phương pháp halpern tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC





DƯƠNG NGỌC PHƯƠNG


PHƯƠNG PHÁP HALPERN
TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN



TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC







Thái Nguyên – 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Công trình được hoàn thành tại :

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN


Người hướng dẫn khoa học : GS.TS Nguyễn Bường

Phản biện 1 : PGS.TS Đỗ Văn Lưu
Phản biện 2 : TS Nguyễn Thị Thu Thủy



Luận văn đã được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại :
Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên

Ngày 28 tháng 8 năm 2011







Có thể tìm hiểu luận văn tại thư viện Đại học Thái Nguyên

Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Một số ký hiệu và chữ viết tắt 4
Chương 1. Một số khái niệm cơ bản 5
1.1. Một số khái niệm của không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Một số tính chất của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Bài toán tìm điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Phương pháp lặp Solodov - Svaiter giải phương trình 0 ∈ Tx 16
Chương 2. Phương pháp Halpern và cải biên 28
2.1. Phương pháp Halpern tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn 28
2.2. Phương pháp xấp xỉ mềm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3. Phương pháp Halpern cải biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Tài liệu tham khảo 46
1
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TS
Nguyễn Bường. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp các thắc
mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin được bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến Thầy.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô khoa Toán - Tin, phòng đào tạo
sau đại học Trường Đại Học Khoa Học, Đại Học Thái Nguyên cũng như các
Thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2009 - 2011, lời cảm ơn sâu sắc
nhất về công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục và đào tạo của Nhà
trường.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn với các thầy, các cô trong Ban giám hiệu
và Tổ Toán - Tin Trường Trung học phổ thông Trại Cau đã tạo điều kiện
giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn cao
học.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, các anh chị em học viên
cao học toán K3 và bạn bè đồng nghiệp đã động viên, khích lệ và cổ vũ để
tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.
Thái Nguyên, ngày 6 tháng 5 năm 2011
Tác giả
Dương Ngọc Phương
2
Mở đầu
Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian

Hilbert hay Banach là một vấn đề lớn được rất nhiều các nhà toán học trên
thế giới quan tâm.
Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu vận dụng phương pháp Halpern
tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Bố cục
luận văn gồm 02 chương :
Chương I: Các khái niệm cơ bản
Trong chương này giới thiệu một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert,
phương pháp lặp Solodov - Svaiter giải phương trình 0 ∈ T x.
Chương II: Phương pháp Halpern và mở rộng
Chương này gồm 3 phần:
+ Phương pháp Halpern tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn.
+ Phương pháp xấp xỉ mềm.
+ Phương pháp Halpern cải biên.
Do thời gian có hạn nên luận văn mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tập
hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đề
đặt ra. Trong quá trình làm luận văn cũng như trong quá trình sử lý văn
bản chắc chắn không thể tránh khỏi sai sót, Tôi rất mong nhận được những
ý kiến đóng góp của Thầy cô và bạn đọc.
3
Một số ký hiệu và chữ viết tắt
R
n
không gian Euclide n-chiều
|β| trị tuyệt đối của số thực β
x := y x được định nghĩa bằng y
∀x với mọi x
∃x tồn tại x
I ánh xạ đồng nhất
A ⊂ B tập A là tập con thực sự của tập B
A ⊆ B tập A là tập con của tập B

A ∪ B A hợp với B
A ∩ B A giao với B
A × B tích Đề-các của hai tập A và B
convD bao lồi của tập D
x
k
→ x dãy {x
k
} hội tụ mạnh tới x
x
k
 x dãy {x
k
} hội tụ yếu tới x
A
∗
toán tử liên hợp của toán tử A
D(A) miền xác định của toán tử A
R(A) miền giá trị của toán tử A
4
Chương 1
Một số khái niệm cơ bản
Trong chương này, chúng tôi đề cập đến các vấn đề sau. Trong mục 1.1,
chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kiến thức liên quan đến không gian
Hilbert. Trong mục 1.2, chúng tôi trình bày một số tính chất của toán tử. Mục
1.3 được dùng để trình bày bài toán tìm điểm bất động. Mục 1.4 được dùng
để trình bày phương pháp lặp Solodov-Svaiter giải phương trình 0 ∈ T x.
1.1. Một số khái niệm của không gian Hilbert
Các khái niệm và kết quả trong phần này được tham khảo trong tài liệu
[1] và [2].

1.1.1. Định nghĩa không gian Hilbert
Cho X là một không gian tuyến tính trên R. Một tích vô hướng trong X
là một ánh xạ ., . : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau:
i) x, x > 0, ∀x = 0; x, x = 0 ⇔ x = 0;
ii) x, y = y, x, ∀x, y ∈ X;
iii) αx, y = αx, y, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R;
iv) x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y, z ∈ X.
Không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng ., . được gọi là không
gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian
Hilbert. Chuẩn của phần tử x được kí hiệu là x và được xác định bằng
x =

x, x.
Các không gian R
n
, L
2
[a, b] là các không gian Hilbert với tích vô hướng được
xác định tương ứng là:
5
x, y =
n

i=1
ξ
i
η
i
; x = (ξ
1

, ξ
2
, , ξ
n
) ∈ R
n
; y = (η
1
, η
2
, , η
n
) ∈ R
n
;
ϕ, ψ =

b
a
ϕ(x)ψ(x)dx, ϕ, ψ ∈ L
2
[a, b].
1.1.2. Một số khái niệm cơ bản
• Cho X là một không gian Hilbert, một dãy {x
n
} gồm các phần tử x
n
∈ X
gọi là hội tụ mạnh tới phần tử của x ∈ X nếu x
n

− x → 0 khi n → ∞.
Nếu {x
n
} hội tụ mạnh tới x ∈ X thì:
(i) Mỗi dãy con {x
n
k
} ⊂ {x
n
} cũng hội tụ tới x;
(ii) Mỗi dãy {x
n
− ξ} bị chặn, ξ ∈ X.
• Dãy {x
n
} ⊂ X được gọi là đủ hay Cauchy, nếu với mỗi ε > 0, tồn tại
n
0
(ε) sao cho: x
m
− x
n
 < ε với mọi m ≥ n
0
(ε), n ≥ n
0
(ε).
• Toán tử A : X → R được gọi là tuyến tính nếu:
(i) A(x
1

+ x
2
) = Ax
1
+ Ax
2
∀x
1
, x
2
∈ X;
(ii)A(αx) = αAx, ∀α ∈ R, x ∈ X.
• Toán tử tuyến tính A được gọi là bị chặn, nếu tồn tại một hằng số M > 0
sao cho Ax ≤ Mx. Giá trị hằng số M nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức
đó được gọi là chuẩn của A và ký hiệu là A.
Mệnh đề 1.1. Cho X là một không gian Hilbert và x
0
∈ X là một phần tử
tùy ý. Khi đó tồn tại một hàm tuyến tính ϕ : X → R sao cho ϕ = 1 và
ϕ(x
0
) = x
0
.
• Tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X gọi là không
gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu của X) và được ký hiệu là X
∗
.
• Dãy {x
n

} gồm các phần tử x
n
∈ X được gọi là hội tụ yếu tới phần tử
x ∈ X (viết tắt là x
n
 x) nếu φ, x
n
 → φ, x với mỗi φ ∈ X
∗
.
• Cho X là không gian Hilbert, và C là tập con của X. Một ánh xạ
T : C → X được gọi là d-compact, nếu nó thỏa mãn tính chất với mỗi dãy
{x
n
} bị chặn trong X và {T x
n
− x
n
} hội tụ mạnh thì tồn tại một dãy con
6
{x
n
k
} của {x
n
} cũng hội tụ mạnh.
• T được gọi là d- đóng tại điểm p nếu {x
n
} ∈ D(T ) sao cho {x
n

} hội tụ
yếu tới x ∈ D(T ) và {T (x
n
)} hội tụ mạnh đến p thì T (x) = p.
Định nghĩa 1.1 Nếu dãy {x
n
} hội tụ yếu tới x ∈ X thì dãy {x
n
} là bị
chặn.
• Cho X là một không gian Hilbert, M là một tập con khác rỗng của X.
(i) M được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ M, 0 ≤ λ ≤ 1 ta có:
λx + (1 − λ)y ∈ M;
(ii) M được gọi là compact nếu mọi dãy {x
n
} ⊂ M đều chứa dãy con hội
tụ tới một điểm thuộc M.
• Mỗi tập con đóng bị chặn M của một không gian Hilbert là compact
yếu, tức là với mỗi dãy bị chặn trong M có thể trích ra được một dãy con
hội tụ yếu tới một phần tử của không gian này.
• Tập M ⊂ X được gọi là tập đóng yếu, nếu {x
n
}  x, thì x ∈ M.
Định lý 1.1. (Mazur)
Mỗi tập con lồi đóng của một không gian Hilbert là đóng yếu.
Định nghĩa 1.2. Một phiếm hàm ϕ xác định trên X được gọi là lồi, nếu
ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y)
với mọi x, y ∈ X, t ∈ [0, 1]. Nếu dấu "=" xảy ra chỉ khi x = y, thì ϕ được
gọi là lồi chặt.
• Nếu tồn tại một hàm liên tục tăng γ : [0; +∞) → R, γ(0) = 0 sao cho:

ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y) − t(1 − t)γ(x − y)
với mọi x, y ∈ X thì ϕ được gọi là lồi đều và hàm γ(t) gọi là modul lồi của
ϕ.
• Nếu γ(t) = ct
2
(c > 0) thì phiếm hàm ϕ được gọi là lồi mạnh.
Định nghĩa 1.3. Một phiếm hàm ϕ được gọi là nửa liên tục dưới tại x
0
∈ X,
7
nếu với mỗi dãy {x
n
} ⊂ X sao cho x
n
→ x
0
ta có:
ϕ(x
0
) ≤ lim inf
n→∞
ϕ(x
n
).
Nếu x
n
 x
0
và
ϕ(x

0
) ≤ lim inf
n→∞
ϕ(x
n
),
thì ϕ được gọi là nửa liên tục yếu tại x
0
.
Định lý 1.2. Cho một phiếm hàm ϕ : X → R. Ta nói rằng ϕ khả vi theo
hướng h tại một điểm x ∈ X nếu giới hạn
lim
t→0
ϕ(x + th) − ϕ(x)
t
= V

(x, h). (1.1)
Nếu giới hạn trong (1.1) tuyến tính liên tục theo h, tức là V

(x, h) = A(x)h
thì A(x) được gọi là vi phân Gâteaux của ϕ tại điểm x và được kí hiệu là
ϕ

(x).
Trong định nghĩa (1.1) nếu tồn tại toán tử A : X → X
∗
sao cho:
V


(x, h) = Ax, h, ∀x, h ∈ X,
thì toán tử A được gọi là Gradient của hàm ϕ và ký hiệu ϕ

hay gradϕ.
Định lý 1.3.
(i) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi trên X thì ϕ

(x) thỏa mãn bất đẳng
thức sau:
ϕ

(x) − ϕ

(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X;
(ii) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi đều trên X thì:
ϕ

(x) − ϕ

(y), x − y ≥ 2γ(x − y), ∀x, y ∈ X;
(iii) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi mạnh trên X thì:
ϕ

(x) − ϕ

(y), x − y ≥ 2cx − y
2
, ∀x, y ∈ X.
Định lý 1.4.
(i) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi trên X thì ϕ


(x) thỏa mãn bất đẳng
8
thức sau:
ϕ

(x), x − y ≥ ϕ(x) − ϕ(y), ∀x, y ∈ X;
(ii) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi đều trên X thì:
ϕ

(x), x − y ≥ ϕ(x) − ϕ(y) + γ(x − y), ∀x, y ∈ X;
(iii) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi mạnh trên X thì:
ϕ

(x), x − y ≥ ϕ(x) − ϕ(y) + cx − y
2
, ∀x, y ∈ X.
1.2. Một số tính chất của toán tử
Định nghĩa 1.4. Toán tử A : X → 2
Y
được gọi là bị chặn nếu nó biến mỗi
tập bị chặn trong X thành một tập bị chặn trong Y . Nếu R(A) ⊂ Y là một
tập bị chặn thì toán tử A được gọi là bị chặn đều.
Định nghĩa 1.5. Toán tử A : X → 2
X
∗
được gọi là bức nếu nó tồn tại một
hàm c(t) xác định với t ≥ 0 sao cho c(t) → +∞ khi t → ∞, thì:
y, x ≥ c(x)x, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Ax.
Điều kiện trên tương đương với: A là toán tử bức khi và chỉ khi:

lim
x→∞
Ax, x
x
= +∞.
Định nghĩa 1.6. Toán tử A : X → Y được gọi là compact trên X nếu nó
biến mỗi tập bị chặn trong X thành một tập compact trong Y.
Định nghĩa 1.7. Cho X, Y là không gian Hilbert. Toán tử A : X → Y được
gọi là:
(i) liên tục tại x
0
∈ X nếu với mỗi dãy con {x
n
} ⊂ X thì
Ax
n
→ Ax
0
, khi x
n
→ x
0
;
(ii) h - liên tục tại x
0
∈ X nếu A(x
0
+ t
n
h)  Ax

0
khi t
n
→ 0 với mọi véc
tơ h ∈ X ;
9
(iii) d - liên tục tại x
0
∈ X nếu với mỗi dãy con {x
n
} ⊂ X sao cho khi
x
n
→ x
0
thì Ax
n
 Ax
0
;
(iv) liên tục Lipschitz nếu ∃L > 0 sao cho:
Ax − Ay ≤ Lx − y, ∀x, y ∈ X.
Định nghĩa 1.8. Toán tử A : X → 2
X
∗
được gọi là d - đơn điệu trên X nếu
tồn tại một hàm không âm d(t), không giảm với t ≥ 0, và d(0) = 0 thỏa mãn
tính chất:
Ax − Ay, x − y ≥ (d(x) − d(y))(x − y), ∀x, y ∈ X.
Định nghĩa 1.9.

Toán tử A : X → 2
X
∗
được gọi là đơn điệu đều trên X nếu tồn tại một hàm
không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, và δ(0) = 0 và thỏa mãn tính chất:
Ax − Ay, x − y ≥ δ(x − y), ∀x, y ∈ X.
Nếu δ(t) = ct
2
, (c > 0) thì toán tử A được gọi là đơn điệu mạnh.
Toán tử A được gọi là nửa đơn điệu, nếu tồn tại một toán tử compact C
sao cho A + C là một toán tử đơn điệu.
1.3. Bài toán tìm điểm bất động
Cho X là không gian Metric bất kỳ T : X → X là một ánh xạ liên tục,
khi đó bài toán tìm điểm bất động được phát biểu như sau: Tìm điểm x
∗
∈ X
sao cho T (x
∗
) = x
∗
.
Trong trường hợp T : X → 2
X
là một ánh xạ đa trị thì bài toán được phát
biểu như sau: Tìm x
∗
∈ X sao cho x
∗
∈ T (x
∗

). Những định lý điểm bất động
nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ 20, trong đó phải kể đến "Nguyên lý
điểm bất động Brower (1912) và Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922)". Các
kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra cho lớp các ánh xạ và không gian
10
khác nhau, đã được ứng dụng trong toán học nói riêng và trong khoa học kỹ
thuật nói chung.
1.3.1. Nguyên lý ánh xạ co
Trước khi phát biểu nguyên lý ánh xạ co ta sẽ định nghĩa ánh xạ co:
Định nghĩa 1.10. Cho X, Y là các không gian Metric, ánh xạ T : X →
Y được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho d(T x, T y) ≤
kd(x, y), ∀x, y ∈ X., trong đó d là các metric của X và Y .
Như vậy, ánh xạ co là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển nhiên
là liên tục.
Định lý 1.5. Cho (X, d) là một không gian Metric đầy đủ và T là ánh xạ co
trong X. Khi đó tồn tại duy nhất x
∗
∈ X sao cho: T (x
∗
) = x
∗
. Ngoài ra, với
mọi x
0
∈ X, ta có T
n
x
0
→ x
∗

khi n → ∞.
Chứng minh:
Lấy x
0
∈ X tùy ý, đặt x
n+1
= T x
n
với n = 0, 1, 2 Vì T là ánh xạ co,
cho nên tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho:
d(x
2
, x
1
) = d(T x
1
, T x
0
) ≤ kd(x
1
, x
0
)
d(x
3
, x
2
) = d(T x
2
, T x

1
) ≤ kd(x
2
, x
1
) ≤ k
2
d(x
1
, x
0
)

d(x
n+1
, x
n
) ≤ k
n
d(x
1
, x
0
).(∗)
Lấy m ≥ n ta có:
d(x
n
, x
m
) ≤ d(x

n
, x
n+1
) + d(x
n+1
, x
n+2
) + + d(x
m−1
, x
m
)
≤ k
n
d(x
0
, x
1
) + k
n+1
d(x
0
, x
1
) + + k
m−1
d(x
0
, x
1

)
≤ k
n
(1 + k + + k
m−n−1
)d(x
0
, x
1
)
≤
k
n
1 − k
d(x
0
, x
1
).
Vì k ∈ [0, 1) nên k
n
→ 0 khi n → ∞. Do đó, từ (*) suy ra dãy {x
n
} là dãy
Cauchy. Mà (X, d) là không gian Metric đủ nên {x
n
} hội tụ tới một phần tử
11
x
∗

∈ X.
• Với mỗi n ta có:
0 ≤ d(x
∗
, T x
∗
) ≤ d(x
∗
, x
n
) + d(x
n
, T x
∗
)
≤ d(x
∗
, x
n
) + kd(x
n−1
, x
∗
).
Cho n → ∞ ta được d(x
∗
, T x
∗
) = 0, tức là T x
∗

= x
∗
.
• Giả sử y
∗
∈ X mà T y
∗
= y
∗
thì ta có:
d(x
∗
, y
∗
) = d(T x
∗
, T y
∗
) ≤ kd(x
∗
, y
∗
).
Vì k ∈ [0, 1) nên d(x
∗
, y
∗
) = 0, x
∗
= y

∗
. Vậy điểm bất động của T là duy nhất
và nguyên lý được chứng minh.
1.3.2. Toán tử giả co chặt trong không gian Hilbert
Định nghĩa 1.11. Cho H là không gian Hilbert, C là tập con lồi đóng của
H. Toán tử T : C → H được gọi là không giãn trên C, nếu:
T x − T y ≤ x − y, ∀ x, y ∈ C.
Định lý 1.6.[2] Cho H là không gian Hilbert, C là tập con lồi đóng và giới
nội của H. Toán tử T : C → H là không giãn trên C. Khi đó T có ít nhất
một điểm bất động.
Định lý 1.7.[3] Cho C là tập con lồi đóng và giới nội trong không gian
Hilbert H, T : C → C là ánh xạ không giãn và d- compact. Khi đó tập
hợp các điểm bất động F ixT của ánh xạ T là một tập lồi, đóng và với mỗi
x
0
∈ C, λ ∈ (0, 1) dãy lặp {x
n
}
∞
n=0
xác định bởi:
x
n+1
= (1 − λ)x
n
+ λT x
n
, n = 0, 1
hội tụ mạnh tới điểm bất động của toán tử T.
Nhận xét. Nếu T không có tính chất d- compact thì dãy lặp {x

n
} hội tụ
yếu tới điểm bất động của T .
Định nghĩa 1.12. Cho H là không gian Hilbert, C là tập con lồi đóng của
H. Toán tử T : C → H là λ−giả co chặt nếu ∃λ ∈ [0, 1) sao cho:
T x − T y
2
≤ x − y
2
+ λ(I − T )x − (I − T )y
2
, ∀x, y ∈ C,
12
trong đó I là toán tử đồng nhất trong H.
Dễ thấy, khi λ = 0 thì T là ánh xạ không giãn, tức là:
T x − T y ≤ x − y, với mọi x, y ∈ C.
Điều này có nghĩa rằng, lớp các toán tử λ- giả co chặt chứa lớp các ánh
xạ không giãn.
Định lý 1.8. Cho H là không gian Hilbert, C là tập con lồi đóng và giới nội
của H. Toán tử T : C → C là λ− giả co chặt. Khi đó với mỗi x
0
∈ C, 0 <
µ < 1 − λ, dãy lặp {x
n
}
∞
n=0
xác định bởi:
x
n+1

= (1 − µ)x
n
+ µT x
n
, n = 0, 1 (1.2)
hội tụ yếu tới điểm bất động của toán tử T . Hơn nữa, nếu T là d- compact
thì dãy lặp {x
n
} hội tụ mạnh tới x
∗
.
Chứng minh. Theo giả thiết T là toán tử λ - giả co chặt, tức là ∃λ ∈ [0, 1)
sao cho:
T x − T y
2
≤ x − y
2
+ λ(I − T )x − (I − T )y
2
, ∀x, y ∈ C.
Đặt A := I − T, ta có:
Ax − Ay, x − y ≥
1 − λ
2
Ax − Ay
2
.
Đặt
˜
λ =

1 − λ
2
, vì λ < 1, nên
˜
λ =
1 − λ
2
> 0.
Do đó suy ra A là toán tử đơn điệu.
Đặt T
t
= (1 − t)I + tT. Khi đó với t > 0 ta có:
T
t
x − T
t
y
2
=(I − tA)x − (I − tA)y
2
=(x − y) − t(Ax − Ay)
2
=(x − y)
2
+ t
2
(Ax − Ay)
2
− 2tAx − Ay, x − y
≤(x − y)

2
+ t
2
(Ax − Ay)
2
− 2t
˜
λAx − Ay
2
=(x − y)
2
+ t(t − 2
˜
λ)Ax − Ay
2
.
13
Vì t > 0 nên nếu t < 2
˜
λ = 1 − λ thì:
T
t
x − T
t
y
2
≤ (x − y)
2
hay T
t

x − T
t
y
2
≤ (x − y)
2
.
Do đó T là ánh xạ không giãn.
Theo Định lý 1.6 thì T
t
có ít nhất một điểm bất động trong C. Mặt khác,
lại theo Định lý 1.7 với mỗi k ∈ [0, 1) dãy lặp x
n
= (T
t
)
n
k
x
0
với x
0
∈ C hội
tụ mạnh tới điểm bất động x
∗
của T trong C.
Mặt khác, toán tử (T
t
)
k

có dạng:
(T
t
)
k
= (1 − k)I + kT t
= (1 − k)I + k[(1 − t)I + tT]
= (1 − kt)I + ktT = T
µ
với µ = kt < t ≤ 1 − λ.
Giả sử T là d-compact. Ta phải chứng minh dãy {x
n
} xác định bởi (1.2)
hội tụ mạnh tới x
∗
. Để chứng minh điều đó ta cần chỉ ra T
t
là d-compact.
Giả sử x
0
∈ C, {x
n
} bị chặn xác định bởi:
x
n
= (T
t
)
n
k

x
0
, k ∈ (0, 1).
Cần chứng minh dãy {x
n
− T
t
(x
n
)}
n∈N
hội tụ mạnh tới 0.
Thật vậy:
x
n+1
− x
∗
= (1 − k)x
n
+ kT
t
(x
n
) − x
∗
= (1 − k)(x
n
− x
∗
) + k(T

t
x
n
− x
∗
).
Mặt khác, với mỗi hằng số a ta có:
a(x
n
− T
t
(x
n
)) = a(x
n
− x
∗
) − a(T
t
x
n
− x
∗
).
Nên
x
n+1
− x
∗


2
= (1 − k)
2
x
n
− x
∗

2
+ k
2
T
t
x
n
− x
∗

2
+ 2k(1 − k)T
t
x
n
− x
∗
, x
n
− x
∗
,

(1.3)
và
a
2
x
n
− T
t
x
n

2
= a
2
x
n
− x
∗

2
+ a
2
T
t
x
n
− x
∗

2

− 2a
2
T
t
x
n
− x
∗
, x
n
− x
∗
.
(1.4)
14
Cộng vế tương ứng của hai đẳng thức (1.3) và (1.4) và sử dụng tính chất
không giãn của toán tử T
t
cùng với T
t
x
∗
= x
∗
ta thu được:
x
n+1
− x
∗


2
+ a
2
x
n
−T
t
x
n

2
≤ [2a
2
+ k
2
+ (1 − k)
2
]x
n
− x
∗

2
+ 2[k(1 − k) − a
2
]T
t
x
n
− x

∗
, x
n
− x
∗
.
(1.5)
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
T
t
x
n
− x
∗
, x
n
− x
∗
 ≤ T
t
x
n
− T
t
x
∗
.x
n
− x
∗


≤ x
n
− x
∗

2
.
(1.6)
Nếu chọn a sao cho a
2
≤ k(1 − k) thì bất đẳng thức (1.5) kết hợp với (1.6)
ta thu được:
x
n+1
− x
∗

2
+ a
2
x
n
−T
t
x
n

2
≤ [2a

2
+ k
2
+ (1 − k)
2
+ 2k(1 − k) − 2a
2
].x
n
− x
∗

2
= x
n
− x
∗

2
.
Chọn a
2
= k(1 − k) ta thu được:
a
2
x
n
− T
t
x

n

2
≤ x
n
− x
∗

2
− x
n+1
− x
∗

2
Cho n = 0 tới n = N ta thu được:
k(1 − k)
N

n=0
x
n
− T
t
x
n

2
≤
N


n=0

x
n
− x
∗

2
− x
n+1
− x
∗

2

= x
0
− x
∗

2
− x
N+1
− x
∗

2
≤ x
0

− x
∗
.
Từ đó suy ra:
N

n=0
x
n
− T
t
x
n
 < ∞ do đó x
n
− T
t
x
n
 → 0 khi n → ∞.
Theo giả thiết, T là d-compact nên tồn tại dãy con {x
n
i
} sao cho x
n
i
→ x
∗
.
Vì T

t
là ánh xạ không giãn nên:
T
t
x
n
i
→ T
t
x
∗
, và T
t
x
∗
= x
∗
.
Từ đó suy toàn bộ dãy {x
n
}
∞
n=0
hội tụ tới x
∗
.
15
1.4. Phương pháp lặp Solodov - Svaiter giải phương trình 0 ∈ T x
Bài toán được phát biểu như sau :
Tìm x ∈ H sao cho

0 ∈ T (x), (1.7)
trong đó H là không gian Hilbert và T (.) là toán tử đơn điệu cực đại trên
H. Ta kí hiệu tập nghiệm của phương trình (1.7) là S = {x ∈ H : 0 ∈ T (x)}.
Một trong những phương pháp để giải phương trình (1.7) là phương pháp
điểm gần kề được giới thiệu bởi Martinet [4] sau đó tiếp tục phát triển bởi
Rockafellar [5] cho đến nay phương pháp này và ứng dụng của nó đã được
thay đổi rất nhiều. Nếu có x
k
∈ H là nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.7),
phương pháp điểm gần kề tạo ra điểm lặp tiếp theo x
k+1
thông qua việc giải
bài toán phụ
0 ∈ T (x) + µ
k
(x − x
k
). (1.8)
Trong đó µ
k
> 0 là tham số lặp. Nếu dãy {µ
k
} bị chặn trên thì kết quả là
dãy các điểm lặp {x
k
} hội tụ yếu đến một phần tử thuộc S, (S = ∅), [5]. Để
thu được kết quả là sự hội tụ mạnh, Solodov và Svaiter [6] đã kết hợp thuật
toán điểm gần kề với việc thiết lập phép chiếu lên giao của hai nửa không
gian chứa tập nghiệm.
Định nghĩa 1.13. Cho A là tập đóng lồi khác rỗng, A ⊆ H và ∀x ∈ H.

Phép chiếu trực giao của x lên A là argmin{y − x, y ∈ A}, được ký hiệu
là P
A
(x).
Bổ đề [7] Cho A là tập đóng trong H,A = ∅, bất kỳ x, y ∈ H và z ∈ A ta
có các kết quả sau :
(i) x − P
A
(x), z − P
A
(x) ≤ 0 ,
(ii) P
A
(x) − P
A
(y)
2
≤ x − y
2
− P
A
(x) − x + y − P
A
(y)
2
.
1.4.1.Phương pháp lặp không chính xác
Việc giải bài toán phụ (1.8) chính xác có thể tính toán khó như việc giải
16
bài toán (1.7). Trong trường hợp bài toán phụ được giải với nghiệm xấp xỉ

ta tìm được cặp y
k
∈ H và v
k
∈ T (y
k
) sao cho :
ε
k
= v
k
+ µ
k
(y
k
− x
k
),
(1.9)
trong đó ε
k
là sai số với nghiệm không chính xác của bài toán phụ (1.8).
Trong phương pháp lặp không chính xác ta thiết lập x
k+1
:= y
k
để có
được bước lặp tiếp theo. Các tiêu chuẩn của nghiệm xấp xỉ phù hợp cho
nghiệm không chính xác của bài toán phụ là rất quan trọng và nó đã được
giải quyết trong [6],[8],[9]. Thông thường điều kiện được sử dụng để đảm

bảo tính hội tụ của dãy lặp là :
ε
k
 ≤ σ
k
µ
k
và
∞

k=0
σ
k
< ∞,
hoặc ε
k
 ≤ σ
k
µ
k
y
k
− x
k
 và
∞

k=0
σ
k

< ∞.
Điều kiện đầu đảm bảo tính hội tụ, điều kiện thứ hai tổng chuỗi bị chặn.
Chú ý rằng có hai điều kiện để sai số tương đối trong (1.9) được thỏa mãn
là :
ε
k

µ
k
y
k
− x
k

≤ σ
k
,
∞

k=0
σ
k
< ∞ .
Vì vậy sai số tương đối phải có tổng và hơn nữa phải dần về 0. Ví dụ đơn
giản trong [10] cho thấy sự biến thiên tham số σ
k
là ổn định có giá trị khác
0. Sự hội tụ của dãy lặp không chính xác không được đảm bảo trong trường
hợp không gian hữu hạn chiều.
Chúng ta thừa nhận y

k
∈ H và v
k
∈ T (y
k
) như là nghiệm xấp xỉ của bài
toán (1.9). Khi đó một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn :
ε
k

µ
k
y
k
− x
k

≤ σ,
ε
k

v
k

≤ σ
trong đó σ ∈ [0; 1] và chú ý rằng σ không phụ thuộc vào số lần lặp k
Đặt
H
k
:= {x ∈ H, v

k
, x − y
k
 = 0}.
17
Tính hội tụ có thể được đảm bảo nếu điểm lặp tiếp theo x
k+1
là phép chiếu
trực giao của x
k
lên H
k
, tức là x
k+1
= P
H
K
(x
k
).
Phương pháp đề xuất ở đây sử dụng dãy lặp các điểm gần kề và thành lặp các
bước chiếu phù hợp. Chúng ta tiếp tục nghiên cứu các tính chất của nghiệm
không chính xác trong bài toán phụ.
Định nghĩa 1.14. Cho x ∈ H , µ > 0 và σ ∈ [0; 1] ta nói rằng cặp
(y, v) ∈ H × H là nghiệm không chính xác với tham số σ của phương trình
0 ∈ T (.) + µ(. − x),
nếu
v ∈ T (y) , v + µ(y − x) = ε và
ε ≤ σ.Max{v, µ.y − x}.
Tiếp theo ta xác định một số tính chất của thuật toán được xác định ở

trên.
Mệnh đề 1.2: Cho x ∈ H , µ > 0 và σ ∈ [0; 1) và giả sử rằng (y, v) là
nghiệm không chính xác của phương trình 0 ∈ T (.) + µ(. − x) với tham số σ.
Từ đó ta có kết quả:
x − y, v ≥ (1 − σ).Max{µy − x
2
, v
2
/µ} ≥ (1 − σ).vy − x. (1.10)
Đặt
H := {z ∈ H|z − y, v ≤ 0}.
Khi đó 4 điều kiện sau tương đương
x ∈ H;
y = x;
v = 0;
x là nghiệm của phương trình (1.7).
hơn nữa
P
H
(x) − x ≥ (1 − σ).Max{y − x, v/µ}. (1.11)
18
Chứng minh
Từ (1.9) ta xét hai trường hợp có thể xảy ra sau : µx − y ≤ v và
µx − y ≥ v.
Trường hợp 1
µx − y ≤ v ta có ε ≤ σv nên
x − y, v =
1
µ
.v − ε, v ≥

1 − σ
µ
.v
2
(1.12)
và
x − y, v ≥
1 − σ
µ
.v
2
≥ (1 − σ).vy − x
≥ µ(1 − σ)y − x
2
.
(1.13)
Kết hợp (1.12) và (1.13) thì trường hợp 1 của (1.10) được chứng minh.
Trường hợp 2
µx − y ≥ v, ta có ε ≤ σµy − x.
Khi đó,
x − y, v = x − y, µ(x − y) + ε ≥ µ.(1 − σ).y − x
2
(1.14)
và
x − y, v ≥ µ.(1 − σ).y − x
2
≥ (1 − σ).vy − x
≥
1 − σ
µ

.v
2
.
(1.15)
kết hợp (1.14) và (1.15) ta có (1.10) đúng trong trường hợp thứ 2. Tiếp theo
ta chứng minh sự tương đương của 4 điều kiện.
Giả sử x ∈ H thì x − y, v ≤ 0 và do (1.10) ta có x = y.
Nếu x = y thì x − y, v = 0 và do (1.10) nên v = 0.
Tương tự nếu ta có v = 0 thì x = y và x là một nghiệm của (1.7).
Nếu x là nghiệm của (1.7) thì theo tính chất của ánh xạ T ta có :
0 ≤ y − x, v − 0 = y − x, v.
19
Vì vậy, x ∈ H. Cuối cùng để chứng minh (1.11) ta thấy rằng
Nếu x ∈ H thì x = y và v = 0 thì (1.11) đúng.
Nếu x ∈ H (nên v = 0) ta có P
H
(x) = x −
v, x − y
v
2
.v.
Do đó, P
H
(x) − x =
v, y − x
v
.
Nếu v/µ ≥ x − y thì v
2
/µ ≥ µx − y

2
và (1.11) được suy ra từ bất
đẳng thức đầu tiên của (1.10).
Nếu v/µ ≤ x − y thì (1.11) có được do bất đẳng thức thứ 2 của (1.10).
Vậy (1.11) được chứng minh.
1.4.2. Thuật toán 1
Chọn bất kỳ x
0
∈ H và σ ∈ [0; 1), sau k lần lặp ta có x
k
, chọn µ
k
> 0 và tìm
được (y
k
, v
k
) là cặp nghiệm không chính xác của phương trình
0 ∈ T (x) + µ
k
(x − x
k
) với tham số σ. Ta đặt
H
k
= {z ∈ H|z − y
k
, v
k
 ≤ 0}

và
W
k
= {z ∈ H|z − x
k
, x
0
− x
k
 ≤ 0}.
Ta có x
k+1
= P
H
k
∩W
k
(x
0
). Chọn x
0
là điểm ban đầu, tại mỗi lần lặp thì có
2 bài toán phụ được giải và ta luôn tìm thấy nghiệm không chính xác của
bài toán phụ và ta xác định được phép chiếu x
0
lên giao của hai nửa không
gian H
k
∩ W
k

. Bài toán phụ luôn có duy nhất nghiệm chính xác (kết quả của
Minty [11]).
Ta chứng minh
H
k
∩ W
k
= ∅.
Thuật toán tạo ra dãy vô hạn {x
k
} (và dãy các cặp liên quan {y
k
, v
k
}) với
điểm lặp ban đầu x
0
. Có rất nhiều dãy khác nhau thỏa mãn điều kiện của
thuật toán 1, chú ý rằng từ Mệnh đề 1 cho thấy sau k’ lần lặp thì ta có
x
k

∈ S nếu và chỉ nếu v
k

= 0, khi đó tất cả k ≥ k

ta đều có x
k
= x

k

và
v
k
= 0.
20
Giả sử sau k lần lặp và H
k
∩ W
k
= ∅ x
k+1
được xác định là kết quả của bài
toán.
Min
z
z − x
0

2
với ràng buộc z − y
k
, v
k
 ≤ 0,
z − x
k
, x
0

− x
k
 ≤ 0.
z − x
0
biểu thị tuyến tính qua v
k
và x
0
− x
k
thông qua sự phân tích phép
cộng vectơ trực giao
z − z
0
= λ
1
v
k
+ λ
2
(x
0
− x
k
) + h,
h, v = 0, h, x
0
− x
k

 = 0.
Vì vậy, bài toán trên trở thành
Min
λ
1
,λ
2
,h
h
2
+ λ
1
v
k
+ λ
2
(x
0
− x
k
)
2
với ràng buộc λ
1
v
k
+ λ
2
(x
0

− x
k
) + x
0
− y
k
, v
k
 ≤ 0,
λ
1
v
k
+ λ
2
(x
0
− x
k
) + x
0
− x
k
, x
0
− x
k
 ≤ 0.
Do cấu trúc đặt biệt của bài toán ta thấy h =0, vì vậy λ
1

, λ
2
có được do giải
bài toán cực tiểu bậc 2 trong không gian hai chiều với sự ràng buộc của hai
bất đẳng thức tuyến tính.
Hơn thế nữa dễ thấy rằng nếu chiếu x
0
lên H
k
ta có
P
H
k
(x
0
) = x
0
−
v
k
, x
0
− y
k

v
k

2
v

k
thuộc vào W
k
thì
P
H
k
(x
0
) = P
H
k
∩W
k
(x
0
).
Trong trường hợp này ta có x
k+1
mà không cần bất kỳ sự tính toán thêm nào
Nếu không ta có :
P
H
k
∩W
k
(x
0
) = x
0

+ λ
1
v
k
+ λ
2
(x
0
− x
k
).
trong đó λ
1
và λ
2
là nghiệm của hệ hai phương trình tuyến tính 2 ẩn
λ
1
v
k

2
+ λ
2
v
k
, x
0
− x
k

 = −x
0
− y
k
, v
k

21
λ
1
v
k
, x
0
− x
k
 + λ
2
x
0
− x
k

2
= −x
0
− x
k

2

.
1.4.3. Phân tích sự hội tụ
Mệnh đề 1.3: Giả sử thuật toán 1 đạt đến k+1 lần lặp, khi đó ta có
x
k+1
− x
0

2
≥ x
k
− x
0

2
+ x
k+1
− x
k

2
(1.16)
và
x
k+1
− x
k
 ≥ (1 − σ).max{y
k
− x

k
, v
k
/µ}.
(1.17)
Chứng minh
Từ cách đặt của W
k
, rõ ràng x
k
là kết quả phép chiếu x
0
lên W
k
. Áp dụng
bổ đề 1 với A = W
k
, x = x
k+1
và y = x
0
.
Ta có :
P
W
k
(x
k+1
) −P
W

k
(x
0
)
2
≤ x
k+1
− x
0

2
− P
W
k
(x
k+1
) −x
k+1
+ x
0
− P
W
k
(x
0
)
2
vì x
k+1
∈ W

k
ta có P
W
k
(x
k+1
) = x
k+1
hơn nữa P
W
k
(x
0
) = x
k
.
Do đó
x
k+1
− x
0

2
≥ x
k
− x
0

2
+ |x

k+1
− x
k

2
.
Từ x
k+1
∈ H
k
, ta có
x
k+1
− x
k
 ≥ x
k
− P
H
k
(x
k
),
vậy (1.17) có được từ mệnh đề 1.2.
Từ mệnh đề 2 ta có những kết luận sau:
Hệ quả 1
Giả sử dãy tham số lặp {µ
k
} bị chặn trên và Thuật toán 1 tạo ra một dãy
vô hạn {x

k
} thì hoặc là {x
k
} bị chặn và hội tụ yếu tới phần tử thuộc S = ∅
hoặc S = ∅ và lim
x→∞
x
k
 = ∞.
Chứng minh
Áp dụng (1.16) ta có
x
k
− x
0

2
≥
k−1

j=0
x
j+1
− x
j

2
.
22
Nếu {x

k
} bị chặn cho k −→ ∞ thì kết quả là:
∞

j=0
x
j+1
− x
j

2
< ∞,
do đó
0 = lim
k→∞
x
k+1
− x
k
.
Từ (1.17) và giả thiết µ
k
bị chặn trên ta có kết quả sau:
lim
k→∞
y
k
− x
k
 = 0,

và
lim
k→∞
v
k
 = 0.
Do dãy {x
k
} bị chặn nên có điểm tụ yếu, giả sử x là điểm tụ yếu của dãy
{x
k
} và với bất kỳ dãy con {x
k
j
} cũng hội tụ yếu về nó, và từ (1.17) ta có
{y
k
} cũng hội tụ yếu về x. Từ v
k
∈ T (y
k
) , với {v
k
} hội tụ mạnh về 0 và ánh
xạ T đơn điệu cực đại thì 0 ∈ T (x) do đó x ∈ S.
Bây giờ giả sử S = ∅ trong trường hợp này thì trước đó đã khẳng định
dãy {x
k
} không bị chặn, từ (1.15) thì dãy {x
k

− x
0
} không giảm khi đó
x
k
− x
0
 −→ ∞ khi k −→ ∞ vì vậy x
k
 −→ ∞
Tiếp theo ta chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy {x
k
} tới nghiệm trong
trường hợp S = ∅.
Trường hợp S = ∅
Giả sử (1.7) có nghiệm, khi đó S = ∅, chọn x
0
là điểm lặp ban đầu, ta thiết
lập tập
U(x
0
) = {x ∈ H|∀z ∈ S, z − x, x
0
− x ≤ 0}. (1.18)
Ta thấy rằng tập H
k
∩ W
k
luôn chứa tập nghiệm S do đó nó khác rỗng
và phép chiếu trong Thuật toán 1 là xác định, hơn nữa ta thấy rằng dãy lặp

{x
k
} chứa trong tập U(x
0
).
Mệnh đề 1.4
23