Tài liệu Thi thử ĐH Toán 2011 số 3

http://ductam_tp.violet.vn/
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 2011
Môn Thi: TOÁN – Khối A
ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số
3 2
3 1y x x= − +
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với
nhau và độ dài đoạn AB =
4 2
.
Câu II: (2 điểm)
1. Giải phương trình:
x x x
8
4 8
2
1 1
log ( 3) log ( 1) 3log (4 )
2 4
+ + − =
.
2. Tìm nghiệm trên khoảng
0;
2
π
 
 ÷

 
của phương trình:

2
x 3
x cos x-
4
2
4sin 3 sin 2 1 2
2 2
π π
π
     
− − − = +
 ÷  ÷  ÷
     
Câu III: (1 điểm) Cho hàm số f(x) liên tục trên R và
4
f x f x x( ) ( ) cos+ − =
với mọi x
∈
R. Tính:

( )
I f x dx
2
2
π
π
−

=
∫
.
Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm O. Các mặt
bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy (ABCD). Cho AB = a, SA = a
2
. Gọi H, K lần
lượt là hình chiếu của A trên SB, SD .Tính thể tích khối chóp O.AHK.
Câu V: (1 điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4 .
Chứng minh rằng:
a b c d
b c c d d a a b
2 2 2 2
2
1 1 1 1
+ + + ≥
+ + + +
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A. Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a: (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
, A(2;–3), B(3;–2). Tìm toạ
độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng (d): 3x – y – 4 = 0.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;4;1),B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – 5
= 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).
Câu VII.a: (1 điểm) Tìm các số thực b, c để phương trình
z bz c
2

0+ + =
nhận số phức
1z i
= +
làm một
nghiệm.
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2, 0) và phương trình các cạnh
AB, AC theo thứ tự là: 4x + y + 14 = 0;
02y5x2
=−+
. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và
đường thẳng (d)
6x 3y 2z 0
6x 3y 2z 24 0
− + =


+ + − =

. Viết phương trình đường thẳng ∆ // (d) và cắt các
đường thẳng AB, OC.
http://ductam_tp.violet.vn/
Câu VII.b: (1 điểm) Giải phương trình sau trong tập số phức:
4 3 2
6 8 16 0z z z z– – –+ =
.
Hướng dẫn

Câu I: 2) Giả sử
3 2 3 2
3 1 3 1A a a a B b b b( ; ), ( ; )− + − +
(a ≠ b)
Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song suy ra
y a y b( ) ( )
′ ′
=
⇔
a b a b( )( 2) 0− + − =
⇔
a b 2 0
+ − =
⇔ b = 2 – a ⇒ a ≠ 1 (vì a ≠ b).
AB b a b b a a
2 2 3 2 3 2 2
( ) ( 3 1 3 1)= − + − + − + −
=
a a a
6 4 2
4( 1) 24( 1) 40( 1)− − − + −
AB = 4 2 ⇔
a a a
6 4 2
4( 1) 24( 1) 40( 1)− − − + −
= 32 ⇔
a b
a b
3 1
1 3


= ⇒ = −

= − ⇒ =

⇒ A(3; 1) và B(–1; –3)
Câu II: 1) (1) ⇔
x x x( 3) 1 4+ − =
⇔ x = 3; x =
3 2 3− +
2) (2) ⇔
x xsin 2 sin
3 2
π π
   
− = −
 ÷
 ÷
 
 
⇔
x k k Z a
x l l Z b
5 2
( ) ( )
18 3
5
2 ( ) ( )
6
π π

π
π

= + ∈



= + ∈


Vì
0
2
x ;
π
 
∈
 ÷
 
nên
x=
5
18
π
.
Câu III: Đặt x = –t ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x dx f t dt f t dt f x dx
2 2 2 2
2 2 2 2

π π π π
π π π π
−
−
− −
= − − = − = −
∫ ∫ ∫ ∫
⇒
f x dx f x f x dx xdx
2 2 2
4
2 2 2
2 ( ) ( ) ( ) cos
π π π
π π π
− −
−
 
= + − =
 
∫ ∫ ∫
x x x
4
3 1 1
cos cos2 cos4
8 2 8
= + +
⇒
I
3

16
π
=
.
Câu IV:
a
V AH AK AO
3
1 2
, .
6 27
 
= =
 
uuur uuur uuur
Câu V: Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
2
a ab c ab c ab c ab c ab abc
a a a a a
b c
1+b c b c
2 2
2
(1 )
(1)
2 4 4 4
2
1
+
= − ≥ − = − ≥ − = − −

+
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1
( )
2
bc d
b bc d bc d bc d bc bcd
b b b b b
c d
1+c d c d
2 2
2
1
(2)
2 4 4 4
2
1
+
= − ≥ − = − ≥ − = − −
+
( )
2
cd a
c cd a cd a cd a cd cda
c c c c c
d a
1+d a d a
2 2
2
1
(3)

2 4 4 4
2
1
+
= − ≥ − = − ≥ − = − −
+
( )
2
da b
d da b da b da b da dab
d d d d d
a b
1+a b a b
2 2
2
1
(4)
2 4 4 4
2
1
+
= − ≥ − = − ≥ − = − −
+
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:
a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab
b c c d d a a b
2 2 2 2
4
4 4
1 1 1 1

+ + + + + +
+ + + ≥ − −
+ + + +
Mặt khác:
http://ductam_tp.violet.vn/
•
( ) ( )
a c b d
ab bc cd da a c b d
2
4
2
 
+ + +
+ + + = + + ≤ =
 ÷
 
. Dấu "=" xảy ra ⇔ a+c = b+d
•
( ) ( ) ( ) ( )
a b c d
abc bcd cda dab ab c d cd b a c d b a
2 2
2 2
   
+ +
+ + + = + + + ≤ + + +
 ÷  ÷
   
⇔

( ) ( ) ( ) ( )
a b c d
abc bcd cda dab a b c d a b c d
4 4
 
+ +
+ + + ≤ + + + = + +
 ÷
 
a b c d
abc bcd cda dab
2
4
2
 
+ + +
⇔ + + + ≤ =
 ÷
 
. Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c = d = 1.
Vậy ta có:
a b c d
b c c d d a a b
2 2 2 2
4 4
4
4 4
1 1 1 1
+ + + ≥ − −
+ + + +

a b c d
b c c d d a a b
2 2 2 2
2
1 1 1 1
⇔ + + + ≥
+ + + +
⇒ đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.
Câu VI.a: 1) Ptts của d:
x t
y t4 3

=

= − +

. Giả sử C(t; –4 + 3t) ∈ d.
( )
S AB AC A AB AC AB AC
2
2 2
1 1
. .sin . .
2 2
= = −
uuur uuur
=
3
2

⇔
t t
2
4 4 1 3+ + =
⇔
t
t
2
1

= −

=

⇒ C(–2; –10) hoặc C(1;–1).
2) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ⇒ (Q) có VTPT
( )
p
n n AB, 0; 8; 12 0
 
= = − − ≠
 
uur uuur r
r
⇒
Q y z( ) : 2 3 11 0+ − =
Câu VII.a: Vì z = 1 + i là một nghiệm của phương trình: z
2
+ bx + c = 0 nên:
b c b

i b i c b c b i
b c
2
0 2
(1 ) (1 ) 0 (2 ) 0
2 0 2
 
+ = = −
+ + + + = ⇔ + + + = ⇔ ⇔
 
+ = =
 
Câu VI.b: 1) A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0)
2) Phương trình mặt phẳng (α) chứa AB và song song d: (α): 6x + 3y + 2z – 12 = 0
Phương trình mặt phẳng (β) chứa OC và song song d: (β): 3x – 3y + z = 0
∆ là giao tuyến của (α) và (β) ⇒ ∆:
6x 3y 2z 12 0
3x 3y z 0
+ + − =


− + =

Câu VII.b:
4 3 2
6 8 16 0z z z z– – –+ =
⇔
2
1 2 8 0z z z( )( )( )+ − + =
⇔

1
2
2 2
2 2
z
z
z i
z i

= −

=

=


= −
