Ứng dụng phương pháp phân tử hữu hạn mở rộng trong việc tính hệ cường độ ứng suất

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 13, SỐ K5 - 2010

Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 51
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG TRONG VIỆC TÍNH
HỆ CƯỜNG ĐỘ ỨNG SUẤT
Vũ Công Hòa, Nguyễn Công Đạt
Trường Đại Học Bách Khoa, ĐHQG –HCM
(Bài nhận ngày 28 tháng 06 năm 2010,, hoàn chỉnh sửa chữa ngày 18 tháng 10 năm 2010
)
TÓM TẮT: Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số ñược ứng dụng rất hữu hiệu
trong cơ học khi dự ñoán và mô hình hóa ứng xử cơ học của vật liệu và của kết cấu. Tuy nhiên trong
một số trường hợp phương pháp phần tử hữu hạn trở nên phức tạp như việc mô phỏng sự di chuyển của
những miền không liên tục, dẫn ñến việc chia lại lưới phần tử. Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng
(PP-PTHHMR) cho ta một cách thức mới trong việc mô hình hóa vết nứt trên nền tảng phương pháp
phần tử hữu hạn. Phương pháp này cho phép vết nứt ñược thể hiện một cách ñộc lập với lưới phần tử,
do ñó không cần phải chia lại lưới phần tử khi mô hình vết nứt lan truyền. Bài báo này ñề cập tới việc
hiện thực hóa phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng trong tính toán hệ số mật ñộ ứng suất, một tham
số quan trọng trong việc dự ñoán ñược hướng của vết nứt ngay khi vết nứt không còn phát triển.
Từ khóa: Phương pháp phần tử hữu hạn, Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng, hệ số cường
ñộ ứng suất, Abaqus.
1. GIỚI THIỆU
Trong những năm gần ñây PP-PTHHMR
xuất hiện như một kỹ thuật hiệu quả trong việc
phân tích những vấn ñề của vết nứt. Nó ngày
càng ñược sử dụng rộng rãi như một phương
pháp khả thi trong mô hình vết nứt phát triển
dưới giả thuyết của cơ học rạn nứt ñàn hồi
tuyến tính [1, 2, 3, 4]. Nguyên tắc của PP-
PTHHMR ở chỗ kết hợp những hàm mở rộng
vào những phần tử suy biến ñể tính chuyển vị ở
gẩn ñỉnh vết nứt.

So sánh với PP-PTHH cổ ñiển, PP-
PTHHMR cung cấp những thuận lợi trong việc
mô phỏng sự lan truyền của vết nứt. Phương
pháp này dựa trên sự mở rộng của bậc tự do
của những nút bị chia cắt bởi vết nứt.

2. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Khảo sát một miền Ω có biên là Г bao gồm
Г
u
, Г
t ,
Г
c
với Г = Г
u
U Г
t
U Г
c






Hình 1. Trạng thái cân bằng của vật có vết nứt
Với: Г
u
là biên của chuyển vị, Г

t
là biên
của ngoại lực, Г
c
là bề mặt kéo tự do (vết nứt),
t là thời gian.
Khi ñó phương trình cân bằng ñược viết :
0
b
fsÑ + =
trong miền Ω (1)
Điều kiện biên như sau:
.
t
n fs =
trên biên
t
G

t
Γ
u
Γ
Γ
Γ
n
t
f
t 0=

c
Γ

Ω

Science & Technology Development, Vol 13, No.K5- 2010

Trang 52 Bản quyền thuộc ĐHQG.HCM
=u u
là trường chuyển vị trên biên
u
G

. 0ns =
trên biên
c
G

với σ là tensor ứng suất ,
b
f
là

lực khối ,
t
f

là ngoại lực, n là pháp vector ñơn vị.

3. XẤP XỈ TRONG PHƯƠNG PHÁP PHẦN

TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG (PP-PTHHMR)
Ý tưởng cơ bản của PP-PTHHMR là mở
rộng không gian hữu hạn phần tử bằng cách
cộng thêm những hàm mở rộng.
Khảo sát một ñiểm
x
thuộc miền phần tử,
xấp xỉ chuyển vị tại ñiểm x ñược tính như sau
[1]:
( ) ( ). ( ). ( ).
enr
e
h fem enr
I I J J
I N
J N
u x u u N x u N x x a
ψ
∈
∈
= + = +
∑ ∑

(2)
Trong (2):
( ). ;
e
fem
I I
I N

u N x u
∈
=
∑

( ). ( ).
enr
enr
J J
J N
u N x x a
ψ
∈
=
∑


Với:
( )
h
u x
là xấp xỉ chuyển vị tại ñiểm
x;

I
u
là chuyển vị nút liên tục;
J
a
là chuyển vị

nút không liên tục;
( )
I
N x
và
( )
J
N x
là các
các hàm dạng tương ứng;
( )x
ψ

là hàm mở
rộng tại các nút không liên tục;
e
N

là tập các
nút của phần tử;
enr
N
là tập các nút bị mở
rộng.
Trong trường hợp mô hình vết nứt phẳng
ta có ñược xấp xỉ [2]:
4
1
( ) ( ). ( ). . . .
dis asympt

h
I I J j J K K K
I N
J N K N
u x N x u N x H a N F b
α α
α
∈ =
∈ ∈
= + +
∑ ∑ ∑ ∑
(3)
Ở ñây:
N
là tập các nút không mở rộng;
dis
N
tập các nút bị chia cắt bởi vết nứt;
asympt
N
là tập các nút chứa ñỉnh vết nứt;
K
b
α

là bậc tự do mở rộng dưới ảnh hưởng của
hàm
K
F
α

tại nút K ñược ñịnh nghĩa như sau:
( ) ( )
= −
K K
F F x F x
α α α
(4)

Khi ñó trường chuyển vị
.
 
   
= =
 
   
 
T
x
h fem enr fem enr
I I I I
y
u
u N N u u
u
(5)


Điều này ñược thể hiện rõ hơn thông qua
phần tử tứ giác với hàm dạng tuyến tính. Đây là
một phần tử thông dụng trong PP-PTHHMR vì

việc tính toán dựa trên phần tử này không quá
phức tạp và chính xác hơn so với phần tử tam
giác nói chung.
Xét một phần tử tứ giác

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 13, SỐ K5 - 2010

Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 53

Hình 2. Phần tử tứ giác trong hệ tọa ñộ tổng thể và hệ tọa ñộ ñịa phương.
Ta có các hàm dạng trong tọa ñộ phần tử tương ứng:
1 2
3 4
1 1
( , ) (1 )(1 ) ; ( , ) (1 )(1 )
4 4
1 1
( , ) (1 )(1 ) ; ( , ) (1 )(1 )
4 4
= − − = + −
= + + = − +
N N
N N
ξ η ξ η ξ η ξ η
ξ η ξ η ξ η ξ η
(6)

Lúc này trường chuyển vị:

= +

h fem enr
i i i
u u u
(7)
 
   
= =
 
   
 
I I I I
T
x
h fem enr fem enr
i
y
u
u
u
N N u u
(8)
1 2 3 4
1 2 3 4
0 0 0 0
0 0 0 0
 
=
 
 
I

fem
N N N N
N N N N
N
(9)

1 2 3 4
1 2 3 4
0 0 0 0
0 0 0 0
 
=
 
 
 
I
enr
N N N N
N N N N
N
(10)
Với:
, ( ) ( ) ( )= = −
I
I I I i i iI
N N x x x
ψ ψ ψ ψ
(11)
Khi ñó:
1 2 3 4 1 2 3 4

 
=
 
I
T
fem
x x x x y y y y
u u u u u u u uu
(12)
.
1 2 3 4 1 2 3 4
 
=
 
I
T
enr
x x x x y y y y
a a a a a a a au
(13)
4. RỜI RẠC HÓA PHƯƠNG PHÁP PHẦN
TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG
Theo thuyết cân bằng năng lượng [1]:

=
in ext
W W
(14)
Tương ñương:

Ω Ω Γ
Ω = Ω + Γ
∫ ∫ ∫
b t
d d f ud f ud
σ ε δ δ
(15)
Việc hiện thực hóa phương trình trên sử
dụng PP-PTHHMR thu ñược phương trình
sau:
=
h
K u f
(16)
Với
K
là ma trận cứng tổng thể;
h
u
là
vector bậc tự do nút bao gồm bậc tự do mở
rộng và
f
là vector ngoại lực.
Trong PP-PTHHMR thì
K
,
f
ñược ñịnh
nghĩa như sau:

 
=
 
 
fe- fe fe-en
en- fe en-en
K K
K
K K
(17)
Science & Technology Development, Vol 13, No.K5- 2010

Trang 54 Bản quyền thuộc ĐHQG.HCM
Với
Ω Ω
−
Ω Ω
= Ω = Ω
= Ω = Ω =
∫ ∫
∫ ∫
T T
T T
fe en
fe- fe fe en-en en
fe en
fe-en en fe en fe
d d
d d
K B C B K B C B

K B C B B C B K
(18)
31 2 4
[ ]
( 1,2,3,4)
Γ Ω
Γ Ω
Γ Ω
=
= Γ + Ω
= Γ + Ω
= Γ + Ω
=
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
t
t
t
bb b b
u a T
i i i i i i
u t b
i i i
a t b
i i i
b
t b
i i i
f f f f f f f

f N f d N f d
f N H f d N H f d
f N F f d N F f d
α
α α
α
(19)
Với B là ma trận ñạo hàm của hàm dạng:
, , ,
, , ,
, , ,
, , ,
( ) ( )
0 0 0
0 0 ( ) 0 ( )
( ) ( )
( ) ( )
( 1 4)
     
     
= = =
     
     
     
= ÷
i x i x i x
u a
i i y i i y i i y
i y i y i y
i x i x i x

N N H N F
B N B N H B N F
N N H N F
N N H N F
α
α
α
α
α
α
(20)
Xét trong trưởng hợp phần tử tứ giác. Ta
có tensor biến dạng :
( )
2.
 
 
= =
 
 
 
xx
h
yy i
xy
Du x
ε
ε ε
ε
(21)

Với
D
là toán tử ñạo hàm, khi ñó:
= =
h h
I i i
D N u Bu
ε
(22)
Kết hợp hai trường hợp cơ bản và mở rộng
ta có ñược :
 
=
 
I I
fem enr
B B B
(23)
1, 2, 3, 4,
1, 2, 3, 4,
.
1, 2, 3, 4,
1, 2, 3, 4,
1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4,1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4,
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 ; 0 0 0 0
I I

x x x x
x x x x
fem enr
y y y y
y y y y
y y y y x x x xy y y y x x x x
N N N N
N N N N
N N N N N N N N
N N N N N N N N
N N N N N N N N
 
 
 
 
= =
 
 
 
 
 
 
 
B B
(24)


Công việc còn lại của việc tính toán là ñịnh nghĩa những hàm mở rộng Ψ [5].
4.1 Hàm Heaviside
( ) ( )=x H

ψ ξ

Hàm của xấp xỉ
( )
h
u x
ñược viết lại ở dạng:
. ( . ( ) . ( ))
∈
∈
= + −
∑ ∑
enr
h
I I J J i J
I N
J N
u N u N H N H a
ξ ξ
(25)
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 13, SỐ K5 - 2010

Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 55
,
1=
i
H
tại vết nứt,
,
0

i
H =

tại những nơi
khác. Suy ra công thức (20) ñược viết lại như
sau:
,
,
,
,
0
0
i x
a
i i y
i y
i x
N H
B N H
N H
N H
é ù
ê ú
ê ú
=
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
(26)

4.2 Hàm dốc
( ) ( )=x x
ψ φ

Đạo hàm của
( )x
ψ
ñược tính
( )
,
,
( ) ( ( )) ( )=
i
i
x sign x x
ψ φ φ

Đạo hàm của
( )x
φ
theo hai biến
,x y
ñược tính như sau:
1
2
, 1, 2, 3, 4,
3
4
( ) [ ] ( , )
 

 
 
= =
 
 
 
i i i i i
x N N N N i x y
φ
φ
φ
φ
φ
(27)
4.3 Hàm mở rộng gần ñỉnh vêt nứt
( ) ( , )x F r
a
y q=

Hàm mở rộng tại ñỉnh vết nứt ñược ñịnh
nghĩa ở dạng hệ trục tọa ñộ
( , )r q
gắn với ñỉnh
vết nứt.

Hình 3. Hệ tọa ñộ tổng thể và hệ tọa ñộ ñịa phương.
( , ) sin , cos , sin sin , sin cos
2 2 2 2
F r r r r r
a
q q q q
q q q
ì ü
ï ï
ï ï
=
í ý
ï ï
ï ï
î þ
(28)
Đạo hàm của
( , )F r
a
q
trong hệ trục
( , )r q

1, 1, 2, 2,
3, 3,
4, 4,
1 1
sin cos cos sin
2 2 2 2 2 2
2 2

1 1
sin sin ( cos sin sin cos )
2 2 2 2
2
1 1
cos sin ( sin cos cos cos )
2 2 2 2
2
r r
r
r
r r
F F F F
r r
F F r
r
F F r
r
q q
q
q
q q q q
q q q
q q q
q q q
q q q
= = = = -
= = +
= = - +
(29)

Trong h
ệ
tr
ụ
c t
ọ
a
ñộ

1 2
( , )x x

y
x
X
1
X
2
α

α

Vết nứt