Luận án Cảng và Công Trình Thềm Lục Địa 05

Luận án cao học
Chương 4
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG ĐỘNG LỰC HỌC
Phương trình cân bằng đáp ứng động học :
)(tFKUUCUM =++

(4.1 )
Với :
F(t) = F
I
(t) + F
D
(t) + F
E
(t) (4.2)
Trong đó : F
I
(t) : Lực quán tính F
I
(t) = UM


F
D
(t) : Lực cản F
D
(t) =
UC

F
E

(t) : Lực đàn hồi , F
E
(t) =
KU
Để giải phương trình trên có nhiều phương pháp khác nhau
I – Phương pháp sai phân trung tâm :
Vận tốc và gia tốc tại thời điểm t được tính như sau :
)2(
1
2
tttttt
UUU
t
U
∆+∆−
+−
∆
=

(4.3)
)(
2
1
ttttt
UU
t
U
∆+∆−
+−
∆

=

(4.4)
Giải phương trình tìm chuyển vò tại thời điểm t+∆t bằng cách giải phương trình (4.1)
ở thời điểm t
tttt
RKUUCUM =++

(4.5)
Thay
t
U

và
t
U

từ (4.3) và (4.4) vào (4.1), ta được :
tttttt
UC
t
M
t
UM
t
KRUC
t
M
t
∆−∆+







∆
−
∆
−






∆
−−=






∆
+
∆
2
112
2

11
222
(4.6)
Từ phương trình này chúng ta có thể tính được
tt
U
∆+
dựa vào điều kiện cân bằng ở
thời điểm t và phương trình (4.5) . Do đó quá trình sai phân trung tâm là phương
pháp hiện , quá trình sai phân không đòi hỏi các hệ số ảnh hưởng của ma trận độ
cứng trong mỗi bước giải kế tiếp .
Trình tự các bươc như sau :
Bước 1 :
- Xác đònh ma trận độ cứng K , ma trận khối lượng M và ma trận cản C
Bước 2 :
- Xác đònh điều kiện ban đầu
00
,,UU

⇒ U

từ phương trình (4.1 )
Bước 3 :
Chọn bước thời gian ∆t sao cho ∆t< ∆t
cr
= T
n
/π ,tính toán các hệ số tích phân .Chu
kỳ T
n

được chọn với giá trò nhỏ nhất của hệ có n bậc tự do
t
a
∆
=
1
0
t
a
∆
=
2
1
1
02
2 aa =
2
3
1
a
a =
Bước 4 : Tính
0
3
00
UaUtUU
t

+∆−=
∆−

Bước 5 : Tính ma trận khối lượng ảnh hưởng
Chương 4 : Giải phương trình cân bằng động học 45
Luận án cao học
CaMaM
10
ˆ
+=
Bước 6 : Tính tải trọng ảnh hưởng ở thời gian t
ttttt
UCaMaUMaKRR
∆−
−−−−= )()(
ˆ
102
Bước 7 : Giải phương trình để tìm chuyển vò tại thời điểm t+∆t :
RUM
tt
ˆˆ
=
∆+
Bước 8 : Giá trò vận tốc và gia tốc tại thời điểm t
)2(
0
tttttt
UUUaU
∆+∆−
+−=

)(
1

ttttt
UUaU
∆+∆−
+−=

II - Phương pháp Houbolt :
Phương pháp sai phân Houbolt liên quan thành phần chuyển vò của phương pháp sai
phân trung tâm . Biểu thức của vân tốc và gia tốc :
( )
ttttttttt
UUUU
t
U
∆−∆−∆+∆+
−+−
∆
=
2
2
452
1

(4.7)
( )
ttttttttt
UUUU
t
U
∆−∆−∆+∆+
−+−

∆
=
2
291811
6
1

(4.8)
Để có được lời giải tại t+∆t, chúng ta xem xét phương trình (4.1) tại thời điểm t+∆t
tttttttt
RKUUCUM
∆+∆+∆+∆+
=++

(4.9)
Thế (9.14),(9.15) vào (9.16) ta được :
tttt
ttttt
UC
t
M
t
UC
t
M
t
UC
t
M
t

RUKC
t
M
t
∆−∆−
∆+∆+






∆
+
∆
+






∆
+
∆
−







∆
+
∆
+=






+
∆
+
∆
2
22
22
3
11
2
34
35
6
112
(4.10)
Để tính được U
t+
∆

t
từ (4.10) cần phải biết được chuyển vò tại thời điểm U
t
, U
t-
∆
t
và
U
t-2
∆
t
Phương pháp Houbolt là phương pháp sai phân ẩn , xét phương trình cân bằng tại
thời điểm t+∆t . Để giải phương trình sai phân (4.1 ) dựa vào điều kiện biên và kết
quả của phương pháp sai phân trung tâm ở thời điểm ∆t và 2∆t
Trình tự các bước như sau :
Bước 1 :
- Xác đònh ma trận độ cứng K , ma trận khối lượng M và ma trận cản C
Bước 2 :
- Xác đònh điều kiện ban đầu
00
,,UU

⇒ U

từ phương trình (4.1 )
Bước 3 : Chọn bước thời gian ∆t ,tính toán các hệ số tích phân, chu kỳ T
n
được chọn
với giá trò nhỏ nhất của hệ có n bậc tự do

2
0
1
t
a
∆
=
t
a
∆
=
6
11
1
2
2
5
t
a
∆
=
t
a
∆
=
3
3
04
2aa −=
Chương 4 : Giải phương trình cân bằng động học 46

Luận án cao học
2
3
5
a
a
−
=
2
0
6
a
a =
9
3
7
a
a =
Bước 4 :
Sử dụng giá trò tính toán U
∆
t
và U
2
∆
t
của phương pháp sai phân trung tâm
Bước 5 : Tính toán ma trận độ cứng
K
ˆ

CaMaKK
10
ˆ
++=
Bước 6 : Tính toán tải trọng ở thời điểm t+∆t :
)()(
ˆ
2
753
2
4'
ttttttt
â
ttt
a
tttt
UaUaUaCUaUaUaMRR
∆−∆−∆−∆−∆+∆+
++++++=
Bước 7 : Giải phương trình để tìm chuyển vò tại thời điểm t+∆t :
tttt
RUK
∆+∆+
=
ˆˆ
Bước 8 : Giá trò vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+∆t :
tttttttttt
UaUaUaUaU
∆−∆−∆+∆+∆+
−−=

2
6420

tttttttt
UaUaUaUaU
∆−∆−∆+
−−−=
2
7531

III – Phương pháp Wilson :
Phương pháp Wilson chủ yếu là sự mở rộng của phương pháp gia tốc tuyến tính
,trong dao động tuyến tính của gia tốc từ thời điểm t đến thời điểm t+∆t
Hình 4.1 – Tuyến tính hoá gia tốc phương pháp θ của Wilson
Phương pháp Wilson giả thiết gia tốc tuyến tính trong khoảng thời gian t đến
t+θ∆t .Trong đó θ ≥1.0 , khi θ = 1 .0 sẽ làm giảm gia tốc tuyến tính . Điều kiện ổn
đònh θ ≥ 1.37, thường dùng θ = 1.40
τ lấy trong khoảng 0 ≤ τ ≤ θ∆t , từ t đến t+θ∆t ta có :
)(
τθττ
θ
τ
UU
t
UU
ttt

−
∆
+=

∆++
(4.11)
)(
2
τθτττ
θ
τ
τ
UU
t
UUU
ttt

−
∆
++=
∆++
(4.12)
)(
62
1
3
2
τθττττ
θ
τ
ττ
UU
t
UUUU

ttt

−
∆
+++=
∆++
(4.13)
Từ (4.12) và (4.13), tại thời điểm t+θ∆t :
Chương 4 : Giải phương trình cân bằng động học 47
t
τ
tt
U
∆+

t
U

tt
U
∆+
θ

t+∆t t+θ∆t
Luận án cao học
)(
2
τθτθ
θ
UU

t
UU
tttt

+
∆
+=
∆+∆+
(4.14)
)2(
6
22
τθττθ
θ
θ
UU
t
UtUU
tttt

+
∆
+∆+=
∆+∆+
(4.15)
Từ đó có thể tính vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+θ∆t theo
tt
U
∆+
θ

τττθθ
θ
θ
UU
t
UU
t
U
tttt

2
6
)(
6
22
−
∆
−−
∆
=
∆+∆+
(4.16)
τττθθ
θ
θ
U
t
UUU
t
U

tttt

2
2)(
3
∆
−−−
∆
=
∆+∆+
(4.17)
Để tính chuyển vò,vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+∆t ta xét phương trình (4.1) tại
thời điểm t+θ∆t :
tttttttt
RKUUCUM
∆+∆+∆+∆+
=++
θθθθ

(4.18)
Ở đây :
( )
tttttt
RRRR −+=
∆+∆+
θ
θ
(4.19)
Thế (4.16)(4.17) vào (4.18) thu được
tt

U
∆+
θ
sau đó thay
tt
U
∆+
θ
vào (4.16) thu được
tt
U
∆+
θ

Trình tự các bước giải như sau :
Bước 1 :
- Xác đònh ma trận độ cứng K , ma trận khối lượng M và ma trận cản C
Bước 2 :
- Xác đònh điều kiện ban đầu
00
,,UU

⇒ U

từ phương trình ( )
Bước 3 : Chọn bước thời gian ∆t,tính toán các hằng số tích phân ,chọn θ = 1.4
2
0
)(
6

t
a
∆
=
θ
t
a
∆
=
θ
3
1
12
2aa
=
2
3
t
a
∆
=
θ
θ
0
4
a
a =
θ
3
5

a
a
−
=
θ
3
1
6
−=a
2
7
t
a
∆
=
6
2
8
t
a
∆
=
Bước 4 : Tính toán ma trận độ cứng
K
ˆ
CaMaKK
10
ˆ
++=
Bước 5 : Tính toán tải trọng ở thời điểm t+∆t :

)2()2()(
ˆ
312'
tttttt
a
tttttt
UaUUaCUUaUaMRRRR

++++++−+=
∆+∆+
θ
Bước 6 : Giải phương trình để tìm chuyển vò tại thời điểm t+∆t :
tttt
RUK
∆+∆+
=
θθ
ˆˆ
Bước 7 : Giá trò vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+∆t :
ttttttt
UaUaUUaU

654
)( ++−=
∆+∆+
θ
)(
7
tttttt
UUaUU


++=
∆+∆+
)2(
8
ttttttt
UUaUtUU

++∆+=
∆+∆+
IV – Phương pháp Newmark :
Phương pháp sai phân cũng được xem là mở rộng của phương pháp gia tốc tuyến
tính . Chuyển vò và vận tốc tại thời điểm t+∆t được tính như sau :
[ ]
tUUUU
tttttt
∆+−+=
∆+∆+

δδ
)1(
(4.20)
Chương 4 : Giải phương trình cân bằng động học 48
Luận án cao học
2
)
2
1
( tUUUtUU
ttttttt

∆






+−+∆+=
∆+∆+

αα
(4.21)
Ở đây α vàδ là các hệ số có thể được xác đònh để sai phân chính xác và ổn đònh
Ban đầu Newmark đề nghò không có điều kiện ổn đònh và phương pháp gia tốc trung
bình với δ = 0.5 và α = 0.25
Hình 4.2 – Gia tốc trung bình của Newmark
Trình tự các bước như sau :
Bước 1 :
- Xác đònh ma trận độ cứng K , ma trận khối lượng M và ma trận cản C
Bước 2 :
- Xác đònh điều kiện ban đầu
00
,,UU

⇒ U

từ phương trình (4.1 )
Bước 3 : Chọn bước thời gian ∆t ,tính toán các hằng số tích phân
Với δ ≥ 0.5 và α ≥ 0.25(0.5+δ)
2

2
0
1
t
a
∆
=
α
t
a
∆
=
α
δ
1
t
a
∆
=
α
1
2
1
2
1
3
−=
α
a
1

4
−=
α
δ
a






−
∆
= 2
2
5
α
δ
t
a )1(
6
δ
−∆= ta ta ∆=
δ
7
Bước 4 : Tính toán ma trận độ cứng
K
ˆ
CaMaKK
10

ˆ
++=
Bước 5 : Tính toán tải trọng ảnh hưởng ở thời điểm t+∆t :
)()2(
ˆ
5412'
tttttt
a
tttt
UaUaUaCUUaUaMRR

++++++=
∆+∆+
Bước 6 : Giải phương trình để tìm chuyển vò tại thời điểm t+∆t :
tttt
RUK
∆+∆+
=
ˆˆ
Bước 7 : Giá trò vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+∆t :
ttttttt
UaUaUUaU

320
)( −−−=
∆+∆+
)
76
tttttt
UaUaUU

∆+∆+
++=

Chương 4 : Giải phương trình cân bằng động học 49
t
U

tt
U
∆+

t t+∆t
)(
2
1
ttt
UU
∆+
+
