SÁNG KIẾN CẢI TIẾN KỸ THUẬTTên đề tài: “PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP VỀQUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN”

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ
TRUNG TÂM GDTX QUẢNG ĐIỀN
..........

SÁNG KIẾN CẢI TIẾN KỸ THUẬT
Tên đề tài:
“PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ
QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN”

Họ và tên: Đặng Văn Tân
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
Đơn vị: Trung tâm GDTX Quảng Điền

Huế, tháng 4 năm 2013
Trang 1


SỞ GD- ĐT THỪA THIÊN HUẾ
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRUNG TÂM GDTX QUẢNG ĐIỀN
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Quảng Điền,ngày 8 tháng 4 năm
2013
SÁNG KIẾN CẢI TIẾN KỸ THUẬT
(Đề nghị công nhận danh hiệu chiến sĩ thi đua cấp tỉnh)
Tên đề tài: Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ sơng song trong
khơng gian.
I. Sơ yếu lí lịch :
- Họ và tên : Đặng Văn Tân.
Nam/nữ : Nam
- Ngày, tháng, năm sinh : 10/8/1980

- Quê quán : xã Quảng lợi, huyện Quảng Điền, tỉnh Thừa Thiên Huế.
- Nơi thường trú : xã Quảng lợi, huyện Quảng Điền, tỉnh Thừa Thiên Huế.
- Đơn vị công tác: Trung tâm GDTX Quảng Điền.
- Chức vụ: Tổ trưởng tổ tự nhiên
- Trình độ chuyên mơn nghiệp vụ : Đại học sư phạm Tốn.
- Q trình cơng tác :
Năm 2010 -2011: Phó bí thư đồn Trung tâm.
Năm 2010-2011: Tổ trưởng tổ tự nhiên- UVKT công đồn
Năm 2011-2012: Tổ trưởng tổ tự nhiên- UVKT cơng đồn
Năm 2012-2013: Tổ trưởng tổ tự nhiên- UVKT cơng đồn
- Khó khăn, thuận lợi trong cơng tác :
+ Khó khăn :
Chất lượng đầu vào của học viên thấp và cơ sở vật chất phục vụ cho dạy học
cịn thiếu, gây khó khăn cho việc đổi mới phương pháp dạy học.
+ Thuận lợi :
. Được sự chỉ đạo sâu sát của ban lãnh đạo Trung tâm.
. Được sự động viên giúp đỡ của bạn bè đồng nghiệp.
II. Sơ lược thành tích của đơn vị :
-Năm học: 2009-2010:Tập thể có thành tích cao trong kỳ thi Tốt nghiệp BTTHPT năm 2010.
Cờ thi đua cấp tỉnh khối Giáo dục thường xuyên.
-Năm học: 2010-2011:Tập thể có thành tích cao trong kỳ thi Tốt nghiệp BTTHPT năm 2011.
Bằng khen của Bộ Giáo dục khen
-Năm học: 2011-2012:Tập thể có thành tích cao trong kỳ thi Tốt nghiệp BTTHPT
III. Mục đích yêu cầu của sáng kiến kinh nghiệm cải tiến kỹ thuật:
Nội dung của đề tài nhằm luyện tư duy cho học viên thông qua một số phương pháp
giải các bài toán một cách tối ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép, hoàn thành được một

Trang 2

hệ thống chương trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc
giải các bài tập.
Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học viên, gây hứng
thú học tập cho các em.
IV. Những giải pháp chính của sáng kiến kinh nghiệm:
Bài tốn 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng( α ).
* Phương pháp: Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( α ) ta tìm giao điểm
của đường thẳng d với một đường thẳng a nằm trên mp( α )
Giải pháp của bài toán là xác định cho được đường thẳng a. Nhiệm vụ của giao viên là
hướng dẫn, gợi mở cho học viên biết cách tìm đường thẳng a và chọn mp( β ) sao cho phù hợp
với từng yêu cầu của bài toán trong trường hợp đường thẳng a chưa có trên hình vẽ
Bài tốn 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) .
* Phương pháp:
Cách 1: Xác định hai điểm chung của hai mp.
 A ∈ (α ) ∩ ( β )
thì AB=(α ) ∩ ( β )
 B ∈ (α ) ∩ (β )

Tóm tắt: Nếu 

Cách 2: Xác định một điểm chung và song song với một đường thẳng cho trước:
Giải pháp dựa vào các định lý sau:
(α ) ∩ (γ ) = a

* Đlý 2 ( SGK trang 57) : Nếu ( β ) ∩ (γ )=b thì a // b // c hoặc a, b, c đồng quy.
(α ) ∩ (β )= c

 a // b

* Hệ quả: Nếu a ⊂ (α ), b ⊂ (β ) thì d // a // b hoặc d trùng a hoặc d trùng với b

(α ) ∩ (β )= d

 a //(α )

* Đlý 2:(SGK trang 61) Nếu a ⊂ (β )
thì a//b
(α ) ∩ (β )= b

(α ) // d

* Hệ quả: Nếu (β ) // d
thì a // d.
(α ) ∩ (β )= a

(α ) // (β )
(γ ) ∩ (β ) = b
thì 
(γ ) ∩ (α ) = a
 a // b

* Đlý 3 (Sgk trang 67). Nếu 

Trang 3


Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm hai điểm chung lần
lượt nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào hình vẽ. Nếu trên hình vẽ chỉ có một điểm
chung thì ta chuyển sang cách hai ( dựa vào các định lý và hệ quả nêu trên)
Bài toán 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng ( α ).

• Phương pháp: (Đlý 1 SGK trang 61 ).
 d ⊄ (α )

Tóm tắt: Nếu d // a thì d // ( α )
 a ⊂ (α )


Vấn đề nêu lên ở đây là đường thẳng a có trên hình vẽ hay chưa, nó được xác định như thế
nào, làm thế nào để xác được nó. Giáo viên cần làm cho học viên biết hướng giải quyết của bài
toán là dựa vào giả thiết của từng bài toán mà xác định đường thẳng a như thế nào cho phù
hợp.
V. Dự đốn kết quả và những ảnh hưởng có sức lan tỏa mà sáng kiến cải tiến kỹ thuật
mang lại:
Kết quả:
Năm học

Xếp loại
Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

Kém

2009-2010

0%

12%

54.25%

30%

3.75%

2010-2011

0%

18%

45%

32%

5%

2011-2012

1%

22%

55%

18%

4%

Trải qua thực tiển giảng dạy nội dung các bài giảng liên quan đến đề tài và có sự
giúp đỡ của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào dạy tôt đã thu được một số kết quả nhất định
sau:
1. Học viên yếu đã hiểu và biết vận dụng tốt phương pháp giải cơ bản.
2. Học viên trung bình trở lên nắm vững được phương pháp, biết vận dụng thành
thạo và linh hoạt hơn.Chất lượng bài giảng và kĩ năng giải toán của học viên năm sau tốt
hơn những năm trước.
VI. Kết luận:
Ban đầu học viên gặp những khó khăn nhất định trong việc thực hiện đề tài này. Tuy nhiên,
giáo viên cần hướng dẫn, phân tích và lựa chọn phương pháp phù hợp giúp học viên tiếp thu
kiến thức một cách nhẹ nhàng và tự nhiên, không nên gò ép, áp đặt, phải đưa ra chuẩn phương
pháp giải đối với từng loại tốn, có như vậy học viên mới hứng thú và u thích học mơn Tốn
hơn.
Hội đồng xét sáng kiến kinh nghiệm của đơn vị.
Người viết
………………………………………………………
………………………………………………………
Trang 4


………………………………………………………
………………………………………………………

Đặng Văn Tân

Phần 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1 Lý do chọn đề tài:

Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy học viên rất e ngại học mơn hình học khơng
gian lớp 11 vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan. Chính vì thế
mà có rất nhiều học viên học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng gặp khơng ít khó khăn
khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập hình học khơng gian
lớp 11. Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm
nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như
học tập của học viên ngày được nâng lên. Do đây là phần kiến thức mà nhiều học viên chưa
quen với tính trừu tượng của nó, nên tơi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm phương pháp
truyền đạt phù hợp với học viên và cung cấp cho học viên lớp 11 có thêm một số kỹ năng cơ
bản, phương pháp chứng minh của một số dạng toán liên quan đến quan hệ song song trong
không gian. Từ lý do trên tôi đã chọ đề tài: “Phân loại và phương pháp giải một số bài tập
về quan hệ song song trong không gian”.
1.2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học viên khối 11.
Phạm vi nghiên cứu:
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là “Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong
không gian. Quan hệ song song” sách giáo khoa hình học 11 ban cơ bản.
1.3 Mục đích nghiên cứu:
Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học viên cịn chưa quen với tính tư
duy trừu tượng của nó, nên tơi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp
truyền đạt phù hợp với học viên, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà
học viên thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung
và mơn hình học khơng gian nói riêng.

Trang 5


Phần 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1 Cơ sở lý luận:

Khi giải một bài tốn về hình học khơng gian ngồi yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả
thuyết bài tốn, vẽ hình đúng ta cịn phải chú ý đến nhiều yếu tố khác như: Có cần xác định
thêm các yếu tố khác trên hình vẽ hay khơng? hình vẽ như thế có tốt chưa ? Có thể hiện được
hết các yêu cầu của đề bài hay chưa ? Để giải quyết vấn đề này ta phải bắt đầu từ đâu ? Nội
dung kiến thức nào liên quan đến vấn đề được đặt ra, trình bài nó như thế nào cho đúng
đắn…..Ngồi ra chúng ta cịn nắm vững hệ thống lý thuyết, phương pháp chứng minh cho
từng dạng toán như: tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, tìm giao tuyến của hai mặt
phẳng, chứng minh hai đường thẳng song song……có được như thế mới giúp chúng ta giải
quyết được nhiều bài tốn mà khơng gặp phải khó khăn.
2.2 Nội dung nghiên cứu của đề tài.
Bài tốn 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng( α ).
* Phương pháp: Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( α ) ta tìm
giao điểm của đường thẳng d với một đường thẳng a nằm trên mp( α )
Trường hợp 1: Trong mặt phẳng ( α ) có sẳn đường thẳng a cắt d tại A ta có ngay
A = d I mp (α )
A∈ d
thì A = d I mp(α )
 A ∈ a ⊂ mp (α )

Tóm tắt: Nếu 

Trường hợp 2: Trong mặt phẳng ( α ) khơng có sẳn đường thẳng a cắt d khi đó:

Trang 6


- Tìm mp( β ) chứa d sao cho mp( β ) cắt mp( α ).
- Tìm giao tuyến a của hai mp( α ) và mp( β )
* Nhận xét: Để tìm giao điểm của một đường thảng và một mặt phẳng ta có thể đuqa về việc
tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.(Trích

SGK hình học 11 cơ bản trang 51). Tuy trong quá trình dạy bản thân thấy đa số học viên
không xác định được đường thẳng cần tìm.
Nhận xét: Vấn đề của bài tốn trên là xác định cho được đường thẳng a. Nhiệm vụ của giao
viên là hướng dẫn, gợi mở cho học viên biết cách tìm đường thẳng a và chọn mp( β ) sao cho
phù hợp với từng yêu cầu của bài toán trong trường hợp đường thẳng a chưa có trên hình vẽ .
* Ví dụ:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của AB, J là một điểm trên AD sao cho
AJ=

2
AD . Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp(BCD).
3
A

A

I

I

J

J
B

K

B

D

D

C

C

Hình 3

Hình 4

Nhận xét: Với bài tốn này thì học viên dễ dàng phát hiện được đường thẳng a cần tìm chính
là đường thẳng BD. Nhiệm vụ của giáo viên là cần lưu ý cho học viên điều kiện để hai đường
thẳng cắt nhau là hai đường thẳng đó phải cùng nằm trên một mặt phẳng và khơng song song.
Lời giải:
Từ giả thiết ⇒ IJ và BD không song song.
 K ∈ IJ
K ∈ BD ⊂ (BCD)

Gọi K = IJ ∩ BD ⇒ 

Trang 7


Kết luận: K = IJ ∩ (BCD) (hinh 4)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là
trung điểm của SA và SB, M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp (SBC)
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM).

Nhận xét: Với giả thiết của bài tốn thì dựa vào hình vẽ ( hình 5) học viên khó mà tìm được
đường thẳng a nằm trên mp(SAC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt được đường thẳng BM,
nếu không khéo léo hướng dẫn sẽ có nhiều học viên nhầm là đường thẳng SC. Vai trò của giáo
viên là gợi ý cho học viên biết chọn mp(SBD) chứa BM và tìm giao tuyến của hai mp( SBD)
và (SAC) là đường thẳng SO. Từ đó kết luận giao điểm P của hai đường thẳng BM và SO
chính là giao điểm cần tìm. (hình 6)
S

S

I

I

J

M

J
P

M

A

A

B

D

B

O

D

C

Hình 5

C

Hình 6

Với câu b) (hình 7) thì học viên cũng khó mà tìm được đường thẳng a nằm trên
mp(SBC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt được đường thẳng IM nếu khơng có sự hướng dẫn
của giao viên. Giáo viên yêu cầu học viên cho biết đường thẳng IM nằm trên mp nào ? và đi
tìm giao tuyến của mp đó với mp(SBC). Từ đó tìm được giao tuyến là đường thẳng SE và giao
điểm cần tìm chính là điểm F ( hình 8).
S

S

I

I

J

J
P

M
A

P

M
A

B
F

B

O

D

D

C

O
C

E

Trang 8

Hình 7

Hình 8

Tượng tự câu a) để tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM) ta phải chọn mặt
phẳng phụ chứa SC và đi tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ đó với mp(IJM). Với bài tốn này
thì có nhiều mặt phẳng chứa đường thẳng SC như mp(SAC), mp(SCD) và mp(SBC). Vấn đề là
chọn mặt phẳng nào sao cho việc tìm giao tuyến được thuận lợi là tùy thuộc vào khả năng của
mỗi học viên, giáo viên không nên gị học viên đi theo lời giải của mình.
S

S

I

I

J

A

H

A

B

B

F

F
O

D

P

M

P

M

J

O

D

C

C
E

E

Hình 9

Hình 10

* Lời giải:
a) Ta có BM ⊂ (SBD)
Xét 2 mp( SAC) và (SBD) có
S là điểm chung thức nhất.(1)
Gọi O = AC ∩ BD ⇒ O là điểm chung thứ hai (2)
Từ (1) và (2) ⇒ SO = ( SAC ) ∩ ( SBD)
Gọi P=BM ∩ SO
Kết luận: P=BM ∩ (SAC)
b) Ta có IM ⊂ (SAD)
Xét hai mp(SAD) và (SBC) có:
S là điểm chung thứ nhất
Gọi E = AD ∩ BC ⇒ E là điểm chung thứ hai
⇒ SE = (SAD) ∩ ( SBC)

Gọi F= IM ∩ SE ⇒ F =IM ∩ (SBC) ( Hình 8)
c) Ta có SC ⊂ (SBC)
Xét 2 mp( IJM) và (SBC)
Ta có JF=(IJM) ∩ (SBC)
Gọi H =JF ∩ SC ⇒ H=SC ∩ (IJM) (Hình 10)
Phân loại bài tập tương tự:
Trang 9


Bài 1: Trong mp (α) cho tam giác ABC . Một điểm S không thuộc (α) . Trên cạnh AB lấy một
điểm P và trên các đoạn thẳng SA, SB ta lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho MN khơng song
song với AB .
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC )
b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (α)

Giải

S
M
E
N
C

A
P
B

D

α

a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC )
Cách 1 : Trong (SAB) , gọi E = SP ∩ MN
• E ∈ SP mà SP ⊂ (SPC) ⇒ E ∈(SPC)
• E ∈ MN
Vậy : E = MN ∩ (SPC )
Cách 2 : • Chọn mp phụ (SAB) ⊃ MN
• ( SAB) ∩ (SPC ) = SP
• Trong (SAB), gọi E = MN ∩ SP
E ∈ MN
E ∈ SP mà SP ⊂ (SPC)
Vậy : E = MN ∩ (SPC )
b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp (α)
Cách 1: Trong (SAB) , MN không song song với AB
Gọi D = AB ∩ MN

• D ∈ AB mà AB ⊂ (α) ⇒ D ∈(α)
• D ∈ MN
Vậy: D = MN ∩ (α)
Cách 2 : • Chọn mp phụ (SAB) ⊃ MN
• ( SAB) ∩ (α) = AB
• Trong (SAB) , MN không song song với AB
Gọi D = MN ∩ AB
D ∈ AB mà AB ⊂ (α) ⇒ D ∈(α)
D ∈ MN
Vậy : D = MN ∩ (α)

Trang 10


Bài 2. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD ). Trên đoạn SC lấy một
điểm M khơng trùng với S và C. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM )
S
N
M

K

D
A
O

C

B

• Chọn mp phụ (SBD) ⊃ SD
• Tìm giao tuyến của hai mp ( SBD) và (ABM )
−Ta có B là điểm chung của ( SBD) và (ABM )
−Tìm điểm chung thứ hai của ( SBD) và (ABM )
Trong (ABCD ) , gọi O = AC ∩ BD
Trong (SAC ) , gọi K = AM ∩ SO
K∈ SO mà SO ⊂ (SBD) ⇒ K ∈( SBD)
K∈ AM mà AM ⊂ (ABM ) ⇒ K ∈( ABM )
⇒ K là điểm chung của ( SBD) và (ABM )
⇒ ( SBD) ∩ (ABM ) = BK
• Trong (SBD) , gọi N = SD ∩ BK
N∈ BK mà BK ⊂ (AMB) ⇒ N ∈(ABM)
N ∈ SD
Vậy : N = SD ∩ (ABM)
Bài 3. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD ). Trên đoạn AB lấy một
điểm M ,Trên đoạn SC lấy một điểm N ( M , N không trùng với các đầu mút ) .
a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD)
b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD)
S
K
I
A

C

E'
H
B

E

• Chọn mp phụ (ABC) ⊃ BC
• Tìm giao tuyến của ( ABC ) và (IHK)
Trong (SAC) ,có IK khơng song song với AC
Gọi E’ = AC ∩ IK
⇒ ( ABC ) ∩ ( IHK) = HE’
• Trong (ABC ), gọi E = BC ∩ HE’
E ∈ BC mà BC ⊂ ( ABC) ⇒ E ∈ ( ABC)
E ∈ HE’ mà HE’ ⊂ ( IHK) ⇒ E ∈ ( IHK)
Trang 11


Vậy: E = BC ∩ ( IHK)
Bài tốn 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) .
* Phương pháp:
Cách 1: Xác định hai điểm chung của hai mp.
 A ∈ (α ) ∩ ( β )
thì AB=(α ) ∩ ( β ) ( Hình 11)
 B ∈ (α ) ∩ (β )

Tóm tắt: Nếu 

Hình 11
Cách 2: Xác định một điểm chung và song song với một đường thẳng cho trước:
Dựa vào các định lý sau:
(α ) ∩ (γ ) = a

* Đlý 2 ( SGK trang 57) : Nếu ( β ) ∩ (γ )=b thì a // b // c hoặc a, b, c đồng quy.
(α ) ∩ (β )= c


 a // b

* Hệ quả: Nếu a ⊂ (α ), b ⊂ (β ) thì d // a // b hoặc d trùng a hoặc d trùng với b
(α ) ∩ (β )= d


Hình 12

Hình 13

Hình 14

 a //(α )

* Đlý 2:(SGK trang 61) Nếu a ⊂ (β )
thì a//b ( hình 15)
(α ) ∩ (β )= b

(α ) // d

* Hệ quả: Nếu (β ) // d
thì a // d. ( hình 16)
(α ) ∩ (β )= a

Trang 12


Hình 15

Hình 16

Hình 17

(α ) // (β )
(γ ) ∩ (β ) = b
thì 
( hình 17)
(γ ) ∩ (α ) = a
 a // b

* Đlý 3 (Sgk trang 67). Nếu 

* Nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm hai điểm chung
lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào hình vẽ. Nếu trên hình vẽ chỉ có một
điểm chung thì ta chuyển sang cách hai ( dựa vào các định lý và hệ quả nêu trên)
* Ví dụ:
Bài 4: Trong mp( α ) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD cắt nhau tại F.
Gọi S là một điểm nằm ngồi mp( α ). Tìm giao tuyến của các mp sau:
a) Mp (SAB) và mp(SCD)
b) Mp(SAC) và mp(SBD)
c) Mp(SEF) với hai mp(SAD) và (SBC).
* Nhận xét:
Với hai mp(SAB) và mp(SCD) thì học viên dễ dàng tìm được hai điểm chung lần lượt
là S là E dựa vào hình vẽ (hình 18). Tương tự đối với hai mp(SAC) và mp(SBD) thì học viên
cũng phát hiện được giao tuyến là đường thẳng SF. (hình 19)
S
S

B
A

E

B
A

F

C
D

E

C
D

Hình 18

Hình 19

Với câu c) giáo viên nên gợi ý cho học viên phát hiện ra được điểm chung thứ hai M, N
bằng cách nối EF với BC và EF với AD. ( hình 20)

Trang 13


S

B

E

A
M
F
C

N
D

Hình 20
* Lời giải:
a) Ta có S ∈ ( SAB) ∩ ( SCD) (1)
E = AB ∩ CD ⇒ E ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD ) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ SE = ( SAB) ∩ ( SCD)
b) Ta có S ∈ ( SAC ) ∩ ( SBD) (*)
F = AC ∩ BD ⇒ F ∈ ( SAC ) ∩ ( SBD) (**)

Từ (*) và (**) ⇒ SF = ( SAC ) ∩ ( SBD)
c) Gọi M = BC ∩ EF , N = AD ∩ EF
Xét hai mp(SAD) và (SEF) có:
S ∈ ( SAD) ∩ ( SEF)
N ∈ ( SAD) ∩ ( SEF)

Kết luận : SN = ( SAD) ∩ ( SEF)
Tương tự: SM = ( SBC ) ∩ ( SEF)
Bài 5.Trong mặt phẳng ( α ) cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối khơng song song và điểm
S ∉ (α ) .
a. Xác định giao tuyến của (SAC ) và (SBD)

b. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD)
c. Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC)
S

C
A
J
k

B

O
D

ITrang

14


Giải
a. Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD)
Ta có : S là điểm chung của (SAC) và (SBD)
Trong (α), gọi O = AC ∩ BD
• O ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC)
• O ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ O ∈ (SBD)
⇒ O là điểm chung của (SAC) và (SBD)
Vậy : SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD)
b. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD)
Ta có: S là điểm chung của (SAC) và (SBD)
Trong (α) , AB không song song với CD

Gọi I = AB ∩ CD
• I ∈ AB mà AB ⊂ (SAB) ⇒ I ∈ (SAB)
• I ∈ CD mà CD ⊂ (SCD) ⇒ I ∈ (SCD)
⇒ I là điểm chung của (SAB) và (SCD)
Vậy : SI là giao tuyến của (SAB) và (SCD)
c. Tương tự câu a, b
Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’ và CC’, P là
một điểm thuộc đoạn BB’. Tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’ với mp(MNP) .
Nhận xét: Để tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’ với mp(MNP) thì giáo viên phải gợi ý
cho học viên tìm giao tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng DD’ với mp(MNP). Giáo viên
yêu cầu học viên cho biết đường thẳng DD’ nắm trên những mặt phẳng nào và cho biết số
điểm chung của các mặt phẳng đó với mp(MNP)?
A

B

D
x

A

C

D

M
Q
P

N

D'

C
M

Q

A'

B

N

B'

A'

D'

C'

Hình 21
Lời giải:
Ta có DD’ ⊂ (CC’D’D)
Xét 2 mp(MNP) và mp(CC’D’D) ta có:
N là một điểm chung (1)
MP //( mp(CC’D’D) (2)
MP ⊂ mp(MNP)

B'

C'

Hình 22

(3)
Trang 15

P


Từ (1), (2) và (3) ⇒ (MNP) ∩ ( CC’D’D) = Nx // MP
Gọi Q = DD’ ∩ Nx ⇒ Q = DD’ ∩ (MNP) ( hình 21)
* Chú ý: Ta có thể chọn mp(AA’D’D) chứa DD’ và tìm được giao tuyến của 2 mp(MNP) và
mp(AA’D’D) là My song song với đường thẳng NP ( hình 22)
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB và CD, ( α ) là
mặt phẳng chứa MN và song song với SA.
a) Tìm giao tuyến của mp( α ) với các mp(SAB) và mp(SAC).
b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp( α )
Nhận xét: Với dạng toán trên học viên thường hay gặp lúng túng ở chỗ xác định mp( α ). Giáo
viên nên lưu ý cho học viên để xác định mp( α ) ta cần tìm thêm một điểm nằm trên mp( α )
nữa ngoài hai điểm M và N mà đề bài đã cho. Từ đó mà ta có thề tìm được giao tuyến của mp(
α ) với các mp(SAB) , (SAC) và thiết diện của hình chóp với mp( α )

Lời giải:

Hình 23

Hình 24

a) Xét 2 mp(SAB) và ( α ) có:
M là điểm chung
Mặt khác: SA // mp( α )
SA ⊂ mp(SAB)
⇒ (SAB) ∩ ( α )= Mx // SA

Xét 2 mp(SAC) và ( α ) có:
Gọi O = MN ∩ AC
O là điểm chung của hai mp
Mặt khác: SA // mp( α )
SA ⊂ mp(SAB)
⇒ (SAC) ∩ ( α )= Oy // SA ( hình 23)

b) Gọi Q = Mx ∩ SB , P = Oy ∩ SC
Trang 16


Ta có ( α ) ∩ (ABCD) =MN
( α ) ∩ (SAB) = MQ
( α ) ∩ (SBC) = PQ
( α ) ∩ (SCD) = NP
Kết luận: Thiết diện là tứ giác MNPQ. (hình 24)
Bài tốn 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng ( α ).
* Phương pháp: (Đlý 1 SGK trang 61 ).
 d ⊄ (α )

α
 d // a


Tóm tắt: Nếu a ⊂ (α ) thì d // ( )

Hình 25
* Nhận xét: Vấn đề nêu lên ở đây là đường thẳng a có trên hình vẽ hay chưa, nó được xác định
như thế nào, làm thế nào để xác được nó. Giáo viên cần làm cho học viên biết hướng giải
quyết của bài toán là dựa vào giả thiết của từng bài toán mà xác định đường thẳng a như thế
nào cho phù hợp.
* Ví dụ:
Bài 8: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm của các tam
giác ABC, A’B’C’ và ACC’. Chứng minh đường thẳng IG song song với mp(BB’C’C).
* Nhận xét:
- Để chứng minh đường thẳng IG song song với mp(BB’C’C) ta phải chứng minh được
đường thẳng IG song song với một đường thẳng nằm trên mp(BB’C’C)
- Điểm mấu chốt của bài toán là phải chứng minh đường thẳng IG song song với đường thẳng
MN nằm trên mặt phẳng (BB’C’C).
A

I

B

M

C

G
N

A'
K

C'
M'

B'

Hình 26
* Lời giải:
Trang 17


Ta có: I là trọng tâm tam giác ABC nên

AI
2
= (1)
AM 3

G là trọng tâm tam giác ACC’ nên
Từ (1) và (2) suy ra

AG 2
= (2)
AN 3

AI
AG
=
AM AN

Theo định lý talet đảo ⇒ IG // MN ⊂ ( BB ' C ' C )
Kết luận: IG // (BB’C’C)
Bài 9: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF khơng cùng nằm trong một mặt phẳng
a) Gọi O , O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO’ song song với hai
mp(ADF) và mp(BCE).
1
3

b) Gọi M, N là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AE và BD sao cho AM = AE ,
1
BN = BD . Chứng minh MN song song với mp(CDFE).
3

* Nhận xét :
- Với câu a) thì học viên dễ dạng phát hiện được đường thẳng a cần tìm là đường thẳng DF đối
với mp(ADF), là đường thẳng CE đối với mp(BCE).
- Đối với câu b) thì học viên khó mà phát hiện được đường thẳng a ở đây là đường thẳng nào
nếu khơng có sự hướng dẫn của giáo viên thì học viên sẽ gặp khó khăn.(Hình 27)
* Giải quyết vấn đề: Giáo viên yêu cầu học viên tìm giao tuyến của hai mp(AMN) và
mp(CDFE). Có nhận xét gì về vị trí tương đối giữa đường thẳng MN và đường giao tuyến mới
vừa tìm được. Từ đó giúp cho học viên thấy được hướng giải quyết của
bài tốn.
* Lời giải:
F

E

M

O'

A

B

O
D

N

C

Hình 27
a)CM OO’// (ADF) và OO’//(BCE)
Ta có: OO’ đường trung bình của tam giác BDF và tam giác ACE
⇒ OO’//DF và OO’ // CE
Trang 18


Mà DF ⊂ ( ADF ) , CE ⊂ ( BCE )
Kết luận: OO’ // (ADF), OO’ // (BCE).
b) CM MN // (CDFE) .
* Tìm giao tuyến của hai mp( AMN) và (CDFE).
F

E

M

O'

A

B

O
D

N

J
C

I

Hình 28
Ta có: E là điểm chung thứ nhất của hai mp.(1)
Gọi I là giao điểm của AN và CD
⇒ I là điểm chung thứ hai của hai mp (2)

Từ (1) và (2) suy ra đường thẳng EI là giao tuyến của hai mp(AMN) và (CDFE).
* CM MN // (CDFE)
1
3

Ta có: AM = AE (*)
Xét tam giác ABC có:
1
2
BN = BD = BO và BO là trung tuyến

3
3
⇒ N là trọng tâm của tam giác ABC

Gọi J là giao điểm của AI và BC ⇒ J cũng là trung điểm của AI
⇒ AN =

2
1
AJ = AI (**)
3
3

Từ (*) và (**) ⇒ MN // CE
Mà CE ⊂ ( BCFE )
Kết luận : MN // (CDFE) (đpcm)
Bài toán 4: Chứng minh hai mp( α ) và mp( β ) song song.
* Phương pháp: (Đlý 1 SGK trang 64)
 a, b ⊂ (α )

Tóm tắt: Nếu a ∩ b = I
thì mp( α ) // mp( β ).
 a //( β ), b //( β )


Trang 19


* Nhận xét: Tương tự như bài toán chứng minh đường thẳng song song với mp, vấn đề đặt ra
là chọn hai đường thẳng a, b như thế nào? Nằm trên mặt phẳng ( α ) hay mp( β ). Nhiệm vụ của

giáo viên là hướng dẫn, gợi mở cho học viên phát hiện ra được vấn đề của bài tốn.
* Ví dụ:
Bài 10: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , ACD và
ABD. Chứng minh hai mp(MNP) và mp(BCD) song song.

A

P
N

M
B

D

K
I

J
C

Hình 29
Nhận xét:
Với bài tốn này thì học viên dễ dàng xác định hai đường thẳng a, b nằm trên mặt
phẳng này và song song với mặt phẳng kia. Vấn đề của bài toán là cách xác định các trọng
tâm, giáo viên nên lưu ý cho học viên cách xác định trong tâm dựa vào tính chất khơng nên vẽ
quá nhiều các đường trung tuyến.
* Lời giải:
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, CD và BD.
Ta có:

AM AN 2
=
= ⇒ MN // IJ
AI
AJ 3

Mà IJ ⊂ (BCD) ⇒ MN// (BCD) (1)
Tương tự MP // (BCD) (2)
Mà MN, MP ⊂ (MNP) (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒ (MNP) // (BCD)
Bài 11: Cho hai hình vng ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các
đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Qua M, N dựng các
đường thẳng song song với AB lần lượt cắt AD và AF tại M’và N’.
a) Chứng minh mp( ADF) // mp(BCF).
b) Cứng minh mp(DEF) // mp(MM’N’N).
Trang 20


* Nhận xét:
Với câu a) thì học viên dễ dàng chứng minh được nhưng đối với câu b) thì giáo viên
nên hướng dẫn cho học viên biết cách vẽ hình, nhận xét được hai đường thẳng AC và BF là
bằng nhau, từ đó gợi mở cho học viên biết chứng minh hai đường thẳng MM’ và M’N” song
song với mp (DEF) dựa vào định lý talét đảo.
* Lời giải:
a) Ta có AF // BE ⊂ mp( BCE)
AD // BC ⊂ mp (BCE)
Mà AF, AD ⊂ mp(ADF)
Kết luận mp( ADF) // mp(BCE).
F

E

N

N'

B

A
M'

M

D

C

Hình 30
b) Ta có MM’ // AB
Mà AB // EF
⇒ MM’ // EF ⊂ mp(DEF) (1)

Mặt khác MM’ // CD ⇒
NN’ // AB ⇒

AM ' AM
=
(*)
AD

AC
AN ' BN
=
(**)
AF
BF

Mà AM = BN, AC = BF ⇒
Từ (*), (**) và (***) ⇒

AM BN
=
(***)
AC BF

AM ' AN '
⇒ M’N’ // DE ⊂ mp(DEF) (2)
=
AD
AF

Mà MM’, M’N’ ⊂ mp(MM’N’N) (3)
Từ (1) , (2), (3) ⇒ (DEF) //(MM’N’N) (đpcm)
Ngoài ra, để giải được một bài tốn về hình học khơng gian ngồi việc nắm vững các
phương pháp, kỹ năng giải tốn thì hình vẽ đóng một vai trị quan trọng, hình vẽ tốt giúp cho
chúng ta nhìn ra được hướng giải quyết, phát hiện ra được vấn đề của bài tốn. Hình vẽ tốt là
một hình vẽ đảm bảo được các điều kiện sau:

Trang 21

- Đảm bảo được các quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình khơng gian ( SGK HH 11 trang
45, cơ bản).
- Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, thể hiện được tính thẩm mỹ .
- Biết cách xác định đối tượng trên hình vẽ sao cho phù hợp với u cầu của bài tốn.
- Hình vẽ khơng thừa cũng khơng thiếu dữ kiện của đề bài.
- Ngồi ra để có được một hình vẽ tốt cần phải nắm vững các khái niệm về hình khơng gian
như: hình chóp, hình tứ diện, hình chóp đều, hình lăng trụ, hình hộp, hình hộp chữ nhật, hình
lập phương…, phân biệt được hình đa diện với hình đa giác, tứ diện với tứ giác.
2.3. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Qua giảng dạy và đúc kết kinh nghiệm tôi nhận thấy rằng để dạy cho học viên học tốt
mơn hình học khơng gian thì cần phải giúp cho học viên nắm vững hệ thống lý thuyết các định
nghĩa, định lý, hệ quả các phương pháp chứng minh. Ngoài ra cần giúp cho học viên biết cách
tư duy hình ảnh, kỹ năng vẽ hình. Nắm vững các yếu tố trên sẽ giúp cho việc giảng dạy của
giáo viên được thuận lợi, học viên tiếp thu kiến thức ngày một tốt hơn.
Năm học

Xếp loại
Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

Kém

2010-2011

0%

12%

54.25%

30%

3.75%

2011-2012

0%

18%

45%

32%

5%

2012-2013

1%

22%

55%

18%

4%

Phần 3. KẾT LUẬN
Trong giai đoạn giáo dục hiện nay, đổi mới phương pháp giảng dạy là một nhiệm vụ hết sức
quan trọng nhằm đào tạo cho xã hội một nguồn nhân lực thực thụ. Bản thân tôi mong muốn
làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập của học viên nên tơi ln cố gắng tìm tịi tài liệu
của đồng nghiệp và ứng dụng đổi mới vào việc giảng dạy tại đơn vị trên cơ sở kinh nghiệm
qua nhiều năm đứng lớp .
Với đề tài này ít hay nhiều cũng giúp ích cho cho cơng việc giảng dạy của tơi, góp một phần
nhỏ giúp học viên hiểu kĩ hơn và vận dụng tốt hơn vào giải toán, nâng cao chất lượng học
mơn tốn hơn trước.
Quảng Điền, ngày 08 tháng 04 năm 2013
Người Viết
Trang 22


Đặng Văn Tân

Trang 23