Bài soạn VẬN DỤNG MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN ĐỂ GIẢI TOÁN

VẬN DỤNG MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN ĐỂ GIẢI TOÁN

Dương Văn Thới
Vận dụng chứng minh:
1) Với ba số x,y,z không âm thì:
≥
++
3
333
zyx
xyz
2) Với ba số a,b,c không âm thì:
3
3
abc
cba
≥
++
3) Ba số a,b,c khác nhau và khác 0 thỏa mãn điều kiện a+b+c = 0. Chứng minh
rắng:







−
+
−
+

−






−
+
−
+
−
ac
b
cb
a
ba
c
b
ac
a
cb
c
ba
1) Nếu x,y,z không âm thì x + y + z không âm,
mà x
3
+y
3
+z

3
– 3xyz =
2
1
(x+y+z)[(x-y)
2
+(y-z)
2
+(z-x)
2
] (theo (1))
suy ra : x
3
+y
3
+z
3
– 3xyz
≥
0
Từ đó ta có:
≥
++
3
333
zyx
xyz
2) Đặt : x =
3
a

; y =
3
b
; z =
3
c
;
Vì a, b, c không âm nên x, y, z không âm. Dựa vào kết quả câu a ta có:
≥
++
3
)()()(
3
33
3
3
cba
3
a
3
b
3
c
Suy ra:
3
3
abc
cba
≥
++

3) Ta có :
Chứng minh : x
3
+y
3
+z
3
– 3xyz =
2
1
(x+y+z)[(x-y)
2
+(y-z)
2
+(z-x)
2
] (1)
Xét vế phải:
2
1
(x+y+z)[(x-y)
2
+(y-z)
2
+(z-x)
2
]
=
2
1

(x+y+z)[2(x
2
+ y
2
+ z
2
) – 2(xy + yz + xz)]
= (x+y+z)[(x
2
+ y
2
+ z
2
) – (xy + yz + xz)]
= (x+y+z)(x
2
+ y
2
+ z
2
) – (x+y+z)( (xy + yz + xz)
= x
3
+ xy
2
+ xz
2
+ x
2
y + y

3
+ yz
2
+ x
2
z + y
2
z + z
3
- x
2
y – xyz - x
2
z - xy
2
- y
2
z –
xyz – xyz - yz
2
- xz
2
= x
3
+y
3
+z
3
– 3xyz.
Vậy vế phải bằng vế trái .

Hay : x
3
+y
3
+z
3
– 3xyz =
2
1
(x+y+z)[(x-y)
2
+(y-z)
2
+(z-x)
2
]







−
+
−
+
−







−
+
−
+
−
ac
b
cb
a
ba
c
b
ac
a
cb
c
ba
= 9
= 1 +
)(
)(
cbc
baa
−
−
+

)(
)(
acc
bab
−
−
+
)(
)(
baa
cbc
−
−
+ 1 +
)(
)(
aca
cbb
−
−
+
)(
)(
bab
acc
−
−
+
)(
)(

cbb
aca
−
−
+ 1
= 3 +
)(
)()(
acac
cbbcbaab
−
−+−
+
)(
)()(
cbbc
acacbaab
−
−+−
+
)(
)()(
baab
acaccbbc
−
−+−
= 3 +
)(
)(
22

acac
cbcabab
−
−+−
+
)(
)(
22
cbbc
accbaba
−
−+−
)(
)(
22
baab
aacbcbc
−
−+−
= 3 +
( )( )
[ ]
)(
)(
acac
acbacacb
−
−++−−
+
( )

[ ]
)(
)()(
cbbc
cbacbcba
−
−++−−
( )
[ ]
)(
)()(
baab
bacbabac
−
−++−−
= 3 +
( )
[ ]
)(
)(
acac
acbacb
−
−−−
+
( )
[ ]
)(
)(
cbbc

cbacba
−
−−−
( )
[ ]
)(
)(
baab
bacbac
−
−−−
= 3 +
[ ]
ac
acbb
−−
+
bc
cbaa ][
−−
+
[ ]
ab
bacc
−−
= 3 +
[ ]
abc
bacccbaaacbb ][][
222

−−+−−+−−
= 3 +
abc
bcacccabaaabcbb
223223223
−−+−−+−−
(vì b+c=-a; a+b=-c; a+c=-b)
= 3 +
abc
caaccbbcbaabcab )()()(
333
+−+−+−++
=
abc
abcabcabccab
+++++
333
=
abc
abccab 3
333
+++
Theo (1) ta có : a
3
+b
3
+c
3
– 3abc =
2

1
(a+b+c)[(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
]
Suy ra: a
3
+b
3
+c
3
=
2
1
(a+b+c)[(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
] + 3abc
Do đó :
abc
abccab 3
333
+++
= 3 +

abc
abcaccbbacbaabc 3])()())[((
2
1
3
222
+−+−+−+++
= 3 +
abc
abc6
(do a+b+c=0)
= 3 + 6 = 9
Vậy với a + b + c = 0 thì:






−
+
−
+
−







−
+
−
+
−
ac
b
cb
a
ba
c
b
ac
a
cb
c
ba
= 9