Phương pháp giải các dạng bài toán phương trình mặt phẳng

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian. Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 .  . . PP GIẢI CÁC DẠNG BT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Để viết pt măt phẳng em có 2 cách cơ bản : <1>. Xác định 1 điểm và 1 VTPT <2>. Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D. Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt các dạng đề bài sau:. - PT mp (P) đi qua A và có VTPT n P= a = [ AB , AC ] Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và  (Q). Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT n =(A;B;C) A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0  Ax + By + Cz + D = 0 Dạng 2: Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và // mp (Q). - Tính VTPT n Q của mp (Q); VTCP u d của đường thẳng (d).. .  . . - Tính AB , vtpt n Q và tính [ AB , n Q].  . . - Vì A, B  (P) ; (Q)  (P) nên chọn n P=[ AB , n Q] - Viết ptmp (P) Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ;  (Q) và // với dt (d). . . .  . - Tính [ u d, n Q]. .  . - Vì (P)  (Q) và // (d) nên VTPT n P = [ u d, n Q] - Từ đó viết được PT mp (p) Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB..    - Vì (P) // (Q)  VTPT n P = n Q = (A;B;C)  - PT mp (P) đi qua A và có VTPT n P - Từ ptmp(Q)  VTPT n Q = (A;B;C). . - Tình trung điểm I của ABvà AB. . - Mp (P) đi qua I và nhận AB làm VTPT. Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A. Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đường thẳng d. .  - Từ (d)  VTCP u d = (A;B;C). - Tính VTCP u d của đường thẳng (d) và tìm điểm M (d). . . .   - Vì (P) vuông góc với (d)  Chọn VTPT n P= u d =(A;B;C)   Viết ptmp (P) đi qua A và có vtpt n P. Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và  (Q) ,  (R)   - Từ pt mp (Q) và (R)  VTPT n Q ; VTPT n R     - Vì (P)  (Q) và  (R)  VTPT n P  nQ và n P  n R     Chọn n P = [ n Q; n R]    - Vậy pt mp (P) đi qua A và có VTPT n P = [ n Q; n R]. - Tính AM và [ u d, AM ]. Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng. - Từ (Q)  VTPT n Q và tính [ u d, n Q]. . . . - Ptmp (P) đi qua A và có VTPT n P =[ u d, AM ]. Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // (  ). . - Từ (d)  VTCP u d và điểm M  (d). . . . - Từ (  )  VTCP u  và tính [ u d, u  ]. . . . - PT mp (P) đi qua M và có VTPT n = [ u d, u  ]. Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và  (Q). . - Từ (d)  VTCP u d và điểm M  (d). .      - Tính AB , AC và a = [ AB , AC ]. . . 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian . . . - PT mp (P) đi qua M và có VTPT n =[ u d, n Q]. Dạng 12: Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h - Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0 ( theo pt của mp (Q) , trong đó D  DQ) - Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D - Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm. Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h. . - Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0. . - Từ (d)  VTCP u d và điểm M  (d). . . - Vì (d) nằm trong (P)  u d. n P=0 (1) - PT mp (p) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 - d(A,(P)) = h (2) - Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). Dạng 14: Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc   900. . - Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0. . - Từ (d)  VTCP u d và điểm M  (d). Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 - Tính sin ((P),(  )) (2) - Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất - Gọi H là hình chiếu  của A lên (d) - Ta có : d(A,(P)) = AK  AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên) Do đó d(A(P)) max  AK = AH  K  H - Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt của mp (Q) , trong đó D'  DQ). - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R  tìm được D' - Từ đó ta có Pt (P) cần tìm Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước). - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S =.   - Vì d  (P)  u d. n P=0 (1).  r 2 tính r.. - Từ (d)  VTCP u d và điểm M  (d). - d(I,(P)) = R  r (1) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt của mp (Q) , trong đó D'  DQ) - Suy ra d (I,(P)) (2)  Giải hệ (1), (2) tìm được D'  viết được pt (P). Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S). - Vì d  (P)  u d. n P=0 (1). - Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0. 2. - Tính cos ((P),(Q)) (2) - Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). Dạng 15: Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt(  )một góc   900. . - Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0. . . . 2. . 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian. Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200. . . - Từ (d)  VTCP u d và điểm M  (d). . Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP u =(a,b,c). . - d  (P)  u d. n P=0 (1) - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2) - Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C  PT mp(P). Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trước) - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S =. . .  r 2 tính r.. * Chú ý : Nếu cả a, b, c  0 thì (d) có PT chính tắc. x  x0 y  y0 z  z0   a b c * Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) thì cần phải biết 2 yếu tố đó là tọa độ một điểm thuộc d và toạ độ VTCP của d. Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B. - Vì d  (P)  u d. n P=0 (1).  - Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0, chọn M trên đường thẳng d. =>PT mp (P) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 - Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2) - Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C  PT mp(P). Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất .(áp dụng trường hợp d cắt (S) tại 2 điểm). - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Bán kính r =.  x  x0  at  PP: phương trình tham số của d là (d):  y  y0  bt với t  R  z  z  ct 0 . . - Tính AB. . - Viết PT đường thăng đi qua A, và nhận AB làm VTCP Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đường thẳng (  ).  - Từ pt(  )  VTCP u . . - Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận u  làm VTCP Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và  (P). . R 2  d 2 ( I ,( p)) để r min  d(I,(P)) max. - Tìm VTPT của mp(P) là n P. - Gọi H là hình chiếu  của I lên (d) ; K là hình chiếu  của I lên (P) - Ta có: d(I,(P))= IK  Ih ( tính chất đường vuông góc và đường xiên) - Do đó: d(I,(P)) max  AK = AH  K  H.  - PT mp(P) đi qua H và nhận IH làm VTPT. . . . . - Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP u d = n P Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d1),(d2).  . - Từ (d1),(d2)  VTCPd1, d 2là u1và u 2 => tính [ u1 , u2 ].. .  . - Vì (d)  (d1),(d2) nên có VTCP u d= [ u1 , u2 ]. .  . - Pt dt(d) đi qua A và có VTCP u d= [ u1 , u2 ]. PP GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Có 2 loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố và PT ChínhTắc.. Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp (P):Ax + By + Cz + D = 0 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian. Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 Cách 1 : - Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1. (Q):A'x + B'y + C'z + D' = 0.   - Từ (P) và (Q)  n P , n Q   - Tính [ n P , n Q] Ax + By + Cz +D =0 - Xét hệ  . ' ' ' ' A x  B y  C z  D  0 Chọn một nghiệm (x0; y0 ;z0) từ đó  Md    - Pt dt(d) đi qua M và có VTCP u d =[ n P , n Q].. - Tìm giao điểm B = ( )  d 2 - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2 : * Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1 * Viết pt mp (  ) qua A và chứa d1 * Đường thẳng cần tìm d =    Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp ( ) , cắt đường thẳng d' Cách 1 : - Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( ). Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P) Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P). - Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d' - Đường thẳng cần tìm d = ( P )  (Q ). - Hình chiếu cần tìm d' = (P)  (Q). Cách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( ). Cách 2: + Tìm A = d  ( P ) ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) ) + Lấy M d và xác định hình chiếu H của M lên (P) + Viết phương trình d' đi qua M, H. * Tìm B = ( P )  d '. Dạng 8: Viết pt đg thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d1, d2: Cách 1 *Viết pt mặt phẳng (  ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 * Tìm B = ( )  d 2 * Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2 : Viết pt mặt phẳng (  ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 Viết pt mặt phẳng (  ) đi qua điểm B và chứa đường thẳng d2. * Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 cho trước. - Tìm giao điểm A=d1 ( P ) và B=d2 ( P ) - Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d' tại giao điểm I của (P) và d'. * Tìm giao điểm I' = d' ( P ). . Đường thẳng cần tìm d =    Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3 - Viết phương trình mp (P) song song d1 và chứa d2 - Viết phương trình mp (Q) song song d1 và chứa d3 - Đường thẳng cần tìm d = ( P )  (Q ). . . . * Tìm VTCP u của d' và VTPT n của (P) và tính v  [u,n]. . * Viết ptđt d qua I và có VTCP v Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau d1, d2 : - Gọi M ( x0  at , y0  bt , z0  ct )  d1 ,. Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đường thẳng d1 và cắt d2. 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian. Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200. và N ( x0  a ' t ', y0  b ' t ', z0  c ' t ')  d 2 '. '. '. ( chú ý : nếu thay giả thiết là d tạo với mp(P) góc.  u.u P có sin    ) u . uP. là các chân đường vuông góc chung của d1, d2.    MN  d   MN .u1  0 1 - Ta có hệ       t, t ' . MN  d MN . u  0  2  2. Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 góc. - Thay t, t' tìm M, N. Viết ptđt đi qua M,N. ( Với cách 2 em tính thêm được khoảng cách MN, cũng chính là độ dài đường vuông góc) Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1,d2 . * Viết ptmp(Q) chứa d1 và vuông góc với mp(P) * Viết ptmp(R) chứa d2 và vuông góc với mp(P).   (00 ;900 ) .. - Tìm giao điểm B = ( )  d1. 0. 0. - Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.. . =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp u  (a; b; c) Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d1 góc.   (00 ;900 ) .. . - Gọi VTCP của d là u  (a; b; c), dk : a  b  c  0 2. 2. 2. . - Vì d(P) nên u.n p  0 => phương trình (1)..  u.u1 - Vì cos (d , d1 )     cos nên có phương trình (2). u . u1.  2 2 2 * Gọi VTCP của d là u  (a; b; c), dk : a  b  c  0 . * Vì d  d1  u.u1  0 =>phương trình (1). Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d.. 2.  u.u1 - Vì cos (d , d1 )     cos nên có phương trình (2). u . u1. 0.  u.u 2 Vì cos    => phương trình (2) u . u2. 2. .   (0 ;90 ) (= 30 , 45 , 60 ) 0. 2. - Vì d//(P) nên u.n p  0 => phương trình (1).. - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc 0. . - Gọi VTCP của d là u  (a; b; c), dk : a  b  c  0. * Đường thẳng d = (Q )  ( R ) Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d1 . - Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1.   (00 ;900 ) thì. - Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.. . =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp u  (a; b; c) Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vuông góc d1 và khoảng cách từ M đến d bằng h. 5 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian . * Gọi VTCP của d là u  (a; b; c), dk : a  b  c  0 2. 2. 2. . * Vì d  d1 nên u.n 1  0 => phương trình (1)..   [u , AM ] * Vì d ( M , d )  h   h => phương trình (2).  u *Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c..  =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp u  (a; b; c). PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Lập mặt phẳng P đi qua điểm M có véc tơ pháp tuyến n Ví dụ : Lập mặt phẳng P a) Đi qua điểm M 1, 2, 4  và song song với mặt phẳng : 2x+3y +5z-10=0 b) Đi qua điểm M( 0,2,-1 ) và vuông góc với đường thẳng d:. x 1 y  2 z 1   1 3 2. c) Đi qua M(1,0,-4 ) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng ( ):xyz10. :. 2xy3z70. Dạng 2: Lập mặt phẳng P đi qua điểm M ,có cặp vec tơ chỉ phương. Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 Ví dụ 1. Lập mặt phẳng P đi qua 3 điểm A(5,1,3), B(1,6,2), C(5,0,4) 2. Lập mặt phẳng P đi qua điểm M và đồng thời // với 2 đường thẳng chéo nhau cho sẵn Ví dụ :Cho 2 đường thẳng x  8  t 3  x y 1 z 1  d1 :  y  5  2t , d 2 :   7 2 3 z  8  t  a) Chứng tỏ hai đường thẳng đó chéo nhau b) Viét phương trình mặt phẳng P đi qua gốc toạ đọ O,// cả d1 , d 2. 3. Lập mặt phẳng P chứa một đường thẳng và // với một đường thẳng khác (hai đường thẳng này chéo nhau ) Ví dụ :(ĐHKA-2002) Cho  là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): x-2y+z-4=0 và (Q): x+2y-2z+4=0 , đường thẳng:. x 1 t  ' :  y  2  t t  R  z  1  2t  a) Lập mặt phẳng (R) ,chứa  và //' b) Tìm điểm H thuộc  sao cho MH đạt GTNN ,với M(2,1,4). 6 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian. Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200. Ví dụ 2: (ĐHKB-2006) Trong không gian OXYZ,cho hai đường thẳng x 1 t x y 1 z 1  d1 :   , d 2 :  y  1  2t t  R 2 1 1 z  2  t  1. Viết phương trình mặt phẳng qua A(0,1,2 ),đồng thời // với d1 , d 2 2. Tìm toạ độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho 3 điểm A,M,N thẳng hàng Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxyz , cho đường thẳng d có. TRong Oxyz cho hai đường thẳng. phương trình :. Ví dụ 1 (Bài 4.tr110-HH12NC) Cho điểm A(2,3,1) và hai đường thẳng :. x  2 y 1 z 1 và mặt phẳng P có phương   1 2 3. trình : x- y +3z +2 =0 1. Tìm toạ độ giao điểm M của d và P 2. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng P 4. Lập mặt phẳng chứa hai dường thẳng // hoặc cắt nhau: Ví dụ 1:( Bài6-Ôn chương III-tr110 -HHKG12NC ) Cho hai đường thẳng d  x  7  3t x 1 y  2 z  5    :  y  2  2t t  R d ' : 2  3 4  z  1  2t  a) Chứng minh d và d' đồng phẳng .Viết phương trình mặt phẳng P chứa chúng b) Tính thể tích tứ diện giới hạn bởi P và 3 mặt phẳng toạ độ c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên Ví dụ 2.(ĐHKD-2005). d1 :. x 1 y  2 z 1   d2 : 3 1 2. là giao tuyến của hai mặt phẳng. :x+y-z-2=0,và x+3y-12=0 a) Chứng minh d1,d2 // nhau .Viết phương trình P chứa hai đường thẳng d1,d2 b) Mặt phẳng Oxz cắt d1,d2 lần lượt tại A,B.Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ ) 5. Lập mặt phẳng đi qua một điểm và chứa một đương thẳng cho sẵn. x 2t x 5 y 2 z  d1 : y  2t t R d2 :   3  1 1 z  2t  a) Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A và d1 b) Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua A và d2 Ví dụ 2. Trong Oxyz cho điểm M(5,2,-3) và mặt phẳng P : 2x+2yz+1 = 0 a) Gọi M1,là hình chiếu vuông góc Mlên mặt phẳng P.Xác định toạ độ điểm M1 và tính độ dài đoạn MM1 b) Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua điểm M và chứa đường thẳng d :. x 1 y 1 z  5   2 1 6. 6. Lập mặt phẳng P,tiếp xúc với mặt cầu 7 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Ví dụ (Bài 87-tr137-BTHH12NC ) Trong Oxyz cho mặt cầu S có phương trình :. x2  y2  z2 10x 2y 26z 113 0 Và hai đường thẳng d x  7  3t x  5 y 1 z 13    d ':  y  1 2t t  R 2 3 2 z  8 . a) Viết phương trình mặt phẳng P tiếp xúc S và vuông góc với d b) Viết phương trình mặt phẳng Q tiếp xúc S và // với cả d và d' Ví dụ 2. (Bài 9-tr111-HH12NC ) Cho mặt cầu S có phương trình :. x2 y2 z2 2x4y6z0 1.Tìm toạ độ tâm ,bán kính mặt cầu 2.Tuỳ theo giá trị k ,xét vị trí tương đối của cầu S và mặt phẳng P : x+y-z+k=0 3. Mặt cầu S cắt 3 trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C khác với gốc O.Viết phương trình mặt phẳng ABC 4. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với cầu S tại B 5. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với cầu S và // với mặt phẳng Q có phương trình : 4x+3y-12z-1=0 ĐƯỜNG THẲNG . -Trước khi phân dạng lập phương trình đường thẳng các em cần chú ý đến khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳng : Là véc tơ có phương song song với đường thẳng. Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 -Vì vậy véc tơ này có thể là véc tơ chỉ phương của một đường thẳng khác song song với đường thẳng cần lập , hoặc là véc tơ pháp tuyến của một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cần lập . -Ngoài ra còn chú ý đến các quan hệ vuông góc , quan hệ song song của đường thẳng với đường thẳng , quan hệ vuông góc , song song của đường thẳng với mặt phẳng trong không gian . - Do đó trước khi tiến hành các bước lập phương trình đường thẳng chúng ta nên vẽ sơ bộ mô phỏng một hình vẽ ( không đòi hỏi phải chính xác ) , để từ hình vẽ ta tìm ra cách giải hợp lý . 1. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ chỉ phương u   a; b; c  . Ví dụ 1: ( Bài 6-tr89-HH12CBXB-2007) Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau :  a/ d đi qua M(5;4;1) và có véc tơ chỉ phương a   2; 3;1 . b/ d đi qua A(2;-1;3) và vuông góc với mặt phẳng   : x  y  z  5  0 .  x  1  2t c/ d đi qua B(2;0;-3) và song song với d’:  y  3  3t .  z  4t . d/ d đi qua hai điểm P(1;2;3) và Q(5;4;4) . 2. Lập đường thẳng d đi qua M  x0 ; y0 ; z0  , đồng thời cắt hai đường thẳng chéo nhau (cho sẵn : d1 , d 2 ). Ví dụ 1. .(Bài 29-tr103-HH12NC). 8 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian. Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200. LËp đường th¼ng d ®i qua A(1,-1,1) vµ c¾t hai đường th¼ng. Lập phương trình đường thẳng d song song với d1 đồng thới cắt d 2 , d3 ..  x  1  2t  d1 :  y  t t  R d2 : z  3  t . x  t '   y  1  2t ' t '  R z  2  t ' . Ví dụ 2( HVKTQS-2000) Cho hai đường thẳng :. x  1 t x y 1 z  6 Ví dụ 2. Cho : d1 :  và d 2 :  y  2  t  1 2 3 z  3  t  a/ Chứng tỏ d1 , d 2 chéo nhau. x y2 z4 x  8 y  6 z  10 . d:   ; d ':   1 1 2 2 1 1. b/ Viết phương trình đường thẳng d song song với trục Oz đồng thời cắt cả d1 , d 2. Viết phương trình đường thẳng (m) song song với trục Ox và cắt d với d’ tại M và N . Tìm tọa độ M,N .. Ví dụ 3. ( ĐH-KA-2007). x  3  t Ví dụ 3. Cho đường thẳng  :  y  1  2t z  4 .  x  1  2t x y 1 z  2 Cho đường thẳng d1 : và d 2 :  y  1  t .   2 1 1 z  3  a/ Chứng tỏ d1 , d 2 chéo nhau ..  t  R  và đường. thẳng  ' là giao tuyến của hai mặt phẳng : x-3y+z=0 và x+y-z+4=0 . Hãy viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1;1;2) đồng thới cắt  và  ' 3. Lập d song song với d1 đồng thới cắt d 2 , d3 cho sẵn . x  1 x 1 y  2 z  2 Ví dụ 1: Cho d1 :  y  2  4t , d 2 : và   1 4 3 z  1 t   x  4  5t '  d3 :  y  7  9t ' . z  t ' . b/ Lập phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Q): 7x+y-4z=0 và cắt hai đường thẳng d1 , d 2 4. Lập đường thẳng d đi qua M  0 ; y0 ; z0  , vuông góc với d1 và cắt d 2 ( với d1 , d 2 chéo nhau cho sẵn ) Ví dụ 1.(ĐH-KD-2006). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng : d1 :. x2 y  2 z 3 ,   2 1 1. d2 :. x 1 y 1 z 1   1 2 1. 9 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian. Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200. a/ Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1 . b/ Viết phương trình đường thẳng  đi qua A vuông góc với d1 và cắt d 2 .. Ví dụ 1. Lập phương trình đường thẳng đi qua M(1;2;-2) vuông góc và cắt đường thẳng d’: x=t;y=1-t;z=2t . . Ví dụ 2. (ĐH-KB-2004) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho điểm A(-4;2;4) và đường thẳng d có phương trình :. Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho hai đường thẳng :.  x  3  2t  t  R . Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua  y  1 t  z  1  4t . x  t x 1 y  2 z  d1 :   , d 2 :  y  1  2t và điểm M(3;2;1) . 3 1 1 z  t 1 . A vuông góc và cắt d . . Ví dụ 3.(ĐH- Thương mại -2001) Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2;-1;0) vuông góc. a/ Lập phương trình đường thẳng d đi qua M vuông góc với d1 và cắt d 2 b/ Tìm tọa độ điểm A thuộc d1 và điểm B thuộc d 2 sao cho M,A,B thẳng hàng .. 5x  y  z  2  0 .  x  y  2z  1  0. và cắt đường thẳng d’ có phương trình : . Ví dụ 3.(ĐH-Dược-98). Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho điểm  x  1 x 1 y  2 z  A(0;1;4) và hai đường thẳng d1 :   , d2 :  y  t . 3 1 1 z  1 t . Hãy lập phương trình đường thẳng d đi qua A vuông góc với d1 và cắt d 2 .. 5. Lập đường thẳng d đi qua M , đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d’ ( cho sẵn ). 6.Lập phương trình đường thẳng đi qua M ( thuộc mặt phẳng (P) ), nằm trong (P) và vuông góc với đường thẳng d’ ( cho sẵn ) . BÀI TOÁN Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d . Hãy lập phương trình đường thẳng d’ đi qua điểm A ( là giao của d với (P) ), nằm trong (P) và vuông góc với d . Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình : 2x+y+z-2=0 và đường thẳng d :. x 1 y z  2 .   2 1 3. 10 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian a/ Tìm tọa độ điểm M là giao của d với (P) b/ Viết phương trình đường thẳng  qua M vuông góc với d và nằm trong (P). Ví dụ 2.( ĐHCĐ- 97). Cho mặt phẳng (P) : x+2y-z+5=0 và đường thẳng d:. Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 mặt phẳng (P), biết đường thẳng này đi qua A và vuông góc với d . 7.Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M đồng thời vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau ( cho sẵn ). x  3 y 1 z  3 .   2 1 1. Ví dụ 1. Hãy lập phương trình đường thẳng  đi qua điểm A(-1;-3;0) đồng thời vuông góc với hai đường thẳng :. a/ Tìm tọa độ điểm M là giao của d với (P) b/ Viết phương trình đường thẳng  đi qua M , vuông góc với d và nằm trong mặt phẳng (P) .. x  1 t x 1 y z 1  d:   , d ': y  3 t  R  2 2 1  z  2  3t . Ví dụ 3.( ĐH-SPTPHCM-99) Cho mặt phẳng (P): 2x+y+z-1=0 và đường thẳng d :. Ví dụ 2. Lập phương trình đường thẳng  đi qua điểm M(1;1;2) và vuông góc với hai đường thẳng :. x 3 y 4 z 3 .   1 2 1. a/ Tìm tọa độ điểm N là giao của d với (P) b/ Viết phương trình của đường thẳng  vuông góc với d , đi qua N và nằm trong mặt phẳng (P) . . Ví dụ 4.( ĐH-KA-2005). Trong không gian với hệ trục vuông góc Oxyz cho đường thẳng d :. x 1 y  3 z  3 , và mặt phẳng (P): 2x+y-2z+9=0   1 2 1. . a/ Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2 b/ Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong.  x  y  3z  1  0 2x  y  2z  5  0 d : d ':  . 2x  y  9z  2  0 2x  2 y  z  2  0. 8. Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau (cho sẵn ) BÀI TOÁN Cho hai đường thẳng : d1 đi qua M 1 và có véc tơ chỉ phương   u1 . Đường thẳng d 2 đi qua M 2 và có véc tơ chỉ phương u2 . Lập phương trình đường thẳng  là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng đã cho . Ví dụ 1.(ĐHCS-2000). 11 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian x  1 t , Cho hai đường thẳng d1 :  y  0  z  5  t . Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200. x  0  d 2 :  y  4  2t '  z  5  3t ' . x  1 t ' x 1 y  2 z  d:   và d’:  y  3  2t ' 1 2 3 z  1 . Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’ .. a/ Chứng tỏ d1 , d 2 chéo nhau ? b/ Viết phương trình tham số của đường thẳng  ( là đường thẳng vuông góc chung của d1 , d 2 ).. Ví dụ 5.( Bài 77-tr135-BTHH12NC). Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau :. Ví dụ 2. ( Bài 7-tr111-BTHH12NC) Cho hai đường thẳng x  t  d :y  3 z  6  t . x  2  t '  d ':  y  1 t ' z  2  t ' . t, t ' R . Hãy viết phương trình chính tắc đường vuông góc chung của d và d’ .. x  1 t x  2 y  z  0 Cho hai đường thẳng : d :  y  2  2t và d ' :  . 2x  y  3z  5  0   z  3  3t . a/ Xét vị trí tương đối của d và d’ b/ Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d’ và tính d(d,d’) ? Ví dụ 4.( Bài 3.42-BTHH12CB). Cho hai đường thẳng :. x2 y 3 z  4 và   2 3 5 x 1 y  4 z  4 d ':   3 2 1 x  2  t  x  2  2t '   d ': y  3 b/ d :  y  1  t và  z  2t z  t '  . a/. Ví dụ 3. ( ĐHKTQD-98).. t '  R . d:. t, t '  R . 9. Lập phương trình hình chiếu của một đường thẳng lên một mặt phẳng ( theo phương chiếu cho sẵn ) a. Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên một mặt phẳng : b. Hình chiếu của đường thẳng d theo phương chiếu d’ trên mặt phẳng (P) cho sẵn Giống như cách phân tích trên , dựa vào định nghĩa phép chiếu song song thì đường thẳng d’’(là hình chiếu của d theo phương chiếu d’ trên (P) ) phải nằm trên mặt phẳng (Q) chứa d và song song với d’ . Do đó ta có cách giải sau : VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1.( Bài 27-tr103-HH12NC) 12 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian x  t Cho đường thẳng d :  y  8  4t  z  3  2t . Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 b/ Viết phương trình đường thẳng d’’ là hình chiếu của d trên (P) theo phương của Oz.  t  R  và mặt phẳng (P) :. BÀI TẬP TỔNG HỢP. x+y+z-7=0 . a/ Tìm véc tơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d b/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (P) c/ Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên (P) .. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Bài 1: Lập phương trình đường thẳng (d) trong các trường hợp sau :. Ví dụ 2. (HVCNBCVT-2001). Cho hai đường thẳng  : ':. x7 y 3 z 3 .   1 2 1. x  3 y 1 z 1 và   7 2 3. a/ Viết phương trình hình chiếu của  ' theo phương của  trên mặt phẳng (P)có phương trình : x+y+z+3=0 .   b/ Tìm điểm M thuộc (P) sao cho : MA  MB đạt GTNN . Biết A(3;1;1) và B(7;3;9). Ví dụ 3.( Bài 3-tr109-HH12NC) 2  x  t  3  11 Cho đường thẳng d :  y    t , và mặt phẳng (P) : x-3y+z3  z  t  . 1=0 . a/ Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P).. 1) (d) đi qua điểm M(1,0,1) và nhận a(3,2,3) làm VTCP 2) (d) đi qua 2 điểm A(1,0,-1) và B(2,-1,3) Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phương trình tổng quát của các giao tuyến của mặt phẳng (P) : x-3y+2z-6=0 và các mặt phẳng toạ độ Bài 3: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(2,3,-5) và song song với đường thẳng (d) có phương trình 3x  y  2 z  7  0 d  :  x  3 y  2z  3  0 Bài 4: Cho đường thẳng (D) và mặt phẳng (P) có phương trình là : 3x  y  4 z  1  0 d  :  và (P): x+y+z+1=0 2 x  3 y  z  7  0 Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng (t) đi qua A(1,1,1) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (D) Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3,0,0), B(0,6,0), C(0,0,9). Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó CHUYỂN DẠNG PHƯƠNG TRINH ĐƯỜNG THẲNG Bài 1:Tìm véc tơ chỉ phương của các đường thẳng sau x 1 y  2 z 1 1) (d ) :   3 4 3  x  y  4 z  10  0 2) d  :  2 x  4 y  z  6  0. 13 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian. Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200.  x  y  4 z  10  0 Bài 2:Cho đường thẳng (d) có phương trình : d  :  2 x  4 y  z  6  0 . Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng đó  x  y  4 z  10  0 Bài3:Cho đường thẳng (d) có phương trình : d  :  2 x  4 y  z  6  0 . Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng đó  x  t  Bài4:Cho đường thẳng (d) có phương trình : d  :  y  2  2t , t  R .  z  1  2t  Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng đó Bài5:Lập phương trình tham số, chính tắc và tổng quát của đường thẳng (d) đi qua điểm A(2,1,3) và vuông góc với mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau: 1) (P): x+2y+3z-4=0  x  4  3t1  t 2  x  1  t1   t1 , t 2  R 2) P  :  y  4  t1  2t 2 t 1 , t 2  R . 3) P  :  y  2  t 2  z  5  t  t z  3  t 1 2 2   Bài 6:Lập phương trình tham số, chính tắc và tổng quát của đường thẳng (d) đi qua điểm A(1,2,3) và song song với đường thẳng (D) cho bởi :  x  2  2t x  y  1  0  tR. 1) D  :  y  3t 2. D  :  4 x  z  1  0  z  3  t  Bài 7:Lập phương trình tham số, chính tắc và tổng quát của đường thẳng (d) đi qua điểm A(1,2,3) và vuông góc với 2 đường thẳng : 2x  y  2  0 x  y  4 z  10  0 d1  :  d 2  :  , 2 x  z  3  0 2 x  4 y  z  6  0 Bài8:Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số, chính tắc và tổng quát của đường thẳng (d) đi qua điểm A(3,2,1), song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng . Biết mặt phẳng (P): x+y+z-2=0. và. x  y  1  0 () :  4 y  z  1  0. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết: x  1  t  1) d  :  y  3  t , t  R (P): x-y+z+3=0 z  2  t .  x  12  4t  2) d  :  y  9  t , t  R z  1  t  3). d  : . (P): y+4z+17=0. 2 x  3 y  6 z  10  0. (P): y+4z+17=0 x  y  z  5  0 x  y  z  3  0 4) d  :  (P): x+y-2=0  y 1  0 Bài 2: hãy tính số đo góc tạo bởi đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) cho bởi :  x  1  t1  x  12  4t   1) d  :  y  9  3t (t  R) . và P  :  y  2  t 2 ( t 1 , t 2  R) . z  1  t z  3  t 2   2 x  3 y  6 z  10  0 2) d  :  x  y  z  5  0. 3).  x  1  2t  d  :  y  2  t , t  R   z  2  2t.  x  2  t1  t 2 P  :  y  1  2t 2  z  t 1 . ( t 1 , t 2  R). (P): x-2y+2z+3=0.. 14 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian. Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200. Bài 3: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) có x 1 y z  2 phương trình (P) :2x+y+z=0 và d  : .   2 1 3 1) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) . 2) Lập phương trình đường thẳng (d1) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P) . Bài 4: (ĐH Khối A-2002): Trong không gian 0xyz ,cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (dm) có phương trình : (P) :2x-y+2=0 , (2m  1) x  (1  m) y  m  1  0 d m  :  xác định m để (dm)//(P) mx  (2m  1) z  4m  2  0 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Bài 1: sử dụng tích hỗn tạp xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình cho bởi:  x  3  2t 4 x  y  19  0  d 2  :  1) d1  :  y  2  3t t  R ,  x  z  15  0  z  6  4t   x  1  2t x  u  2   t  R , d 2  :  y  3  2u 2) d1  :  y  2  t  z  3  3t  z  3u  1   3x  y  z  3  0 , d 2  :  x  y  z  1  0 2 x  y  1  0 Bài 2: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :  x  3  2t1  x  5  2t  d1  :  y  1  t , d 2  :  y  3  t1 t, t 1  R  z  5  t z  1  t 1   1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) song song với nhau . 2) Viết phương trình đường thẳng (d) song song ,cách đều (d1),(d2) và thuộc mặt phẳng chứa (d1),(d2) . Bài 3: Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :. 3). d1  : . 2x  y  1  0. d1  : x  7 . y 5 z 9 x y  4 z  18 , d 2  :    3 1 4 3 1 4 1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) song song với nhau . 2) Viết phương trình đường thẳng (d) song song ,cách đều (d1),(d2) và thuộc mặt phẳng chứa (d1),(d2). Bài 4: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :  x  3  2t 4 x  y  19  0 d1  :  y  2  t t  R , d 2  :   x  z  15  0  z  6  4t  1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) cắt nhau . 2) Viết phương trình đường phân giác của (d1),(d2) Bài5: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :  x  1  t x 1 y  2 z  4 d 2  :  y  t t  R  d1  :   2 1 3  z  2  3t  1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) cắt nhau. 2) Viết phương trình đường phân giác của (d1),(d2) Bài 6: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :  x  2t1 x  1  t   d1  :  y  t t, t 1  R  , d 2  :  y  1  t1  z  1 z  t 1   1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau. 2) Viết phương trìnhmặt phẳng(P) song song ,cách đều (d1),(d2) . Bài 7: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi : x  8z  23  0 x  2z  3  0 d1 :  , d 2  :   y - 4z  10  0  y  2z  2  0 1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau.. 15 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian 2) Viết phương trìnhmặt phẳng(P) song song, cách đều (d1),(d2) . Bài8: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi : x  2y  z  0 d1  : x  1  y  2  z  3 d 2  :  1 2 3 2 x  y  3 z  5  0 1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau. 2) Viết phương trình mặt phẳng(P) song song, cách đều (d1),(d2) HAI ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG PHẲNG & BÀI TẬP LIÊN QUAN Bài 1: (ĐHBK-TPHCM-93): Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2) ,biết: d1  : x  1  y  1  z  3 d 2  : x  y  1  z  3 3 2 2 1 1 2 Bài 2: (ĐHSPII-2000): Cho điểm A(1,-1,1) và hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi : x  t 3x - y - z  3  0 d 2  :  y  1  2t t  R  d1  :  2x - y  1  0  z  3t  CMR (d1),(d2) và điểm A cùng thuộc mặt phẳng. Bài 3: Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi : 2x  y  1  0 3x  y  z  3  0 d1 :  d 2  :  x - y  z  1  0 2 x  y  1  0 1) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau. 2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2). 3) Viết phương trình đường phân giác của(d1),(d2) Bài 4: Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi : d1  : x  2  y  1  z  1 1 2 1  x  1  2t d 2  :  y  t  2 t  R   z  1  3t  1) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó.. Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2). 3) Viết phương trình đường phân giác của(d1),(d2) Bài5: cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi : 4x  y  2  0 d1  : x  3  y  1  z  2 , d 2  :  1 4 3 3x  z  0 1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) song song với nhau. 2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2). 3) Viết phương trình đường thẳng (d) trong (P) song song cách đều (d1),(d2) . HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ BÀI TẬP LIÊN QUAN Bài 1: (ĐHNN-96): cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho  x  1  t1  x  7  3t  d 2  :  y  9  2t1 t, t 1  R  bởi : d1  :  y  4  2t  z  4  3t  z  12  t 1   1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau. 2) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d1),(d2) . Bài 2: (ĐHTCKT-96): Trong không gian 0xyz , cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi : (d1): x=-y+1=z-1, (d2): -x+1=y-1=z Tìm toạ độ điểm A1 thuộc (d1) và toạ độ điểm A2 thuộc (d2) để đường thẳng A1A2 vuông góc với (d1) và vuông góc với (d2) . Bài 3: (ĐH L 1996) Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :  x  2t1 x  1  t   d1  :  y  t t, t 1  R  , d 2  :  y  1  t1  z  1 z  t 1   1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau.Viết phương trình mặt phẳng (P),(Q) song song với nhau và lần lượt chứa (d1),(d2) 2) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2) .. 16 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Bài 4: (ĐHTS-96): Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho  x  1  3t 3x  2 y  8  0  bởi : d1  :  y  3  2t t  R  d 2  :  5 x  2 z  12  0 z  2  1  1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau. Tính khoảng cách giữa (d1),(d2) 2) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d1),(d2) . Bài 5: : (PVBC 99) Cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết:. d1  : x  1 . y 1 z  2 d 2  : x  2  y  2  z  2 3 1 2 5 2 1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau. 2) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d1),(d2) . Bài 6: (ĐHSPQui Nhơn-D-96): cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết:  x  1  3t x  y  0 d 2  :  y  t t  R  : d1  :  x - y  z  4  0 z  2  t  1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau. 2) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2) Bài 7: : cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết: d1  : x  7  y  3  z  9 d 2  : x  3  y  1  z  1 1 2 1 7 2 3 1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau. 2) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d1),(d2) . Bài 8: (ĐH Huế 1998) Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :  x  2  21 t x  1  d1  :  y  1  t1 , d 2  :  y  1  t 2 t 1 , t 2  R  z  1 z  3  t 2   1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau. 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và song song với (d2) . 3) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2) .. Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 Bài 9: (ĐHNN-97): Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :  x  2  2t x  y  2z  0 d 2  :  y  5t t  R  d1 :  x - y  z  1  0 z  2  t  1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau. 2) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2) . 3) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1,1,1) và cắt đồng thời (d1),(d2) . Bài 10: (ĐHKT-98): Cho tứ diện SABC với các đỉnh S(-2,2,4), A(2,2,0) ,B(-5,2,0) ,C(-2,1,1). Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối SA và SB. Bài 1: (ĐHSP TPHCM-95): Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0,1,1) và vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt (d2) ,biết : x yz20 d 2  :  d1  : x  1  y  2  z 3 1 1 x  1  0 Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1,1,1) và vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt (d2) ,biết : x  y  z -3  0 x  2 y  2z  9  0 d1 :  d 2  :  y  z - 1  0 y  z 1  0 Bài 3: Viết phương trình đường thẳng cắt cả ba đường thẳng (d1) (d2) , (d3) và vuông góc với vectơ u 1,2,3 , biết: x - y 1  0 x  y 1  0 x  y 1  0 d 2  :  d 3  :  d1 :  z  1  0 z  0 z  1 Bài 4: Tìm tất cả các đường thẳng cắt (d1), (d2) dưới cùng một góc , biết: mx - y  0 mx  y  0 d 2  :  d1  :  z  a  z  a Bài 5: (ĐHTL-97):Viết phương trình đường thẳng đi qua A(3,-2,-4) song song với mặt phẳng (P) :3x-2y-3z-7=0 và cắt đường thẳng (d) biết: 17 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian. d : x 3 2  y24  z 2 1 Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1,2,3) và cắt cả hai đường thẳng (d1) ,(d2): x  2z  3  0 x  8z  23  0 d 2  :  1) d1  :   y - 4z  10  0  y  2z  2  0.  x  1  3t d 2  :  y  3  2t t  R  z  2  t  Bài 2: (ĐHTCKT 1999) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(1,1,-2) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (d): d  : x  1  y  1  z  2 (P) : x - y - z - 1  0 2 1 3 Bài1: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1,2,3) và cắt cả hai đường thẳng x  2z  3  0 x  8z  23  0 d 2  :  1) d1  :   y - 4z  10  0  y  2z  2  0 x  2y  z  0 x 1 y  2 z  3 d 2  :  2) d1  :   1 2 3 2 x  y  3 z  5  0 Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ và cắt cả hai đường thẳng:  x  1  2t x  u  2  d1  :  y  2  t d 2  :  y  3  2u tR,  z  3  3t  z  3u  1   3x  2 y  8  0 2) d1  :  5 x  2 z  12  0. Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 Bài 3: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng x  y  2z  0 () và cắt cả hai đường thẳng:   :  x  y  z  1  0. x  2  t x  2z  2  0 d1  :  y  1  t t  R d 2  :  y  3  0  z  2t  Bài 4: (ĐHDL-97): Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1,-1,0) x y 1 z 1 d 2  : x  1  y  z và cắt cả hai đường thẳng: d1  :   1 1 2 1 2 1 Bài 5: (ĐHTS-99): Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1,-1,0) và cắt cả hai đường thẳng:  x  1  3t 3x - 2y - 8  0 d 2  :  y  3  2t t  R  d1  :  5x  2z - 12  0 z  2  t  Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (P) :x+y+z2=0 và cắt cả hai đường thẳng (d1) và (d2): x  2  t x  2z  2  0 d1  :  y  1  t t  R d 2  :  y  3  0  z  2t  Bài 7: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ và cắt cả 2 đường thẳng (d1) và (d2):  x  2t  1 x  u  2  d1  :  y  t  2 t  R d 2  :  y  3  2u  z  3t  3  z  3u  1  3  0   Bài 1: (ĐHQG TPHCM 1998) Trong không gian với hệ trục toạ độ trực chuẩn 0xyz ,cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :. 18 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian x  z  3  0 (P):x+y+z-3=0 và d  :  Lập phương trình hình chiếu 2 y  3 z  0 vuông góc của đường thẳng (d) lên (Q). Bài 2: Lập phương trình hình chiếu vuông góc của giao tuyến (d) của hai mặt phẳng 3x-y+z-2=0 và x+4y-5=0 lên mặt phẳng 2x-z+7=0. Bài3: (ĐHMĐC-98) :Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình : d : 4x  y 3 4  z21 và (P): x-y+3z+8=0. Hãy viết phương trình chính tắc hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) . Bài4: Trong không gian 0xyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (Q) có phương trình :  x  4  3t1  t 2 3x - 2y  z - 3  0 Q  :  y  4  t1  2t 2 t 1 , t 2  R  d : x - 2z  0   z  5  t  t 1 2  Lập phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lên (Q) . Bài5: Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (Q) có phương trình : - y  z 1  0 d : 2x (Q): x-y+z+10=0 x  2y - z - 3  0 Hãy viết phương trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d1) của (d) lên (P) . Bài6: (ĐH Càn Thơ 1998) Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình : d : x 1 1  y 2 2  z 3 1 và (P): x+y+z+1=0. Hãy viết phương trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d1) của (d) lên (P) . Bài7: (HVQY-95): Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình : d : x 1 1  y 2 2  z 3 1 và (P): x+y+z+1=0.. Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 1) Hãy viết phương trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d1) của (d) lên (Oxy) . 2) CMR khi m thay đổi đường thẳng (d1) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định trong mặt phẳng 0xy. Bài8: (ĐHQG-98): Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình : (P):x+y-z+1=0 2y - z  1  0 3 y  z  12  0 d 2  :  d1  :  x  2y  0 x  z  2  0 1) Hãy viết phương trình hình chiếu vuông góc (1), (2) của (d1), (d2) lên (P) .Tìm toạ độ giao điểm I của (d1), (d2). 2) Víêt phương trình mặt phẳng P1  chứa (d1) và vuông góc với (P). BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM A. LÝ THUYẾT CHUNG 1. Nếu điểm M(x;y;z) thuộc đường (C ): y=f(x;y;z) thì tọa độ của điểm phải thỏa mãn phương trình của đường . 2. Khoảng cách : - Nắm vững công thức tính khoảng cách giữa hai điểm - Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng , đến một mặt phẳng 3. Thuộc các dấu hiệu nhận dạng tam giác : cân , vuông , đều . Các tính chất của đường trung tuyến , phân giác trong của góc tam giác , tính chất trọng tâm , trực tâm của tam giác 4. Nhớ các tính chất của đường tròn : Đường kính đi qua điểm giữa của một dây cung , tiếp tuyến kẻ từ một điểm nằm ngoài đường tròn tới đường tròn , dấu hiệu nhận biết về vị trí tương đối của hai đường tròn . Đặc biệt nhớ tính chất vị tự của đường tròn trong hình học lớp 11. B. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. ( KA-2002) Câu IV-2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng. 19 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian x  1 t x  2 y  z  4  0  1 :  ; 2 :  y  2  t  x  2 y  2z  4  0  z  1  2t  a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 1 và song song với đường thẳng  2 . b/ Cho điểm M(2;1;4) . Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng  2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất ? Ví dụ 2..(ĐHKA-2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d:. x 1 y  3 z  3   1 2 1. vµ mÆt ph¼ng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0. a.Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt ph¼ng (P) b»ng 2 b.Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng  nằm trong mặt ph¼ng (P), biÕt  ®i qua A vµ vu«ng gãc víi d. Vi dụ 3.(ĐHKD-2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai ®­êng th¼ng:. x 1 y  2 z 1 vµ d2 la giao tuyến của 2 mặt phẳng   3 1 2 ( ) : x  y  z  2  0 ; (  ) : x  3 y  12  0. d1:. a.Chứng minh rằng: d1 và d2 song song với nhau. Viết phương tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa c¶ hai ®­êng th¼ng d1 vµ d2 b.Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích OAB (O là gốc toạ độ). Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 Vi dụ 4. ( ĐHKB-2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 2) và hai ®­êng th¼ng :. x y 1 z 1  d1:  2 1 1. x  1  t  d2:  y  1  2t z  2  t . a.Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song víi d1 vµ d2. b.Tìm toạ độ các điểm M  d1, N  d2 sao cho ba điểm A, M, N th¼ng hµng Ví dụ 5.(ĐHKA-2009) Trong gian hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x-2y+2z-1=0 và hai đường thẳng có phương trình : x 1 y z  9 x 1 y  3 z 1 . Xác định tọa độ điểm 1 :   ; 2 :   1 1 6 2 1 2 M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng  2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau . Ví dụ 6. (ĐHKB-2009). A. Theo chương trình chuẩn . * Trong không gian tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1),B(-2;1;3), C(2;-1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) . B. Theo chương trình nâng cao . Trong không gian tọa độ Oxyz ,cho mặt phẳng (P):x-2y+2z-5=0 và hai điểm A(-3;0;1) B(1;-1;3) . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P) , viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất ? 20 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>