BÀI TOÁN đếm (TOÁN rời rạc SLIDE)

Phần thứ nhất

LÝ THUYẾT TỔ HỢP
Combinatorial Theory

Toán rời rạc

1


Nội dung
Chương 0. Mở đầu
Chương 1. Bài toán đếm
Chương 2. Bài toán tồn tại
Chương 3. Bài toán liệt kê tổ hợp
Chương 4. Bài toán tối ưu tổ hợp

Toán rời rạc

2


Chương 1. BÀI TOÁN ĐẾM
1.

Nguyên lý cộng và nguyên lý nhân

2.

Các cấu hình tổ hợp cơ bản

3.

Ngun lý bù trừ

4.

Cơng thức đệ qui

5.

Hàm sinh

Toán rời rạc

3


1. Nguyên lý cộng và Nguyên lý nhân


Đây là hai nguyên lý cơ bản của tổ hợp, được vận dụng rộng rãi
vào việc giải quyết các bài tốn đếm



Cịn gọi là Qui tắc cộng và Qui tắc nhân (Sum Rule và Product
Rule)

Toán rời rạc

4


1.1. Nguyên lý cộng
(The sum rule)


NÕu A vµ B lµ hai tập hợp rời nhau thì
N(A B) = N(A) + N(B).



Nguyên lý cộng đợc mở rộng cho nhiều tập con
rời nhau:
Nếu A1, A2, ..., Ak là một phân hoạch của tập hợp
X thì
N(X) = N(A1) + N(A2) + ... + N(Ak).



Một trờng hợp riêng hay dùng của nguyên lý cộng:
Nếu A là một tính chất cho trên tập X th×
N(A) = N(X) - N(Ac).

N (A) = N (X) − N (A)
Toán rời rạc

5

Ngun lý cộng: Ví dụ


Ví dụ 1. Một đồn vận động viên gồm 2 môn bắn súng và
bơi được cử đi thi đấu ở nước ngồi. Nam có 10 người.
Số vận động viên thi bắn súng (kể cả nam và nữ) là 14.
Số nữ vận động viên thi bơi bằng số nam vận động viên
thi bắn súng. Hỏi toàn đoàn có bao nhiêu người?



Giải: Chia đồn thành 2 lớp: nam và nữ. Lớp nữ lại
được chia 2: thi bắn súng và thi bơi. Thay số nữ thi bơi
bằng số nam thi bắn súng (2 số này bằng nhau theo đầu
bài), ta được số nữ bằng tổng số đấu thủ thi bắn súng.
Từ đó, theo ngun lý cộng, tồn đồn có 10 + 14 = 24
người.
Toán rời rạc

6


Nguyên lý cộng: Ví dụ


Ví dụ 2. Trong một đợt phổ biến đề tài tốt nghiệp, Ban
chủ nhiệm Khoa công bố danh sách các đề tài bao gồm
80 đề tài về chủ đề "xây dựng hệ thông tin quản lý", 10
đề tài về chủ đề "thiết kế phần mềm dạy học" và 10 đề tài
về chủ đề "Hệ chuyên gia". Hỏi một sinh viên có bao

nhiêu khả năng lựa chọn đề tài?



Giải: Sinh viên có thể lựa chọn đề tài theo chủ đề thứ
nhất bởi 80 cách, theo chủ đề thứ hai bởi 10 cách, theo
chủ đề thứ ba bởi 10 cách. Vậy tất cả có 100 cách lựa
chọn.

Tốn rời rạc

7


Ngun lý cộng: Ví dụ


VÝ dơ 3. Hái r»ng gi¸ trị của k sẽ là bao nhiêu sau
khi đoạn chơng trình PASCAL sau đợc thực hiện?
n1:=10; n2:=20;
n3:=30;
k:=0;
for i1:= 1 to n1 do k:=k+1;
for i2:= 1 to n2 do k:=k+1;
for i3:= 1 to n3 do k:=k+1;



Giải: Đầu tiên giá trị của k đợc gán bằng 0. Có 3
vòng lặp for độc lập. Sau mỗi lần lặp của mỗi

một trong 3 vòng for, giá trị của k tăng lên 1. Vòng
for thứ nhất lặp 10 lần, vòng for thứ hai lặp 20
lần, vòng for thứ ba lặp 30 lần. Vậy, kết thúc 3
vòng lặp for giá trị của k sẽ là 10+20+30= 60.
Toán rời rạc

8


Ngun lý cộng: Ví dụ



Ví dụ 4: Có bao nhiêu xâu gồm 4 chữ số thập phân có
đúng 3 ký tự là 9?
Giải: Xâu có thể chứa:
• Ký tự khác 9 ở vị trí thứ nhất
• hoặc ký tự khác 9 ở vị trí thứ hai
• hoặc ký tự khác 9 ở vị trí thứ ba
• hoặc ký tự khác 9 ở vị trí thứ tư
• Ta có thể sử dụng qui tắc cộng
• Đối với mỗi trường hợp, có 9 khả năng chọn ký tự
khác với 9 (bất kể chữ số khác 9 nào trong 9 chữ số
0, 1, ...,8)
• Vậy, đáp số là 9+9+9+9 = 36
Tốn rời rạc

9

1.2. Nguyờn lý nhõn
The product rule


Nếu mỗi thành phần ai của bộ có thứ tự k
thành phần (a1, a2, ..., ak) có ni khả năng
chọn (i = 1, 2, ..., k), thì số bộ sẽ đợc tạo ra
là tích số của các khả năng này n1n2 ... nk.



Một hệ quả trực tiếp của nguyên lý nhân:
N(A1 ì A2 ì ... ì Ak)
N(Ak),

=

N(A1) N(A2) ...

với A1, A2, ..., Ak là những tập hợp nào đó,
nói riêng:
N(Ak) = [N(A)]k .
Toỏn ri rc

10


1.2. Nguyờn lý nhõn
The product rule

Trong nhiều bài toán đếm, chỉ sau khi xây
dựng xong thành phần thứ nhất ta mới biết cách
xây dựng thành phần thứ hai, sau khi xây dựng
xong hai thành phần đầu ta mới biết cách xây
dựng thành phần thứ ba,... Trong trờng hợp đó
có thể sử dụng nguyên lý nhân tổng quát:
Giả sử ta xây dựng bộ có thứ tự k thành phần
(a1, a2, ..., ak) theo từng thành phần và

ã
ã
ã
ã



a1 có thể chọn bởi n1 cách;
Sau khi a1 đà chọn, a2 có thể chọn bởi n2 cách;
...
Sau khi a1, a2,...,ak-1 đà chọn, ak có thể chọn bởi nk cách;

Thế thì số bộ đợc tạo ra lµ tÝch sè n1n2 ... nk.
Tốn rời rạc

11

Ngun lý nhân: Ví dụ




VÝ dơ 1. Tõ Hµ néi đến Huế có 3 cách đi:
máy bay, ô tô, tàu hoả. Từ Huế đến Sài
gòn có 4 cách đi: máy bay, ô tô, tàu hoả,
tàu thuỷ. Hỏi từ Hà nội đến Sài gòn (qua
Huế) có bao nhiêu cách đi?
Giải: Mỗi cách đi từ Hà nội đến Sài gòn
(qua Huế) đợc xem gồm 2 chặng: Hà nội
- Huế và Huế - Sài gòn. Từ đó, theo
nguyên lý nhân, số cách đi từ Hà nội
đến Sài gòn là 3 ì 4 = 12 c¸ch.

Hà nội

Huế
Tốn rời rạc

Sài gịn
12


Ngun lý nhân: Ví dụ


VÝ dơ 2. Hái r»ng gi¸ trị của k sẽ là bao nhiêu sau
khi đoạn chơng trình PASCAL sau đợc thực hiện?

n1:=10; n2:=20;
k:=0;
for i1:=1 to n1
for i2:=1 to
for i3:=1 to n3



n3:=30;
do
n2 do
do k:=k+1;

Giải: Đầu tiên giá trị của k đợc gán bằng 0. Có 3
vòng lặp for lồng nhau. Sau mỗi lần lặp của vòng
for, giá trị của k tăng lên 1. Vòng for thứ nhất lặp
10 lần, vòng for thứ hai lặp 20 lần, vòng for thứ ba
lặp 30 lần. Vậy, theo nguyên lý nhân, kết thúc 3
vòng lặp for lồng nhau, giá trị của k sẽ là 10 ì 20 ì
30 = 6000.
Toỏn ri rạc

13


Ngun lý nhân: Ví dụ


Ví dụ 3: Hỏi có bao nhiêu lá cờ gồm 3 vạch mầu, mầu của mỗi vạch
lấy từ ba mầu xanh, đỏ, trắng sao cho:

a) Không có hai vạch liên tiếp nào cùng màu
b) Khơng có hai vạch nào cùng màu



Giải. Đánh số các vạch của lá cờ bởi 1, 2, 3 từ trên xuống.

Trường hợp a)


Màu của vạch 1 có 3 cách chọn.



Sau khi màu của vạch 1 đã chọn, màu của vạch 2 có 2 cách chọn
(không được chọn lại màu của vạch 1).



Sau khi màu của hai vạch 1, 2 đã chọn, màu của vạch 3 có 2 cách
chọn (khơng được chọn lại màu của vạch 2).



Theo nguyên lý nhân số lá cờ cần đếm trong trường hợp a) là 3.2.2=12

Toán rời rạc

14

Nguyên lý nhân: Ví dụ 3 (tiếp)
Trường hợp b):
 Màu của vạch 1 có 3 cách chọn.
 Sau khi màu của vạch 1 đã chọn, màu của vạch 2 có
2 cách chọn (không được chọn lại màu của vạch 1).
 Sau khi màu của hai vạch 1, 2 đã chọn, màu của
vạch 3 có 1 cách chọn (khơng được chọn lại màu
của vạch 1 và 2).
 Theo nguyên lý nhân số lá cờ cần đếm trong trường
hợp b) là 3.2.1=6

Toán rời rạc

15


Ngun lý nhân: Ví dụ
Ví dụ 4. Có bao nhiêu xâu gồm 4 chữ số thập phân
a) không chứa một chữ số nào hai lần?
Chúng ta sẽ chọn chữ số vào lần lượt từng vị trí

•
•
•
•

Ký tự thứ nhất có 10 cách chọn
Ký tự thứ hai có 9 cách (khơng chọn lại chữ số đã chọn vào vị
trí thứ nhât)

Ký tự thứ ba có 8 cách chọn
Ký tự thứ tư có 7 cách chọn

Tổng cộng có 10*9*8*7 = 5040 xâu cần đếm.
b) kết thúc bởi chữ số chẵn?
Ba ký tự đầu tiên mỗi ký tự có 10 cách chọn
Ký tự cuối cùng có 5 cách chọn
Tổng cộng có 10*10*10*5 = 5000 xâu cần đếm.
Toán rời rạc

16


Các ví dụ phức tạp hơn


Khi nào sử dụng qui tắc cộng?



Khi nào sử dụng qui tắc nhân?



Ta có thể sử dụng phối hợp cả qui tắc cộng và
qui tắc nhân



Bằng cách đó ta có thể giải được nhiều bài toán

thú vị và phức tạp hơn

Toán rời rạc

17


Chụp ảnh đám cưới
Xét bài tốn: Có 10 người tham gia vào việc chụp ảnh kỷ niệm ở
một đám cưới, trong đó có cơ dâu và chú rể. Ta xét bức ảnh
chỉ gồm 6 người trong họ.
a) Có bao nhiêu bức ảnh trong đó có mặt cơ dâu?
Qui tắc nhân: Xếp chỗ cho cơ dâu VÀ sau đó xếp chỗ cho những nhân vật
còn lại trong bức ảnh.
Trước hết xếp chỗ cho cơ dâu: Cơ dâu có thể đứng ở 1 trong 6 vị trí
Tiếp đến, xếp 5 nhân vật còn lại của bức ảnh nhờ sử dụng qui tắc nhân: Có
9 người để chọn nhân vật thứ hai, 8 người để chọn nhân vật thứ ba, ...
Tổng cộng có 9*8*7*6*5 = 15120 cách xếp 5 nhân vật còn lại của bức
ảnh.
Qui tắc nhân cho ta 6 * 15120 = 90 720 bức ảnh
Toán rời rạc

18


Chụp ảnh đám cưới
b) Có thể chụp bao nhiêu bức ảnh mà trong đó có mặt cả cơ dâu lẫn chú rể?
Qui tắc nhân: Xếp dâu/rể VÀ sau đó xếp những nhân vật còn lại trong
bức ảnh
Trước hết xếp dâu và rể

•
•
•

Cơ dâu có thể xếp vào 1 trong 6 vị trí
Chú rể có thể xếp vào 1 trong 5 vị trí cịn lại
Tổng cộng có 30 khả năng

Tiếp theo, xếp chỗ cho 4 nhân vật còn lại trong bức ảnh theo qui tắc nhân

•
•

Có 8 người để chọn nhân vật thứ ba, 7 người để chọn nhân vật thứ tư, ...
Tổng cộng có 8*7*6*5 = 1680

Theo qui tắc nhân có 30 * 1680 = 50 400 bức ảnh

Tốn rời rạc

19


Chụp ảnh đám cưới
c) Có bao nhiêu bức ảnh mà trong đó có mặt chỉ một người trong cặp tân hơn?
Qui tắc cộng: Chỉ xếp cơ dâu

•
•

•

Qui tắc nhân: xếp cơ dâu và sau đó xếp các nhân vật cịn lại
Trước hết xếp cơ dâu: Cơ dâu có thể đứng ở một trong 6 vị trí
Tiếp đến, xếp những nhân vật khác theo qui tắc nhân: Có 8 người để
chọn nhân vật thứ hai, 7 để chọn nhân vật thứ ba, v.v. (Ta không được
chọn chú rể!)
Tổng cộng = 8*7*6*5*4 = 6720

•


Qui tắc nhân cho 6 * 6720 = 40 320 khả năng

hoặc chỉ xếp chú rể

•

Số lượng khả năng cũng giống như cô dâu: 40 320

Qui tắc cộng cho 40 320 + 40 320 = 80 640 khả năng
Toán rời rạc

20


Chụp ảnh đám cưới
Một cách khác để thu được lời giải câu c)
c) Có bao nhiêu bức ảnh mà trong đó có mặt chỉ một người
trong cặp tân hơn?

• Tổng số bức ảnh trong đó có cơ dâu (có hoặc khơng có
chú rể): 90 720
• Theo kết quả phần (a)
• Tổng số bức ảnh có mặt cả dâu lẫn rể: 50 400
• Theo kết quả phần (b)
• Số bức ảnh chỉ có mặt cơ dâu: 90 720 – 50 400 = 40 320
• Đó cũng là số bức ảnh chỉ có mặt chú rể
• Tổng cộng = 40 320 + 40 320 = 80 640


Toán rời rạc

21


Số lượng Mật khẩu
Mỗi cá nhân sử dụng mạng máy tính đều có mật
khẩu gồm từ 6 đến 8 ký tự, mỗi ký tự là chữ cái
in hoa hoặc chữ số. Mật khẩu phải chứa ít nhất
một chữ số. Có bao nhiêu mật khẩu khác nhau?


Theo qui tắc cộng, nếu P là số lượng mật khẩu
và P6, P7, P8 là số lượng mật khẩu độ dài 6, 7, và
8, tương ứng, thì
P = P6+P7+P8
Tốn rời rạc

22

Số lượng Mật khẩu
P6 = số lượng mật khẩu gồm 6 ký tự chứa ít nhất một chữ số
= (tổng số mật khẩu gồm 6 ký tự) trừ bớt (số mật khẩu gồm 6 ký tự
không chứa chữ số)
= (26+10)(26+10)(26+10)(26+10)(26+10) – (26)(26)(26)(26)(26)(26) =
366 – 266
= 1 867 866 560

Toán rời rạc

23


Số lượng Mật khẩu
Tương tự như vậy, ta có
P7 = 367 – 267= 70 332 353 920
P8 = 368 – 268= 2 612 282 842 880
P6 + P7 + P8 = 2 684 483 063 360
Chú ý: Nếu máy tính 2 GHz có thể thử 200 triệu mật khẩu
trong một giây, thì trong thời gian bao nhiêu lâu có thể xác
định được mật khẩu để thâm nhập hệ thống máy tính này?
(2 684 483 063 360/200 000 000)/(60*60) giờ
Gần 4 tiếng đồng hồ!
Toán rời rạc

24


Chương 1. BÀI TOÁN ĐẾM

1.

Nguyên lý cộng và nguyên lý nhân

2.

Các cấu hình tổ hợp cơ bản

3.

Ngun lý bù trừ

4.

Cơng thức đệ qui

5.

Hàm sinh

Toán rời rạc

25