Đề luyên thi học sinh giỏi Toán 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Đề thi học sinh giỏi toán 8 §Ò sè 1 1 3. Bµi 1: (3 ®iÓm)Cho biÓu thøc A   . 3   x2 1     :  2 2 x  3  x  3 x   27  3 x. a) Rút gọn A; b) Tìm x để A < -1. c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bài 2: (2 điểm)Giải phương trình: a). 1 6y 2  2  3 y  10 y  3 9 y  1 1  3 y 2.  6 x 1 x 3 x 1  .  3 2  2 4  3 b) x  2 2. Bµi 3: (2 ®iÓm) Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy. Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD tõ ®iÓm P thuéc ®­êng chÐo AC ta dùng h×nh ch÷ nhËt AMPN ( M  AB vµ N AD). Chøng minh: a) BD // MN. b) BD vµ MN c¾t nhau t¹i K n»m trªn AC. Bµi 5: (1 ®iÓm)Cho a = 11…1 (2n ch÷ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4). Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương. §Ò sè 2 C©u I: (2®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x 2  4 x  5 b) ab(a  b)  ac(a  c)  bc(2a  b  c) 2) Giải phương trình. 1 1 1 1 4  2  2  2  x  x x  3 x  2 x  5 x  6 x  7 x  12 5 2. C©u II: (2 ®iÓm) 1) Xác định a, b để da thức f ( x)  x 3  2 x 2  ax  b chia hết cho đa thức g ( x)  x 2  x  1 . 2) T×m d­ trong phÐp chia ®a thøc P( x)  x161  x 37  x13  x 5  x  2006 cho ®a thøc Q( x)  x 2  1.. C©u III: (2 ®iÓm) 1) Cho ba sè a, b, c kh¸c 0 vµ a + b + c = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a2 b2 c2   a2  b2  c2 b2  c2  a2 c2  a2  b2 2) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n a  b , b  c, c  a . P. a 2  bc b 2  ac c 2  ab   0 CMR: (a  b)(a  c) (b  a )(b  c) (c  a )(c  b). C©u IV: (3®iÓm) 1) Cho ®o¹n th¼ng AB, M lµ ®iÓm n»m gi÷a A vµ B. Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB kÎ c¸c h×nh vu«ng ACDM vµ MNPB. Gäi K lµ giao ®iÓm cña CP vµ NB. CMR: a) KC = KP b) A, D, K th¼ng hµng. c) Khi M di chuyển giữa A và B thì khoảng cách từ K đến AB không đổi. 2) Cho ∆ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AA”, BB’, CC’ đồng quy tại H. CMR:. HA' HB' HC '   AA' BB' CC '. b»ng mét h»ng sè.. Lop8.net. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2. 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 C©u V: (1 ®iÓm): biÓu thøc:. Q. Cho hai số a, b không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của a  ab  b 2 a 2  ab  b 2 2. §Ò sè 3. Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a (b  c) 2 (b  c)  b(c  a ) 2 (c  a )  c(a  b) 2 (a  b) 1 1 1 b) Cho a, b, c kh¸c nhau, kh¸c 0 vµ    0 a b c 1 1 1  2  2 Rót gän biÓu thøc: N  2 a  2bc b  2ca c  2ab. Bµi 2: (2®iÓm) a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M  x 2  y 2  xy  x  y  1 b) Giải phương trình: ( y  4,5) 4  ( y  5,5) 4  1  0 Bµi 3: (2®iÓm) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. Tính quãng đường AB. Bµi 4: (3®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD. M lµ mét ®iÓm trªn ®­êng chÐo BD. KÎ ME vµ MF vu«ng gãc víi AB vµ AD. a) Chøng minh hai ®o¹n th¼ng DE vµ CF b»ng nhau vµ vu«ng gãc víi nhau. b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất. Bµi 5: (1®iÓm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x 2  5 y 2  345 §Ò sè 4 Bµi 1: (2,5®iÓm)Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x5 + x +1 ;b) x4 + 4;c) x x - 3x + 4 x -2 víi x  0 a b 2c   ab  a  2 bc  b  1 ac  2c  2 ab Bµi 3: (2®iÓm)Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a  b  0.TÝnh: P  2 2 4a  b. Bµi 2 : (1,5®iÓm)Cho abc = 2. Rót gän biÓu thøc: A . Bµi 4 : (3®iÓm) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Trªn BC lÊy M bÊt k× sao cho BM  CM. Tõ N vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t AB t¹i E vµ song song víi AB c¾t AC t¹i F. Gäi N lµ điểm đối xứng của M qua E F. a) TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF. BiÕt : AB =7cm b) Chøng minh : AFEN lµ h×nh thang c©n c) TÝnh : ANB + ACB = ? d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của  ABC để cho AEMF là hình vuông. Bµi 5: (1®iÓm)Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n th× : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hÕt cho 23. §Ò sè 5 Bµi 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc: M  1) Rót gän M.. 2. 1 1 1 1  2  2  2 x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11x  30 2. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3. 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 2) Tìm giá trị x để M > 0. Bài 2: (2điểm) Người ta đặt một vòi nước chảy vào bể và một vòi nước chảy ra ở lưng chừng bể. Khi bể cạn, nếu mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nước. Còn nếu đóng vòi chảy ra mở vòi chảy vào thì sau 1giờ rưỡi đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi chảy ra. 1) Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy ra. 2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao nhiªu. Bµi 3: (1®iÓm) T×m x, y nguyªn sao cho: x 2  2 xy  x  y 2  4 y  0 Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD cố định, có độ dài cạnh là a. E là điểm di chuyển trên ®o¹n CD (E kh¸c D). §­êng th¼ng AE c¾t BC t¹i F, ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i A c¸t CD t¹i K. 1) Chøng minh tam gi¸c ABF b»ng tam gi¸c ADK. 2) Gäi I lµ trung ®iÓm KF, J lµ trung ®iÓm cña AF. Chøng minh r»ng: JA = JB = JF = JI. 3) Đặt DE = x (a  x > 0) tính độ dài các cạnh của tam giác AEK theo a và x. 4) Hãy chỉ ra vị trí của E sao cho độ dài EK ngắn nhất. Bµi 5: (1®iÓm)Cho x, y, z kh¸c 0 tho¶ m·n:. x2 y2 z2 1 1 1      0 . TÝnh N  yz zx xy xy yz zx. §Ò sè 6 C©u I: (5 ®iÓm) Rót gän c¸c ph©n thøc sau: 1). x 1  x  x. 3x 2  4 x  1 (a  1) 4  11(a  1) 2  30 2) 3(a  1) 4  18(a 2  2a )  3. C©u II: (4 ®iÓm) 1) Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn, chøng minh r»ng nÕu a chia cho 13 d­ 2 vµ b chia cho 13 d­ 3 th× a 2  b 2 chia hÕt cho 13. 2) Cho a, b, c lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m·n abc = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a b c   1  a  ac 1  b  bc 1  c  ac x 2  2x  1 x 2  2x  2 7   3) Giải phương trình: 2 x  2x  2 x 2  2x  3 6 A. C©u III: (4 ®iÓm)§Ó thi ®ua lËp thµnh tÝch chµo mõng ngµy thµnh lËp ®oµn TNCS Hå ChÝ Minh (26/3). Hai tổ công nhân lắp máy được giao làm một khối lượng công việc. Nếu hai tổ lµm chung th× hoµn thµnh trong 15 giê. NÕu tæ I lµm trong 5 giê, tæ 2 lµm trong 3 giê th× lµm ®­îc 30% c«ng viÖc. NÕu c«ng viÖc trªn ®­îc giao riªng cho tõng tæ th× mçi tæ cÇn bao nhiªu thời gian để hoàn thành. Câu IV: (3 điểm)Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D lên AC; H, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD. 1) Tø gi¸c DFBE lµ h×nh g× ? v× sao ? 2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA. 3) Chøng minh AC 2  AB. AH  AD. AK 2002 2003  x  2003 1 Câu V: (2 điểm)Giải phương trình: x  2002 §Ò sè 7 C©u I: (2®iÓm) 1. Thực hiện phép chia A  2 x 4  x 3  x 2  x  2 cho B  x 2  1 . Tìm x  Z để A chia hết cho B. 2. Phân tích đa thức thương trong câu 1 thành nhân tử. C©u II: (2®iÓm). 3. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 4. 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8. 1. So s¸nh A vµ B biÕt: A  5 32  1 vµ B  6(5 2  1)(5 4  1)(58  1)(516  1) 2. Chøng minh r»ng: 1919 + 69 69 chia hÕt cho 44. C©u III: (2®iÓm) 1. Cho mét tam gi¸c cã ba c¹nh lµ a, b, c tho¶ m·n: (a  b  c) 2  3(ab  bc  ca) . Hái tam giác đã cho là tam giác gì ? 2. Cho ®a thøc f(x) = x100  x 99  ...  x 2  x  1 . T×m d­ cña phÐp chia ®a thøc f(x) cho ®a thøc x 2  1 . Câu IV: (3điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiÕu cña H lªn AB vµ AC. Gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ CE. 1. Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g× ? T¹i sao ? 2. Chøng minh AB. CF = AC. AE 3. So s¸nh diÖn tÝch tø gi¸c AEMF vµ diÖn tÝch tam gi¸c BMC. Câu V : (1 điểm)Chứng minh nghiệm của phương trình sau là một số nguyên: x  2 x  3 x  4 x  2005 x  2004 x  2003      2005 2004 2003 2 3 4. §Ò sè 8 C©u 1: (2®iÓm) a) Cho x 2  2 xy  2 y 2  2 x  6 y  13  0 .TÝnh N . 3x 2 y  1 4 xy. b) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số dương. A  a 3  b 3  c 3  3abc. C©u 2: (2 ®iÓm)Chøng minh r»ng nÕu a + b + c = 0 th×: a b   a  b b  c c  a  c A      9 a b  a  b b  c c  a   c. C©u 3: (2 ®iÓm) Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E. Tõ A kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc v¬i AE c¾t ®­êng th¼ng CD t¹i F. Gäi I lµ trung ®iÓm cña EF. AI c¾t CD t¹i M. Qua E dùng ®­êng th¼ng song song víi CD c¾t AI t¹i N. a) Chøng minh tø gi¸c MENF lµ h×nh thoi. b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC. Câu 5: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 6  3x 2  1  y 4 §Ò sè 9 Bµi 1: (2 ®iÓm) 6. 1  6 1   x   x  6 2 x  x  Cho M   3 1 1  3 x    x  3 x x . a) Rót gän M. b) Cho x > 0, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M. Bµi 2: (2 ®iÓm) a) T×m x biÕt : (2 x  5) 3  ( x  2) 3  ( x  3) 3 b) Tìm số tự nhiên n để n + 24 và n - 65 là hai số chính phương.. 4. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 5. 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8. Bµi 3: (2 ®iÓm) a) Cho x vµ y tho¶ m·n: 4 x 2  17 xy  9 y 2  5 xy  4 y  2 .TÝnh H  x 3  y 3  xy b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a  b  c  abc Chøng minh: a(b 2  1)(c 2  1)  b(a 2  1)(c 2  1)  c(a 2  1)(b 2  1)  4abc Bài 4: (4 điểm)Cho hình thang ABCD đáy nhỏ AB, Gọi I là giao điểm của AC và BD. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N. a) Chøng minh IM = IN. b) Chøng minh:. 1 1 2   AB CD MN. c) Gäi K lµ trung ®iÓm cña DC, vÏ ®­êng th¼ng qua M song song víi AK c¾t DC, AC lần lượt tại H và E. Chứng minh HM + HE = 2AK. d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2). TÝnh S(ABCD) theo a vµ b. C©u 1: (2 ®iÓm). §Ò sè 10 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:. 2 a) x  x  12 ; b). x 8  x  1 ; c) ( x 2  3x  2)( x 2  11x  30)  5. C©u 2: (2 ®iÓm) 32 1) So s¸nh A vµ B biÕt: A  5 vµ B  24(5 2  1)(5 4  1)(58  1)(516  1) 2) Cho 3a 2  2b 2  7 ab vµ 3a  b  0 . 2005a  2006b TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P  2006a  2007b C©u 3: (2 ®iÓm). 1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A  2 x 2  9 y 2  6 xy  6 x  12 y  1974 2) Giải phương trình: y  4  2 y  2 2. x. x 1. 20. 8 8 8 8 2 2 2 2 3) Chøng minh r»ng: a  b  c  d  4a b c d. C©u 4 Cho ®a thøc f(x) cã c¸c hÖ sè nguyªn. BiÕt r»ng f(1) vµ f(2) lµ c¸c sè lÎ. Chøng minh r»ng ®a thøc f(x) kh«ng cã nghiÖm nguyªn. §Ò sè 11 C©u 1: (2 ®iÓm)  4 1  4 1   4 1  1   3  ...19   4  4  4 a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A    4 1  4 1   4 1   2   4  ... 20   4  4  4 . b) Chøng minh r»ng: TÝch cña bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp céng víi 1 lµ mét sè chÝnh phương. C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho xyz = 2006.Chøng minh r»ng:. 2006 x y z   1 xy  2006 x  2006 yz  y  2006 xz  z  1. b) Tìm n nguyên dương để A = n3 + 31 chia hết cho n + 3. c) Cho a  2b  3c  14 . Chøng minh r»ng: a 2  b 2  c 2  14 .  3x 2  3 x 1 1  x 1  . 2  2  3  x  1 x  x  1 x  1  2 x  5x  5. C©u 3: (2 ®iÓm)Cho ph©n thøc: B   a) Rót gän B. b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña B.. 5. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 6. 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 1 1 1 1 1  3  3  3 ...  3  2 3 2 3 4 5 n b) Giải phương trình: ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4). C©u 4: a) Chøng minh r»ng víi n  N vµ n > 3 th×: C  1  §Ò sè 12. C©u 1: (2 ®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x 2  7 x  6 ;b) ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)  24 ;c) x 4  4 2) Rót gän: A . 1 1 1 1  2  2  2 x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11x  30 2. C©u 2: (2 ®iÓm) 1) T×m ®a thøc f(x) biÕt r»ng f(x) chia cho x-2 th× d­ 2, f(x) chia cho x-3 th× d­ 7, f(x) chia cho x2 - 5x + 6 thì được thương là 1-x2 và còn dư. 2) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau là số nguyên. A. 2x3  x 2  2x  5 2x  1. Câu 3: (2 điểm)Giải phương trình:. x 1 x  3 x  5 x  2 x  4 x  6      99 97 95 98 96 94 2 2 2 b) ( x  x  1)  ( x  x  1)  12  0. a). C©u 4: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt nÕu cã cña biÓu thøc sau: B . 16 x 2  4 x  1 2x. (víi x > 0). §Ò sè 13 C©u 1: (6 ®iÓm)Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö; 2 2 a) 2 x  2 y  x 2  2 xy  y 2 ;b) 2 xy  2 x  y 2  y ;c) x  2 xy  y  3x  3 y  10 C©u 2C© C©UU 22 (4 ®iÓm)Cho a  b  c  0 vµ abc  0 . Chøng minh r»ng:. C© C©UU 33C©u 3 (4 ®iÓm)Cho biÓu thøc Q . x4  x 2 x 2  3x  1  1  x 1 x2  x 1. ( x  1 ). §Ò sè 14 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch thµnh thõa sè: (a  b  c) 3  a 3  b 3  c 3 2 x 3  7 x 2  12 x  45 3 x 3  19 x 2  33 x  9 C©u 2: (2®iÓm)Chøng minh r»ng: A  n 3 (n 2  7) 2  36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè t/ nhiªn n.. b) Rót gän:. C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước trên giếng. Nếu làm một mình thì máy bơm A hút hết nước trong 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước trong 15 giờ và máy bơm C hút hết nước trong 20 giờ. Trong 3 giờ đầu hai máy bơm A và C cùng làm việc sau đó mới dùng đến máy bơm B. Tính xem trong bao lâu thì giếng sẽ hết nước. b) Giải phương trình: 2 x  a  x  2a  3a (a là hằng số). §Ò sè 15. 6. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 7. 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 C©u 1: (2 ®iÓm)Cho P . a 3  4a 2  a  4 a 3  7 a 2  14a  8. a) Rót gän P. b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên. C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương cña chóng chia hÕt cho 3. b) Tìm các giá trị của x để biểu thức: P  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  6) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. C©u 3: (2 ®iÓm) a) Giải phương trình:. 1 1 1 1  2  2  x  9 x  20 x  11x  30 x  13 x  42 18 2. b) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng; A. a b c   3 bca acb abc. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy 0 bằng 60 quay quanh điểm M sao cho hai cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D vµ E. Chøng minh: BC 2 a) BD.CE  4. b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED. Câu 5: (1 điểm)Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi.. 7. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 8. 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 §Ò sè 16 Bµi 1: (2 ®iÓm) a, Giải phương trình. ( x 2  6 x  9) 3  (1  x 2 ) 3  (6 x  10) 3  0 b) Cho x, y tho¶ m·n: x 2  2 y 2  2 xy  6 x  2 y  13  0 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: H . x 2  7 xy  52 x y. x2  3y y 2  3x 1  Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho víi x, y  0 ; x, y  ; x  y . x(1  3 y ) y (1  3 x) 3 1 1 8 Chøng minh r»ng:   x  y  . x y 3. §Ò sè 17 Bµi 1: (2 ®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x 8  x 7  1 ;b) (4 x  1)(12 x  1)(3x  2)( x  1)  4 2) Cho a  b  c  0 vµ a 2  b 2  c 2  1 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M  a 4  b 4  c 4 Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: M . x2 y2 x2 y2   ( x  y )(1  y ) ( x  y )(1  x) (1  x)(1  y ). a) Rót gän M. b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị bằng -7. Bài 3: (2điểm)Người ta đặt một vòi nước chảy vào bể và một vòi nước chảy ra ở lưng chừng bể. Khi bể cạn, nếu mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nước. Còn nếu đóng vòi chảy ra mở vòi chảy vào thì sau 1giờ rưỡi đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi chảy ra. 1) Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy ra. 2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao nhiªu.. §Ò sè 18 C©u 1: (2 ®iÓm) Giải các phương trình sau: a) x 4  4 x 2  5 ;b) x  1  2 x  3  5 x4  x C©u 2: (2 ®iÓm)Cho biÓu thøc: A  2 x x. a) Rót gän biÓu thøc A. b) Tìm x để A > 1. C©u 3: (2 ®iÓm) Hai anh em Trung và Thành cùng cuốc một mảnh vườn, và sẽ hoàn thµnh trong 5 giê 50 phót. Nh­ng sau 5 giê lµm chung Trung bËn viÖc kh¸c nªn kh«ng lµm nữa, một mình anh thành phải làm tiếp trong 2 giờ nữa mới cuốc xong mảnh vườn. Hái nÕu lµm mét m×nh th× mçi anh ph¶i lµm trong bao l©u?. §Ò sè 19 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: x 4  3x 2  4 x  12. 8. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 9. 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 b) TÝnh: A . 1 1 1 1    ...  1.3 3.5 5.7 2003.2005. C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho a, b, c lµ hai sè kh¸c nhau vµ kh¸c 0 tho¶ m·n: 3a 2  b 2  4ab . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A . ab ab. b) Giải phương trình: x  2   1  3 C©u 3:. Cho. a 3  3ab 2  14 .  3 b  3a 2 b  13. TÝnh gi¸ trÞ cña : P  a 2  b 2 §Ò sè 20. Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Cho x > 0, y > 0 tho¶ m·n: x 2  2 xy  3 y 2 .TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A  b) Víi x  1 . Rót gän biÓu thøc: B . x y x y.  x 2  6x  5 5 x n  x n 1. Bµi 2: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ nguyªn cña x th× biÓu thøc P ( x)  1985.. x3 x2 x  1978.  5. 3 2 6. cã gi¸ trÞ nguyªn.. Bài 3: (2 điểm) Một người đi xe đạp, một người đi xe máy, một người đi ô tô cùng đi từ A về B khởi hành lần lượt lúc 6 giờ, 7 giờ, 8 giờ với vận tốc thứ tự là 10 km/h, 30 km/h, 40 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều người đi xe đạp và xe máy. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC nhän (AB  AC ) cã O lµ giao ®iÓm cña ba ®­êng trung trùc, vÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c hai h×nh vu«ng ABDE, ACGH. BiÕt OE = OH. TÝnh sè ®o gãc BAC ? §Ò sè 21 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Rót gän biÓu thøc: A . a 2  a  2  (a  2) 2  a 2 3  .  2  n 1 n  2 a  3a  4a  4 a  a. b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: B  x19  5 x18  5 x17  5 x16  ...  5 x 2  5 x  1886 víi x = 4. C©u 2: (2 ®iÓm) a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 3  5 x  12 y  4 . b) Cho a, b, c lµ c¸c sè tù nhiªn kh«ng nhá h¬n 1. Chøng minh r»ng:. 1 1 2   2 2 1 a 1  b 1  ab. Câu 3: (2 điểm) Một ô tô vận tải đi từ A đến B với vận tốc 45 km/h. Sau đó một thời gian một ô tô con cũng đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và nếu không có gì thay đổi thì đuổi kịp ô tô t¶i t¹i B. Nh­ng ngay sau khi ®i ®­îc nöa qu·ng ®­êng AB, xe t¶i gi¶m bít 5 km/h nªn hai xe gÆp nhau t¹i C c¸ch B 30 km. TÝnh qu·ng ®­êng AB. §Ò sè 22 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có: A. 9. x5 x 4 7 x3 5x 2 x     120 12 24 12 5. luôn luôn là số nguyên dương.. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 10. 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 b) Rót gän: B . x 24  x 20  x16  ....  x 4  1 x 26  x 24  x 22  ....  x 2  1. C©u 2: (2 ®iÓm)B¹n A hái b¹n B: “ n¨m nay bè mÑ cña anh bao nhiªu tuæi ?” B tr¶ lêi: “ bè tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây khi tổng số tuổi của bố mẹ tôi là 104 tuổi thì tuổi của ba anh em chóng t«i lµ 14; 10 vµ 6. HiÖn nay tæng sè tuæi cña bè mÑ t«i gÊp 2 lÇn tæng sè tuæi cña ba anh em t«i”. TÝnh xem tuæi cña bè mÑ b¹n B lµ bao nhiªu ? C©u 3: (1 ®iÓm) T×m x, y, z  Z tho¶ m·n: (2 x  5 y  1)(2 x  y  x 2  x)  105 §Ò sè 23 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Cho a k . 3k 2  3k  1 víi k  N*.TÝnh tæng S = a1  a2  a3  ....  a2007 (k 2  k ) 3. b) Chøng minh r»ng: A  n 3 (n 2  7) 2  36n chia hÕt cho 7 víi mäi n nguyªn. C©u 2: (3 ®iÓm) a) Cho ba số x, y, z thoả mãn đồng thời: 2 z 2  2x  1  0 x  2y 1 0 ; y2  2z  1  0 ; TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A  x 2005  y 2006  z 2007 b) Chøng minh r»ng víi x, y  Z th× P  ( x  y )( x  2 y )( x  3 y )( x  4 y )  y 4 là một số chính phương. c) T×m sè d­ trong phÐp chia: ( x  1)( x  3)( x  5)( x  7)  2007 cho x 2  8 x  1 §Ò sè 24 Câu 1: (2 điểm) Giải phương trình: 1  1 1 1     ...  .x 2 3 4 2005    2005 a) 2004 2003 2002 1    ....  1 2 3 2004 b) x  1  x  3  4. C©u 2: (2 ®iÓm) Tìm tỉ lệ ba đường cao của một tam giác. Biết nếu cộng lần lượt độ dài từng cặp hai cạnh của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là 5 : 7 : 8. C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®­îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc: P( x)  (2004  2005 x  x 2 ) 2004 . (2004  2005 x  x 2 ) 2005 b) Tìm số tự nhiên n để n 4  n 2  1 là số nguyên tố.. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC. Kẻ đường cao AH. Gọi C’ là điểm đối xứng của H qua AB, B’ là điểm đối xứng của H qua AC. Gọi giao điểm của B’C’ với AC và AB là I và K. Chøng minh IB, CK lµ ®­êng cao cña tam gi¸c ABC. C©u 5: (1 ®iÓm)Cho a, b, c 0; 1 vµ a  b  c  2 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P  a2  b2  c2. §Ò sè 25 C©u 1: ( 2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x 9  x 7  x 6  x 5  x 4  x 3  x 2  1  1  3y2 y x2      b) Rót gän biÓu thøc:  2  4  3 . y 3 2 2   x  xy x  xy x  x y  xy x  y   . C©u 2: (2 ®iÓm). 10. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 11. 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8. a) Có tồn tại một cặp số tự nhiên (x, y) nào để số 4 x 4  y 4 là một số nguyên tố không. b) Giải phương trình:. y2  2 y  3 . 6 x  2x  4 2. Câu 3: Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: 1  §Ò sè 26. a b c   2 ab bc ca. x 4  x3  x 2  2 x  2 C©u 1: (2 ®iÓm) Cho ph©n thøc: A  4 x  2 x3  x 2  4 x  2. (víi x  Z). a) Rót gän A. b) Xác định x để A có giá trị nhỏ nhất. C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho x, y, z lµ c¸c sè nguyªn kh¸c 0.Chøng minh r»ng nÕu: x 2  yz  a ; y 2  zx  b ; z 2  xy  c Th× tæng ax  by  cz chia hÕt cho tæng a  b  c . b) Cho ®a thøc f(x) khi chia cho x-2 th× d­ 5, khi chia cho x-3 th× d­ 7, cßn khi chia cho 2 x  5 x  6 thì được thương là 1  x 2 và còn dư. Tìm đa thức f(x). Câu 3: (2 điểm) Giải phương trình: x 3  x 2  x . 1 3. Câu 4: Tìm tất cả các số có ba chữ số sao cho tổng các nghịch đảo của các chữ số của mỗi số b»ng 1.. 11. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 12. 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 §Ò sè 27 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Cho y  x  0 vµ. x 2  y 2 10  . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc xy 3. M. x y x y.  4 1  4 1   4 1  1   3  ....11   4  4  4 b) Rót gän biÓu thøc A    4 1  4 1   4 1   2   4  ....12   4  4  4 . C©u 2: (2 ®iÓm) a) Giải phương trình: x 4  4 x 3  19 x 2  106 x  120  0 x4 y4 1 x 2004 y 2004 2 2 2   b) Cho vµ x  y  1 .Chøng minh r»ng: 1002  1002  a b ab a b (a  b)102. Câu 3: (2 điểm) Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đi đến nhà bình với vận tốc 4 km/h. Lúc 8 giờ 20 phút, Bình cũng rời nhà mình để đi đến nhà An với vận tốc 3 km/h. An gặp Bình trên đường rồi cả hai cùng đi về nhà Bình. Khi trở về đến nhà mình An tính ra quãng đường mình đi dài gấp bốn lần quãng đường Bình đã đi. Tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình. C©u 4: (1 ®iÓm)Cho p 3  q 3  2 . Chøng minh r»ng: 0  p  q  2 §Ò sè 28 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Giải phương trình: ( x 2  4 x  4)3  (2  x 2 )3  (4 x  6)3  0 b) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: x 4  2004 x 2  2003x  2004 C©u 2: (2 ®iÓm) Cho a  b  c  0 ; x  y  z  0 ;. a b c   0 x y z. Chøng minh: ax 2  by 2  cz 2  0 Câu 3: Tìm x nguyên để y nguyên: y . 2x  3 x2  1. §Ò sè 29 C©u 1: (2 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: a) A . x2  x x. 3x 2  8 x  4 2 3 4 1  2  2  b) B  2 x  2 x x  7 x  10 x  14 x  15 x  9. C©u 2: (2 ®iÓm). a) Cho 3a 2  b 2  4ab vµ b > a > 0. TÝnh P . ab ab. b) T×m x, y biÕt: x 2  y 2  xy  3x  3  0 C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn. Chøng minh r»ng nÕu a chia cho 19 d­ 3, b chia cho 19 d­ 2 2 th× a  b 2  ab chia hÕt cho 19. b) Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là số chính phương.. 12. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 13. 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 §Ò sè 30 C©u 1: (2 ®iÓm) Cho ®a thøc A  2a 2b 2  2b 2c 2  2a 2c 2  a 4  b 4  c 4 a) Ph©n tÝch ®a thøc A thµnh nh©n tö. b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì A> 0. C©u 2: (2 ®iÓm) 2 a) Giải phương trình: x 2  y 2   4 xy  1 a b c   0. bc ca ab a b c   TÝnh P  2 2 (b  c) (c  a ) ( a  b) 2. b) Cho a, b, c đôi một khác nhau và. C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho m, n lµ c¸c sè tho¶ m·n: 3m 2  n  4m 2  n . Chứng minh (m-n) và (4m + 4n + 1) đều là số chính phương. b) Cho x, y, z lµ c¸c sè kh¸c 0 tho¶ m·n x  y  z  xyz vµ TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A . 1 1 1    m. x y z. 1 1 1  2  2 theo m. 2 x y z. §Ò sè 31 C©u 1: (2 ®iÓm)Cho biÓu thøc: M . x2 y2 x2 y2   ( x  y )(1  y ) ( x  y )(1  x) (1  x)(1  y ). a) Rót gän M. b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị bằng -7. C©u 2: (3 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi n lµ sè tù nhiªn ch½n th× biÓu thøc: A  20 n  16 n  3n  1 chia hÕt cho 323 b) Cho x, y, z kh¸c 0 vµ x  y  z  0 . Chøng minh r»ng: NÕu. 1 1 1 1 1 1 1 1    th× 2007  2007  2007  2007 2007 x y z x y  z 2007 x y z x yz. C©u 3: (2 ®iÓm) Trong mét cuéc ®ua m« t« cã ba xe cïng khëi hµnh mét lóc. Mét xe trong một giờ chạy chậm hơn xe thứ nhất là 15 km và nhanh hơn xe thứ ba 3 km, đến đích chậm hơn xe thø nhÊt 12 phót vµ sím h¬n xe thø ba 3 phót. Kh«ng cã sù dõng l¹i trªn ®­êng ®i. T×m vËn tèc mçi xe, qu·ng ®­êng ®ua vµ xem mçi xe ch¹y mÊt bao nhiªu thêi gian. Câu 4: (2 điểm)Cho hình vuông ABCD, gọi K, O, E, N lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD vµ DA. C¸c ®o¹n th¼ng AO, BE, Cn vµ DK c¾t nhau t¹i L, M, R, P. TÝnh tØ sè diÖn tÝch S(MNPR) : S(ABCD). C©u 5: (1 ®iÓm)TÝnh tæng S . 1 1 1 1    ....  1.2.3 2.34 3.4.5 n(n  1)(n  2). §Ò sè 32 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch a 4  4 thµnh nh©n tö. 2 4  4 6 4  4 10 4  4 14 4  4 184  4 . . . . b) TÝnh : A  4 4  4 84  4 12 4  4 16 4  4 20 4  4. C©u 2: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A  x15  7 x14  7 x13  7 x 2  ...  7 x 2  7 x  5 víi x = 6 b) Tìm n nguyên để n - 1 chia hết cho n 2  n  1. 13. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 14. 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 C©u 3: ( 2 ®iÓm) a) Cho ®a thøc f ( x)  x100  x 99  ...  x 2  x  1 .T×m d­ cña phÐp chia f(x) cho x 2  1 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: B  xy( x  2)( y  6)  12 x 2  24 x  3 y 2  18 y  2004. §Ò sè 33 C©u 1: (2 ®iÓm) 1. Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: a) x10  x 2  1 b) ( x 2  3x  2)( x 2  7 x  12)  15 2. Cho a, b lµ c¸c sè tho¶ m·n a 2  b 2  ab  2005 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P. a 4  b 4  ( a  b) 4 a 2  b 2  ( a  b) 2. C©u 2: ( 2 ®iÓm) ) Cho p vµ p2 + 2 lµ c¸c sè nguyªn tè. Chøng minh r»ng p3 + 2 lµ sè nguyªn tè. b) Tìm các số dương x, y, z thoả mãn: x  y  xyz và x  y  z  4 C©u 3: (2 ®iÓm) Trªn qu·ng ®­êng AB cña mét thµnh phè, cø 6 phót l¹i cã mét xe buýt ®i theo chiều từ A đến B và cũng cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều ngược lại. Các xe này chuyển động đều với cùng vận tốc như nhau. Một khách du lịch đi bộ từ A đến B nhận thấy cứ 5 phót l¹i gÆp mét xe buýt ®i tõ B vÓ phÝa m×nh. Hỏi cứ bao nhiêu phút lại có một xe đi từ A vượt qua người đó. C©u 4: (3 ®iÓm) a) Cho hình bình hành ABCD. Lấy E thuộc BD, Gọi F là điểm đối xứng với C qua E. Qua F kÎ Fx song song víi AD, c¾t AB t¹i I, Fy song song víi AB, c¾t AD t¹i K. Chøng minh r»ng ba ®iÓm I, K, E th¼ng hµng. b) Cho ®o¹n th¼ng AB song song víi ®­êng th¼ng d. T×m ®iÓm M (d vµ M n»m kh¸c phÝa víi AB) sao cho c¸c tia MA, MB t¹o víi ®­êng th¼ng d mét tam gi¸c cã diÖn tÝch nhá nhÊt. b2 x2 a 2 Câu 5: (1 điểm)Giải phương trình: x  a x  2 b  x2 x  b2 2. §Ò sè 34. C©u 1: (2 ®iÓm) a) Cho x 2  4 x  1  0 .TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A  b) Tìm số tự nhiên x để. x4  x2  1 x2. x2  8 là số chính phương. x8. C©u 2: (2 ®iÓm) 2 a) Giải phương trình: x 2  1  4 x  1 b) Giải bất phương trình:. x 1 1 2x. C©u 3: ( 2 ®iÓm)ViÖt (hái): B¹n ë sè nhµ bao nhiªu ? Nam (tr¶ lêi): M×nh ë sè nhµ lµ mét sè cã ba ch÷ sè, mµ hai ch÷ sè ®Çu còng nh­ hai chữ số cuối lập thành một số chính phương và số này gấp bốn lần số kia ? Việt: Sau một lúc suy nghĩ đã tìm ra số nhà của Nam. Hái sè nhµ cña Nam lµ bao nhiªu ? C©u 4: ( 3 ®iÓm). 14. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 15. 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8. 1) Cho hai điểm A và B nằm cùng phía đối với đường thẳng a. Hãy tìm trên đường thẳng a một điểm P sao cho tổng độ dài AP + PB là bé nhất. 2) Cho góc nhọn xOy và 1 điểm A ở miền trong góc đó. Hãy tìm trên hai cạnh Ox, Oy các điểm tương ứng B và C sao cho chu vi tam giác ABC bé nhất. C©u 5: (1 ®iÓm)T×m c¸c sè x, y, z, t tháa m·n: x 2  y 2  z 2  t 2  x( y  z  t ) §Ò sè 35 C©u 1: ( 2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) (a  b  c) 3  (a  b  c) 3  (b  c  a) 3  (c  a  b) 3 b) ( x 2  y 2 ) 3  ( z 2  x 2 ) 3  ( y 2  z 2 ) 3 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho f(x) = ax 2  bx  c .Chøng minh r»ng: f(x) + 3f(x + 2) = 3f(x + 1) + f(x + 3) b) Tìm các số x, y nguyên dương thoả mãn: x 2  y 2  2 y  13 C©u 3: ( 2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng n 5  5n 3  4n chia hÕt cho 120 víi mäi n nguyªn. b) Cho tam giác có độ dài hai đường cao là 3 cm và 7 cm. Hãy tìm độ dài đường cao thứ ba, biết rằng độ dài đường cao đó là một số nguyên. C©u 4: (3 ®iÓm) a) Chứng minh tổng độ dài các cạnh của một ngũ giác lồi bé hơn tổng độ dài các đường chéo của ngũ giác đó. b) Cho tam giác ABC . Trong các hình chữ nhật có hai đỉnh nằm trên cạnh BC và hai đỉnh còn lại lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Câu 5: (1 điểm).Tìm tất cả các số thực dương x, y thoả mãn: x 3  y 3  xy  §Ò sè 36. 1 27. C©u 1: ( 2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: n 5  n chia hÕt cho 30 víi mäi sè nguyªn n. b) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: x 3  y 3  6 xy  8 C©u 2: (2 ®iÓm) 1 1 1 x  y  z  2  a) T×m x, y, z tho¶ m·n:   2 1 4  xy z. b) Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: A. 1 1 1   2 2 ( a  b) (b  c) (c  a ) 2. lµ mét sè h÷u tØ.. C©u 3: ( 2 ®iÓm)  a) Cho x, y > 0 tho¶ m·n x + y =1. Chøng minh r»ng:  x   1 1 1 1  b) Chøng minh r»ng:   ....  2 2 5 13 n  (n  1) 2. 2. 2. 1  1  25    y    x  y 2. C©u 4: (2 ®iÓm)Cho ®a thøc P(x)  x 4  ax 3  bx 2  cx  d víi a, b, c , d lµ h»ng sè. BiÕt P(1) = 10; P(2) = 20 ; P(3) = 30 . TÝnh P(12) + P(-8). C©u 5: ( 2 ®iÓm)T×m c¸c sè x, y nguyªn tho¶ m·n: x 2 y 2  x 2  8 y 2  2 xy §Ò sè 37. 15. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 16. 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 Bµi 1: (4 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: A  x 4  4 b) Tìm số nguyên a để biểu thức P . a2  a  3 nhËn gi¸ trÞ nguyªn. a 1. Bµi 2: (4 ®iÓm) §a thøc P(x) khi chia cho x -3 d­ 7, khi chia cho x + 5 d­ -9 cßn khi chi cho x2 - 5x + 6 thì được thương là x2 + 1 và còn dư. Tìm đa thức P(x). Bµi 3: (6 ®iÓm) a) Biết x là nghiệm của phương trình: T×m x ë d¹ng thu gän.. x  ab x  ac x  bc   abc ab ac bc. (23  1)(33  1)(43  1)....(503  1) b) Rót gän biÓu thøc: M  3 (2  1)(33  1)(43  1)....(503  1). Bµi 4: (6 ®iÓm) a) Trên tia Ox của góc xOy cho trước một điểm A. Hãy tìm trên tia Oy của góc đó một điểm B sao cho OB + BA = d (với d là độ dài cho trước. b) Cho tam gi¸c ABC cã 2 trung tuyÕn kÎ tõ B vµ C lµ BE vµ CF. Chøng minh r»ng BE vu«ng gãc víi CF khi vµ chØ khi: AC2 + AB2 = 5BC2 . §Ò sè 38 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: x 4  3x 2  2 x  3 b) Giải phương trình: x 3  3x 2  3x  1  0  a  2 a  2 a 1  .  a 1 a 1  a. Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: P  . a) Rót gän P. b) Tìm a để P nguyên. Bµi 3: (3 ®iÓm) a) T×m c¸c sè nguyªn x, y, z biÕt r»ng: y  z 1 x  z  2 x  y  3 1    x y z x yz. b) Cho ®a thøc f(x) = ax 2  bx  c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ. BiÕt r»ng f(0), f(1), f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn. Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC nhän víi ba ®­êng cao AA’, BB’, CC’. Gäi H lµ trùc HA' HB' HC '   1 AA' BB' CC ' T×m c¸c h»ng sè a vµ b sao chob ®a thøc x 2  ax  b chia cho (x + 1) th× d­. t©m cña tam gi¸c ABC.. Chøng minh r»ng:. Bµi 5: (1 ®iÓm) 7, chia cho (x-3) th× d­ -5.. §Ò sè 39 Bµi 1: (2 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: a) P  (a  b  c) 2  (a  b  c) 2  (a  b  c) 2  (b  c  a) 2 b) Q . 1 1 1   2 x  y x  y x  y2. Bµi 2: ( 2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (a  b  c)(ab  bc  ca)  abc b) T×m x, y biÕt: x 2  y 2  x  3 y . 16. 5 0 2. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 17. 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 c) Cho A  (n  1)(n 2  3n  1) . Tìm số tự nhiên n để giá trị của A là một số nguyên tố. Bài 3: ( 2 điểm) Giải phương trình:. x  13 x  11 x  9 x  7 x  5 x  117 x  119 x  121 x  123 x  125          117 119 121 123 125 13 11 9 7 5. Bµi 4: (2 ®iÓm). Một ô tô khởi hành đi từ A đến C, hai giờ sau một ô tô khác đi từ B đến. 2 C. Sau 3 giê tÝnh tõ khi « t« thø nhÊt lhëi hµnh th× hai « t« gÆp nhau. TÝnh vËn tèc cña mçi « 5. tô. Biết rằng B nằm trên đường từ A đến C và quãng đường AB bằng 78 km, vận tốc của ô tô ®i tõ A lín h¬n vËn tèc cña « t« ®i tõ B lµ 5 km/h. Bµi 5: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã ba ph©n gi¸c trong lµ AD, BE vµ CF. Gäi M, N, P theo thứ tự là các điểm đối xứng của B, A và C qua AD, BE , AD. Q là điểm đối xứng của A qua CF. Chøng minh MN // PQ. §Ò sè 40 Bµi 1: ( 2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a)  x 4  1  2 x 3  x 2 b) a(b 3  c 3 )  b(c 3  a 3 )  c(a 3  b 3 ) Bµi 2: (4 ®iÓm) a) Rót gän biÓu thøc sau: (a  b  1)3  (a  b  1)3  6(a  b) 2 b) Xác định a, b để đa thức x 3  ax 2  2 x  b chia hết cho đa thức x 2  1 c) T×m d­ cña phÐp chia ®a thøc f ( x)  2004 x 2005  2005 x 2004  x 2002  1 cho ®a thøc x 2  1 d) T×m x nguyªn tho¶ m·n: 2 x  1  5 Bµi 3: a) TÝnh nhanh: 9982  9992  10012  10022 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A  x 2  xy  y 2  3x  3 y  2004 §Ò sè 41 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x 4  x 3  2 x 2  3x  1 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A  2 x 2  9 y 2  6 xy  6 x  12 y  2006 Bµi 2: (2 ®iÓm) a) Tìm thương và phần dư trong phép chia đa thức: f ( x)  1  x  x 2  x 3  ...  x1997 cho x 2  1 b) Đa thức f(x) khi chia cho x-3 thì dư 10, khi chia cho x+5 thì dư 2 còn khi chia cho (x3)(x+5) thì được thương là x 2  1 và còn dư. Tìm đa thức f(x). Bµi 3: (2 ®iÓm)T×m sè tù nhiªn x sao cho M  x1999  x1997  1 cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn tè. §Ò sè 42 Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x 5  2 x 4  2 x 3  4 x 2  3x  6 b) x 3  x 2  4 Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: a) Rót gän P. b) TÝnh P khi m  Bµi 3: (2 ®iÓm). 17. 2001 1999. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 18. 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì phân số: 15n 2  8n  6 30n 2  21n  13. tèi gi¶n.. b) Tìm số nguyên n để n  7 chia hết cho n 2  64 Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E. Tõ A kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AE, c¾t ®­êng th¼ng CD t¹i F. Gäi I lµ trung ®iÓm cña EF, AI c¾t CD t¹i M. Qua E dùng ®­êng th¼ng song song víi CD c¾t AI t¹i N. a) Chøng minh tø gi¸c MENF lµ h×nh thoi. b) Chứng minh rằng chi vi tam giác CEM không đổi khi E chuyển động trên BC. Bài 5: (1 điểm)Tìm a để P = a4 + 4 là một số nguyên tố. §Ò sè 43. Bµi 1: ( 2®iÓm) h©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) ( x  y ) 2  ( x  y )  6 b) ( x 2  x  1)( x 2  3x  1)  x 2 Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho ®a thøc P( x)  x 5  ax 4  bx 3  cx 2  dx  e vµ cho biÕt P(1) = 3 ; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33 ; P(5) = 51. TÝnh P(6) ; P(7) ; P(8). Bài 3: (2 điểm) Giải phương trình: 4x 2 5 x 2  4x  4 b) x 5  x 4  x 3  x 2  2. a) x 2 . Bài 4: (2 điểm)Dùng hai can 4 lít và 2,5 lít làm thế nào để đong được 3 lít rượu từ một can 6 lít đựng đầy rượu (các can không có vạch chia độ). Bµi 5: (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = x 100  10 x 10  10. §Ò sè 44 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: x 5  x 4  1 b) Tìm các cặp số (x, y) để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: P   x 2  y 2  xy  2 x  2 y. Bài 2: ( 2điểm) Giải phương trình: a) x  22  x  33  x  44  2 b) x 2  1  x 2  4  x 2  2 x  4 Bµi 3: ( 2 ®iÓm)T×m hÖ sè cña x8 trong khai triÓn nhÞ thøc Newt¬n cña ®a thøc: 1  x 2 (1  x) Bµi 4: (2 ®iÓm) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số biết rằng số đó bằng luỹ thừa bậc bốn tổng các chữ số cña nã. 8. Bµi 5: (2 ®iÓm). 18. Chøng minh r»ng:. 1 x2  x 1  3 3 x2  x 1. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 19. 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 §Ò sè 45 C©u 1: ( 2 ®iÓm)Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: a) x 4 y 4  64 b) 2 x 4  9 x 3  14 x 2  9 x  2 Câu 2: ( 2 điểm)Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm: x  x  2  x  1  m C©u 3: ( 2 ®iÓm)Cho x 2  2006 x  1  0 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: C©u 4: (2 ®iÓm)Cho x, y, z > 0 vµ xyz =1 . Chøng minh r»ng: 1 1 1  3  3 1 3 3 x  y  1 y  z  1 z  x3  1 3. Câu 5: ( 2 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn: a  b  c  1 .  . 1  a . 1  b . 1 c. T×m GTNN cña biÓu thøc: P  1  1  1  . 19. Lop8.net. P. x4  x2 1 x2.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>