Tiểu luận giải tích hàm 2 một số dạng bài tập trong giải tích hàm 2

A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, ta khó có thể nói hết vai trị của giải tích trong các lĩnh vực nghiên
cứu và ứng dụng, giải tích hiện đại là chiếc chìa khố để đi sâu vào các ngành của
tốn học.
Trong giải tích thì nội dung giải tích hàm là nội dung vơ cùng quan trọng,
được chú trọng trong việc giảng dạy ở các trường Đại học và đây cũng là nội dung
mà nhiều sinh viên khoa Tốn quan tâm nghiên cứu. Bởi nó là nó là bước tiếp theo
của các lý thuyết về không gian mêtric tơpơ, là nội dung quan trọng để người học
có thể tìm ra cầu nối giữa các lĩnh vực của tốn học và hơn hết là tìm ra quan hệ
giữa tốn học và các ngành khoa học khác.
Ở học phần giải tích hàm 1 chúng ta đã làm quen với tốn tử tuyến tính liên
tục, chuẩn của tốn tử, khơng gian Banach…, cịn khi đến với giải tích hàm 2
chúng ta sẽ làm quen với toán tử compact, phổ của toán tử, không gian Hilbert…
với rất nhiều bài tập đa dạng, lượng kiến thức liên quan lớn ở các môn như giải tích
(1,2,3,4), phương trình vi phân, khơng gian mêtric tơpơ, giải tích hàm 1… Nên khi
giải các bài tập của mơn giải tích hàm 2 các bạn sinh viên thường gặp rất nhiều khó
khăn. Với mong muốn hệ thống lại các dạng bài tập chính của mơn giải tích hàm
nhằm tạo nguồn tài liệu cho các bạn sinh viên dễ dàng nghiên cứu nên em chọn đề
tài: “Một số dạng bài tập giải tích hàm 2” làm đề tài nghiên cứu của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu đề tài, em muốn trình bày một số dạng bài tập kèm lời
giải quan trọng của học phần giải tích hàm 2. Để từ đó giúp em hiểu rõ hơn về môn
học này đồng thời nắm vững lý thuyết và bài tập về mơn giải tích hàm 2 để giải các
bài toán tương tự.
3. Đối tượng nghiên cứu
Bài tập về phổ của tốn tử, tốn tử compact và khơng gian Hilbert.
Trang 1


4. Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu có sẵn và trên internet.
Phân tích và tổng hợp.
Tham khảo ý kiến chuyên gia.
5. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu cũng như phần kết luận thì bài tiểu luận của em được trình
bày trong 2 chương chính là:
Chương 1: Một số bài tập về toán tử compact và phổ của toán tử.
Chương 2: Một số bài tập về không gian Hilbert.

Trang 2


B.NỘI DUNG
Chương 1: Một số bài tập về toán tử compact và phổ của tốn tử
1.1. Bài tập có lời giải
Bài 1: Cho là không gian định chuẩn với chuẩn max và xác định bởi công thức
a. .
b. với mọi
Chứng minh rằng A, B là toán tử compact trong X.
Giải
a. .
Lấy hình cầu đơn vị trong X.
Ta cần chứng minh là tập compact tương đối
+ Chứng minh: là tập bị chặn đều
Xét

là tập bị chặn đều (1)
+ Cần chứng minh là đồng liên tục đều.
 Liên tục đều
là liên tục đều

mà thì
 Đồng liên tục đều
mà thì
mà thì
, mà
Ta cần chứng minh
Trang 3


Xét

(vì )
đồng liên tục đều (2)
Từ (1) và (2) là tập compact tương đối
Theo định lý Ascoli A là tập compact trên X
b. Lấy hình cầu đóng đơn vị trên X
Ta cần chứng minh là tập compact tương đối.


bị chặn đều

Xét
(vì )
Suy ra bị chặn đều


đồng liên tục đều

Xét

(vì
Trang 4


Suy ra đồng liên tục đều.
Khi đó: là tập compact tương đối.
Vậy B là toán tử compact trong X.
Bài 2: Tốn tử compact trong khơng gian vơ hạn chiều khơng có tốn tử nghịch đảo
liên tục.
Giải
Giả sử A là tốn tử compact trong không gian vô hạn chiều X.
Nếu liên tục thì là compact.
Mặt khác, tốn tử đơn vị trong không gian vô hạn chiều không compact.
Vậy nếu tồn tại thì khơng liên tục.

Trang 5


Bài 3: Cho là toán tử được xác định bởi cơng thức
Tìm
Giải
 Chứng minh A là tốn tử tuyến tính
Xét ta có:

Suy ra:
Vậy A là tốn tử tuyến tính
 Chứng minh A liên tục
Ta có: ; nên:

Với

Vậy A là tốn tử tuyến tính liên tục.
 Tìm
Xét phương trình

Hay là song ánh
Suy ra
Trang 6


Vậy phổ của A là những điểm nằm trên đường trịn đơn vị.
Bài 4: Cho tốn tử xác định bởi
Tìm
Giải
 Chứng minh A là tốn tử tuyến tính
Xét

Vậy A là tốn tử tuyến tính
 Chứng minh A liên tục

Vậy A là tốn tử tuyến tính liên tục.
 Tìm
Xét phương trình

Trang 7


Với
Với
Khi đó (*) trở thành:
Phương trình có nghiệm duy nhất

Hay là song ánh

Suy ra

Trang 8


Bài 5: Tìm phổ của
a. Tốn tử xác định bởi
b. Tốn tử xác định bởi
Trong đó L là khơng gian con tuyến tính của , nghĩa là
Giải
a. + Chứng minh A là tốn tử tuyến tính
Xét
Ta có:

Suy ra:
Vậy A là tốn tử tuyến tính.
+ Chứng minh A liên tục
Vậy A là liên tục.
+ Tìm
Xét phương trình

Xét
Trang 9


Coi C là hàm theo x, ta có:

Thay vào (1), ta được:

Vậy nghiệm của phương trình (1) là:
Phương trình ln có nghiệm
Vậy .
b. + Chứng minh A là tốn tử tuyến tính
Xét
Ta có:

Suy ra:
Vậy A là tốn tử tuyến tính.
+ Chứng minh A liên tục

Trang 10


Vậy A là liên tục.
+ Tìm
Xét phương trình
Để
Mà
Nên .
Vậy .
Bài 6: Gọi L là khơng gian con tuyến tính của
Tìm phổ của toán tử
Giải
Chứng minh A là toán tử tuyến tính
Ta có:

Suy ra:
Nên A là tốn tử tuyến tính.

Chứng minh A là liên tục
Nên A là tốn tử tuyến tính
Tìm
Xét phương trình
Trang 11


(1)
Xét phương trình

Chọn C là hàm theo x ta có:

Suy ra:

Suy ra nghiệm của phương trình là
Ta có:
Để thì

Trang 12


Nên .
Vậy .
1.2. Bài tập tương tự
Bài 1: Xét tính compact của toán tử xác định bởi
a)
b)
c)
Bài 2: Cho toán tử tuyến tính
Chứng minh rằng A là tốn tử compact.

Bài 3: Cho là không gian định chuẩn “max”
Đặt
Chứng minh rằng A là toán tử compact.
Bài 4: Chứng minh rằng A là toán tử compact, với

Bài 5: Gọi là toán tử tuyến tính xác định bởi
Tìm
Bài 6: Cho là khơng gian định chuẩn “sup”
Đặt
Tìm
Bài 7: Tìm phổ của

Trang 13


Chương 2: Một số bài tập về không gian Hilbert
2.1. Bài tập có lời giải
Bài 1: Cho trong khơng gian tiền Hilbert và .
a. Chứng minh .
b. Chứng minh .
Giải
a. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có:
Vì khi thì và do .
Suy ra: .
Tương tự, ta cũng chứng minh được .
b. Ta có:

Vì , mà
nên =1.
Và ; .

Suy ra: ;
Do đó: .
Bài 2: Chứng minh rằng trong không gian tiền Hilbert trực giao với nhau khi và
chỉ khi .
Giải
Giả sử trực giao với nhau , nghĩa là . (1)
Ta có:

Trang 14


(do (1))
Giả sử thỏa mãn , ta cần chứng minh: .
Khi đó: thì
Cho , ta có:

(1)
Cho , ta có:

(2)
Từ (1) và (2), suy ra: hay trực giao với nhau.
Bài 3: Cho là khơng gian Hilbert, là tốn tử tuyến tính thỏa mãn . Chứng minh A
liên tục.
Giải
Chứng minh A liên tục A là ánh xạ đóng là tập đóng.
Ta chứng minh A là tốn tử đóng.
Ta có . Ta chứng minh là tập đóng.
Thật vậy, giả sử dãy mà .
Ta chứng minh .
Vì nên suy ra .

Trang 15


Xét khi , .
Mà khi
Và (giả thiết)
Suy ra khi , .
Do đó: (đpcm)
Bài 4: Cho là hệ trực chuẩn trong không gian tiền Hilbert , là dãy số bị chặn.
Chứng minh rằng:
a. hội tụ với mọi .
b. là toán tử tuyến tính liên tục. Tính .
Giải
a. hội tụ với mọi .
Theo đề, là dãy số bị chặn nên .
Ta có:

Do đó chuỗi hội tụ với mọi .
b. là tốn tử tuyến tính liên tục. Tính .
Ta có:

Do đó: ..
Vậy A là toán tử bị chặn, và .
Suy ra A là tốn tử tuyến tính liên tục.
Mặt khác, ta có:
.
Do đó: .
Vậy .
Trang 16

Bài 5: Cho A là toán tử tự liên hợp, là tốn tử compact trong khơng gian Hilbert .
Chứng minh A là toán tử compact.
Giải
Giả sử A là tự liên hợp
Cần chứng minh
Ta có

Lại có: (Do A tự liên hợp)
giả sử
Cần chứng minh A tự liên hợp.
Ta có
Mà giả thuyết ta có:
Nên
Mặt khác
Suy ra
A tự liên hợp.
Bài 6: Chứng minh rằng tốn tử xác định bởi cơng thức
a.
b.
c.
Giải
a.
+ Chứng minh A là tốn tử tuyến tính.
Trang 17


,
Ta có:

Suy ra:
Do đó: A là tốn tử tuyến tính.
+ Chứng minh A là liên tục.

Suy ra:
Vậy A là liên tục.
Kết luận A là tốn tử tuyến tính liên tục.
+ A*?
Gọi A* là toán tử liên hợp của A. Khi đó:

Từ đó, suy ra: .
b.
+ Chứng minh A là tốn tử tuyến tính
Trang 18


Ta có:

Suy ra:
Vậy A là tốn tử tuyến tính.
+ Chứng minh A liên tục.

Suy ra:
Vậy A là liên tục.
Kết luận: A là tốn tử tuyến tính liên tục.
+ Tìm tốn tử liên hợp của A.
Goi là toán tử liên hợp của A. Khi đó:

Từ đó, suy ra: .
c.

Trang 19


+ Chứng minh A là tốn tử tuyến tính
Ta có:

Suy ra:
Vậy A là tốn tử tuyến tính.
+ Chứng minh A là liên tục.

Suy ra:
Vậy A là liên tục.
Kết luận: A là tốn tử tuyến tính liên tục.
+ Tìm tốn tử liên hợp của A.
Gọi A* là toán tử liên hợp của A. Khi đó:

Từ đó, suy ra: .
Trang 20


Bài 7: Giả sử là hai phần tử cố định của khơng gian Hilbert là tốn tử xác định bởi
.
Tìm toán tử liên hợp của A. Chứng minh rằng .
Giải

+ Chứng minh A là tốn tử tuyến tính
, ta cần chứng minh: .

Vậy A là tốn tử tuyến tính.
+ Chứng minh A là liên tục.

Suy ra: (theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz)
Vậy A liên tục với
+ Tìm A*
Gọi A* là tốn tử tự liên hợp của A. Khi đó:
(1)
Ta có:
Trang 21


Mà (do (1))
Nên .
Suy ra: .
+ Xét
Suy ra:
Mà (chứng minh trên)
Nên

(a)

Và

Suy ra: (theo Schwarz)
Mà
.
Nên

(b)

Từ (a) và (b), ta được:

(đpcm)

2.2. Bài tập tương tự
Bài 1: Kiểm tra các không gian sau là không gian tiền Hilbert:
a. ,
b.
Trang 22


c.
d.
e.
f.
Bài 2: Cho : .
a. Chứng minh là không gian tiền Hilbert.
b. Chứng minh là không gian Banach (Không gian Hilbert).

Trang 23


C. KẾT LUẬN
Qua bài tiểu luận trên em đã hệ thống được một số dạng bài tập giải tích hàm
2 kèm theo lời giải, đồng thời đưa ra một số bài tập với dạng tương tự. Thơng qua
các dạng tốn trên em nhận thấy các bài toán về chứng minh tập compact, tìm phổ
của tốn tử, chứng minh khơng gian tiền Hilbet, không gian Hilbert… là rất đa
dạng nhưng đa số đều có phương pháp giải cụ thể. Nhưng đối với một số bài toán ta
phải vận dụng linh hoạt các lý thuyết đã học ở các học phần trước mới có thể tìm ra
lời giải thích hợp. Tóm lại để có thể giải tốt các bài tập trong bộ mơn giải tích hàm
2 ta cần nắm vững lý thuyết và thường xuyên giải bài tập để có những kỹ năng cần

thiết khi giải toán.

Trang 24


D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Phạm Đình Đồng, Bài tập giải tích hàm, NXB giáo dục và đào tạo.
[2]. Nguyễn Xuân Liêm, Bài tập giải tích hàm, NXB giáo dục, 2000.
[3]. Phạm Nguyễn Hồng Ngự, Bài giảng giải tích hàm 2.

Trang 25