Bài soạn BD HSG TOAN 9

Phan Duy Thanh Trờng THCS Dị Nậu
Bài tập ôn tập HSG
Dạng I: Chứng minh đẳng thức
Bài tập:
1. Cho a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 14.
Tính giá trị của biểu thức : A = a
4
+ b
4
+ c
4
.
2. Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức :
B = (x 1)
2007
+ y
2008
+ (z + 1)
2009
.
3. Cho a
2
b
2
= 4c

2
. Chứng minh rằng : (5a 3b + 8c)(5a 3b 8c) = (3a
5b)
2
.
4. Chứng minh rằng nếu:
5. (x y)
2
+ (y z)
2
+ (z x)
2
= (x + y 2z)
2
+ (y + z 2x)
2
+ (z + x
2y)
2

thì x = y = z.
6. a) Chứng minh rằng nếu (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by)

2
và x, y khác 0 thì
a b
x y
=
.
b) Chứng minh rằng nếu (a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) = (ax + by + cz)
2

và x, y, z khác 0 thì
a b c
x y z
= =
.
7. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng :
a) 5(x
3
+ y

3
+ z
3
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) = 6(x
5
+ y
5
+ z
5
) ;
b) x
7
+ y
7
+ z
7
= 7xyz(x
2
y
2
+ y
2
z
2

+ z
2
x
2
) ;
c) 10(x
7
+ y
7
+ z
7
) = 7(x
2
+ y
2
+ z
2
)(x
5
+ y
5
+ z
5
).
8. Chứng minh các hằng đằng thức sau :
a) (a + b + c)
2
+ a
2
+ b

2
+ c
2
= (a + b)
2
+ (b + c)
2
+ (c + a)
2
;
b) x
4
+ y
4
+ (x + y)
4
= 2(x
2
+ xy + y
2
)
2
.
9. Cho các số a, b, c, d thỏa mãn a
2
+ b
2
+ (a + b)
2
= c

2
+ d
2
+ (c + d)
2
.
Chứng minh rằng : a
4
+ b
4
+ (a + b)
4
= c
4
+ d
4
+ (c + d)
4
10. Cho a
2
+ b
2
+ c
2
= a
3
+ b
3
+ c
3

= 1.
Tính giá trị của biểu thức : C = a
2
+ b
9
+ c
1945
.
11. Hai số a, b lần lợt thỏa mãn các hệ thức sau :
a
3
3a
2
+ 5a 17 = 0 và b
3
3b
2
+ 5b + 11 = 0. Hãy tính : D = a + b.
12. Cho a
3
3ab
2
= 19 và b
3
3a
2
b = 98. Hãy tính : E = a
2
+ b
2

.
13. Cho x + y = a + b và x
2
+ y
2
= a
2
+ b
2
. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) x
3
+ y
3
; b) x
4
+ y
4
; c) x
5
+ y
5
; d) x
6
+ y
6
;
e) x
7
+ y

7
; f) x
8
+ y
8
; g) x
2008
+ y
2008
.
Một số bài tập ôn thi HSG Toán 8, 9
Phan Duy Thanh Trờng THCS Dị Nậu
Dạng II: Phân tích đa thức thành nhân tử
I- Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
, 5 6 d, 13 36
, 3 8 4 e, 3 18
, 8 7 f, 5 24
,3 16 5 h, 8 30 7
, 2 5 12 k, 6 7 20
a x x x x
b x x x x
c x x x x
g x x x x
i x x x x

+ +
+ +
+ +
+ + +

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
II- Phơng pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của
hai bình phơng: A
2
B
2
= (A B)(A + B)
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Một số bài tập ôn thi HSG Toán 8, 9
3 2 3
3 2 3
3 2 3 2
3 2 3 2
1, 5 8 4 2, 2 3
3, 5 8 4 4, 7 6
5, 9 6 16 6, 4 13 9 18
7, 4 8 8 8, 6 6 1
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
+ +
+ + + +
+ + +

+ + +
3 2 3
3 3 2
3 2 3 2
3 3
9, 6 486 81 10, 7 6
11, 3 2 12, 5 3 9
13, 8 17 10 14, 3 6 4
15, 2 4 16, 2
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x
+
+ + +
+ + + + + +

2
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 4 3 2
12 17 2
17, 4 18, 3 3 2
19, 9 26 24 20, 2 3 3 1
21, 3 14 4 3 22, 2 1


x x
x x x x x
x x x x x x

x x x x x x x
+
+ + + + +
+ + + +
+ + + + + +
( )
2
2 2 2 2
4 4
4 4
4 4 4
4 4 4 2
1, (1 ) 4 (1 ) 2, 8 36
3, 4 4, 64
5, 64 1 6, 81 4
7, 4 81 8, 64
9, 4 10,
x x x x
x x
x x
x x y
x y x x
+ +
+ +
+ +
+ +
+ + +
1
Phan Duy Thanh Trờng THCS Dị Nậu
2) Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

III- Phơng pháp đổi biến
Bài 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
IV- Phơng pháp xét giá trị riêng
Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán
cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
B i Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
3 3
2 2 2 2 2 2
3 2 3 2 3 2
3 3 3
2 2
) ( )( ) .
) ( 2 ) (2 ) .
) ( ) ( ) ( ).
) ( )( ) ( )( ) ( )( )
) ( ) ( ) ( ) ( 1).
) ( ) ( ) ( ) .
) (
a A a b c ab bc ca abc
b B a a b b a b
c C ab a b bc b c ac a c
d D a b a b b c b c c a c a
e E a c b b a c c b a abc abc
f f a b c b c a c a b
g G a b a b
= + + + +
= + +

= + + +
= + + + + +
= + + +
= + +
=
2 2 2 2
4 4 4
) ( ) ( ).
) ( ) ( ) ( ).
b c b c a c c a
h H a b c b c a c a b
+ +
= + +
Một số bài tập ôn thi HSG Toán 8, 9
2 2 2 2 2 2 2
2 2 4
4
1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24
3, ( 4 8) 3 ( 4 8) 2 4, ( ) 4 4 12
5, 2 2 2 15 6, ( )( 2 )( 3 )( 4 )
7, 6 11
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x xy y x y x a x a x a x a a
x x
+ + + + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + + + + + + + +

2 2 2 2

2 2 2 2 2
2 2
3 8, ( ) 3( ) 2
9, 2 3 3 10 10, ( 2 ) 9 18 20
11, 4 4 2 4 35 12, ( 2)( 4)( 6)( 8) 16
x x x x
x xy y x y x x x x
x xy y x y x x x x
+ + + + +
+ + + + + +
+ + + + + + +
4 3 2
2 2 2 2 2
1, 6 7 6 1
2,( )( ) ( )
x x x x
x y z x y z xy yz zx
+ + +
+ + + + + + +
7 2 7 5
5 4 5
8 7 5 4
5 10 5
1, 1 2, 1
3, 1 4, 1
5, 1 6, 1
7, 1 8, 1
x x x x
x x x x
x x x x

x x x x
+ + + +
+ + + +
+ +
+ + +
Phan Duy Thanh Trờng THCS Dị Nậu
V-Phong pháp hệ số bất định
B i 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
4 3 2
4 3 2
2 2
4 3 2
4
) 6 12 14 3
) 4 4 5 2 1
) 3 22 11 37 7 10
) 7 14 7 1
) 8 63
a A x x x x
b B x x x x
c C x xy x y y
d D x x x x
e E x x
= + +
= + + + +
= + + + + +
= + +
= +
Bài tập:
Ví dụ . Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :

A = x
3
3(a
2
+ b
2
)x + 2(a
3
+ b
3
)
Lời giải
Đặt S = a + b và P = ab, thì a
2
+ b
2
=
2
S 2P-
; a
3
+ b
3
=
3
S 3SP-
. Vì vậy : A =
x
3
3(

2
S 2P-
)x + 2(
3
S 3SP-
) =
3 3 2 3
(x S ) (3S x 3S ) (6Px 6SP)- - - + -
=
2 2 2
(x S)(x Sx S ) 3S (x S) 6P(x S)- + + - - + -
=
2 2
(x S)(x Sx 2S 6P)- + - +
= (x a b)[x
2
+ (a + b)x 2(a + b)
2
+ 6ab]
= (x a b)[x
2
+ (a + b)x 2(a
2

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x
3
+ 4x
2
29x + 24 ;

b) x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
6x + 1 ;
c) (x
2
x + 2)
2
+ (x 2)
2
;
d) 6x
5
+ 15x
4
+ 20x
3
+ 15x
2
+ 6x + 1 ;
e) x
6
+ 3x
5
+ 4x
4
+ 4x

3
+ 4x
2
+ 3x + 1.
f) x
8
+ x
4
+ 1;
g) x
10
+ x
5
+ 1 ;
h) x
12
+ 1 ;
i) (x + y + z)
3
x
3
y
3
z
3
;
k) (x + y + z)
5
x
5

y
5
z
5
.
Một số bài tập ôn thi HSG Toán 8, 9
Phan Duy Thanh Trờng THCS Dị Nậu
Dạng III: Giải ph ơng trình
Bài 1:
a)7x+21=0 b)12-6x=0
c)5x-2=0 d)-2x+14=0
e)0.25x+1,5=0 f)6,36-5,3x=0
g)
4 5 1
3 6 2
x =
h)
5 2
1 10
9 3
x x

+ =
i)11-2x=x-1 k)5-3x=6x+7
l)2(x+1)=3+2x m)2(1-1,5x)+3x=0
n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x)
p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4) q)
3 1 2
6
5 3

x x
=
v)
3 13
2 5
5 5
x x

+ = +
ữ ữ

w)
3 2 3 2( 7)
5
6 4
x x +
=
s)
7 20 1,5
5( 9)
8 6
x x
x
+
=
y)
5( 1) 2 7 1 2(2 1)
5
6 4 7
x x x + +

=
Bài 2:
a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 b)(3x-2)
2( 3) 4 3
0
7 5
x x+

=
ữ

c)(3,3-11x)
7 2 2(1 3 )
0
5 3
x x+

+ =
ữ

d)
( 3 5)(2 2 1) 0x x + =
e)
(2 7)( 10 3) 0x x + =
f)
(2 3 5)(2,5 2) 0x x + =
g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0 h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x)
i)(2x
2
+1)(4x-3)=(2x

2
+1)(x-12) k)(2x-1)
2
+(2-x)(2x-1)=0
l)(x+2)(3-4x)=x
2
+4x+4 m)(x-1)(x
2
+5x-2)-(x
2
-1)=0
n)x
3
+1=x(x+1) 0)x
2
+(x=2) (11x-7)=4
p)x
3
+x
2
+x+1=0 q)x
2
-3x+2=0
r)4x
2
-12x+5=0 s)-x
2
+5x-6=0
t)2x
2

+5x+3=0 y)
( )
2
2 3( 2) 0x
x
+ =

Một số bài tập ôn thi HSG Toán 8, 9