skkn_giải một số bài toán dựa vào tính chất của tỷ lệ thức

Đề tài sáng kiến kinh nghệm
Phòng GD – ĐT Huyện Thuận Bắc CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Trường THCS Hà Huy Tập Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DỰA VÀO TÍNH CHẤT CỦA TỶ LỆ THỨC
Tên:
Chức vụ: Giáo viên. Dạy môn Toán 7
I/- Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến kinh nghiệm:
Toán học không những là môn khoa học có mặt hầu hết trong mọi lĩnh vực của đời
sống xã hội mà nó còn góp phần quan trọng trong phát triển chủ thuể xã hội đó là con
người. Là một giáo viên dạy toán 7 tôi nhận thấy đa phần học sinh lớp 7 ( kể cả học sinh có
năng lực ) từ việc tiếp thu kiến thức về lý thuyết tỷ lệ thức để vận dụng kiến thức đã học
vào việc giải bài tập học sinh còn lúng túng nhiều từ việc tìm ra hướng giải quyết đến việc
thực hiện các bước giải kể cả những bài tương đối đến khó.Hơn nữa bản thân tôi nhận thấy
kiến thức về tỷ lệ thức khá quan trọng trong việc tìm đọ dài đoạn thẳng, cạnh của một tam
giác trong, trong các tam giác đồng dạng…
Chính vì vậy sau khi học xong kiến thức tỷ lệ thức tôi đã trực tiếp khảo sát học sinh
lớp 7/1 ( lớp tôi trực tiếp giảng dạy ) ra đề bài một số dạng toán về kiến thức liên quan đến
tỷ lệ thức và kết quả như sau:
Lớp Số HS
được
khảo sát
Số HS giải
được
Số HS biết
hướng nhưng
không giải được
Số HS không thể
giải được
SL % SL % SL %
7/1 37 3 8 6 16 28 76

Để góp phần nâng cao chất lượng, giúp học sinh hình thành kỷ năng giải toán trong
trường THCS. Bản thân tôi đã nghiên cứu phần “ giải một số bài toán dựa vào tính chất
của tỷ lệ thức” chương trình lớp 7 nhằm hình thành năng lực giải toán cho học sinh THCS
Vì điều kiện thời gian cũng như trình độ kiến thức còn hạn chế nên tôi chỉ đi vào một số
vấn đề sau;
* Lý thuyết:
- Định nghĩa tỷ lệ thức
- Tính chất của tỷ lệ thức
* Bài tập:
- Lập tỷ lệ thức
- cho một tỷ lệ thức suy ra các tỷ lệ thức khác.
- Các bài toán thực tế trong đời sống liên quan đến tỷ lệ thức.

GV: 1
Đề tài sáng kiến kinh nghệm
II/- Quá trình thực hiện và các giải pháp:
Thời gian từ thang 8 năm 2010 đến hết tháng 2 năm 2011
Để đề tài đạt hiệu quả ta cần chú trọng tới phương pháp dạy khái niệm, tính chất, kiến thức
mới, phương pháp dạy tiết luyện tập. Ta cần thức hiện các bước sau;
Bước 1: Nhắc lại một cách hệ thống các nội dung ly thuyết đã học, sau đó mới mở
rộng cho phép khắc sâu lý thuyết thông qua kiểm tra miệng hoặc bài tập tập trác nghiệm
đúng sai với hệ thống từ đơn giản đến khó.
Bước 2: Cho học sinh trình bày bài tập ở nhà để kiểm tra học sinh về kỹ năng vân
dụng lý thuyết giải bài tập, kỹ năng tính toán, cách diễn đạt bằng lời, cách trình bày lời giải
bài toán. Phải chót lại cá vấn đề có tính giáo dục( phân tích cách giải đúng sai ở từng bài rồi
đưa ra cách giải thong minh, hợp lý, ngắn gọn hơn )
Bước 3: cho học sinh trình bày làm một bài tập mới theo chủ định của giáo viên nhằm
kiểm tra ngay sự hiểu biết của học sinh, khắc phục những sai xót học sinh mắc phải. Rèn
luyên ,ột kỹ năng hoặc một thuật toán nào đó cơ bản cho học sinh mà giáo viên cho là cần
thiết trong thời điểm này.

NỘI DUNG KIẾN THỨC NGHIÊN CỨU
*Lý thuyết:
1. Định nghĩa:
Tỷ lệ thức là một dẳng thức của hai tỷ số
a c
b d
=
hoặc a : b = c : d.
Trong đó các số a, b, c, d được gọi là số hạng của tỷ lệ thức. Các số a và d gọi là ngoại tỷ, b
và c gọi là trung tỷ.
2. Tính chất:
a. Tính chất 1: Nếu
a c
b d
=
thì a.d = b.c
b. Tính chất 2: Nếu a,d = c.d ( a,b,c,d khác 0) thì:

a c
b d
=
;
b d
a c
=
;
a b
c d
=
;

c d
a b
=
c. Tính chất 3: a,
a c
b d
=
=
a c a c
b d b d
+ −
=
+ −
(b ≠
d
±
)
b,
a c
b d
=
=
m a c m a c m
n b d n b d n
+ − − +
= =
+ − − +
(Các mẫu số khác 0).
* Bài tập:
Dạng 1: Lập tỷ lệ thức

Bài 1: Các tỷ số sau đây có lập thành tỷ lệ thức hay không:
a,( - 0,3 ) : ( 2,7 ) và ( -1,71) : 15,39 có lập thành tỷ lệ thức hay không :

GV: 2
Đề tài sáng kiến kinh nghệm
b, 4,86: ( -11,34) và ( -9,3) : 21,6
Giải:
a, có ( 0,3) : 2,7
3 1
27 7
− −
= =
(- 1,71 ) : 15,39
1,71 1
1539 9
− −
= =
vậy ( - 0,3 ) : ( 2,7 ) = ( -1,71) : 15,39
Suy ra các tỷ số ,( - 0,3 ) : ( 2,7 ) và ( -1,71) : 15,39 lập thành tỷ lệ thức
b, Tac có : 4,81 : ( 11,34 )
486 3
1134 7
− −
= =
-9,3 : 21,6
93 31
216 72
− −
= =
vậy 4,86 : ( 11,34 )

≠
-9,3 : 21,6
Nên các tỷ số đã cho không lập thành mootjt ỷ lệ thức.
Bài 2: Lập tất cả các tỷ lệ thức có được từ đảng thức sau:
a, 7 . ( -28 ) = (-49 ). 4
b, 0,36 . 4,25 = 0,9 . 17
Giải:
a,Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức ta có:
7 . ( -28 ) = (-49 ).
⇒
7 4 7 49 49 28 4 28
; ; ;
49 28 4 28 7 4 7 49
− − − −
= = = =
− − −
b, Từ 0,36 . 4,25 = 0,9 . 17 áp dụng tính chất của tỷ lệ thức ta có:
0,36 1,7 0,26 0,9 0,9 4,25 1,7 4,25
; ; ;
0,9 4,25 1,7 4,25 0.36 1,7 0,36 0,9
= = = =
Bài 3: Lập tất cả các tỷ lệ thức có thể có được từ các số sau: 5; 25; 125; 625
Giải:
Ta có đẳng thức: 5.625 = 25.125 Từ đó ta có 5 tỷ lệ thức:
5 125 5 25 25 625 125 625
; ; ;
25 625 1256 625 5 125 5 5
= = = =
Bài tập vận dụng:
1/ Lập tất cả các dãy tỷ lệ thức có được từ đảng thức sau:

.a, 6.6,3 = 9.42
.b, 0,24.1,61 = 0,84.0,46
2/ Lập tất cả các dãy tỷ lệt hức có thể được tuef tỷ lệ sau:

GV: 3
ti sỏng kin kinh nghm

15 35
5,1 11, 4

=
3/ T cỏc t s sau õy cú th lp thnh t l thc khụng?
.a, 3,5 : 5, 25 v 2,1 : 3,5
.b,
3 2
39 :52
10 5
v 2,1 : 3,5
Dạng 2: Cho tỉ lệ thức, hãy suy ra tỉ lệ thức khác:
a, Ví dụ: Cho tỉ lệ thức:
a c
b d
=
;
hãy chứng minh ta có tỉ lệ thức sau:
a c
a b c d
=

( giả sử a b; c d; a,b,c,d 0 )

b, Các cách giải:
* Cách 1: Để chứng minh
a c
a b c d
=

ta xét tờng tích a.(c-d) và c.(a-b).
Ta có: a.(c-d) = ac - ad (1)
c.(a-b) = ac - cb (2)
Ta lại có:
a c
b d
=


a.d = b.c (3)
Từ (1), (2), (3)

a(c-d) = c(a-b)
Do đó:
a c
a b c d
=

* Cách 2: Dùng phơng pháp đặt
a c
b d
=
= K thì a = bK ; c = dK
Ta tính giá trị của các tỷ số:

a c
a b c d
=

theo K ta có:
( 1) 1
a bK bK K
a b bK b b K K
= = =

(1)

GV: 4
ti sỏng kin kinh nghm
( 1) 1
c dK dK K
c d dK d d K K
= = =

(2)
Từ (1) và (2)


a c
a b c d
=

.
* Cách 3: Hoán vị các trung tỷ của tỷ lệ thức:
a c

b d
=
ta đợc
a b
c d
=
áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta đợc:
a b a b
c d c d

= =

Hoán vị các trung tỷ của
a a b
c c d

=

ta đợc
a c
a b c d
=

.
* Cách 4: từ
a c
b d
=

b d
a c
=



1 1
b d a b c d a c
a c a c a b c d

= = =

.
Từ 4 cách trên ta đi đến nhận xét. Để chứng minh tỷ lệ thức
a c
b d
=
thờng ta dùng 2 ph-
ơng pháp chính :
Phơng pháp 1: chứng tỏ rằng ad=bc.
Phơng pháp 2: Chứng tỏ 2 tỷ số
a
b
và
c
d
có cùng một giá trị.
Nếu trong đề tài đã cho trớc một tỷ lệ thức khác thì ta đặt các giá trị của mội tỷ số
ở tỷ lệ thức đã cho bằng K, rồi tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỷ lệ thức phải chứng minh

theo K (cách 2). Cũng có thể ta dùng các tính chất của tỷ lệ thức nhng hoán vị các số
hạng tính chất dãy tỷ số bằng nhau. Tính chất của đẳng thức để biến đổi tỷ lệ thức đã
cho đến tỷ lệ thức phải chứng minh (cách 3 và 4).
c, Bài tập vận dụng:
Bài 1: cho tỷ lệ thức sau
a c
b d
=
Hãy chứng minh rằng các tỷ lệ thức sau đây (giả thiết các tỷ lệ thức đều có nghĩa).
a,
2 3 2 3
2 3 2 3
a b c d
a b c d
+ +
=


GV: 5
ti sỏng kin kinh nghm
b,
2 2
2 2
ad a b
cd c d
+
=

c,
2

2 2
2 2
a b a b
c d c d
+ +

=

+ +

.
Từ 4 cách giải ở ví dụ mà giáo viên đã ra, Học sinh có thể giải theo một cách, Giáo
viên nhấn mạnh giải theo cách 2 và hỡng dẫn học sinh cùng thực hiện.
Giải:
Đặt
a c
b d
=
= K thì a = bK và c = dK
a,
2 3 2 3 (2 3) 2 3
2 3 2 3 (2 3) 2 3
a b bK b b K K
a b bK b b K K
+ + + +
= = =

(1).
2 3 2 3 (2 3) 2 3
2 3 2 3 (2 3) 2 3

c d dK d d K K
c d dK d d K K
+ + + +
= = =

(2).
Từ (1) và (2)


2 3 2 3
2 3 2 3
a b c d
a b c d
+ +
=

Câu: (b, c) học sinh tự giải.
d, bài tập tự giải:
* Bài 1: cho a, b, c, d 0 Từ tỷ lệ thức
a c
b d
=
hãy suy ra tỉ lệ thức
a b c d
a c
+ +
=


a a c

b b d
+
=
+


2 2
2 2
ab a b
cd c d
+
=
+
* bài 2: Chứng minh rằng tỷ lệ thức:
2 2
2 2
a b ab a c
c d cd b d
+
= =
+
.
* Bài 3: Chứng minh rằng tỷ lệ thức:
a b c a
a b c a
+ +
=

Hệ thức a
2
= bc.

GV: 6
ti sỏng kin kinh nghm
- Dạng 3: Tìm các số cha biết khi biết các tỷ lệ thức
a, Cách giải:
* áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau.

a c a c a c
b d b d b d
+
= = = =
+
* Vận dụng tính chất cơ bản của phân số.
:
:
a c am cK a n
b d bm dK b n
= = = =
* Đặt tỷ lệ thức đã cho bằng K. tìm mối quan hệ của ẩn số qua K.
b, Ví dụ:
+ Ví dụ 1:
Tìm 2 số x, y biết:
5 2
x y
=
và x + y = 21
Biết: 7x = 3y và x y = 16

Giải:
Từ
5 2
x y
=
áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có:
21
3
5 2 5 2 7
x y x y+
= = = =
+
Do đó: x = 5.3 = 15 ; y = 2.3 = 6.
Từ 7x = 3y


7 3 3 7 4 1
16 4y x x y

= = = =


x =
3.4
12
1
=

; y =
7.4

28
1
=

.
Ví dụ 2:
Tìm các số x, y, z biết rằng
;
3 4 5 7
x y y z
= =
và 2x + 3y z = 186
Với bài này giáo viên cho học sinh nhận thấy
4
y
và
5
y
phải đa về các phân số
( hoặc tỉ số) có cùng chung mẫu số là 20.

GV: 7
ti sỏng kin kinh nghm
Vậy:
3.5 4.5
x y
=
hay
15 20
x y

=
(1)
Tơng tự:
5 7 20 28
y z y z
= =
(2)
Giải:
Từ giải thiết:
15 20
x y
=
;
20 28
y z
=
Theo tính chất bằng nhau của tỉ lệ thức:
2 3 2 3 186
3 45; 60; 84
15 20 28 30 60 30 60 28 62
x y z x y x y z
x y z
+
= = = = = = = = = =
+
c, Bài tập vận dụng:
Tìm các số x, y, z biết rằng:
2 1 3 1x z y z x y
y x z x y z
+ + + + +

= = =
+ +
Giải:
áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có:
2 1 3 1 ( 2) ( 1) ( 3)x z y z x y x z y z x y
y x z x y z x y z
+ + + + + + + + + + + +
= = = =
+ + + +
=
=
2( )
2
x y z
x y z
+ +
=
+ +
vì ( x + y + y 0 ).
Do đó: x + y + z = 0,5

x + y = 0,5 z. Tơng tự tìm x + z và y + z; thay kết quả
này vào đề bài ta đợc:
0,5 1 0,5 2 0,5 3
2
x y z
x y z
+ +
= = =
.

Tức là:
1,5 0,5 2,5
2
y z
x y z

= = =
Vậy:
1 5 5
; ;
2 6 6
x y z

= = =
.
d, Bài tập tự giải:
Bài 1: Tìm các số a, b, c biết rằng:

GV: 8
ti sỏng kin kinh nghm
a,
2 3 4
a b c
= =
và a + 2b - 3c = -20.
b,
;
2 3 5 4
a b b c
= =

và a b + c = -49.
c,
2 3 4
a b c
= =
và
2 2 2
2 108a b c + =
.
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a,
10 6 21
x y z
= =
và 5x + y - 2z = 28.
b, 3x = 2y ; 7y = 5z và x y + z = 32.
c,
;
3 4 3 5
x y y z
= =
và 2x 3y + z = 6.
d,
2 3 4
3 4 5
x y z
= =
và x + y +z = 49.
e,
1 2 3

2 3 4
x y z
= =
và 2x + 3y z = 50.
g,
2 3 5
x y z
= =
và xyz = 810.
Dạng 4:
Bài tập vận dụng tỷ lệ thức vào thực tiễn, đời sống con ngời, vào hình học .
a, Ví dụ 1: Tìm số đo các góc của tam giác ABC biết rằng số đo các góc này tỷ lệ với
2, 3, 4.
Giải:
Số đo các góc của ABC là
A
)
;
B
)
;
C
)
. Giả sử theo thứ tự này, các góc đó tỉ lệ với 2,
3 và 4 nghĩa là
A
)
:
B
)

:
C
)
= 2 : 3 : 4 hay
0
0
180
20
2 3 4 2 3 4 9
A B C A B C+ +
= = = = =
+ +
) ) ) )
) )
Do đó:
0
40A =
)
;
0
60B =
)
;
0
80C =
)
b, Ví dụ 2:

GV: 9
ti sỏng kin kinh nghm

Một ngời đi A

B đã tính rằng nếu đi với vận tốc là 6km/h thì từ B lúc 11h45. Vì
rằng ngời đó chỉ đi đợc
4
5
quãng đờng với vận tốc định trớc và quãng đờng còn lại chỉ
đi với vận tốc 4,5km/h nên ddén B lúc 12h. Hỏi ngời đi bộ khởi hành lúc mấy giờ và
quãng đờng AB dài bao nhiêu km ?
Giải:
Gọi AC là quãng đờng đi với vận tốc 6km/h. CB là quãng đờng đi với vận tốc
4,5km/h. theo đề bài ta có:
A B
CB =
1
5
AB, Giải sử để đi quãng đờng CB với vận tốc 6km/h cần thời gianlà
1
t
giời.
Còn đi với vận tốc 4,5km/h với thời gian
2
t
giờ. Ta có:
1
t
-
2
t
= 12h 11h45 =

1
4
(h) và 6
1
t
= 4,5
2
t


2 1 2 1
1
1
4
6 4,5 6 4,5 1,5 6
h
t t t t
h

= = = =

Từ đó


2
t
= 1h;
1
t
=

3
4
h
Quãng đờng Ab là : 4,5 . 5 = 22,5km
Quãng đờng Cb là :
3
.6
4
= 4,5km
Thời gian để đi bộ từ A

B là 4
1
t
+
2
t
= 3h + 1h = 4h
Thời gian khởi hành để đi bộ là 12 - 4 = 8h.
c, Bài tập tự giải:
* Bài 1: Có 16 tờ giấy bạc loại 2 000
đ
; 5 000
đ
và 10 000
đ
. Trị giá mỗi loại tiền trên
đều nh nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ ?
* Bài 2: Trên một công trờng xây dựng có 3 đội coong nhân làm việc. Biết rằng
2

3
số
công nhân đội I bằng
8
11
số công nhân đội II bằng
4
5
số công nhân đội III. Biết rằng
số công nhân đội I ít hơn tổng số công nhân của đội I và đội II là 18 ngời. Tính số
công nhân của mỗi đôi.
* Cỏc phng phỏp c s dng

GV: 10
Đề tài sáng kiến kinh nghệm
- Tham khảo các tài liệu: đổi mới phương pháp dạy và học ở trường THCS, các
phương pháp dạy học, sgk và bài tập toán 7, ôn luyện toán 7, nâng cao và phát triển
toán.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
- Học hỏi kinh nghiệm của các đồng nghiệp.
* Các biện pháp xử lí.
- Ở đề tài nầy tôi hệ thống lại và bổ sung thêm một số lượng kiến thức và bài tập cho
mỗi đơn vị kiến thức. Mỗi đơn vị kiến thức được trình bày riêng biệt đẻ tiện cho việc dạy.
Khi dạy đối với mỗi kiến thức tôi dạy lý thuyết trước sau đó có ví dụ minh họa và
bài tập kèm theo. Các bài tập dduocj phân chia thành từng dạng và cách giải cho từng dạng.
Tất cả các phần kiến thức này tôi dạy vào thời gian thêm của lớp tại trường và dạy
lồng ghép vào một số tiết học có liên quan đến đề tài. Sau mỗi phần tôi để cho học sinh
kiểm tra nắm bắt ưu, nhược điểm của học sinh.
* Phạm vi được thực hiện trong đề tài: Áp dụng tại nhà trường cho học sinh lớp 7.
III/- Đánh giá hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm:

1. So sánh và đối chứng:
* Khi chưa được áp dụng thử nghiệm sáng kiến kinh nghiệm :
- Học sinh chưa hiểu và nắm bắt được kỹ năng giải toán tỷ lệ thức.
- Ít quan tâm khi nghe giảng bài.
- Học sinh chưa thể hiện được ý tưởng làm bài.
- Chưa phát huy được khả năng tự học, tự sáng tạo
- Chưa phát huy tính tích cực trong học tập.
* Khi được áp dụng thử nghiệm sáng kiến kinh nghiệm :
- Rất thích thú và phấn khởi khi được giải bài tập tỷ lệ thức.
- Chủ động hỏi ý kiến giáo viên để lựa chọn bài tập phù hợp.
- Phát huy được tính sáng tạo, hăng say trong học tập.
- Các em rất phấn khởi khi mình giải được bài tập.
- Tiết học thoải mài và vui tươi hơn.
2. Hiệu quả giáo dục:
- Giúp các em hiểu và nắm vững kiến thức tỷ lệ thức.
- Giáo dục có hiệu quả giúp các em tự tin trong học toán.
- Loại bỏ được sự nhút nhát rụt rè khi giải toán tỷ lệ thức.
- Học sinh hình thành được ký năng giải toán tỷ lệt hức

GV: 11
Đề tài sáng kiến kinh nghệm
3. Các số liệu chứng minh:

Lớp Số HS
được
khảo sát
Số HS giải
được
Số HS biết
hướng nhưng

không giải được
Số HS không thể
giải được
SL % SL % SL %
7/1 37 28 76 7 19 2 5
4. Sáng kiến này đã được dạy vào thời gian thêm của lớp tại trường và dạy lồng ghép
vào một số tiết học có liên quan đến đề tài.
IV/- Kết luận:
1. Tự đánh giá SKKN:
- Với sụ nỗ lực không ngừng của cả giáo viên và học sinh. Cô trò tôi đã thu được
nhưng kết quả đáng mừng. Trước tiên là tôi thấy học sinh hăng say học tập trong các
giờ lên lớp cũng như các giờ ôn luyện học sinh khá, giỏi. Với học sinh lớp 7/1 mà tôi
giảng dạy , các dạng toán trên liên quan đén tỷ lệ thức không còn là vấn đề đáng ngại
nữa. Với đè tài này mặc dù trong quá trình làm bài tập một số em còn vướng mắc
nhưng với sự gợi ý của tôi hầu hết các em có tiến bộ rõ rệt. Ngoài các bài toán trên
các em còn có sưu tầm thêm các bài toán liên quan đén tỷ lệ thức ở các sách nâng cao
để làm.
2. Bài học kinh nghiệm:
Qua nhiều lần áp dụng đề tài này cần chú ý các vấn đề sau :
- Để đỡ mất thời gian thực hiện ta nên cần giao nhiêm vụ giải bài tập cụ thể cho các
em, giao cho các nhóm giải theo các dạng.
- Giáo viên nên tham khảo nhiều hơn ý về các sách phương pháp dạy học đổi mới.
* Do điều kiện về thời gian và kinh nghiệm bản than chưa nhiều nên đề tài không thể
tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong các đồng nghiệp và hội đòng thẩm định các cấp
góp ý góp ý kiến chân thành để đè tài của tôi được hoàn thiện
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Nhận xét của HĐKH


Bắc Sơn, ngày 25 tháng 3 năm 2011

Người viết

GV: 12
Đề tài sáng kiến kinh nghệm
Chủ tịch HĐKH
Nguyễn Xuân Dũng

GV: 13