Giải một số bài toán dựa vào tính chất của tỷ lệ thức

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Đề tài sáng kiến kinh nghệm Phòng GD – ĐT Huyện Thuận Bắc Trường THCS Hà Huy Tập. CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc. GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DỰA VÀO TÍNH CHẤT CỦA TỶ LỆ THỨC Tên: Chức vụ: Giáo viên. Dạy môn Toán 7 I/- Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến kinh nghiệm: Toán học không những là môn khoa học có mặt hầu hết trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội mà nó còn góp phần quan trọng trong phát triển chủ thuể xã hội đó là con người. Là một giáo viên dạy toán 7 tôi nhận thấy đa phần học sinh lớp 7 ( kể cả học sinh có năng lực ) từ việc tiếp thu kiến thức về lý thuyết tỷ lệ thức để vận dụng kiến thức đã học vào việc giải bài tập học sinh còn lúng túng nhiều từ việc tìm ra hướng giải quyết đến việc thực hiện các bước giải kể cả những bài tương đối đến khó.Hơn nữa bản thân tôi nhận thấy kiến thức về tỷ lệ thức khá quan trọng trong việc tìm đọ dài đoạn thẳng, cạnh của một tam giác trong, trong các tam giác đồng dạng… Chính vì vậy sau khi học xong kiến thức tỷ lệ thức tôi đã trực tiếp khảo sát học sinh lớp 7/1 ( lớp tôi trực tiếp giảng dạy ) ra đề bài một số dạng toán về kiến thức liên quan đến tỷ lệ thức và kết quả như sau: Lớp Số HS Số HS giải Số HS biết Số HS không thể được được hướng nhưng giải được khảo sát không giải được SL % SL % SL % 7/1 37 3 8 6 16 28 76 Để góp phần nâng cao chất lượng, giúp học sinh hình thành kỷ năng giải toán trong trường THCS. Bản thân tôi đã nghiên cứu phần “ giải một số bài toán dựa vào tính chất của tỷ lệ thức” chương trình lớp 7 nhằm hình thành năng lực giải toán cho học sinh THCS Vì điều kiện thời gian cũng như trình độ kiến thức còn hạn chế nên tôi chỉ đi vào một số vấn đề sau; * Lý thuyết: - Định nghĩa tỷ lệ thức - Tính chất của tỷ lệ thức * Bài tập: - Lập tỷ lệ thức - cho một tỷ lệ thức suy ra các tỷ lệ thức khác. - Các bài toán thực tế trong đời sống liên quan đến tỷ lệ thức. GV: Lop7.net. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Đề tài sáng kiến kinh nghệm II/- Quá trình thực hiện và các giải pháp: Thời gian từ thang 8 năm 2010 đến hết tháng 2 năm 2011 Để đề tài đạt hiệu quả ta cần chú trọng tới phương pháp dạy khái niệm, tính chất, kiến thức mới, phương pháp dạy tiết luyện tập. Ta cần thức hiện các bước sau; Bước 1: Nhắc lại một cách hệ thống các nội dung ly thuyết đã học, sau đó mới mở rộng cho phép khắc sâu lý thuyết thông qua kiểm tra miệng hoặc bài tập tập trác nghiệm đúng sai với hệ thống từ đơn giản đến khó. Bước 2: Cho học sinh trình bày bài tập ở nhà để kiểm tra học sinh về kỹ năng vân dụng lý thuyết giải bài tập, kỹ năng tính toán, cách diễn đạt bằng lời, cách trình bày lời giải bài toán. Phải chót lại cá vấn đề có tính giáo dục( phân tích cách giải đúng sai ở từng bài rồi đưa ra cách giải thong minh, hợp lý, ngắn gọn hơn..) Bước 3: cho học sinh trình bày làm một bài tập mới theo chủ định của giáo viên nhằm kiểm tra ngay sự hiểu biết của học sinh, khắc phục những sai xót học sinh mắc phải. Rèn luyên ,ột kỹ năng hoặc một thuật toán nào đó cơ bản cho học sinh mà giáo viên cho là cần thiết trong thời điểm này. NỘI DUNG KIẾN THỨC NGHIÊN CỨU *Lý thuyết: 1. Định nghĩa: Tỷ lệ thức là một dẳng thức của hai tỷ số. a c  hoặc a : b = c : d. b d. Trong đó các số a, b, c, d được gọi là số hạng của tỷ lệ thức. Các số a và d gọi là ngoại tỷ, b và c gọi là trung tỷ. 2. Tính chất: a. Tính chất 1: Nếu. a c  thì a.d = b.c b d. b. Tính chất 2: Nếu a,d = c.d ( a,b,c,d khác 0) thì: a c b d a b c d  ;  ;  ;  b d a c c d a b. c. Tính chất 3: a, b,. a c ac ac  =  (b ≠  d ) b d bd bd a c m acm acm  =   (Các mẫu số khác 0). b d n bd n bd n. * Bài tập: Dạng 1: Lập tỷ lệ thức Bài 1: Các tỷ số sau đây có lập thành tỷ lệ thức hay không: a,( - 0,3 ) : ( 2,7 ) và ( -1,71) : 15,39 có lập thành tỷ lệ thức hay không : GV: Lop7.net. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Đề tài sáng kiến kinh nghệm b, 4,86: ( -11,34) và ( -9,3) : 21,6 Giải: a, có ( 0,3) : 2,7 . 3 1  27 7. (- 1,71 ) : 15,39 . 1, 71 1  vậy ( - 0,3 ) : ( 2,7 ) = ( -1,71) : 15,39 1539 9. Suy ra các tỷ số ,( - 0,3 ) : ( 2,7 ) và ( -1,71) : 15,39 lập thành tỷ lệ thức b, Tac có : 4,81 : ( 11,34 )  -9,3 : 21,6 . 486 3  1134 7. 93 31  vậy 4,86 : ( 11,34 )  -9,3 : 21,6 216 72. Nên các tỷ số đã cho không lập thành mootjt ỷ lệ thức. Bài 2: Lập tất cả các tỷ lệ thức có được từ đảng thức sau: a, 7 . ( -28 ) = (-49 ). 4 b, 0,36 . 4,25 = 0,9 . 17 Giải: a,Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức ta có: 7 . ( -28 ) = (-49 ). . 7 4 7 49 49 28 4 28  ;  ;  ;  49 28 4 28 7 4 7 49. b, Từ 0,36 . 4,25 = 0,9 . 17 áp dụng tính chất của tỷ lệ thức ta có: 0,36 1, 7 0, 26 0,9 0,9 4, 25 1, 7 4, 25  ;  ;  ;  0,9 4, 25 1, 7 4, 25 0.36 1, 7 0,36 0,9. Bài 3: Lập tất cả các tỷ lệ thức có thể có được từ các số sau: 5; 25; 125; 625 Giải: Ta có đẳng thức: 5.625 = 25.125 Từ đó ta có 5 tỷ lệ thức: 5 125 5 25 25 625 125 625  ;  ;  ;  25 625 1256 625 5 125 5 5. Bài tập vận dụng: 1/ Lập tất cả các dãy tỷ lệ thức có được từ đảng thức sau: .a, 6.6,3 = 9.42 .b, 0,24.1,61 = 0,84.0,46 2/ Lập tất cả các dãy tỷ lệt hức có thể được tuef tỷ lệ sau:. GV: Lop7.net. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Đề tài sáng kiến kinh nghệm 15 35  5,1 11, 4. 3/ Từ các tỷ số sau đây có thể lập thành tỷ lệ thức không? .a, 3,5 : 5, 25 và 2,1 : 3,5 .b, 39. 3 2 : 52 và 2,1 : 3,5 10 5. D¹ng 2: Cho tØ lÖ thøc, h·y suy ra tØ lÖ thøc kh¸c: a, VÝ dô: Cho tØ lÖ thøc:. a c  ; b d. h·y chøng minh ta cã tØ lÖ thøc sau: a c  ( gi¶ sö a ≠ b; c ≠ d; a,b,c,d ≠ 0 ) a b c d. b, C¸c c¸ch gi¶i: * C¸ch 1: §Ó chøng minh. a c  ta xét tường tích a.(c-d) và c.(a-b). a b c d. Ta cã: a.(c-d) = ac - ad. (1). c.(a-b) = ac - cb. (2). Ta l¹i cã:. a c   a.d = b.c (3) b d. Tõ (1), (2), (3)  a(c-d) = c(a-b) Do đó:. a c  a b c d. * Cách 2: Dùng phương pháp đặt a c  = K th× a = bK ; c = dK b d. Ta tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c tû sè:. a c  theo K ta cã: a b c d. a bK bK K    a  b bK  b b( K  1) K  1. GV: (1). Lop7.net. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Đề tài sáng kiến kinh nghệm c dK dK K    c  d dK  d d ( K  1) K  1. Tõ (1) vµ (2) . (2). a c  . a b c d. * C¸ch 3: Ho¸n vÞ c¸c trung tû cña tû lÖ thøc: a c a b  ta ®­îc  b d c d. ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng nhau ta ®­îc: a b a b   c d cd. Ho¸n vÞ c¸c trung tû cña. a a b a c   ta ®­îc . c cd a b c d. * C¸ch 4: tõ a c b d b d a b c d a c      .   1  1  b d a c a c a c a b c d. Từ 4 cách trên ta đi đến nhận xét. Để chứng minh tỷ lệ thức. a c  thường ta dùng 2 b d. phương pháp chính : Phương pháp 1: chứng tỏ rằng ad=bc. Phương pháp 2: Chứng tỏ 2 tỷ số. a c vµ cã cïng mét gi¸ trÞ. b d. Nếu trong đề tài đã cho trước một tỷ lệ thức khác thì ta đặt các giá trị của mội tỷ số ở tỷ lệ thức đã cho bằng K, rồi tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỷ lệ thức phải chứng minh theo K (c¸ch 2). Còng cã thÓ ta dïng c¸c tÝnh chÊt cña tû lÖ thøc nh­ng ho¸n vÞ các số hạng tính chất dãy tỷ số bằng nhau. Tính chất của đẳng thức để biến đổi tỷ lệ thức đã cho đến tỷ lệ thức phải chứng minh (cách 3 và 4). c, Bµi tËp vËn dông: Bµi 1: cho tû lÖ thøc sau. a c  b d. Hãy chứng minh rằng các tỷ lệ thức sau đây (giả thiết các tỷ lệ thức đều có nghĩa).. GV: Lop7.net. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Đề tài sáng kiến kinh nghệm a,. 2a  3b 2c  3d  2a  3b 2c  3d. b,. ad a 2  b 2  cd c 2  d 2 2. ab a 2  b2 c,  .  2 2  c  d . c d. Từ 4 cách giải ở ví dụ mà giáo viên đã ra, Học sinh có thể giải theo một cách, Giáo viên nhấn mạnh giải theo cách 2 và hưỡng dẫn học sinh cùng thực hiện. Gi¶i: §Æt a,. a c  = K th× a = bK vµ c = dK b d. 2a  3b 2bK  3b b(2 K  3) 2 K  3    (1). 2a  3b 2bK  3b b(2 K  3) 2 K  3. 2c  3d 2dK  3d d (2 K  3) 2 K  3    2c  3d 2dK  3d d (2 K  3) 2 K  3. Tõ (1) vµ (2) . (2).. 2a  3b 2c  3d  2a  3b 2c  3d. C©u: (b, c) häc sinh tù gi¶i. d, bµi tËp tù gi¶i: * Bµi 1: cho a, b, c, d ≠ 0 Tõ tû lÖ thøc a c ab cd  h·y suy ra tØ lÖ thøc  b d a c. . a ac  b bd. . ab a 2  b 2  cd c 2  d 2. * bµi 2: Chøng minh r»ng tû lÖ thøc: a 2  b 2 ab a c    . 2 2 c d cd b d. GV: Lop7.net. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Đề tài sáng kiến kinh nghệm * Bµi 3: Chøng minh r»ng tû lÖ thøc: ab ca   HÖ thøc a2 = bc. a b c a. - D¹ng 3: T×m c¸c sè ch­a biÕt khi biÕt c¸c tû lÖ thøc a, C¸ch gi¶i: * ¸p dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau. a c ac ac     ......... b d bd bd. * VËn dông tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n sè. a c am cK a : n     b d bm dK b : n. * Đặt tỷ lệ thức đã cho bằng K. tìm mối quan hệ của ẩn số qua K. b, VÝ dô: + VÝ dô 1: T×m 2 sè x, y biÕt:. x y  vµ x + y = 21 5 2. BiÕt: 7x = 3y vµ x – y = 16 Gi¶i: Tõ. x y  ¸p dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau ta cã: 5 2. x y x  y 21     3 Do đó: x = 5.3 = 15 ; y = 2.3 = 6. 5 2 5 2 7. Tõ 7x = 3y   x=. 7 3 3  7 4 1     y x x  y 16 4. 3.4 7.4  12 ; y =  28 . 1 1. VÝ dô 2:. GV: Lop7.net. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Đề tài sáng kiến kinh nghệm T×m c¸c sè x, y, z biÕt r»ng. x y y z  ;  vµ 2x + 3y – z = 186 3 4 5 7. Víi bµi nµy gi¸o viªn cho häc sinh nhËn thÊy. y y vµ ph¶i ®­a vÒ c¸c ph©n sè 4 5. ( hoÆc tØ sè) cã cïng chung mÉu sè lµ 20. VËy:. x y x y  hay  3.5 4.5 15 20. (1). y z y z    5 7 20 28. (2). Tương tự: Gi¶i:. Tõ gi¶i thiÕt:. x y y z   ; 15 20 20 28. Theo tÝnh chÊt b»ng nhau cña tØ lÖ thøc: x y z 2 x 3 y 2 x  3 y  z 186        3  x  45; y  60; z  84 15 20 28 30 60 30  60  28 62. c, Bµi tËp vËn dông: T×m c¸c sè x, y, z biÕt r»ng: x  z  2 y  z 1 x  y  3 1    y x z x yz. Gi¶i: ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng nhau ta cã: x  z  2 y  z 1 x  y  3 1 ( x  z  2)  ( y  z  1)  ( x  y  3)     = y x z x yz x yz. =. 2( x  y  z )  2 v× ( x + y + y ≠ 0 ). x yz. Do đó: x + y + z = 0,5  x + y = 0,5 – z. Tương tự tìm x + z và y + z; thay kết quả này vào đề bài ta được: 0,5  x  1 0,5  y  2 0,5  z  3   2. x y z. GV: Lop7.net. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Đề tài sáng kiến kinh nghệm Tøc lµ:. 1,5 0,5  y 2,5  z   2 x y z. 1 2. 5 6. VËy: x  ; y  ; z . 5 . 6. d, Bµi tËp tù gi¶i: Bµi 1: T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng: a,. a b c   vµ a + 2b - 3c = -20. 2 3 4. b,. a b b c  ;  vµ a – b + c = -49. 2 3 5 4. c,. a b c   vµ a 2  b 2  2c 2  108 . 2 3 4. Bµi 2: T×m c¸c sè x, y, z biÕt r»ng: a,. x y z   vµ 5x + y - 2z = 28. 10 6 21. b, 3x = 2y ; 7y = 5z vµ x – y + z = 32. c,. x y y z  ;  vµ 2x – 3y + z = 6. 3 4 3 5. d,. 2x 3y 4z   vµ x + y +z = 49. 3 4 5. e,. x 1 y  2 z  3   vµ 2x + 3y – z = 50. 2 3 4. g,. x y z   vµ xyz = 810. 2 3 5. D¹ng 4: Bài tập vận dụng tỷ lệ thức vào thực tiễn, đời sống con người, vào hình học …. a, VÝ dô 1: T×m sè ®o c¸c gãc cña tam gi¸c ABC biÕt r»ng sè ®o c¸c gãc nµy tû lÖ víi 2, 3, 4. Gi¶i: GV: Lop7.net. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Đề tài sáng kiến kinh nghệm . . . Số đo các góc của ABC là A ; B ; C . Giả sử theo thứ tự này, các góc đó tỉ lệ với 2,    3 vµ 4 nghÜa lµ A : B : C = 2 : 3 : 4 hay       A B C A  B  C 1800      200 2 3 4 23 4 9 . . . Do đó: A  400 ; B  600 ; C  800 b, VÝ dô 2: Một người đi A  B đã tính rằng nếu đi với vận tốc là 6km/h thì từ B lúc 11h45’. Vì rằng người đó chỉ đi được. 4 quãng đường với vận tốc định trước và quãng đường còn 5. lại chỉ đi với vận tốc 4,5km/h nên ddén B lúc 12h. Hỏi người đi bộ khởi hành lúc mấy giê vµ qu·ng ®­êng AB dµi bao nhiªu km ? Gi¶i: Gäi AC lµ qu·ng ®­êng ®i víi vËn tèc 6km/h. CB lµ qu·ng ®­êng ®i víi vËn tèc 4,5km/h. theo đề bài ta có:. A B. 1 AB, Giải sử để đi quãng đường CB với vận tốc 6km/h cần thời gianlà t1 giời. 5 Cßn ®i víi vËn tèc 4,5km/h víi thêi gian t2 giê. Ta cã:. CB =. t1 - t2 = 12h – 11h45 =. 1 (h) vµ 6 t1 = 4,5 t2 4. 1 h t t t t 3 1  2  1  2 1  4  h Từ đó  t2 = 1h; t1 = h 4 6 4,5 6  4,5 1,5 6. Qu·ng ®­êng Ab lµ : 4,5 . 5 = 22,5km Qu·ng ®­êng Cb lµ :. 3 .6 = 4,5km 4. Thời gian để đi bộ từ A  B là 4 t1 + t2 = 3h + 1h = 4h Thời gian khởi hành để đi bộ là 12 - 4 = 8h. GV: Lop7.net. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Đề tài sáng kiến kinh nghệm c, Bµi tËp tù gi¶i: * Bµi 1: Cã 16 tê giÊy b¹c lo¹i 2 000® ; 5 000® vµ 10 000®. TrÞ gi¸ mçi lo¹i tiÒn trªn đều như nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ ? * Bài 2: Trên một công trường xây dựng có 3 đội coong nhân làm việc. Biết rằng công nhân đội I bằng. 2 sè 3. 8 4 số công nhân đội II bằng số công nhân đội III. Biết rằng 11 5. số công nhân đội I ít hơn tổng số công nhân của đội I và đội II là 18 người. Tính số công nhân của mỗi đôi. * Các phương pháp được sử dụng - Tham khảo các tài liệu: đổi mới phương pháp dạy và học ở trường THCS, các phương pháp dạy học, sgk và bài tập toán 7, ôn luyện toán 7, nâng cao và phát triển toán. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. - Học hỏi kinh nghiệm của các đồng nghiệp. * Các biện pháp xử lí. - Ở đề tài nầy tôi hệ thống lại và bổ sung thêm một số lượng kiến thức và bài tập cho mỗi đơn vị kiến thức. Mỗi đơn vị kiến thức được trình bày riêng biệt đẻ tiện cho việc dạy. Khi dạy đối với mỗi kiến thức tôi dạy lý thuyết trước sau đó có ví dụ minh họa và bài tập kèm theo. Các bài tập dduocj phân chia thành từng dạng và cách giải cho từng dạng. Tất cả các phần kiến thức này tôi dạy vào thời gian thêm của lớp tại trường và dạy lồng ghép vào một số tiết học có liên quan đến đề tài. Sau mỗi phần tôi để cho học sinh kiểm tra nắm bắt ưu, nhược điểm của học sinh. * Phạm vi được thực hiện trong đề tài: Áp dụng tại nhà trường cho học sinh lớp 7. III/- Đánh giá hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm: 1. So sánh và đối chứng: * Khi chưa được áp dụng thử nghiệm sáng kiến kinh nghiệm : - Học sinh chưa hiểu và nắm bắt được kỹ năng giải toán tỷ lệ thức. - Ít quan tâm khi nghe giảng bài. - Học sinh chưa thể hiện được ý tưởng làm bài. - Chưa phát huy được khả năng tự học, tự sáng tạo - Chưa phát huy tính tích cực trong học tập. * Khi được áp dụng thử nghiệm sáng kiến kinh nghiệm : - Rất thích thú và phấn khởi khi được giải bài tập tỷ lệ thức. - Chủ động hỏi ý kiến giáo viên để lựa chọn bài tập phù hợp. GV: Lop7.net. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Đề tài sáng kiến kinh nghệm - Phát huy được tính sáng tạo, hăng say trong học tập. - Các em rất phấn khởi khi mình giải được bài tập. - Tiết học thoải mài và vui tươi hơn. 2. Hiệu quả giáo dục: - Giúp các em hiểu và nắm vững kiến thức tỷ lệ thức. - Giáo dục có hiệu quả giúp các em tự tin trong học toán. - Loại bỏ được sự nhút nhát rụt rè khi giải toán tỷ lệ thức. - Học sinh hình thành được ký năng giải toán tỷ lệt hức.. 3. Các số liệu chứng minh: Lớp. 7/1. Số HS Số HS giải được được khảo sát SL % 37 28 76. Số HS biết hướng nhưng không giải được SL % 7 19. Số HS không thể giải được SL 2. % 5. 4. Sáng kiến này đã được dạy vào thời gian thêm của lớp tại trường và dạy lồng ghép vào một số tiết học có liên quan đến đề tài.. IV/- Kết luận: 1. Tự đánh giá SKKN: - Với sụ nỗ lực không ngừng của cả giáo viên và học sinh. Cô trò tôi đã thu được nhưng kết quả đáng mừng. Trước tiên là tôi thấy học sinh hăng say học tập trong các giờ lên lớp cũng như các giờ ôn luyện học sinh khá, giỏi. Với học sinh lớp 7/1 mà tôi giảng dạy , các dạng toán trên liên quan đén tỷ lệ thức không còn là vấn đề đáng ngại nữa. Với đè tài này mặc dù trong quá trình làm bài tập một số em còn vướng mắc nhưng với sự gợi ý của tôi hầu hết các em có tiến bộ rõ rệt. Ngoài các bài toán trên các em còn có sưu tầm thêm các bài toán liên quan đén tỷ lệ thức ở các sách nâng cao để làm. 2. Bài học kinh nghiệm: Qua nhiều lần áp dụng đề tài này cần chú ý các vấn đề sau : - Để đỡ mất thời gian thực hiện ta nên cần giao nhiêm vụ giải bài tập cụ thể cho các em, giao cho các nhóm giải theo các dạng. - Giáo viên nên tham khảo nhiều hơn ý về các sách phương pháp dạy học đổi mới. GV: Lop7.net. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Đề tài sáng kiến kinh nghệm * Do điều kiện về thời gian và kinh nghiệm bản than chưa nhiều nên đề tài không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong các đồng nghiệp và hội đòng thẩm định các cấp góp ý góp ý kiến chân thành để đè tài của tôi được hoàn thiện.. Tôi xin chân thành cảm ơn! Nhận xét của HĐKH. Bắc Sơn, ngày 25 tháng 3 năm 2011 Người viết. Nguyễn Xuân Dũng Chủ tịch HĐKH. GV: Lop7.net. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>