Đề thi khảo sát học sinh giỏi cấp huyện Quế Sơn năm học 2009-2010 môn: Toán - lớp 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span>UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT. KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán - Lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề). ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: ( 2,5 điểm). 1 x2  x  2 2x  4 a. Cho: A  2  x  2 x  7 x  10 x  5 - Thực hiện rút gọn A. - Tìm x nguyên để A nguyên. b. Chứng minh: a + b = c thì a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 Bài 2: ( 1,5 điểm) a. Chứng minh: a2 + b2 + c2  ab + ac + bc với mọi số a, b, c. b. Chứng minh. bc ac ab    a  b  c với mọi số dương a, b, c. a b c. Bài 3: (1,5 điểm) Giải phương trình:. x 2  4 x  6 x 2  16 x  72 x 2  8 x  20 x 2  12 x  42    x2 x8 x4 x6. Bài 4: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD. M là điểm trên đường chéo BD. Hạ ME góc với AB và MF vuông góc với AD. a. Chứng minh DE  CF; EF = CM b. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui. c. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.. Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác. Đường thẳng qua trung điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F. Chứng minh BF = CE.. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT. KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán - Lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề). HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: ( 2,5 điểm) 1 x2  x  2 2x  4 A   x  2 ( x  5)( x  2) x  5. 0,25. Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2 x  5  x 2  x  2  (2 x  4)( x  2  x 2  8 x  15  ( x  5)( x  2) ( x  5)( x  2)  ( x  5)( x  3)  x  3 A  ( x  5)( x  2 x2. A. ( x  2)  1 1  1  x2 x2 1 A nguyên khi và chỉ khi nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1 x2  x=3, hoặc x=1. A. Đặt P = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 -2 b2c2 - 2a2c2 = (a2 + b2 + c2 )2 - 4a2b2 - 4b2c2 - 4a2c2 Thay c2 = (a+b)2 vào ta được: = (2a2 + 2b2 + 2ab )2 - 4(a2b2 + b2c2 + a2c2) = 4[(a2 + b2 + ab)2 - a2b2 - c2(a2+b2)] Thay c2 = (a+b)2 vào ta được: = 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab + a2b2 - a2b2 -(a+b)2 (a2+b2)] = 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab -(a+b)2(a2+b2)] = 4(a2+b2)[ (a2+b2) +2ab -(a+b)2] = 0  a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 Bài 2: ( 1,5 điểm)  2(a2 + b2 + c2 ) 2(ab + ac + bc)  2a2 + 2b2 + 2c2 -2ab -2ac - 2bc  0  (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2  0 Bất đẳng thức cuối luôn đúng (Do (a-b)2  0 …) nên có đpcm Câu b . 0,25 0,25 0,25 0,25. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25. 0,25. (bc) 2 (ac) 2 (ab) 2    abc abc abc abc. Nhân hai vế với số dương abc được:  (bc) 2  (ac) 2  (ab) 2  a 2 bc  b 2 ac  c 2 ab Áp dụng a) cho ba số ab, bc, ca ta có: (bc) 2  (ac) 2  (ab) 2  a 2 bc  b 2 ac  c 2 ab  đpcm. Lop8.net. 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài 3: (1,5 điểm) ( x  2) 2  2 ( x  8) 2  8 ( x  4) 2  4 ( x  6) 2  6    x2 x8 x4 x6 2 8 4 6 x2  x8  x4  x6 x2 x8 x4 x6 2 8 4 6 1 4 2 3         x2 x8 x4 x6 x2 x8 x4 x6 5 x  16 5 x  24   ( x  2)( x  8) ( x  4)( x  6). . 0,25 0,25 0,25.  (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)  (5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)( x2 +10x + 16)  5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24 = 5x3 + 50x2 + 80x + 24x2 + 240x + 24.16  8x2 + 40x = 0  8x(x + 5) = 0 x = 0; x = -5 Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm. 0,25 0,25 0,25. Bài 4: (3,0 điểm) Câu a: 1,25 điểm. D. 0,25. DF = AE  DFC = AED. C. F.  ADE = DCF. M. 0,25.  EDC + DCF = EDC + ADE EDC + ADE = 900 nên DE  CF MC = MA (BD là trung trực của AC) MA = FE nên EF = CM. 0,25 0,25 0,25. A. E. B. Câu b: 1,0 điểm  MCF =FED  MCF = FED. 0,25. Từ MCF = FED chứng minh được CM  EF Tương tự a) được CE  BF ED, FB và CM trùng với ba đường cao của FEC nên chúng đồng qui. Câu c: 0,75 điểm ME + MF = FA + FD là số không đổi.  ME.MF lớn nhất khi ME = MF Lúc đó M là trung điểm của BD. 0,25. Lop8.net. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài 5: (1,5 điểm) Trong BMF có AD//MF nên: 0,25. BF BM  BA BD. Trong CAD có AD//ME nên: 0,25. CE CM  CA CD. F A. Chia vế theo vế được: BF CA BM CD .  . BA CE BD CM BF CA CD  .  (BM=CM) BA CE BD. 0,25. AD là phân giác nên: 0,25. CD AC  BD AB. Thay vào trên được: BF CA AC .  BA CE AB BF   1  BF  CE CE. 0,25. Lop8.net. E. 0,25. B. D. M. C.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>