Một số bài giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, bất đẳng thức trong đề thi đại học

<span class='text_page_counter'>(1)</span>MỘT SỐ BÀI GTLN,GTNN-BĐT TRONG ĐỀTHI ĐẠI HỌC Bài 1. (Đề TS-B-2009). Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1 Giải: (Đề TS-B-2009). 3 (x  y)  4xy  2  (x  y)3  (x  y) 2  2  0  x  y  1  2 (x  y)  4xy  0 (x  y) 2 1 1 x y   dấu “=” xảy ra khi : x  y  2 2 2 2 2 2 (x  y ) Ta có : x 2 y 2  4 4 4 2 2 A  3  x  y  x y   2(x 2  y 2 )  1  3 (x 2  y 2 ) 2  x 2 y 2   2(x 2  y 2 )  1 2. 2.  9 (x 2  y 2 ) 2   3 (x 2  y 2 ) 2   2(x 2  y 2 )  1  (x 2  y 2 ) 2  2(x 2  y 2 )  1  4 4   1 9 1 Đặt t = x2 + y2 , đk t ≥ Þ hàm số: f (t)  t 2  2t  1, t  2 4 2 9 1 1 9 9 1 f '(t)  t  2  0  t   f (t)  f ( )  . Vậy : A min  khi x  y  2 2 2 16 16 2 Bài 2. (Đề TS-D-2009). Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy. Giải: (Đề TS-D-2009). S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy = 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy = 16x2y2 – 2xy + 12 1 . Khi đó S = 16t2 – 2t + 12 4 1 æ 1 ö 25 é 1ù  1  191 S’ = 32t – 2 ; S’ = 0  t = . S(0) = 12; S çç ÷÷÷ = ; S ( S   . Vì S liên tục ê0; ú nên : è4ø êë 4 ûú 16 2  16  16. Đặt t = x.y, vì x, y  0 và x + y = 1 nên 0  t .   2 3 2 3  x   x  25 1 191 4 4 Max S = khi x = y = và Min S = khi  hay  2  3 2  3 2 2 16 y  y    4 4 4.(Đề CT- K B - 08)Cho hai số thực x,y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2+y2=1.Tìm GTLN và GTNN 2( x 2  6 xy ) . cña biÓu thøc P  1  2 xy  2 y 2 5. (Đề CT- K D - 08) Cho x,y là hai số thực không âm thay đổi.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ( x  y )(1  xy ) cña biÓu thøc P  (1  x) 2 (1  y ) 2 6. )(DBB1-08).Cho 3 số dương x;y;z thỏa mãn hệ thức x + y +z =. 2 3 3 yz .Chứng minh rằng x   y  z 6 3x. 7. )(DBB2-08).Cho số nguyên n (n ≥ 2) và hai số thức không âm x,y . Chứng minh rằng : n. CM;. n. x n  y n  n 1 x n 1  y n 1. x n  y n  n 1 x n 1  y n 1 (*). x  0 Khi  Hiển nhiên (*) luôn đúng y  0. Khi x,y >0 Không mất tính tổng quát . Giả sử 0 < x ≤ y . Đặt t . Lop12.net. x ; t  (0 ; 1] y.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ln(t n  1) ln(t n 1  1) ln(t n 1  1)   n n n 1  xn  yn   x n 1  y n 1    n. ln   (n  1). ln n    y n 1  y   . Ta luôn có t n  1  t n 1  1  ln(t n  1)  ln(t n 1  1) . . . . .  (n  1) ln t n  1  n. ln i n 1  1  xn  yn   n  y.    . n 1. n.  x n 1  y n 1    xn  yn   n 1  y  . . . n 1. .  x n 1  y n 1. 8. (DB-kD1-08)Cho các số thực x,y thỏa mãn 0  x, y .  3. . n.  n x n  y n  n 1 x n 1  y n 1 (đpcm). . Chứng minh rằng cos x  cos y  1  cos( xy ). x y  x y   cos xy  cos 2 3 2 x y x y x y cos x  cos y  2cos cos  2cos  2cos xy (1) 2 2 2 Với t  xy ; t  [0;  / 3] Xét hàm số f (t )  1  cos t 2  2 cos t . CM;. Theo BĐT Cô si Ta có 0 . xy . f '(t )  2t sin t 2  2sin t  2(sin t  t sin t 2 ) ; f '(1)  0 t[0 ; 1) thì t  t 2  sin t  sin t 2  t sin t 2  f '(t )  0 t (1 ; /3] thì t  t 2  sin t  sin t 2  t sin t 2  f '(t )  0 f (0)  0 ;. f (1)  1  cos1  0 ;. Vậy f (t )  0 t  [0;.  3. . 2  f ( )  cos    0 3  9 . ]  1  cos xy  2cos xy. (2). Từ (1) và (2) Ta có cos x  cos y  1  cos( xy ) (đpcm). Bài 3. (ĐH-A-2007). Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz = 1. x 2 (y + z ) z 2 (x + y ) y 2 (z + x ) Tìm GTNN của biểu thức:P = + + . y y + 2z z. z z + 2x x. x yx + 2y y. Giải: ĐH-A-2007). Ta coù x 2 (y + z ) ³ 2x x ; y 2 (z + x ) ³ 2y y ; z 2 (x + y ) ³ 2z z. 2y y 2x x 2z z + + . Đặt: a = x x + 2y y ;b = y y + 2z z ; c = y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y z z + 2x x 4c + a - 2b 4a + b - 2c 4b + c - 2a Þx x = ;y y= ;z z = 9 9 9 2 æ 4c + a - 2b 4a + b - 2c 4b + c - 2a ö÷ + + Vậy P ³ çç ÷÷ = ø b c a 9è ù 2 2 é æc b a ö÷ æa b c ö÷ ê4 çç + + ÷÷ + çç + + ÷÷ - 6ú ³ (4.3 + 3 - 6) = 2 úû 9 9 êë èb a c ø è b c a ø. Þ P³. Dấu “=” xảy ra Û x = y = z = 1 . Vậy Min P = 2 . Bài 4. (ĐH-B-2007). Cho x > 0, y > 0,z > 0 thay đổi. Tìm GTNN của: æx æy 1ö 1ö 1 ö æz P = x ççç + ÷÷÷ + y çç + ÷÷÷ + z ççç + ÷÷÷ . è 2 xz ø è 2 xy ÷ø è 2 yz ÷ø HD: (ĐH-B-2007).. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> x 2 y2 z 2 x 2 + y2 + z 2 x 2 + y2 y2 + z 2 z 2 + x 2 + + + . Do x2 + y2 + z2 = + + ³ xy + yz 2 2 2 xyz 2 2 2 æx 2 t2 1 1 ö æy2 1 ö æz 2 1ö + zx nên P ³ ççç + ÷÷÷ + ççç + ÷÷÷ + ççç + ÷÷÷ ; Xét hàm số f(t) = + với t > 0. Từ BBT của f(t) 2 t x ÷ø èç 2 y ø÷ èç 2 z ø÷ èç 2. Biến đổi P =. 3 2. 9 2. suy ra f (t ) ³ , "t > 0 . Suy ra P ³ ; P =. 9 9 . Û x = y = z = 1 . Vậy Min P = 2 2 b.  a 1   b 1  . (KD - 07)Cho a  b > 0. Chøng minh r»ng :  2  a    2  b  2   2  . a. Bài 5. (DBĐH-A-2007). Cho x, y, z là các biến số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . (DBKA - 07).Cho x,y.z là các biến số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biến thức.  x y z P= 3 4( x 3  y 3 )  3 4( y 3  z 3 )  3 4( z 3  x 3 )  2 2  2  2 z x y.   . Giải: (DBĐH-A-2007). Với x, y > 0 ta chứng minh : 4(x3 + y3)  (x + y)3 () Dấu = xảy ra  x = y Thật vậy ()  4(x + y)(x2 – xy + y2)  (x + y)3  4(x2 – xy + y2)  (x + y)2 do x, y > 0  3(x2 + y2 – 2xy)  0  (x – y)2  0 (đúng) Tương tự ta có 4(y3 + z3)  (y + z)3 Dấu = xảy ra  y = z 4(z3 + x3)  (z + x)3 Dấu = xảy ra  z = x Do đó. 3. 4 (x 3 + y 3 ) + 3 4 (y 3 + z 3 ) + 3 4 (z 3 + x 3 ) ³ 2 (x + y + z ) ³ 6 3 xyz. æx. y. z ö. 6. Ta lại có: 2 ççç 2 + 2 + 2 ÷÷÷ ³ z x ÷ø 3 xyz èy. æ. 1 ö. ÷÷ ³ 12 Dấu = xảy ra  x = y = z. Suy ra P ³ 6 ççç 3 xyz + ÷÷ 3 xyz ø çè. ìxyz = 1 Û x = y = z = 1. Vậy minP = 12 khi x = y = z = 1 ïïx = y = z î. ï Dấu = xảy ra  ïí. 13. . (DBKD - 07)Cho a,b là các số dương thoả mãn ab + a +b = 3.Chứng minh rằng :. 3a 3b ab 3    a2  b2  b 1 a 1 a  b 2 Bài 6. (DBĐH1-B-2006). Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ³ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =. 3x 2 + 4 2 + y 3 + . 4x y2. Giải: (DBĐH1-B-2006). æ1 ö x 1 3x 2 + 4 2 + y 3 3x 1 2 çç + y + y ÷÷ + x + y = + + 2 + = + + + y  A çè y 2 4 x 8 8 ÷÷ø 2 4x 4 x y2 y2 3 9 ³1+ +2 = . 2 2. Ta có A =. Với x = y = 2 thì A =. 9 9 . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài 7. (DBĐH2-B-2006). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x + .. 11 + 2x. æ 7ö 4 çç1 + 2 ÷÷÷, với x > 0 è x ø. Giải: DBĐH2-B-2006). Áp dụng bất đẳng thức : (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ³ (ac + bd )2 æ è. Ta có : (9 + 7) çç1 + Khi x = 3 thì y =. 11 1 æ 7ö æ 9ö 3 3 15 7 ÷ö æ 7 ÷ö2 ç  y ³ x + + çç3 + ÷÷÷ = ççx + ÷÷÷ + ³ 6 + = ³ 3 + ÷ ÷ 2÷ ÷ ç 2x 2 è xø è xø 2 2 2 xø x ø è. 15 15 nên giá trị nhỏ nhất của y là . 2 2. Bài 8. (ĐH-A-2006). . Cho hai số thực x  0, y  0 thay đổi và thoả mãn điều kiện : ( x + y )xy = x2 + y2 - xy.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A =. 1 1  3 3 x y. Giải: (ĐH-A-2006). Từ gt suy ra. 1 1 1 1 1 1 1 . Đặt a = ;b = ta được a + b = a2 – ab + b2 (1) + = 2 + 2x y xy x y x y. A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b)2. Từ (1) suy ra: a + b = (a + b)2 – 3ab.. æa + b ÷ö2 3 2 2 2 2 ab £ çç ÷ Þ a + b ³ (a + b ) - (a + b ) Þ (a + b ) - 4 (a + b ) £ 0 Þ 0 £ a + b £ 4 Þ A = (a + b ) £ 16 è 2 ÷ø 4 1 A = 16 Û x = y = Þ maxA = 16 . 2. 15. . (DBKA - 06)Cho x,y là các số thực dương thoả mãn x2 +xy +y2  3. Chứng minh rằng :. 4 3  3  x 2  xy  3 y 2  4 3  3. 16. . (DBKA - 06)Cho c¸c sè thùc x,y,z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : 3-x +3-y +3-z = 1.Chøng minh r»ng :. 9x 9y 9z 3x  3 y  3z .    4 3x  3 y  z 3 y  3z  x 3z  3x  y Bài 9. (ĐH-B-2006). Cho x , y là các số thực thay đổi .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A=. ( x  1) 2  y 2  ( x  1) 2  y 2  y  2 .. Giải: . (ĐH-B-2006). Trong mpOxy xét các điểm M(x - 1; y) và N(x + 1; y). Do OM + ON ³ MN nên :. (x - 1)2 + y 2 + (x + 1)2 + y 2 ³ 4 + 4y 2 = 2 1 + y 2 Þ A ³ 2 1 + y 2 + y - 2 = f (y ) 1 2y - 1 ;f’(y) = 0 Û y = Với y £ 2 Þ f (y ) = 2 1 + y 2 + 2 - y Þ f '(y ) = . 2 3 1+y æ 1 ö÷ ÷=2+ 3 3 ø÷. Lập BBT: f(y) trên (-¥;2) , ta có được min f = f ççç (-¥;2) è. Với y ³ 2 Þ f (y ) ³ 2 1 + y 2 ³ 2 5 > 2 + 3 .Do vậy A ³ 2 + 3, "x , y . Vậy min A = 2 + 3 Û x = 0, y =. 1 3. 11 7    41  2  , víi x > 0. 2x x   19. . (DBKB - 06) Cho hai số dương x,y thay đổi thoả mãn điều kiện x + y  4. 3x 2  4 2  y 3  T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = . 4x y2 18. . (DBKB - 06) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè : y  x . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài 10. (ĐH-A-2005). Cho x, y, z  0 ; 1  1  1  4 . Tìm Min của S x. . y. z. 1 1 1   2x  y  z x  2 y  z x  y  2z. Giải: (ĐH-A-2005). Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho các số a, b, c, d > 0 ta có:. . . 16  a  b  c  d  1  1  1  1  4. 4 abcd .4. 4 1  16  1  1  1  1  a b c d abcd a b c d abcd 16 16 1  1  1  1    x x y z x  x  y  z 2x  y  z  16 16   1  1  1  1   x y y z x  y  y  z x  2y  z  16 16 1  1  1  1    x y z z x  y  z  z x  y  2 z 1 1 1   Min S  1 16  4  1  1  1   16     x y z  2x  y  z x  2 y  z x  y  2z . 1 1 1    4. Chøng minh r»ng x y z 1 1 1    1. 2x  y  z x  2y  z x  y  2z. 20. (KA - 05) Cho x ,y,z là các số dương thoả mãn. 2. y  9   21. (DBKA - 05)Chøng minh r»ng víi mäi x,y > 0 ta cã : 1  x   1    1    256. x   y   Khi nào đẳng thức xảy ra. x. x. x.  12   15   20  x x x 22. (KB - 05) Chøng minh r»ng víi mäi x   , ta cã:         3 4 5 .  5  4  3  Khi nào đẳng thức xảy ra?. 23. (DBKB - 05)Cho x,y,z là ba số dương thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng. x2 y2 z2 3    . 1 y 1 z 1 x 2 24. (DBKB - 05)Cho x,y,z lµ ba sè tho¶ m·n x +y +z = 0. Chøng minh r»ng. 2  4 x  2  4 y  2  4 z  3 3. Khi nào đẳng thức xảy ra ? 25. (KD - 05) Cho các số dương x,y,z thoả mãn xyz = 1.Chứng minh rằng :. 1  x3  y3 1  y 3  z3 1  z3  x 3    3 3. xy yz zx Khi nào đẳng thức xảy ra? 26. (DBKD - 05)Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c = 3/4.Chứng minh rằng : 3. a  3b  3 b  3c  3 c  3a  3.. Khi nào đẳng thức xảy ra? 27. (DBKD - 05)Cho 0  x  1 vµ 0  y  1. Chøng minh r»ng x y  y x . 1 . 4. Khi nào đẳng thức xảy ra ?.  x  my  2  4 m mx  y  3m  1. 28. (DB-KA-04)Gọi (x,y) là nghiệm của hệ phương trình . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2 +y2 -2x , khi m thay đổi.. Lop12.net. ( m lµ tham sè).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> x2 . 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) và chứng minh rằng phương trình f(x) = 3 có đúng hai nghiệm .. 29. (DB-KB-04)Cho hµm sè y = ex -sinx +. 0. 30. (DB-KB-04)Cho tam gi¸c ABC tho¶ m·n A  90 vµ sinA = 2sinB sinC tg. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S . A . 2. A 2. sin B. 1  sin. Bài 11. (Đề thi TSĐH 2003 khối B). Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y  x  4  x 2 Giải: TSĐH 2003 khối B). Cách 1: Tập xác định D   2; 2 ;  x  0 max y  2 2 ; y  0  x  4  x 2   2 x 2   2  x  4  x min y  2 4  x2 Cách 2: Đặt x  2 sin u , u     ;    y  2  sin u  cos u   2 2 sin u     2; 2 2  ; 4  2 2 y  1 . x. . . max y  2 2 ; min y  2. Bài 12. (DB TSĐH-B-2003). Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y  x 6  4 1  x 2  trên đoạn 3.  1;1 Giải: (DB TSĐH-B-2003). Cách 1. Đặt u  x 2   0;1 . Ta có y  u 3  4 1  u   3u 3  12u 2  12u  4 3. y   9u 2  24u  12  0  u1  2   0;1 ; u 2  2  1 3 Nhìn bảng biến thiên ta có max y  4; min y  4 9 6 6 Cách 2. Đặt x  sin u  y  sin u  4 cos u   sin 6 u  cos 6 u   3cos 6 u   sin 2 u  cos 2 u   3  4 Với x  0 thì max y  4 . Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có:  6 6 2 8 8 8 8 4 3 sin u  27  27  3  sin u  27  27  3 sin u  4 cos 6 u  4  4  3  3 4 cos 6 u  4  4  4 cos 2 u  27 27 27 27 3. y  sin 6 u  4 cos 6 u  8  4  sin 2 u  cos 2 u   4  y  4 . Với x  2  min y  4 9 3 3 9 3 9. 31. (CT-KA-03)Cho x,y,z là ba số dương và x + y + z  1 .Chứng minh rằng. x2 . 1 1 1  y 2  2  z 2  2  82 . 2 x y z 5. 32.(DB -KA-03)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè y  sin x  3 cos x.. 4  x2. x 1 34. . (CT -KD-03) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y  trªn ®o¹n [-1;2] x2  1 35.(DB -KA-02)Giả sử a,b,c,d là bốn số nguyên thay đổi thoả mản 1  a <b <c <d  50.Chứng minh 33. . (CT -KB-03)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè y = x +. bất đẳng thức. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> a c b 2  b  50 a c vµ t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S =    b d 50 b b d 36.(DB -KA-02)Gọi A, B, C, là ba góc của tam giác ABC .Chứng minh rằng để tam giác ABC đều thì điều kiện cần và đủ là. Cos 2. A B C 1 AB BC CA  cos 2  cos 2  2  cos cos cos . 2 2 2 4 2 2 2. 37. (DB -KB-02)Giả sử x,y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = nhÊt cña biÓu thøc sau S =. 5 . T×m gi¸ trÞ nhá 4. 4 1  . x 4y. Bài 13. (ĐH SPHN-A-2002) Tìm GTLN,GTNN của hàm số y = HD: Đặt t = sin2x , t Î [ 0;1] .ta được y =1+. 3cos 4x + 4sin 2x 3sin 4x + cos 2x. - (6t - 2) 1 . Ta coù y’= . 2 3t - 2t + 2 (3t 2 - 2t + 2) 2. Từ BBT của hàm số ta được : max y =. 8 4 và min y = . 5 3. Bài 14. (ĐH QGHN , HVNH –D – 2001). Tùy theo giá trị tham số m, tìm GTNN của biểu thức: P = (x + my – 2)2 + [4x + 2(m – 2)y –1]2 . HD: ïìx + my = 2 P ³ 0; P = 0 Û $ (x ; y ) : ïí . Hệ PT có nghiệm Û m ¹ -2 ïï4x + 2 (m - 2) y = 1 ïî · Khi m ¹ -2 Min P =0 . · Khi m = –2 thì P = (x – 2y – 2)2+(4x – 8y –1)2 . Đặt t = x – 2y – 2 ta được æ 28 ö2 49 49 P = t2 + (4t + 7)2 = 7 ççt + ÷÷÷ + ³ è 17 ø 17 17 28 6 49 Đẳng thức xảy ra Û t = - Û x - 2y = . Khi đóù Min P = . 17 17 17. Bài 15. (ĐH TCKT -2000). Tìm GTLN,GTNN của hàm số y = 2sin8x + cos42x. Giải: æ 1 - t ö÷4 + t 4 = f (t ), t Î [-1;1] = D . è 2 ÷ø÷. Đặt t = cos2x , ĐK: t £ 1 . Khi đó: y = 2 çç é. æ 1 - t ö÷3 ùú æ1ö 1 1 . ; f '(t ) = 0 Û t = . Ta cóù f(–1) = 3 ;f(1) = 1; f çç ÷÷÷ = ÷ ÷ ú è 3 ø 27 è 2 ø 3 ë û p Vậy max y = 3 Û cos 2x = -1 Û x = + k p vaø D 2 æ 1 1 a 1ö min y = Û cos 2x = Û x = ± + k p, ççcosa = ÷÷÷ . è D 27 3 2 3ø. f’(t) = 4 êêt 3 - çç. Bài 16. (ĐH GTVT 2000). Tùy theo giá trị tham số m, hãy tìm GTNN của biểu thức: : P = (x – 2y + 1)2 + (2x + my + 5)2 . HD: Giải tương tự bài 14 BÊT §¼NG THøC Vµ GI¸ TRÞ LN-NN TRONG §Ò THI §H Tõ 02-09 1. (§Ò CT- khèi A - 2009) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:.  x  y   x  z 3. 3.  3  x  y  x  z  y  z   5  y  z  . 3. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 2.(K B - 2009) (1 điểm) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1 3.K D - 09 (1,0 điểm).Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy. 4.(Đề CT- K B - 08)Cho hai số thực x,y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2+y2=1.Tìm GTLN và GTNN 2( x 2  6 xy ) . cña biÓu thøc P  1  2 xy  2 y 2 5. (Đề CT- K D - 08) Cho x,y là hai số thực không âm thay đổi.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ( x  y )(1  xy ) cña biÓu thøc P  (1  x) 2 (1  y ) 2 2 3 3 yz .Chứng minh rằng x   y  z 6 3x. 6. )(DBB1-08).Cho 3 số dương x;y;z thỏa mãn hệ thức x + y +z =. 7. )(DBB2-08).Cho số nguyên n (n ≥ 2) và hai số thức không âm x,y . Chứng minh rằng : n. CM;. n. x n  y n  n 1 x n 1  y n 1. x n  y n  n 1 x n 1  y n 1 (*). x  0 Khi  Hiển nhiên (*) luôn đúng y  0. Khi x,y >0 Không mất tính tổng quát . Giả sử 0 < x ≤ y . Đặt t . x ; t  (0 ; 1] y. ln(t n  1) ln(t n 1  1) ln(t n 1  1)   n n n 1  xn  yn   x n 1  y n 1    n. ln   (n  1). ln n    y n 1  y   . Ta luôn có t n  1  t n 1  1  ln(t n  1)  ln(t n 1  1) . . . . .  (n  1) ln t n  1  n. ln i n 1  1  xn  yn   n  y.    . n 1. n.  x n 1  y n 1    xn  yn   n 1  y  . . . n 1. .  x n 1  y n 1. 8. (DB-kD1-08)Cho các số thực x,y thỏa mãn 0  x, y .  3. . n.  n x n  y n  n 1 x n 1  y n 1 (đpcm). . Chứng minh rằng cos x  cos y  1  cos( xy ). x y  x y   cos xy  cos 2 3 2 x y x y x y cos x  cos y  2cos cos  2cos  2cos xy (1) 2 2 2 Với t  xy ; t  [0;  / 3] Xét hàm số f (t )  1  cos t 2  2 cos t . CM;. Theo BĐT Cô si Ta có 0 . xy . f '(t )  2t sin t 2  2sin t  2(sin t  t sin t 2 ) ; f '(1)  0 t[0 ; 1) thì t  t 2  sin t  sin t 2  t sin t 2  f '(t )  0 t (1 ; /3] thì t  t 2  sin t  sin t 2  t sin t 2  f '(t )  0 f (0)  0 ;. f (1)  1  cos1  0 ;. Vậy f (t )  0 t  [0;.  3. . 2  f ( )  cos    0 3  9 . ]  1  cos xy  2cos xy. (2). Từ (1) và (2) Ta có cos x  cos y  1  cos( xy ) (đpcm) 9. . (KA - 07)Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xyz = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biªu thøc: P =. x2 ( y  z) y 2 ( z  x) z 2 ( x  y)   y y  2z z z z  2x x x x  2 y y Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 10. (KB - 07)Cho x,y,z là 3 số thực dương hay đổi .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :. x 1  y 1  z 1  P  x    y    z    2 zx   2 xy   2 yz  b.  a 1   b 1  11. . (KD - 07)Cho a  b > 0. Chøng minh r»ng :  2  a    2  b  2   2  . a. 12. . (DBKA - 07).Cho x,y.z là các biến số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biến thức  x y z  P= 3 4( x 3  y 3 )  3 4( y 3  z 3 )  3 4( z 3  x 3 )  2 2  2  2  z x  y 13. . (DBKD - 07)Cho a,b là các số dương thoả mãn ab + a +b = 3.Chứng minh rằng :. 3a 3b ab 3    a2  b2  b 1 a 1 a  b 2 14. (KA - 06)Cho hai số thực x  0, y  0 thay đổi và thoả mãn điều kiện : 1 1 ( x + y )xy = x2 + y2 - xy.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = 3  3 x y 2 2 15. . (DBKA - 06)Cho x,y là các số thực dương thoả mãn x +xy +y  3. Chứng minh rằng : 4 3  3  x 2  xy  3 y 2  4 3  3. 16. . (DBKA - 06)Cho c¸c sè thùc x,y,z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : 3-x +3-y +3-z = 1.Chøng minh r»ng :. 9x 9y 9z 3x  3 y  3z .    4 3x  3 y  z 3 y  3z  x 3z  3x  y. 17. . (KB - 06) Cho x , y là các số thực thay đổi .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A=. ( x  1) 2  y 2  ( x  1) 2  y 2  y  2 .. 11 7    41  2  , víi x > 0. 2x x   19. . (DBKB - 06) Cho hai số dương x,y thay đổi thoả mãn điều kiện x + y  4. 3x 2  4 2  y 3  T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = . 4x y2 18. . (DBKB - 06) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè : y  x . 1 1 1    4. Chøng minh r»ng x y z 1 1 1    1. 2x  y  z x  2y  z x  y  2z. 20. (KA - 05) Cho x ,y,z là các số dương thoả mãn. 2. y  9   21. (DBKA - 05)Chøng minh r»ng víi mäi x,y > 0 ta cã : 1  x   1    1    256. x   y   Khi nào đẳng thức xảy ra. x. x. x.  12   15   20  x x x 22. (KB - 05) Chøng minh r»ng víi mäi x   , ta cã:         3 4 5 .  5  4  3  Khi nào đẳng thức xảy ra?. 23. (DBKB - 05)Cho x,y,z là ba số dương thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng. x2 y2 z2 3    . 1 y 1 z 1 x 2 24. (DBKB - 05)Cho x,y,z lµ ba sè tho¶ m·n x +y +z = 0. Chøng minh r»ng. 2  4 x  2  4 y  2  4 z  3 3. Khi nào đẳng thức xảy ra ? Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 25. (KD - 05) Cho các số dương x,y,z thoả mãn xyz = 1.Chứng minh rằng :. 1  x3  y3 1  y 3  z3 1  z3  x 3    3 3. xy yz zx Khi nào đẳng thức xảy ra? 26. (DBKD - 05)Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c = 3/4.Chứng minh rằng : 3. a  3b  3 b  3c  3 c  3a  3.. Khi nào đẳng thức xảy ra? 27. (DBKD - 05)Cho 0  x  1 vµ 0  y  1. Chøng minh r»ng x y  y x . 1 . 4. Khi nào đẳng thức xảy ra ?.  x  my  2  4 m mx  y  3m  1. 28. (DB-KA-04)Gọi (x,y) là nghiệm của hệ phương trình . ( m lµ tham sè). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2 +y2 -2x , khi m thay đổi. x2 29. (DB-KB-04)Cho hµm sè y = ex -sinx + . 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) và chứng minh rằng phương trình f(x) = 3 có đúng hai nghiệm . 0. 30. (DB-KB-04)Cho tam gi¸c ABC tho¶ m·n A  90 vµ sinA = 2sinB sinC tg. A . 2. A 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S  sin B 31. (CT-KA-03)Cho x,y,z là ba số dương và x + y + z  1 .Chứng minh rằng 1 1 1 x 2  2  y 2  2  z 2  2  82 . x y z 1  sin. 5. 32.(DB -KA-03)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè y  sin x  3 cos x.. 4  x2. x 1 34. . (CT -KD-03) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y  trªn ®o¹n [-1;2] x2  1 35.(DB -KA-02)Giả sử a,b,c,d là bốn số nguyên thay đổi thoả mản 1  a <b <c <d  50.Chứng minh 33. . (CT -KB-03)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè y = x +. bất đẳng thức. a c b 2  b  50 a c vµ t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S =    b d 50 b b d 36.(DB -KA-02)Gọi A, B, C, là ba góc của tam giác ABC .Chứng minh rằng để tam giác ABC đều thì điều kiện cần và đủ là. Cos 2. A B C 1 AB BC CA  cos 2  cos 2  2  cos cos cos . 2 2 2 4 2 2 2. 37. (DB -KB-02)Giả sử x,y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = nhÊt cña biÓu thøc sau S =. 4 1  . x 4y. Lop12.net. 5 . T×m gi¸ trÞ nhá 4.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>