T (y) ≤ x − y ,

∀x, y ∈ C.

Ví dụ 1.12. Ánh xạ T : R2 → R2 xác định bởi T (x) = A(x) với
A=

a 0
0 a

là ánh xạ không giãn nếu và chỉ nếu |a| ≤ 1.
Định nghĩa 1.15. Cho C là tập con khác rỗng của E và ánh xạ T : C → C.
Phần tử p ∈ C được gọi là


18

(i) điểm bất động của T nếu
T (p) = p.
Tập các điểm bất động của T kí hiệu là Fix(T ).
(ii) điểm bất động tiệm cận của T nếu C chứa dãy {xn } mà xn

p và

xn − T (xn ) → 0.
Tập các điểm bất động tiệm cận của T kí hiệu là Fˆ (T ).
Định nghĩa 1.16. Cho C là tập con khác rỗng của E. Ánh xạ T : C → C
được gọi là không giãn tương đối nếu
(i) Fˆ (T ) = Fix(T ),
(ii) φ(p, T (x)) ≤ φ(p, x) với mọi x ∈ C và p ∈ Fix(T ).
Ví dụ 1.13. Cho C là tập con khác rỗng trong khơng gian hữu hạn chiều.
Khi đó, mọi ánh xạ không giãn T : C → C đều là không giãn tương đối.
Thật vậy, để ý rằng nếu xn → p thì T (xn ) → T (p) (do tính liên tục của
ánh xạ T ). Do đó, ta có Fˆ (T ) = Fix(T ). Mặt khác, ta lại có
φ(p, T (x)) = p − T (x)

2

= T (p) − T (x)

2

≤ p−x

2

= φ(p, x),

với mọi x ∈ C và p ∈ Fix(T ).
Tính chất tập điểm bất động của ánh xạ không giãn tương đối được phát
biểu trong mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.14. [4]
Cho E là không gian Banach lồi chặt và trơn. Cho C là tập con lồi đóng
khác rỗng của E. Cho T : C → C là ánh xạ không giãn tương đối. Khi đó,
Fix(T ) là tập đóng lồi.
Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh Fix(T ) là tập đóng. Giả sử {xn } là
một dãy các phần tử trong Fix(T ) mà xn → x ∈ C. Từ định nghĩa của T ta
có
φ(xn , T (x)) ≤ φ(xn , x) ∀n ∈ N.
Do đó, ta có
φ(x, T (x)) = lim φ(xn , T (x)) ≤ lim φ(xn , x) = φ(x, x) = 0.
n→∞

n→∞


19

Vì thế, ta nhận được x = T (x) hay x ∈ Fix(T ).
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh Fix(T ) là tập lồi. Thật vậy, với mọi x, y ∈

Fix(T ) và t ∈ (0, 1), ta đặt
z = tx + (1 − t)y.
Khi đó, để ý rằng ta có ước lượng sau
φ(z, T (z)) = z

2

− 2 z, J(T (z)) + T (z)

= z

2

− 2 tx + (1 − t)y, J(T (z)) + T (z)

= z

2

− 2t x, J(T (z)) − 2(1 − t) y, J(T (z)) + T (z)

= z

2

+ (t x

+ ((1 − t) y
−t x

2

2
2

2
2
2

− 2t x, J(T (z)) + t T (z) 2 )
− 2(1 − t) y, J(T (z)) + (1 − t) T (z) 2 )

− (1 − t) y

2

= z

2

+ tφ(x, T (z)) + (1 − t)φ(y, T (z)) − t x

≤ z

2

+ tφ(x, z) + (1 − t)φ(y, z) − t x

= z

2

− 2 tx + (1 − t)y, J(z) + z

= z

2

− 2 z, J(z) + z

2

2

− (1 − t) y

− (1 − t) y

2

2

2

2

= 0.
Do đó, ta nhận được
φ(z, T (z)) = 0 ⇔ z = T (z).
Điều này dẫn đến z ∈ Fix(T ) hay Fix(T ) là tập lồi.

Tiếp theo, cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian Banach
phản xạ, lồi chặt và trơn E. Khi đó, với mỗi x ∈ E đều tồn tại duy nhất
x0 ∈ C sao cho
φ(x0 , x) = inf φ(y, x).
y∈C

Do đó, ta hồn tồn xác định ánh xạ ΠC : E → C xác định bởi
ΠC (x) = x0 .
Ánh xạ trên được gọi là phép chiếu suy rộng từ E lên C.