Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân (phần 3)

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Nguyeân haøm – Tích phaân. III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1. Dieän tích hình phaúng  Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Trục hoành. – Hai đường thẳng x = a, x = b. b. S   f ( x ) dx. laø:. (1). a.  Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Hai đường thẳng x = a, x = b. b. S   f ( x )  g( x ) dx. laø:. (2). a. Chuù yù:.  Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:. b. . f ( x ) dx . a. b.  f ( x )dx. a.  Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số. dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d). Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b. . a. c. d. b. f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx a. =. c. d. c. d. b. a. c. d.  f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx. (vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)  Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d. d. S   g( y )  h( y ) dy c. 2. Theå tích vaät theå  Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các ñieåm caùc ñieåm a vaø b. S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a  x  b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Theå tích cuûa B laø:. b. V   S( x )dx a.  Theå tích cuûa khoái troøn xoay: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: Trang 96 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Nguyeân haøm – Tích phaân (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh truïc Ox: b. V    f 2 ( x )dx a. Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh truïc Oy: (C): x = g(y), truïc tung, y = c, y = d d. V    g2 ( y )dy. laø:. c. VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:. a) y  x 2  4 x  6, y  0, x  2, x  4 c) y . 1  ln x , y  0, x  1, x  e x. ln x 1 , y  0, x  , x  e x e. b) y . ln x. d) y . 2 x. , y  0, x  e, x  1. 1 e) y  ln x , y  0, x  , x  e f) y  x 3 , y  0, x  2, x  1 e 1 x 1 , y  0, x  0, x  g) y  h) y  lg x , y  0, x  , x  10 10 2 1 x4 Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 3 x  1 , y  0, x  0 a) y  b) y  x , y  2  x , y  0 x 1. c) y  e x , y  2, x  1. d) y  x , x  y  2  0, y  0. e) y  2 x 2 , y  x 2  2 x  1, y  2. f) y  x 2  4 x  5, y  2 x  4, y  4 x  11. g) y  x 2 , y . x2 27 ,y 27 x. h) y  2 x 2 , y  x 2  4 x  4, y  8. i) y 2  2 x , 2 x  2 y  1  0, y  0 k) y   x 2  6 x  5, y   x 2  4 x  3, y  3 x  15 Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 1 a) y  x , y  , y  0, x  e b) y  sin x  2 cos x , y  3, x  0, x   x c) y  5x 2 , y  0, y  3  x , x  0. d) y  2 x 2  2 x , y  x 2  3 x  6, x  0, x  4. e) y  x , y  0, y  4  x. f) y  x 2  2 x  2, y  x 2  4 x  5, y  1. g) y  x , y  2  x , y  0. h) y . a) y  4  x 2 , y  x 2  2 x. b) y  x 2  4 x  3 , y  x  3. 1 2 x. , y  e x , x  1. e Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:. c) y . 1 2 1 x , y   x2  3 4 2. d) y . 1 1  x2. Trang 97 Lop12.net. ,y . x2 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Nguyeân haøm – Tích phaân e) y  x , y  2  x 2. f) y  x 2  2 x , y   x 2  4 x. x2 1 g) y  ,y 2 1  x2. 2 h) y  x  3  , y  0 x. i) y  x 2  2 x , y  x  2 k) y  x 2  2, y  4  x Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) y  x 2 , x   y 2. b) y 2  x  5  0, x  y  3  0. c) y 2  2 y  x  0, x  y  0. d) y 2  2 x  1, y  x  1. e) y 2  2 x , y  x , y  0, y  3. f) y  ( x  1)2 , x  sin y. g) y 2  6 x , x 2  y 2  16. h) y 2  (4  x )3 , y 2  4 x. i) x  y 3  1  0, x  y  1  0 k) x 2  y 2  8, y 2  2 x Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) y  x.e x ; y  0; x  1; x  2.. b) y  x.ln2 x; y  0; x  1; x  e.. c) y  e x ; y  e x ; x  1.. d) y  5x 2 ; y  0; x  0; y  3  x.. e) y  ( x  1)5 ; y  e x ; x  1.. 1 f) y  ln x , y  0, x  , x  e e. g) y  sin x  cos2 x , y  0, x  0, x   h) y  x  sin x; y  x; x  0; x  2. i) y  x  sin2 x; y  ; x  0; x  .. k) y  sin2 x  sin x  1, y  0, x  0, x . Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:. a) (C ) : y  x .  2. 1. , tieäm caän xieân cuûa (C), x = 1 vaø x = 3. 2x2 x2  2x  1 , y  0 , tieäm caän xieân cuûa (C), x = –1 vaø x = 2 b) (C ) : y  x2 c) (C ) : y  x 3  2 x 2  4 x  3, y  0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2. d) (C ) : y  x 3  3 x  2, x  1 và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2. e) (C ) : y  x 2  2 x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C). VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Bài 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh truïc Ox:  1 a) y  sin x , y  0, x  0, x  b) y  x 3  x 2 , y  0, x  0, x  3 4 3  c) y  sin6 x  cos6 x , y  0, x  0, x  d) y  x , x  4 2 e) y  x 3  1, y  0, x  1, x  1 g) y . f) y  x 2 , y  x. x2 x3 ,y 4 8. h) y   x 2  4 x , y  x  2. i) y  sin x , y  cos x , x  2.  4. ,x. . k) ( x  2)2  y 2  9, y  0. 2. 2. l) y  x  4 x  6, y   x  2 x  6. m) y  ln x , y  0, x  2 Trang 98 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Nguyeân haøm – Tích phaân Bài 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay. quanh truïc Oy: 2 a) x  , y  1, y  4 y. b) y  x 2 , y  4. c) y  e x , x  0, y  e d) y  x 2 , y  1, y  2 Bài 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh: i) truïc Ox ii) truïc Oy a) y  ( x  2)2 , y  4 c) y . 1 2. x 1. b) y  x 2 , y  4 x 2 , y  4 d) y  2 x  x 2 , y  0. , y  0, x  0, x  1. e) y  x.ln x , y  0, x  1, x  e. f) y  x 2 ( x  0), y  3 x  10, y  1. g) y  x 2 , y  x. h)  x – 4   y 2  1. x2 y2  1 i) 9 4. k) y  x  1, y  2, y  0, x  0. l) x  y 2  0, y  2, x  0. m) y 2  x 3 , y  0, x  1. 2. Trang 99 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Nguyeân haøm – Tích phaân. IV. OÂN TAÄP TÍCH PHAÂN Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau: 2. x. a). 2. b).  x dx. 0.  x 1  d)    dx x  2   1 1. 1. x3 2. x 1. 0. 5. x  2x. 4. c). dx. x. h) l). dx. 0. . 1. 2. i).  2x  4. 0 1. x. dx. . 0 2x 2. 2.  5x  2. x3  2 x2  4 x  9. . x2  4. 0. xdx. .  2 x  1 dx. 1. f). dx. 1 x. 2. 1. ( x  2  x  2 )dx. . 3. 3. xdx. . . 2 1. 8. . e). 2 0 ( x  1). k). x7. 2. 2. g). 3. 1. m). 2. dx. xdx. . 3 0 ( x  1). Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau: 2. x 1 1  x  1 dx. a). 3. d). x5  2 x3. . 2. x 1. 0. h). . x54. 2. . i). 2 x  2 x. 0. 1. 2. x x ( x  1)2. 3. 3. m). 3. 1 7/3. q). . 0. s). 10. . x 3 x 1  x  3 x 1. 3. 3x  1. dx. 1. dx. t)  x 3 1  x 2 dx. x  2 x 1. 5. 1  x dx. x. 0. dx. x 1. dx. 1. x 3  1x 3 .dx. . 5. 0. 0. p). x4. 0. xdx. . 2. f). 1. 1. 0. 2dx. l)  x 3 x 2  3 dx. 1  x 2 .x 3dx. o)  x 5 1  x 2 dx. 3. 4. 1. 0. r). c)  x 3 1  x dx 1. 1. 0. . . e). dx. g)  x 2 4  x 2 dx 3. 9. x 3 1  x 2 dx. 0. 2. k). 3. b). 0. Baøi 3. Tính caùc tích phaân sau:. a).  /4.  0. /2. . 0. d). 1  2sin 2 x dx 1  sin 2 x. . sin 2 x  sin x 1  3cos x. 0. /2. . /2. . sin 2 x cos2 x  4sin2 x. dx. e). c). dx. /4. cos 2 x (sin 4 x  cos4 x )dx h). . 0. 2. x tan x dx. /2. . sin x sin 2 x sin 3 x dx. f). /2. . 0. 0. k). /2. sin 2 x cos x dx 1  cos x. 0. g). b). l). 0. /3. . tan x. /4 cos x /2. . 0. cos5 xdx. 2. 1  cos x. sin 2 x dx cos x  1. Trang 100 Lop12.net. dx. i). . x sin x. . 2 0 1  cos x. m). /2. . 0. dx. sin x dx 1  3cos x. dx.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Nguyeân haøm – Tích phaân o). /2. . sin2004 x  cos2004 x. 0. r). sin2004 x. /2. dx. cos3 x dx sin x  1. . 0. p). /2. . 0. s). 4sin3 x dx 1  cos x. /2. . q). sin xdx. Baøi 4. Tính caùc tích phaân sau: 3. 2. a)  x ln( x  5)dx 0. d). /2. . (esin x  cos x ) cos x dx. g) k) o). e. x 1 ln xdx x 1 2. x 2e x. . 2. 0 ( x  2) /2. . l). . 1. 1.  (4 x. p). e. 2. ln x. . x2. 1. x 1  2 ln x. i) 2x.  2 x  1)e dx. 1. dx. s). e. 0 1 e 2. m). . 1. x. ln(1  x ). 1. x2. dx. 1. q)  x ln(1  x 2 )dx. dx. 0. 1  3 ln x . ln x dx x. . dx. . 0. 0. r). 1. 0. dx. 3  2 ln x.  2e  x  3. h)  ( x 2  1)e x dx. e3 x sin 5 x dx. e. x. f)  x 2 ln2 x dx. 1. 3. . . sin 2 x cos2 x. e. dx. ln3 e. . 0. x sin2 xdx. 0. 2. 0. /3. c)  ( x  2)e2 x dx. b)  ln( x 2  x)dx ln 5. x 2. t). 1  2sin2 x dx 1  sin 2 x. 1. 3. e). . 0. sin2 x  2 cos x cos2. 0. /4. t). e3. ln2 x. 1. ln x  1. x. dx. Bài 5. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:. 4 , y  0, x  2, x  1 2 x. a) y  x 3  3 x  1, y  0, x  0, x  1. b) y . 1 9 c) y   x 4  2 x 2  , y  0 4 4 1 1 , y  0, x  2, x  4 e) y  x  1  2 x 1. d) y  e x , y  2, x  1. g) y . 2x  1 , y  0, x  0 x 1. f) y  x 2  2 x , y   x 2  4 x h) y . m) y . x 2  3x  2 , tieäm caän xieân, x  0, x  1 x 1. n) y . x2  x  2 , y  0, tiếp tuyến vẽ từ gốc toạ độ x 1.  x2  x , y0 x 1. o) y  x 3  3 x 2  3 x  1 , tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung. 1 3 x  3 x , tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị có hoành độ x = 2 3 . 4 Bài 6. Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục:. p) y . a) y  x , y  0, x  3; Ox. b) y  x ln x , y  0, x  1, x  e; Ox. c) y  xe x , y  0, x  1; Ox. d) y  4  x 2 , y  x 2  2; Ox. e) y 2  4  x , x  0; Oy. f) x  ye y , x  0, y  1; Oy Trang 101 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Nguyeân haøm – Tích phaân. Trang 102 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>