Một số kinh nghiệm giảng dạy chương v đạo hàm (sách giáo khoa đại số và giải tích 11, chương trình cơ bản) 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:
MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM
(Sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11, chương trình cơ bản)

Người thực hiện: Trịnh Văn Huế
Chức vụ:
Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HOÁ, NĂM 2017


MỤC LỤC
Mục
lục:.............................................................................................................1
1. Mở
đầu ..............................................................................................................2
1.1. Lí do chọn đề tài.........................................................................................2
1.2. Mục đích nghiên cứu..................................................................................2
1.3. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu…........................................................................2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.......................................................................2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm................................................2-3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm....................3
2.3. Các sáng kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề.......................3-10

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường........................................................................10
3. Kết luận……………………………………………………………...............10

2


1.MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
Trong thực tiễn hiện nay đa số học sinh lớp 12 rất yếu về đạo hàm, trong khi
đó chương trình giải tích lớp 12 lại sử dụng đạo hàm rất nhiều, mà kiến thức đạo
hàm cơ bản lại ở chương cuối của lớp 11. Vì vậy khi dạy chương ứng dụng đạo
hàm ở lớp 12 giáo viên gặp khơng ít khó khăn. Từ thực tiễn trên mà tôi đã chọn
đề tài kinh nghiệm “Một số kinh nghiệm giảng dạy chương V. Đạo hàm (Sách
giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11, chương trình cơ bản)”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Giúp học sinh biết cách tính được đạo hàm, tạo được hứng thú cho học sinh
khi học mơn giải tích lớp 12. Giáo viên khơng cảm thấy khó khăn khi dạy
chương ứng dụng đạo hàm ở lớp 12.
1.3 . Đối tượng nghiên cứu:
Chương Đạo hàm trong chương trình Đại số và giải tích lớp 11 cơ bản
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết
2. NỘI DUNG SÁNG KẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b):
f '(x0) = lim

f(x) − f(x0)

x→ x0

x − x0

∆y
(∆x = x – x0, ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0))
∆x→0 ∆x

= lim

• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại diểm đó.
2. Ý nghĩa của đạo hàm
• f′ (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại
• Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại

M ( x0;f(x0)) .

M ( x0;f(x0))

là:

y – y0 = f′ (x0).(x – x0)
3. Qui tắc tính đạo hàm
Giả sử u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x
thuộc khoảng xác định. Ta có :
• (u ± v ± w)′ = u′ ± v′ ± w′
3

• (uv)′ = u′ v + v′ u
′
•  u ữ = uv vu (v 0)
2
v

v

ã (ku) = ku′ , (k là hằng số)
• Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u′ x và hàm số
y = f(u) có đạo hàm tại u là y′ u thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là:
y′x = y′ u.u′x

4. Bảng đạo hàm
Hàm sơ cấp
1. ( C ) ′ = 0, (C là hằng số)
2. ( x ) ′ = 1
3. ( xα ) ′ = α .xα −1
1
1 ′
4.  ÷ = - 2
x
 x

5.

( x )′ = 2

1
x

6. (sinx)’ = cosx
7.(cosx)’ = - sinx
1
8.(tanx)’ =
cos 2 x
1
9.(cotx)’ = sin 2 x

Hàm hợp (u = u(x))
10. ( uα ) ′ = α .xα −1u ′
u′
1 ′
11.  ÷ = - 2
u
u

12.

( )

′
u =

u′
2 u

13. (sinu)’ = (cosu).u’
= u’.cosu
14.(cosu)’ = (-sinu).u’

= -u’.sinu
u'
15. (tanu)’ =
cos 2 u
u'
16. (cotu)’ = sin 2 u

5. Vi phân
• dy = df(x) = f ′(x).dx
6. Đạo hàm cấp cao
• f ''(x) = [ f '(x)] ′ ; f '''(x) = [ f ''(x)] ′ ; f (n) (x) =  f (n−1) (x)′ (n ∈ N, n ≥ 4)
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm đa số học sinh tính đạo hàm chưa
thạo, cịn lúng túng khi giải các bài toán liên quan đến đạo hàm, nhất là đối với
các bài tốn tính đạo hàm của hàm hợp.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
VẤN ĐỀ 1 : Tính đạo hàm bằng định nghĩa
4


Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 bằng định nghĩa ta thực
hiện các bước sau:
Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0. Tính ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0).
Bước 2: Lập tỉ số
Bước 3: Tìm

∆y
∆x

∆y

.
∆x→0 ∆x
lim

Ví dụ : Dùng định nghĩa tính f ′(x0) với: f (x) = x2 − 4x + 3 tại x0 = 1
Giải :
Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 = 1. Ta có
∆y = f (1+ ∆x) − f (1) = ( 1+ ∆x) − 4(1+ ∆x) + 3− (12 − 4.1+ 3)
2

= 1+ 2∆x + ( ∆x) − 4− 4∆x + 3 = ( ∆x) − 2∆x = ∆x(∆x − 2)
2

2

∆y ∆x(∆x − 2)
=
= ∆x − 2
∆x
∆x

∆y
= lim (∆x − 2) = −2
∆x→ 0 ∆x ∆x→ 0
lim

Vậy f ′(x0) = -2

VẤN ĐỀ 2 : Tính đạo hàm bằng cơng thức
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các quy tắc

tính đạo hàm.
Chú ý quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp
Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x2 − 4x + 3
Giải :
Ta có:
f ′(x) = (x2 − 4x + 3)′
= (x2)′ − (4x)′ + (3)′
= 2x1 − 4.(x)′ + 0
= 2x − 4.1
Ví dụ 2 : Tính đạo hàm của hàm số
3x2 + 2x − 1
y=
x2 − 1
Giải :
 3x2 + 2x − 1′ (3x2 + 2x − 1)′ (x2 − 1) − (3x2 + 2x − 1)(x2 − 1)′
′
Ta có y = 
÷=
 x2 − 1 ÷
(x2 − 1)2



5


=
=

(6x + 2)(x2 − 1) − (3x2 + 2x − 1)2x

(x2 − 1)2
−2x2 − 4x − 2
(x2 − 1)2

Ví dụ 3 : Tính đạo hàm của hàm số

y = (x2 − 3x + 1).sin x
Giải :
Ta có
y' = (x2 − 3x + 1)′.sin x + (x2 − 3x + 1).(sin x)′ = (2x − 3)sin x + (x2 − 3x + 1)cos x
Ví dụ 4 : Tính đạo hàm của hàm số

y = x.cos3x
Giải :
Ta có :
′
y′ = ( x ) .cos3x + x(cos3x)′
=

=

1
2 x

1
2 x

cos3x − x(sin3x)(3x)′

cos3x − 3 x sin3x

Ví dụ 5 : Tính đạo hàm của hàm số
y = 2x2 − 5x + 2

Giải :
Ta có :

(

)

′
2x2 − 5x + 2
′
y′ =  2x2 − 5x + 2 ÷ =

 2 2x2 − 5x + 2
4x − 5
=
2 2x2 − 5x + 2

Ví dụ 6 : Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 2x2 − x + 2 tại x0 = 2
Giải :
Ta có:

(

)′

f ′ ( x) = 2x2 − x + 2

= 4x − 1

( )

( )

⇒ f ′ x0 = f ′ 2 = 4.2 − 1= 7

6


Bài tập.
Bài 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) f(x) = x3 − 3x + 1

b) f(x) = x2 − 2x

1
5x − 3
1
e) f(x) = cosx
f) f(x) =
sinx
Bài 2 : Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:
a) y = f(x) = 3− x tại x0 = –1
c) f(x) =

d) f(x) =

x + 2, (x > − 2)

2x + 1
tại x0 = 2
x−1
π
c) y = f(x) = sinx tại x0 =
6
b) y = f(x) =

d) y = f(x) = 3 x tại x0 = 1
2
x
+ x + 1 tại x = 0
e) y = f(x) =
0
x−1

Bài 3 : Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3
2
1
a) y = 2x4 − x3 + 2 x − 5
b) y = 2 − x + x x.
3
3
x
2
d) y = x − 3x + 3

c) y = (x3 − 2)(1− x2)

2x2 − 4x + 1
e) y =
x− 3

x−1

f) y =

Bài 4 : Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = (x2 + x + 1)4

2x2
x2 − 2x − 3

b) y = (1− 2x2)5

3

(x + 1)2
 2x + 1
c) y = 
d) y =
÷
x
−
1
(x − 1)3


1

4
e) y = 2
f) y = ( 3− 2x2 )
2
(x − 2x + 5)
Bài 5 : Tính đạo hàm của các hàm số sau:
4x + 1
y
=
a)
x2 + 2
b) y = (x − 2) x2 + 3
7


Bài 6 :Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2

 sinx 
a) y = 
÷
 1+ cosx 

b) y = x.cosx

c) y = sin3(2x + 1)

d) y = cot2x

e) y = sin 2 + x2

f) y = sinx + 2x

2
3

1
5

g) y = tan2x + tan3 2x + tan5 2x

h) y = 2sin2 4x − 3cos3 5x

Bài 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = 5sinx – 3cosx
c) y = x.cotx
e) y = cos x. sin 2 x
g) y = sin

4

x
2

π
3
i) y = cot (2x + )
4
l) y = cot 3 1+ x2

b) y = cos (x3)
d) y = (1 + cot x ) 2
1
3
f) y = cos x − cos x
3
sin x + cos x
h) y =
sin x − cos x
k) y = sin 2 (cos 3 x)
m) y = 3 sin 2 x. sin 3x

VẤN ĐỀ 3 : Phương trình tiếp tuyến của hàm số y = f(x) có đồ thị (C)
1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0) ∈ (C) là: y − y0 = f '(x0)(x − x0) (*)
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k:
+ Gọi x0 là hoành độ của tiếp điểm. Ta có: f ′(x0) = k (ý nghĩa hình học của
đạo hàm)
+ Giải phương trình trên tìm x0, rồi tìm y0 = f(x0).
+ Viết phương trình tiếp tuyến theo cơng thức (*)
3. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x1, y1) cho trước:
+ Gọi (x0 , y0) là tiếp điểm (với y0 = f(x0)).
+ Phương trình tiếp tuyến (d): y − y0 = f '(x0)(x − x0)
(d) qua A (x1, y1) ⇔ y1 − y0 = f '(x0) (x1 − x0) (1)
+ Giải phương trình (1) với ẩn là x0, rồi tìm y0 = f(x0) và f '(x0).
+ Từ đó viết phương trình (d) theo công thức (*).
4. Nhắc lại: Cho (∆): y = ax + b. Khi đó:
+ (d) ⁄⁄ (∆) ⇒ kd = a

+ (d) ⊥ (∆ ) ⇒ kd = −

1
a
1
x

Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = :

8


a) Tại điểm có tung độ bằng

1
.
2

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − 4x + 3.
Hướng dẫn
1
1
⇒ y′ = − 2 (x ≠ 0)
x
x
1 1
1
1
a) Với y0 = ta có x = 2 ⇔ x0 = 2 ; y′ (2) = −
2
4
0

Ta có

y=



1





Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm  2; ÷là:
2
1
1
1
1 1
= − (x − 2) ⇔ y = − x + +
2
4
4
2 2
1
⇔ y = − x+ 1
4
y−

b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −4x + 3 nên tiếp tuyến có hệ

số góc k = –4
Gọi (x0; y0) là toạ độ của tiếp tuyến ⇒ y′ (x0) = −4

1
 x0 = 2
⇔−
= −4 ⇔ 
x02
 x0 = − 1

2
1

1
2

• Với x0 = ⇒ y0 = 2
1



Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại im ;2ữl y = 4x + 4
2
1
2

ã Vi x0 = − ⇒ y0 = −2
 1



Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm  − ; −2÷là y = −4x − 4
 2

Ví dụ 2: Cho hàm số f (x) =

x2 − 2x + 3
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
x+ 1

hàm số f (x) tại điểm có hồnh độ bằng 1.

x2 + 2x − 5
x2 − 2x + 3
⇒ f ′(x) =
x+ 1
(x + 1)2
1
Với x0 = 1⇒ f ( x0 ) = 1, f ′(1) = −
2

Ta có

f (x) =

1
3
⇒ Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số là y = − x +
2
2

Bài tập.
Bài 1.Cho hàm số (C): y = f(x) = x2 − 2x + 3. Viết phương trình tiếp với (C):

a) Tại điểm có hồnh độ x0 = 1.
9


b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0.
c) Vng góc với đường thẳng x + 4y = 0.
2

Bài 2.Cho hàm số y = f(x) = 2 − x + x (C).
x−1

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1.
3x + 1
(C).
1− x

Bài 3.Cho hàm số y = f(x) =

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với
d:

1
y = x + 100 .

2

e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vng góc với
∆: 2x + 2y – 5 = 0.
Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ): y=x3-3x+7
a) Tại điểm A(1;5)
b) Song song với đường y=6x+1
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (c ): y=x3-3x2 , biết tiếp tuyến vng góc
1
với đường thẳng y= x
3
VẤN ĐỀ 4 : Tính đạo hàm cấp cao
1. Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ... ta dùng cơng thức: y(n) = (yn−1)/ .
2. Để tính đạo hàm cấp n:
• Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ... từ đó dự đốn cơng thức đạo hàm cấp n.
• Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh cơng thức đúng.
Ví dụ: Cho hàm số f (x) = (2x − 3)5 . Tính f′′(3), ′′′(3) .
Giải:
Ta có:
f ′(x) = 5(2x − 3)4(2x − 3)′
= 10(2x − 3)4

(

)′

(

)′

f ′′(x) = 10(2x − 3)4
= 80(2x − 3)3

f ′′′(x) = 80(2x − 3)3

= 480(2x − 3)2

⇒ f ′′(3) = 80(2.3− 3)3 = 2160
f ′′′(3) = 480(2.3− 3)2 = 4320

10


Bài tập
Cho hàm số f(x) = 3(x + 1)cosx .

Baøi 1:

a) Tính

f '(x),f ''(x)

b) Tính

 π
f ''(π), f '' ÷, f ''(1)
 2

Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp được chỉ ra:
a) y = cosx, y'''

b) y = 5x4 − 2x3 + 5x2 − 4x + 7, y''

Baøi 2:

x− 3
, y''
x+ 4
e) y = xsinx, y''

c) y =

g) y = (x2 + 1)3,y''

d) y = 2x − x2 , y''
f) y = xtanx, y''
h) y = x6 − 4x3 + 4, y(4)

Bài 3: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
x +1
2x + 1
a) y =
b) y = 2
x + x−2
x−2
c) y =

x
x −1
2

e) y = x 2 sin x

d) y = x x 2 + 1
f) y = (1 − x 2 ) cos x

g) y = x.cos2x
h) y = sin5x.cos2x
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:
Chất lượng giảng dạy của bản thân được nâng lên, đa số học sinh tiếp thu
được, cụ thể là làm được các dạng bài tập về đạo hàm. Học sinh học tập tích
cực, yêu thích mơn tốn.
3. Kết luận
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ trong phương pháp giảng dạy “Đạo
hàm ”. Rất mong được q thầy cơ và các bạn đồng nghiệp có nhiều ý kiến đóng
góp, trao đổi để lần sau được hoàn thiện hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo viên, Sách giáo khoa và Sách bài tập Đại số và Giải tích lớp 11
theo chương trình chuẩn và chương trình nâng cao của nhà xuất bản Giáo dục
phát hành năm 2007.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm2017
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.

Trịnh Văn Huế

11